Logaritmų savybės ir jų sprendinių pavyzdžiai. Išsamus vadovas (2019). Pagrindinės logaritmų savybės 8 logaritmai jų savybės

Visuomenei vystantis ir gamybai vis sudėtingėjant, vystėsi ir matematika. Judėjimas nuo paprasto iki sudėtingo. Nuo įprastos apskaitos naudojant sudėjimo ir atimties metodus, juos kartojant, priėjome prie daugybos ir dalybos sampratos. Pakartotinės daugybos operacijos mažinimas tapo eksponencijos sąvoka. Pirmąsias skaičių priklausomybės nuo bazės ir eksponencijos skaičiaus lenteles dar VIII amžiuje sudarė indų matematikas Varasena. Iš jų galite suskaičiuoti logaritmų atsiradimo laiką.

Istorinis eskizas

Europos atgimimas XVI amžiuje paskatino ir mechanikos raidą. T pareikalavo daug skaičiavimų susiję su daugiaženklių skaičių daugyba ir dalyba. Senoviniai stalai labai pasitarnavo. Jie leido sudėtingas operacijas pakeisti paprastesnėmis - sudėtimi ir atimti. Didelis žingsnis į priekį buvo matematiko Michaelo Stiefelio darbas, paskelbtas 1544 m., kuriame jis įgyvendino daugelio matematikų idėją. Tai leido lenteles naudoti ne tik pirminių skaičių laipsniams, bet ir savavališkiems racionaliems skaičiams.

1614 m. škotas Johnas Napier, plėtodamas šias idėjas, pirmą kartą įvedė naują terminą „skaičiaus logaritmas“. Sinusų ir kosinusų logaritmams, taip pat liestims apskaičiuoti buvo sudarytos naujos sudėtingos lentelės. Tai labai sumažino astronomų darbą.

Pradėjo pasirodyti naujos lentelės, kurias mokslininkai sėkmingai naudojo tris šimtmečius. Praėjo daug laiko, kol nauja algebros operacija įgavo galutinę formą. Pateiktas logaritmo apibrėžimas ir ištirtos jo savybės.

Tik XX amžiuje, atsiradus skaičiuotuvui ir kompiuteriui, žmonija atsisakė senovinių lentelių, kurios sėkmingai veikė XIII amžių.

Šiandien vadiname b logaritmu, pagrįstu a skaičiumi x, kuris yra a galia sudaryti b. Tai parašyta kaip formulė: x = log a(b).

Pavyzdžiui, log 3(9) būtų lygus 2. Tai akivaizdu, jei laikotės apibrėžimo. Jei pakelsime 3 iki 2 laipsnio, gausime 9.

Taigi suformuluotas apibrėžimas nustato tik vieną apribojimą: skaičiai a ir b turi būti tikri.

Logaritmų tipai

Klasikinis apibrėžimas vadinamas tikruoju logaritmu ir iš tikrųjų yra lygties a x = b sprendimas. Variantas a = 1 yra ribinis ir nėra įdomus. Dėmesio: 1 bet kuriai galiai yra lygus 1.

Tikroji logaritmo vertė apibrėžiamas tik tada, kai bazė ir argumentas yra didesni nei 0, o bazė neturi būti lygi 1.

Ypatinga vieta matematikos srityježaisti logaritmus, kurie bus pavadinti atsižvelgiant į jų bazės dydį:

Taisyklės ir apribojimai

Pagrindinė logaritmų savybė yra taisyklė: sandaugos logaritmas yra lygus logaritminei sumai. log abp = log a(b) + log a(p).

Kaip šio teiginio variantas bus: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), koeficiento funkcija lygi funkcijų skirtumui.

Iš ankstesnių dviejų taisyklių nesunku suprasti, kad: log a(b p) = p * log a(b).

Kitos savybės apima:

komentuoti. Nereikia daryti įprastos klaidos – sumos logaritmas nelygus logaritmų sumai.

Daugelį amžių logaritmo paieškos operacija buvo gana daug laiko reikalaujanti užduotis. Matematikai naudojo gerai žinomą logaritminės daugianario plėtimosi teorijos formulę:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kur n yra didesnis už 1 natūralusis skaičius, kuris lemia skaičiavimo tikslumą.

Logaritmai su kitais pagrindais buvo apskaičiuoti naudojant teoremą apie perėjimą iš vienos bazės į kitą ir sandaugos logaritmo savybę.

Kadangi šis metodas yra labai daug darbo jėgos ir sprendžiant praktines problemas sunkiai įgyvendinamas, naudojome iš anksto sudarytas logaritmų lenteles, kurios gerokai paspartino visą darbą.

Kai kuriais atvejais buvo naudojami specialiai sukurti logaritmų grafikai, kurie davė mažesnį tikslumą, tačiau žymiai pagreitino norimos reikšmės paiešką. Funkcijos y = log a(x) kreivė, sudaryta keliuose taškuose, leidžia naudoti įprastą liniuotę, norint rasti funkcijos reikšmę bet kuriame kitame taške. Ilgą laiką inžinieriai šiems tikslams naudojo vadinamąjį grafinį popierių.

XVII amžiuje atsirado pirmosios pagalbinės analoginio skaičiavimo sąlygos, kurios iki XIX amžiaus įgavo pilną formą. Sėkmingiausias įrenginys buvo vadinamas slydimo taisykle. Nepaisant prietaiso paprastumo, jo išvaizda žymiai paspartino visų inžinerinių skaičiavimų procesą, ir tai sunku pervertinti. Šiuo metu mažai žmonių yra susipažinę su šiuo įrenginiu.

Atsiradus skaičiuotuvams ir kompiuteriams, bet kokių kitų prietaisų naudojimas tapo beprasmis.

Lygtys ir nelygybės

Norint išspręsti įvairias lygtis ir nelygybes naudojant logaritmus, naudojamos šios formulės:

• Perėjimas iš vienos bazės į kitą: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Dėl ankstesnės parinkties: log a(b) = 1 / log b(a).

Norint išspręsti nelygybes, naudinga žinoti:

• Logaritmo reikšmė bus teigiama tik tuo atveju, jei bazė ir argumentas yra didesni arba mažesni už vieną; jei pažeidžiama bent viena sąlyga, logaritmo reikšmė bus neigiama.
• Jei logaritmo funkcija taikoma nelygybės dešinėje ir kairėje pusėje, o logaritmo pagrindas yra didesnis už vienetą, tai nelygybės ženklas išsaugomas; kitaip pasikeičia.

Pavyzdinės problemos

Panagrinėkime keletą logaritmų ir jų savybių naudojimo variantų. Lygčių sprendimo pavyzdžiai:

Apsvarstykite galimybę logaritmą įdėti į laipsnį:

• 3 uždavinys. Apskaičiuokite 25^log 5(3). Sprendimas: problemos sąlygomis įrašas panašus į (5^2)^log5(3) arba 5^(2 * log 5(3)). Parašykime kitaip: 5^log 5(3*2), arba skaičiaus kvadratą kaip funkcijos argumentą galima parašyti kaip pačios funkcijos kvadratą (5^log 5(3))^2. Naudojant logaritmų savybes, ši išraiška yra lygi 3^2. Atsakymas: atlikę skaičiavimus gauname 9.

Praktinis naudojimas

Kadangi logaritmas yra grynai matematinis įrankis, atrodo toli nuo tikrojo gyvenimo, kad logaritmas staiga įgijo didelę reikšmę aprašant objektus realiame pasaulyje. Sunku rasti mokslą, kur jis nebūtų naudojamas. Tai visiškai taikoma ne tik gamtinėms, bet ir humanitarinėms žinių sritims.

Logaritminės priklausomybės

Štai keletas skaitinių priklausomybių pavyzdžių:

Mechanika ir fizika

Istoriškai mechanika ir fizika visada vystėsi naudojant matematinius tyrimo metodus ir tuo pat metu buvo paskata plėtoti matematiką, įskaitant logaritmus. Daugumos fizikos dėsnių teorija parašyta matematikos kalba. Pateiksime tik du fizinių dėsnių apibūdinimo logaritmu pavyzdžius.

Tokio sudėtingo dydžio kaip raketos greitis apskaičiavimo problemą galima išspręsti naudojant Ciolkovskio formulę, kuri padėjo pagrindą kosmoso tyrinėjimo teorijai:

V = I * ln (M1/M2), kur

• V – galutinis orlaivio greitis.
• I – specifinis variklio impulsas.
• M 1 – pradinė raketos masė.
• M 2 – galutinė masė.

Kitas svarbus pavyzdys- tai panaudota kito puikaus mokslininko Maxo Plancko formulėje, kuri skirta termodinamikos pusiausvyros būsenai įvertinti.

S = k * ln (Ω), kur

• S – termodinaminė savybė.
• k – Boltzmanno konstanta.
• Ω yra skirtingų būsenų statistinis svoris.

Chemija

Mažiau akivaizdu, kad chemijoje naudojamos formulės, kuriose yra logaritmų santykis. Pateiksime tik du pavyzdžius:

• Nernsto lygtis, terpės redokso potencialo sąlyga medžiagų aktyvumo ir pusiausvyros konstantos atžvilgiu.
• Tokios konstantos kaip autolizės indeksas ir tirpalo rūgštingumas taip pat negali būti apskaičiuojamos be mūsų funkcijos.

Psichologija ir biologija

Ir visai neaišku, ką su tuo susijusi psichologija. Pasirodo, kad jutimo stiprumą ši funkcija gerai apibūdina kaip atvirkštinį stimulo intensyvumo reikšmės ir mažesnio intensyvumo vertės santykį.

Po minėtų pavyzdžių nebestebina, kad logaritmų tema plačiai naudojama biologijoje. Apie logaritmines spirales atitinkančias biologines formas būtų galima parašyti ištisus tomus.

Kitos sritys

Atrodo, kad pasaulio egzistavimas neįmanomas be ryšio su šia funkcija, ir jis valdo visus dėsnius. Ypač kai gamtos dėsniai siejami su geometrine progresija. Verta užsukti į „MatProfi“ svetainę ir yra daug tokių pavyzdžių šiose veiklos srityse:

Sąrašas gali būti begalinis. Įvaldę pagrindinius šios funkcijos principus, galite pasinerti į begalinės išminties pasaulį.

Pradėkime nuo vieneto logaritmo savybės. Jo formuluotė yra tokia: vienybės logaritmas lygus nuliui, tai yra, log a 1=0 bet kuriam a>0, a≠1. Įrodymas nėra sudėtingas: kadangi a 0 =1 bet kuriai a, tenkinančiai aukščiau nurodytas sąlygas a>0 ir a≠1, tai įrodinėtina lygybė log a 1=0 iš karto išplaukia iš logaritmo apibrėžimo.

Pateiksime nagrinėjamos savybės taikymo pavyzdžius: log 3 1=0, log1=0 ir .

Pereikime prie kitos nuosavybės: skaičiaus, lygaus bazei, logaritmas lygus vienetui, tai yra, log a a=1 jei a>0, a≠1. Iš tiesų, kadangi a 1 =a bet kuriam a, tai pagal logaritmo apibrėžimą log a a = 1.

Šios logaritmų savybės panaudojimo pavyzdžiai yra lygybės log 5 5=1, log 5.6 5.6 ir lne=1.

Pavyzdžiui, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ir .

Dviejų teigiamų skaičių sandaugos logaritmas x ir y yra lygūs šių skaičių logaritmų sandaugai: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Įrodykime sandaugos logaritmo savybę. Dėl laipsnio savybių a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, o kadangi pagal pagrindinę logaritminę tapatybę log a x =x ir log a y =y, tai log a x ·a log a y =x · y. Taigi log a x+log a y =x·y, iš kurio pagal logaritmo apibrėžimą išplaukia įrodoma lygybė.

Parodykime gaminio logaritmo savybės panaudojimo pavyzdžius: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ir .

Produkto logaritmo savybę galima apibendrinti baigtinio skaičiaus n teigiamų skaičių x 1 , x 2 , …, x n sandaugai kaip log a (x 1 · x 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Šią lygybę galima įrodyti be problemų.

Pavyzdžiui, sandaugos natūralusis logaritmas gali būti pakeistas trijų skaičių 4, e ir natūraliųjų logaritmų suma.

Dviejų teigiamų skaičių dalinio logaritmas x ir y yra lygus šių skaičių logaritmų skirtumui. Dalinio logaritmo savybę atitinka formos formulė, kur a>0, a≠1, x ir y yra kai kurie teigiami skaičiai. Šios formulės pagrįstumas įrodytas kaip ir sandaugos logaritmo formulė: kadangi , tada pagal logaritmo apibrėžimą.

Štai šios logaritmo savybės naudojimo pavyzdys: .

Pereikime prie galios logaritmo savybė. Laipsnio logaritmas lygus eksponento sandaugai ir šio laipsnio pagrindo modulio logaritmui. Parašykime šią laipsnio logaritmo savybę kaip formulę: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b ir p yra tokie skaičiai, kad b p laipsnis turi prasmę, o b p >0.

Pirmiausia įrodome šią savybę teigiamam b. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada b p =(a log a b) p , o gauta išraiška dėl galios savybės yra lygi a p·log a b . Taigi gauname lygybę b p =a p·log a b, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą darome išvadą, kad log a b p =p·log a b.

Belieka įrodyti šią savybę neigiamam b. Čia pažymime, kad reiškinys log a b p neigiamam b turi prasmę tik lyginiams eksponentams p (kadangi laipsnio b p reikšmė turi būti didesnė už nulį, antraip logaritmas neturės prasmės), o šiuo atveju b p =|b| p. Tada b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, iš kur log a b p =p·log a |b| .

Pavyzdžiui, ir ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Tai išplaukia iš ankstesnio turto logaritmo savybė nuo šaknies: n-osios šaknies logaritmas yra lygus trupmenos 1/n sandaugai pagal radikalios išraiškos logaritmą, tai yra, , kur a>0, a≠1, n yra natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, b>0.

Įrodymas pagrįstas lygybe (žr.), kuri galioja bet kokiam teigiamam b, ir galios logaritmo savybe: .

Štai šios nuosavybės naudojimo pavyzdys: .

Dabar įrodykime perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė malonus . Tam pakanka įrodyti lygybės log c b=log a b·log c a pagrįstumą. Pagrindinė logaritminė tapatybė leidžia mums pavaizduoti skaičių b kaip log a b , tada log c b=log c a log a b . Belieka naudoti laipsnio logaritmo savybę: log c a log a b =log a b log c a. Tai įrodo lygybę log c b=log a b·log c a, o tai reiškia, kad įrodyta ir perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė.

Parodykime keletą šios logaritmų savybės naudojimo pavyzdžių: ir .

Perėjimo prie naujos bazės formulė leidžia pereiti prie darbo su logaritmais, kurie turi „patogų“ pagrindą. Pavyzdžiui, jį galima naudoti norint pereiti prie natūraliųjų arba dešimtainių logaritmų, kad galėtumėte apskaičiuoti logaritmo reikšmę iš logaritmų lentelės. Perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulė taip pat leidžia kai kuriais atvejais rasti tam tikro logaritmo reikšmę, kai žinomos kai kurių logaritmų su kitomis bazėmis reikšmės.

Dažnai naudojamas specialus perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulės atvejis, kai formos c=b . Tai rodo, kad log a b ir log b a – . Pvz., .

Formulė taip pat dažnai naudojama , kuris patogus ieškant logaritmų reikšmių. Norėdami patvirtinti savo žodžius, parodysime, kaip jį galima naudoti apskaičiuojant formos logaritmo reikšmę. Mes turime . Norėdami įrodyti formulę pakanka naudoti perėjimo prie naujos logaritmo bazės a formulę: .

Belieka įrodyti logaritmų palyginimo savybes.

Įrodykime, kad bet kurių teigiamų skaičių b 1 ir b 2 atveju b 1 log a b 2, o a>1 – nelygybė log a b 1

Galiausiai belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų logaritmų savybių. Apsiribokime jo pirmosios dalies įrodymu, tai yra, įrodysime, kad jei a 1 >1, a 2 >1 ir a 1 1 yra tiesa log a 1 b>log a 2 b . Likusieji šios logaritmų savybės teiginiai įrodomi panašiu principu.

Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad 1 > 1, 2 > 1 ir 1 1 yra tiesa log a 1 b≤log a 2 b . Remiantis logaritmų savybėmis, šias nelygybes galima perrašyti kaip Ir atitinkamai, o iš jų išplaukia, kad atitinkamai log b a 1 ≤log b a 2 ir log b a 1 ≥log b a 2. Tada pagal tų pačių bazių laipsnių savybes turi galioti lygybės b log b a 1 ≥b log b a 2 ir b log b a 1 ≥b log b a 2, tai yra a 1 ≥a 2 . Taigi mes priėjome prietarą sąlygai a 1

Bibliografija.

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Skaičiaus logaritmas N remiantis A vadinamas eksponentu X , prie kurios reikia statyti A norėdami gauti numerį N

Su sąlyga, kad
,
,

Iš logaritmo apibrėžimo išplaukia, kad
, t.y.
- ši lygybė yra pagrindinė logaritminė tapatybė.

Logaritmai iki 10 bazės vadinami dešimtainiais logaritmais. Vietoj
rašyti
.

Logaritmai iki pagrindo e yra vadinami natūraliais ir yra paskirti
.

Pagrindinės logaritmų savybės.

Vieneto logaritmas yra lygus nuliui bet kuriai bazei.

Produkto logaritmas lygus faktorių logaritmų sumai.

3) koeficiento logaritmas lygus logaritmų skirtumui

veiksnys
vadinamas perėjimo iš logaritmų į bazę moduliu a prie logaritmų bazėje b .

Naudojant 2–5 savybes, dažnai galima sumažinti sudėtingos išraiškos logaritmą iki paprastų aritmetinių logaritmų operacijų rezultato.

Pavyzdžiui,

Tokios logaritmo transformacijos vadinamos logaritmais. Transformacijos, atvirkštinės logaritmui, vadinamos potenciacija.

2 skyrius. Aukštosios matematikos elementai.

1. Ribos

Funkcijos riba
yra baigtinis skaičius A, jei, kaip xx 0 už kiekvieną iš anksto nustatytą
, yra toks skaičius
kad kai tik
, Tai
.

Funkcija, turinti ribą, skiriasi nuo jos be galo mažu dydžiu:
, kur- b.m.v., t.y.
.

Pavyzdys. Apsvarstykite funkciją
.

Kai stengiamasi
, funkcija y linkęs į nulį:

1.1. Pagrindinės teoremos apie ribas.

Pastovios vertės riba yra lygi šiai pastoviai vertei

.

Baigtinio skaičiaus funkcijų sumos (skirtumo) riba yra lygi šių funkcijų ribų sumai (skirtumui).

Baigtinio skaičiaus funkcijų sandaugos riba yra lygi šių funkcijų ribų sandaugai.

Dviejų funkcijų koeficiento riba yra lygi šių funkcijų ribų daliniui, jei vardiklio riba nėra lygi nuliui.

Nuostabios ribos

,
, Kur

1.2. Ribų skaičiavimo pavyzdžiai

Tačiau ne visos ribos taip lengvai apskaičiuojamos. Dažniau apskaičiuojant ribą atskleidžiamas tipo neapibrėžtumas: arba .

.

2. Funkcijos išvestinė

Leiskite mums atlikti funkciją
, ištisinis segmente
.

Argumentas šiek tiek padidėjo
. Tada funkcija gaus prieaugį
.

Argumento vertė atitinka funkcijos reikšmę
.

Argumento vertė
atitinka funkcijos reikšmę.

Vadinasi,.

Raskime šio santykio ribą ties
. Jei ši riba egzistuoja, tada ji vadinama duotosios funkcijos išvestine.

3 apibrėžimas Nurodytos funkcijos išvestinė
argumentu vadinama funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumento prieaugis savavališkai linksta į nulį.

Funkcijos išvestinė
gali būti žymimas taip:

; ; ; .

4 apibrėžimas Funkcijos išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.

2.1. Mechaninė vedinio reikšmė.

Panagrinėkime tiesinį kurio nors standaus kūno ar materialaus taško judėjimą.

Leiskite tam tikru momentu judantis taškas
buvo per atstumą nuo pradinės padėties
.

Po tam tikro laiko
ji pasitraukė per atstumą
. Požiūris =- vidutinis materialaus taško greitis
. Atsižvelgdami į tai, suraskime šio santykio ribą
.

Vadinasi, momentinio materialaus taško judėjimo greičio nustatymas sumažinamas iki kelio išvestinės laiko atžvilgiu radimo.

2.2. Išvestinės geometrinė reikšmė

Turėkime grafiškai apibrėžtą funkciją
.

Ryžiai. 1. Geometrinė išvestinės reikšmė

Jeigu
, tada tašką
, judės išilgai kreivės, artėdamas prie taško
.

Vadinasi
, t.y. išvestinės reikšmė tam tikrai argumento reikšmei skaitine prasme lygus kampo, kurį sudaro liestinė tam tikrame taške su teigiama ašies kryptimi, tangentei
.

2.3. Pagrindinių diferenciacijos formulių lentelė.

Maitinimo funkcija

Eksponentinė funkcija

Logaritminė funkcija

Trigonometrinė funkcija

Atvirkštinė trigonometrinė funkcija

2.4. Diferencijavimo taisyklės.

Darinys iš

Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė

Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinė

2.5. Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Tegu funkcija duota
tokia, kad ją būtų galima pavaizduoti formoje

Ir
, kur kintamasis tai yra tarpinis argumentas

Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi duotosios funkcijos išvestinės tarpinio argumento ir tarpinio argumento išvestinei x atžvilgiu.

1 pavyzdys.

2 pavyzdys.

3. Diferencialinė funkcija.

Tebūnie
, skiriasi tam tikru intervalu
Paleisk adresu ši funkcija turi išvestinę

,

tada galėsime rašyti

(1),

Kur - be galo mažas kiekis,

nuo kada

Padauginus visus lygybės (1) narius iš
mes turime:

Kur
- b.m.v. aukštesnė tvarka.

Didumas
vadinamas funkcijos diferencialu
ir yra paskirtas

.

3.1. Diferencialo geometrinė vertė.

Tegu funkcija duota
.

2 pav. Geometrinė diferencialo reikšmė.

.

Akivaizdu, kad funkcijos skirtumas
yra lygus liestinės ordinatės prieaugiui tam tikrame taške.

3.2. Įvairių eilių dariniai ir diferencialai.

Jeigu ten
, Tada
vadinamas pirmuoju dariniu.

Pirmojo vedinio vedinys vadinamas antros eilės vediniu ir rašomas
.

Funkcijos n-osios eilės išvestinė
vadinama (n-1) eilės išvestine ir rašoma:

.

Funkcijos diferencialo diferencialas vadinamas antruoju diferencialu arba antros eilės diferencialu.

.

.

3.3 Biologinių problemų sprendimas naudojant diferenciaciją.

1 užduotis. Tyrimai parodė, kad mikroorganizmų kolonijos augimas paklūsta įstatymui
, Kur N – mikroorganizmų skaičius (tūkst.), t – laikas (dienos).

b) Ar šiuo laikotarpiu kolonijos populiacija padidės ar mažės?

Atsakymas. Kolonijos dydis padidės.

2 užduotis. Ežero vanduo periodiškai tiriamas, siekiant stebėti patogeninių bakterijų kiekį. Per t dienų po tyrimo, bakterijų koncentracija nustatoma pagal santykį

.

Kada ežere bus minimali bakterijų koncentracija ir ar bus galima jame maudytis?

Sprendimas: Funkcija pasiekia max arba min, kai jos išvestinė lygi nuliui.

,

Nustatykime, kad maksimalus arba min. bus po 6 dienų. Norėdami tai padaryti, paimkime antrąją išvestinę.

Atsakymas: Po 6 dienų bus minimali bakterijų koncentracija.

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir žurnalas a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. žurnalas a x+ žurnalas a y=log a (x · y);
2. žurnalas a x− žurnalas a y=log a (x : y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mes turime:

[Paveikslo antraštė]

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Tegu pateikiamas logaritmo žurnalas a x. Tada už bet kokį skaičių c toks kad c> 0 ir c≠ 1, lygybė yra teisinga:

[Paveikslo antraštė]

Visų pirma, jei įdėtume c = x, mes gauname:

[Paveikslo antraštė]

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

[Paveikslo antraštė]

Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

[Paveikslo antraštė]

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

[Paveikslo antraštė]

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumentu stovinčio laipsnio rodikliu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip ji vadinama: pagrindinė logaritminė tapatybė.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei numeris b pakelti iki tokios galios, kad skaičius bšiai galiai suteikia skaičių a? Teisingai: jūs gaunate tą patį numerį a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

[Paveikslo antraštė]

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. žurnalas a a= 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo šio pagrindo yra lygus vienetui.
2. žurnalas a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet koks, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Nes a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.