Tillägg av motsatt riktade vektorer. Lektion "fördröja en vektor från en given punkt." Vilka vektorer är lika

Innan vi går vidare till ämnet för artikeln, låt oss komma ihåg de grundläggande begreppen.

Definition 1

Vektor– ett rakt linjesegment kännetecknat av ett numeriskt värde och riktning. En vektor betecknas med en liten latinsk bokstav med en pil ovanpå. Om det finns specifika gränspunkter ser vektorbeteckningen ut som två latinska versaler (markerar vektorns gränser) också med en pil ovanpå.

Definition 2

Noll vektor– valfri punkt på planet, betecknad som noll med en pil överst.

Definition 3

Vektor längd– ett värde lika med eller större än noll som bestämmer längden på segmentet som utgör vektorn.

Definition 4

Kolinjära vektorer– liggande på en linje eller på parallella linjer. Vektorer som inte uppfyller detta villkor kallas icke-kollinjära.

Ingång: vektorer a → Och b →. För att utföra en additionsoperation på dem är det nödvändigt att plotta en vektor från en godtycklig punkt A B →, lika med vektorn a →; från den resulterande punkten odefinierad – vektor B C →, lika med vektorn b →. Genom att koppla ihop punkterna odefinierad och C får vi ett segment (vektor) A C →, vilket blir summan av originaldata. Annars kallas det beskrivna vektoradditionsschemat triangelregel.

Geometriskt ser vektortillägg ut så här:

För icke-kollinjära vektorer:

För kolinjära (samriktade eller motsatta) vektorer:

Med schemat som beskrivs ovan som grund får vi möjligheten att utföra operationen att lägga till vektorer i en mängd större än 2: lägga till varje efterföljande vektor i tur och ordning.

Definition 6

Ingång: vektorer a → , b → , c →, d → . Från en godtycklig punkt A på planet är det nödvändigt att plotta ett segment (vektor) lika med vektorn a →; sedan från slutet av den resulterande vektorn läggs en vektor lika med vektorn av b →; sedan läggs efterföljande vektorer ut med samma princip. Slutpunkten för den sista uppskjutna vektorn kommer att vara punkt B, och det resulterande segmentet (vektor) A B →– summan av alla initiala data. Det beskrivna schemat för att lägga till flera vektorer kallas också polygonregel .

Geometriskt ser det ut så här:

Definition 7

En separat handlingsplan för vektor subtraktion Nej, för att i huvudsak en vektorskillnad a → Och b →är summan av vektorer a → Och - b → .

För att utföra åtgärden att multiplicera en vektor med ett visst antal k, måste följande regler beaktas:
- om k > 1 kommer detta tal att leda till att vektorn sträcks ut k gånger;
- om 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k gånger;
- om k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- om k = 1, så förblir vektorn densamma;
- om en av faktorerna är en nollvektor eller ett tal lika med noll, blir resultatet av multiplikationen en nollvektor.

Initial data:
1) vektor a → och tal k = 2;
2) vektor b → och nummer k = -13.

Geometriskt kommer resultatet av multiplikation i enlighet med ovanstående regler att se ut så här:

Operationerna på vektorer som beskrivs ovan har egenskaper, av vilka några är uppenbara, medan andra kan motiveras geometriskt.

Ingång: vektorer a → , b → , c → och godtyckliga riktiga nummerλ och μ.

Egenskaperna för kommutativitet och associativitet gör det möjligt att lägga till vektorer i valfri ordning.

De listade egenskaperna för operationerna låter dig utföra nödvändiga transformationer av vektor-numeriska uttryck på ett liknande sätt som de vanliga numeriska. Låt oss titta på detta med ett exempel.

Exempel 1

Uppgift: förenkla uttrycket a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Lösning
- med den andra fördelningsegenskapen får vi: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- vi använder den associativa egenskapen för multiplikation, uttrycket kommer att ha följande form: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- med hjälp av kommutativitetsegenskapen byter vi termerna: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- sedan med den första fördelningsegenskapen får vi: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → En kort notation av lösningen kommer att se ut så här: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Svar: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Vissa fysiska storheter, till exempel kraft eller hastighet, kännetecknas inte bara av numeriskt värde, utan också av riktning. Sådana kvantiteter kallas vektorkvantiteter: F⃗ – styrka, v⃗ – hastighet.
Låt oss ge en geometrisk definition av en vektor.
Vektor kallas ett segment för vilket det anges vilken av dess gränspunkter som anses vara början och vilken som är slutet.
På ritningarna är en vektor avbildad som ett segment med en pil som indikerar slutet på vektorn. En vektor betecknas med två latinska versaler med en pil ovanför dem. Den första bokstaven indikerar början av vektorn, den andra slutet.

En vektor kan också betecknas med en liten latinsk bokstav med en pil ovanför.

Längden på en vektor är längden på segmentet som representerar denna vektor. Vertikala parenteser används för att indikera längden på en vektor.
En vektor vars ände sammanfaller med början kallas noll vektor. Nollvektorn representeras av en punkt och betecknas med två identiska bokstäver eller en nolla med en pil ovanför. Längden på nollvektorn är noll: |0 ⃗|= 0.

Låt oss presentera konceptet kolinjär vektorer. Vektorer som inte är noll kallas kollinjära om de ligger på samma linje eller på parallella linjer. Nollvektorn anses vara kolinjär med vilken vektor som helst.

Om kolinjära vektorer som inte är noll har samma riktning, kommer sådana vektorer att vara samriktade. Om deras riktningar är motsatta, kallas de motsatt riktade.
För att beteckna samriktade och motsatt riktade vektorer finns det speciella notationer:
- m ⃗ R⃗ om vektorer m⃗ och R⃗ samregisserad;
- m ⃗ ↓ n⃗ om vektorer m⃗ och n⃗ motsatt riktad.
Tänk på rörelsen av en bil. Hastigheten för var och en av dess punkter är en vektorkvantitet och representeras av ett riktat segment. Eftersom alla punkter i bilen rör sig med samma hastighet, har alla riktade segment som visar hastigheterna för olika punkter samma riktning och deras längder är lika. Detta exempel ger oss en ledtråd om hur man avgör om vektorer är lika.
Två vektorer sägs vara lika om de är samriktade och deras längder är lika. Likhet mellan vektorer kan skrivas med likhetstecknet: a ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = O.E. ⃗
Om poängen R början av vektorn R⃗, då anser vi att vektorn R⃗ försenad från punkten R.

Låt oss bevisa det från vilken punkt som helst HANDLA OM du kan plotta en vektor lika med en given vektor R⃗, och bara en därtill.

Bevis:
1) Om R⃗ är alltså nollvektorn OO ⃗ = R ⃗.
2) Om vektorn R⃗ icke-noll, prick Rär början på denna vektor och punkten T- slutet.
Låt oss gå igenom poängen HANDLA OM rak, parallell RT. På den konstruerade linjen plottar vi segmenten OA 1 och OA 2 lika med segmentet RT.

Låt oss välja från vektorer OA 1 och OA 2-vektorn, som är samriktad med vektorn R⃗. I vår ritning är detta en vektor OA 1 . Denna vektor kommer att vara lika med vektorn R⃗. Av konstruktionen följer att det bara finns en sådan vektor.

Vektorn \(\överhögerpil(AB)\) kan betraktas som rörelsen av en punkt från position \(A\) (rörelsens början) till position \(B\) (rörelsens slut). Det vill säga att rörelsebanan i detta fall inte är viktig, bara början och slutet är viktiga!

\(\blacktriangleright\) Två vektorer är kolinjära om de ligger på samma linje eller på två parallella linjer.
I annat vektorer kallas icke-kollinjära.

\(\blacktriangleright\) Två kolinjära vektorer kallas codirectional om deras riktningar sammanfaller.
Om deras riktningar är motsatta, så kallas de motsatt riktade.

Regler för att lägga till kolinjära vektorer:

samregisserad slutet först. Då är deras summa en vektor, vars början sammanfaller med början av den första vektorn och slutet med slutet av den andra (fig. 1).

\(\blacktriangleright\) För att lägga till två motsatt riktad vektor, kan vi skjuta upp den andra vektorn från satte igång först. Då är deras summa en vektor, vars början sammanfaller med början av båda vektorerna, längden är lika med skillnaden i vektorernas längder, riktningen sammanfaller med den längre vektorns riktning (fig. 2).

Regler för att lägga till icke-kollinjära vektorer \(\överhögerpil (a)\) och \(\överhögerpil(b)\) :

\(\blacktriangleright\) Triangelregel (Fig. 3).

Det är nödvändigt att avsätta vektorn \(\överhögerpil (b)\) från slutet av vektorn \(\överhögerpil (a)\). Då är summan en vektor, vars början sammanfaller med början av vektorn \(\överhögerpil (a)\) , och slutet med slutet av vektorn \(\överhögerpil (b)\) .

\(\blacktriangleright\) Parallelogramregel (Fig. 4).

Det är nödvändigt att avsätta vektorn \(\överhögerpil (b)\) från början av vektorn \(\överhögerpil (a)\). Sedan beloppet \(\överhögerpil (a)+\överhögerpil (b)\)– en vektor som sammanfaller med diagonalen för ett parallellogram som är konstruerat på vektorerna \(\överhögerpil (a)\) och \(\överhögerpil (b)\) (vars början sammanfaller med början av båda vektorerna).

\(\blacktriangleright\) För att hitta skillnaden mellan två vektorer \(\överhögerpil (a)-\överhögerpil(b)\) måste du hitta summan av vektorerna \(\överhögerpil (a)\) och \(-\överhögerpil(b)\) : \(\överhögerpil(a)-\överhögerpil(b)=\överhögerpil(a)+(-\överhögerpil(b))\)(Fig. 5).

Uppgift 1 #2638

Uppgiftsnivå: Svårare än Unified State Exam

Givet en rätvinklig triangel \(ABC\) med en rät vinkel \(A\), är punkten \(O\) mitten av cirkeln omskriven kring denna triangel. Vektorkoordinater \(\överhögerpil(AB)=\(1;1\)\), \(\överhögerpil(AC)=\(-1;1\)\). Hitta summan av koordinaterna för vektorn \(\överhögerpil(OC)\) .

Därför att triangeln \(ABC\) är rektangulär, då ligger centrum av den omskrivna cirkeln på mitten av hypotenusan, d.v.s. \(O\) är mitten av \(BC\) .

Lägg märke till att \(\överhögerpil(BC)=\överhögerpil(AC)-\överhögerpil(AB)\), därav, \(\överhögerpil(BC)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

Därför att \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), Den där \(\överhögerpil(OC)=\(-1;0\)\).

Detta betyder att summan av koordinaterna för vektorn \(\överhögerpil(OC)\) är lika med \(-1+0=-1\) .

Svar: -1

Uppgift 2 #674

Uppgiftsnivå: Svårare än Unified State Exam

\(ABCD\) – en fyrhörning på vars sidor vektorerna \(\överhögerpil(AB)\) , \(\överhögerpil(BC)\) , \(\överhögerpil(CD)\) , \(\överhögerpil( DA) \) . Hitta längden på vektorn \(\överhögerpil(AB) + \överhögerpil(BC) + \överhögerpil(CD) + \överhögerpil(DA)\).

\(\överhögerpil(AB) + \överhögerpil(BC) = \överhögerpil(AC)\), \(\överhögerpil(AC) + \överhögerpil(CD) = \överhögerpil(AD)\), Då
\(\överhögerpil(AB) + \överhögerpil(BC) + \överhögerpil(CD) + \överhögerpil(DA) = \överhögerpil(AC) + \överhögerpil(CD) + \överhögerpil(DA)= \överhögerpil(AD) + \överhögerpil(DA) = \överhögerpil(AD) - \överhögerpil(AD) = \vec(0)\).
Nollvektorn har en längd lika med \(0\) .

En vektor kan alltså uppfattas som förskjutning \(\överhögerpil(AB) + \överhögerpil(BC)\)– att flytta från \(A\) till \(B\) och sedan från \(B\) till \(C\) – i slutändan är detta att flytta från \(A\) till \(C\) .

Med denna tolkning blir det uppenbart att \(\överhögerpil(AB) + \överhögerpil(BC) + \överhögerpil(CD) + \överhögerpil(DA) = \vec(0)\), eftersom vi till slut här flyttade från punkt \(A\) till punkt \(A\), det vill säga längden på en sådan rörelse är \(0\), vilket betyder att vektorn för en sådan rörelse i sig är \ (\vec(0)\) .

Svar: 0

Uppgift 3 #1805

Uppgiftsnivå: Svårare än Unified State Exam

Givet ett parallellogram \(ABCD\) . Diagonalerna \(AC\) och \(BD\) skär varandra i punkten \(O\) . Låt , , då \(\överhögerpil(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\överhögerpil(OA) = \frac(1)(2)\överhögerpil(CA) = \frac(1)(2)(\överhögerpil(CB) + \överhögerpil(BA)) = \frac(1)( 2)(\överhögerpil(DA) + \överhögerpil(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Högerpil\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Högerpil\) \(x + y = - 1\).

Svar: -1

Uppgift 4 #1806

Uppgiftsnivå: Svårare än Unified State Exam

Givet ett parallellogram \(ABCD\) . Punkterna \(K\) och \(L\) ligger på sidorna \(BC\) respektive \(CD\), och \(BK:KC = 3:1\) och \(L\) är mittpunkten av \ (CD\) . Låta \(\överhögerpil(AB) = \vec(a)\), \(\överhögerpil(AD) = \vec(b)\), Då \(\överhögerpil(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), där \(x\) och \(y\) är några tal. Hitta talet lika med \(x + y\) .

\[\överhögerpil(KL) = \överhögerpil(KC) + \överhögerpil(CL) = \frac(1)(4)\överhögerpil(BC) + \frac(1)(2)\överhögerpil(CD) = \frac (1)(4)\överhögerpil(AD) + \frac(1)(2)\överhögerpil(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (a)\]\(\Högerpil\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Högerpil\) \(x + y = -0 ,25\).

Svar: -0,25

Uppgift 5 #1807

Uppgiftsnivå: Svårare än Unified State Exam

Givet ett parallellogram \(ABCD\) . Punkterna \(M\) och \(N\) ligger på sidorna \(AD\) respektive \(BC\), med \(AM:MD = 2:3\) och \(BN:NC = 3:1\). Låta \(\överhögerpil(AB) = \vec(a)\), \(\överhögerpil(AD) = \vec(b)\), Då \(\överhögerpil(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\överhögerpil(MN) = \överhögerpil(MA) + \överhögerpil(AB) + \överhögerpil(BN) = \frac(2)(5)\överhögerpil(DA) + \överhögerpil(AB) + \frac(3 )(4)\överhögerpil(BC) = - \frac(2)(5)\överhögerpil(AD) + \överhögerpil(AB) + \frac(3)(4)\överhögerpil(BC) = -\frac(2) )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Högerpil\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Högerpil\) \(x\cdot y = 0,35\) .

Svar: 0,35

Uppgift 6 #1808

Uppgiftsnivå: Svårare än Unified State Exam

Givet ett parallellogram \(ABCD\) . Punkten \(P\) ligger på diagonalen \(BD\), punkten \(Q\) ligger på sidan \(CD\), och \(BP:PD = 4:1\), och \( CQ:QD = 1:9\) . Låta \(\överhögerpil(AB) = \vec(a)\), \(\överhögerpil(AD) = \vec(b)\), Då \(\överhögerpil(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), där \(x\) och \(y\) är några tal. Hitta talet lika med \(x\cdot y\) .

\[\begin(samlad) \överhögerpil(PQ) = \överhögerpil(PD) + \överhögerpil(DQ) = \frac(1)(5)\överhögerpil(BD) + \frac(9)(10)\överhögerpil( DC) = \frac(1)(5)(\överhögerpil(BC) + \överhögerpil(CD)) + \frac(9)(10)\överhögerpil(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\överhögerpil(AD) + \överhögerpil(BA)) + \frac(9)(10)\överhögerpil(AB) = \frac(1)(5)(\överhögerpil(AD) - \överhögerpil(AB)) + \frac(9)(10)\överhögerpil(AB) = \frac(1)(5)\överhögerpil(AD) + \frac(7)(10)\överhögerpil(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(samlad)\]

\(\Högerpil\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Högerpil\) \(x\cdot y = 0, 14\) . och \(ABCO\) – parallellogram; \(AF \parallel BE\) och \(ABOF\) – parallellogram \(\Högerpil\) \[\överhögerpil(BC) = \överhögerpil(AO) = \överhögerpil(AB) + \överhögerpil(BO) = \överhögerpil(AB) + \överhögerpil(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Högerpil\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Högerpil\) \(x + y = 2\) .

Svar: 2

Gymnasieelever som förbereder sig för att ta Unified State Exam i matematik och samtidigt räknar med att få anständiga poäng bör definitivt upprepa ämnet "Regler för att lägga till och subtrahera flera vektorer." Som framgår av många års praktik ingår sådana uppgifter i certifieringsprovet varje år. Om en akademiker har svårigheter med problem från avsnittet "Plangeometri", till exempel, där det är nödvändigt att tillämpa reglerna för addition och subtraktion av vektorer, bör han definitivt upprepa eller omförstå materialet för att framgångsrikt klara av Unified State Exam.

Utbildningsprojektet Shkolkovo erbjuder ett nytt sätt att förbereda sig för certifieringstestet. Vår resurs är uppbyggd på ett sådant sätt att eleverna själva kan identifiera de svåraste avsnitten och fylla kunskapsluckor. Shkolkovo-specialister förberedde och systematiserade alla erforderligt material för att förbereda sig för att klara certifieringsprovet.

För att säkerställa att USE-uppgifter där du behöver tillämpa reglerna för att lägga till och subtrahera två vektorer inte orsakar svårigheter rekommenderar vi att du först uppdaterar ditt minne grundläggande koncept. Studenter kommer att kunna hitta detta material i avsnittet "Teoretisk information".

Om du redan kommer ihåg regeln för att subtrahera vektorer och de grundläggande definitionerna i detta ämne, föreslår vi att du konsoliderar dina kunskaper genom att slutföra lämpliga övningar, som valdes ut av experter utbildningsportal"Shkolkovo". För varje problem presenterar sajten en lösningsalgoritm och ger rätt svar. Ämnet "Regler för vektoraddition" presenterar olika övningar; Efter att ha genomfört två eller tre relativt enkla uppgifter kan eleverna successivt gå vidare till mer komplexa.

Skolbarn har möjlighet att finslipa sina egna färdigheter i sådana uppgifter, till exempel online, medan de är i Moskva eller någon annan stad i Ryssland. Om det behövs kan uppgiften sparas i avsnittet "Favoriter". Tack vare detta kan du snabbt hitta exempel på intresse och diskutera algoritmer för att hitta rätt svar med din lärare.

De kunskaper och färdigheter som förvärvats i den här lektionen kommer att vara användbara för elever inte bara i geometrilektioner, utan också i klasser i andra vetenskaper. Under lektionen kommer eleverna att lära sig att rita en vektor från en given punkt. Detta kan vara en vanlig geometrilektion eller en extrakurs eller valbar matematiklektion. Denna utveckling kommer att hjälpa läraren att spara sin tid när han förbereder sig för lektionen om ämnet "Fördröja en vektor från en given punkt." Det kommer att räcka för honom att spela videolektionen i klassen och sedan förstärka materialet med sitt eget urval av övningar.

Lektionens längd är endast 1:44 minuter. Men detta är tillräckligt för att lära skolbarn att rita en vektor från en given punkt.

Lektionen börjar med en demonstration av en vektor, vars början är vid en viss punkt. De säger att vektorn skjuts upp från den. Sedan föreslår författaren att tillsammans med honom bevisa påståendet enligt vilket det från vilken punkt som helst är möjligt att plotta en vektor lika med den givna och dessutom unik. Under korrekturet undersöker författaren varje fall i detalj. För det första tar den situationen när den givna vektorn är noll, och för det andra när vektorn inte är noll. Under korrekturen används illustrationer i form av ritningar och konstruktioner, matematisk notskrift, som bildar matematisk läskunnighet hos skolbarn. Författaren pratar långsamt och låter eleverna ta anteckningar samtidigt medan de kommenterar. Konstruktionen som författaren genomförde under bevisningen av det tidigare formulerade påståendet visar hur man från en viss punkt kan konstruera en vektor lika med den givna.

Om eleverna noggrant tittar på lektionen och gör anteckningar samtidigt, lär de sig lätt materialet. Dessutom berättar författaren i detalj, mätt och ganska fullständigt. Om du av någon anledning inte hörde något kan du gå tillbaka och titta på lektionen igen.

Efter att ha sett videolektionen är det lämpligt att börja konsolidera materialet. Läraren rekommenderas att välja uppgifter om detta ämne för att öva upp färdigheten att rita en vektor från en given punkt.

Denna lektion kan användas till Självstudieämnen av skolbarn. Men för att konsolidera det måste du kontakta läraren så att han kan välja lämpliga uppgifter. När allt kommer omkring, utan att konsolidera materialet, är det svårt att uppnå ett positivt resultat i lärandet.

Vektor – detta är ett riktat rakt linjesegment, det vill säga ett segment som har en viss längd och en viss riktning. Låt poängen Aär början på vektorn och punkten B – dess slut, då betecknas vektorn med symbolen eller . Vektorn kallas motsatt vektor och kan utses .

Låt oss formulera ett antal grundläggande definitioner.

Längd eller modul vektorkallas segmentets längd och betecknas. En vektor med noll längd (dess essens är en punkt) kallas noll och har ingen riktning. Vektor enhetslängd kallasenda . Enhetsvektor vars riktning sammanfaller med vektorns riktning , ringde ort om vektorn .

Vektorerna kallas kolinjär , om de ligger på samma linje eller på parallella linjer, skriv ner. Kolinjära vektorer kan ha sammanfallande eller motsatta riktningar. Nollvektorn anses vara kolinjär med vilken vektor som helst.

Vektorer sägs vara lika, om de är kolinjära, har samma riktning och har samma längd.

Tre vektorer i rymden kallas i samma plan , om de ligger i samma plan eller på parallella plan. Om bland tre vektorer åtminstone en är noll eller två är kolinjära, så är sådana vektorer koplanära.

Betrakta i rymden ett rektangulärt koordinatsystem 0 xyz. Låt oss välja 0 på koordinataxlarna x, 0y, 0z enhetsvektorer (eller vektorer) och beteckna dem medrespektive. Låt oss välja en godtycklig vektor av rymden och anpassa dess ursprung med ursprunget för koordinater. Låt oss projicera vektorn på koordinataxlarna och beteckna projektionerna med yxa, ett y, a z respektive. Då är det lätt att visa det

. (2.25)

Denna formel är grundläggande i vektorkalkyl och kallas expansion av vektorn i enhetsvektorer för koordinataxlarna . Tal yxa, ett y, a z kallas vektorkoordinater . Således är koordinaterna för en vektor dess projektioner på koordinataxlarna. Vektorlikhet (2,25) skrivs ofta i formen

Vi kommer att använda vektornotation i krulliga klammerparenteser för att göra det visuellt lättare att skilja mellan vektorkoordinater och punktkoordinater. Med hjälp av formeln för längden på ett segment, känd från skolans geometri, kan du hitta ett uttryck för att beräkna vektorns modul:

, (2.26)

det vill säga modulen för en vektor är lika med kvadratroten av summan av kvadraterna av dess koordinater.

Låt oss beteckna vinklarna mellan vektorn och koordinataxlarna som α, β, γ respektive. Cosinus dessa vinklar kallas för vektorn guider , och för dem gäller följande förhållande:Giltigheten av denna likhet kan visas med hjälp av egenskapen för projektionen av en vektor på en axel, vilket kommer att diskuteras i avsnitt 4 nedan.

Låt vektorer ges i tredimensionellt rummed dina koordinater. Följande operationer äger rum på dem: linjär (addition, subtraktion, multiplikation med ett tal och projektion av en vektor på en axel eller annan vektor); icke-linjär – olika produkter av vektorer (skalär, vektor, blandad).

1. Tillägg två vektorer produceras koordinatvis, det vill säga if

Denna formel gäller för ett godtyckligt ändligt antal termer.

Geometriskt läggs två vektorer till enligt två regler:

A) regel triangel – den resulterande vektorn av summan av två vektorer förbinder början av den första av dem med slutet av den andra, förutsatt att början av den andra sammanfaller med slutet av den första vektorn; för en summa av vektorer - den resulterande vektorn av summan förbinder början av den första av dem med slutet av den sista vektortermen, förutsatt att början av den efterföljande termen sammanfaller med slutet av den föregående;

b) regel parallellogram (för två vektorer) – ett parallellogram konstrueras på vektorkommandona som på sidor reducerade till samma ursprung; Diagonalen för ett parallellogram som börjar från deras gemensamma ursprung är summan av vektorer.

2. Subtraktion två vektorer utförs koordinatvis, liknande addition, det vill säga if, Den där

Geometriskt läggs två vektorer till enligt den redan nämnda parallellogramregeln, med hänsyn till att skillnaden mellan vektorerna är diagonalen som förbinder ändarna av vektorerna, och den resulterande vektorn riktas från slutet av subtrahenden till slutet av vektorn. minuend.

En viktig konsekvens av vektorsubtraktion är det faktum att om koordinaterna för början och slutet av vektorn är kända, för att beräkna koordinaterna för en vektor är det nödvändigt att subtrahera koordinaterna för dess början från koordinaterna för dess slut . Ja, vilken vektor av rymden som helstkan representeras som skillnaden mellan två vektorer som kommer från ursprunget:. Vektorkoordinater Och sammanfaller med punkternas koordinaterA Och I, sedan ursprungetHANDLA OM(0;0;0). Således, enligt regeln om att subtrahera vektorer, bör du subtrahera punktens koordinaterAfrån punktkoordinaterI.

3. U multiplicera en vektor med ett tal λ koordinat för koordinat:.

På λ> 0 – vektor samregisserad ; λ< 0 – vektor motsatt riktning ; | λ|> 1 – vektorlängd ökar i λ en gång;| λ|< 1 – vektorlängden minskar med λ en gång.

4. Låt en riktad rät linje (axel l), vektorspecificeras av koordinaterna för slutet och början. Låt oss beteckna projektionerna av punkter A Och B per axel l följaktligen genom A’ Och B’ .

Utsprång vektor per axel lkallas vektorns längd, taget med "+"-tecknet, om vektorn och axel lco-directed, och med ett "–"-tecken om Och lmotsatta riktningar.

Om som en axel l ta någon annan vektor, då får vi projektionen av vektorn på vektor r.

Låt oss titta på några grundläggande egenskaper hos projektioner:

1) vektorprojektion per axel llika med produkten av vektorns modulmed cosinus för vinkeln mellan vektorn och axeln, det vill säga;

2.) projektionen av vektorn på axeln är positiv (negativ) om vektorn bildar en spetsig (strump) vinkel med axeln, och är lika med noll om denna vinkel är rät;

3) projektionen av summan av flera vektorer på samma axel är lika med summan av projektionerna på denna axel.

Låt oss formulera definitioner och satser om produkter av vektorer som representerar olinjära operationer på vektorer.

5. Punkt produkt vektorer ochär ett tal (skalär) lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkelnφ mellan dem, alltså

. (2.27)

Uppenbarligen är den skalära kvadraten för en vektor som inte är noll lika med kvadraten på dess längd, eftersom i detta fall vinkeln , så dess cosinus (i 2.27) är 1.

Sats 2.2.Nödvändigt och tillräckligt skick vinkelrätheten hos två vektorer är lika med noll mellan deras skalära produkt

Följd. Parvisa skalära produkter av enhetsenhetsvektorer är lika med noll, det vill säga

Sats 2.3. Punktprodukt av två vektorer, givet av deras koordinater, är lika med summan av produkterna av deras koordinater med samma namn, dvs.

(2.28)

Med hjälp av skalärprodukten av vektorer kan du beräkna vinkelnmellan dem. Om två vektorer som inte är noll ges med sina koordinater, sedan cosinus för vinkelnφ mellan dem:

(2.29)

Detta innebär villkoret för vinkelräthet hos vektorer som inte är noll Och:

(2.30)

Hitta projektionen av en vektortill den riktning som anges av vektorn , kan utföras enligt formeln

(2.31)

Med hjälp av skalärprodukten av vektorer hittas arbetet som utförs av en konstant kraftpå en rak del av stigen.

Låt oss anta att under inflytande av en konstant kraft en materialpunkt rör sig rätlinjigt från position A att positionera B. Kraftvektor bildar en vinkel φ med förskjutningsvektor (Fig. 2.14). Fysiken säger att kraftverket när du flyttar lika med .

Exempel 2.9.Använd skalärprodukten av vektorer och hitta vertexvinkelnAparallellogramABCD, byggd baserat på vektorer

Lösning. Låt oss beräkna modulerna för vektorer och deras skalära produkt med hjälp av sats (2.3):

Härifrån, enligt formel (2.29), får vi cosinus för den önskade vinkeln

Exempel 2.10.Kostnaderna för råvaror och materialresurser som används för tillverkning av ett ton keso anges i tabell 2.2 (rub.).

Tabell 2.2

Sedan .Totalt resurspris, som är skalärprodukten av vektorer. Låt oss beräkna det med formeln (2.28) enligt sats 2.3: