Titik tunggal yang terisolasi. Titik tunggal yang terisolasi, klasifikasinya

Definisi. Titik tunggal dari fungsi tersebut disebut terpencil, jika di beberapa lingkungan titik ini adalah fungsi analitik (yaitu, analitik di atas ring).

Klasifikasi titik singular yang terisolasi dari suatu fungsi terkait dengan perilaku fungsi ini di sekitar titik singular.

Definisi. Titik tersebut disebut sekali pakai titik tunggal fungsi jika ada batas terbatas dari fungsi ini di .

Contoh 5 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki singularitas yang dapat dilepas pada suatu titik.

Larutan. Mengingat batas luar biasa pertama, kami menghitung

Ini berarti bahwa fungsi yang diberikan memiliki singularitas yang dapat dilepas pada titik tersebut.

Tugas 4. Tunjukkan bahwa titik dapat dilepas untuk .

Definisi. Titik tersebut disebut tiang fungsi , jika fungsi ini meningkat tanpa batas untuk , yaitu .

Mari kita perhatikan hubungan antara konsep nol dan kutub dari fungsi analitik. Mari kita nyatakan fungsinya sebagai .

Jika suatu titik adalah nol sederhana dari suatu fungsi, maka fungsi tersebut memiliki kutub sederhana

Jika titiknya adalah orde nol untuk fungsi tersebut, maka untuk fungsi itu adalah kutubnya memesan.

Contoh 6 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki kutub orde ketiga di suatu titik.

Larutan. Dengan asumsi , kita dapatkan . Karena kita cenderung ke nol, menurut hukum apa pun, kita memiliki . Kemudian , dan dengan itu fungsi itu sendiri meningkat tanpa batas. Oleh karena itu, , yaitu, titik singular adalah tiang. Untuk suatu fungsi, titik ini jelas merupakan triple zero. Oleh karena itu, untuk fungsi ini, titiknya adalah kutub orde ketiga.

Tugas 5. Tunjukkan bahwa titik tersebut memiliki kutub sederhana.

Definisi. Titik tersebut disebut pokoknya spesial titik fungsi jika pada titik ini tidak ada batas hingga atau tak hingga dari fungsi (perilaku fungsi tidak didefinisikan).

Membiarkan menjadi titik tunggal penting dari fungsi . Kemudian untuk setiap bilangan kompleks yang ditentukan sebelumnya ada urutan titik yang konvergen ke , di mana nilainya cenderung : ( teorema Sochocki).

Contoh 7 Tunjukkan bahwa suatu fungsi di suatu titik memiliki singularitas esensial.

Larutan. Pertimbangkan perilaku fungsi yang diberikan di sekitar titik . Untuk sepanjang bagian positif dari sumbu nyata (yaitu ) kita memiliki dan ; jika sepanjang bagian negatif dari sumbu nyata (yaitu), maka dan . Jadi tidak ada batasan untuk . Menurut definisi, suatu fungsi memiliki singularitas esensial pada suatu titik.

Mari kita pertimbangkan perilaku fungsi di nol dari sudut pandang teorema Sochocki. Membiarkan menjadi bilangan kompleks apa pun selain nol dan tak terhingga.

Dari persamaan kita menemukan . Dengan asumsi , kita memperoleh urutan poin , . Jelas sekali, . Pada setiap titik dari barisan ini, fungsinya sama dengan , dan oleh karena itu

Tugas 6. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki singularitas esensial di suatu titik.

Sebuah titik di tak terhingga selalu dianggap khusus untuk fungsi. Suatu titik disebut titik singular terisolasi dari suatu fungsi jika fungsi ini tidak memiliki titik singular lain di luar lingkaran yang berpusat di titik asal.

Klasifikasi titik singular yang terisolasi juga dapat diperluas untuk kasus ini.

Contoh 8 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki kutub ganda di tak hingga.

Larutan. Pertimbangkan fungsi , Dimana adalah fungsi analitik di lingkungan titik , dan . Ini berarti bahwa fungsi memiliki nol ganda di tak hingga, tetapi kemudian untuk fungsi titik adalah kutub ganda.

Contoh 9 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki singularitas esensial di tak hingga.

Larutan. Masalah serupa dipertimbangkan dalam pr.7. Pertimbangkan perilaku suatu fungsi di sekitar titik yang jauh tak terhingga. Untuk sepanjang bagian positif dari sumbu nyata, dan untuk sepanjang bagian negatif dari sumbu nyata. Ini berarti bahwa tidak ada limit fungsi pada suatu titik dan, berdasarkan definisi, titik ini pada dasarnya tunggal.

Sifat singularitas suatu fungsi pada suatu titik dapat dinilai dari bagian utama Ekspansi Laurent di lingkungan titik ini.

Teorema 1. Untuk intinya menjadi sekali pakai titik tunggal fungsi , perlu dan cukup bahwa ekspansi Laurent yang sesuai tidak mengandung bagian utama.

Tugas 6. Menggunakan perluasan Taylor dari fungsi di sekitar titik , tunjukkan bahwa ia memiliki singularitas yang dapat dilepas di nol.

Teorema 2. Untuk intinya menjadi tiang fungsi , perlu dan cukup sehingga bagian utama ekspansi Laurent yang sesuai berisi jumlah anggota yang terbatas :

Jumlah suku negatif tertinggi menentukan urutan kutub.

Dalam hal ini, fungsinya dapat direpresentasikan sebagai

dimana adalah fungsi analitik pada titik, , adalah orde kutub.

Contoh 10 Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki kutub sederhana di titik-titik.

Larutan. Mari kita pertimbangkan satu hal. Kami menggunakan perluasan Laurent dari fungsi ini di sekitar titik ini, diperoleh pada Contoh 2:

Karena pangkat negatif tertinggi (dan satu-satunya) di bagian utama ekspansi ini sama dengan satu, titik adalah kutub sederhana dari fungsi ini.

Hasil ini dapat diperoleh dengan cara lain. Mari kita nyatakan dalam bentuk dan put - ini adalah fungsi yang analitik pada titik dan . Oleh karena itu, karena (8) fungsi ini memiliki kutub sederhana pada titik tersebut.

Cara lain: pertimbangkan fungsi yang memiliki nol sederhana pada titik tersebut. Oleh karena itu, pada titik ini ia memiliki tiang sederhana.

Demikian pula, jika kita menulis fungsi dalam bentuk , Dimana adalah fungsi analitik pada titik dan , maka segera jelas bahwa titik adalah kutub sederhana dari fungsi .

Tugas 7. Tunjukkan bahwa fungsi tersebut memiliki kutub orde ke-2 pada titik tersebut dan kutub orde ke-4 pada titik tersebut .

Teorema 3. Untuk intinya menjadi pokoknya spesial titik fungsi , perlu dan cukup bahwa bagian utama Ekspansi Laurent di sekitar titik berisi jumlah anggota yang tak terbatas .

Contoh 11. Tentukan sifat singularitas pada titik fungsi

Larutan. Dalam ekspansi kosinus yang terkenal, kami menempatkan alih-alih:

Oleh karena itu, ekspansi Laurent di lingkungan suatu titik memiliki bentuk

Di sini bagian yang benar adalah satu istilah. Dan bagian utama berisi jumlah istilah yang tidak terbatas, jadi intinya pada dasarnya tunggal.

Tugas 8. Tunjukkan bahwa pada suatu titik fungsi memiliki singularitas esensial.

Pertimbangkan beberapa fungsi dan tuliskan ekspansi Laurentnya pada titik :

Mari kita buat pengganti, sementara intinya tetap pada intinya. Sekarang, di lingkungan sebuah titik di tak terhingga, kita memiliki

Tetap memperkenalkan sebutan baru. Kita mendapatkan

di mana adalah bagian utama, dan merupakan bagian reguler dari perluasan fungsi Laurent di sekitar titik yang jauh tak terhingga. Jadi, dalam perluasan Laurent dari suatu fungsi di sekitar suatu titik, bagian utama adalah deret pangkat positif, sedangkan bagian yang benar adalah deret pangkat negatif. Mempertimbangkan ini

Namun, kriteria di atas untuk menentukan sifat singularitas tetap berlaku untuk titik yang jauh tak terhingga.

Contoh 12. Cari tahu sifat singularitas fungsi di titik. , maka pada suatu titik mungkin berubah menjadi tidak terisolasi.

Contoh 15 Fungsi pada titik yang jauh tak terhingga memiliki singularitas esensial. Tunjukkan bahwa titik untuk fungsi tersebut bukanlah titik tunggal yang terisolasi.

Larutan. Fungsi ini memiliki jumlah kutub yang tak terbatas di nol penyebut, yaitu di titik , . Karena , maka titik , di lingkungan mana pun yang ada kutub , adalah titik batas kutub.

Model dijelaskan oleh sistem dua persamaan diferensial otonom.

bidang fase. Potret fase. metode isoklin. isoklin utama. Stabilitas Keadaan Stabil. Sistem linier. Jenis titik kunci: simpul, pelana, fokus, tengah. Contoh: reaksi kimia orde satu.

Hasil yang paling menarik pada pemodelan kualitatif sifat sistem biologis diperoleh pada model dua persamaan diferensial, yang memungkinkan studi kualitatif menggunakan metode bidang fase. Pertimbangkan sistem dua persamaan diferensial biasa otonom dari bentuk umum

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- fungsi kontinu didefinisikan dalam beberapa domain G bidang Euclidean ( x,y- Koordinat Cartesian) dan memiliki turunan kontinu di daerah ini tidak lebih rendah dari yang pertama.

Wilayah G dapat berupa tidak terbatas atau terbatas. Jika variabel x, y memiliki makna biologis tertentu (konsentrasi zat, kelimpahan spesies), paling sering daerah G adalah kuadran positif dari setengah bidang kanan:

0 £ x< ¥ ,0 £ kamu< ¥ .

Konsentrasi zat atau kelimpahan spesies juga dapat dibatasi dari atas oleh volume wadah atau oleh luas habitat. Kemudian rentang variabel memiliki bentuk:

0 £ x< x 0 , 0 £ kamu< y 0 .

Variabel x, y perubahan waktu sesuai dengan sistem persamaan (4.1), sehingga setiap keadaan sistem sesuai dengan pasangan nilai variabel ( x, y).

Sebaliknya, untuk setiap pasangan variabel ( x, y) sesuai dengan keadaan tertentu dari sistem.

Pertimbangkan bidang dengan sumbu koordinat di mana nilai-nilai variabel diplot x,y. Setiap titik M bidang ini sesuai dengan keadaan tertentu dari sistem. Bidang seperti itu disebut bidang fase dan menggambarkan totalitas semua keadaan sistem. Titik M(x,y) disebut titik penggambaran atau representasi.

Biarkan pada saat awal t=t 0 mewakili koordinat titik M 0 (x(t 0), kamu(t 0)). Di setiap saat berikutnya t titik penggambaran akan bergerak sesuai dengan perubahan nilai variabel x(t), kamu(t). Set poin M(x(t), y(t)) pada bidang fase, posisinya sesuai dengan keadaan sistem dalam proses perubahan variabel dari waktu ke waktu x(t), y(t) menurut persamaan (4.1), disebut lintasan fase.

Himpunan lintasan fase untuk nilai awal variabel yang berbeda memberikan "potret" sistem yang mudah terlihat. Bangunan potret fase memungkinkan Anda untuk menarik kesimpulan tentang sifat perubahan dalam variabel x, y tanpa mengetahui solusi analitik dari sistem persamaan asli(4.1).

Untuk menggambarkan potret fase, perlu untuk membangun bidang vektor arah untuk lintasan sistem di setiap titik bidang fase. Dengan menentukan kenaikanD t>0,kami mendapatkan kenaikan yang sesuai D x dan D kamu dari ekspresi:

D x=P(x,y)D t,

D y=Q(x,y)D t.

arah vektor dy/dx pada titik ( x, y) tergantung pada tanda fungsi P(x, y), Q(x, y) dan dapat diberikan oleh tabel:

P(x,y)>0,Q(x,y)>0
P(x,y)<0,Q(x,y)<0
P(x,y)>0,Q(x,y)<0
P(x,y)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

Solusi untuk persamaan ini y=y(x, c), atau secara implisit F(x,y)= c, di mana Dengan adalah konstanta integrasi, memberikan keluarga kurva integral dari persamaan (4.2) - lintasan fase sistem (4.1) di pesawat x, y.

Metode isoklin

Untuk membuat potret fase, seseorang menggunakan metode isoklin - garis digambar pada bidang fase yang memotong kurva integral pada satu sudut tertentu. Persamaan isoklin mudah diperoleh dari (4.2). Mari kita taruh

di mana TETAPI– konstanta tertentu. Arti TETAPI mewakili garis singgung kemiringan garis singgung ke lintasan fase dan dapat mengambil nilai dari -¥ untuk + ¥ . Mengganti bukan dy/dx dalam (4.2) kuantitas TETAPI kita dapatkan persamaan isoklin:

.(4.3)

Persamaan (4.3) menentukan pada setiap titik bidang satu-satunya garis singgung pada kurva integral yang bersesuaian, kecuali untuk titik di mana P(x,y)= 0, Q (x,y) = 0 , di mana arah garis singgung menjadi tak tentu, karena nilai turunannya menjadi tak tentu:

.

Titik ini adalah titik perpotongan semua isoklin - titik khusus. Ini secara bersamaan menghilangkan turunan waktu dari variabel x dan kamu.

Jadi, pada titik singular, laju perubahan variabel sama dengan nol. Oleh karena itu, titik tunggal persamaan diferensial lintasan fase (4.2) sesuai dengan keadaan stasioner sistem(4.1), dan koordinatnya adalah nilai stasioner dari variabel x, y.

Yang menarik adalah isoklin utama:

dy/dx=0, P(x,y)=0 – isoklin dari garis singgung horizontal dan

dy/dx=¥ , Q(x,y)=0 – isoklin dari garis singgung vertikal.

Dengan membangun isoklin utama dan menemukan titik perpotongannya (x,y), koordinat yang memenuhi kondisi:

dengan demikian kita akan menemukan titik perpotongan semua isoklin dari bidang fase, di mana arah garis singgung ke lintasan fase tidak terbatas. Dia - titik tunggal, yang sesuai keadaan stasioner sistem(Gbr. 4.2).

Sistem (4.1) memiliki keadaan stasioner sebanyak titik persimpangan isoklin utama pada bidang fase.

Setiap lintasan fase sesuai dengan serangkaian gerakan sistem dinamis yang melewati keadaan yang sama dan berbeda satu sama lain hanya pada awal referensi waktu.

Jika kondisi teorema Cauchy terpenuhi, maka melalui setiap titik ruang x, y, t melewati kurva integral tunggal. Hal yang sama berlaku, berkat otonomi, untuk lintasan fase: lintasan fase unik melewati setiap titik bidang fase.

Stabilitas Kondisi Stabil

Biarkan sistem berada dalam kesetimbangan.

Kemudian titik perwakilan terletak di salah satu titik tunggal sistem, di mana, menurut definisi:

.

Apakah suatu titik singular stabil atau tidak ditentukan oleh apakah titik perwakilan tersebut meninggalkan atau tidak dengan penyimpangan kecil dari keadaan stasioner. Seperti yang diterapkan pada sistem dua persamaan, definisi stabilitas dalam bahasae, dsebagai berikut.

Keadaan ekuilibrium stabil jika untuk setiap area penyimpangan tertentu dari keadaan ekuilibrium (e )daerah dapat ditentukan d (e ), mengelilingi keadaan setimbang dan memiliki sifat yang tidak memiliki lintasan yang dimulai di dalam daerah tersebut d , tidak akan pernah mencapai perbatasan e . (Gbr. 4.4)

Untuk kelas sistem yang besar - sistem kasar – sifat perilaku yang tidak berubah dengan sedikit perubahan pada jenis persamaan, informasi tentang jenis perilaku di sekitar keadaan stasioner dapat diperoleh dengan mempelajari bukan yang asli, tetapi yang disederhanakan linierisasi sistem.

Sistem linier.

Pertimbangkan sistem dua persamaan linier:

.(4.4)

Di Sini a, b, c, d- konstanta, x, y- Koordinat Cartesian pada bidang fase.

Solusi umum akan dicari dalam bentuk:

.(4.5)

Substitusikan ekspresi ini ke dalam (4.4) dan kurangi dengan e aku t:

(4.6)

Sistem persamaan aljabar (4.6) dengan yang tidak diketahui A, B memiliki solusi bukan nol hanya jika determinannya, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, sama dengan nol:

.

Memperluas determinan ini, kita memperoleh persamaan karakteristik sistem:

.(4.7)

Solusi persamaan ini memberikan nilai indikatoraku 1,2 , di mana nilai bukan nol dimungkinkan untuk SEBUAH dan B solusi persamaan (4.6). Nilai-nilai tersebut adalah

.(4.8)

Jika ekspresi radikal negatif, makaaku 1,2 bilangan konjugasi kompleks. Asumsikan bahwa kedua akar persamaan (4.7) memiliki bagian real yang tidak nol dan tidak ada akar ganda. Maka solusi umum sistem (4.4) dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier eksponen dengan eksponenaku 1 , aku 2 :

(4.9)

Untuk menganalisis sifat lintasan yang mungkin dari sistem pada bidang fase, kami menggunakan transformasi koordinat homogen linier, yang akan membawa sistem ke bentuk kanonik:

,(4.10)

yang memungkinkan representasi yang lebih nyaman pada bidang fase dibandingkan dengan sistem asli (4.4). Mari perkenalkan koordinat baruξ , η menurut rumus:

(4.1)

Diketahui dari kursus aljabar linier bahwa jika bagian nyata tidak sama dengan nolaku 1 , aku 2 sistem asli (4.4) dengan bantuan transformasi (4.11) selalu dapat ditransformasikan ke bentuk kanonik (4.10) dan perilakunya pada bidang fase dapat dipelajariξ , η . Pertimbangkan berbagai kasus yang mungkin muncul di sini.

Akar 1 , λ 2 – sah dan bertanda sama

Dalam hal ini, koefisien transformasinya nyata, kita bergerak dari bidang nyatax,yke bidang nyata , . Membagi persamaan kedua (4.10) dengan persamaan pertama, kita memperoleh:

.(4.12)

Mengintegrasikan persamaan ini, kami menemukan:

Dimana .(4.13)

Mari kita setuju untuk memahami dengan 2 akar persamaan karakteristik dengan modulus besar, yang tidak melanggar keumuman penalaran kami. Kemudian, karena dalam kasus yang dipertimbangkan akar 1 , 2 – sah dan bertanda sama,sebuah>1 , dan kita berurusan dengan kurva integral tipe parabola.

Semua kurva integral (kecuali untuk sumbu η , yang sesuai dengan ) sentuh di titik asal sumbu ξ, yang juga merupakan kurva integral dari persamaan (4.11). Asal koordinat adalah titik tunggal.

Sekarang mari kita cari tahu arah gerak titik perwakilan di sepanjang lintasan fase. Jika 1 , 2 negatif, maka, seperti dapat dilihat dari persamaan (4.10), |ξ|, |η| menurun seiring waktu. Titik yang mewakili mendekati asal, tetapi tidak pernah mencapainya. Jika tidak, ini akan bertentangan dengan teorema Cauchy, yang menyatakan bahwa hanya satu lintasan fase yang melewati setiap titik bidang fase.

Titik tunggal yang dilalui kurva integral, seperti keluarga parabola melewati titik asal, disebut simpul (Gbr. 4.5)

Keadaan setimbang tipe simpul pada 1 , 2 < 0 stabil menurut Lyapunov, karena titik yang mewakili bergerak sepanjang semua kurva integral menuju titik asal koordinat. dia simpul stabil. Jika 1 , 2 > 0, maka |ξ|, |η| meningkat seiring waktu dan titik perwakilan bergerak menjauh dari titik asal. Dalam hal ini, titik tunggal– simpul tidak stabil .

Pada bidang fase x, y karakter kualitatif umum dari perilaku kurva integral akan tetap ada, tetapi garis singgung kurva integral tidak akan bertepatan dengan sumbu koordinat. Sudut kemiringan garis singgung ini akan ditentukan oleh rasio koefisien α , β , γ , δ dalam persamaan (4.11).

Akar 1 , λ 2 valid dan memiliki tanda yang berbeda.

Konversi dari koordinat x,y ke koordinat ξ, η lagi nyata. Persamaan untuk variabel kanonik lagi memiliki bentuk (4.10), tetapi sekarang tanda 1 , 2 berbeda. Persamaan lintasan fase memiliki bentuk:

Dimana ,(4.14)

Mengintegrasikan (4.14), kami menemukan

(4.15)

dia persamaan mendefinisikan keluarga kurva tipe hiperbolik, di mana kedua sumbu koordinat adalah asimtot (at sebuah=1 kita akan memiliki keluarga hiperbola sama kaki). Sumbu koordinat juga merupakan kurva integral dalam hal ini– ini akan menjadi satu-satunya kurva integral yang melewati titik asal. Setiapyang terdiri dari tiga lintasan fase: dari dua gerakan menuju keadaan setimbang (atau menjauh dari keadaan setimbang) dan dari keadaan setimbang. Semua kurva integral lainnya– adalah hiperbola yang tidak melalui titik asal (Gbr. 4.6) Titik tunggal ini disebut "pelana ». Garis level di dekat sadel gunung berperilaku seperti lintasan fase di sekitar sadel.

Mari kita perhatikan sifat gerakan titik perwakilan di sepanjang lintasan fase di dekat keadaan setimbang. Biarkan, misalnya, 1 >0, 2<0 . Kemudian titik perwakilan ditempatkan pada sumbu ξ , akan menjauh dari titik asal, dan ditempatkan pada sumbu η – akan mendekati asal koordinat tanpa batas, tanpa mencapainya dalam waktu yang terbatas. Dimanapun titik yang mewakili berada pada momen awal (dengan pengecualian titik tunggal dan titik pada asimtot η =0), itu akhirnya akan menjauh dari keadaan setimbang, bahkan jika pada awalnya bergerak sepanjang salah satu kurva integral menuju titik tunggal.

Jelas bahwa titik tunggal tipe pelana selalu tidak stabil . Hanya di bawah kondisi awal yang dipilih secara khusus pada asimtotη =0 sistem akan mendekati keadaan setimbang. Namun, ini tidak bertentangan dengan pernyataan bahwa sistem tidak stabil. Jika Anda menghitung, bahwa semua keadaan awal sistem pada bidang fase sama-sama mungkin, maka probabilitas keadaan awal yang sesuai dengan gerakan dalam arah ke titik tunggal sama dengan nol. Oleh karena itu, setiap gerakan nyata akan menghilangkan sistem dari keadaan setimbang.Kembali ke koordinatx,y,kita mendapatkan gambaran kualitatif yang sama tentang sifat pergerakan lintasan di sekitar titik asal.

Batas antara kasus yang dipertimbangkan dari sebuah simpul dan pelana adalah kasusnya Kapan salah satu indikator karakteristik, misalnya λ 1 , lenyap, yang terjadi ketika determinan sistem- ekspresi adbc=0(lihat rumus 4.8 ). Dalam hal ini, koefisien ruas kanan persamaan (4.4) sebanding satu sama lain:

dan sistem memiliki untuk kesetimbangannya menyatakan semua titik garis:

Kurva integral yang tersisa adalah keluarga garis sejajar dengan kemiringan , di mana titik-titik perwakilan mendekati keadaan setimbang atau menjauh darinya, tergantung pada tanda akar kedua dari persamaan karakteristik 2 = a+d.(Gbr.4. 7 ) Dalam hal ini, koordinat keadaan setimbang bergantung pada nilai awal variabel.

Akar 1 , λ 2 – kompleksmengkonjugasikan

Dalam hal ini, nyatax dan kamu kami akan memiliki konjugat kompleks ξ , η (4.10) . Namun, dengan memperkenalkan satu lagi transformasi antara, dalam kasus ini juga dimungkinkan untuk mereduksi pertimbangan menjadi transformasi homogen linier nyata. Mari kita taruh:

(4.16)

di mana a, b, dan kamu, v – nilai-nilai nyata. Dapat ditunjukkan bahwa transformasi darix,y ke kamu, v adalah, berdasarkan asumsi kami, nyata, linier, homogen dengan determinan bukan nol. Karena persamaan(4.10, 4.16) kita memiliki :

di mana

(4.17)

Membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama, kita mendapatkan:

yang lebih mudah diintegrasikan, jika kita beralih ke sistem koordinat kutub (r, φ ) . Setelah pergantian kita dapatkan dari mana:

.(4.18)

Jadi, pada bidang fasekamu, vkita berurusan dengan keluarga spiral logaritmik, yang masing-masing memilikititik asimtotik di titik asal.Titik singular yang merupakan titik asimtotik dari semua kurva integral yang berbentuk spiral, teman bersarang diteman, disebut fokus ( gbr.4.8 ) .

Mari kita pertimbangkan sifat pergerakan titik yang mewakili sepanjang lintasan fase. Mengalikan persamaan pertama (4.17) dengankamu, dan yang kedua v dan menambahkan , kita mendapatkan:

Di mana

Membiarkan sebuah 1 < 0 (sebuah 1 = Ulangλ ) . Titik yang mewakili kemudian terus menerus mendekati titik asal tanpa mencapainya dalam waktu yang terbatas. Ini berarti bahwa lintasan fase adalah spiral yang memutar dan sesuai dengan osilasi teredam variabel. Dia - fokus mantap .

Dalam kasus fokus stabil, seperti dalam kasus simpul stabil, tidak hanya kondisi Lyapunov yang dipenuhi, tetapi juga persyaratan yang lebih ketat. Yaitu, untuk setiap penyimpangan awal, sistem pada akhirnya akan kembali sedekat yang diinginkan ke posisi kesetimbangan. Stabilitas seperti itu, di mana deviasi awal tidak hanya tidak meningkat, tetapi peluruhan, cenderung nol, disebut stabilitas mutlak .

Jika dalam rumus (4.18) sebuah 1 >0 , maka titik yang mewakili bergerak menjauh dari asal, dan kita berhadapan dengan fokus tidak stabil . Saat bergerak dari pesawatkamu, vke bidang fasex, kamuspiral juga akan tetap spiral, tetapi akan berubah bentuk.

Pertimbangkan sekarang kasusnya ketikasebuah 1 =0 . Lintasan fase di pesawatkamu, vakan ada lingkaran yang di pesawatx,ycocok elips:

Jadi, padasebuah 1=0 melalui titik khususx= 0,y= 0 tidak ada kurva integral yang lewat. Titik singular yang terisolasi seperti itu, di dekat mana kurva integral adalah kurva tertutup, khususnya, elips yang tertanam satu sama lain dan menutup titik singular, disebut pusat.

Jadi, enam jenis kesetimbangan dimungkinkan, tergantung pada sifat akar persamaan karakteristik (4.7). Tampilan lintasan fase di pesawat x, y untuk enam kasus ini ditunjukkan pada Gambar. 4.9.

Beras. 4.9.Jenis potret fase di sekitar keadaan diam untuk sistem persamaan linier (4.4).

Lima jenis keadaan setimbang itu kasar, sifatnya tidak berubah dengan perubahan yang cukup kecil di ruas kanan persamaan (4.4). Dalam hal ini, perubahannya harus kecil tidak hanya pada ruas kanan, tetapi juga pada turunan orde pertama. Keadaan keseimbangan keenam - pusat - tidak kasar. Dengan perubahan kecil pada parameter sisi kanan persamaan, ia masuk ke fokus yang stabil atau tidak stabil.

Diagram bifurkasi

Mari kita perkenalkan notasi:

. (4.11)

Maka persamaan karakteristik dapat ditulis dalam bentuk:

. (4.12)

Pertimbangkan sebuah pesawat dengan koordinat Cartesian persegi panjang s , D dan tandai di atasnya area yang sesuai dengan satu atau lain jenis keadaan setimbang, yang ditentukan oleh sifat akar persamaan karakteristik

.(4.13)

Syarat kestabilan keadaan setimbang adalah adanya bagian real negatif dari yaku 1 dan aku 2 . Kondisi yang perlu dan cukup untuk ini adalah pemenuhan ketidaksetaraans > 0, D > 0 . Pada diagram (4.15), kondisi ini sesuai dengan titik-titik yang terletak di kuartal pertama bidang parameter. Titik tunggal akan menjadi fokus jikaaku 1 dan aku 2 kompleks. Kondisi ini sesuai dengan titik-titik pesawat yang , itu. titik antara dua cabang parabolas 2 = 4 D. Titik semisumbu s = 0, D>0, sesuai dengan keadaan keseimbangan tipe pusat. Juga,aku 1 dan aku 2 - valid, tetapi tandanya berbeda, mis. titik tunggal akan menjadi pelana jika D<0, dll. Akibatnya, kami mendapatkan diagram partisi dari bidang parameter s, D, menjadi daerah yang sesuai dengan berbagai jenis keadaan setimbang.

Beras. 4.10. Diagram bifurkasi

untuk sistem persamaan linear 4.4

Jika koefisien sistem linier a, b, c, d tergantung pada beberapa parameter, maka ketika parameter ini diubah, nilainya juga akan berubahs , D . Saat melewati batas, sifat potret fase berubah secara kualitatif. Oleh karena itu, batas seperti itu disebut batas bifurkasi - di sisi berlawanan dari batas, sistem memiliki dua potret fase yang berbeda secara topologi dan, karenanya, dua jenis perilaku yang berbeda.

Diagram menunjukkan bagaimana perubahan tersebut dapat terjadi. Jika kita mengecualikan kasus khusus - asal koordinat - maka mudah untuk melihat bahwa pelana dapat masuk ke simpul, stabil atau tidak stabil saat melintasi sumbu y. Node stabil dapat berpindah ke sadel atau fokus stabil, dan seterusnya. Perhatikan bahwa transisi fokus simpul stabil-stabil dan transisi fokus simpul tidak stabil-tidak stabil tidak bifurkasional, karena topologi ruang fase tidak berubah dalam kasus ini. Kami akan berbicara lebih detail tentang topologi ruang fase dan transisi bifurkasi di Kuliah 6.

Di bawah transisi bifurkasi, sifat stabilitas titik tunggal berubah. Misalnya, fokus yang stabil melalui bagian tengah dapat berubah menjadi fokus yang tidak stabil. Bifurkasi ini disebut Bifurkasi Andronov-Hopf dengan nama-nama ilmuwan yang mempelajarinya. Dengan bifurkasi ini dalam sistem nonlinier, siklus batas lahir, dan sistem menjadi berosilasi sendiri (lihat kuliah 8).

Contoh. Sistem reaksi kimia linier

Zat X mengalir dari luar dengan laju konstan, berubah menjadi zat Y dan dengan laju yang sebanding dengan konsentrasi zat kamu, dikeluarkan dari bidang reaksi. Semua reaksi adalah orde pertama, dengan pengecualian masuknya materi dari luar, yang memiliki orde nol. Skema reaksi terlihat seperti:

(4.14)

dan dijelaskan oleh sistem persamaan:

(4.15)

Kami memperoleh konsentrasi stasioner dengan menyamakan ruas kanan dengan nol:

.(4.16)

Pertimbangkan potret fase sistem. Mari kita bagi persamaan kedua dari sistem (4.16) dengan yang pertama. Kita mendapatkan:

.(4.17)

Persamaan (4.17) menentukan perilaku variabel pada bidang fase. Mari kita buat potret fase dari sistem ini. Pertama, kita menggambar isoklin utama pada bidang fase. Persamaan isoklin garis singgung vertikal:

Persamaan untuk isoklin garis singgung horizontal:

Titik tunggal (keadaan stasioner) terletak di persimpangan isoclines utama.

Sekarang mari kita tentukan pada sudut berapa sumbu koordinat memotong kurva integral.

Jika sebuah x= 0, maka .

Jadi, garis singgung kemiringan garis singgung kurva integral y=y(x), memotong sumbu y x=0, negatif di setengah bidang atas (ingat bahwa variabel x, y memiliki nilai konsentrasi, dan karena itu kami hanya tertarik pada kuadran kanan atas bidang fase). Dalam hal ini, nilai garis singgung dari sudut kemiringan garis singgung meningkat dengan jarak dari titik asal.

Pertimbangkan sumbu y= 0. Pada perpotongan sumbu ini, kurva integral digambarkan oleh persamaan

Pada tangen kemiringan kurva integral yang melintasi sumbu absis adalah positif dan meningkat dari nol hingga tak terhingga dengan bertambahnya x.

Pada .

Kemudian, dengan peningkatan lebih lanjut, garis singgung kemiringan menurun dalam nilai absolut, tetap negatif dan cenderung -1 di x ® ¥ . Mengetahui arah garis singgung kurva integral pada isoklin utama dan sumbu koordinat, mudah untuk membangun seluruh gambar lintasan fase.

Sifat kestabilan titik singular akan ditentukan dengan menggunakan metode Lyapunov. Determinan karakteristik sistem memiliki bentuk:

.

Memperluas determinan, kita memperoleh persamaan karakteristik sistem: , yaitu akar persamaan karakteristik keduanya negatif. Oleh karena itu, keadaan stasioner sistem adalah simpul yang stabil. Pada saat yang sama, konsentrasi zat X cenderung keadaan stasioner selalu monoton, konsentrasi zat Y dapat melewati min atau max. Rezim osilasi dalam sistem seperti itu tidak mungkin.

Deret Taylor sebagai alat yang efektif untuk mempelajari fungsi-fungsi yang bersifat analitik pada lingkaran zol Untuk mempelajari fungsi-fungsi yang bersifat analitik pada daerah annular, ternyata dimungkinkan untuk mengkonstruksikan pemuaian pada pangkat positif dan negatif (z - zq) dari bentuk yang menggeneralisasikan ekspansi Taylor. Deret (1), yang dipahami sebagai jumlah dari dua deret, disebut deret Laurent. Jelaslah bahwa daerah konvergensi deret (1) adalah bagian persekutuan dari daerah konvergensi masing-masing deret (2). Mari kita temukan dia. Area konvergensi deret pertama adalah lingkaran yang jari-jarinya ditentukan oleh rumus Cauchy-Hadamard Di dalam lingkaran konvergensi, deret (3) konvergen ke fungsi analitik, dan dalam sembarang lingkaran berjari-jari lebih kecil, konvergen mutlak dan seragam. Deret kedua adalah deret pangkat terhadap variabel.Deret (5) konvergen dalam lingkaran konvergensinya ke fungsi analitik dari variabel kompleks m-*oo, dan dalam lingkaran dengan jari-jari yang lebih kecil konvergen secara mutlak dan seragam, yang artinya daerah konvergensi deret (4) adalah kenampakan lingkaran - Jika maka ada daerah konvergensi deret (3) dan (4) - cincin lingkaran yang deret (1) konvergen ke fungsi analitik. Selain itu, di ring mana pun, ia konvergen secara mutlak dan seragam. Contoh 1. Tentukan daerah konvergensi deret rad Laurent Titik singular terisolasi dan klasifikasinya (z), yang bernilai tunggal dan apolitis dalam cincin melingkar, dapat direpresentasikan dalam cincin ini sebagai jumlah dari deret konvergen yang koefisiennya Cn secara unik ditentukan dan dihitung dengan rumus di mana 7p adalah lingkaran dengan jari-jari m Mari kita tentukan titik sembarang z di dalam ring R Kami membangun lingkaran dengan pusat di titik r yang jari-jarinya memenuhi pertidaksamaan dan mempertimbangkan cincin baru Menurut teorema integral Cauchy untuk domain terhubung ganda, kami memiliki Untuk semua titik £ sepanjang lingkaran 7d*, hubungan de jumlah deret konvergen seragam 1 1 terpenuhi. Oleh karena itu, pecahan ^ dapat direpresentasikan dalam vi- /" / Dengan cara yang agak berbeda, untuk semua titik pada lingkaran ir> kita memiliki hubungan Oleh karena itu, pecahan ^ dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari deret konvergen beraturan dalam rumus (10) dan (12) adalah fungsi analitik dalam cincin melingkar. Oleh karena itu, dengan teorema Cauchy, nilai integral yang sesuai tidak berubah jika lingkaran 7/r dan 7r/ diganti dengan lingkaran apa pun. Hal ini memungkinkan kita untuk menggabungkan rumus (10) dan (12).Mengganti integral di sisi kanan rumus (8) dengan ekspresi mereka (9) dan (11), masing-masing, kami memperoleh ekspansi yang diinginkan.Karena z adalah arbitrer titik ring, maka deret (14) konvergen ke fungsi f(z) di mana-mana di ring ini, dan di ring mana pun deret itu konvergen ke fungsi ini secara mutlak dan seragam. Mari kita buktikan bahwa dekomposisi bentuk (6) adalah unik. Asumsikan bahwa terjadi satu dekomposisi lagi, Kemudian, di mana-mana di dalam ring R, kita memiliki Pada keliling, deret (15) konvergen secara seragam. Kalikan kedua sisi persamaan (di mana m adalah bilangan bulat tetap, dan integrasikan kedua seri suku demi suku. Akibatnya, kita dapatkan di sisi kiri, dan di kanan - Csh. Jadi, (4, \u003d St. Sejak m adalah bilangan arbitrer, maka deret persamaan terakhir (6), yang koefisiennya dihitung dengan rumus (7), disebut deret Laurent dari fungsi f(z) pada ring 7) karena koefisien deret Laurent adalah jarang digunakan dalam praktik, karena biasanya memerlukan perhitungan yang rumit. Biasanya, jika memungkinkan, ekspansi Taylor yang sudah jadi dari fungsi dasar digunakan. Berdasarkan keunikan ekspansi, metode apa pun yang sah akan menghasilkan hasil yang sama. Contoh 2 Pertimbangkan ekspansi deret Laurent dari fungsi domain yang berbeda, dengan asumsi bahwa Fuiscius /(r) memiliki dua titik singular: Oleh karena itu, ada tiga domain ring dan, berpusat pada titik r = 0. di mana masing-masing fungsi f(r) analitik: a) lingkaran adalah bagian luar lingkaran (Gbr. 27). Mari kita cari ekspansi Laurent dari fungsi /(z) di masing-masing daerah ini. Kami menyatakan /(z) sebagai jumlah dari pecahan dasar a) Hubungan Transformasi Lingkaran (16) sebagai berikut Dengan menggunakan rumus jumlah suku suatu deret geometri, diperoleh b) Ring untuk fungsi -z tetap konvergen pada ring ini, karena Deret (19) untuk fungsi j^j untuk |z| > 1 menyimpang. Oleh karena itu, kami mengubah fungsi /(z) sebagai berikut: menerapkan rumus (19) lagi, kami memperoleh bahwa deret ini konvergen untuk. Substitusikan ekspansi (18) dan (21) ke dalam relasi (20), kita peroleh c) Eksterioritas lingkaran untuk fungsi -z dengan |z| > 2 divergen, dan deret (21) untuk fungsi tersebut Mari kita nyatakan fungsi /(z) dalam bentuk berikut: /<*> Menggunakan rumus (18) dan (19), kita memperoleh OR 1 Contoh ini menunjukkan bahwa untuk fungsi yang sama f(z) ekspansi Laurent, secara umum, memiliki bentuk yang berbeda untuk cincin yang berbeda. Contoh 3. Temukan dekomposisi 8 deret Laurent dari fungsi Deret Laurent Titik singular yang terisolasi dan klasifikasinya pada daerah annular A Kami menggunakan representasi fungsi f (z) dalam bentuk berikut: dan mentransformasikan suku kedua Menggunakan rumus untuk jumlah suku deret geometri, kita memperoleh Mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalam rumus (22), kita memiliki Contoh 4. Perluas fungsi dalam deret Laurent di sekitar tipis zq = 0. Untuk kompleks apa pun , kita memiliki Membiarkan Perluasan ini berlaku untuk sembarang titik z 0. Dalam hal ini, daerah annular adalah seluruh bidang kompleks dengan satu titik z - 0 yang dibuang. Daerah ini dapat didefinisikan dengan hubungan berikut: Fungsi ini analitik di daerah Dari rumus (13) untuk koefisien deret Laurent, dengan alasan yang sama seperti pada paragraf sebelumnya, seseorang dapat memperoleh pertidaksamaan Kouiw. jika fungsi f(z) dibatasi pada sebuah lingkaran, di mana M adalah konstanta), maka titik singular terisolasi Sebuah titik zo disebut titik singular terisolasi dari fungsi f(z) jika terdapat lingkungan melingkar dari titik tersebut ( himpunan ini kadang-kadang juga disebut lingkungan tertusuk dari titik 2o), di mana fungsi f(z) bernilai tunggal dan analitik. Pada titik zo itu sendiri, fungsinya tidak terdefinisi atau tidak bernilai tunggal dan analitik. Tiga jenis titik singular dibedakan tergantung pada perilaku fungsi /(z) ketika mendekati titik zo. Sebuah titik singular yang terisolasi dikatakan: 1) dapat dipindahkan jika ada yang berhingga 2) pmusach jika 3) titik singular yang esensial jika fungsi f(z) tidak memiliki limit untuk Teorema 16. Titik singular terisolasi z0 dari suatu fungsi f(z) adalah titik singular yang dapat dipindahkan jika dan hanya jika perluasan Laurent dari fungsi f(z) di lingkungan titik zo tidak mengandung bagian utama, yaitu, memiliki bentuk Let zo - titik singular yang dapat dilepas. Maka terdapat fungsi berhingga, oleh karena itu, fungsi f(z) dibatasi dalam lingkungan prokologis dari titik r. Kami menetapkan Berdasarkan pertidaksamaan Cauchy Karena dimungkinkan untuk memilih p sebagai kecil sewenang-wenang, maka semua koefisien di pangkat negatif (z - 20) sama dengan nol: Sebaliknya, biarkan Laurent perluasan fungsi /(r) di lingkungan titik zq hanya berisi bagian yang benar, yaitu, memiliki bentuk (23) dan, akibatnya, adalah Taylor. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk z -* z0 fungsi /(r) memiliki nilai limit: Teorema 17. Sebuah titik singular terisolasi zq dari fungsi f(z) dapat dilepas jika dan hanya jika fungsi J(z) adalah dibatasi di beberapa lingkungan tertusuk titik zq, Zgmechai tidak. Biarkan r0 menjadi titik singular f(r) yang dapat dilepas. Dengan asumsi kita mendapatkan bahwa fungsi f(r) analitik dalam beberapa lingkaran yang berpusat pada titik th. Ini mendefinisikan nama titik - sekali pakai. Teorema 18. Titik singular terisolasi zq dari suatu fungsi f(z) adalah sebuah kutub jika dan hanya jika bagian utama dari perluasan Laurent dari fungsi f(z) di lingkungan titik tersebut berisi bilangan berhingga (dan positif) dari istilah bukan nol, yaitu, memiliki bentuk 4 Biarkan z0 menjadi tiang. Sejak saat itu terdapat lingkungan yang tertusuk dari titik z0 di mana fungsi f(z) adalah analitik dan bukan nol. Kemudian fungsi analitik didefinisikan di lingkungan ini dan Oleh karena itu, titik zq adalah titik singular yang dapat dilepas (nol) dari fungsi atau di mana h(z) adalah fungsi analitik, h(z0) 0 analitik di lingkungan titik zq, dan karenanya, dari mana kita memperolehnya Mari kita asumsikan bahwa fungsi f(z) memiliki dekomposisi bentuk (24) di lingkungan titik zo. Ini berarti bahwa dalam lingkungan ini fungsi f(z) analitik bersama dengan fungsi tersebut. Untuk fungsi g(z), pemuaian valid dari mana jelas bahwa zq adalah titik singular yang dapat dipindahkan dari fungsi g(z) dan ada Kemudian fungsi cenderung pada 0 - kutub fungsi Ada satu lagi yang sederhana fakta. Titik Zq adalah kutub dari fungsi f(z) jika dan hanya jika fungsi g(z) = y dapat diperluas ke fungsi analitik di sekitar titik zq dengan menetapkan g(z0) = 0. Orde kutub fungsi f(z) disebut orde nol dari fungsi jfa. Teorema 16 dan 18 menyiratkan pernyataan berikut. Teorema 19. Sebuah singular tipis yang terisolasi pada dasarnya adalah singular jika dan hanya jika bagian utama dari ekspansi Laurent di lingkungan yang tertusuk dari titik ini mengandung banyak suku bukan nol yang tak terhingga. Contoh 5. Titik singular dari fungsi tersebut adalah zo = 0. Kami memiliki Deret Laurent Titik singular terisolasi dan klasifikasinya Oleh karena itu, zo = 0 adalah titik singular yang dapat dilepas. Perluasan fungsi /(z) dalam deret Laurent di sekitar titik nol hanya berisi bagian yang benar: Contoh7. f(z) = Titik singular dari fungsi f(z) adalah zq = 0. Pertimbangkan perilaku fungsi ini pada sumbu nyata dan imajiner: pada sumbu nyata di x 0, pada sumbu imajiner Oleh karena itu, tidak terbatas atau batas tak hingga f(z) pada z -* 0 tidak ada. Oleh karena itu titik r0 = 0 pada dasarnya adalah titik singular dari fungsi f(z). Mari kita cari ekspansi Laurent dari fungsi f(z) di sekitar titik nol. Untuk setiap kompleks C kami telah Kami tetapkan. Kemudian ekspansi Laurent berisi jumlah tak terbatas istilah dengan kekuatan negatif z.

Membiarkan zq - titik tunggal fungsi f(z), t.s. f(z) tetapi analitik pada titik ini (khususnya, mungkin tidak didefinisikan pada saat itu). Jika ada lingkungan titik yang tertusuk seperti itu zq (yaitu, himpunan O z - zq f(z) adalah aliatik, maka zo ditelepon titik tunggal terisolasi fungsi f(z). Definisi ini juga dipertahankan dalam kasus zn = oo, jika yodium adalah lingkungan titik yang tertusuk zq = oo pahami himpunannya z > Saya - munculnya beberapa lingkaran yang berpusat di titik asal. Dengan kata lain, titik tunggal zq dikatakan terisolasi jika terdapat suatu lingkungan dari titik ini di mana tidak ada titik singular lain yang berbeda dari zq. Di mana-mana di bawah ini, kami hanya mempertimbangkan titik tunggal dari karakter bernilai tunggal (fungsi f(z) dianggap unik).

Tergantung pada perilaku fungsi f(z) pada z -> zq Ada tiga jenis titik tunggal. Titik tunggal terisolasi fungsi zq f(z) ditelepon:

1) titik tunggal yang dapat dilepas jika ada batas yang terbatas

2) tiang jika ada batasnya

3) poin penting, jika f(z) tidak memiliki batas hingga atau tak hingga untuk z-> zq.

CONTOH 26.1. Mari kita tunjukkan bahwa ketiga jenis titik singular direalisasikan. Mempertimbangkan f(z)= titik zq = 0 terisolasi

titik tunggal dari fungsi ini. Menggunakan rumus (22.12), kami memperoleh ekspansi

dari mana kemudian ada lim fi(z)= 1. Oleh karena itu, zq = 0 adalah

adalah titik singular yang dapat dilepas dari fungsi fi(z).

Fungsi f'j(z) =--- memiliki tiang di satu titik zo= 1 karena

2 r" X

Pertimbangkan sekarang fungsinya )z(z)= e 1 ^ r dan tunjukkan bahwa zo = O adalah titik singular penting dari fungsi ini. Saat berusaha z ke nol di sepanjang sumbu nyata, batas kiri dan kanan fungsi f (z) berbeda: lim Dengan 1 / 1 = 0, lim dengan 1 /* = os. Ini menyiratkan,

x->0-0 x->0+0

Apa f:i(z) tidak memiliki batas yang terbatas atau tak terbatas untuk 2 -> Oh, yaitu zq = 0 pada dasarnya adalah titik tunggal dari fungsi ini. (Perhatikan bahwa sebagai titik cenderung z-iy ke nol pada fungsi sumbu imajiner

tidak memiliki batas sama sekali.)

Tentu saja, ada juga titik singular yang tidak terisolasi. Sebagai contoh. fungsi memiliki kutub di titik z n = -, P= ±1, ±2,...

Akibatnya, Zq = 0 adalah titik singular tak-terisolasi dari fungsi ini: di lingkungan mana pun (kecil sewenang-wenang) dari titik ini ada titik singular lainnya g hal.

Membiarkan zo- titik tunggal akhir terisolasi dari suatu fungsi f(z). Kemudian f(z) serupa di beberapa lingkungan yang tertusuk 0 Zo intinya zo lingkungan ini dapat dianggap sebagai cincin dengan jari-jari dalam r = 0. Dengan Teorema 25.1, di lingkungan yang dipertimbangkan, fungsi f(z) dapat diperluas dalam deret Laurent (25.2). Kami akan menunjukkan bahwa perilaku fungsi untuk 2 -> zq (yaitu jenis titik tunggal z) tergantung pada bentuk bagian utama dekomposisi (25.2); keadaan ini menjelaskan asal usul istilah "bagian utama".

TEOREMA 2G.2. Titik singular zo yang terisolasi dari suatu fungsi f(z) dapat dipindahkan jika dan hanya jika ekspansi Lorap di lingkungan titik ini memiliki oid

itu. hanya terdiri dari bagian yang benar, dan semua koefisien bagian utama sama dengan peluru.

Bukti. 1. Mari zo adalah titik tunggal yang dapat dilepas. Mari kita buktikan bahwa perluasan fungsi Laurent f(z) memiliki bentuk (26.1). Sejak titik tunggal zo dilepas, maka ada batas batas yang terbatas f(z) = A Akibatnya, f(z) dibatasi di beberapa lingkungan tertusuk 0 z - zq dari titik zo, itu. )(z) untuk semua z dari lingkungan ini. Ambil apa saja R. U /?|, dan gunakan rumus (25.3) untuk koefisien deret Laurent:

Untuk koefisien bagian utama dari ekspansi n =- 1,-2,... Untuk nilai seperti itu P kita punya p~n-e 0 at R-> 0. Karena nilainya R dapat dipilih sewenang-wenang kecil, maka Tuan~" bisa sewenang-wenang kecil. Sejak |c t,| ^ Tuan~n dan cn tidak bergantung pada p, maka cn = 0 untuk dan= - 1, -2,..., yang harus dibuktikan.

2. Mari kita asumsikan bahwa ekspansi Laurent memiliki bentuk (26.1). Deret (26.1) adalah deret pangkat dan. oleh karena itu, menyatu tidak hanya di tertusuk, tetapi juga di seluruh lingkungan z-zq termasuk titik zo; jumlah nya S(z) bersifat analitik untuk z dan S(z) = )(z) pada 0 z - zo R. Oleh karena itu, ada batas terbatas lim )(z)\u003d Pm 5 (r) \u003d 5 (r) - Oleh karena itu, titik tunggal zq

Z->Zo Z-*Zo

sekali pakai. Teorema telah terbukti.

Komentar. Ini mengikuti dari bukti teorema bahwa di lingkungan tertusuk 0 z - zo dari titik tunggal yang dapat dilepas, fungsi f(z) bertepatan dengan fungsi S(r), yang analitik di seluruh lingkungan z - zo. Oleh karena itu, jika kita menempatkan /(th) = S(zq), kemudian, tanpa mengubah nilai fungsi f(z) pada titik mana pun dari lingkungan yang tertusuk, kami membuat fungsi ini analitik dalam r, yaitu. "hapus" fitur tersebut. Ini menjelaskan istilah "singularitas yang dapat dilepas". Itu wajar untuk mempertimbangkan titik-titik seperti biasa, dan bukan sebagai titik tunggal dari fungsi f(z).

Perhatikan, misalnya, fungsi

Pada contoh 26.1, ditunjukkan bahwa Pm (n) = 1. yaitu. titik tunggal

zq = 0 dapat dilepas. Menetapkan /i(0) = 1, dengan demikian kita menghilangkan singularitas dan memperoleh fungsi yang analitik pada titik zq = 0 (dan di seluruh bidang C).

Mari kita sekarang mengkarakterisasi kutub dalam hal ekspansi Laurent.

Teorema 26.3. Titik singular terisolasi Zo dari suatu fungsi f(z) adalah kutub jika dan hanya jika, ketika bagian utama dari ekspansi Laurent dengan pusat Zq hanya memiliki jumlah yang berbeda

dari nol koefisien dengan n:

Bukti. 1. Mari zq - tiang, mis. lim // z) = oh.

Mari kita buktikan bahwa perluasan fungsi Laurent f(z) memiliki bentuk (2G.2). Sejak lim f(z)= oh. maka ada lingkungan titik yang tertusuk

ki zq. di mana f(z) analitik dan tidak memiliki nol. Maka fungsi g(z) = 1 /f(z) juga akan analitik di lingkungan yang tertusuk ini, dan lim g(z)= 0. Oleh karena itu, Zo adalah sekali pakai *-? *0

titik tunggal fungsi g(z). Mari kita definisikan kembali g(z) pada intinya zo, menempatkan g(zo)= 0. Kemudian g(z) menjadi analitik di seluruh lingkungan titik (tidak tertusuk) z 0 , dan z0 akan menjadi nol yang terisolasi. Dilambangkan dengan N multiplisitas (urutan) dari nol ini. Seperti yang ditunjukkan pada 23, di sekitar titik fungsi zq g(z) dapat direpresentasikan dalam bentuk (lihat (23.2))

dan (z$) f 0 dan y>(z) analitik di beberapa lingkungan titik zo- Karena ip(z) terus menerus pada titik zo dan g>(zo) F 0" lalu ip(z) tidak memiliki nol di beberapa lingkungan titik ini baik. Oleh karena itu fungsi 1 /-p(z) juga akan analitik di lingkungan ini dan, oleh karena itu, berkembang di dalamnya dalam deret Taylor:

Membuka tanda kurung dan mengubah penunjukan koefisien, kami menulis ekspansi terakhir dalam bentuk

dimana c_jv = 1> untuk 0. Jadi, bagian utama dari perluasan Laurent dari f(r) hanya berisi sejumlah suku terhingga; kita telah sampai pada persamaan yang disyaratkan (26.2).

2. Biarkan di lingkungan titik yang tertusuk th fungsi )(z) diwakili oleh ekspansi Laurent (26.2) (dalam bentuk yang lebih diperluas, lihat (26.3)), bagian utamanya hanya berisi sejumlah istilah yang terbatas, dan Dengan- d" f 0. Kita harus membuktikan bahwa Zq - tiang fungsi f(z). Mengalikan persamaan (26.3) dengan (G - G o) iV , kita mendapatkan fungsi

Deret pada (26.4) adalah deret pangkat yang konvergen ke fungsi analitik tidak hanya di titik tertusuk, tetapi juga di seluruh lingkungan titik Zq. Oleh karena itu, fungsi j(z) menjadi analitik di lingkungan ini jika kita memperluasnya dengan menetapkan h(zo)= s_dg f 0. Kemudian

Jadi titik o adalah sebuah kutub, dan Teorema 26.3 terbukti.

Multiplisitas (urutan) dari fungsi ke-nol g(z)= 1//(r) disebut urutan tiang fungsi /(r). Jika sebuah N- orde kutub adalah th, maka g(z)= (r - Zo)N ip(z), dan pergi) F 0, dan, seperti yang ditunjukkan pada bagian pertama dari pembuktian Teorema 26.3, perluasan f(r) memiliki bentuk (26.3), di mana c_/v f 0. Sebaliknya, jika f(r) diekspansi ke dalam deret (26.3) dan e-z F 0, maka

t.s. N- orde kutub fungsi f(r). Lewat sini, urutan kutub zq dari fungsi/(G) sama dengan jumlah koefisien bukan nol terkemuka dari bagian utama dari ekspansi Laurent di lingkungan yang tertusuk dari titik zq(yaitu sama dengan angka seperti itu N, apa s_dg f 0 dan sp= 0 at P > N).

Mari kita buktikan pernyataan berikut, yang nyaman) untuk aplikasi.

Akibat wajar 26.4. Titik zq adalah kutub orde N fiksi/(G) jika dan hanya jika/(G) mewakili dalam bentuk

di mana h(z) adalah fungsi analitik di sekitar titik th dan h(zo) f 0.

Bukti. Fungsi cp(z) = l/j(z) analitik di beberapa lingkungan dari titik r. Kondisi akibat wajar 26.4 ekuivalen dengan berikut:

Itu sebabnya zq - multiplisitas nol N fungsi g(z). dan karenanya kutub multiplisitas N fungsi /(2).

II contoh 26.5. Menemukan titik singular terisolasi dari suatu fungsi dan menentukan jenisnya.

D e u c tio n. Titik-titik di mana (z 2 + 1 )(z+ H) 2 = 0. Jika z 2 L- 1 = 0 lalu 2 = ±r jika (z 4- H) 2 = 0, maka z= -3. Oleh karena itu, fungsi tersebut memiliki tiga titik tunggal z= r, 22 = -r, Z3 = - 3. Pertimbangkan z:

G - tiang orde pertama (kami menggunakan Corollary 26.4). Dapat dibuktikan dengan cara yang sama bahwa 22 = -saya juga merupakan kutub orde pertama. Selama 2 jam kita memiliki:

Mari kita beralih ke pertimbangan poin yang pada dasarnya tunggal.

Teorema 26.6. Titik singular terisolasi zq dari suatu fungsi f(z) pada dasarnya singular jika dan hanya jika bagian utama dari pemuaian Laurent yang berpusat di zq memiliki jauh banyak berbeda dari. nol, koefisien dengan p.

Bukti. Teorema 26.6 mengikuti langsung dari Teorema 26.2 dan 26.3. Memang, jika intinya zq pada dasarnya adalah singular, maka bagian utama dari ekspansi Laurent tidak boleh tidak ada atau mengandung sejumlah istilah yang terbatas (jika tidak, titik Zq akan dapat dilepas atau tiang). Oleh karena itu, jumlah suku pada bagian utama harus tak terhingga.

Sebaliknya, jika bagian utama berisi banyak anggota, maka Zq tidak bisa menjadi titik yang dapat dilepas atau tiang. Akibatnya, poin ini pada dasarnya tunggal.

Menurut definisi, titik singular pada dasarnya dicirikan oleh fakta bahwa fungsi f(2) tidak memiliki batas hingga atau tak terbatas untuk z ->zq. Gagasan yang lebih lengkap tentang betapa tidak teraturnya perilaku suatu fungsi di lingkungan titik tunggal yang pada dasarnya diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 26.7 (Teorema Sochocki). Jika zq pada dasarnya singular, maka titik dari fungsi f(z), maka untuk sembarang bilangan kompleks L, termasuk A = ooh, ada barisan titik z n sedemikian rupa sehingga z n -> zo dan lim f(zn) = TETAPI.

n->os

Bukti. Pertimbangkan dulu kasusnya A = oo. Pada bagian pertama dari pembuktian Teorema 2G.2, kami menetapkan bahwa jika f(z) dibatasi di beberapa lingkungan tertusuk dari titik r0, maka semua koefisien c, n = - 1, - 2,... dari bagian utama sama dengan nol (dan, akibatnya, singularitas di th dapat dilepas). Karena dengan asumsi r0 pada dasarnya adalah titik singular, fungsi f(r) tidak terbatas pada sembarang lingkungan titik r0. Mari kita ambil beberapa lingkungan sempit 0 Z sedemikian rupa sehingga f(zi) > 1 (jika |/(r)| z - zo R/2 ada titik z-2 , di mana |/(dd)| > 2, dst.: di lingkungan yang tertusuk O 71. Jelas bahwa rn -e go dan lim /(r«) = oo. Jadi, dalam kasus A = oo, Teorema 26.7

terbukti.

Biarkan sekarang sebuah f oo. Asumsikan dulu bahwa ada lingkungan yang tertusuk 0

= -Y y---- akan analitik di lingkungan yang tertusuk ini dan, akibatnya,

/(G) - TETAPI

akibatnya, r adalah titik singular terisolasi dari fungsi (r). Mari kita tunjukkan. bahwa r0 pada dasarnya adalah titik singular dari (r). Biar salah. Maka ada batas lim (r), baik terbatas atau tak terbatas. Karena

/(r) = A + , maka Hsh /(r) juga ada, yang bertentangan dengan kondisi

F(g) ~ :-*z 0

pandangan teorema. Jadi r0 pada dasarnya adalah titik singular dari fungsi (r). Berdasarkan pembuktian di atas, terdapat barisan titik r n sedemikian rupa sehingga r n o dan lim (r n) = oo. Dari sini

Kami telah membuktikan pernyataan yang diperlukan dengan asumsi bahwa f(r) F A di beberapa lingkungan yang tertusuk dari titik r. Sekarang mari kita asumsikan bahwa ini tidak benar, yaitu. di setiap lingkungan tertusuk kecil sewenang-wenang dari titik th ada titik seperti itu G", bahwa f(r") = A. Maka untuk sembarang P di lingkungan tertusuk 0 f(z u) = L. Jadi, pernyataan yang diperlukan adalah benar P-yuo

dalam semua kasus, dan Teorema 26.7 terbukti.

Menurut (Sokhotsky's) Teorema 26.7, di setiap lingkungan yang tertusuk (kecil sewenang-wenang) dari titik yang pada dasarnya singular, fungsi f(r) mengambil nilai yang mendekati sembarang bilangan di bidang kompleks yang diperluas C.

Untuk mempelajari titik singular yang terisolasi, ekspansi Taylor yang terkenal dari fungsi dasar dasar sering berguna.

CONTOH 2G.8. Tentukan jenis titik singular zq = 0 untuk fungsi

Dipecahkan dan e. Kami memperluas pembilang dan penyebut dalam deret Taylor dalam pangkat r. Substitusi ke (22.11) 3 z alih-alih r dan mengurangkan 1, kita mendapatkan

Menggunakan (22.12), kami memperoleh perluasan penyebut:

Deret dalam ekspansi ini bertemu di seluruh bidang kompleks €. Kita punya

dan /2(2) analog di sekitar titik zo = 0 (dan bahkan di seluruh bidang) dan /2(20) F 0, maka j(z) juga analitik di beberapa lingkungan titik gF 0. Menurut Corollary 26.4, titik Zo = 0 adalah kutub orde N = 4.

II contoh 26.9. Menemukan Titik Singular dari suatu Fungsi f(z)= sin j - dan tentukan jenisnya.

P e in e dan e. Fungsi ini memiliki satu titik tunggal akhir zq = 1. Di titik lain dari C, fungsi w =--- analitis; maka fungsi dosa w akan analitis.

Mengganti dalam perluasan sinus (22.12) - alih-alih r, kita dapatkan

Kami telah memperoleh perluasan fungsi sin dalam deret Laurent di lingkungan yang tertusuk dari titik 20 = 1. Karena ekspansi yang dihasilkan mengandung banyak suku tak terhingga dengan pangkat negatif (r - 1), maka zq = 1 adalah titik singular penting (dalam hal ini, ekspansi Laurent hanya terdiri dari bagian utama, dan bagian yang benar tidak ada).

Perhatikan bahwa dalam kasus ini juga dimungkinkan untuk menetapkan sifat singularitas langsung dari definisi, tanpa menggunakan perluasan deret. Memang, ada barisan (r") dan (2") yang konvergen ke zo= 1, dan sedemikian sehingga f(z" n)= 1, /(2") = 0 (tentukan sendiri urutannya). Jadi, f(z) tidak memiliki batas ketika z -> 1 dan karenanya intinya zq - 1 pada dasarnya tunggal.

Mari kita perkenalkan konsep perluasan Laurent dari suatu fungsi di lingkungan suatu titik Zq = 00 dan pertimbangkan hubungan antara ekspansi dan sifat singularitas pada titik ini. Perhatikan bahwa definisi titik tunggal yang terisolasi dan jenisnya (dapat dilepas, kutub, atau pada dasarnya tunggal) terbawa ke kasing zq = oc tidak berubah. Tapi Teorema 26.2. 26.3 dan 26.6, terkait dengan sifat ekspansi Laurent, perlu diubah. Intinya adalah para anggota c n (z - 2o) hal. P= -1,-2,..., bagian utama, mendefinisikan "'ketidakteraturan" fungsi di dekat titik akhir Zq, karena 2 cenderung oo, mereka akan berperilaku “benar” (cenderung 0). Sebaliknya, anggota bagian reguler dengan P= 1,2,... akan cenderung oo; mereka menentukan sifat singularitas di Zq = oo. Oleh karena itu, bagian utama dari ekspansi di sekitar oo adalah suku dengan pangkat positif P, dan benar - dengan negatif.

Mari kita perkenalkan variabel baru w = 12. Fungsi tv= 1/2, diperpanjang sehingga u(oo) = 0, satu-ke-satu dan secara selaras memetakan lingkungan tersebut z > R poin zq = 00 di sekitar |w| wq = 0. Jika fungsi f(z) analitik di lingkungan yang rusak R z Zq = oc, maka fungsi G(w) = f(l/b) akan analitik di lingkungan kuning 0 wo = 0. Karena untuk 2 -> oo akan ada w-> 0, maka

Itu sebabnya G(w) memiliki pada intinya wq = 0 adalah singularitas yang bertipe sama dengan f(z) pada intinya Zq = 00. Mari kita perluas fungsi G(w) dalam deret Laurent di sekitar titik wo = 0:

Jumlah di sisi kanan (26,5) masing-masing mewakili bagian yang benar dan utama dari ekspansi. Mari kita beralih ke variabel z, menggantikan w = 1/z:

menunjukkan P\u003d -A *, 6 * \u003d 6_ " \u003d dengan p dan memperhatikan itu G(l/z) = f(z), kita mendapatkan

Penguraian (2G.G) disebut Perluasan Laurent dari fungsi f(z) di lingkungan titik zq= oh. Jumlah pertama dalam (2G.6) disebut bagian kanan, dan jumlah kedua adalah bagian utama dekomposisi ini. Karena jumlah ini sesuai dengan bagian yang benar dan utama dari ekspansi (26,5), ekspansi (26,6) memenuhi analog dari Teorema 26.2, 26.3, dan 26.6. Jadi, teorema berikut adalah analog dari Teorema 26.2.

Teorema 26.10. Titik tunggal terisolasiZq - os (fungsi/(G) dapat dilepas jika dan hanya jika ekspansi Laurent di lingkungan yang tertusuk dari titik ini memiliki bentuk

t.s. hanya terdiri dari bagian yang benar.

Kami menempatkan /(oo) = bersama. Fungsi yang didefinisikan oleh deret (26.7) yang konvergen di lingkungan z > R poin 2o \u003d oc, disebut analitik pada titik z o = oo. (Perhatikan bahwa definisi ini setara dengan analitik fungsi G(w) pada intinya wo = 0.)

Contoh 26.11. Selidiki titik singular zq = oo dari fungsi

Karena limitnya terbatas, maka zo = oo adalah titik singular yang dapat dilepas dari fungsi f(r). Jika kita menempatkan /(oo) = lim J(z)= 0, maka f(z) akan menjadi

tik pada titik Zo= os. Mari kita tunjukkan bagaimana menemukan ekspansi yang sesuai (26,7). Mari kita beralih ke variabel w = 1 fz. Mengganti z= 1 /?e, kita peroleh

(persamaan terakhir berlaku di lingkungan tertusuk dari titik ww = 0, tetapi kita akan memperluas definisinya (7(0) = 0). Fungsi yang dihasilkan memiliki titik singular w =± saya, w =-1/3, dan pada intinya Wq = 0 adalah analitik. Memperluas fungsi G(w) sedikit demi sedikit w(seperti yang dilakukan pada Contoh 25.7) dan mensubstitusikannya ke dalam deret pangkat yang dihasilkan w = 1/z seseorang dapat memperoleh ekspansi (26,7) dari fungsi f(z).

Teorema 26.3 untuk kasus zo= oo akan ditulis ulang dalam bentuk berikut.

Teorema 26.12. Titik tunggal terisolasi pergi = os fungsi f(z) adalah kutub jika dan hanya jika bagian utama dari ekspansi Laurent (26.6) hanya memiliki sejumlah koefisien bukan nol yang terbatas Dengan":

Di sini deret adalah bagian reguler, dan polinomial yang dikurung adalah bagian utama dari ekspansi. Multiplisitas kutub dalam oc didefinisikan sebagai multiplisitas kutub wq = 0 fungsi G(z). Sangat mudah untuk melihat bahwa banyaknya kutub bertepatan dengan angka N di (26.8).

Q p | (i 2 + 1) (z + 3) 2

Sebuah tugas. Tunjukkan bahwa fungsi f(z) =-- -- sudah masuk

titik zo = oo urutan tiang 3.

Teorema 26.6 pada titik singular esensial ditulis ulang untuk kasus ini zo= os hampir kata demi kata, dan kami tidak membahasnya secara rinci.

Konsep dan definisi dasar:

Nol dari fungsi analitik f(z) adalah titik “a” dimana f(a)=0.

Orde nol dari fungsi f(z) adalah titik “a” jika tetapi fn(a)¹0.

Titik singular "a" disebut titik singular terisolasi dari fungsi f(z) jika terdapat lingkungan dari titik ini di mana tidak ada titik singular selain "a".

Titik singular terisolasi terdiri dari tiga jenis: .

1 poin khusus yang dapat dilepas;

3 poin penting tunggal.

Jenis titik singular dapat ditentukan berdasarkan perilaku fungsi yang diberikan pada titik singular yang ditemukan, serta dari bentuk deret Laurent yang diperoleh untuk fungsi di sekitar titik singular yang ditemukan.

Menentukan jenis titik tunggal dengan perilaku fungsi di dalamnya.

1. Poin Singular yang Dapat Dilepas.

Titik singular terisolasi a dari fungsi f(z) disebut dapat dipindahkan jika terdapat limit yang berhingga .

2. Polandia.

Sebuah titik singular terisolasi dari fungsi f(z) disebut kutub jika .

3. Poin singular yang signifikan.

Titik singular terisolasi a dari suatu fungsi f(z) disebut titik singular esensial jika tidak ada yang berhingga maupun tak terhingga.

Hubungan berikut terjadi antara nol dan kutub fungsi.

Agar titik a menjadi kutub orde n dari fungsi f(Z), perlu dan cukup bahwa titik ini adalah orde nol n untuk fungsi .

Jika n=1 kutub disebut sederhana.

Definisi: Titik singular terisolasi dari karakter bernilai tunggal disebut:

a) dilepas jika bagian utama dekomposisi tidak ada;

b) tiang jika bagian utama berisi sejumlah anggota yang terbatas;

c) titik yang pada dasarnya tunggal jika bagian utama mengandung jumlah suku yang tidak terbatas.

a) Jadi, di sekitar titik singular yang dapat dilepas, ekspansi memiliki bentuk:

itu menyatakan fungsi di semua titik lingkaran |z-a|

Di pusat z=a, persamaannya salah, karena fungsi di z=a memiliki diskontinuitas, dan ruas kanannya kontinu. Jika nilai fungsi di tengah diubah, dengan mengambilnya sama dengan nilai sisi kanan, maka celah akan dihilangkan - maka namanya - dilepas.

b) Di sekitar kutub orde m, ekspansi deret Laurent memiliki bentuk:

c) Di sekitar tiang sederhana

Pengurangan dan formula untuk perhitungannya.

Residu fungsi analitik f(z) pada titik singular terisolasi z 0 adalah bilangan kompleks yang sama dengan nilai integral , diambil dalam arah positif sepanjang lingkaran L berpusat pada titik z 0 , yang terletak di wilayah analitik fungsi f(z) (yaitu, di ring 0<|z-z0|

Residu dari fungsi f(z) pada titik singular terisolasi z 0 dilambangkan dengan simbol Res f(z 0) atau Res (f(z); z 0). Lewat sini,

Resf(z0)= . (22.15.1)

Jika kita memasukkan n=-1 ke dalam rumus (22.15.1), maka kita mendapatkan:

C-1=

atau Res f(z 0)= C -1 ,

itu. residu fungsi f(z) terhadap titik tunggal z 0 sama dengan koefisien suku pertama dengan eksponen negatif dalam perluasan fungsi f(z) dalam deret Laurent.

Perhitungan pemotongan.

Poin tunggal reguler atau yang dapat dilepas. Jelas, jika z=z 0 adalah titik singular reguler atau dapat dilepas dari fungsi f(z), maka Res f(z 0)=0 (tidak ada bagian utama dalam dekomposisi Laurent dalam kasus ini, jadi c-1= 0).

Tiang. Biarkan titik z 0 menjadi kutub sederhana dari fungsi f(z). Maka deret Laurent untuk fungsi f(z) di sekitar titik z 0 memiliki bentuk:

Dari sini

Oleh karena itu, meneruskan persamaan ini ke limit sebagai z --z 0 , kita memperoleh

Res f(z0)=

Intinya khusus. Jika titik z 0 pada dasarnya adalah titik singular dari fungsi f(z), maka untuk menghitung residu fungsi pada titik ini, biasanya langsung menentukan koefisien c-1 dalam perluasan fungsi dalam deret Laurent.

Klasifikasi acara. Jumlah, produk dari peristiwa, propertinya, representasi grafis.

Acara dibagi menjadi:

1. Acak

2. Kredibel

3. Tidak mungkin

Dapat diandalkan - ini adalah peristiwa yang harus terjadi dalam kondisi ini (malam diikuti oleh pagi).

Acak adalah suatu peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi (lulus ujian).

Yang tidak mungkin adalah peristiwa yang tidak akan terjadi dalam kondisi tertentu (keluarkan pensil hijau dari kotak hanya dengan pensil merah).