Hur man subtraherar en annan rot från en rot. Regel för att lägga till kvadratrötter. Rotformler. Egenskaper av kvadratrötter

Rotformler. egenskaper hos kvadratrötter.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

I förra lektionen kom vi på vad en kvadratrot är. Det är dags att ta reda på vad det är formler för rötter, vad är rotegenskaper och vad kan man göra åt det hela.

Rotformler, rotegenskaper och regler för åtgärder med rötter- Det är i princip samma sak. Det finns förvånansvärt få formler för kvadratrötter. Vilket såklart gläder! Snarare kan du skriva en massa alla möjliga formler, men bara tre räcker för praktiskt och tryggt arbete med rötter. Allt annat kommer från dessa tre. Även om många avviker i rötternas tre formler, ja ...

Låt oss börja med det enklaste. Här är hon:

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Jag tittade igen på tallriken ... Och låt oss gå!

Låt oss börja med en enkel:

Vänta en minut. detta, vilket betyder att vi kan skriva det så här:

Jag fattar? Här är nästa för dig:

Rötterna till de resulterande talen extraheras inte exakt? Oroa dig inte, här är några exempel:

Men vad händer om det inte finns två multiplikatorer, utan fler? Det samma! Rotmultiplikationsformeln fungerar med valfritt antal faktorer:

Nu helt oberoende:

Svar: Bra gjort! Håller med, allt är väldigt enkelt, det viktigaste är att känna till multiplikationstabellen!

Rotdelning

Vi räknade ut multiplikationen av rötterna, låt oss nu gå vidare till divisionens egenskap.

Låt mig påminna dig om att formeln i allmänhet ser ut så här:

Och det betyder det roten av kvoten är lika med kvoten av rötterna.

Nåväl, låt oss titta på exempel:

Det är all vetenskap. Och här är ett exempel:

Allt är inte lika smidigt som i det första exemplet, men som du kan se är det inget komplicerat.

Vad händer om uttrycket ser ut så här:

Du behöver bara tillämpa formeln omvänt:

Och här är ett exempel:

Du kan också se detta uttryck:

Allt är detsamma, bara här behöver du komma ihåg hur du översätter bråk (om du inte kommer ihåg, titta på ämnet och kom tillbaka!). Minns du? Nu bestämmer vi!

Jag är säker på att du klarade allt, allt, nu ska vi försöka bygga rötter i en grad.

Exponentiering

Vad händer om kvadratroten är kvadratisk? Det är enkelt, kom ihåg betydelsen av kvadratroten ur ett tal - det här är ett tal vars kvadratrot är lika med.

Så, om vi kvadrerar ett tal vars kvadratrot är lika, vad får vi då?

Jo, självklart!

Låt oss titta på exempel:

Allt är enkelt, eller hur? Och om roten är i en annan grad? Det är ok!

Håll dig till samma logik och kom ihåg egenskaperna och möjliga handlingar med krafter.

Läs teorin om ämnet "" och allt kommer att bli extremt tydligt för dig.

Till exempel, här är ett uttryck:

I det här exemplet är graden jämn, men vad händer om den är udda? Återigen, tillämpa effektegenskaperna och faktorisera allt:

Med detta verkar allt vara klart, men hur extraherar man roten från ett tal i en grad? Här är till exempel detta:

Ganska enkelt, eller hur? Vad händer om graden är större än två? Vi följer samma logik med egenskaperna för grader:

Nåväl, är allt klart? Lös sedan dina egna exempel:

Och här är svaren:

Inledning under rotens tecken

Vad vi bara inte har lärt oss att göra med rötterna! Det återstår bara att öva på att skriva in numret under rottecknet!

Det är ganska lätt!

Låt oss säga att vi har ett nummer

Vad kan vi göra med det? Jo, naturligtvis, gömma trippeln under roten, samtidigt som du kom ihåg att trippeln är kvadratroten av!

Varför behöver vi det? Ja, bara för att utöka våra möjligheter när vi löser exempel:

Hur gillar du den här egenskapen hos rötter? Gör livet mycket lättare? För mig stämmer det! Endast vi måste komma ihåg att vi bara kan ange positiva tal under kvadratrottecknet.

Prova detta exempel själv:
Klarade du dig? Låt oss se vad du bör få:

Bra gjort! Du lyckades ange ett nummer under rottecknet! Låt oss gå vidare till något lika viktigt - fundera på hur man jämför tal som innehåller en kvadratrot!

Rotjämförelse

Varför ska vi lära oss att jämföra tal som innehåller en kvadratrot?

Väldigt enkelt. Ofta, i stora och långa uttryck som möter i tentamen, får vi ett irrationellt svar (kommer du ihåg vad det är? Vi har redan pratat om detta idag!)

Vi behöver placera de mottagna svaren på koordinatlinjen, till exempel för att avgöra vilket intervall som är lämpligt för att lösa ekvationen. Och det är här som haken uppstår: det finns ingen miniräknare på provet, och utan den, hur kan man föreställa sig vilket nummer som är större och vilket som är mindre? Det är allt!

Bestäm till exempel vilken som är störst: eller?

Du säger inte direkt. Tja, låt oss använda den analyserade egenskapen att lägga till ett tal under rottecknet?

Sedan vidare:

Tja, uppenbarligen, ju större nummer under rotens tecken, desto större är själva roten!

De där. om betyder .

Av detta drar vi bestämt slutsatsen att Och ingen kommer att övertyga oss om något annat!

Extrahera rötter från stora antal

Innan dess introducerade vi en faktor under rotens tecken, men hur tar man bort den? Du behöver bara räkna ut det och extrahera det som extraheras!

Det var möjligt att gå åt andra hållet och bryta ner i andra faktorer:

Inte illa, eller hur? Alla dessa metoder är korrekta, bestäm hur du känner dig bekväm.

Factoring är mycket användbart när man löser sådana icke-standardiserade uppgifter som denna:

Vi blir inte rädda, vi agerar! Vi delar upp varje faktor under roten i separata faktorer:

Och nu prova själv (utan en miniräknare! Det kommer inte att vara med på provet):

Är detta slutet? Vi stannar inte halvvägs!

Det är allt, det är inte så läskigt, eller hur?

Hände? Bra jobbat, du har rätt!

Prova nu detta exempel:

Och ett exempel är en svår nöt att knäcka, så du kan inte direkt ta reda på hur du ska närma dig den. Men vi är såklart i tänderna.

Nåväl, låt oss börja factoring, ska vi? Omedelbart noterar vi att du kan dividera ett tal med (kom ihåg tecknen på delbarhet):

Och nu, prova själv (igen, utan en miniräknare!):

Nåväl, fungerade det? Bra jobbat, du har rätt!

Summering

1. Kvadratroten (arithmetisk kvadratrot) av ett icke-negativt tal är ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika.
   .
2. Om vi ​​bara tar kvadratroten av något får vi alltid ett icke-negativt resultat.
3. Aritmetiska rotegenskaper:
4. När man jämför kvadratrötter måste man komma ihåg att ju större tal under rotens tecken, desto större är själva roten.

Hur gillar du kvadratroten? Allt klart?

Vi försökte förklara för dig utan vatten allt du behöver veta i tentan om kvadratroten.

Det är din tur. Skriv till oss om detta ämne är svårt för dig eller inte.

Lärde du dig något nytt eller var allt redan så klart.

Skriv i kommentarerna och lycka till på proven!

Hej kattungar! Förra gången analyserade vi i detalj vad rötter är (om du inte kommer ihåg rekommenderar jag att läsa). Huvudslutsatsen av den lektionen: det finns bara en universell definition av rötter, som du behöver känna till. Resten är nonsens och slöseri med tid.

Idag går vi vidare. Vi kommer att lära oss att multiplicera rötter, vi kommer att studera några problem som är förknippade med multiplikation (om dessa problem inte löses kan de bli ödesdigra på provet) och vi kommer att öva ordentligt. Så fyll på med popcorn, gör dig bekväm - så börjar vi. :)

Du har inte rökt än, har du?

Lektionen visade sig vara ganska stor, så jag delade upp den i två delar:

1. Först ska vi titta på reglerna för multiplikation. Kepsen verkar antyda: det är när det finns två rötter, det finns ett "multiplicera"-tecken mellan dem - och vi vill göra något med det.
2. Sedan kommer vi att analysera den omvända situationen: det finns en stor rot, och vi var otåliga att presentera den som en produkt av två rötter på ett enklare sätt. Med vilken skräck det är nödvändigt är en separat fråga. Vi kommer bara att analysera algoritmen.

För den som inte kan vänta med att hoppa direkt in i del 2 är du välkommen. Låt oss börja med resten i ordning.

Grundläggande multiplikationsregel

Låt oss börja med de enklaste - klassiska kvadratrötter. De som betecknas med $\sqrt(a)$ och $\sqrt(b)$. För dem är allt i allmänhet klart:

multiplikationsregel. För att multiplicera en kvadratrot med en annan behöver du bara multiplicera deras radikala uttryck och skriva resultatet under den vanliga radikalen:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Inga ytterligare begränsningar är pålagda för siffrorna till höger eller vänster: om multiplikatorrötter finns, så finns produkten också.

Exempel. Betrakta fyra exempel med siffror på en gång:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Som du kan se är den huvudsakliga innebörden av denna regel att förenkla irrationella uttryck. Och om vi i det första exemplet skulle ha extraherat rötterna från 25 och 4 utan några nya regler, så börjar tin: $\sqrt(32)$ och $\sqrt(2)$ räknas inte av sig själva, men deras produkt visar sig vara en exakt kvadrat, så roten till den är lika med ett rationellt tal.

Separat skulle jag vilja notera den sista raden. Där är båda radikala uttrycken bråkdelar. Tack vare produkten tar många faktorer ut, och hela uttrycket förvandlas till ett adekvat antal.

Allt kommer förstås inte alltid att vara så vackert. Ibland blir det fullständigt skit under rötterna - det är inte klart vad man ska göra med det och hur man transformerar efter multiplikation. Lite senare, när man börjar studera irrationella ekvationer och ojämlikheter, kommer det att finnas alla möjliga variabler och funktioner i allmänhet. Och väldigt ofta räknar kompilatorerna av problemen bara med det faktum att du hittar några avtalsvillkor eller faktorer, varefter uppgiften kommer att förenklas avsevärt.

Dessutom är det inte nödvändigt att multiplicera exakt två rötter. Du kan multiplicera tre på en gång, fyra - ja till och med tio! Detta kommer inte att ändra regeln. Ta en titt:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Och återigen en liten anmärkning om det andra exemplet. Som du kan se, i den tredje multiplikatorn, finns det en decimalfraktion under roten - i beräkningsprocessen ersätter vi den med en vanlig, varefter allt lätt reduceras. Så: Jag rekommenderar starkt att bli av med decimalbråk i alla irrationella uttryck (det vill säga innehålla minst en radikal ikon). Detta kommer att spara mycket tid och nerver i framtiden.

Men det var en lyrisk utvikning. Låt oss nu överväga ett mer allmänt fall - när rotexponenten innehåller ett godtyckligt tal $n$, och inte bara de "klassiska" två.

Fallet med en godtycklig indikator

Så vi räknade ut kvadratrötterna. Och vad ska man göra med kuber? Eller i allmänhet med rötter av godtycklig grad $n$? Ja, allt är sig likt. Regeln förblir densamma:

För att multiplicera två rötter av grad $n$ räcker det att multiplicera deras radikala uttryck, varefter resultatet skrivs under en radikal.

I allmänhet, inget komplicerat. Om inte volymen av beräkningar kan vara mer. Låt oss titta på ett par exempel:

Exempel. Beräkna produkter:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Och återigen uppmärksamma det andra uttrycket. Vi multiplicerar kubrötter, gör oss av med decimalbråket, och som ett resultat får vi produkten av siffrorna 625 och 25. Detta är ett ganska stort tal - personligen kommer jag inte omedelbart att beräkna vad det är lika med till.

Därför valde vi helt enkelt den exakta kuben i täljaren och nämnaren och använde sedan en av nyckelegenskaperna (eller, om du vill, definitionen) för roten av $n$:te graden:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\vänster| a\right|. \\ \end(align)\]

Sådana "bedrägerier" kan spara mycket tid på ett prov eller test, så kom ihåg:

Skynda dig inte att multiplicera siffrorna i det radikala uttrycket. Kontrollera först: vad händer om den exakta graden av ett uttryck är "krypterat" där?

Med all självklarhet i denna kommentar måste jag erkänna att de flesta oförberedda studenter inte ser de exakta examina. Istället multiplicerar de allt framåt och undrar sedan: varför fick de så brutala siffror? :)

Allt detta är dock en barnlek jämfört med vad vi ska studera nu.

Multiplikation av rötter med olika exponenter

Nåväl, nu kan vi multiplicera rötter med samma exponenter. Vad händer om poängen är olika? Säg, hur multiplicerar man en vanlig $\sqrt(2)$ med något skit som $\sqrt(23)$? Är det ens möjligt att göra detta?

Ja självklart kan du det. Allt görs enligt denna formel:

Rotmultiplikationsregel. För att multiplicera $\sqrt[n](a)$ med $\sqrt[p](b)$, gör bara följande transformation:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Denna formel fungerar dock bara om radikala uttryck är icke-negativa. Detta är en mycket viktig anmärkning, som vi återkommer till lite senare.

Låt oss nu titta på ett par exempel:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Som du kan se, inget komplicerat. Låt oss nu ta reda på varifrån kravet på icke-negativitet kom och vad som kommer att hända om vi bryter mot det. :)

Varför måste radikala uttryck vara icke-negativa?

Naturligtvis kan du bli som skollärare och citera en lärobok med ett smart utseende:

Kravet på icke-negativitet är förknippat med olika definitioner av rötter av jämn och udda grad (deras definitionsdomäner är också olika).

Nåväl, blev det tydligare? Personligen, när jag läste detta nonsens i 8:an, förstod jag själv ungefär så här: "Kravet på icke-negativitet är kopplat till *#&^@(*#@^#)~%" - kort sagt, jag förstod inte ett skit på den tiden :)

Så nu ska jag förklara allt på ett normalt sätt.

Låt oss först ta reda på var multiplikationsformeln ovan kommer ifrån. För att göra detta, låt mig påminna dig om en viktig egenskap hos roten:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Med andra ord, vi kan säkert höja rotuttrycket till vilken naturlig potens $k$ som helst - i det här fallet måste rotindexet multipliceras med samma potens. Därför kan vi enkelt reducera eventuella rötter till en gemensam indikator, varefter vi multiplicerar. Det är härifrån multiplikationsformeln kommer:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Men det finns ett problem som allvarligt begränsar tillämpningen av alla dessa formler. Tänk på detta nummer:

Enligt den nyss angivna formeln kan vi lägga till vilken grad som helst. Låt oss försöka lägga till $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\vänster(-5 \höger))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Vi tog bort minus just för att kvadraten bränner minus (som vilken annan jämn grad som helst). Och låt oss nu utföra den omvända transformationen: "minska" de två i exponent och grad. När allt kommer omkring kan alla likheter läsas både från vänster till höger och från höger till vänster:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Högerpil \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Men så händer något galet:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Detta kan inte bero på att $\sqrt(-5) \lt 0$ och $\sqrt(5) \gt 0$. Det betyder att för jämna potenser och negativa tal fungerar inte vår formel längre. Därefter har vi två alternativ:

1. Att slåss mot väggen för att konstatera att matematik är en dum vetenskap, där "det finns vissa regler, men detta är felaktigt";
2. Inför ytterligare restriktioner under vilka formeln kommer att fungera till 100 %.

I det första alternativet måste vi ständigt fånga "icke-fungerande" fall - det här är svårt, långt och allmänt fu. Därför föredrog matematiker det andra alternativet. :)

Men oroa dig inte! I praktiken påverkar denna begränsning inte beräkningarna på något sätt, eftersom alla de beskrivna problemen endast rör rötterna till en udda grad, och minus kan tas ut ur dem.

Därför formulerar vi en annan regel som gäller generellt för alla handlingar med rötter:

Innan du multiplicerar rötterna, se till att de radikala uttrycken är icke-negativa.

Exempel. I talet $\sqrt(-5)$ kan du ta bort minus under rottecknet - då blir allt bra:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Högerpil \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Känn skillnaden? Om du lämnar ett minus under roten, när det radikala uttrycket är kvadratiskt, kommer det att försvinna, och skiten börjar. Och om du först tar ut ett minus, så kan du till och med höja/ta bort en fyrkant tills du är blå i ansiktet - siffran förblir negativ. :)

Således är det mest korrekta och mest pålitliga sättet att multiplicera rötterna som följer:

1. Ta bort alla minus under radikalerna. Minus finns bara i rötterna av udda multiplicitet - de kan placeras framför roten och vid behov reduceras (till exempel om det finns två av dessa minus).
2. Utför multiplikation enligt reglerna som diskuterades ovan i dagens lektion. Om rötternas index är desamma, multiplicera helt enkelt rotuttrycken. Och om de är olika använder vi den onda formeln \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Vi njuter av resultatet och bra betyg. :)

Väl? Ska vi träna?

Exempel 1. Förenkla uttrycket:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Detta är det enklaste alternativet: rötternas indikatorer är desamma och udda, problemet är bara i minus av den andra multiplikatorn. Vi uthärdar detta minus nafig, varefter allt är lätt att överväga.

Exempel 2. Förenkla uttrycket:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( justera)\]

Här skulle många bli förvirrade av att utdata visade sig vara ett irrationellt tal. Ja, det händer: vi kunde inte bli av med roten helt, men vi förenklade åtminstone uttrycket avsevärt.

Exempel 3. Förenkla uttrycket:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \höger))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Det är detta jag skulle vilja fästa er uppmärksamhet på. Det finns två punkter här:

1. Under roten finns inte ett specifikt tal eller grad, utan variabeln $a$. Vid en första anblick är detta lite ovanligt, men i verkligheten, när man löser matematiska problem, kommer man oftast att ha att göra med variabler.
2. Till slut lyckades vi ”minska” rotexponenten och graden i det radikala uttrycket. Detta händer ganska ofta. Och detta betyder att det var möjligt att avsevärt förenkla beräkningarna om du inte använder huvudformeln.

Du kan till exempel göra så här:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Faktum är att alla transformationer endast utfördes med den andra radikalen. Och om du inte målar i detalj alla mellanliggande steg, kommer i slutändan mängden beräkningar att minska avsevärt.

I själva verket har vi redan stött på en liknande uppgift ovan när vi löser exemplet $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nu kan det skrivas mycket lättare:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Tja, vi räknade ut multiplikationen av rötterna. Tänk nu på den omvända operationen: vad ska man göra när det finns ett verk under roten?

Inom matematiken har varje handling sin egen motsats - i huvudsak är detta en av manifestationerna av den hegelianska dialektikens lag: "motsatsernas enhet och kamp". En av åtgärderna i ett sådant "par" syftar till att öka antalet, och den andra, motsatsen till det, minskar. Till exempel är åtgärden mitt emot addition subtraktion, och division motsvarar multiplikation. Att höja sig till en makt har också sin egen dialektiska motsats. Det handlar om rotutvinning.

Att extrahera roten till en sådan och en sådan grad från ett tal innebär att beräkna vilket tal som måste höjas till motsvarande potens för att få detta tal. De två graderna har sina egna separata namn: den andra graden kallas "torget" och den tredje - "kuben". Följaktligen är det trevligt att kalla dessa krafters rötter kvadratroten och kubikroten. Åtgärder med kubrötter är ett ämne för en separat diskussion, men låt oss nu prata om att lägga till kvadratrötter.

Låt oss börja med att det i vissa fall är lättare att först extrahera kvadratrötter och sedan lägga till resultaten. Anta att vi måste hitta värdet av ett sådant uttryck:

När allt kommer omkring är det inte alls svårt att beräkna att kvadratroten av 16 är 4, och av 121 - 11. Därför,

√16+√121=4+11=15

Detta är dock det enklaste fallet - här talar vi om fulla rutor, d.v.s. om tal som erhålls genom att kvadrera heltal. Men detta är inte alltid fallet. Till exempel är talet 24 inte en perfekt kvadrat (du kan inte hitta ett heltal som, när det höjs till andra potens, skulle resultera i 24). Detsamma gäller för ett tal som 54 ... Tänk om vi behöver lägga till kvadratrötterna av dessa tal?

I det här fallet får vi i svaret inte en siffra, utan ett annat uttryck. Det maximala vi kan göra här är att förenkla det ursprungliga uttrycket så mycket som möjligt. För att göra detta måste du ta bort faktorerna under kvadratroten. Låt oss se hur detta görs med de nämnda siffrorna som exempel:

Till att börja med faktoriserar vi 24 - på ett sådant sätt att en av dem lätt kan tas som en kvadratrot (d.v.s. så att det är en perfekt kvadrat). Det finns ett sådant nummer - det här är 4:

Låt oss nu göra samma sak med 54. I dess sammansättning kommer detta nummer att vara 9:

Vi får alltså följande:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Låt oss nu extrahera rötterna från det vi kan extrahera dem från: 2*√6+3*√6

Det finns en gemensam faktor här, som vi kan ta ur parentes:

(2+3)* √6=5*√6

Detta blir resultatet av tillägget - inget annat kan extraheras här.

Det är sant att du kan ta hjälp av en kalkylator - men resultatet kommer att vara ungefärligt och med ett stort antal decimaler:

√6=2,449489742783178

Om vi ​​gradvis avrundar det uppåt får vi ungefär 2,5. Om vi ​​ändå skulle vilja föra lösningen från det föregående exemplet till sin logiska slutsats, kan vi multiplicera detta resultat med 5 - och vi får 12,5. Ett mer exakt resultat med sådana initiala data kan inte erhållas.

Addition och subtraktion av rötter- en av de vanligaste "stötstenarna" för dig som går en kurs i matematik (algebra) på gymnasiet. Men att lära sig hur man lägger till och subtraherar dem korrekt är mycket viktigt, eftersom exempel på summan eller skillnaden av rötter ingår i programmet för det grundläggande Unified State Exam i disciplinen "matematik".

För att bemästra lösningen av sådana exempel behöver du två saker - att förstå reglerna, samt att få övning. Efter att ha löst ett eller två dussin typiska exempel, kommer studenten att ta denna färdighet till automatism, och då har han inget att frukta vid provet. Det rekommenderas att börja bemästra aritmetiska operationer med addition, eftersom det är lite lättare att lägga till dem än att subtrahera dem.

Vad är en rot

Det enklaste sättet att förklara detta är med exemplet med en kvadratrot. Inom matematiken finns en väletablerad term "kvadrat". "Kvadrat" betyder att multiplicera ett specifikt tal med sig själv en gång.. Till exempel, om du kvadrat 2 får du 4. Om du kvadrat 7 får du 49. Kvadraten av 9 är 81. Så kvadratroten av 4 är 2, av 49 är 7 och av 81 är 9.

Som regel börjar undervisningen i detta ämne i matematik med kvadratrötter. För att omedelbart avgöra det måste en gymnasieelev kunna multiplikationstabellen utantill. För de som inte känner till denna tabell så måste du använda tips. Vanligtvis ges processen att extrahera rotkvadraten från ett tal i form av en tabell på omslagen till många matematik-anteckningsböcker.

Rötter är av följande typer:

• fyrkant;
• kubisk (eller den så kallade tredje graden);
• fjärde graden;
• femte graden.

Tilläggsregler

För att framgångsrikt lösa ett typiskt exempel måste man komma ihåg att inte alla rotnummer kan staplas med varandra. För att kunna sätta ihop dem måste de föras till ett enda mönster. Om detta inte är möjligt har problemet ingen lösning. Sådana problem finns också ofta i matematikläroböckerna som en slags fälla för eleverna.

Tillägg är inte tillåtet i uppgifter när de radikala uttrycken skiljer sig från varandra. Detta kan illustreras med ett illustrativt exempel:

• eleven står inför uppgiften: att lägga till kvadratroten av 4 och av 9;
• en oerfaren student som inte känner till regeln brukar skriva: "roten av 4 + roten av 9 \u003d roten av 13."
• det är väldigt lätt att bevisa att detta sätt att lösa är fel. För att göra detta måste du hitta kvadratroten ur 13 och kontrollera om exemplet är rätt löst;
• med hjälp av en mikroräknare kan du fastställa att det är ungefär 3,6. Nu återstår att kolla lösningen;
• roten av 4=2 och av 9=3;
• Summan av två och tre är fem. Således kan denna lösningsalgoritm anses vara felaktig.

Om rötterna har samma grad, men olika numeriska uttryck, tas det ut inom parentes, och summan av två radikala uttryck. Det är alltså redan utvunnet från denna mängd.

Tilläggsalgoritm

För att korrekt lösa det enklaste problemet är det nödvändigt:

1. Bestäm exakt vad som kräver tillägg.
2. Ta reda på om det är möjligt att lägga till värden till varandra, styrt av de regler som finns i matematik.
3. Om de inte kan läggas till måste du omvandla dem på ett sådant sätt att de kan läggas till.
4. Efter att ha utfört alla nödvändiga transformationer är det nödvändigt att utföra tillägg och skriva ner det färdiga svaret. Addering kan göras mentalt eller med en miniräknare, beroende på exemplets komplexitet.

Vad är liknande rötter

För att korrekt lösa ett tilläggsexempel är det först och främst nödvändigt att tänka på hur det kan förenklas. För att göra detta behöver du ha en grundläggande kunskap om vad likhet är.

Möjligheten att identifiera liknande hjälper till att snabbt lösa samma typ av tilläggsexempel och föra dem till en förenklad form. För att förenkla ett typiskt tilläggsexempel måste du:

1. Hitta liknande och tilldela dem till en grupp (eller flera grupper).
2. Skriv om det befintliga exemplet på ett sådant sätt att rötterna som har samma indikator följer varandra tydligt (detta kallas "gruppering").
3. Därefter ska du skriva uttrycket igen, denna gång på ett sådant sätt att liknande (som har samma indikator och samma rotfigur) också följer varandra.

Därefter brukar ett förenklat exempel vara lätt att lösa.

För att korrekt lösa eventuella additionsexempel måste du tydligt förstå de grundläggande reglerna för addition, och också veta vad en rot är och hur det händer.

Ibland ser sådana uppgifter väldigt komplicerade ut vid första anblicken, men vanligtvis löses de lätt genom att gruppera liknande. Det viktigaste är övning, och sedan börjar eleven "klicka på uppgifter som nötter." Rottillägg är en av de viktigaste grenarna av matematik, så lärare bör avsätta tillräckligt med tid för att studera det.

Video

Den här videon hjälper dig att förstå ekvationerna med kvadratrötter.