Cara menyelesaikan persamaan titik ekstrem. Cara mencari titik ekstrem (titik minimum dan maksimum) suatu fungsi. Definisi fungsi menurun

Fungsi y = f(x) dipanggil meningkat (menurun) dalam selang waktu tertentu, jika untuk x 1< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Jika fungsi terdiferensiasi y = f(x) bertambah (berkurang) pada suatu interval, maka turunannya pada interval tersebut f " (x) > 0, (f " (x)< 0).

Dot XHAI ditelepon titik maksimum lokal (minimum) fungsi f(x), jika terdapat lingkungan titik tersebut x o, untuk semua titik yang pertidaksamaannya benar: f(x) ≤ f(x о), (f(x) ≥f(x о)).

Poin maksimum dan minimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi pada titik-titik tersebut adalah nya ekstrem.

Poin ekstrem

Kondisi yang diperlukan ekstrem. Jika intinya XHAI adalah titik ekstrem dari fungsi f(x), maka f " (x o) = 0, atau f (x o) tidak ada. Titik-titik tersebut disebut kritis, dan fungsi itu sendiri didefinisikan pada titik kritis. Titik ekstrem suatu fungsi harus dicari di antara titik-titik kritisnya.

Kondisi cukup pertama. Membiarkan XHAI- titik kritis. Jika f"(x) ketika melewati suatu titik XHAI mengubah tanda plus menjadi minus, lalu pada intinya x o fungsinya memiliki maksimum jika tidak- minimal. Jika pada saat melewati titik kritis turunannya tidak berubah tanda, maka pada titik tersebut XHAI tidak ada yang ekstrim.

Kondisi cukup kedua. Misalkan fungsi f(x) mempunyai f " (x) di lingkungan titik tersebut XHAI dan turunan kedua f "" (x 0) di titik itu sendiri x o. Jika f "(x o) = 0, f "" (x 0)>0, (f "" (x 0)<0), то точкаx o adalah titik minimum (maksimum) lokal dari fungsi f(x). Jika f "" (x 0) = 0, maka Anda perlu menggunakan kondisi cukup pertama atau melibatkan kondisi yang lebih tinggi.

Pada suatu ruas, fungsi y =f(x) dapat mencapai nilai minimum atau maksimumnya baik pada titik kritis maupun pada ujung ruas.

Contoh 3.22. Tentukan ekstrem fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Larutan. Karena f"(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Ekstremnya hanya dapat berada di titik-titik tersebut. Sehingga ketika melewati titik x 1 = 2 turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, maka pada titik tersebut fungsinya mencapai maksimum. Ketika melewati titik x 2 = 3 turunannya berubah tanda dari minus ke plus, maka di titik x 2 = 3 fungsi tersebut mempunyai nilai minimum.Setelah menghitung nilai fungsi di titik x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita mencari ekstrem dari fungsi tersebut: maksimum f( 2) = 14 dan minimum f(3) = 13.

Masalah menemukan ekstrem suatu fungsi

Contoh 3.23.A

Larutan. X Dan kamu. Luas situs tersebut adalah S =xy. Membiarkan kamu- ini adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka dengan syarat persamaan 2x +y =a harus dipenuhi. Oleh karena itu y = a - 2x dan S =x(a - 2x), dimana 0 ≤x ≤a/2 (panjang dan lebar situs tidak boleh negatif). S " = a - 4x, a - 4x = 0 di x = a/4, maka y = a - 2×a/4 = a/2. Karena x = a/4 adalah satu-satunya titik kritis, mari kita periksa apakah turunan perubahan tanda ketika melewati titik ini Untuk x< a/4, S " >0, dan untuk x > a/4, S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24.

Larutan.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22. Tentukan ekstrem fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Larutan. Karena f"(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), maka titik kritis fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Ekstremnya hanya dapat berada di titik-titik tersebut. Sehingga ketika melewati titik x 1 = 2 turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, maka pada titik tersebut fungsinya mencapai maksimum. Ketika melewati titik x 2 = 3 turunannya berubah tanda dari minus ke plus, maka di titik x 2 = 3 fungsi tersebut mempunyai nilai minimum.Setelah menghitung nilai fungsi di titik x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita mencari ekstrem dari fungsi tersebut: maksimum f( 2) = 14 dan minimum f(3) = 13.

Contoh 3.23. Area persegi panjang perlu dibangun di dekat dinding batu sehingga di tiga sisinya dipagari dengan kawat kasa, dan sisi keempat berbatasan dengan dinding. Untuk ini ada A meter linier mesh. Pada rasio aspek berapa situs tersebut akan memiliki luas terluas?

Larutan. Mari kita tunjukkan sisi-sisi platform dengan X Dan kamu. Luas situs tersebut adalah S = xy. Membiarkan kamu- ini adalah panjang sisi yang berdekatan dengan dinding. Maka dengan syarat persamaan 2x +y =a harus dipenuhi. Oleh karena itu y = a - 2x dan S = x(a - 2x), dimana
0 ≤x ≤a/2 (panjang dan lebar luas tidak boleh negatif). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pada x = a/4, dari mana
y = a - 2a/4 = a/2. Karena x = a/4 adalah satu-satunya titik kritis, mari kita periksa apakah tanda turunannya berubah ketika melewati titik tersebut. harga< a/4, S " >0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24. Diperlukan pembuatan tangki berbentuk silinder tertutup dengan kapasitas V=16p ≈ 50 m 3 . Berapa dimensi tangki (radius R dan tinggi H) agar bahan yang digunakan untuk pembuatannya paling sedikit?

Larutan. Luas permukaan total silinder adalah S = 2pR(R+H). Kita mengetahui volume silinder V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Artinya S(R) = 2p(R 2 +16/R). Kami menemukan turunan dari fungsi ini:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 untuk R 3 = 8, maka,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Mari kita lihat dua gigi dari profil gergaji yang terkenal. Mari kita arahkan sumbu sepanjang sisi datar gergaji, dan sumbu tegak lurus terhadapnya. Kami mendapatkan grafik dari beberapa fungsi yang ditunjukkan pada Gambar. 1.

Jelas sekali bahwa baik pada titik maupun pada titik tersebut nilai fungsinya paling besar dibandingkan dengan nilai pada titik tetangga di kanan dan kiri, dan pada titik tersebut paling kecil dibandingkan dengan titik tetangga. poin. Titik-titik tersebut disebut titik ekstrem dari suatu fungsi (dari bahasa Latin ekstrem - "ekstrim"), titik dan - titik maksimum, dan titik - titik minimum (dari bahasa Latin maksimum dan minimum - "terbesar" dan "terkecil ”).

Mari kita perjelas definisi ekstrem.

Suatu fungsi di suatu titik dikatakan maksimum jika terdapat interval yang memuat titik tersebut dan termasuk dalam domain definisi fungsi tersebut sehingga untuk semua titik pada interval tersebut diperoleh . Oleh karena itu, suatu fungsi di suatu titik mempunyai nilai minimum jika kondisinya terpenuhi untuk semua titik pada interval tertentu.

Pada Gambar. Gambar 2 dan 3 menunjukkan grafik fungsi yang mempunyai titik ekstrem di suatu titik.

Mari kita perhatikan fakta bahwa, menurut definisi, titik ekstrem harus terletak di dalam interval yang mendefinisikan fungsi, dan bukan di ujungnya. Oleh karena itu, untuk fungsi yang ditunjukkan pada Gambar. 1, kita tidak dapat berasumsi bahwa ia mempunyai titik minimum.

Jika dalam definisi maksimum (minimum) suatu fungsi kita mengganti pertidaksamaan tegas dengan pertidaksamaan tidak ketat , maka kita mendapatkan definisi maksimum non-ketat (non-strict minimum). Mari kita perhatikan, misalnya, profil puncak gunung (Gbr. 4). Setiap titik pada bidang datar - suatu segmen - merupakan titik maksimum yang tidak ketat.

Dalam kalkulus diferensial, studi fungsi ekstrem sangat efektif dan cukup sederhana dengan menggunakan turunan. Salah satu teorema utama kalkulus diferensial, yang menetapkan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dari fungsi terdiferensiasi, adalah teorema Fermat (lihat teorema Fermat). Biarkan fungsi tersebut memiliki titik ekstrem di suatu titik. Jika ada turunan pada titik ini, maka turunannya sama dengan nol.

Dalam bahasa geometri, teorema Fermat berarti bahwa pada titik ekstrem garis singgung grafik fungsi tersebut adalah horizontal (Gbr. 5). Pernyataan sebaliknya, tentu saja, tidak benar, seperti yang ditunjukkan, misalnya, pada grafik pada Gambar. 6.

Teorema ini dinamai ahli matematika Perancis P. Fermat, yang merupakan salah satu orang pertama yang memecahkan sejumlah masalah ekstrem. Ia belum memiliki konsep turunan, tetapi menggunakan suatu metode dalam penelitiannya, yang intinya diungkapkan dalam pernyataan teorema.

Syarat cukup bagi titik ekstrem suatu fungsi terdiferensiasi adalah perubahan tanda turunannya. Jika pada suatu titik turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus, yaitu. penurunannya digantikan dengan kenaikan, maka titik tersebut menjadi titik minimum. Sebaliknya suatu titik akan menjadi titik maksimum jika turunannya berubah tanda dari plus ke minus, yaitu. berubah dari meningkat menjadi menurun.

Titik dimana turunan suatu fungsi sama dengan nol disebut stasioner. Jika suatu fungsi terdiferensiasi diperiksa ekstremnya, maka semua titik stasionernya harus dicari dan tanda-tanda turunannya di kiri dan kanannya harus diperhatikan.

Mari kita periksa fungsi ekstremnya.

Mari kita cari turunannya: .

Sebelum mempelajari cara mencari ekstrem suatu fungsi, Anda perlu memahami apa itu ekstrem. Definisi paling umum dari ekstrem adalah, seperti yang digunakan dalam matematika, nilai terkecil atau terbesar dari suatu fungsi pada himpunan garis bilangan atau grafik tertentu. Di tempat titik minimum berada, titik ekstrem minimum muncul, dan di tempat titik maksimum berada, titik ekstrem maksimum muncul. Juga dalam disiplin ilmu seperti analisis matematis, ekstrem lokal suatu fungsi diidentifikasi. Sekarang mari kita lihat cara menemukan titik ekstrem.

Ekstrema dalam matematika adalah salah satu ciri terpenting suatu fungsi; ekstrema menunjukkan nilai terbesar dan terkecilnya. Ekstrema ditemukan terutama pada titik-titik kritis dari fungsi yang ditemukan. Perlu dicatat bahwa pada titik ekstrem fungsi tersebut secara radikal mengubah arahnya. Jika kita menghitung turunan dari titik ekstrem, maka menurut definisi, titik tersebut harus sama dengan nol atau tidak akan ada sama sekali. Jadi, untuk mengetahui cara mencari ekstrem suatu fungsi, Anda perlu melakukan dua tugas berurutan:

• temukan turunan dari fungsi yang perlu ditentukan oleh tugas;
• temukan akar persamaannya.

Urutan menemukan ekstrem

1. Tuliskan fungsi f(x) yang diberikan. Temukan turunan orde pertamanya f "(x). Samakan ekspresi yang dihasilkan dengan nol.
2. Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Solusi yang dihasilkan akan menjadi akar-akar persamaan, serta titik-titik kritis dari fungsi yang ditentukan.
3. Sekarang kita tentukan titik kritis mana (maksimum atau minimum) yang merupakan akar yang ditemukan. Langkah selanjutnya, setelah kita mempelajari cara mencari titik ekstrem suatu fungsi, adalah mencari turunan kedua dari fungsi yang diinginkan f "(x). Kita perlu mensubstitusikan nilai titik kritis yang ditemukan ke dalam pertidaksamaan tertentu lalu hitung apa yang terjadi. Jika hal ini terjadi, jika turunan keduanya ternyata lebih besar dari nol pada titik kritisnya, maka titik tersebut menjadi titik minimum, dan sebaliknya menjadi titik maksimum.
4. Tetap menghitung nilai fungsi awal pada titik maksimum dan minimum yang diperlukan dari fungsi tersebut. Untuk melakukan ini, kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam fungsi dan menghitungnya. Namun perlu diperhatikan bahwa jika titik kritisnya ternyata maksimum, maka ekstremnya akan maksimum, dan jika minimum, maka dengan analogi akan menjadi minimum.

Algoritma untuk menemukan ekstrem

Untuk meringkas pengetahuan yang diperoleh, kami akan membuat algoritma singkat tentang cara mencari titik ekstrem.

1. Kami menemukan domain definisi suatu fungsi tertentu dan intervalnya, yang secara tepat menentukan pada interval mana fungsi tersebut kontinu.
2. Temukan turunan dari fungsi f "(x).
3. Kita menghitung titik kritis persamaan y = f(x).
4. Kami menganalisis perubahan arah fungsi f (x), serta tanda turunan f "(x) di mana titik-titik kritis membagi domain definisi fungsi ini.
5. Sekarang kita tentukan apakah setiap titik pada grafik tersebut maksimum atau minimum.
6. Kami menemukan nilai-nilai fungsi pada titik-titik yang ekstrem.
7. Kami mencatat hasil penelitian ini – ekstrem dan interval monotonisitas. Itu saja. Sekarang kita telah melihat bagaimana Anda dapat menemukan titik ekstrem pada interval apa pun. Jika Anda perlu mencari ekstrem pada interval tertentu suatu fungsi, maka dilakukan dengan cara yang sama, hanya batas-batas penelitian yang dilakukan yang harus diperhitungkan.

Jadi, kita telah membahas cara mencari titik ekstrem suatu fungsi. Dengan bantuan perhitungan sederhana, serta pengetahuan dalam menemukan turunan, Anda dapat menemukan ekstrem apa pun dan menghitungnya, serta menunjukkannya secara grafis. Menemukan ekstrem adalah salah satu bagian terpenting dalam matematika, baik di sekolah maupun di pendidikan tinggi, oleh karena itu, jika Anda belajar mengidentifikasinya dengan benar, maka belajar akan menjadi lebih mudah dan menarik.

Fungsi ekstrem

Definisi 2

Suatu titik $x_0$ disebut titik maksimum suatu fungsi $f(x)$ jika terdapat lingkungan pada titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk semua $x$ dalam lingkungan tersebut terdapat pertidaksamaan $f(x)\le f(x_0) $ ditahan.

Definisi 3

Suatu titik $x_0$ disebut titik maksimum suatu fungsi $f(x)$ jika terdapat lingkungan pada titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk semua $x$ dalam lingkungan tersebut terdapat pertidaksamaan $f(x)\ge f(x_0) $ ditahan.

Konsep titik ekstrem suatu fungsi erat kaitannya dengan konsep titik kritis suatu fungsi. Mari kita perkenalkan definisinya.

Definisi 4

$x_0$ disebut titik kritis fungsi $f(x)$ jika:

1) $x_0$ - titik internal domain definisi;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ atau tidak ada.

Untuk konsep ekstrem, kita dapat merumuskan teorema kondisi cukup dan perlu bagi keberadaannya.

Teorema 2

Kondisi cukup ekstrem

Misalkan titik $x_0$ kritis untuk fungsi $y=f(x)$ dan terletak pada interval $(a,b)$. Misalkan pada setiap interval $\left(a,x_0\right)\ dan\ (x_0,b)$ turunan $f"(x)$ ada dan mempunyai tanda konstan. Maka:

1) Jika pada interval $(a,x_0)$ turunannya adalah $f"\left(x\right)>0$, dan pada interval $(x_0,b)$ turunannya adalah $f"\left( x\kanan)

2) Jika pada interval $(a,x_0)$ turunan $f"\left(x\right)0$, maka titik $x_0$ adalah titik minimum untuk fungsi ini.

3) Jika keduanya pada interval $(a,x_0)$ dan pada interval $(x_0,b)$ turunan $f"\left(x\right) >0$ atau turunan $f"\left(x \Kanan)

Teorema ini diilustrasikan pada Gambar 1.

Gambar 1. Kondisi cukup bagi keberadaan ekstrem

Contoh ekstrem (Gbr. 2).

Gambar 2. Contoh titik ekstrim

Aturan untuk mempelajari suatu fungsi ekstrem

2) Temukan turunan $f"(x)$;

7) Menarik kesimpulan tentang keberadaan maxima dan minima pada setiap interval, dengan menggunakan Teorema 2.

Menambah dan mengurangi fungsi

Mari kita perkenalkan terlebih dahulu definisi fungsi naik dan turun.

Definisi 5

Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval $X$ dikatakan meningkat jika untuk sembarang titik $x_1,x_2\di X$ pada $x_1

Definisi 6

Suatu fungsi $y=f(x)$ yang didefinisikan pada interval $X$ dikatakan menurun jika untuk sembarang titik $x_1,x_2\in X$ untuk $x_1f(x_2)$.

Mempelajari suatu fungsi naik dan turun

Anda dapat mempelajari fungsi naik dan turun menggunakan turunan.

Untuk memeriksa suatu fungsi pada interval naik dan turun, Anda harus melakukan hal berikut:

1) Temukan domain definisi fungsi $f(x)$;

2) Temukan turunan $f"(x)$;

3) Temukan titik di mana persamaan $f"\left(x\right)=0$ berlaku;

4) Temukan titik di mana $f"(x)$ tidak ada;

5) Tandai pada garis koordinat semua titik yang ditemukan dan domain definisi fungsi ini;

6) Tentukan tanda turunan $f"(x)$ pada setiap interval yang dihasilkan;

7) Tarik kesimpulan: pada interval di mana $f"\left(x\right)0$ fungsinya meningkat.

Contoh soal mempelajari fungsi kenaikan, penurunan dan keberadaan titik ekstrem

Contoh 1

Periksa fungsi kenaikan dan penurunan, serta keberadaan titik maksimum dan minimum: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Karena 6 poin pertama sama, mari kita jalankan terlebih dahulu.

1) Ruang lingkup - semuanya bilangan real;

2) $f"\kiri(x\kanan)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\kiri(x\kanan)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ ada di semua titik domain definisi;

5) Garis koordinat:

Gambar 3.

6) Tentukan tanda turunan $f"(x)$ pada setiap interval:

\ \}