Variabel acak terdistribusi seragam. Distribusi kontinu seragam di EXCEL. Karakteristik Distribusi Seragam

Dalam praktiknya, ada variabel acak yang diketahui sebelumnya bahwa mereka dapat mengambil nilai apa pun dalam batas yang ditentukan secara ketat, dan dalam batas-batas ini semua nilai variabel acak memiliki probabilitas yang sama (memiliki kepadatan probabilitas yang sama).

Misalnya, ketika jam rusak, jarum menit yang berhenti akan menunjukkan dengan probabilitas yang sama (kepadatan probabilitas) waktu yang berlalu dari awal jam yang diberikan hingga jam istirahat. Waktu ini adalah variabel acak yang mengambil nilai dengan kepadatan probabilitas yang sama yang tidak melampaui batas yang ditentukan oleh durasi satu jam. Kesalahan pembulatan juga termasuk dalam variabel acak tersebut. Kuantitas seperti itu dikatakan terdistribusi secara seragam, yaitu, mereka memiliki distribusi yang seragam.

Definisi. Sebuah variabel acak kontinu X memiliki distribusi seragam pada interval[a, dalam], jika pada segmen ini kepadatan distribusi probabilitas dari variabel acak adalah konstan, yaitu jika fungsi distribusi diferensial f(x) memiliki bentuk sebagai berikut:

Distribusi ini kadang-kadang disebut hukum kerapatan seragam. Tentang besaran yang memiliki distribusi seragam pada segmen tertentu, kita akan mengatakan bahwa itu didistribusikan secara merata pada segmen ini.

Tentukan nilai konstanta c. Karena daerah yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu Oh, sama dengan 1, maka

di mana Dengan=1/(b-sebuah).

Sekarang fungsinya f(x)dapat direpresentasikan sebagai

Mari kita membangun fungsi distribusi F(x ), yang kita temukan ekspresinya F (x ) pada interval [ a , b]:

Grafik fungsi f (x) dan F (x) terlihat seperti:

Mari kita cari karakteristik numerik.

Menggunakan rumus untuk menghitung ekspektasi matematis dari NSW, kita mendapatkan:

Jadi, ekspektasi matematis dari variabel acak terdistribusi merata pada interval [a , b] bertepatan dengan bagian tengah segmen ini.

Temukan varians dari variabel acak terdistribusi seragam:

dari mana segera berikut bahwa standar deviasi:

Mari kita cari peluang bahwa nilai variabel acak dengan distribusi seragam jatuh ke dalam interval(a , b ), sepenuhnya milik segmen [sebuah,b ]:

Layanan daring:

Seperti disebutkan sebelumnya, contoh distribusi probabilitas variabel acak kontinu X adalah:

• distribusi probabilitas seragam dari variabel acak kontinu;
• distribusi probabilitas eksponensial dari variabel acak kontinu;
• distribusi normal probabilitas variabel acak kontinu.

Mari kita berikan konsep hukum distribusi seragam dan eksponensial, rumus probabilitas dan karakteristik numerik dari fungsi yang dipertimbangkan.

Indeks	Hukum distribusi acak	Hukum distribusi eksponensial
Definisi	Seragam disebut distribusi probabilitas variabel acak kontinu X, yang kerapatannya tetap konstan pada interval dan memiliki bentuk	Sebuah eksponensial (eksponensial) disebut distribusi probabilitas variabel acak kontinu X, yang digambarkan oleh kerapatan berbentuk
		di mana adalah nilai positif konstan
fungsi distribusi
Kemungkinan memukul interval
Nilai yang diharapkan
Penyebaran
Standar deviasi

Contoh pemecahan masalah pada topik "Hukum distribusi seragam dan eksponensial"

Tugas 1.

Bus berjalan dengan ketat sesuai jadwal. Interval gerakan 7 menit. Temukan: (a) peluang seorang penumpang yang datang ke halte akan menunggu bus berikutnya kurang dari dua menit; b) probabilitas bahwa seorang penumpang yang mendekati halte akan menunggu bus berikutnya setidaknya selama tiga menit; c) ekspektasi matematis dan simpangan baku variabel acak X - waktu tunggu penumpang.

Larutan. 1. Berdasarkan kondisi masalah, variabel acak kontinu X=(waktu tunggu penumpang) merata antara kedatangan dua bus. Panjang interval distribusi variabel acak X sama dengan b-a=7, dimana a=0, b=7.

2. Waktu tunggu akan kurang dari dua menit jika nilai acak X berada dalam interval (5;7). Probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu ditemukan dengan rumus: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Waktu tunggu paling sedikit tiga menit (yaitu dari tiga sampai tujuh menit) jika nilai acak X jatuh ke dalam interval (0; 4). Probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu ditemukan dengan rumus: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Ekspektasi matematis dari variabel acak X yang kontinu dan terdistribusi seragam - waktu tunggu penumpang, kita temukan dengan rumus: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.

5. Standar deviasi dari variabel acak X yang kontinu dan terdistribusi secara merata - waktu tunggu penumpang, kami temukan dengan rumus: (X)=√D=(b-a)/2√3. (X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

Tugas 2.

Distribusi eksponensial diberikan untuk x 0 dengan kerapatan f(x) = 5e – 5x. Diperlukan: a) tulis ekspresi untuk fungsi distribusi; b) tentukan peluang bahwa, sebagai hasil dari pengujian, X jatuh ke dalam interval (1; 4); c) tentukan peluang bahwa sebagai hasil dari uji X 2; d) hitung M(X), D(X), (X).

Larutan. 1. Karena, dengan syarat, distribusi eksponensial , maka dari rumus densitas distribusi probabilitas variabel acak X diperoleh = 5. Maka fungsi distribusinya akan terlihat seperti:

2. Probabilitas bahwa hasil pengujian X jatuh ke dalam interval (1; 4) akan ditemukan dengan rumus:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Probabilitas bahwa sebagai hasil dari uji X 2 akan ditemukan rumus: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Kami menemukan distribusi eksponensial:

• ekspektasi matematis menurut rumus M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
• dispersi menurut rumus D (X) \u003d 1 / 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
• simpangan baku menurut rumus (X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.

Ingat definisi kepadatan probabilitas.

Kami sekarang memperkenalkan konsep distribusi probabilitas seragam:

Definisi 2

Suatu distribusi disebut seragam jika, pada suatu interval yang memuat semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak, kerapatan distribusinya konstan, yaitu:

Gambar 1.

Cari nilai dari konstanta $\ C$ menggunakan properti densitas distribusi berikut: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Dengan demikian, fungsi kerapatan distribusi seragam memiliki bentuk:

Gambar 2.

Grafik memiliki bentuk berikut (Gbr. 1):

Gambar 3. Densitas distribusi probabilitas seragam

Fungsi Distribusi Probabilitas Seragam

Mari kita cari fungsi distribusi untuk distribusi seragam.

Untuk melakukannya, kita akan menggunakan rumus berikut: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Untuk $x a$, menurut rumus, kita mendapatkan:

1. Untuk $a

1. Untuk $x>2$, menurut rumus, kita mendapatkan:

Dengan demikian, fungsi distribusi memiliki bentuk:

Gambar 4

Grafik memiliki bentuk berikut (Gbr. 2):

Gambar 5. Fungsi distribusi probabilitas seragam.

Probabilitas variabel acak jatuh ke dalam interval $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ di bawah distribusi probabilitas seragam

Untuk mencari peluang variabel acak yang masuk ke dalam interval $(\alpha ,\beta)$ dengan distribusi peluang seragam, kita akan menggunakan rumus berikut:

Nilai yang diharapkan:

Standar deviasi:

Contoh pemecahan masalah untuk distribusi peluang yang seragam

Contoh 1

Interval antar bus troli adalah 9 menit.

Kompilasi fungsi distribusi dan densitas distribusi dari variabel acak $X$ menunggu penumpang bus troli.

Tentukan peluang penumpang akan menunggu bus listrik dalam waktu kurang dari tiga menit.

Tentukan peluang bahwa penumpang akan menunggu bus listrik dalam waktu minimal 4 menit.

Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi

1. Karena variabel acak kontinu $X$ menunggu bus listrik terdistribusi merata, maka $a=0,\ b=9$.

Jadi, densitas distribusi, menurut rumus fungsi densitas dari distribusi probabilitas seragam, memiliki bentuk:

Gambar 6

Menurut rumus fungsi distribusi probabilitas seragam, dalam kasus kami, fungsi distribusi memiliki bentuk:

Gambar 7

1. Pertanyaan ini dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: temukan probabilitas bahwa variabel acak dari distribusi seragam jatuh ke dalam interval $\left(6,9\right).$

Kita mendapatkan:

\}