Praktis sulit untuk menemukan nilai seperti itu dengan, di mana (b-a)f(c) akan persis sama dengan . Untuk mendapatkan nilai yang lebih akurat, luas trapesium lengkung dibagi menjadi n persegi panjang yang tingginya sama y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 dan yayasan.

Jika kita meringkas luas persegi panjang yang menutupi luas trapesium lengkung dengan kerugian, fungsinya tidak menurun, maka alih-alih rumus, rumus digunakan

Jika berlebihan, maka

Nilai ditemukan dari persamaan. Rumus ini disebut rumus persegi panjang dan memberikan hasil perkiraan. Dengan peningkatan n hasilnya menjadi lebih akurat.

Contoh 1 . Hitung dari rumus persegi panjang

Kami membagi interval integrasi menjadi 5 bagian. Kemudian . Menggunakan kalkulator atau tabel, kami menemukan nilai integral (dengan akurasi 4 tempat desimal):

Menurut rumus persegi panjang (dengan kerugian)

Di sisi lain, menurut rumus Newton-Leibniz

Mari kita cari kesalahan perhitungan relatif menggunakan rumus persegi panjang:

Perhitungan integral dengan rumus trapesium. Estimasi kesalahan:

Arti geometris dari metode berikut untuk perkiraan perhitungan integral adalah menemukan luas trapesium "bujursangkar" yang berukuran kira-kira sama.

Biarlah perlu untuk menghitung luasnya A 1 AmBB 1 trapesium lengkung, dinyatakan dengan rumus .

Mari kita ganti busurnya AmB akord AB dan bukannya luas trapesium lengkung A 1 AmBB 1 menghitung luas trapesium A 1 AB 1: , di mana AA 1 dan BB 1 - alas trapesium, dan A 1B 1 adalah tingginya.

Menunjukkan f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. tinggi trapesium A 1 B 1 \u003d b-a, kotak . Oleh karena itu, atau

Yang disebut ini rumus trapesium kecil.

Contoh 2. Lebar sungai 26 m, pengukuran kedalaman pada penampang sungai setiap 2 m memberikan hasil sebagai berikut.

Tugas mengajar dan pendidikan:

• tujuan didaktis. Untuk memperkenalkan siswa pada metode perhitungan perkiraan integral tertentu.
• tujuan pendidikan. Topik pelajaran ini memiliki nilai praktis dan pendidikan yang tinggi. Pendekatan paling sederhana untuk gagasan integrasi numerik didasarkan pada definisi integral tertentu sebagai batas jumlah integral. Misalnya, jika kita mengambil partisi segmen yang cukup kecil [ sebuah; b] dan buat penjumlahan integral untuknya, kemudian nilainya dapat diambil kira-kira sebagai nilai integral yang bersesuaian. Pada saat yang sama, penting untuk melakukan perhitungan dengan cepat dan benar menggunakan teknologi komputer.

Pengetahuan dan keterampilan dasar. Memiliki pemahaman tentang metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu menggunakan rumus persegi panjang dan trapesium.

Memastikan pelajaran

• Selebaran. Kartu tugas untuk pekerjaan mandiri.
• TSO. Multiproyektor, PC, laptop.
• peralatan TC. Presentasi: "Makna geometris turunan", "Metode persegi panjang", "Metode trapesium". (Presentasi dapat dipinjam dari penulis).
• Alat komputasi: PC, mikrokalkulator.
• Pedoman

Jenis kelas. Praktis terintegrasi.

Motivasi aktivitas kognitif siswa. Seringkali kita harus menghitung integral tertentu yang antiturunannya tidak mungkin ditemukan. Dalam hal ini, metode perkiraan untuk menghitung integral tertentu digunakan. Terkadang metode perkiraan juga digunakan untuk "mengambil" integral, jika perhitungan dengan rumus Newton-Leibniz tidak rasional. Gagasan perhitungan perkiraan integral adalah bahwa kurva diganti dengan kurva baru yang cukup "dekat" dengannya. Bergantung pada pilihan kurva baru, satu atau beberapa rumus integrasi perkiraan dapat digunakan.

Urutan pelajaran.

1. Rumus persegi panjang.
2. Rumus trapesium.
3. Solusi latihan.

Rencana belajar

1. Pengulangan pengetahuan dasar siswa.

Ulangi dengan siswa: rumus dasar integral, esensi metode integral yang dipelajari, makna geometris integral tertentu.

1. Melakukan kerja praktek.

Solusi dari banyak masalah teknis direduksi menjadi perhitungan integral tertentu, yang ekspresi pastinya sulit, membutuhkan perhitungan yang panjang dan tidak selalu dapat dibenarkan dalam praktiknya. Di sini, nilai perkiraannya cukup memadai.

Misalkan, perlu untuk menghitung luas yang dibatasi oleh garis yang persamaannya tidak diketahui. Dalam hal ini, Anda dapat mengganti baris ini dengan yang lebih sederhana, yang persamaannya diketahui. Luas trapesium lengkung yang diperoleh diambil sebagai perkiraan nilai integral yang diinginkan.

Metode perkiraan paling sederhana adalah metode persegi panjang. Secara geometris, ide di balik cara menghitung integral tertentu menggunakan rumus persegi panjang adalah bahwa luas trapesium lengkung ABCD diganti dengan jumlah luas persegi panjang, salah satu sisinya adalah , dan sisi lainnya adalah .

Jika kita meringkas luas persegi panjang yang menunjukkan luas trapesium lengkung dengan kerugian [Gambar 1], maka kita mendapatkan rumusnya:

[Gambar 1]

maka kita mendapatkan rumus:

Jika berlimpah

[Gambar 2],

kemudian

Nilai y 0 , y 1 ,..., y n ditemukan dari persamaan , k = 0, 1..., n.Rumus ini disebut rumus persegi panjang dan memberikan hasil perkiraan. Dengan peningkatan n hasilnya menjadi lebih akurat.

Jadi, untuk menemukan nilai perkiraan integral, Anda perlu:

Untuk menemukan kesalahan perhitungan, Anda perlu menggunakan rumus:

Contoh 1 Hitung dengan rumus persegi panjang. Temukan kesalahan perhitungan absolut dan relatif.

Mari kita pisahkan segmen [ sebuah, b] menjadi beberapa (misalnya, 6) bagian yang sama. Kemudian a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

Menurut rumus (1):

Untuk menghitung kesalahan perhitungan relatif, perlu untuk menemukan nilai integral yang tepat:

Perhitungannya memakan waktu lama dan kami mendapat pembulatan yang agak kasar. Untuk menghitung integral ini dengan perkiraan yang lebih kecil, Anda dapat menggunakan kemampuan teknis komputer.

Untuk menemukan integral tertentu dengan metode persegi panjang, perlu memasukkan nilai integralnya f(x) ke lembar kerja Excel dalam rentang X dengan langkah yang diberikan X= 0,1.

1. Menyusun tabel data (X dan f(x)). X f(x). Argumen, dan di sel B1 - kata Fungsi2 2,1 ). Kemudian, setelah memilih blok sel A2:A3, kami mendapatkan semua nilai argumen dengan pelengkapan otomatis (kami merentang di luar sudut kanan bawah blok ke sel A32, ke nilai x=5).
2. Selanjutnya, kami memperkenalkan nilai-nilai integral. Di sel B2, Anda perlu menulis persamaannya. Untuk melakukan ini, tempatkan kursor tabel di sel B2 dan masukkan rumus dari keyboard =A2^2(untuk tata letak keyboard bahasa Inggris). Tekan tombol Memasuki. Di sel B2 muncul 4 . Sekarang Anda perlu menyalin fungsi dari sel B2. Lengkapi otomatis salin rumus ini ke rentang B2:B32.
   Akibatnya, tabel data harus diperoleh untuk menemukan integral.
3. Sekarang di sel B33 nilai perkiraan integral dapat ditemukan. Untuk melakukan ini, di sel B33, masukkan rumusnya = 0,1*, kemudian panggil Function Wizard (dengan menekan tombol Insert Function pada toolbar (f(x)). Di kotak dialog Function Wizard-Step 1 of 2 yang muncul, di sebelah kiri, di kolom Category, pilih Math. Di sebelah kanan di bidang Fungsi - fungsi Sum. Kami menekan tombol OKE. Kotak dialog Sum muncul. Masukkan rentang penjumlahan B2:B31 ke bidang kerja dengan mouse. Kami menekan tombol OKE. Di sel B33, nilai perkiraan integral yang diinginkan muncul dengan kerugian ( 37,955 ) .

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai sebenarnya dari integral ( 39 ), dapat dilihat bahwa kesalahan aproksimasi metode persegi panjang dalam hal ini sama dengan

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Contoh 2 Menggunakan metode persegi panjang, hitung dengan langkah yang diberikan X = 0,05.

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai sebenarnya dari integral , dapat dilihat bahwa kesalahan aproksimasi metode persegi panjang dalam hal ini adalah sama dengan

Metode trapesium biasanya memberikan nilai integral yang lebih akurat daripada metode persegi panjang. Trapesium lengkung diganti dengan jumlah beberapa trapesium dan nilai perkiraan integral tertentu ditemukan sebagai jumlah luas trapesium

[Gambar3]

Contoh 3 Temukan trapesium langkah demi langkah X = 0,1.

1. Buka lembar kerja kosong.
2. Menyusun tabel data (X dan f(x)). Biarkan kolom pertama menjadi nilainya X, dan indikator kedua yang sesuai f(x). Untuk melakukan ini, di sel A1, masukkan kata Argumen, dan di sel B1 - kata Fungsi. Di sel A2, nilai pertama argumen dimasukkan - batas kiri rentang ( 0 ). Di sel A3, nilai argumen kedua dimasukkan - batas kiri rentang ditambah langkah konstruksi ( 0,1 ). Kemudian, setelah memilih blok sel A2:A3, kami mendapatkan semua nilai argumen dengan pelengkapan otomatis (kami merentang di luar sudut kanan bawah blok ke sel A33, ke nilai x=3.1).
3. Selanjutnya, kami memperkenalkan nilai-nilai integral. Di sel B2, Anda harus menulis persamaannya (dalam contoh sinus). Untuk melakukan ini, kursor tabel harus ditempatkan di sel B2. Harus ada nilai sinus yang sesuai dengan nilai argumen di sel A2. Untuk mendapatkan nilai sinus, kita akan menggunakan fungsi khusus: klik tombol Insert function pada toolbar f(x). Di kotak dialog Function Wizard-Step 1 of 2 yang muncul, di sebelah kiri, di kolom Category, pilih Math. Di sebelah kanan di bidang Fungsi - fungsi DOSA. Kami menekan tombol OKE. Sebuah kotak dialog muncul DOSA. Arahkan penunjuk mouse ke bidang abu-abu jendela, dengan menekan tombol kiri, pindahkan bidang ke kanan untuk membuka kolom data ( DAN). Tentukan nilai argumen sinus dengan mengklik sel A2. Kami menekan tombol OKE. 0 muncul di sel B2. Sekarang Anda perlu menyalin fungsi dari sel B2. Lengkapi otomatis salin rumus ini ke rentang B2:B33. Akibatnya, tabel data harus diperoleh untuk menemukan integral.
4. Sekarang di sel B34 nilai perkiraan integral dapat ditemukan dengan menggunakan metode trapesium. Untuk melakukan ini, di sel B34, masukkan rumusnya \u003d 0,1 * ((B2 + B33) / 2+, kemudian panggil Function Wizard (dengan menekan tombol Insert Function pada toolbar (f(x)). Di kotak dialog Function Wizard-Step 1 of 2 yang muncul, di sebelah kiri, di kolom Category, pilih Math. Di sebelah kanan di bidang Fungsi - fungsi Sum. Kami menekan tombol OKE. Kotak dialog Sum muncul. Masukkan rentang penjumlahan B3:B32 ke bidang kerja dengan mouse. Kami menekan tombol Oke sekali lagi OKE. Di sel B34, nilai perkiraan dari integral yang dicari muncul dengan kerugian ( 1,997 ) .

Membandingkan nilai perkiraan yang diperoleh dengan nilai integral yang sebenarnya, dapat dilihat bahwa kesalahan perkiraan metode persegi panjang dalam hal ini cukup dapat diterima untuk praktik.

1. Solusi latihan.

Cara menghitung integral tentu
menggunakan rumus trapesium dan metode Simpson?

Metode numerik adalah bagian yang cukup besar dari matematika tingkat tinggi dan buku teks serius tentang topik ini memiliki ratusan halaman. Dalam praktiknya, dalam tes, beberapa tugas secara tradisional diusulkan untuk diselesaikan dengan metode numerik, dan salah satu tugas umum adalah perhitungan perkiraan integral tertentu. Pada artikel ini, saya akan mempertimbangkan dua metode untuk perkiraan perhitungan integral tertentu − metode trapesium dan metode simpson.

Apa yang perlu Anda ketahui untuk menguasai metode ini? Kedengarannya lucu, tetapi Anda mungkin tidak dapat mengambil integral sama sekali. Dan bahkan tidak mengerti apa itu integral. Dari sarana teknis, Anda memerlukan kalkulator mikro. Ya, ya, kami menunggu perhitungan rutin sekolah. Lebih baik lagi, unduh kalkulator semi-otomatis saya untuk metode trapesium dan metode Simpson. Kalkulator ditulis dalam Excel dan memungkinkan Anda mengurangi waktu penyelesaian dan pemrosesan tugas sepuluh kali lipat. Manual video disertakan untuk teko Excel! Ngomong-ngomong, video pertama dengan suaraku.

Pertama, mari kita tanyakan pada diri kita pertanyaan, mengapa kita membutuhkan perhitungan perkiraan? Tampaknya mungkin untuk menemukan antiturunan dari fungsi dan menggunakan rumus Newton-Leibniz, menghitung nilai pasti dari integral tertentu. Sebagai jawaban atas pertanyaan tersebut, mari langsung simak contoh demo bergambarnya.

Menghitung integral tertentu

Semuanya akan baik-baik saja, tetapi dalam contoh ini integral tidak diambil - sebelum Anda diambil, yang disebut logaritma integral. Apakah integral ini ada? Mari gambarkan grafik integral dalam gambar:

Semuanya baik-baik saja. Integran kontinu pada interval dan integral pasti secara numerik sama dengan luas daerah yang diarsir. Ya, itu hanya satu halangan - integralnya tidak diambil. Dan dalam kasus seperti itu, metode numerik membantu. Dalam hal ini, masalah terjadi dalam dua formulasi:

1) Hitung kira-kira integral tertentu , membulatkan hasilnya ke tempat desimal tertentu. Misalnya, hingga dua tempat desimal, hingga tiga tempat desimal, dll. Katakanlah Anda mendapatkan jawaban perkiraan 5,347. Bahkan, itu mungkin tidak sepenuhnya benar (sebenarnya, katakanlah jawaban yang lebih akurat adalah 5,343). Tugas kita adalah hanya dalam hal itu untuk membulatkan hasilnya menjadi tiga tempat desimal.

2) Hitung kira-kira integral tertentu, dengan ketelitian tertentu. Misalnya, hitung kira-kira integral tertentu dengan ketelitian 0,001. Apa artinya? Ini berarti bahwa kita harus menemukan nilai perkiraan seperti itu modulo (satu cara atau lainnya) berbeda dari kebenaran tidak lebih dari 0,001.

Ada beberapa metode dasar untuk perhitungan perkiraan integral tertentu yang terjadi dalam soal:

Segmen integrasi dibagi menjadi beberapa bagian dan sosok berundak dibangun, yang dekat dengan area yang diinginkan:

Jangan menilai secara ketat dari gambarnya, keakuratannya tidak sempurna - gambar tersebut hanya membantu untuk memahami esensi metode.

Idenya mirip. Segmen integrasi dibagi menjadi beberapa segmen menengah, dan grafik pendekatan integral garis putus-putus garis:

Jadi luas kita (bayangan biru) didekati dengan jumlah luas trapesium (merah). Karena itulah nama metodenya. Sangat mudah untuk melihat bahwa metode trapesium memberikan perkiraan yang jauh lebih baik daripada metode persegi panjang (dengan jumlah segmen partisi yang sama). Dan, tentu saja, semakin kecil segmen perantara yang kami pertimbangkan, semakin tinggi akurasinya. Metode trapesium ditemui dari waktu ke waktu dalam tugas-tugas praktis, dan dalam artikel ini beberapa contoh akan dianalisis.

Metode Simpson (metode parabola). Ini adalah cara yang lebih sempurna - grafik integral didekati bukan dengan garis putus-putus, tetapi dengan parabola kecil. Berapa banyak segmen perantara - begitu banyak parabola kecil. Jika kita mengambil tiga segmen yang sama, maka metode Simpson akan memberikan perkiraan yang lebih akurat daripada metode persegi panjang atau metode trapesium.

Saya tidak melihat gunanya membuat gambar, karena secara visual perkiraan akan ditumpangkan pada grafik fungsi (garis putus-putus dari paragraf sebelumnya - dan bahkan hampir bersamaan).

Tugas menghitung integral tertentu menggunakan rumus Simpson adalah tugas yang paling populer dalam praktiknya. Dan metode parabola akan mendapat perhatian yang cukup besar.

Bagaimana cara menghitung integral tertentu menggunakan metode trapesium?

Pertama, rumus umum. Mungkin tidak akan jelas bagi semua orang dan tidak segera ... Ya, Karlsson bersama Anda - contoh praktis akan menjelaskan semuanya! Tenang. Hanya ketenangan.

Perhatikan integral tertentu , dimana merupakan fungsi kontinu pada segmen . Mari kita membagi segmen menjadi setara segmen:
. Dalam hal ini, jelas: (batas bawah integrasi) dan (batas atas integrasi). poin disebut juga simpul.

Kemudian integral tertentu dapat dihitung kira-kira dengan rumus trapesium:
, di mana:
melangkah;
adalah nilai integral pada titik-titik .

Contoh 1

Hitunglah integral kira-kira tertentu dengan menggunakan rumus trapesium. Bulatkan hasilnya hingga tiga tempat desimal.

a) Membagi segmen integrasi menjadi 3 bagian.
b) Membagi segmen integrasi menjadi 5 bagian.

Keputusan:
a) Khusus untuk boneka, saya mengikat paragraf pertama ke gambar, yang dengan jelas menunjukkan prinsip metode ini. Jika sulit, lihat gambarnya di sepanjang komentar, ini sebagian:

Dengan syarat, segmen integrasi harus dibagi menjadi 3 bagian, yaitu .
Hitung panjang setiap segmen partisi: . Parameter, saya ingatkan, juga disebut melangkah.

Berapa banyak poin (node ​​partisi) yang akan ada? Akan ada satu lagi dari jumlah segmen:

Nah, rumus umum trapesium direduksi menjadi ukuran yang menyenangkan:

Untuk perhitungan, Anda dapat menggunakan mikrokalkulator biasa:

Perhatikan bahwa, sesuai dengan kondisi soal, semua perhitungan harus dibulatkan ke 3 desimal.

Akhirnya:

Dari sudut pandang geometris, kami menghitung jumlah luas tiga trapesium (lihat gambar di atas).

b) Kami membagi segmen integrasi menjadi 5 bagian yang sama, yaitu . Mengapa ini dibutuhkan? Agar Phobos-Grunt tidak jatuh ke laut - dengan menambah jumlah segmen, kami meningkatkan keakuratan perhitungan.

Jika , maka rumus trapesium berbentuk sebagai berikut:

Mari temukan langkah mempartisi:
, yaitu panjang setiap ruas antara adalah 0,6.

Saat menyelesaikan tugas, akan lebih mudah untuk menyusun semua perhitungan dengan tabel perhitungan:

Di baris pertama kita tulis "counter"

Saya pikir semua orang dapat melihat bagaimana baris kedua terbentuk - pertama kita tuliskan batas integrasi yang lebih rendah , kita mendapatkan nilai yang tersisa dengan menambahkan langkah secara berturut-turut .

Dengan prinsip apa intinya diisi juga, menurut saya, hampir semua orang mengerti. Misalnya, jika , maka . Apa namanya, pertimbangkan, jangan malas.

Sebagai akibat:

Nah, memang ada klarifikasi, dan yang serius! Jika untuk 3 segmen partisi nilai perkiraannya adalah, maka untuk 5 segmen . Dengan demikian, dengan tingkat kepastian yang tinggi, dapat dikatakan bahwa, setidak-tidaknya .

Contoh 2

Hitung integral yang kira-kira ditentukan menggunakan rumus trapesium dengan akurasi dua tempat desimal (hingga 0,01).

Keputusan: Masalah yang hampir sama, tetapi dalam formulasi yang sedikit berbeda. Perbedaan mendasar dari Contoh 1 adalah kita kita tidak tahu, KE BERAPA BANYAK segmen untuk membagi segmen integrasi untuk mendapatkan dua tempat desimal yang benar. Dengan kata lain, kita tidak mengetahui nilai dari .

Ada rumus khusus yang memungkinkan Anda menentukan jumlah segmen partisi untuk memastikan akurasi yang diperlukan tercapai, tetapi dalam praktiknya seringkali sulit diterapkan. Oleh karena itu, adalah menguntungkan untuk menggunakan pendekatan yang disederhanakan.

Pertama, segmen integrasi dibagi menjadi beberapa segmen besar, biasanya menjadi 2-3-4-5. Mari kita bagi segmen integrasi, misalnya, menjadi 5 bagian yang sama. Formulanya sudah familiar:

Dan langkahnya, tentu saja, juga dikenal:

Tetapi pertanyaan lain muncul, ke angka berapa hasilnya harus dibulatkan? Kondisi tersebut tidak mengatakan apa-apa tentang berapa banyak tempat desimal yang tersisa. Rekomendasi umumnya adalah: 2-3 digit harus ditambahkan ke akurasi yang diperlukan. Dalam hal ini, akurasi yang dibutuhkan adalah 0,01. Menurut rekomendasi, setelah koma, untuk kesetiaan, kami meninggalkan lima karakter (empat bisa saja):

Sebagai akibat:
, kami menunjukkan pendekatan dengan .

Setelah hasil utama, jumlah segmen dobel. Dalam hal ini, perlu dibagi menjadi 10 segmen. Dan ketika jumlah segmen bertambah, maka muncul pemikiran cemerlang bahwa memasukkan jari ke dalam mikrokalkulator entah bagaimana sudah melelahkan. Oleh karena itu, saya sekali lagi mengusulkan untuk mengunduh dan menggunakan kalkulator semi-otomatis saya (tautan di awal pelajaran).

Untuk rumus trapesium mengambil bentuk sebagai berikut:

Dalam versi kertas, entri dapat dipindahkan dengan aman ke baris berikutnya.

Mari menghitung langkah partisi:

Hasil perhitungan dirangkum dalam tabel:


Saat menyelesaikan buku catatan, ada baiknya mengubah meja panjang menjadi meja dua lantai.

Sebagai akibat:

Sekarang kami menghitung perbedaan antara perkiraan:

Di sini kami menggunakan tanda modulo, karena kami tertarik perbedaan mutlak, dan bukan hasil mana yang lebih besar, tetapi mana yang lebih kecil.

Untuk tindakan lebih lanjut, saya pribadi menemukan 2 solusi dalam praktiknya:

1) Cara pertama adalah "perbandingan head-to-head". Karena perkiraan kesalahan yang dihasilkan lagi dari akurasi yang dibutuhkan: , maka perlu menggandakan jumlah segmen partisi hingga dan sudah menghitung . Dengan bantuan kalkulator Excel, hasil akhirnya dapat diperoleh dalam hitungan detik :. Sekarang kami memperkirakan kesalahan lagi: . Skor diterima lebih sedikit dari akurasi yang dibutuhkan: , oleh karena itu, perhitungan selesai. Tetap membulatkan hasil terakhir (paling akurat) menjadi dua tempat desimal dan memberikan jawaban.

2) Metode lain yang lebih efisien didasarkan pada penggunaan yang disebut Aturan tangga, yang menurutnya kita salah dalam memperkirakan integral tertentu, pada kenyataannya, tidak lebih dari . Dalam masalah kita: , dengan demikian, kebutuhan akan perhitungan menghilang. Namun, untuk kecepatan solusi dalam hal ini, kami harus membayar dengan akurat: . Namun demikian, hasil ini dapat diterima, karena "batas kesalahan" kami tepat seperseratus.

Apa yang harus dipilih? Fokus pada manual pelatihan Anda atau preferensi guru.

Menjawab: akurat hingga 0,01 (ketika menggunakan aturan Runge).

Contoh 3

Hitung integral tertentu menggunakan rumus trapesium dengan akurasi 0,001.

Sebelum Anda sekali lagi merupakan integral yang tidak diambil (hampir integral kosinus). Pada larutan sampel, pada langkah pertama dilakukan pembagian menjadi 4 segmen yaitu . Solusi lengkap dan contoh perkiraan penyelesaian di akhir pelajaran.

Bagaimana cara menghitung integral tertentu menggunakan rumus Simpson?

Jika Anda hanya mencari metode Simpson di halaman ini, saya sangat menyarankan Anda membaca awal pelajaran terlebih dahulu dan melihat setidaknya contoh pertama. Karena banyak ide dan teknik akan mirip dengan metode trapesium.

Sekali lagi, mari kita mulai dengan rumus umum
Perhatikan integral tertentu , dimana merupakan fungsi kontinu pada segmen . Mari kita membagi segmen menjadi bahkan jumlah setara segmen. Sejumlah segmen genap dilambangkan dengan .

Dalam praktiknya, segmen dapat berupa:
dua:
empat:
delapan:
sepuluh:
dua puluh:
Saya tidak ingat pilihan lain.

Perhatian! Angka dipahami sebagai SATU NOMOR. Itu adalah, ITU DILARANG kurangi, misalnya, dengan dua, dapatkan . Rekaman hanya berdiri untuk bahwa jumlah segmen rata. Dan tidak ada pemotongan untuk dibicarakan.

Jadi partisi kita terlihat seperti ini:

Istilahnya mirip dengan metode trapesium:
Titik disebut simpul.

rumus simpson untuk perkiraan perhitungan integral tertentu memiliki bentuk sebagai berikut:
, di mana:
- panjang masing-masing segmen kecil atau melangkah;
adalah nilai integral pada titik .

Merinci tumpukan ini, saya akan menganalisis rumusnya lebih detail:
adalah jumlah dari nilai integral pertama dan terakhir;
adalah jumlah anggota dengan bahkan indeks dikalikan dengan 2;
adalah jumlah anggota dengan aneh indeks dikalikan dengan 4.

Contoh 4

Hitung integral perkiraan menggunakan rumus Simpson ke 0,001 terdekat. Pemisahan dimulai dengan dua segmen

Omong-omong, integralnya sekali lagi tidak diambil.

Keputusan: Saya segera menarik perhatian pada jenis tugas - perlu untuk menghitung integral tertentu dengan ketelitian tertentu. Apa artinya ini telah dikomentari di awal artikel, serta contoh konkret dari paragraf sebelumnya. Adapun metode trapesium, ada rumus yang akan segera memungkinkan Anda untuk menentukan jumlah segmen yang diperlukan (nilai "en") untuk menjamin akurasi yang diperlukan. Benar, kita harus mencari turunan keempat dan menyelesaikan soal ekstrem. Siapa yang mengerti maksud saya dan memperkirakan jumlah pekerjaannya, dia tersenyum. Namun, tidak ada bahan tertawaan di sini, penemuan turunan keempat dari integrand semacam itu tidak lagi menjadi megabotan, melainkan psikopat klinis. Oleh karena itu, dalam praktiknya, metode yang disederhanakan untuk memperkirakan kesalahan hampir selalu digunakan.

Kami mulai memutuskan. Jika kita memiliki dua segmen partisi, maka node akan menjadi satu lagi: . Dan rumus Simpson mengambil bentuk yang sangat ringkas:

Mari menghitung langkah partisi:

Mari kita isi tabel perhitungan:

Sekali lagi saya mengomentari bagaimana tabel diisi:

Di baris paling atas kita menulis "penghitung" indeks

Di baris kedua, pertama-tama kita menulis batas bawah integrasi, lalu menambahkan langkahnya secara berurutan.

Di baris ketiga kita memasukkan nilai integral. Misalnya, jika , maka . Berapa angka desimal yang tersisa? Memang, kondisinya lagi-lagi tidak mengatakan apa-apa tentang ini. Prinsipnya sama dengan metode trapesium, kita melihat akurasi yang dibutuhkan: 0,001. Dan tambahkan 2-3 digit tambahan. Artinya, Anda perlu membulatkan hingga 5-6 tempat desimal.

Sebagai akibat:

Hasil pertama telah diperoleh. Sekarang dobel jumlah segmen hingga empat: . Rumus Simpson untuk partisi ini mengambil bentuk berikut:

Mari menghitung langkah partisi:

Mari kita isi tabel perhitungan:


Jadi:

Mari kita temukan nilai absolut dari perbedaan antara perkiraan:

Aturan Runge untuk metode Simpson enak. Jika saat menggunakan metode persegi panjang tengah dan metode trapesium, kita diberi "kesenangan" sepertiga, sekarang - sebanyak seperlima belas:
, dan akurasi tidak menderita lagi di sini:

Tetapi demi kelengkapan, saya juga akan memberikan solusi "sederhana", di mana Anda harus mengambil langkah tambahan: karena ada lebih dari akurasi yang diperlukan: , maka jumlah segmen perlu digandakan lagi: .

Rumus Simpson berkembang pesat:

Mari kita hitung langkahnya:

Mari isi spreadsheet lagi:

Jadi:

Perhatikan bahwa di sini diinginkan untuk menjelaskan perhitungan secara lebih rinci, karena rumus Simpson agak rumit, dan jika Anda langsung berdebar:
, maka minuman keras ini akan terlihat seperti retasan. Dan dengan rekaman yang lebih detail, guru akan mendapat kesan baik bahwa Anda dengan hati-hati menghapus kunci kalkulator mikro selama satu jam yang baik. Perhitungan terperinci untuk kasus "sulit" ada di kalkulator saya.

Kami memperkirakan kesalahan:

Kesalahan kurang dari akurasi yang diperlukan: . Tetap mengambil perkiraan paling akurat , bulatkan hingga tiga tempat desimal dan tulis:

Menjawab: akurat hingga 0,001

Contoh 5

Hitung integral perkiraan menggunakan rumus Simpson ke 0,0001 terdekat. Pemisahan dimulai dengan dua segmen

Ini adalah contoh do-it-yourself. Contoh kasar penyelesaian pekerjaan dan jawaban di akhir pelajaran.

Di bagian akhir pelajaran, kami akan mempertimbangkan beberapa contoh yang lebih umum.

Contoh 6

Hitung nilai perkiraan integral tertentu menggunakan rumus Simpson, membagi segmen integrasi menjadi 10 bagian. Perhitungan dilakukan dengan akurasi tiga tempat desimal.