Kepadatan distribusi dari jumlah dua kuantitas yang terdistribusi secara merata. Hukum distribusi jumlah dua variabel acak. Komposisi dua hukum distribusi. Aplikasi untuk asuransi

Dalam praktiknya, sering kali diperlukan untuk menemukan hukum distribusi untuk jumlah variabel acak.

Biar ada sistem (XbX2) dua s kontinu di. dan jumlah mereka

Mari kita cari kerapatan distribusi c. di. U. Sesuai dengan solusi umum paragraf sebelumnya, kami menemukan wilayah bidang di mana x + x 2 (Gbr. 9.4.1):

Membedakan ungkapan ini sehubungan dengan y, kami memperoleh ap. variabel acak Y \u003d X + X 2:

Karena fungsi φ (x b x 2) = Xj + x 2 simetris terhadap argumennya, maka

Jika dengan. di. X dan X 2 independen, maka rumus (9.4.2) dan (9.4.3) berbentuk:

Dalam hal independen c. di. x x dan X 2, berbicara tentang komposisi hukum distribusi. Menghasilkan komposisi dua hukum distribusi - ini berarti menemukan hukum distribusi untuk jumlah dari dua independen c. c., didistribusikan menurut undang-undang ini. Notasi simbolik digunakan untuk menunjukkan komposisi hukum distribusi

yang pada dasarnya dilambangkan dengan rumus (9.4.4) atau (9.4.5).

Contoh 1 Pekerjaan dua perangkat teknis (TD) dipertimbangkan. Pertama, TU bekerja setelah kegagalannya (failure) dimasukkan dalam pengoperasian TU 2. Waktu Aktif TU TU TU 2 - x x dan X 2 - independen dan didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter A,1 dan X 2 . Oleh karena itu, waktunya Y pengoperasian TU yang bebas masalah, terdiri dari TU! dan TU 2 akan ditentukan dengan rumus

Diperlukan untuk menemukan p.r. variabel acak Y, yaitu komposisi dua hukum eksponensial dengan parameter dan X 2 .

Larutan. Dengan rumus (9.4.4) kita dapatkan (y > 0)

Jika ada komposisi dua hukum eksponensial dengan parameter yang sama (?c = X 2 = Y), maka dalam ekspresi (9.4.8) diperoleh ketidakpastian tipe 0/0, dengan memperluasnya, kita mendapatkan:

Membandingkan ekspresi ini dengan ekspresi (6.4.8), kami yakin bahwa komposisi dua hukum eksponensial identik (?c = X 2 = x) adalah hukum Erlang orde kedua (9.4.9). Saat menyusun dua hukum eksponensial dengan parameter berbeda x x dan A-2 dapatkan hukum Erlang umum orde kedua (9.4.8). ?

Soal 1. Hukum distribusi selisih dua s. di. Sistem dengan. di. (X dan X 2) memiliki gabungan r.p./(x x x 2). Temukan p.r. perbedaan mereka Y=X - X 2 .

Larutan. Untuk sistem dengan di. (X b - X 2) dll. akan menjadi / (x b - x 2), yaitu kami mengganti selisihnya dengan jumlah. Oleh karena itu, a.r. variabel acak U akan berbentuk (lihat (9.4.2), (9.4.3)):

Jika sebuah Dengan. di. X x iX 2 mandiri, lalu

Contoh 2. Temukan f.r. selisih dua s terdistribusi eksponensial independen. di. dengan parameter x x dan X 2 .

Larutan. Menurut rumus (9.4.11) kita dapatkan

Beras. 9.4.2 Beras. 9.4.3

Gambar 9.4.2 menunjukkan hal. g(y). Jika kita mempertimbangkan perbedaan dari dua independen yang terdistribusi secara eksponensial. di. dengan pengaturan yang sama (A-i= X 2 = TETAPI,), kemudian g(y) \u003d / 2 - sudah tidak asing lagi

Hukum Laplace (Gbr. 9.4.3). ?

Contoh 3. Temukan hukum distribusi untuk jumlah dua independen c. di. X dan X 2, didistribusikan menurut hukum Poisson dengan parameter x dan sebuah 2 .

Larutan. Temukan probabilitas suatu peristiwa (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Oleh karena itu, s. di. Y = X x + X 2 didistribusikan menurut hukum Poisson dengan parameter ax2) - ax + a 2. ?

Contoh 4. Temukan hukum distribusi untuk jumlah dua independen c. di. x x dan X 2, didistribusikan menurut hukum binomial dengan parameter p x ri p 2 , hal masing-masing.

Larutan. Bayangkan dengan. di. x x sebagai:

di mana X 1) - indikator peristiwa TETAPI wu "th pengalaman:

Rentang distribusi dengan. di. X,- memiliki bentuk

Kami akan membuat representasi serupa untuk s. di. X 2: dimana X] 2) - indikator acara TETAPI dalam pengalaman ke-y"-:

Akibatnya,

dimana X? 1)+(2) jika indikator acara TETAPI:

Jadi, kami telah menunjukkan itu di. Jumlah ayah mertua (u + n 2) indikator peristiwa TETAPI, dari mana maka s. di. ^didistribusikan menurut hukum binomial dengan parameter ( nx + n 2), hal.

Perhatikan bahwa jika probabilitas R dalam rangkaian percobaan yang berbeda berbeda, maka sebagai hasil dari penambahan dua s independen. c., didistribusikan menurut hukum binomial, ternyata c. c., didistribusikan tidak sesuai dengan hukum binomial. ?

Contoh 3 dan 4 mudah digeneralisasikan ke sejumlah istilah yang berubah-ubah. Saat menyusun hukum Poisson dengan parameter a b 2 , ..., pada Hukum Poisson lagi diperoleh dengan parameter a (t) \u003d ax + a 2 + ... + dan T.

Saat menyusun hukum binomial dengan parameter (n r); (saya 2 , R) , (n t, p) sekali lagi kita mendapatkan hukum binomial dengan parameter ("("), R), di mana n (t) \u003d u + n 2 + ... + dll.

Kami telah membuktikan sifat-sifat penting dari hukum Poisson dan hukum binomial: "sifat stabilitas". Hukum distribusi disebut berkelanjutan, jika komposisi dua hukum sejenis menghasilkan hukum sejenis (hanya parameter hukum ini berbeda). Dalam Subbab 9.7 kami akan menunjukkan bahwa hukum normal memiliki sifat stabilitas yang sama.

Pembuat keputusan dapat menggunakan asuransi untuk mengurangi dampak keuangan yang merugikan dari jenis kejadian acak tertentu.

Namun pertimbangan ini sangat umum, karena pembuat keputusan dapat berarti individu yang mencari perlindungan dari kerusakan properti, tabungan, atau pendapatan, dan organisasi yang mencari perlindungan dari jenis kerusakan yang sama.

Faktanya, organisasi semacam itu mungkin merupakan perusahaan asuransi yang mencari cara untuk melindungi dirinya dari kerugian finansial karena terlalu banyak peristiwa yang diasuransikan yang terjadi dengan klien individu atau dengan portofolio asuransinya. Perlindungan ini disebut reasuransi.

Pertimbangkan salah satu dari dua model (yaitu model risiko individu) banyak digunakan dalam menentukan tarif dan cadangan asuransi, serta dalam reasuransi.

Dilambangkan dengan S jumlah kerugian yang tidak disengaja dari perusahaan asuransi untuk sebagian dari risikonya. Pada kasus ini S adalah variabel acak yang harus ditentukan distribusi probabilitasnya. Secara historis, untuk distribusi r.v. S ada dua set postulat. Model risiko individu mendefinisikan S dengan cara berikut:

dimana r.v. berarti kerugian yang disebabkan oleh objek pertanggungan dengan nomor tersebut saya, sebuah n menunjukkan jumlah objek asuransi.

Biasanya diasumsikan bahwa mereka adalah variabel acak independen, karena dalam hal ini perhitungan matematis lebih sederhana dan informasi tentang sifat hubungan di antara mereka tidak diperlukan. Model kedua adalah model risiko kolektif.

Model risiko individu yang dipertimbangkan tidak mencerminkan perubahan nilai uang dari waktu ke waktu. Ini dilakukan untuk menyederhanakan model, itulah sebabnya judul artikel mengacu pada interval waktu yang singkat.

Kami hanya akan mempertimbangkan model tertutup, mis. orang-orang di mana jumlah objek asuransi n dalam rumus (1.1) diketahui dan diperbaiki di awal interval waktu yang dipertimbangkan. Jika kita memasukkan asumsi tentang adanya migrasi dari atau ke sistem asuransi, maka kita mendapatkan model terbuka.

Variabel acak yang menjelaskan pembayaran individu

Pertama, mari kita mengingat ketentuan utama tentang asuransi jiwa.

Dalam kasus asuransi kematian untuk jangka waktu satu tahun, perusahaan asuransi berjanji untuk membayar jumlahnya b, jika pemegang polis meninggal dalam waktu satu tahun sejak tanggal berakhirnya kontrak asuransi, dan tidak membayar apapun jika pemegang polis hidup tahun ini.

Probabilitas peristiwa yang diasuransikan terjadi selama tahun tertentu dilambangkan dengan .

Variabel acak yang menggambarkan pembayaran asuransi memiliki distribusi yang dapat ditentukan baik oleh fungsi probabilitas

(2.1)

atau fungsi distribusi yang sesuai

(2.2)

Dari rumus (2.1) dan dari definisi momen, kami memperoleh

(2.4)

Rumus ini juga dapat diperoleh dengan menulis X sebagai

dimana adalah nilai konstan yang dibayarkan jika terjadi kematian, dan adalah variabel acak yang mengambil nilai 1 setelah kematian dan 0 sebaliknya.

Jadi, dan , dan nilai rata-rata dan varian dari r.v. sama dan masing-masing, dan nilai rata-rata dan varian dari r.v. sama dengan dan , yang bertepatan dengan rumus di atas.

Variabel acak dengan rentang (0,1) banyak digunakan dalam model aktuaria.

Dalam buku teks tentang teori probabilitas, itu disebut indikator, Bernoulli acak nilai atau variabel acak binomial dalam desain tes tunggal.

Kami akan meneleponnya indikator untuk alasan singkatnya, dan juga karena itu menunjukkan permulaan, atau bukan permulaan, dari peristiwa yang bersangkutan.

Mari kita beralih ke pencarian model yang lebih umum di mana nilai pembayaran asuransi juga merupakan variabel acak dan beberapa kejadian asuransi dapat terjadi dalam interval waktu yang dipertimbangkan.

Asuransi kesehatan, asuransi mobil dan properti lainnya, dan asuransi pertanggungjawaban segera memberikan banyak contoh. Formula generalisasi (2.5), kami tetapkan

di mana adalah variabel acak yang menggambarkan pembayaran asuransi dalam interval waktu yang dipertimbangkan, r.v. menunjukkan jumlah total pembayaran dalam interval ini dan r.v. merupakan indikator untuk peristiwa yang setidaknya satu peristiwa yang diasuransikan telah terjadi.

Menjadi indikator peristiwa semacam itu, r.v. memperbaiki keberadaan () atau kekurangan () peristiwa yang diasuransikan dalam interval waktu ini, tetapi bukan jumlah peristiwa yang diasuransikan di dalamnya.

Probabilitas akan terus dilambangkan dengan .

Mari kita bahas beberapa contoh dan menentukan distribusi variabel acak dan dalam beberapa model.

Mari kita pertimbangkan dulu asuransi kematian selama satu tahun, dengan manfaat tambahan jika kematian itu karena kecelakaan.

Untuk kepastian, misalkan jika kematian terjadi karena kecelakaan, maka jumlah pembayarannya adalah 50.000. Jika kematian terjadi karena sebab lain, jumlah pembayarannya adalah 25.000.

Mari kita asumsikan bahwa untuk seseorang pada usia, keadaan kesehatan dan profesi tertentu, kemungkinan meninggal akibat kecelakaan selama setahun adalah 0,0005, dan kemungkinan meninggal karena sebab lain adalah 0,0020. Dalam bentuk rumus, tampilannya seperti ini:

Menjumlahkan semua nilai yang mungkin dari , diperoleh

,

Distribusi bersyarat c. di. kondisi memiliki bentuk

Pertimbangkan sekarang asuransi tabrakan mobil (kompensasi yang dibayarkan kepada pemilik mobil untuk kerusakan yang disebabkan oleh mobilnya) dengan pengurangan tanpa syarat sebesar 250 dan pembayaran maksimum sebesar 2000.

Untuk lebih jelasnya, kami berasumsi bahwa probabilitas terjadinya satu peristiwa yang diasuransikan dalam periode waktu yang dipertimbangkan untuk seorang individu adalah 0,15, dan probabilitas terjadinya lebih dari satu tabrakan sama dengan nol:

, .

Asumsi yang tidak realistis bahwa tidak lebih dari satu peristiwa yang diasuransikan dapat terjadi selama satu periode dibuat untuk menyederhanakan distribusi r.v. .

Kami akan menghilangkan asumsi ini di bagian selanjutnya setelah kami mempertimbangkan pembagian jumlah dari beberapa klaim asuransi.

Karena adalah nilai pembayaran perusahaan asuransi, dan bukan kerusakan mobil, kita dapat mempertimbangkan dua karakteristik, dan.

Pertama, peristiwa tersebut mencakup tabrakan yang kerusakannya kurang dari pengurangan tanpa syarat, yaitu 250.

Kedua, distribusi r.v. akan memiliki "gumpalan" dari massa probabilistik pada titik jumlah maksimum pembayaran asuransi, yaitu sebesar 2000.

Asumsikan massa probabilistik yang terkonsentrasi pada titik ini adalah 0,1. Selanjutnya, misalkan nilai pembayaran asuransi dalam interval 0 sampai 2000 dapat dimodelkan dengan distribusi kontinu dengan fungsi densitas proporsional dengan (Dalam praktiknya, kurva kontinyu yang dipilih untuk merepresentasikan distribusi premi merupakan hasil kajian premi pada periode sebelumnya.)

Menyimpulkan asumsi ini tentang distribusi bersyarat r.v. di bawah kondisi , kita sampai pada distribusi tipe campuran yang memiliki kerapatan positif dalam kisaran dari 0 hingga 2000 dan beberapa "gumpalan" massa probabilistik pada titik 2000. Hal ini diilustrasikan oleh grafik pada Gambar. 2.2.1.

Fungsi distribusi dari distribusi bersyarat ini terlihat seperti ini:

Gambar 2.1. Fungsi distribusi r.v. B dengan kondisi I = 1

Kami menghitung ekspektasi dan varian matematis dalam contoh yang dipertimbangkan dengan asuransi mobil dengan dua cara.

Pertama, kami menulis distribusi r.v. dan menggunakannya untuk menghitung dan . Menandakan melalui fungsi distribusi r.v. , kita punya

Untuk x<0

Ini adalah distribusi campuran. Seperti yang ditunjukkan pada gambar. 2.2, ia memiliki diskrit ("gumpalan" massa probabilistik pada titik 2000) dan bagian kontinu. Fungsi distribusi seperti itu sesuai dengan kombinasi dari fungsi probabilitas

Beras. 2.2. Fungsi distribusi r.v. X=IB

dan fungsi kerapatan

Secara khusus, dan . Itu sebabnya .

Ada sejumlah rumus yang menghubungkan momen variabel acak dengan ekspektasi matematis bersyarat. Untuk ekspektasi matematis dan varians, rumus ini memiliki bentuk

(2.10)

(2.11)

Diasumsikan bahwa ekspresi di sisi kiri persamaan ini dihitung langsung dari distribusi r.v. . Saat menghitung ekspresi di sisi kanan, yaitu, dan , distribusi bersyarat dari r.v. digunakan. pada nilai tetap r.v. .

Ekspresi ini, oleh karena itu, fungsi dari r.v. , dan kita dapat menghitung momen mereka menggunakan distribusi r.v. .

Distribusi bersyarat digunakan dalam banyak model aktuaria dan ini memungkinkan rumus di atas diterapkan secara langsung. Dalam model kami. Mempertimbangkan r.v. sebagai dan r.v. sebagai , kita dapatkan

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

dan mempertimbangkan harapan matematika bersyarat

(2.16)

(2.17)

Rumus (2.16) dan (2.17) didefinisikan sebagai fungsi dari r.v. , yang dapat ditulis sebagai rumus berikut:

Sejak pada , lalu (2.21)

Karena kita punya dan (2.22)

Rumus (2.21) dan (2.22) dapat digabungkan: (2.23)

Jadi, (2.24)

Mengganti (2.21), (2.20), dan (2.24) menjadi (2.12) dan (2.13), kita dapatkan

Mari terapkan rumus yang diterima untuk perhitungan dan dalam contoh asuransi mobil (gbr. 2.2). Karena fungsi kerapatan r.v. Dalam kondisi dinyatakan dengan rumus

dan P(B=2000|I=1)= 0,1, kita punya

Akhirnya, asumsi q= 0,15, dari rumus (2,25) dan (2,26) diperoleh persamaan sebagai berikut:

Untuk menggambarkan situasi asuransi lainnya, kami dapat menawarkan model lain untuk r.v. .

Contoh: model jumlah kematian akibat kecelakaan penerbangan

Sebagai contoh, pertimbangkan model jumlah kematian akibat kecelakaan penerbangan selama periode satu tahun operasi maskapai penerbangan.

Kita bisa mulai dengan variabel acak yang menjelaskan jumlah kematian untuk satu penerbangan, dan kemudian menjumlahkan variabel acak ini untuk semua penerbangan dalam satu tahun.

Untuk satu penerbangan, peristiwa tersebut akan mengindikasikan terjadinya kecelakaan udara. Jumlah kematian akibat bencana ini akan diwakili oleh produk dari dua variabel acak dan , dimana adalah faktor muatan pesawat, yaitu jumlah orang di dalam pesawat pada saat kecelakaan, dan adalah proporsi kematian di antara orang-orang di papan.

Jumlah kematian disajikan dengan cara ini, karena statistik terpisah untuk dan lebih mudah diakses daripada statistik untuk r.v. . Jadi, meskipun proporsi kematian di antara orang-orang di kapal dan jumlah orang di kapal mungkin berhubungan, sebagai pendekatan pertama dapat diasumsikan bahwa r.v. dan independen.

Jumlah variabel acak independen

Dalam model risiko individu, pembayaran asuransi yang dilakukan oleh perusahaan asuransi disajikan sebagai jumlah pembayaran kepada banyak individu.

Ingat dua metode untuk menentukan distribusi jumlah variabel acak independen. Pertimbangkan terlebih dahulu jumlah dari dua variabel acak, yang ruang sampelnya ditunjukkan pada Gambar. 3.1.

Beras. 2.3.1. Peristiwa

Garis dan area di bawah garis ini mewakili suatu peristiwa. Oleh karena itu, fungsi distribusi dari r.v. S memiliki bentuk (3.1)

Untuk dua variabel acak non-negatif diskrit, kita dapat menggunakan rumus probabilitas total dan menulis (3.1) sebagai

Jika sebuah X dan Y independen, jumlah terakhir dapat ditulis ulang sebagai

(3.3)

Fungsi probabilitas yang sesuai dengan fungsi distribusi ini dapat ditemukan dengan rumus

(3.4)

Untuk variabel acak non-negatif kontinu, rumus yang sesuai dengan rumus (3.2), (3.3) dan (3.4) memiliki bentuk

Ketika salah satu atau kedua variabel acak X dan Y memiliki distribusi tipe campuran (yang tipikal untuk model risiko individual), rumusnya serupa, tetapi lebih rumit. Untuk variabel acak yang juga dapat mengambil nilai negatif, penjumlahan dan integral pada rumus di atas diambil dari semua nilai y dari hingga .

Dalam teori probabilitas, operasi dalam rumus (3.3) dan (3.6) disebut konvolusi dua fungsi distribusi dan dan dilambangkan dengan . Operasi konvolusi juga dapat didefinisikan untuk sepasang fungsi probabilitas atau kerapatan dengan menggunakan rumus (3.4) dan (3.7).

Untuk menentukan distribusi jumlah lebih dari dua variabel acak, kita dapat menggunakan iterasi dari proses konvolusi. Untuk , dengan variabel acak independen, menunjukkan fungsi distribusi r.v., dan merupakan fungsi distribusi r.v. , kita akan mendapatkan

Contoh 3.1 mengilustrasikan prosedur ini untuk tiga variabel acak diskrit.

Contoh 3.1. Variabel acak , dan independen dan memiliki distribusi yang ditentukan oleh kolom (1), (2) dan (3) dari tabel di bawah ini.

Mari kita tuliskan fungsi probabilitas dan fungsi distribusi dari r.v.

Larutan. Tabel menggunakan notasi yang diperkenalkan sebelum contoh:

Kolom (1)-(3) memuat informasi yang tersedia.

Kolom (4) diperoleh dari kolom (1) dan (2) menggunakan (3.4).

Kolom (5) diperoleh dari kolom (3) dan (4) menggunakan (3.4).

Definisi kolom (5) melengkapi penentuan fungsi probabilitas untuk r.v. . Fungsi distribusinya pada kolom (8) adalah himpunan penjumlahan parsial kolom (5), dimulai dari atas.

Untuk kejelasan, kami menyertakan kolom (6), fungsi distribusi untuk kolom (1), kolom (7), yang dapat diperoleh langsung dari kolom (1) dan (6) menggunakan (2.3.3), dan kolom (8 ) ditentukan dengan cara yang sama untuk kolom (3) dan (7). Kolom (5) dapat ditentukan dari kolom (8) dengan pengurangan berturut-turut.

Mari kita beralih ke pertimbangan dua contoh dengan variabel acak kontinu.

Contoh 3.2. Biarkan r.v. memiliki distribusi yang seragam pada interval (0,2), dan biarkan r.v. tidak tergantung pada r.v. dan memiliki distribusi yang seragam pada interval (0,3). Mari kita tentukan fungsi distribusi dari r.v.

Larutan. Sejak distribusi r.v. dan kontinyu, kita gunakan rumus (3.6):

Kemudian

Ruang sampel r.v. dan diilustrasikan pada Gambar. 3.2. Area persegi panjang berisi semua nilai yang mungkin dari pasangan dan . Peristiwa yang menarik bagi kami, , digambarkan dalam gambar untuk lima nilai s.

Untuk setiap nilai, garis memotong sumbu Y pada intinya s dan garis pada satu titik. Nilai fungsi untuk lima kasus ini dijelaskan dengan rumus berikut:

Beras. 3.2. Konvolusi dua distribusi seragam

Contoh 3.3. Mari kita pertimbangkan tiga r.v. independen. . Untuk r.v. memiliki distribusi eksponensial dan . Mari kita cari fungsi densitas dari r.v. dengan menerapkan operasi konvolusi.

Larutan. Kita punya

Dengan menggunakan rumus (3.7) tiga kali, kita dapatkan

Metode lain untuk menentukan distribusi jumlah variabel acak independen didasarkan pada keunikan fungsi pembangkit momen, yaitu untuk r.v. ditentukan oleh relasi .

Jika ekspektasi matematis ini terbatas untuk semua t dari suatu selang terbuka yang mengandung titik asal, maka merupakan satu-satunya fungsi pembangkit dari momen distribusi r.v. dalam arti bahwa tidak ada fungsi lain selain , yang akan menjadi fungsi pembangkit momen distribusi r.v. .

Keunikan ini dapat digunakan sebagai berikut: untuk jumlah

Jika independen, maka ekspektasi produk pada rumus (3.8) sama dengan ..., jadi

Menemukan ekspresi eksplisit untuk satu-satunya distribusi yang sesuai dengan fungsi pembangkit momen (3.9) akan melengkapi penemuan distribusi r.v. . Jika tidak memungkinkan untuk menentukannya secara eksplisit, maka dapat dicari dengan metode numerik.

Contoh 3.4. Pertimbangkan variabel acak dari Contoh 3.3. Mari kita definisikan fungsi densitas dari r.v. , menggunakan fungsi pembangkit momen r.v. .

Larutan. Menurut persamaan (3.9), yang dapat ditulis sebagai menggunakan metode penguraian menjadi pecahan sederhana. Solusinya adalah . Adalah fungsi pembangkitan momen distribusi eksponensial dengan parameter , sehingga fungsi kerapatan r.v. memiliki bentuk

Contoh 3.5. Dalam studi proses acak, distribusi invers Gaussian diperkenalkan. Ini digunakan sebagai distribusi r.v. PADA, jumlah pembayaran asuransi. Fungsi kerapatan dan fungsi pembangkit momen distribusi Gaussian terbalik diberikan oleh rumus

Mari kita cari distribusi r.v. , dimana r.v. independen dan memiliki distribusi invers Gaussian yang sama.

Larutan. Dengan menggunakan rumus (3.9), kita memperoleh persamaan berikut untuk fungsi pembangkitan momen r.v. :

Fungsi pembangkit momen sesuai dengan distribusi unik, dan dapat dilihat bahwa ia memiliki distribusi Gaussian terbalik dengan parameter dan .

Perkiraan untuk distribusi jumlah

Teorema limit pusat memberikan metode untuk menemukan nilai numerik untuk distribusi jumlah variabel acak independen. Biasanya teorema ini diformulasikan untuk jumlah variabel acak independen dan terdistribusi identik, di mana .

Untuk setiap n, distribusi r.v. dimana = , memiliki ekspektasi matematis 0 dan varians 1. Seperti diketahui, urutan distribusi tersebut (untuk n= 1, 2, ...) cenderung berdistribusi normal baku. Kapan n besar, teorema ini diterapkan untuk mendekati distribusi r.v. distribusi normal dengan rata-rata μ dan dispersi. Begitu pula dengan pembagian jumlah n variabel acak didekati dengan distribusi normal dengan mean dan varians.

Efisiensi perkiraan semacam itu tidak hanya bergantung pada jumlah suku, tetapi juga pada kedekatan distribusi suku dengan yang normal. Banyak kursus statistik dasar menyatakan bahwa n harus setidaknya 30 agar perkiraannya masuk akal.

Namun, salah satu program untuk menghasilkan variabel acak terdistribusi normal yang digunakan dalam pemodelan simulasi mengimplementasikan variabel acak normal sebagai rata-rata 12 variabel acak independen yang terdistribusi secara seragam selama interval (0,1).

Dalam banyak model risiko individual, variabel acak yang dimasukkan dalam penjumlahan tidak terdistribusi secara merata. Ini akan diilustrasikan dengan contoh-contoh di bagian selanjutnya.

Teorema limit sentral juga meluas ke urutan variabel acak yang tidak terdistribusi secara merata.

Untuk mengilustrasikan beberapa penerapan model risiko individual, kami akan menggunakan pendekatan normal dari distribusi jumlah variabel acak independen untuk memperoleh solusi numerik. Jika sebuah , kemudian

dan selanjutnya, jika r.v. mandiri, lalu

Untuk aplikasi yang dimaksud, kita hanya membutuhkan:

• temukan rata-rata dan varian variabel acak yang mensimulasikan kerugian individu,
• menjumlahkannya untuk mendapatkan rata-rata dan varians kerugian perusahaan asuransi secara keseluruhan,
• menggunakan pendekatan normal.

Di bawah ini kami mengilustrasikan urutan tindakan ini.

Aplikasi untuk asuransi

Bagian ini mengilustrasikan penggunaan pendekatan normal dengan empat contoh.

Contoh 5.1. Sebuah perusahaan asuransi jiwa menawarkan kontrak asuransi kematian satu tahun dengan pembayaran 1 dan 2 unit kepada orang yang probabilitas kematiannya 0,02 atau 0,01. Tabel di bawah ini menunjukkan jumlah orang nk di masing-masing dari empat kelas yang dibentuk sesuai dengan pembayaran b k dan probabilitas suatu peristiwa yang diasuransikan qk:

Perusahaan asuransi ingin mengumpulkan dari kelompok yang terdiri dari 1800 orang ini jumlah yang sama dengan persentil ke-95 dari pembagian total pembayaran asuransi untuk kelompok ini. Selain itu, dia ingin bagian setiap orang dari jumlah itu sebanding dengan pembayaran asuransi yang diharapkan orang tersebut.

Bagian orang dengan nomor , yang rata-rata pembayarannya sama dengan , harus . Ini mengikuti dari persyaratan persentil ke-95 bahwa . Kelebihan nilai, , adalah premi risiko, dan disebut premi risiko relatif. Mari menghitung.

Larutan. Nilai ditentukan oleh relasi = 0,95, di mana S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 . Pernyataan probabilitas ini setara dengan yang berikut:

Sesuai dengan apa yang dikatakan tentang teorema limit pusat di Sec. 4, kami memperkirakan distribusi r.v. distribusi normal standar dan menggunakan persentil ke-95, dari mana kita mendapatkan:

Untuk empat kelas di mana pemegang polis dibagi, kami memperoleh hasil sebagai berikut:

Lewat sini,

Oleh karena itu, premi risiko relatif adalah

Contoh 5.2. Pelanggan perusahaan asuransi mobil dibagi menjadi dua kelas:

Distribusi eksponensial terpotong ditentukan oleh fungsi distribusi

Ini adalah distribusi tipe campuran dengan fungsi kerapatan , dan "gumpalan" massa probabilistik pada suatu titik L. Grafik fungsi distribusi ini ditunjukkan pada Gambar 5.1.

Beras. 5.1. Distribusi eksponensial terpotong

Seperti sebelumnya, probabilitas bahwa jumlah total pembayaran asuransi melebihi jumlah yang dikumpulkan dari pemegang polis harus sama dengan 0,05. Kami akan berasumsi bahwa premi risiko relatif harus sama di masing-masing dari dua kelas yang dipertimbangkan. Mari menghitung.

Larutan. Contoh ini sangat mirip dengan yang sebelumnya. Satu-satunya perbedaan adalah nilai pembayaran asuransi sekarang menjadi variabel acak.

Pertama, kita akan mendapatkan ekspresi untuk momen distribusi eksponensial terpotong. Ini akan menjadi langkah persiapan untuk menerapkan rumus (2.25) dan (2.26):

Dengan menggunakan nilai parameter yang diberikan dalam kondisi dan menerapkan rumus (2.25) dan (2.26), kami memperoleh hasil sebagai berikut:

Jadi, S, jumlah total pembayaran asuransi, memiliki momen

Kondisi definisi tetap sama seperti pada Contoh 5.1, yaitu,

Menggunakan lagi pendekatan distribusi normal, kita dapatkan

Contoh 5.3. Portofolio perusahaan asuransi mencakup 16.000 kontrak asuransi kematian untuk jangka waktu satu tahun sesuai dengan tabel berikut:

Probabilitas kejadian yang diasuransikan q untuk masing-masing 16.000 klien (kejadian ini diasumsikan saling independen) adalah 0,02. Perusahaan ingin menetapkan tingkat retensinya sendiri. Untuk setiap pemegang polis, tingkat retensi sendiri adalah nilai di bawah mana perusahaan ini (perusahaan pemberi penugasan) melakukan pembayaran secara mandiri, dan pembayaran yang melebihi nilai ini dicakup dalam kontrak reasuransi oleh perusahaan lain (penanggung ulang).

Misalnya, jika tingkat retensi sendiri adalah 200.000, maka perusahaan mencadangkan pertanggungan hingga 20.000 untuk setiap tertanggung dan membeli reasuransi untuk menutup selisih antara premi dan jumlah 20.000 untuk masing-masing 4.500 pemegang polis yang premi asuransinya melebihi 20.000.

Perusahaan memilih sebagai kriteria keputusan, minimalisasi kemungkinan bahwa klaim asuransi dibiarkan dengan pengurangannya sendiri, ditambah jumlah yang dibayarkan untuk reasuransi, akan melebihi jumlah 8.250.000 Biaya reasuransi 0,025 per unit pertanggungan (yaitu 125% dari yang diharapkan nilai pembayaran asuransi per unit 0,02).

Kami yakin bahwa portofolio yang dipermasalahkan telah ditutup: kontrak asuransi baru yang dibuat selama tahun berjalan tidak akan diperhitungkan dalam proses pengambilan keputusan yang dijelaskan.

Solusi parsial. Mari kita lakukan semua perhitungan terlebih dahulu, pilih 10.000 sebagai satuan pembayaran, sebagai ilustrasi misalkan c. di. S adalah jumlah pembayaran yang tersisa pada pemotongan sendiri, memiliki bentuk sebagai berikut:

Untuk pembayaran asuransi ini, sisakan pada pengurangan Anda sendiri S, jumlah premi reasuransi ditambahkan. Secara total, jumlah pertanggungan menurut skema ini adalah

Jumlah yang tersisa pada pengurangan sendiri sama dengan

Dengan demikian, total nilai pertanggungan adalah 35.000-24.000 = 11.000 dan biaya reasuransi adalah

Oleh karena itu, pada tingkat retensi sendiri sama dengan 2, pembayaran asuransi yang tersisa pada retensi sendiri ditambah biaya reasuransi adalah . Kriteria keputusan didasarkan pada probabilitas bahwa total ini akan melebihi 825,

Dengan menggunakan distribusi normal, kita mendapatkan nilai ini kira-kira sama dengan 0,0062.

Nilai rata-rata pembayaran asuransi untuk asuransi excess loss sebagai salah satu jenis reasuransi dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal sebagai distribusi dari total pembayaran asuransi.

Biarkan total pembayaran asuransi X memiliki distribusi normal dengan mean dan varians

Contoh 5.4. Mari pertimbangkan portofolio asuransi, seperti pada contoh 5.3. Mari kita temukan ekspektasi matematis dari jumlah pembayaran asuransi berdasarkan kontrak asuransi untuk kelebihan ketidakuntungan, jika

(a) tidak ada reasuransi individu dan pengurangan tanpa syarat ditetapkan sebesar 7.500.000

(b) pemotongan pribadi sebesar 20.000 pada kontrak asuransi individu ditetapkan dan pengurangan tanpa syarat untuk portofolio adalah 5.300.000.

Larutan.

(a) Dengan tidak adanya reasuransi individu dan dalam transisi ke 10.000 sebagai mata uang

menerapkan rumus (5.2) memberi

yang merupakan jumlah dari 43.770 dalam satuan aslinya.

(b) Dalam Tampilan 5.3, kami mendapatkan rata-rata dan varian dari total premi untuk pengurangan individu sebesar 20.000 menjadi 480 dan 784, masing-masing, dengan menggunakan 10.000 sebagai satu unit. Jadi, =28.

menerapkan rumus (5.2) memberi

yang merupakan jumlah dari 4140 dalam satuan aslinya.

Biarkan ada sistem dua variabel acak X dan Y, yang distribusi bersama diketahui. Tugasnya adalah menemukan distribusi variabel acak. Sebagai contoh SV Z anda dapat mendatangkan keuntungan dari dua perusahaan; jumlah pemilih yang mencoblos dengan cara tertentu dari dua dapil yang berbeda; jumlah titik pada kedua dadu.

1. Kasus dua DSV. Nilai apa pun yang diambil CV diskrit (dalam bentuk pecahan desimal terbatas, dengan langkah-langkah berbeda), situasinya hampir selalu dapat direduksi menjadi kasus khusus berikut. Kuantitas X dan Y hanya dapat mengambil nilai integer, mis. di mana . Jika awalnya merupakan pecahan desimal, maka dapat dibuat bilangan bulat dengan mengalikannya dengan 10 k. Dan nilai yang hilang antara tertinggi dan terendah dapat diberi probabilitas nol. Biarkan distribusi probabilitas gabungan diketahui. Kemudian, jika kita menomori baris dan kolom matriks sesuai dengan aturan : , maka probabilitas penjumlahannya adalah:

Elemen matriks ditambahkan di sepanjang salah satu diagonal.

2. Kasus dua NSW. Biarkan kepadatan distribusi bersama diketahui. Maka kepadatan distribusi dari penjumlahan:

Jika sebuah X dan Y independen, yaitu , kemudian

Contoh 1 X , Y– SW independen, terdistribusi merata:

Mari kita temukan kerapatan distribusi dari variabel acak .

Jelas itu ,

SW Z dapat mengambil nilai dalam interval ( c+d; a+b), tetapi tidak untuk semua x. di luar interval ini. Pada bidang koordinat ( x, z) rentang nilai kuantitas yang mungkin z adalah jajaran genjang dengan sisi x=Dengan; x=sebuah; z=x+d; z=x+b. Dalam rumus untuk batas integrasi akan c dan sebuah. Namun, karena fakta bahwa dalam penggantian y=z-x, untuk beberapa nilai z fungsi . Misalnya, jika c , lalu pada z=x+c dan apapun x akan memiliki: . Oleh karena itu, perhitungan integral harus dilakukan secara terpisah untuk area perubahan nilai yang berbeda z, di mana masing-masing batas integrasi akan berbeda, tetapi untuk semua x dan z. Kami akan melakukan ini untuk kasus khusus kapan a+d< b+c . Mari kita perhatikan tiga wilayah perubahan kuantitas yang berbeda z dan untuk masing-masing dari mereka kita menemukan .