Egenskapen för fullständighet av uppsättningen av reella tal. Axiom för reella tal. Kontinuitetsakxiomets roll i konstruktionen av matematisk analys

§ 7 . Grunden för analys, 4

Fullständighet av uppsättningen av reella tal.

7.1. Introduktion.

Definition. Med ett reellt tal a menar vi ekvivalensklassen a för fundamentala sekvenser av rationella tal.

Definition. Ett gäng R ekvivalensklasser av fundamentala sekvenser av rationella tal kommer att kallas uppsättningen av reella tal.

1) lim a n = a Û " 0< eÎR$ pО N("nО N, n ³ p) Þ |a n - a| £ e

2) varje sekvens (a n) som är konvergent är också fundamental

" 0 < eÎR$ pО N("mО N, "nО N, m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ e)

Det är naturligt att försöka, analogt med §6, tillämpa faktoriseringsproceduren på mängden fundamentala sekvenser av reella tal. Skulle vi inte få en uppsättning ekvivalensklasser av fundamentala sekvenser av reella tal som innehåller mängden R som sin egen delmängd?

Det visar sig inte.

I denna § kommer en anmärkningsvärd egenskap att fastställas: fullständighetsegenskapen för mängden reella tal, som består i det faktum att varje grundläggande sekvens av reella tal konvergerar i R.

7.2. Approximation av reella tal med decimalbråk.

Definition. Sekvensen (q n) är begränsad om $ 0< MÎF, att ("nО N|q n | £ M)

Sats 1. Varje grundläggande sekvens av rationella tal är avgränsad.

Bevis. Låt (q n) vara en fundamental sekvens av rationella tal, då, på grund av den fundamentala naturen, för e=1 finns en sådan pн N, Vad:

$ pО N:((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p - fix, sedan " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

Verkligen: |q n | = |qn -qp +qp | £ |q n -q p | + |q p | z |q n | £ 1 + |q p |.

Inställning som M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) får vi: " nн N|q n | £ M.ð

I paragraf 6.3. det unära förhållandet "att vara positiv" gavs på uppsättningen. Vi kommer överens om att skriva ">0". Sedan a ³ 0 w (a > 0 eller a = 0).

Sats 2 . Låt grundsekvensen (q n) av rationella tal representera ett reellt tal a, då:

a) ($ p 1 О N, $ MO F("nО N, " n ³ p 1) z |q n | £ M) z a £ M.

b) ($ p 2 О N, $ mО F("nО N, " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Bevis. Eftersom " n³p 1 q n -M £ 0, då kan den fundamentala sekvensen q n -M - skillnaden mellan den fundamentala sekvensen (q n) och den konstanta sekvensen M inte vara en positiv sekvens, eftersom den är antingen noll eller negativ.

Därför kan det reella talet (a-M) som representeras av denna sekvens inte vara positivt, dvs. a-M £0, dvs. en e M.

På samma sätt beaktas b).

Sats 3 . Grundsekvensen (q n) av rationella tal representerar ett reellt tal a om och endast om " 0 R$po N, att "nО N och n³p olikheten |q n -a| £e:

(q n)нa ы " 0< eÎR$ pО N("nО N, n³p) Þ |qn-a| £ e.

Bevis. Låt oss bara bevisa nödvändigheten. Det är uppenbart att "eн R$ e 1 О F(e 1 £e)

Låt grundsekvensen (q n) av rationella tal vara en representant för talet a.

Genom antagande är det grundläggande, d.v.s. "0< eÎF$ pО N("nО N,"mO N, n³p, m³p) Þ |qn -qn | £e/2.

Fixa n³p, då får vi den fundamentala sekvensen (q m -q n): (q 1 -q n; q 2 -q n; ...; q n-1 -q n; 0; q n+1 -q n; ...) .

Alla termer i denna sekvens för m³p uppfyller olikheten: |q m -q n |£ e/2.

Med sats 2, det reella talet som representeras av denna sekvens | a-q n | £e/2.

| a-q n | £ e О R"n³p.

Sats 4 . Oavsett det reella talet a kommer det alltid att finnas ett heltal M så att olikheten M £ a

("aО R$! MO Z(M £ a< M+1))

Bevis.

Steg 1. Bevis på existens.

Låt grundsekvensen (q n) av rationella tal representera ett reellt tal a: ((q n)нa). I kraft av sats 1, $ Lн Z0, så att "nн N q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

Genom sats 3 (q n)нa ы " e>0, eн R$ pО N: ((" nО N, n3p) z 1q n-a1 £ e).

Sedan " n³p ½a1=½a- q n + q n ½ £½a- q n ½+½ q n ½ £ e + L.

½a1 £ e + L w -L-e £ a £ L+e.

Därför att e är ett godtyckligt tal >0, sedan –L £ a £ L. Efter det är det uppenbart att -1-L< a < L+1.

Sedan finner vi bland den ändliga uppsättningen heltal: -L-1, -L, -L+1, ..., -1, 0, +1, ..., L, L+1 först nummer M+1 för vilket villkoret a< M+1.

Då uppfyller inte talet M olikheten M £ a< M+1, т.е. такое число M существует.

Steg 2. Bevis på unikhet.4

Matematiska teorier finner som regel sin väg ut i det faktum att de tillåter en uppsättning tal (initialdata) att bearbetas till en annan uppsättning tal, vilket utgör ett mellanliggande eller slutligt mål för beräkningar. Av denna anledning upptar numeriska funktioner en speciell plats i matematiken och dess tillämpningar. De (mer exakt, de så kallade differentierbara numeriska funktionerna) utgör huvudobjektet för studien av klassisk analys. Men varje beskrivning av egenskaperna hos dessa funktioner som är komplett ur modern matematiks synvinkel, som du redan kunde känna i skolan och som du snart kommer att se, är omöjlig utan en exakt definition av den mängd reella tal som dessa funktioner fungerar.

Ett nummer i matematik, som tid i fysiken, är känt för alla, men är obegripligt endast för specialister. Detta är en av de viktigaste matematiska abstraktionerna, som tydligen ännu inte har genomgått en betydande utveckling och vars historia kan ägnas åt en oberoende intensivkurs. Här menar vi bara att sammanföra det som läsaren i princip vet om reella tal från gymnasiet, och i form av axiom lyfts fram talens grundläggande och oberoende egenskaper. Samtidigt är vårt mål att ge en exakt definition av reella tal som är lämpliga för efterföljande matematisk användning och ägna särskild uppmärksamhet åt deras egenskap av fullständighet, eller kontinuitet, som är grodden till övergången till gränsen - den huvudsakliga icke-aritmetiken analysens funktion.

§ 1. Axiomatik och några allmänna egenskaper hos mängden reella tal

1. Definition av mängden reella tal

Definition 1. Mängden E kallas mängden reella (reella) tal, och dess element kallas reella (reella)

tal om följande uppsättning villkor, kallad axiomatik för reella tal, är uppfyllda:

(I) Axiom för addition

Mappning definierad (tilläggsoperation)

att tilldela varje ordnat elementpar från E något element som kallas summan av x och y. I det här fallet är följande villkor uppfyllda:

Det finns ett neutralt element 0 (kallas noll i fallet med addition) så att för någon

För varje element finns det ett element som kallas motsats till sådant

Operation 4 är associativ, d.v.s. för alla element från

Operation 4 är kommutativ, d.v.s. för alla element i E,

Om en operation definieras på någon uppsättning som uppfyller axiomen, så sägs det att strukturen för en grupp är given på eller att det finns en grupp. Om operationen kallas addition kallas gruppen additiv. Om det dessutom är känt att operationen är kommutativ, d.v.s. villkoret är uppfyllt, kallas gruppen kommutativ eller abelisk. Så axiomen säger att E är en additiv abelisk grupp.

(II) Axiom för multiplikation

Mappning definierad (multiplikeringsoperation)

att tilldela varje ordnat elementpar från E något element, som kallas produkten av x och y, och på ett sådant sätt att följande villkor är uppfyllda:

1. Det finns ett neutralt element vid multiplikation med ett) så att

2. För varje element finns det ett element som kallas invers, så att

3. Operationen är associativ, d.v.s. någon av E

4. Operationen är kommutativ, det vill säga för alla

Observera att, med avseende på multiplikationsoperationen, kan mängden verifieras att vara en (multiplikativ) grupp.

(I, II) Samband mellan addition och multiplikation

Multiplikation är distributiv med avseende på addition, d.v.s.

Observera att, med tanke på multiplikationens kommutativitet, bevaras den sista likheten om ordningen på faktorerna i båda dess delar är omvänd.

Om det på någon uppsättning finns två operationer som uppfyller alla de listade axiomen, så kallas det ett algebraiskt fält eller helt enkelt ett fält.

(III) Ordningsaxiom

Det finns ett samband mellan elementen i E, det vill säga att för element från E fastställs om det är uppfyllt eller inte. I detta fall måste följande villkor vara uppfyllda:

Relationen kallas ojämlikhetsrelationen.

En mängd, mellan några av vars element det finns en relation som uppfyller axiomen 0, 1, 2, kallas för partiellt ordnad, och om dessutom axiom 3 är uppfyllt, dvs. två element i mängden är jämförbara , då kallas uppsättningen linjärt ordnad.

Således är mängden reella tal linjärt ordnad efter olikhetsrelationen mellan dess element.

(I, III) Förhållandet mellan addition och ordning i R

Om x, är element i R, då

(II, III) Relation mellan multiplikation och ordning i R

Om är element i R, då

(IV) Axiom för fullständighet (kontinuitet)

Om X och Y är icke-tomma delmängder av E som har egenskapen att för alla element, så finns det sådana att för alla element .

Detta fullbordar listan över axiom vars uppfyllelse på någon uppsättning E gör det möjligt att betrakta denna uppsättning som en konkret realisering eller, som de säger, en modell av reella tal.

Denna definition förutsätter formellt inte någon preliminär information om tal, och från den, "inklusive matematisk tanke", återigen, formellt, måste vi redan erhålla resten av egenskaperna hos reella tal som satser. Vi skulle vilja göra några informella kommentarer om denna axiomatiska formalism.

Föreställ dig att du inte har gått från att lägga till äpplen, kuber eller andra namngivna kvantiteter till att lägga till abstrakta naturliga tal; att du inte mätte segment och inte kom till rationella tal; att du inte känner till forntidens stora upptäckt att en kvadrats diagonal är omöjlig med dess sida och därför kan dess längd inte vara ett rationellt tal, det vill säga irrationella tal behövs; att du inte har föreställningen om "mer" som uppstår i mätprocessen, att du inte illustrerar ordning för dig själv, till exempel med bilden av en tallinje. Om allt detta inte hade hänt i förväg, så skulle den uppräknade uppsättningen av axiom inte bara inte uppfattas som ett bestämt resultat av andlig utveckling, utan snarare verka åtminstone märkligt och i alla fall ett godtyckligt fantasifoster.

När det gäller varje abstrakt system av axiom uppstår åtminstone två frågor omedelbart.

För det första, är dessa axiom kompatibla, d.v.s. finns det en uppsättning som uppfyller alla ovanstående villkor? Detta är frågan om konsistensen av axiomatik.

För det andra, bestämmer det givna axiomsystemet unikt det matematiska objektet, d.v.s., som logiker skulle säga, är axiomsystemet kategoriskt.

Entydigheten här bör förstås på följande sätt. Om person A och B, oberoende av varandra, har byggt sina egna modeller, till exempel av numeriska system som uppfyller axiomatiken, så kan en bijektiv överensstämmelse upprättas mellan mängderna, även om den bevarar aritmetiska operationer och ordningsrelationen, d.v.s.

Ur en matematisk synvinkel, i det här fallet, är de bara olika (helt lika) implementeringar (modeller) av reella tal (till exempel oändliga decimalbråk och - punkter på tallinjen). Sådana insikter kallas isomorfa, och kartläggningen kallas en isomorfism. Resultaten av matematisk aktivitet hänvisar därför inte till en individuell implementering, utan till varje modell från klassen av isomorfa modeller av en given axiomatik.

Vi kommer inte att diskutera ovanstående frågor här och begränsa oss till informativa svar på dem.

Ett positivt svar på frågan om konsistensen av axiomatik är alltid villkorat. När det gäller tal ser det ut så här: utifrån den av oss antagna mängdlärans axiomatik (se kap. I, § 4, punkt 2) kan vi konstruera en uppsättning naturliga tal, sedan en uppsättning rationella tal, och , slutligen en uppsättning E av alla reella tal som uppfyller alla ovanstående egenskaper.

15. Om icke-tomma mängder A och B av reella tal är sådana att för alla och olikheten en< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Fullständighetsaxiomet är endast giltigt i R.

Det kan bevisas att mellan alla ojämna rationella tal är det alltid möjligt att infoga ett rationellt tal som är ojämlikt med dem.

Från de ovan angivna axiomen kan man härleda det unika hos noll och ett, skillnadens och kvotens existens och unikhet. Observera dessutom egenskaperna hos ojämlikheter som används allmänt i olika transformationer:

1. Om en< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Om en< b, то –a >-b.

3. Om a > 0, b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (Det senare gäller också för a > 0, b > 0.)

4. Om 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Om en< b, c >0, sedan ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Om 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. För alla positiva tal a och b finns det ett tal nО N så att na > b (axiom Arkimedes, för segment med längden a, b, na).

Följande notation för numeriska uppsättningar används:

N – uppsättning naturliga tal;

Z – uppsättning heltal;

F – uppsättning rationella tal;

jag – uppsättning irrationella tal;

R – uppsättning reella tal;

R + är mängden av reella positiva tal;

R_ – uppsättningen av reella negativa tal;

R 0 är mängden av reella icke-negativa tal;

C är mängden komplexa tal (definitionen och egenskaperna för denna mängd diskuteras i avsnitt 1.1).

Låt oss introducera begreppet begränsning på uppsättningen av reella tal. Den kommer att användas aktivt i diskussionen nedan.

Vi kommer att kalla en uppsättning UPPER (BOTTOM) Bounded om det finns ett sådant reellt nummer M ( m ) att något element uppfyller ojämlikheten:

Talet M kallas ÖVRE GRÄNSEN AV MÄNGD A, och talet m – LÄGRE gräns för denna uppsättning.

En mängd avgränsad över och under kallas avgränsad.

Ett gäng N naturliga tal är avgränsat under men inte ovanför. Uppsättning heltal Z inte begränsat uppifrån eller under.

Om vi ​​betraktar uppsättningen av områden av godtyckliga trianglar inskrivna i en cirkel med diameter D , då begränsas den av noll underifrån och ovanifrån – arean av en polygon som inkluderar en cirkel (särskilt arean av den omskrivna kvadraten, lika med D 2 ).

Varje uppsättning avgränsad från ovan (underifrån) har oändligt många övre (nedre) ytor. Finns det då en minsta av alla övre gränser och en störst av alla nedre gränser?

Låt oss ringa numret den minsta övre gränsen av en mängd som är avgränsad ovan AÌ R , Om:

1. är en av uppsättningens övre gränser A ;

2. är den minsta av uppsättningens övre gränser A . Med andra ord det verkliga talet är den minsta övre gränsen för uppsättningen AÌ R , Om:

Godkänd beteckning

Ange på samma sätt: – minst infimum av en mängd som avgränsas nedan A och motsvarande beteckningar

På latin: supremum - den högsta, infimum - den lägsta.

De exakta ansiktena på en uppsättning kanske tillhör den eller inte.

SATS. Avgränsad från ovan (underifrån) icke-tom uppsättning reella tal den exakta övre (nedre) gränsen.

Vi accepterar detta teorem utan bevis. Till exempel, om , då kan den övre gränsen anses vara siffran 100, den nedre -10 och . Om då . I det andra exemplet hör inte exakta gränser till denna uppsättning.

På uppsättningen av reella tal kan två icke-korsande delmängder av algebraiska och transcendentala tal urskiljas.

ALGEBRAISKA TAL är tal som är rötterna till ett polynom

vars koefficienter – heltal.

I högre algebra är det bevisat att mängden komplexa rötter i ett polynom är ändlig och lika med n. (Komplexa tal är en generalisering av reella tal). Uppsättningen av algebraiska tal är räknebar . Den inkluderar alla rationella tal, eftersom formens tal

uppfylla ekvationen

Det är också bevisat att det finns algebraiska tal som inte är radikaler från rationella tal. Detta mycket viktiga resultat stoppade fruktlösa försök att hitta lösningar på ekvationer av grad som är högre än den fjärde i radikaler. Den månghundraåriga sökningen efter algebraister som studerade detta problem kunde generalisera den franske matematikern E. Galois, som absurt nog dog vid 21 års ålder. Hans vetenskapliga arbeten är bara 60 sidor, men de var ett lysande bidrag till utvecklingen av matematik.

En ung man som passionerat och okontrollerat älskade denna vetenskap, försökte två gånger komma in i den mest prestigefyllda utbildningsinstitutionen i Frankrike vid den tiden. – Yrkeshögskola – utan framgång. Började plugga på en privilegierad gymnasieskola – utvisad på grund av konflikt med direktören. Efter att ha blivit politisk fånge efter att ha uttalat sig mot Louis Philippe, överlämnade han från fängelset till Paris vetenskapsakademi ett manuskript med en studie av att lösa en ekvation i radikaler. Akademien avvisade detta arbete. En absurd död i en duell avslutade livet för denna enastående man.

Mängden som är skillnaden mellan mängderna av reella och algebraiska tal kallas mängden TRANSCENDENTA TAL . Uppenbarligen kan inte varje transcendentalt tal vara en rot av ett polynom med heltalskoefficienter.

Samtidigt orsakade beviset på transcendensen av alla individuella siffror enorma svårigheter.

Först 1882 lyckades professor vid universitetet i Koenigsberg F. Lindemann bevisa numrets transcendens, från vilket det blev klart att det var omöjligt att lösa problemet med att kvadrera en cirkel (att konstruera en kvadrat med arean av en given cirkel med en kompass och en linjal). Vi ser att idéerna om algebra, analys, geometri ömsesidigt penetrerar varandra.

Den axiomatiska introduktionen av reella tal är långt ifrån den enda. Dessa tal kan introduceras genom att kombinera uppsättningen av rationella och irrationella tal, eller som oändliga decimaler, eller genom att använda sektioner på uppsättningen av rationella tal.

*1) Detta material är hämtat från det sjunde kapitlet i boken:

L.I. Lurie FOUNDATIONS OF HIGHER MATEMATICS / Lärobok / M .: Publishing and Trade Corporation "Dashkov and Co", - 2003, - 517 S.

Encyklopedisk YouTube

1 / 5

✪ Axiomatik för reella tal

✪ Introduktion. Reella tal | matan #001 | Boris Trushin +

✪ Principen för kapslade segment | matan #003 | Boris Trushin!

✪ Olika principer för kontinuitet | matan #004 | Boris Trushin!

✪ Axiom för kontinuitet. Cantors princip om kapslade snitt

undertexter

Axiom för kontinuitet

Följande förslag är kanske det enklaste och mest bekväma för tillämpningsformulering av kontinuitetsegenskapen för reella tal. I den axiomatiska konstruktionen av teorin om det reella talet ingår detta uttalande, eller motsvarande det, säkerligen i antalet axiom för det reella talet.

Axiom för kontinuitet (fullständighet). A ⊂ R (\displaystyle A\subset \mathbb (R) ) Och B ⊂ R (\displaystyle B\subset \mathbb (R) ) och ojämlikheten är uppfylld, det finns ett sådant reellt tal ξ (\displaystyle \xi ) det för alla a ∈ A (\displaystyle a\in A) Och b ∈ B (\displaystyle b\in B) det finns ett samband

Geometriskt, om vi behandlar reella tal som punkter på en rät linje, verkar detta påstående uppenbart. Om två set A (\displaystyle A) Och B (\displaystyle B)är sådana att på tallinjen alla element i ett av dem ligger till vänster om alla element i det andra, så finns det ett tal ξ (\displaystyle \xi ), separerande dessa två uppsättningar, det vill säga ligger till höger om alla element A (\displaystyle A)(förutom kanske ξ (\displaystyle \xi )) och till vänster om alla element B (\displaystyle B)(samma klausul).

Det bör noteras här att trots "självklarheten" hos denna egenskap är den inte alltid uppfylld för rationella tal. Tänk till exempel på två uppsättningar:

Det är lätt att se det för alla element a ∈ A (\displaystyle a\in A) Och b ∈ B (\displaystyle b\in B) ojämlikheten a< b {\displaystyle a. dock rationell tal ξ (\displaystyle \xi ), som separerar dessa två uppsättningar, existerar inte. Detta nummer kan faktiskt bara vara 2 (\displaystyle (\sqrt (2))), men det är inte rationellt.

Kontinuitetsakxiomets roll i konstruktionen av matematisk analys

Betydelsen av kontinuitetsaxiomet är sådan att utan det är en rigorös konstruktion av matematisk analys omöjlig. För att illustrera presenterar vi flera grundläggande analyspåståenden, vars bevis är baserat på kontinuiteten i reella tal:

• (Weierstrass sats). Varje avgränsad monotont ökande sekvens konvergerar
• (Theorem Bolzano - Cauchy). En kontinuerlig funktion på ett segment som tar värden av olika tecken i sina ändar försvinner vid någon inre punkt i segmentet
• (Förekomst av makt, exponentiella, logaritmiska och alla trigonometriska funktioner på hela den "naturliga" definitionsdomänen). Till exempel är det bevisat att för varje a > 0 (\displaystyle a>0) och hel n ⩾ 1 (\displaystyle n\geqslant 1) existerar a n (\displaystyle (\sqrt[(n)](a))), det vill säga lösningen av ekvationen x n = a , x > 0 (\displaystyle x^(n)=a,x>0). Detta låter dig bestämma värdet av uttrycket för alla rationella x (\displaystyle x):

A m / n = (a n) m (\displaystyle a^(m/n)=\left((\sqrt[(n)](a))\right)^(m))

Slutligen, återigen på grund av kontinuiteten i tallinjen, kan man bestämma uttryckets värde a x (\displaystyle a^(x)) redan för godtyckligt x ∈ R (\displaystyle x\in \mathbb (R) ). På samma sätt, med hjälp av kontinuitetsegenskapen, bevisar vi förekomsten av numret log a ⁡ b (\displaystyle \log _(a)(b)) för alla a , b > 0 , a ≠ 1 (\displaystyle a,b>0,a\neq 1).

Under en lång historisk tidsperiod bevisade matematiker satser från analys, på "tunna ställen" med hänvisning till den geometriska motiveringen, och oftare hoppade över dem helt, eftersom det var uppenbart. Det väsentliga begreppet kontinuitet användes utan någon tydlig definition. Det var först under den sista tredjedelen av 1800-talet som den tyske matematikern Karl Weierstrass producerade analysens aritmetisering och konstruerade den första rigorösa teorin om reella tal som oändliga decimalbråk. Han föreslog den klassiska definitionen av gränsen i språket ε − δ (\displaystyle \varepsilon -\delta), bevisade ett antal påståenden som ansågs "uppenbara" före honom, och fullbordade därmed konstruktionen av grunden för matematisk analys.

Senare föreslogs andra tillvägagångssätt för definitionen av ett reellt tal. I det axiomatiska tillvägagångssättet pekas kontinuiteten av reella tal uttryckligen ut som ett separat axiom. I konstruktiva förhållningssätt till teorin om ett reellt tal, till exempel, när man konstruerar reella tal med hjälp av Dedekind-sektioner, bevisas kontinuitetsegenskapen (i en eller annan formulering) som ett teorem.

Andra uttalanden om kontinuitetsegenskapen och motsvarande propositioner

Det finns flera olika påståenden som uttrycker kontinuitetsegenskapen hos reella tal. Var och en av dessa principer kan tas som grund för att konstruera teorin om det reella talet som ett axiom för kontinuitet, och alla andra kan härledas från den. Denna fråga diskuteras mer i detalj i nästa avsnitt.

Kontinuitet enligt Dedekind

Frågan om reella tals kontinuitet behandlar Dedekind i sitt arbete "Kontinuitet och irrationella tal". I den jämför han rationella tal med punkter på en rät linje. Som du vet, mellan rationella tal och punkter på en rät linje, kan du upprätta en överensstämmelse när startpunkten och måttenheten för segmenten väljs på den räta linjen. Med hjälp av det senare, för varje rationellt tal a (\displaystyle a) konstruera motsvarande segment och lägg det åt sidan till höger eller vänster, beroende på om det finns a (\displaystyle a) positivt eller negativt tal, få poäng p (\displaystyle p) motsvarande antalet a (\displaystyle a). Så varje rationellt tal a (\displaystyle a) matchar en och bara en poäng p (\displaystyle p) på en rak linje.

Det visar sig att det finns oändligt många punkter på linjen som inte motsvarar något rationellt tal. Till exempel en punkt som erhålls genom att plotta längden på diagonalen för en kvadrat byggd på ett enhetssegment. Det har alltså inte de rationella talens område fullständighet, eller kontinuitet, som är inneboende i en rak linje.

För att ta reda på vad denna kontinuitet består av gör Dedekind följande anmärkning. Om p (\displaystyle p)är en viss punkt på linjen, då faller alla punkter på linjen i två klasser: punkter som ligger till vänster p (\displaystyle p), och pekar till höger p (\displaystyle p). Själva poängen p (\displaystyle p) kan godtyckligt tilldelas antingen den lägre eller den övre klassen. Dedekind ser essensen av kontinuitet i den omvända principen:

Geometriskt verkar denna princip självklar, men vi är inte i stånd att bevisa den. Dedekind betonar att denna princip i huvudsak är ett postulat, som uttrycker essensen av den egenskap som tillskrivs den direkta linjen, som vi kallar kontinuitet.

För att bättre förstå essensen av kontinuiteten i tallinjen i betydelsen Dedekind, överväg en godtycklig del av uppsättningen av reella tal, det vill säga uppdelningen av alla reella tal i två icke-tomma klasser, så att alla tal av en klass ligger på tallinjen till vänster om alla nummer i den andra. Dessa klasser namnges respektive lägre Och överklasser avsnitt. Teoretiskt finns det fyra möjligheter:

1. Den lägre klassen har ett maximalt element, den övre klassen har inget minimum
2. Den nedersta klassen har inget maxelement, medan toppklassen har ett minimum
3. Den nedersta klassen har ett maximalt element och den översta klassen har ett minimum.
4. Den lägsta klassen har inget maximum och toppklassen har inget minimum.

I det första och andra fallet producerar det maximala elementet av det nedre respektive minimumelementet av det övre detta avsnitt. I det tredje fallet har vi hoppa, och i den fjärde Plats. Tallinjens kontinuitet innebär alltså att det inte finns några hopp eller luckor i uppsättningen av reella tal, det vill säga bildligt talat finns det inga tomrum.

Denna proposition är också likvärdig med Dedekinds kontinuitetsprincip. Dessutom kan det visas att uttalandet av infimumsatsen direkt följer av hävdandet av supremumsatsen och vice versa (se nedan).

Finita locklemma (Heine-Borel-principen)

Finita Cover Lemma (Heine - Borel). I alla system av intervall som täcker ett segment, finns det ett ändligt delsystem som täcker detta segment.

Gränspunktslemma (Bolzano-Weierstrass-principen)

Limit Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Varje oändligt begränsad nummeruppsättning har minst en gränspunkt.. Den andra gruppen uttrycker det faktum att uppsättningen av reella tal är , och ordningsrelationen överensstämmer med fältets grundläggande operationer. Således betyder den första och andra gruppen av axiom att mängden reella tal är ett ordnat fält. Den tredje gruppen av axiom består av ett axiom - axiomet för kontinuitet (eller fullständighet).

För att visa ekvivalensen av olika formuleringar av kontinuiteten för de reella talen måste det bevisas att om en av dessa satser gäller för ett ordnat fält, så är alla de andra sanna.

Sats. Låt vara en godtycklig linjär ordnad uppsättning . Följande påståenden är likvärdiga:

1. Oavsett de icke-tomma uppsättningar och B ⊂ R (\displaystyle B\subset (\mathsf (R))), så att för vilka två element som helst a ∈ A (\displaystyle a\in A) Och b ∈ B (\displaystyle b\in B) ojämlikheten a ⩽ b (\displaystyle a\leqslant b), det finns ett sådant element ξ ∈ R (\displaystyle \xi \in (\mathsf (R))) det för alla a ∈ A (\displaystyle a\in A) Och b ∈ B (\displaystyle b\in B) det finns ett samband a ⩽ ξ ⩽ b (\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b)
2. För alla avsnitt i R (\displaystyle (\mathsf (R))) det finns ett element som producerar detta avsnitt
3. Varje icke-tom set avgränsad ovan A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) har ett övertag
4. Varje icke-tom set avgränsas nedan A ⊂ R (\displaystyle A\subset (\mathsf (R))) har ett infimum

Som framgår av detta teorem använder dessa fyra meningar bara det som står på R (\displaystyle (\mathsf (R))) introducerade en linjär ordningsrelation och använd inte fältstrukturen. Således uttrycker var och en av dem egenskapen R (\displaystyle (\mathsf (R))) som en linjärt ordnad uppsättning. Denna egenskap (för en godtyckligt linjärt ordnad mängd, inte nödvändigtvis mängden reella tal) kallas kontinuitet, eller fullständighet, enligt Dedekind.

Att bevisa likvärdigheten av andra meningar kräver redan en fältstruktur.

Sats. Låta R (\displaystyle (\mathsf (R)))- ett godtyckligt ordnat fält. Följande meningar är likvärdiga:

Kommentar. Som kan ses från satsen, principen om kapslade segment i sig är inte likvärdig Dedekinds kontinuitetsprincip. Principen med kapslade segment följer av Dedekinds kontinuitetsprincip, men för det omvända krävs det att det ordnade fältet dessutom krävs.

Planen:

Introduktion

• 1 Axiom för kontinuitet
• 2 Kontinuitetsakxiomets roll i konstruktionen av matematisk analys
• 3 Andra uttalanden om kontinuitetsegenskapen och motsvarande propositioner
  • 3.1 Kontinuitet enligt Dedekind
  • 3.2 Lemma om kapslade segment (Cauchy-Cantor-principen)
  • 3.3 Den högsta principen
  • 3.4 Finita locklemma (Heine-Borel-principen)
  • 3.5 Gränspunktslemma (Bolzano-Weierstrass-principen)
• 4 Ekvivalens av meningar som uttrycker kontinuiteten i uppsättningen av reella tal
Anteckningar
Litteratur

Introduktion

Kontinuitet av reella tal- en egenskap hos systemet av reella tal, som mängden rationella tal inte har. Ibland, istället för kontinuitet, pratar de om fullständigheten av systemet av reella tal. Det finns flera olika formuleringar av kontinuitetsegenskapen, varav de mest kända är: Dedekinds princip om kontinuitet för reella tal, principen för kapslade segment Cauchy - Cantor, högsta teorem. Beroende på den accepterade definitionen av ett reellt tal kan kontinuitetsegenskapen antingen postuleras som ett axiom - i en eller annan formulering, eller bevisas som ett teorem.

1. Axiom för kontinuitet

Följande förslag är kanske det enklaste och mest bekväma för tillämpningsformulering av kontinuitetsegenskapen för reella tal. I den axiomatiska konstruktionen av teorin om ett reellt tal är detta uttalande, eller motsvarande det, säkerligen bland axiomen för ett reellt tal.

Geometrisk illustration av kontinuitetens axiom

Axiom för kontinuitet (fullständighet). Oavsett de icke-tomma uppsättningarna och , så att för alla två element och olikheten gäller, finns det ett nummer ξ så att för alla och relationen gäller

Geometriskt, om vi behandlar reella tal som punkter på en rät linje, verkar detta påstående uppenbart. Om två set A Och Bär sådana att på tallinjen alla element i ett av dem ligger till vänster om alla element i det andra, då finns det ett tal ξ, separerande dessa två uppsättningar, det vill säga ligger till höger om alla element A(förutom kanske ξ själv) och till vänster om alla element B(samma klausul).

Det bör noteras här att trots "självklarheten" hos denna egenskap är den inte alltid uppfylld för rationella tal. Tänk till exempel på två uppsättningar:

Det är lätt att se det för alla element och ojämlikheten a < b. dock rationell det finns inget nummer ξ som skiljer dessa två uppsättningar åt. Detta nummer kan faktiskt bara vara , men det är inte rationellt.

2. Kontinuitetsaxiomets roll i konstruktionen av matematisk analys

Betydelsen av kontinuitetsaxiomet är sådan att utan det är en rigorös konstruktion av matematisk analys omöjlig. För att illustrera presenterar vi flera grundläggande analyspåståenden, vars bevis är baserat på kontinuiteten i reella tal:

Slutligen, återigen på grund av kontinuiteten i tallinjen, kan man bestämma uttryckets värde a x redan för godtyckliga . På samma sätt, med hjälp av kontinuitetsegenskapen, bevisar vi förekomsten av nummerloggen a b för alla .

Under en lång historisk tidsperiod bevisade matematiker satser från analys, på "tunna ställen" med hänvisning till den geometriska motiveringen, och hoppade oftare över dem helt eftersom det var uppenbart. Det väsentliga begreppet kontinuitet användes utan någon tydlig definition. Först under den sista tredjedelen av 1800-talet producerade den tyske matematikern Karl Weierstrass analysens aritmetisering och konstruerade den första rigorösa teorin om reella tal som oändliga decimalbråk. Han föreslog en klassisk definition av gränsen i språket, bevisade ett antal påståenden som ansågs "uppenbara" före honom och fullbordade därmed grunden för matematisk analys.

Senare föreslogs andra tillvägagångssätt för definitionen av ett reellt tal. I det axiomatiska tillvägagångssättet pekas kontinuiteten av reella tal uttryckligen ut som ett separat axiom. I konstruktiva förhållningssätt till teorin om ett reellt tal, till exempel, när man konstruerar reella tal med hjälp av Dedekind-sektioner, bevisas kontinuitetsegenskapen (i en eller annan formulering) som ett teorem.

3. Andra formuleringar av kontinuitetsegenskapen och motsvarande propositioner

Det finns flera olika påståenden som uttrycker kontinuitetsegenskapen hos reella tal. Var och en av dessa principer kan tas som grund för att konstruera teorin om det reella talet som ett axiom för kontinuitet, och alla andra kan härledas från den. Denna fråga diskuteras mer i detalj i nästa avsnitt.

3.1. Kontinuitet enligt Dedekind

Frågan om reella tals kontinuitet behandlas av Dedekind i hans verk Continuity and Irrational Numbers. I den jämför han de rationella talen med punkterna på en rät linje. Som du vet kan en överensstämmelse upprättas mellan rationella tal och punkter på en rät linje när en startpunkt och en måttenhet för segment väljs på en rät linje. Med hjälp av det senare, för varje rationellt tal a konstruera motsvarande segment och lägg det åt sidan till höger eller vänster, beroende på om det finns a positivt eller negativt tal, få poäng sid motsvarande antalet a. Så varje rationellt tal a matchar en och bara en poäng sid på en rak linje.

Det visar sig att det finns oändligt många punkter på linjen som inte motsvarar något rationellt tal. Till exempel en punkt som erhålls genom att plotta längden på diagonalen för en kvadrat byggd på ett enhetssegment. Det har alltså inte de rationella talens område fullständighet, eller kontinuitet, som är inneboende i en rak linje.

För att ta reda på vad denna kontinuitet består av gör Dedekind följande anmärkning. Om sidär en viss punkt på linjen, då faller alla punkter på linjen i två klasser: punkter som ligger till vänster sid, och pekar till höger sid. Själva poängen sid kan godtyckligt tilldelas antingen den lägre eller den övre klassen. Dedekind ser essensen av kontinuitet i den omvända principen:

Geometriskt verkar denna princip självklar, men vi är inte i stånd att bevisa den. Dedekind betonar att denna princip i huvudsak är ett postulat, som uttrycker essensen av den egenskap som tillskrivs den direkta linjen, som vi kallar kontinuitet.

För att bättre förstå essensen av kontinuiteten i tallinjen i betydelsen Dedekind, överväg en godtycklig del av uppsättningen av reella tal, det vill säga uppdelningen av alla reella tal i två icke-tomma klasser, så att alla tal av en klass ligger på tallinjen till vänster om alla nummer i den andra. Dessa klasser namnges respektive lägre Och överklasser avsnitt. Teoretiskt finns det fyra möjligheter:

1. Den nedersta klassen har ett maximalt element, toppklassen har inget minimum
2. Den nedersta klassen har inget maxelement, medan toppklassen har ett minimum
3. Den nedersta klassen har ett maximalt element och den översta klassen har ett minimum.
4. Den lägsta klassen har inget maximum och toppklassen har inget minimum.

I det första och andra fallet producerar det maximala elementet av det nedre respektive minimumelementet av det övre detta avsnitt. I det tredje fallet har vi hoppa, och i den fjärde Plats. Tallinjens kontinuitet innebär alltså att det inte finns några hopp eller luckor i uppsättningen av reella tal, det vill säga bildligt talat finns det inga tomrum.

Om vi ​​introducerar begreppet en sektion av uppsättningen av reella tal, så kan Dedekinds kontinuitetsprincip formuleras enligt följande.

Dedekinds princip om kontinuitet (fullständighet). För varje sektion av uppsättningen av reella tal finns det ett tal som producerar denna sektion.

Kommentar. Formuleringen av kontinuitetens axiom om existensen av en punkt som skiljer två uppsättningar påminner mycket om formuleringen av Dedekinds kontinuitetsprincip. Faktum är att dessa uttalanden är likvärdiga, och är i huvudsak olika formuleringar av samma sak. Därför kallas båda dessa uttalanden principen om kontinuitet för reella tal enligt Dedekind.

3.2. Lemma om kapslade segment (Cauchy-Cantor-principen)

Lemma om kapslade segment (Cauchy - Kantor). Alla system av kapslade segment

har en icke-tom skärningspunkt, det vill säga det finns minst ett nummer som tillhör alla segment i det givna systemet.

Om dessutom längden på segmenten i det givna systemet tenderar mot noll, dvs.

då består skärningspunkten mellan segmenten i detta system av en punkt.

Denna egenskap kallas kontinuitet i mängden reella tal i betydelsen Cantor. Det kommer att visas nedan att för de arkimediska ordnade fälten är kontinuiteten enligt Cantor likvärdig med kontinuiteten enligt Dedekind.

3.3. Den högsta principen

Överhöghetsprincipen. Varje icke-tom uppsättning reella tal som avgränsas ovan har ett supremum.

I kalkylkurser är denna proposition vanligtvis ett teorem, och dess bevis gör betydande användning av kontinuiteten i uppsättningen av reella tal i en eller annan form. Samtidigt är det tvärtom möjligt att postulera existensen av ett supremum för vilken icke-tom uppsättning som helst avgränsad från ovan, och förlita sig på detta för att bevisa till exempel Dedekinds kontinuitetsprincip. Sålunda är den högsta satsen en av de ekvivalenta formuleringarna av kontinuitetsegenskapen för reella tal.

Kommentar. Istället för supremum kan man använda det dubbla konceptet infimum.

Infimum-principen. Varje icke-tom uppsättning reella tal som avgränsas nedan har ett infimum.

Denna proposition är också likvärdig med Dedekinds kontinuitetsprincip. Dessutom kan det visas att uttalandet av infimumsatsen direkt följer av hävdandet av supremumsatsen och vice versa (se nedan).

3.4. Finita locklemma (Heine-Borel-principen)

Finita Cover Lemma (Heine - Borel). I alla system av intervall som täcker ett segment, finns det ett ändligt delsystem som täcker detta segment.

3.5. Gränspunktslemma (Bolzano-Weierstrass-principen)

Limit Point Lemma (Bolzano - Weierstrass). Varje oändligt begränsad nummeruppsättning har minst en gränspunkt.

4. Ekvivalens av meningar som uttrycker kontinuiteten i mängden reella tal

Låt oss göra några preliminära kommentarer. I enlighet med den axiomatiska definitionen av ett reellt tal, uppfyller uppsättningen av reella tal tre grupper av axiom. Den första gruppen är fältaxiomen. Den andra gruppen uttrycker det faktum att samlingen av reella tal är en linjärt ordnad mängd, och ordningsrelationen överensstämmer med fältets grundläggande operationer. Således betyder den första och andra gruppen av axiom att mängden reella tal är ett ordnat fält. Den tredje gruppen av axiom består av ett axiom - axiomet för kontinuitet (eller fullständighet).

För att visa ekvivalensen av olika formuleringar av kontinuiteten för de reella talen måste det bevisas att om en av dessa satser gäller för ett ordnat fält, så är alla de andra sanna.

Sats. Låt vara en godtycklig linjärt ordnad uppsättning. Följande påståenden är likvärdiga:

Som framgår av denna sats använder dessa fyra satser bara vad den linjära ordningsrelationen har infört och använder inte fältstrukturen. Således uttrycker var och en av dem en egenskap som en linjärt ordnad mängd. Denna egenskap (för en godtyckligt linjärt ordnad mängd, inte nödvändigtvis mängden reella tal) kallas kontinuitet, eller fullständighet, enligt Dedekind.

Att bevisa likvärdigheten av andra meningar kräver redan en fältstruktur.

Sats. Låt vara ett godtyckligt ordnat fält. Följande meningar är likvärdiga:

Kommentar. Som kan ses från satsen, principen om kapslade segment i sig är inte likvärdig Dedekinds kontinuitetsprincip. Principen med kapslade segment följer av Dedekinds kontinuitetsprincip, men för det omvända krävs det att man dessutom kräver att det ordnade fältet uppfyller Arkimedes axiom

Beviset för ovanstående satser kan hittas i böckerna från bibliografin nedan.

Anteckningar

1. Zorich, V.A. Matematisk analys. Del I. - Red. 4:a, korrigerad .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 43.
2. Till exempel, i den axiomatiska definitionen av ett reellt tal ingår Dedekinds kontinuitetsprincip bland axiomen, och i den konstruktiva definitionen av ett reellt tal med hjälp av Dedekind-sektioner är samma påstående redan ett teorem - se t.ex. Fikhtengolts, G.M.
3. Kudryavtsev, L.D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 38.
4. Kudryavtsev, L.D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.
5. Zorich, V.A. Matematisk analys. Del I. - Red. 4:a, korrigerad .. - M .: "MTsNMO", 2002. - S. 81.
6. Dedekind, R. Kontinuitet och irrationella tal - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4:e reviderade upplagan. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 sid.

Litteratur

• Kudryavtsev, L.D. Kurs i matematisk analys. - 5:e uppl. - M .: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 sid. - ISBN 5-7107-4119-1
• Fikhtengolts, G.M. Grunderna i matematisk analys. - 7:e uppl. - M .: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 sid. - ISBN 5-9221-0196-X
• Dedekind, R. Kontinuitet och irrationella tal - www.mathesis.ru/book/dedekind4 = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4:e reviderade upplagan. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 sid. , Turing fullständighet , Ange partition , Ange variation , Ange grad .