Kas atrado skaičių Pi? Skaičiavimo istorija. Kas yra skaičius „Pi“ arba kaip prisiekia matematikai? Pi reikšmė fizikoje

Matematikos entuziastai visame pasaulyje kasmet kovo keturioliktąją suvalgo po gabalėlį pyrago – juk tai garsiausio neracionalaus skaičiaus Pi diena. Ši data yra tiesiogiai susijusi su numeriu, kurio pirmieji skaitmenys yra 3,14. Pi yra apskritimo perimetro ir jo skersmens santykis. Kadangi tai neracionalu, neįmanoma jo parašyti kaip trupmeną. Tai be galo ilgas skaičius. Jis buvo atrastas prieš tūkstančius metų ir nuo tada nuolat tiriamas, tačiau ar Pi vis dar turi paslapčių? Nuo senovės iki neaiškios ateities – čia yra keletas įdomiausių faktų apie Pi.

Įsiminė Pi

Dešimtainių skaičių įsiminimo rekordas priklauso Rajvirui Meenai iš Indijos, kuriam pavyko atsiminti 70 000 skaitmenų – rekordą jis pasiekė 2015 metų kovo 21 dieną. Anksčiau rekordininku buvo Chao Lu iš Kinijos, sugebėjęs atsiminti 67 890 skaitmenų – šis rekordas buvo pasiektas 2005 m. Neoficialus rekordininkas yra Akira Haraguchi, kuris 2005 metais užfiksavo save vaizdo įraše, kartodamas 100 000 skaitmenų, ir neseniai paskelbė vaizdo įrašą, kuriame jam pavyksta atsiminti 117 000 skaitmenų. Rekordas taptų oficialus tik tuo atveju, jei šis vaizdo įrašas būtų užfiksuotas dalyvaujant Gineso rekordų knygos atstovui, o be patvirtinimo tai lieka tik įspūdingu faktu, tačiau nelaikomas pasiekimu. Matematikos entuziastai mėgsta įsiminti skaičių Pi. Daugelis žmonių naudoja įvairius mnemoninius metodus, pavyzdžiui, poeziją, kur raidžių skaičius kiekviename žodyje sutampa su Pi skaitmenimis. Kiekviena kalba turi savo panašių frazių versijas, kurios padeda atsiminti ir kelis pirmuosius skaičius, ir visą šimtą.

Yra Pi kalba

Literatūrai aistringi matematikai išrado tarmę, kurioje raidžių skaičius visuose žodžiuose tiksliai atitinka Pi skaitmenis. Rašytojas Mike'as Keithas netgi parašė knygą „Not a Wake“, kuri visiškai parašyta Pi. Tokios kūrybos entuziastai savo darbus rašo visiškai atsižvelgdami į raidžių skaičių ir skaičių reikšmę. Tai neturi praktinio pritaikymo, bet yra gana dažnas ir gerai žinomas reiškinys entuziastingų mokslininkų sluoksniuose.

Eksponentinis augimas

Pi yra begalinis skaičius, todėl pagal apibrėžimą žmonės niekada negalės nustatyti tikslių šio skaičiaus skaitmenų. Tačiau nuo tada, kai pirmą kartą buvo naudojamas Pi, skaičių po kablelio skaičius labai padidėjo. Babiloniečiai taip pat naudojo, bet jiems pakako trupmenos iš trijų sveikų ir vienos aštuntosios. Kinai ir Senojo Testamento kūrėjai visiškai apsiribojo trimis. Iki 1665 m. seras Izaokas Niutonas apskaičiavo 16 Pi skaitmenų. Iki 1719 m. prancūzų matematikas Tomas Fante de Lagny buvo apskaičiavęs 127 skaitmenis. Kompiuterių atsiradimas radikaliai pagerino žmonių žinias apie Pi. Nuo 1949 iki 1967 metų žmogui žinomų skaitmenų skaičius smarkiai išaugo nuo 2 037 iki 500 000. Neseniai Šveicarijos mokslininkas Peteris Truebas sugebėjo apskaičiuoti 2,24 trilijono Pi skaitmenų! Tai užtruko 105 dienas. Žinoma, tai nėra riba. Tikėtina, kad tobulėjant technologijoms pavyks nustatyti dar tikslesnę figūrą – kadangi Pi yra begalinis, tikslumui ribų tiesiog nėra, o riboti gali tik techninės kompiuterinės technikos savybės.

Pi apskaičiavimas rankomis

Jei norite patys susirasti skaičių, galite naudoti senamadišką techniką – jums reikės liniuotės, stiklainio ir šiek tiek virvelės, arba galite naudoti matuoklį ir pieštuką. Skardinės naudojimo trūkumas yra tas, kad ji turi būti apvali, o tikslumą lems tai, kaip gerai žmogus gali apvynioti virvę. Galite nubrėžti apskritimą su transporteriu, tačiau tam taip pat reikia įgūdžių ir tikslumo, nes netolygus apskritimas gali rimtai iškraipyti jūsų matavimus. Tikslesnis metodas apima geometrijos naudojimą. Padalinkite apskritimą į daugybę segmentų, kaip picą į griežinėlius, tada apskaičiuokite tiesios linijos, kuri kiekvieną atkarpą paverstų lygiašoniu trikampiu, ilgį. Kraštinių suma duos apytikslį skaičių Pi. Kuo daugiau segmentų naudosite, tuo tikslesnis skaičius bus. Žinoma, savo skaičiavimuose negalėsite priartėti prie kompiuterio rezultatų, tačiau šie paprasti eksperimentai leidžia išsamiau suprasti, kas yra skaičius Pi ir kaip jis naudojamas matematikoje.

Pi atradimas

Senovės babiloniečiai apie skaičiaus Pi egzistavimą žinojo jau prieš keturis tūkstančius metų. Babilono lentelėse Pi yra 3,125, o Egipto matematinis papirusas rodo skaičių 3,1605. Biblijoje Pi nurodomas pasenusiu uolekčių ilgiu, o graikų matematikas Archimedas panaudojo Pitagoro teoremą, geometrinį ryšį tarp trikampio kraštinių ilgio ir figūrų ploto apskritimų viduje ir išorėje. apibūdinti Pi. Taigi galime drąsiai teigti, kad Pi yra viena iš seniausių matematinių sąvokų, nors tikslus šio skaičiaus pavadinimas pasirodė palyginti neseniai.

Naujas žvilgsnis į Pi

Dar prieš pradedant koreliuoti skaičių Pi su apskritimais, matematikai jau turėjo daugybę būdų net pavadinti šį skaičių. Pavyzdžiui, senovės matematikos vadovėliuose galima rasti frazę lotynų kalba, kurią galima apytiksliai išversti kaip „dydis, rodantis ilgį, kai skersmuo padauginamas iš jo“. Iracionalusis skaičius išgarsėjo, kai šveicarų mokslininkas Leonhardas Euleris jį panaudojo savo trigonometrijos darbe 1737 m. Tačiau graikiškas Pi simbolis vis dar nebuvo naudojamas – taip nutiko tik mažiau žinomo matematiko Williamo Joneso knygoje. Jis jį naudojo jau 1706 m., bet ilgą laiką liko nepastebėtas. Laikui bėgant mokslininkai priėmė šį pavadinimą, o dabar tai yra garsiausia vardo versija, nors anksčiau jis buvo vadinamas Ludolfo numeriu.

Ar Pi yra normalus skaičius?

Pi tikrai keistas skaičius, bet kiek jis atitinka įprastus matematinius dėsnius? Mokslininkai jau išsprendė daug klausimų, susijusių su šiuo neracionaliu skaičiumi, tačiau kai kurios paslaptys išlieka. Pavyzdžiui, nežinoma, kaip dažnai naudojami visi skaičiai – skaičiai nuo 0 iki 9 turėtų būti naudojami lygiomis dalimis. Tačiau statistiką galima atsekti nuo pirmųjų trilijonų skaitmenų, tačiau dėl to, kad skaičius yra begalinis, nieko tiksliai įrodyti neįmanoma. Yra ir kitų problemų, kurių mokslininkai vis dar nepastebi. Gali būti, kad tolesnis mokslo vystymasis padės juos išsiaiškinti, tačiau šiuo metu tai lieka už žmogaus intelekto ribų.

Pi skamba dieviškai

Mokslininkai negali atsakyti į kai kuriuos klausimus apie skaičių Pi, tačiau kiekvienais metais vis geriau supranta jo esmę. Jau XVIII amžiuje buvo įrodytas šio skaičiaus neracionalumas. Be to, įrodyta, kad šis skaičius yra transcendentinis. Tai reiškia, kad nėra konkrečios formulės, leidžiančios apskaičiuoti Pi naudojant racionalius skaičius.

Nepasitenkinimas skaičiumi Pi

Daugelis matematikų yra tiesiog įsimylėję Pi, tačiau yra ir manančių, kad šie skaičiai nėra itin reikšmingi. Be to, jie teigia, kad Tau, kuris yra dvigubai didesnis už Pi, patogiau naudoti kaip neracionalųjį skaičių. Tau rodo ryšį tarp apskritimo ir spindulio, kuris, kai kurių nuomone, yra logiškesnis skaičiavimo metodas. Tačiau šiuo klausimu nieko vienareikšmiškai nustatyti neįmanoma, o vienas ir kitas skaičius visada turės šalininkų, abu metodai turi teisę į gyvybę, todėl tai tik įdomus faktas, o ne priežastis manyti, kad nereikėtų. naudokite skaičių Pi.

Geologijos ir mineralogijos mokslų daktaras, fizinių ir matematikos mokslų kandidatas B. GOROBETS.

Funkcijų grafikai y = arcsin x, atvirkštinė funkcija y = sin x

Funkcijos y = arctan x grafikas, funkcijos y = tan x atvirkštinė.

Normalaus skirstinio funkcija (Gauso skirstinys). Jos grafiko maksimumas atitinka labiausiai tikėtiną atsitiktinio dydžio reikšmę (pavyzdžiui, liniuote išmatuotą objekto ilgį), o kreivės „išplitimo“ laipsnis priklauso nuo parametrų a ir sigma.

Senovės Babilono žyniai apskaičiavo, kad saulės diskas danguje telpa 180 kartų nuo aušros iki saulėlydžio ir įvedė naują matavimo vienetą – laipsnį, lygų jo kampiniam dydžiui.

Gamtinių darinių – smėlio kopų, kalvų ir kalnų – dydis su kiekvienu žingsniu padidėja vidutiniškai 3,14 karto.

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Švytuoklė, siūbuojanti be trinties ir pasipriešinimo, išlaiko pastovią svyravimų amplitudę. Atsparumo atsiradimas lemia eksponentinį virpesių susilpnėjimą.

Labai klampioje terpėje nukreipta švytuoklė eksponentiškai juda link savo pusiausvyros padėties.

Kankorėžių žvynai ir daugelio moliuskų kriauklių garbanos išsidėstę logaritminėmis spiralėmis.

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Mokslas ir gyvenimas // Iliustracijos

Logaritminė spiralė kerta visus spindulius, sklindančius iš taško O tais pačiais kampais.

Tikriausiai bet kuris pretendentas ar studentas, paklaustas, kas yra skaičiai ir e, atsakys: - tai skaičius, lygus apskritimo ir jo skersmens santykiui, o e yra natūraliųjų logaritmų pagrindas. Jei bus paprašyta griežčiau apibrėžti šiuos skaičius ir juos apskaičiuoti, studentai pateiks formules:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183…

(atminkite, kad faktorialas n! =1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(Niutono serija yra paskutinė, yra ir kitų serialų).

Visa tai tiesa, tačiau, kaip žinote, skaičiai ir e yra įtraukti į daugybę matematikos, fizikos, chemijos, biologijos, taip pat ekonomikos formulių. Tai reiškia, kad jie atspindi kai kuriuos bendruosius gamtos dėsnius. Kokios tiksliai? Šių skaičių apibrėžimai serijomis, nepaisant jų teisingumo ir griežtumo, vis tiek palieka nepasitenkinimo jausmą. Jie yra abstraktūs ir per kasdienę patirtį neperteikia aptariamų skaičių ryšio su išoriniu pasauliu. Mokomojoje literatūroje atsakymų į užduotą klausimą rasti nepavyksta.

Tuo tarpu galima teigti, kad konstanta e yra tiesiogiai susijusi su erdvės ir laiko homogeniškumu bei erdvės izotropija. Taigi jie atspindi tvermės dėsnius: skaičius e – energija ir impulsas (momentum), o skaičius – sukimo momentas (momentas). Dažniausiai tokie netikėti teiginiai sukelia nuostabą, nors iš esmės teorinės fizikos požiūriu juose nėra nieko naujo. Šių pasaulio konstantų gilioji prasmė išlieka terra incognita moksleiviams, studentams ir, matyt, net daugumai matematikos ir bendrosios fizikos mokytojų, jau nekalbant apie kitas gamtos mokslų ir ekonomikos sritis.

Pirmaisiais universiteto metais studentus gali gluminti, pavyzdžiui, klausimas: kodėl arktangentas atsiranda integruojant 1/(x 2 +1 tipo) funkcijas, o apskrito trigonometrines arsininio tipo funkcijas, išreiškiančias dydį apskritimo lanko? Kitaip tariant, iš kur integracijos metu „ateina“ apskritimai ir kur jie išnyksta atvirkštinio veiksmo metu – atskiriant arctangentą ir arcsinusą? Mažai tikėtina, kad atitinkamų diferenciacijos ir integravimo formulių išvedimas atsakys į savaime iškeltą klausimą.

Toliau antraisiais universiteto kurse, studijuojant tikimybių teoriją, skaičius atsiranda atsitiktinių dydžių normaliojo skirstinio dėsnio formulėje (žr. „Mokslas ir gyvenimas“ Nr. 2, 1995); iš jo galite, pavyzdžiui, apskaičiuoti tikimybę, su kokia moneta nukris ant herbo bet kokį skaičių kartų, tarkime, 100 metimų. Kur čia ratai? Ar monetos forma tikrai svarbi? Ne, tikimybės formulė yra ta pati kvadratinei monetai. Tiesą sakant, tai nėra lengvi klausimai.

Tačiau skaičiaus e pobūdis naudingas chemijos ir medžiagų mokslo studentams, biologams ir ekonomistams giliau pažinti. Tai padės suprasti radioaktyviųjų elementų skilimo kinetiką, tirpalų prisotinimą, medžiagų susidėvėjimą ir sunaikinimą, mikrobų dauginimąsi, signalų poveikį pojūčiams, kapitalo kaupimo procesus ir kt. – begalinis reiškinių skaičius pasaulyje. gyvoji ir negyvoji gamta bei žmogaus veikla.

Erdvės skaičius ir sferinė simetrija

Pirmiausia suformuluojame pirmąją pagrindinę tezę, o tada paaiškiname jos prasmę ir pasekmes.

1. Skaičius atspindi mūsų Visatos tuščios erdvės savybių izotropiją, jų vienodumą bet kuria kryptimi. Sukimo momento išsaugojimo dėsnis yra susijęs su erdvės izotropija.

Tai veda prie gerai žinomų pasekmių, kurios tiriamos vidurinėje mokykloje.

1 išvada. Apskritimo lanko, išilgai kurio telpa jo spindulys, ilgis yra natūralus lankas ir kampinis vienetas radianas.

Šis įrenginys yra be matmenų. Norėdami rasti radianų skaičių apskritimo lanke, turite išmatuoti jo ilgį ir padalyti iš šio apskritimo spindulio ilgio. Kaip žinome, išilgai viso apskritimo jo spindulys yra maždaug 6,28 karto. Tiksliau, viso apskritimo lanko ilgis yra 2 radianai, o bet kokiose skaičių sistemose ir ilgio vienetuose. Kai buvo išrastas ratas, toks pat buvo ir tarp Amerikos indėnų, ir Azijos klajoklių, ir Afrikos juodaodžių. Tik lanko matavimo vienetai buvo skirtingi ir sutartiniai. Taigi mūsų kampinius ir lanko laipsnius įvedė Babilono žyniai, manę, kad beveik zenite esantis Saulės diskas danguje nuo aušros iki saulėlydžio telpa 180 kartų. 1 laipsnis yra 0,0175 rad arba 1 rad yra 57,3°. Galima teigti, kad hipotetinės ateivių civilizacijos nesunkiai suprastų viena kitą, keisdamosi žinute, kurioje ratas padalintas į šešias dalis „su uodega“; tai reikštų, kad „derybų partneris“ jau bent jau įveikė dviračio išradimo etapą ir žino, koks yra skaičius.

2 išvada. Trigonometrinių funkcijų paskirtis – išreikšti ryšį tarp objektų lanko ir linijinių matmenų, taip pat tarp sferiškai simetriškoje erdvėje vykstančių procesų erdvinių parametrų.

Iš to, kas pasakyta, aišku, kad trigonometrinių funkcijų argumentai iš esmės yra bedimensiniai, kaip ir kitų funkcijų tipų, t.y. tai tikrieji skaičiai – skaičių ašies taškai, kuriems nereikia laipsnio žymėjimo.

Patirtis rodo, kad moksleiviams, kolegijų ir universitetų studentams sunku priprasti prie bedimensinių argumentų už sinusą, tangentą ir tt Ne kiekvienas pretendentas be skaičiuotuvo galės atsakyti į klausimą, koks cos1 (apie 0,5) arba arctg / 3. Paskutinis pavyzdys ypač glumina. Dažnai sakoma, kad tai nesąmonė: „lankas, kurio arctangentas yra 60 o“. Jei tai pasakysime tiksliai, klaida bus neteisėtai taikant laipsnio matą funkcijos argumentui. Ir teisingas atsakymas yra: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Deja, gana dažnai stojantieji ir studentai sako, kad = 180 0, o po to jie turi juos taisyti: dešimtainėje skaičių sistemoje = 3,14…. Bet, žinoma, galime pasakyti, kad radianas yra lygus 180 0.

Panagrinėkime kitą netrivialią situaciją, su kuria susiduriama tikimybių teorijoje. Tai susiję su svarbia atsitiktinės paklaidos tikimybės formule (arba normaliu tikimybių pasiskirstymo dėsniu), kuri apima skaičių. Naudodami šią formulę galite, pavyzdžiui, apskaičiuoti tikimybę, kad moneta nukris ant herbo 50 kartų su 100 metimų. Taigi, iš kur atsirado jame esantis skaičius? Juk ten, atrodo, nesimato nei apskritimai, nei apskritimai. Tačiau esmė ta, kad moneta atsitiktinai krinta į sferiškai simetrišką erdvę, kurios visomis kryptimis reikia vienodai atsižvelgti į atsitiktinius svyravimus. Matematikai tai daro integruodami per apskritimą ir apskaičiuodami vadinamąjį Puasono integralą, kuris yra lygus nurodytai tikimybių formulei ir įtraukiamas į ją. Aiškus tokių svyravimų pavyzdys – šaudymo į taikinį pastoviomis sąlygomis pavyzdys. Skylės ant taikinio yra išsibarsčiusios apskritime (!), kurio tankis didžiausias netoli taikinio centro, o smūgio tikimybę galima apskaičiuoti naudojant tą pačią formulę, kurioje yra skaičius .

Ar skaičius dalyvauja natūraliose struktūrose?

Pabandykime suprasti reiškinius, kurių priežastys toli gražu nėra aiškios, bet kurių, ko gero, taip pat nebuvo be galo daug.

Vidutinis geografas V. V. Piotrovskis palygino vidutinius būdingus natūralių reljefų dydžius šiose serijose: smėlis ant seklumos, kopos, kalvos, Kaukazo kalnų sistemos, Himalajai ir kt. Paaiškėjo, kad vidutinis dydžio padidėjimas yra 3,14. Panašu, kad panašus modelis neseniai buvo aptiktas Mėnulio ir Marso topografijoje. Piotrovskis rašo: „Tektoninės struktūrinės formos, susidarančios žemės plutoje ir jos paviršiuje išreikštos reljefo formomis, išsivysto dėl kai kurių bendrų procesų, vykstančių Žemės kūne; jos yra proporcingos Žemės dydžiui. . Paaiškinkime - jie yra proporcingi jo linijinių ir lanko matmenų santykiui.

Šių reiškinių pagrindas gali būti vadinamasis atsitiktinių eilučių maksimumų pasiskirstymo dėsnis arba „trejų dėsnis“, kurį dar 1927 m. suformulavo E. E. Slutsky.

Statistiškai pagal trijų dėsnį susidaro jūros pakrantės bangos, kurias žinojo senovės graikai. Kas trečia banga yra vidutiniškai šiek tiek aukštesnė už kaimynines. Ir šių trečiųjų maksimumų serijoje kas trečias, savo ruožtu, yra aukštesnis už savo kaimynus. Taip formuojasi garsioji devintoji banga. Jis yra „antrojo rango laikotarpio“ viršūnė. Kai kurie mokslininkai teigia, kad pagal trynukų dėsnį taip pat vyksta saulės, kometų ir meteoritų veiklos svyravimai. Intervalai tarp jų maksimumų yra nuo devynerių iki dvylikos metų arba maždaug 3 2 . Biologijos mokslų daktaro G. Rosenbergo teigimu, toliau konstruoti laiko sekas galime taip. Trečios eilės 3 3 laikotarpis atitinka intervalą tarp didelių sausrų, kuris vidutiniškai yra 27-36 metai; laikotarpis 3 4 - pasaulietinio saulės aktyvumo ciklas (81-108 metai); laikotarpis 3 5 - apledėjimo ciklai (243-324 metai). Sutapimai taps dar geresni, jei nukrypsime nuo „grynųjų“ trynukų dėsnio ir pereisime prie skaičiaus laipsnių. Beje, juos labai lengva suskaičiuoti, nes 2 yra beveik lygus 10 (kartą Indijoje šis skaičius netgi buvo apibrėžtas kaip 10 šaknis). Galima ir toliau derinti geologinių epochų, laikotarpių ir epochų ciklus iki trijų galių (ką konkrečiai daro G. Rosenbergas rinkinyje „Eureka-88“, 1988) arba skaičiais 3.14. Ir jūs visada galite priimti norą mąstymą su skirtingu tikslumu. (Kalbant apie koregavimus, į galvą ateina matematinis pokštas. Įrodykime, kad nelyginiai skaičiai yra pirminiai skaičiai. Paimkite: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ir tt, o 9 čia yra eksperimentinė klaida .) Ir vis dėlto mintis apie neabejotiną skaičiaus p vaidmenį daugelyje geologinių ir biologinių reiškinių, atrodo, nėra visiškai tuščia ir galbūt ji pasireikš ateityje.

Skaičius e ir laiko bei erdvės homogeniškumas

Dabar pereikime prie antrosios didžiosios pasaulio konstantos – skaičiaus e. Matematiškai nepriekaištingas skaičiaus e nustatymas naudojant aukščiau pateiktas eilutes, iš esmės jokiu būdu nepaaiškina jo ryšio su fizikiniais ar kitais gamtos reiškiniais. Kaip kreiptis į šią problemą? Klausimas nelengvas. Galbūt pradėkime nuo standartinio elektromagnetinių bangų sklidimo vakuume reiškinio. (Be to, vakuumą suprasime kaip klasikinę tuščią erdvę, neliesdami sudėtingiausios fizinio vakuumo prigimties.)

Visi žino, kad nenutrūkstamą bangą laike galima apibūdinti sinuso banga arba sinuso ir kosinuso bangų suma. Matematikoje, fizikoje ir elektrotechnikoje tokia banga (kurios amplitudė lygi 1) apibūdinama eksponentine funkcija e iβt =cos βt + isin βt, kur β – harmoninių virpesių dažnis. Čia parašyta viena žinomiausių matematinių formulių – Eulerio formulė. Būtent didžiojo Leonhardo Eulerio (1707–1783) garbei skaičius e buvo pavadintas pagal pirmąją jo pavardės raidę.

Ši formulė yra gerai žinoma studentams, tačiau ją reikia paaiškinti ne matematikos mokyklų studentams, nes sudėtingi skaičiai mūsų laikais yra išbraukti iš įprastų mokyklų programų. Kompleksinis skaičius z = x+iy susideda iš dviejų narių – tikrojo skaičiaus (x) ir įsivaizduojamojo skaičiaus, kuris yra realusis skaičius y, padaugintas iš įsivaizduojamojo vieneto. Tikrieji skaičiai skaičiuojami išilgai tikrosios ašies O x, o įsivaizduojami skaičiai toje pačioje skalėje pagal įsivaizduojamą ašį O y, kurios vienetas yra i, o šio vieneto atkarpos ilgis yra modulis | aš | =1. Todėl kompleksinis skaičius atitinka tašką plokštumoje su koordinatėmis (x, y). Taigi neįprasta skaičiaus e forma su eksponentu, turinčiu tik įsivaizduojamus vienetus i, reiškia tik neslopintų virpesių buvimą, aprašytą kosinusu ir sinusu.

Akivaizdu, kad neslopinama banga rodo, kad yra laikomasi energijos tvermės dėsnio elektromagnetinei bangai vakuume. Ši situacija atsiranda „elastingos“ bangos sąveikos su terpe metu neprarandant jos energijos. Formaliai tai gali būti išreikšta taip: jei perkelsite atskaitos tašką išilgai laiko ašies, bangos energija bus išsaugota, nes harmoninė banga išlaikys tą pačią amplitudę ir dažnį, tai yra energijos vienetus ir tik jos fazė, laikotarpio dalis, nutolusi nuo naujojo atskaitos taško, pasikeis. Tačiau fazė neturi įtakos energijai būtent dėl ​​laiko vienodo, kai atskaitos taškas pasislenka. Taigi lygiagretus koordinačių sistemos perkėlimas (tai vadinamas vertimu) yra teisėtas dėl laiko t homogeniškumo. Dabar tikriausiai iš principo aišku, kodėl homogeniškumas laike lemia energijos tvermės dėsnį.

Toliau įsivaizduokime bangą ne laike, o erdvėje. Geras to pavyzdys – stovi banga (keliuose mazguose nejudančios stygos virpesiai) arba pakrantės smėlio bangavimas. Matematiškai ši banga išilgai O x ašies bus parašyta kaip e ix = cos x + isin x. Akivaizdu, kad šiuo atveju vertimas išilgai x nepakeis nei kosinuso, nei sinusoido, jei erdvė išilgai šios ašies yra vienalytė. Vėl pasikeis tik jų fazė. Iš teorinės fizikos žinoma, kad erdvės homogeniškumas lemia impulso (impulso), tai yra masės, padaugintos iš greičio, išsaugojimo dėsnį. Tegul erdvė dabar yra vienalytė laike (ir tenkinamas energijos tvermės dėsnis), bet nehomogeniška koordinatėje. Tada skirtinguose nehomogeninės erdvės taškuose greitis taip pat būtų skirtingas, nes vienalyčio laiko vienetui būtų skirtingos atkarpų, kurias per sekundę dengia tam tikros masės dalelė (arba banga su tam tikrą pagreitį).

Taigi, galime suformuluoti antrąją pagrindinę tezę:

2. Skaičius e kaip kompleksinio kintamojo funkcijos pagrindas atspindi du pagrindinius tvermės dėsnius: energija – per laiko homogeniškumą, impulsas – per erdvės vienalytiškumą.

Ir vis dėlto, kodėl būtent skaičius e, o ne koks nors kitas, buvo įtrauktas į Eulerio formulę ir pasirodė esąs banginės funkcijos pagrindas? Pasiliekant mokykliniuose matematikos ir fizikos kursuose, atsakyti į šį klausimą nėra lengva. Autorius šią problemą aptarė su teoretiku, fizinių ir matematikos mokslų daktaru V.D.Efrosu, o mes bandėme situaciją paaiškinti taip.

Svarbiausia procesų klasė – tiesiniai ir tiesiniai procesai – išlaiko savo tiesiškumą būtent dėl ​​erdvės ir laiko homogeniškumo. Matematiškai tiesinis procesas apibūdinamas funkcija, kuri tarnauja kaip diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimas (šio tipo lygtys tiriamos pirmame ir antrame universitetų ir kolegijų kurse). Ir jo esmė yra aukščiau pateikta Eulerio formulė. Taigi sprendime yra sudėtinga funkcija su baze e, kaip ir bangos lygtis. Be to, tai yra e, o ne kitas skaičius laipsnio bazėje! Nes tik funkcija ex nesikeičia bet kokiam diferenciacijų ir integracijų skaičiui. Ir todėl, pakeitus pradinę lygtį, tik sprendinys su baze e suteiks tapatybę, kaip turėtų teisingas sprendimas.

Dabar užrašykime diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimą, kuris apibūdina harmoninės bangos sklidimą terpėje, atsižvelgiant į neelastingą sąveiką su ja, dėl kurios išsisklaido energija arba gaunama energija iš išorinių šaltinių:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Matome, kad Eilerio formulė padauginta iš tikrojo kintamojo e αt, tai yra bangos amplitudė, kintanti laikui bėgant. Aukščiau, dėl paprastumo, manėme, kad jis yra pastovus ir lygus 1. Tai galima padaryti neslopintų harmoninių virpesių atveju, kai α = 0. Bendruoju bet kurios bangos atveju amplitudės elgsena priklauso nuo ženklo koeficiento a su kintamuoju t (laikas): jei α > 0, virpesių amplitudė didėja, jei α< 0, затухает по экспоненте.

Galbūt paskutinė pastraipa yra sunki daugelio įprastų mokyklų absolventams. Tačiau tai turėtų būti suprantama universitetų ir kolegijų studentams, kurie kruopščiai studijuoja diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais.

Dabar nustatykime β = 0, tai yra, sprendime, kuriame yra Eulerio formulė, sunaikinsime virpesių koeficientą su skaičiumi i. Iš buvusių svyravimų liks tik ta „amplitudė“, kuri eksponentiškai mažėja (arba auga).

Norėdami iliustruoti abu atvejus, įsivaizduokite švytuoklę. Tuščioje erdvėje jis svyruoja neslopindamas. Erdvėje, kurioje yra varžinė terpė, svyravimai vyksta su eksponentiniu amplitudės mažėjimu. Jei nukreipsite ne per masyvią švytuoklę pakankamai klampioje terpėje, ji sklandžiai judės link pusiausvyros padėties, vis labiau sulėtindama.

Taigi iš 2 tezės galime padaryti tokią išvadą:

1 išvada. Nesant įsivaizduojamos, grynai vibracinės funkcijos f(t) dalies, kai β = 0 (ty nuliniu dažniu), tikroji eksponentinės funkcijos dalis apibūdina daugelį natūralių procesų, kurie vyksta pagal pagrindinį principą. : vertės padidėjimas proporcingas pačiai vertei .

Suformuluotas principas matematiškai atrodo taip: ∆I ~ I∆t, kur, tarkime, I yra signalas, o ∆t yra mažas laiko intervalas, per kurį signalas ∆I didėja. Abi lygybės puses padaliję iš I ir integruodami, gauname lnI ~ kt. Arba: I ~ e kt - signalo eksponentinio didėjimo arba mažėjimo dėsnis (priklausomai nuo k ženklo). Taigi, reikšmės padidėjimo proporcingumo pačiai vertei dėsnis veda į natūralų logaritmą, taigi ir į skaičių e. (Ir čia tai parodyta tokia forma, kuri prieinama aukštųjų mokyklų studentams, išmanantiems integracijos elementus.)

Daugelis procesų vyksta eksponentiškai su pagrįstu argumentu, be jokių dvejonių, fizikoje, chemijoje, biologijoje, ekologijoje, ekonomikoje ir kt. Ypač atkreipiame dėmesį į universalų psichofizinį Weberio - Fechnerio dėsnį (dėl tam tikrų priežasčių ignoruojamas mokyklų ir universitetų švietimo programose) . Jame rašoma: „Pojūčio stiprumas yra proporcingas stimuliacijos stiprumo logaritmui“.

Regėjimui, klausai, uoslei, lytėjimui, skoniui, emocijoms ir atminčiai galioja šis dėsnis (natūralu, kol fiziologiniai procesai staiga nevirsta patologiniais, kai receptoriai yra modifikuoti arba sunaikinami). Pagal įstatymą: 1) nedidelis dirginimo signalo padidėjimas bet kuriuo intervalu atitinka linijinį jutimo stiprumo padidėjimą (su pliusu arba minusu); 2) silpnų dirginimo signalų srityje jutimo stiprumo padidėjimas yra daug staigesnis nei stiprių signalų srityje. Paimkime arbatą kaip pavyzdį: stiklinė arbatos su dviem gabalėliais cukraus suvokiama dvigubai saldesnė nei arbata su vienu gabalėliu cukraus; bet vargu ar arbata su 20 gabalėlių cukraus atrodys pastebimai saldesnė nei su 10 gabalėlių. Biologinių receptorių dinaminis diapazonas yra milžiniškas: akies gaunami signalai gali skirtis ~ 10 10, o ausies - ~ 10 12 kartų. Laukinė gamta prisitaikė prie tokių diapazonų. Jis apsisaugo, imdamas logaritmą (biologiniu apribojimu) gaunamų dirgiklių, kitaip receptoriai žūtų. Plačiai naudojama logaritminė (decibelinė) garso intensyvumo skalė paremta Weber-Fechner dėsniu, pagal kurį veikia garso aparatūros garsumo valdikliai: jų poslinkis proporcingas suvokiamam garsui, bet ne garso intensyvumui! (Pojūtis proporcingas lg/ 0. Girdimumo slenkstis imamas p 0 = 10 -12 J/m 2 s. Ties slenksčiu turime lg1 = 0. Garso stiprumo (slėgio) padidėjimas 10 kartų apytiksliai atitinka šnabždesio pojūtį, kuris yra 1 belliu virš slenksčio logaritminėje skalėje Garso sustiprinimas milijoną kartų nuo šnabždesio iki riksmo (iki 10 -5 J/m 2 s) logaritmine skale yra padidinimas 6 eilėmis arba 6 Bel.)

Tikriausiai toks principas yra optimaliai ekonomiškas daugelio organizmų vystymuisi. Tai galima aiškiai pastebėti formuojant logaritmines spirales moliuskų kiautuose, sėklų eiles saulėgrąžų krepšelyje ir žvynus spurguose. Atstumas nuo centro didėja pagal dėsnį r = ae kj. Kiekvieną akimirką augimo greitis yra tiesiškai proporcingas pačiam šiam atstumui (ką nesunku pastebėti, jei paimtume parašytos funkcijos išvestinę). Besisukančių peilių ir pjaustytuvų profiliai pagaminti logaritmine spirale.

2 išvada. Tai, kad diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendime yra tik įsivaizduojama funkcijos dalis ties α = 0, β 0, apibūdina įvairius tiesinius ir tiesinius procesus, kuriuose vyksta neslopinami harmoniniai virpesiai.

Ši išvada sugrąžina mus prie modelio, jau aptarto aukščiau.

3 išvada.Įgyvendinant 2 išvadą, vienoje skaičių formulėje yra „uždarymas“ ir e per Eulerio istorinę formulę pradine forma e i = -1.

Tokia forma Euleris pirmą kartą paskelbė savo eksponentą su įsivaizduojamu eksponentu. Ją nesunku išreikšti per kosinusą ir sinusą kairėje pusėje. Tada šios formulės geometrinis modelis bus judėjimas apskritime, kurio greičio konstanta absoliučia verte, kuri yra dviejų harmoninių virpesių suma. Pagal fizikinę esmę formulė ir jos modelis atspindi visas tris pagrindines erdvėlaikio savybes – jų homogeniškumą ir izotropiją, taigi ir visus tris išsaugojimo dėsnius.

Išvada

Tezė apie išsaugojimo dėsnių ryšį su laiko ir erdvės homogeniškumu neabejotinai teisinga klasikinės fizikos euklido erdvei ir bendrojoje reliatyvumo teorijoje (GR, kur laikas yra ketvirtoji koordinatė) pseudoeuklido Minkovskio erdvei. Tačiau bendrosios reliatyvumo teorijos rėmuose kyla natūralus klausimas: kokia padėtis didžiulių gravitacinių laukų regionuose, šalia singuliarumo, ypač prie juodųjų skylių? Fizikų nuomonės čia skiriasi: dauguma mano, kad šiomis ekstremaliomis sąlygomis šie pagrindiniai principai išlieka teisingi. Tačiau yra ir kitų autoritetingų tyrinėtojų požiūrių. Abu dirba kurdami naują kvantinės gravitacijos teoriją.

Norėdami trumpai įsivaizduoti, kokios problemos čia iškyla, pacituokime fiziko teorinio akademiko A. A. Logunovo žodžius: „Tai (Minkovskio erdvė. - Automatinis.) atspindi visoms materijos formoms būdingas savybes. Taip užtikrinamas vieningų fizikinių charakteristikų egzistavimas – energija, impulsas, kampinis momentas, energijos tvermės dėsniai, impulsas. Tačiau Einšteinas tvirtino, kad tai įmanoma tik esant vienai sąlygai – nesant gravitacijos<...>. Iš šio Einšteino teiginio išplaukė, kad erdvėlaikis tampa ne pseudoeuklido, o daug sudėtingesnė geometrija – Riemanniška. Pastaroji nebėra vienalytė. Jis keičiasi nuo taško iki taško. Atsiranda erdvės kreivumo savybė. Jame išnyksta ir tiksli išsaugojimo dėsnių formuluotė, kokia buvo priimta klasikinėje fizikoje.<...>Griežtai kalbant, bendrojoje reliatyvumo teorijoje iš principo neįmanoma įvesti energijos tvermės – impulso dėsnių, jų negalima suformuluoti“ (žr. „Mokslas ir gyvenimas“ Nr. 2, 3, 1987).

Pagrindinės mūsų pasaulio konstantos, apie kurių prigimtį kalbėjome, žinomos ne tik fizikai, bet ir lyrikai. Taigi neracionalus skaičius, lygus 3,14159265358979323846..., įkvėpė iškilų dvidešimtojo amžiaus lenkų poetę, 1996 m. Nobelio premijos laureatą Wisławą Szymborską sukurti poemą „Pi“ su citata, kuria baigsime šias pastabas:

Susižavėjimo vertas skaičius:
Trys kableliai vienas keturi vienas.
Kiekvienas skaičius suteikia jausmą
pradžia - penki devyni du,
nes niekada nepasieksi pabaigos.
Negalite iš pirmo žvilgsnio suvokti visų skaičių -
šeši penki trys penki.
Aritmetiniai veiksmai -
aštuoni devyni -
nebeužtenka ir sunku patikėti -
septyni devyni -
kad tu negali išsisukti - trys du trys
aštuoni -
nei neegzistuojančios lygties,
ne juokingas palyginimas -
tu negali jų suskaičiuoti.
Eikime toliau: keturi šeši...
(Vertimas iš lenkų kalbos – B. G.)

Kam lygus Pi?žinome ir prisimename iš mokyklos laikų. Jis lygus 3,1415926 ir taip toliau... Paprastam žmogui pakanka žinoti, kad šis skaičius gaunamas padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens. Tačiau daugelis žino, kad skaičius Pi atsiranda netikėtose ne tik matematikos ir geometrijos, bet ir fizikos srityse. Na, o jei pasigilinsite į šio skaičiaus prigimties detales, tarp nesibaigiančių skaičių serijų pastebėsite daug stebinančių dalykų. Ar gali būti, kad Pi slepia giliausias visatos paslaptis?

Begalinis skaičius

Pats skaičius Pi mūsų pasaulyje pasirodo kaip apskritimo, kurio skersmuo lygus vienetui, ilgis. Tačiau, nepaisant to, kad atkarpa, lygi Pi yra gana baigtinė, skaičius Pi prasideda kaip 3,1415926 ir eina iki begalybės skaičių eilučių, kurios niekada nesikartoja. Pirmas stebinantis faktas yra tas, kad šis skaičius, naudojamas geometrijoje, negali būti išreikštas sveikųjų skaičių dalimi. Kitaip tariant, negalite jo parašyti kaip dviejų skaičių a/b santykio. Be to, skaičius Pi yra transcendentinis. Tai reiškia, kad nėra lygties (polinomo) su sveikųjų skaičių koeficientais, kurių sprendimas būtų skaičius Pi.

Tai, kad skaičius Pi yra transcendentinis, 1882 metais įrodė vokiečių matematikas von Lindemannas. Būtent šis įrodymas tapo atsakymu į klausimą, ar galima naudojant kompasą ir liniuotę nubrėžti kvadratą, kurio plotas lygus tam tikro apskritimo plotui. Ši problema žinoma kaip apskritimo kvadratūros paieška, kuri žmonijai rūpi nuo seno. Atrodė, kad ši problema turi paprastą sprendimą ir netrukus bus išspręsta. Bet kaip tik nesuprantama skaičiaus Pi savybė parodė, kad apskritimo kvadratūros problemos sprendimo nėra.

Mažiausiai keturis su puse tūkstantmečio žmonija bandė gauti vis tikslesnę Pi vertę. Pavyzdžiui, Biblijoje Trečiojoje Karalių knygoje (7:23) skaičius Pi laikomas 3.

Nepaprasto tikslumo Pi reikšmę galima rasti Gizos piramidėse: piramidžių perimetro ir aukščio santykis yra 22/7. Ši trupmena duoda apytikslę Pi reikšmę, lygią 3,142... Nebent, žinoma, egiptiečiai šį santykį nustatė atsitiktinai. Ta pati reikšmė jau buvo gauta apskaičiavus Pi skaičių III amžiuje prieš Kristų, kurį atliko didysis Archimedas.

Ahmeso papiruse, senovės Egipto matematikos vadovėlyje, kuris datuojamas 1650 m. pr. Kr., Pi yra skaičiuojamas kaip 3,160493827.

Senovės indų tekstuose maždaug 9 amžiuje prieš Kristų tiksliausią reikšmę išreiškė skaičius 339/108, kuris buvo lygus 3,1388...

Beveik du tūkstančius metų po Archimedo žmonės bandė rasti būdų, kaip apskaičiuoti Pi. Tarp jų buvo ir žinomų, ir nežinomų matematikų. Pavyzdžiui, romėnų architektas Markas Vitruvijus Pollio, egiptiečių astronomas Klaudijus Ptolemėjus, kinų matematikas Liu Hui, indų išminčius Aryabhata, viduramžių matematikas Leonardo iš Pizos, žinomas kaip Fibonačis, arabų mokslininkas Al-Khwarizmi, iš kurio vardo kilęs žodis. pasirodė „algoritmas“. Visi jie ir daugelis kitų žmonių ieškojo tiksliausių Pi apskaičiavimo metodų, tačiau iki XV amžiaus dėl skaičiavimų sudėtingumo niekada negaudavo daugiau nei 10 skaitmenų po kablelio.

Galiausiai, 1400 m., indų matematikas Madhava iš Sangamagramos apskaičiavo Pi 13 skaitmenų tikslumu (nors paskutiniuose dviejuose jis vis tiek klydo).

Ženklų skaičius

XVII amžiuje Leibnicas ir Niutonas atrado be galo mažų dydžių analizę, kuri leido apskaičiuoti Pi progresyviau – per laipsnių eilutes ir integralus. Pats Niutonas skaičiavo 16 skaitmenų po kablelio, tačiau savo knygose to nepaminėjo – tai tapo žinoma po jo mirties. Niutonas tvirtino, kad Pi apskaičiavo grynai iš nuobodulio.

Maždaug tuo pačiu metu pasirodė ir kiti mažiau žinomi matematikai ir pasiūlė naujas formules, kaip apskaičiuoti skaičių Pi naudojant trigonometrines funkcijas.

Pavyzdžiui, astronomijos mokytojas Johnas Machinas 1706 m. naudojo tokią formulę Pi apskaičiavimui: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Naudodamas analitinius metodus, Machinas iš šios formulės išvedė skaičių Pi šimto skaitmenų po kablelio tikslumu.

Beje, tais pačiais 1706 m. skaičius Pi gavo oficialų pavadinimą graikiškos raidės pavidalu: Williamas Jonesas naudojo jį savo matematikos darbe, paimdamas pirmąją graikiško žodžio „periferija“, reiškiančio „apskritimą“, raidę. . Didysis Leonhardas Euleris, gimęs 1707 m., išpopuliarino šį pavadinimą, dabar žinomą bet kuriam moksleiviui.

Prieš kompiuterių erą matematikai sutelkė dėmesį į kuo daugiau ženklų skaičiavimą. Šiuo atžvilgiu kartais iškildavo juokingų dalykų. Matematikas mėgėjas W. Shanksas 1875 metais apskaičiavo 707 Pi skaitmenis. Šie septyni šimtai ženklų buvo įamžinti Paryžiaus Atradimų rūmų sienoje 1937 m. Tačiau po devynerių metų pastabūs matematikai išsiaiškino, kad teisingai apskaičiuoti tik pirmieji 527 simboliai. Kad ištaisytų klaidą, muziejus turėjo patirti nemažų išlaidų – dabar visi skaičiai teisingi.

Kai pasirodė kompiuteriai, Pi skaitmenų skaičius buvo pradėtas skaičiuoti visiškai neįsivaizduojama tvarka.

Vienas pirmųjų elektroninių kompiuterių ENIAC, sukurtas 1946 m., buvo milžiniško dydžio ir generavo tiek šilumos, kad kambarys sušilo iki 50 laipsnių Celsijaus, suskaičiavo pirmuosius 2037 Pi skaitmenis. Šis skaičiavimas užtruko 70 valandų.

Tobulėjant kompiuteriams, mūsų žinios apie Pi vis labiau judėjo į begalybę. 1958 metais buvo suskaičiuota 10 tūkstančių skaičiaus skaitmenų. 1987 metais japonai suskaičiavo 10 013 395 simbolius. 2011 metais japonų tyrinėtojas Shigeru Hondo viršijo 10 trilijonų simbolių ribą.

Kur dar galima sutikti Pi?

Taigi, dažnai mūsų žinios apie skaičių Pi lieka mokyklinio lygio, ir mes tikrai žinome, kad šis skaičius yra nepakeičiamas pirmiausia geometrijoje.

Be apskritimo ilgio ir ploto formulių, skaičius Pi naudojamas elipsių, rutulių, kūgių, cilindrų, elipsoidų ir tt formulėse: kai kuriose vietose formulės yra paprastos ir lengvai įsimenamos, tačiau kitose juose yra labai sudėtingų integralų.

Tada skaičių Pi galime sutikti matematinėse formulėse, kur iš pirmo žvilgsnio geometrijos nesimato. Pavyzdžiui, neapibrėžtas integralas 1/(1-x^2) yra lygus Pi.

Pi dažnai naudojamas serijų analizėje. Pavyzdžiui, čia yra paprasta serija, kuri susilieja su Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Tarp serijų Pi pasirodo labiausiai netikėtai garsiojoje Riemann zeta funkcijoje. Trumpai apie tai kalbėti neįmanoma, tarkime, kad kada nors skaičius Pi padės rasti pirminių skaičių skaičiavimo formulę.

Ir visiškai stebėtina: Pi yra dviejose gražiausiose „karališkose“ matematikos formulėse – Stirlingo formulėje (kuri padeda rasti apytikslę faktorialo ir gama funkcijos reikšmę) ir Eulerio formulėje (kuri jungia net penkias matematines konstantas).

Tačiau tikimybių teorijos matematikų laukė netikėčiausias atradimas. Skaičius Pi taip pat yra.

Pavyzdžiui, tikimybė, kad du skaičiai bus santykinai pirminiai, yra 6/PI^2.

Pi atsiranda XVIII amžiuje suformuluotoje Buffono adatos metimo problemoje: kokia tikimybė, kad adata, užmesta ant brūkšniuoto popieriaus lapo, kirs vieną iš linijų. Jei adatos ilgis L, o atstumas tarp eilučių yra L, o r > L, tai Pi reikšmę galime apytiksliai apskaičiuoti naudodami tikimybės formulę 2L/rPI. Įsivaizduokite – Pi galime gauti iš atsitiktinių įvykių. Ir, beje, Pi yra normaliame tikimybių skirstinyje, pasirodo garsiosios Gauso kreivės lygtyje. Ar tai reiškia, kad Pi yra dar svarbesnis nei tiesiog apskritimo ir skersmens santykis?

Pi galime sutikti ir fizikoje. Pi atsiranda Kulono dėsnyje, apibūdinančiame dviejų krūvių sąveikos jėgą, trečiajame Keplerio dėsnyje, kuris parodo planetos apsisukimo aplink Saulę periodą ir netgi pasirodo vandenilio atomo elektronų orbitalių išdėstyme. Ir vėl neįtikėtiniausia yra tai, kad skaičius Pi yra paslėptas Heisenbergo neapibrėžtumo principo formulėje – pagrindiniame kvantinės fizikos dėsnyje.

Pi paslaptys

Carlo Sagano romane „Kontaktas“, kurio pagrindu sukurtas to paties pavadinimo filmas, ateiviai pasakoja herojei, kad tarp Pi ženklų yra slapta Dievo žinia. Iš tam tikros padėties skaičiai nustoja būti atsitiktiniai ir reiškia kodą, kuriame surašytos visos Visatos paslaptys.

Šis romanas iš tikrųjų atspindėjo viso pasaulio matematikų mintis užvaldžiusią paslaptį: ar Pi yra normalus skaičius, kuriame skaitmenys išsibarstę vienodu dažniu, ar su šiuo skaičiumi kažkas negerai? Ir nors mokslininkai yra linkę į pirmąjį variantą (bet negali to įrodyti), skaičius Pi atrodo labai paslaptingai. Japonas kartą apskaičiavo, kiek kartų pirmajame trilijone Pi skaitmenų yra skaičiai nuo 0 iki 9. Ir pamačiau, kad skaičiai 2, 4 ir 8 buvo labiau paplitę nei kiti. Tai gali būti viena iš užuominų, kad Pi nėra visiškai normalus, o skaičiai jame iš tiesų nėra atsitiktiniai.

Prisiminkime viską, ką skaitėme aukščiau, ir paklauskime savęs, koks kitas neracionalus ir transcendentinis skaičius taip dažnai randamas realiame pasaulyje?

Ir dar daugiau keistenybių. Pavyzdžiui, pirmųjų dvidešimties Pi skaitmenų suma yra 20, o pirmųjų 144 skaitmenų suma yra lygi „žvėries skaičiui“ 666.

Pagrindinis amerikiečių serialo „Įtariamasis“ veikėjas profesorius Finchas studentams pasakojo, kad dėl skaičiaus Pi begalybės jame galima rasti bet kokią skaičių kombinaciją, pradedant nuo jūsų gimimo datos skaičių iki sudėtingesnių skaičių. . Pavyzdžiui, 762 padėtyje yra šešių devynerių seka. Ši pozicija vadinama Feynmano tašku garsaus fiziko, pastebėjusio šį įdomų derinį, vardu.

Taip pat žinome, kad skaičiuje Pi yra seka 0123456789, tačiau jis yra ties 17 387 594 880 skaitmeniu.

Visa tai reiškia, kad skaičiaus Pi begalybėje galima rasti ne tik įdomių skaičių kombinacijų, bet ir užkoduotą „Karo ir taikos“ tekstą, Bibliją ir net pagrindinę Visatos paslaptį, jei tokia yra.

Beje, apie Bibliją. Garsusis matematikos populiarintojas Martinas Gardneris 1966 metais pareiškė, kad milijoninis Pi skaitmuo (tuo metu dar nežinomas) bus skaičius 5. Savo skaičiavimus jis paaiškino tuo, kad angliškoje Biblijos versijoje, 3 a. knyga, 14 skyrius, 16 eilučių (3-14-16) septintame žodyje yra penkios raidės. Milijonas skaičius buvo pasiektas po aštuonerių metų. Tai buvo numeris penktas.

Ar verta po to teigti, kad skaičius Pi yra atsitiktinis?

Daugelį amžių ir net, kaip bebūtų keista, tūkstantmečius žmonės suprato matematinės konstantos, lygios apskritimo perimetro ir jo skersmens santykiui, svarbą ir vertę mokslui. skaičius Pi vis dar nežinomas, bet su juo buvo susiję geriausi matematikai per visą mūsų istoriją. Dauguma jų norėjo tai išreikšti kaip racionalų skaičių.

1. Tyrėjai ir tikri skaičiaus Pi gerbėjai subūrė klubą, į kurį norint prisijungti reikia mintinai žinoti gana daug jo ženklų.

2. Nuo 1988 metų švenčiama „Pi diena“, kuri patenka į kovo 14 d. Su jo atvaizdu ruošia salotas, pyragus, sausainius, pyragus.

3. Skaičius Pi jau įjungtas į muziką ir skamba visai neblogai. Jam netgi buvo pastatytas paminklas Sietle, Amerikoje, priešais miesto meno muziejų.

Tuo tolimu metu jie bandė apskaičiuoti skaičių Pi naudodami geometriją. Tai, kad šis skaičius yra pastovus įvairiems apskritimams, žinojo Senovės Egipto, Babilono, Indijos ir Senovės Graikijos geometrai, savo darbuose teigę, kad tai tik šiek tiek daugiau nei trys.

Vienoje iš šventųjų džainizmo knygų (senovės Indijos religija, atsiradusi VI a. pr. Kr.) minima, kad tuomet skaičius Pi buvo laikomas lygiu dešimties kvadratinei šaknims, kas galiausiai duoda 3,162... .

Senovės Graikijos matematikai apskritimą matavo statydami atkarpą, tačiau norėdami išmatuoti apskritimą, turėjo sukonstruoti lygų kvadratą, tai yra, jam ploto figūrą.

Kai dešimtainės trupmenos dar nebuvo žinomos, didysis Archimedas Pi reikšmę nustatė 99,9% tikslumu. Jis atrado metodą, kuris tapo daugelio vėlesnių skaičiavimų pagrindu, nubrėždamas taisyklingus daugiakampius apskritime ir apibūdindamas jį aplink jį. Dėl to Archimedas apskaičiavo Pi reikšmę kaip santykį 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Kinijoje matematikas ir teismo astronomas Zu Chongzhi V amžiuje prieš Kristų. e. nustatė tikslesnę Pi reikšmę, apskaičiuodamas ją septynių skaičių po kablelio tikslumu ir nustatė jos reikšmę tarp skaičių 3, 1415926 ir 3,1415927. Mokslininkams prireikė daugiau nei 900 metų, kad tęstų šią skaitmeninę seriją.

Viduramžiai

Garsus indų mokslininkas Madhava, gyvenęs XIV – XV amžių sandūroje ir tapęs Keralos astronomijos ir matematikos mokyklos įkūrėju, pirmą kartą istorijoje ėmėsi trigonometrinių funkcijų išplėtimo į serijas. Tiesa, išlikę tik du jo darbai, o kitiems žinomos tik nuorodos ir citatos iš jo mokinių. Moksliniame traktate „Mahajyanayana“, kuris priskiriamas Madhavai, teigiama, kad skaičius Pi yra 3,14159265359. O traktate „Sadratnamala“ skaičius pateikiamas dar tikslesniais skaičiais po kablelio: 3.14159265358979324. Nurodytų skaičių paskutiniai skaitmenys neatitinka teisingos reikšmės.

XV amžiuje Samarkando matematikas ir astronomas Al-Kashi apskaičiavo skaičių Pi su šešiolikos skaitmenų po kablelio. Jo rezultatas buvo laikomas tiksliausiu per ateinančius 250 metų.

W. Johnsonas, matematikas iš Anglijos, vienas pirmųjų apskritimo perimetro ir skersmens santykį pažymėjo raide π. Pi yra pirmoji graikiško žodžio „περιφέρεια“ raidė – apskritimas. Tačiau šis pavadinimas tapo visuotinai priimtas tik po to, kai 1736 m. jį panaudojo žymesnis mokslininkas L. Euleris.

Išvada

Šiuolaikiniai mokslininkai toliau dirba toliau skaičiuodami Pi vertes. Tam jau naudojami superkompiuteriai. 2011 m. mokslininkas iš Shigeru Kondo, bendradarbiaudamas su amerikiečiu studentu Alexanderiu Yi, teisingai apskaičiavo 10 trilijonų skaitmenų seką. Tačiau vis dar neaišku, kas atrado skaičių Pi, kas pirmasis pagalvojo apie šią problemą ir atliko pirmuosius šio tikrai mistiško skaičiaus skaičiavimus.

Studijuoja Pi skaičiai prasideda pradinėse klasėse, kai mokiniai sužino apie apskritimą, apskritimą ir Pi reikšmę. Kadangi Pi reikšmė yra konstanta, reiškianti paties apskritimo ilgio ir tam tikro apskritimo skersmens ilgio santykį. Pavyzdžiui, jei paimsime apskritimą, kurio skersmuo lygus vienetui, tai jo ilgis lygus Pi skaičius. Šios Pi reikšmės matematinis tęsinys yra begalinis, tačiau yra ir visuotinai priimtas pavadinimas. Jis kilęs iš supaprastintos Pi reikšmės rašybos, atrodo kaip 3.14.

Istorinis Pi gimimas

Skaičius Pi tariamai kilo Senovės Egipte. Nuo senovės Egipto mokslininkai apskaičiavo apskritimo plotą naudodami skersmenį D, kurio vertė buvo D - D/92. Tai atitiko 16/92 arba 256/81, o tai reiškia, kad Pi yra 3,160.
Indija šeštajame amžiuje prieš Kristų taip pat palietė skaičių Pi, džainizmo religijoje buvo rasti įrašai, kuriuose teigiama, kad skaičius Pi yra lygus 10 kvadratinėje šaknyje, o tai reiškia 3,162.

Archimedo mokymai apie apskritimo matavimą trečiajame amžiuje prieš Kristų paskatino jį padaryti tokias išvadas:

Vėliau savo išvadas jis pagrindė skaičiavimų seka, naudodamas teisingai įrašytų ar aprašytų daugiakampių formų pavyzdžius, padvigubindamas šių figūrų kraštinių skaičių. Tiksliuose skaičiavimuose Archimedas padarė išvadą apie skersmens ir apskritimo santykį skaičiais tarp 3 * 10/71 ir 3 * 1/7, todėl Pi reikšmė yra 3,1419... Kadangi jau kalbėjome apie begalinę šios reikšmės formą, atrodo kaip 3, 1415927... Ir tai ne riba, nes matematikas Kaši XV amžiuje apskaičiavo Pi reikšmę kaip šešiolikos skaitmenų reikšmę.
Anglų matematikas Johnsonas W. 1706 m. pradėjo naudoti simbolį pi kaip simbolį? (iš graikų kalbos tai yra pirmoji žodžio apskritimas raidė).

Paslaptinga prasmė.

Pi reikšmė yra neracionali ir negali būti išreikšta trupmenos forma, nes trupmenoms naudojamos visos reikšmės. Ji negali būti lygties šaknis, todėl ji taip pat pasirodo esanti transcendentinė; ji randama atsižvelgiant į bet kokius procesus, patobulinta dėl didelio tam tikro proceso nagrinėjamų žingsnių skaičiaus. Buvo daug bandymų apskaičiuoti didžiausią skaičių po kablelio Pi, kurių rezultatas buvo dešimtys trilijonų tam tikros dešimtainės reikšmės skaitmenų.

Įdomus faktas: Kaip bebūtų keista, Pi vertė turi savo šventę. Ji vadinama Tarptautine Pi diena. Ji švenčiama kovo 14 d. Data atsirado dėl pačios Pi 3,14 (mm.yy) vertės ir fiziko Larry Shaw, kuris pirmasis atšventė šią šventę 1987 m.

Pastaba: Teisinė pagalba gaunant pažymą apie teistumo nebuvimą (buvimą) visiems Rusijos Federacijos piliečiams. Sekite nuorodą į valstybės tarnybos pažymą apie neteistumą (http://conviction certificate.rf/) legaliai, greitai ir be eilių!