Keplers 1:a lagformulering. Keplers lagar. Rörelse i ett gravitationsfält

Han hade enastående matematiska förmågor. I början av 1600-talet, som ett resultat av många års observationer av planeternas rörelser, såväl som baserat på en analys av Tycho Brahes astronomiska observationer, upptäckte Kepler tre lagar som senare döptes efter honom.

Keplers första lag(ellipsernas lag). Varje planet rör sig i en ellips, med solen i ett fokus.

Keplers andra lag(lagen om lika områden). Varje planet rör sig i ett plan som passerar genom solens centrum, och under lika tidsperioder sveper radievektorn som förbinder solen och planeten ut lika stora ytor.

Keplers tredje lag(harmonisk lag). Kvadraterna för omloppsperioderna för planeter runt solen är proportionella mot kuberna för de halvstora axlarna i deras elliptiska banor.

Låt oss ta en närmare titt på var och en av lagarna.

Keplers första lag (ellipslagen)

Varje planet i solsystemet kretsar i en ellips, med solen i ett av fokuserna.

Den första lagen beskriver geometrin hos planetbanornas banor. Föreställ dig en sektion av en kons sidoyta med ett plan i vinkel mot dess bas, som inte går genom basen. Den resulterande figuren blir en ellips. Ellipsens form och graden av dess likhet med en cirkel kännetecknas av förhållandet e = c / a, där c är avståndet från ellipsens centrum till dess fokus (brännvidd), a är den semimajoraxeln. Storleken e kallas ellipsens excentricitet. Vid c = 0, och därför e = 0, förvandlas ellipsen till en cirkel.

Punkten P i banan närmast solen kallas perihel. Punkt A, längst bort från solen, är aphelion. Avståndet mellan aphelion och perihelion är huvudaxeln i den elliptiska omloppsbanan. Avståndet mellan aphelion A och perihelion P utgör den elliptiska banans huvudaxel. Halva längden av huvudaxeln, a-axeln, är det genomsnittliga avståndet från planeten till solen. Det genomsnittliga avståndet från jorden till solen kallas en astronomisk enhet (AU) och är lika med 150 miljoner km.

Keplers andra lag (områdenas lag)

Varje planet rör sig i ett plan som passerar genom solens centrum, och under lika tidsperioder upptar radievektorn som förbinder solen och planeten lika stora ytor.

Den andra lagen beskriver förändringen i rörelsehastigheten för planeter runt solen. Två begrepp är förknippade med denna lag: perihelion - den punkt i omloppsbanan som är närmast solen, och aphelion - den mest avlägsna punkten i omloppsbanan. Planeten rör sig ojämnt runt solen och har en högre linjär hastighet vid perihelium än vid aphelium. I figuren är områdena för sektorerna markerade med blått lika och följaktligen är den tid det tar planeten att passera genom varje sektor också lika. Jorden passerar perihelium i början av januari och aphelium i början av juli. Keplers andra lag, områdenas lag, indikerar att kraften som styr planeternas omloppsrörelse är riktad mot solen.

Keplers tredje lag (harmonisk lag)

Kvadraterna för omloppsperioderna för planeter runt solen är proportionella mot kuberna för de halvstora axlarna i deras elliptiska banor. Detta gäller inte bara för planeter, utan också för deras satelliter.

Keplers tredje lag tillåter oss att jämföra planeternas banor med varandra. Ju längre en planet är från solen, desto längre omkrets har dess omloppsbana och när den rör sig längs dess omloppsbana tar dess hela varv längre. Med ökande avstånd från solen minskar också den linjära hastigheten för planetens rörelse.

där T 1, T 2 är rotationsperioderna för planet 1 och 2 runt solen; a 1 > a 2 är längderna på halvstoraxlarna i planeternas 1 och 2 omloppsbanor. Halvaxeln är det genomsnittliga avståndet från planeten till solen.

Newton upptäckte senare att Keplers tredje lag inte var helt korrekt; i själva verket inkluderade den planetens massa:

där M är solens massa och m 1 och m 2 är massan av planeterna 1 och 2.

Eftersom rörelse och massa visar sig vara relaterade, används denna kombination av Keplers harmoniska lag och Newtons tyngdlag för att bestämma massan av planeter och satelliter om deras omloppsbanor och omloppsperioder är kända. Genom att också känna till planetens avstånd till solen kan du beräkna längden på året (tidpunkten för ett fullständigt varv runt solen). Omvänt, om du känner till årets längd, kan du beräkna planetens avstånd till solen.

Tre lagar för planetrörelse upptäckt av Kepler gav en korrekt förklaring till planeternas ojämna rörelse. Den första lagen beskriver geometrin hos planetbanornas banor. Den andra lagen beskriver förändringen i rörelsehastigheten för planeter runt solen. Keplers tredje lag tillåter oss att jämföra planeternas banor med varandra. De lagar som Kepler upptäckte fungerade senare som grunden för Newton att skapa gravitationsteorin. Newton bevisade matematiskt att alla Keplers lagar är konsekvenser av gravitationslagen.

"Han levde i en tid då det fortfarande inte fanns något förtroende för att det fanns något allmänt mönster för alla naturfenomen...

Hur djup var hans tro på ett sådant mönster, om han, arbetande ensam, inte stött eller förstått av någon, under många decennier hämtade kraft från det för en svår och mödosam empirisk studie av planeternas rörelser och de matematiska lagarna i denna rörelse!

Idag, när denna vetenskapliga handling redan har utförts, kan ingen helt förstå hur mycket uppfinningsrikedom, hur mycket hårt arbete och tålamod som krävdes för att upptäcka dessa lagar och uttrycka dem så exakt” (Albert Einstein på Kepler).

Johannes Kepler var den förste som upptäckte rörelselagen för solsystemets planeter. Men han gjorde detta på grundval av en analys av Tycho Brahes astronomiska observationer. Så låt oss prata om honom först.

Tycho Brahe (1546-1601)

Tycho Brahe - Dansk astronom, astrolog och alkemist från renässansen. Kepler var den första i Europa som började utföra systematiska astronomiska observationer med hög precision, på grundval av vilka Kepler härledde lagarna för planetrörelser.

Han blev intresserad av astronomi som barn, genomförde oberoende observationer och skapade några astronomiska instrument. En dag (11 november 1572), när han kom hem från ett kemiskt laboratorium, lade han märke till en ovanligt ljus stjärna i stjärnbilden Cassiopeia, som inte hade funnits där tidigare. Han insåg omedelbart att detta inte var en planet och skyndade sig att mäta dess koordinater. Stjärnan lyste på himlen i ytterligare 17 månader; Till en början var den synlig även under dagen, men gradvis dämpades dess glans. Detta var den första supernovaexplosionen i vår galax på 500 år. Denna händelse upphetsade hela Europa; det fanns många tolkningar av detta "himmelska tecken" - katastrofer, krig, epidemier och till och med världens undergång förutspåddes. Vetenskapliga avhandlingar dök också upp som innehöll felaktiga påståenden om att detta var en komet eller ett atmosfäriskt fenomen. 1573 publicerades hans första bok, "Om den nya stjärnan". I den rapporterade Brahe att ingen parallax (förändringar i den skenbara positionen för ett objekt i förhållande till en avlägsen bakgrund beroende på observatörens position) upptäcktes i detta objekt, och detta bevisar övertygande att den nya armaturen är en stjärna, och den ligger inte nära jorden, men åtminstone på planetavstånd. Med uppkomsten av denna bok erkändes Tycho Brahe som Danmarks första astronom. År 1576, genom dekret av den dansk-norske kungen Fredrik II, beviljades Tycho Brahe ön Ven för livstidsbruk ( Hven), som ligger 20 km från Köpenhamn, och betydande summor anslogs för byggandet av observatoriet och dess underhåll. Det var den första byggnaden i Europa som byggdes specifikt för astronomiska observationer. Tycho Brahe döpte sitt observatorium till "Uraniborg" för att hedra astronomimusan Urania (namnet översätts ibland som "Slott på himlen"). Utformningen av byggnaden har ritats av Tycho Brahe själv. År 1584 byggdes ytterligare ett observationsslott intill Uraniborg: Stjerneborg (översatt från danska som "Stjärnslott"). Uraniborg blev snart världens bästa astronomiska centrum, genom att kombinera observationer, undervisa studenter och publicera vetenskapliga arbeten. Men senare, i samband med kungskiftet. Tycho Brahe förlorade ekonomiskt stöd, och sedan blev det förbud mot att utöva astronomi och alkemi på ön. Astronomen lämnade Danmark och stannade till i Prag.

Snart förstördes Uraniborg och alla byggnader som hör ihop med det (i vår tid har de delvis restaurerats).

Under denna spända tid kom Brahe fram till att han behövde en ung, begåvad matematikassistent för att bearbeta de data som samlats under 20 år. Efter att ha lärt sig om förföljelsen av Johannes Kepler, vars extraordinära matematiska förmågor han redan hade uppskattat från deras korrespondens, bjöd Tycho in honom till sin plats. Forskarna ställdes inför en uppgift: att från observationer härleda ett nytt världssystem, som skulle ersätta både de ptolemaiska och kopernikanska. Han anförtrodde Kepler nyckelplaneten: Mars, vars rörelse inte bara passade in i Ptolemaios schema, utan också i Brahes egna modeller (enligt hans beräkningar korsade Mars och solens banor).

År 1601 började Tycho Brahe och Kepler arbetet med nya, förfinade astronomiska tabeller, som kallades "Rudolph" för att hedra kejsaren; de stod färdiga 1627 och tjänade astronomer och sjömän fram till början av 1800-talet. Men Tycho Brahe lyckades bara ge borden ett namn. I oktober blev han oväntat sjuk och dog av en okänd sjukdom.

Efter att noggrant ha studerat Tycho Brahes data upptäckte Kepler lagarna för planetrörelse.

Keplers lagar för planetrörelse

Till en början planerade Kepler att bli protestantisk präst, men tack vare sina extraordinära matematiska förmågor blev han 1594 inbjuden att föreläsa om matematik vid universitetet i Graz (nuvarande Österrike). Kepler tillbringade 6 år i Graz. Här publicerades 1596 hans första bok, "The Secret of the World". I den försökte Kepler hitta universums hemliga harmoni, för vilken han jämförde olika "platoniska fasta ämnen" (vanliga polyedrar) med banorna för de fem då kända planeterna (han pekade särskilt ut jordens sfär). Han presenterade Saturnus omloppsbana som en cirkel (ännu inte en ellips) på ytan av en boll omskriven runt en kub. Kuben var i sin tur inskriven med en boll, som var tänkt att representera Jupiters omloppsbana. En tetraeder var inskriven i denna boll, omskriven runt en boll som representerar Mars omloppsbana, etc. Detta arbete, efter ytterligare upptäckter av Kepler, förlorade sin ursprungliga betydelse (om så bara för att planeternas banor visade sig vara icke-cirkulära) ; Ändå trodde Kepler på existensen av en dold matematisk harmoni i universum fram till slutet av sitt liv, och 1621 återpublicerade han "The Secret of the World" och gjorde många ändringar och tillägg till den.

Eftersom Tycho Brahe var en utmärkt observatör, sammanställde Tycho Brahe ett omfattande arbete under många år om observation av planeter och hundratals stjärnor, och noggrannheten i hans mätningar var betydligt högre än alla hans föregångare. För att öka noggrannheten använde Brahe både tekniska förbättringar och en speciell teknik för att neutralisera observationsfel. Den systematiska karaktären av mätningarna var särskilt värdefull.

Under flera år studerade Kepler noggrant Brahes data och kom, som ett resultat av noggrann analys, till slutsatsen att Mars bana är inte en cirkel, utan en ellips, med solen i en av sina brännpunkter - en position som idag kallas Keplers första lag.

Keplers första lag (ellipslagen)

Varje planet i solsystemet kretsar i en ellips, med solen i ett av fokuserna.

Formen på ellipsen och graden av dess likhet med en cirkel kännetecknas av förhållandet , där är avståndet från mitten av ellipsen till dess fokus (halva interfokala avståndet), och är den semimajor axeln. Storleken kallas ellipsens excentricitet. När , och därför ellipsen förvandlas till en cirkel.

Ytterligare analys leder till den andra lagen. Radievektorn som förbinder planeten och solen beskriver lika stora ytor vid lika tidpunkter. Detta innebar att ju längre en planet är från solen, desto långsammare rör sig den.

Keplers andra lag (områdenas lag)

Varje planet rör sig i ett plan som passerar genom solens centrum, och under lika långa tidsperioder beskriver radievektorn som förbinder solen och planeten lika stora ytor.

Det finns två begrepp förknippade med denna lag: perihelium- punkten i omloppsbanan närmast solen, och aphelion- den mest avlägsna punkten i omloppsbanan. Av Keplers andra lag följer alltså att planeten rör sig ojämnt runt solen och har en högre linjär hastighet vid perihelium än vid aphelium.

Varje år i början av januari rör sig jorden snabbare när den passerar genom perihel, så solens skenbara rörelse längs ekliptikan österut sker också snabbare än genomsnittet för året. I början av juli rör sig jorden, som passerar aphelion, långsammare, och därför saktar solens rörelse längs ekliptikan. Arealagen indikerar att kraften som styr planeternas omloppsrörelse är riktad mot solen.

Keplers tredje lag (harmonisk lag)

Kvadraterna för rotationsperioderna för planeterna runt solen är besläktade som kuberna för de halvstora axlarna i planeternas banor. Detta gäller inte bara för planeter, utan också för deras satelliter.

Var och är rotationsperioderna för två planeter runt solen, och och är längderna på de semistora axlarna i deras banor.

Newton slog senare fast att Keplers tredje lag inte är helt korrekt - den inkluderar även planetens massa: , var är solens massa och och är planeternas massor.

Eftersom rörelse och massa visar sig vara relaterade, används denna kombination av Keplers harmoniska lag och Newtons tyngdlag för att bestämma massan av planeter och satelliter om deras omloppsbanor och omloppsperioder är kända.

Betydelsen av Keplers upptäckter inom astronomi

Upptäckt av Kepler tre lagar för planetrörelse förklarade fullständigt och noggrant de uppenbara ojämnheterna i dessa rörelser. Istället för många konstruerade epicykler innehåller Keplers modell bara en kurva - en ellips. Den andra lagen fastställde hur planetens hastighet förändras när den rör sig bort eller närmar sig solen, och den tredje tillåter oss att beräkna denna hastighet och rotationsperioden runt solen.

Även om det keplerska världssystemet historiskt är baserat på den kopernikanska modellen, har de faktiskt väldigt lite gemensamt (endast jordens dagliga rotation). De cirkulära rörelserna av sfärer som bär planeter försvann, och konceptet med en planetarisk bana dök upp. I det kopernikanska systemet intog jorden fortfarande en något speciell position, eftersom den var den enda utan epicykler. Enligt Kepler är jorden en vanlig planet, vars rörelse är föremål för tre allmänna lagar. Alla himlakroppars banor är ellipser; banornas gemensamma fokus är solen.

Kepler härledde också "Kepler-ekvationen", som används inom astronomi för att bestämma himlakropparnas positioner.

Lagarna som upptäcktes av Kepler tjänade senare Newton grunden för skapandet av gravitationsteorin. Newton bevisade matematiskt att alla Keplers lagar är konsekvenser av gravitationslagen.

Men Kepler trodde inte på universums oändlighet och föreslog, som ett argument fotometrisk paradox(det här namnet uppstod senare): om antalet stjärnor är oändligt, då skulle blicken i vilken riktning som helst möta en stjärna, och det skulle inte finnas några mörka områden på himlen. Kepler, liksom pytagoreerna, ansåg att världen var förverkligandet av en viss numerisk harmoni, både geometrisk och musikalisk; att avslöja strukturen för denna harmoni skulle ge svar på de mest djupgående frågorna.

Keplers andra prestationer

I matematik han hittade ett sätt att bestämma volymerna för olika revolutionskroppar, föreslog de första delarna av integralkalkyl, analyserade i detalj snöflingornas symmetri, Keplers arbete inom symmetriområdet fann senare tillämpning inom kristallografi och kodningsteori. Han sammanställde en av de första logaritmtabellerna och introducerade för första gången det viktigaste konceptet oändligt avlägsen punktintroducerade konceptet fokus av koniska sektionen och recenserad projektiva transformationer av koniska sektioner, inklusive de som ändrar sin typ.

I fysikmyntade termen tröghet eftersom kropparnas medfödda egenskap att motstå en applicerad yttre kraft, kom nära upptäckten av tyngdlagen, även om han inte försökte uttrycka det matematiskt, lade den första, nästan hundra år tidigare än Newton, fram hypotesen att orsaken till tidvatten är månens inflytande på havens övre lager.

Inom optik: optik som vetenskap börjar med hans verk. Han beskriver ljusets brytning, brytning och begreppet optisk bild, den allmänna teorin om linser och deras system. Kepler räknade ut linsens roll och beskrev korrekt orsakerna till närsynthet och långsynthet.

TILL astrologi Kepler hade en ambivalent attityd. Två av hans uttalanden citeras i denna fråga. Först: " Naturligtvis är den här astrologin en dum dotter, men herregud, vart skulle hennes mamma, den mycket kloka astronomin, ta vägen om hon inte hade en dum dotter! Världen är ännu mycket dummare och så korkad att den dumma dottern till förmån för denna gamla förnuftiga mamma måste chatta och ljuga. Och matematikernas lön är så obetydlig att mamman förmodligen skulle svälta om hennes dotter inte tjänade något" Och för det andra: " Människor har fel när de tror att jordiska angelägenheter beror på de himmelska kropparna" Men ändå sammanställde Kepler horoskop för sig själv och sina nära och kära.

I mikrokosmos, under interaktionen av elementära partiklar - atomer, molekyler - är kärn- och elektromagnetiska interaktioner dominerande. Det är nästan omöjligt att observera gravitationssamverkan mellan elementarpartiklar. Forskare måste ta till mycket stora knep för att mäta gravitationsinteraktionen hos kroppar vars massa är hundratals, tusentals kilo. Men på en kosmisk skala är alla andra interaktioner, utom gravitationella, praktiskt taget omärkbara. Rörelsen av planeter, satelliter, asteroider, kometer, stjärnor i galaxen beskrivs fullständigt av gravitationsinteraktion.

Han föreslog att jorden skulle placeras i universums centrum, och planeternas rörelser beskrevs av stora och små cirklar, som kallades ptolemaiska epicykler.

Först på 1500-talet föreslog Copernicus att Ptolemaios geocentriska modell av världen skulle ersättas med en heliocentrisk. Det vill säga placera solen i universums centrum och anta att alla planeter och jorden tillsammans med dem rör sig runt solen (fig. 2).

Ris. 2. Heliocentrisk modell av N. Copernicus ()

I början av 1600-talet föreslog den tyske astronomen Johannes Kepler, efter att ha bearbetat en enorm mängd astronomisk information som den danske astronomen Tycho Brahe erhållit, sina egna empiriska lagar, som sedan har kallats Keplers lagar.

Alla planeter i solsystemet rör sig längs några kurvor som kallas en ellips. En ellips är en av de enklaste matematiska kurvorna, den så kallade andra ordningens kurva. På medeltiden kallades de koniska skärningar – skär man en kon eller cylinder med ett visst plan får man samma kurva som solsystemets planeter rör sig längs.

Ris. 3. Planetär rörelsekurva ()

Denna kurva (fig. 3) har två markerade punkter, som kallas foci. För varje punkt på ellipsen är summan av avstånden från den till brännpunkterna densamma. Solens centrum (F) ligger vid en av dessa brännpunkter, den punkt på kurvan som är närmast solen (P) kallas perihelion och den längsta punkten (A) kallas aphelion. Avståndet från perihelionen till ellipsens mitt kallas halvhuvudaxeln, och det vertikala avståndet från ellipsens centrum till ellipsen är ellipsens semiminoraxel.

När en planet rör sig längs en ellips beskriver radievektorn som förbinder solens centrum med denna planet ett visst område. Till exempel, under tiden ∆t planeten rörde sig från en punkt till en annan, beskrev radievektorn ett visst område ∆S.

Ris. 4. Keplers andra lag ()

Keplers andra lag säger: över lika tidsperioder beskriver planeternas radievektorer lika arealer.

Figur 4 visar vinkeln ∆Θ, detta är rotationsvinkeln för radievektorn under en viss tid ∆t och planetens impuls (), riktad tangentiellt till banan, uppdelad i två komponenter - impulskomponenten längs radievektorn () och impulskomponenten i riktningen , vinkelrätt mot radievektorn (⊥).

Låt oss utföra beräkningar relaterade till Keplers andra lag. Keplers påstående att lika arealer genomkorsas i lika intervall betyder att förhållandet mellan dessa storheter är en konstant. Förhållandet mellan dessa storheter kallas ofta sektorshastighet; detta är förändringshastigheten i radievektorns position. Vad är arean ∆S som radievektorn sveper över tiden ∆t? Detta är arean av en triangel, vars höjd är ungefär lika med radievektorn, och basen är ungefär lika med r ∆ω, med hjälp av detta påstående skriver vi värdet ∆S i form av ½ höjden per bas och dividera med ∆t får vi uttrycket:

, detta är hastigheten för ändring av vinkel, det vill säga vinkelhastighet.

Slutresultat:

,

Kvadraten på avståndet till solens centrum, multiplicerat med rörelsens vinkelhastighet vid ett givet ögonblick, är ett konstant värde.

Men om vi multiplicerar uttrycket r 2 ω med kroppsmassan m får vi ett värde som kan representeras som produkten av längden på radievektorn och rörelsemängden i riktningen tvärs radievektorn:

Denna kvantitet, lika med produkten av radievektorn och den vinkelräta komponenten av impulsen, kallas "vinkelmomentum".

Keplers andra lag är ett påstående om att rörelsemängd i ett gravitationsfält är en bevarad storhet. Detta leder till ett enkelt men mycket viktigt uttalande: vid punkterna med det minsta och största avståndet till solens centrum, det vill säga aphelion och perihelion, riktas hastigheten vinkelrätt mot radievektorn, därför produkten av radievektorn och hastigheten vid en punkt är lika med denna produkt vid en annan punkt.

Keplers tredje lag säger att förhållandet mellan kvadraten på rotationsperioden för en planet runt solen och kuben på halvhuvudaxeln är detsamma för alla planeter i solsystemet.

Ris. 5. Godtyckliga banor för planeter ()

Figur 5 visar två godtyckliga banor för planeterna. Den ena har den explicita formen av en ellips med längden på halvaxeln (a), den andra har formen av en cirkel med en radie (R), rotationstiden längs någon av dessa banor, det vill säga perioden rotation, är associerad med halvaxelns längd eller med radien. Och om ellipsen förvandlas till en cirkel, blir den semimajor-axeln radien för denna cirkel. Keplers tredje lag säger att i det fall då längden på halvhuvudaxeln är lika med cirkelns radie, kommer rotationsperioderna för planeterna runt solen att vara desamma.

För fallet med en cirkel kan detta förhållande beräknas med hjälp av Newtons andra lag och rörelselagen för en kropp i en cirkel, denna konstant är 4π 2 dividerat med konstanten för universell gravitation (G) och solens massa ( M).

Således är det tydligt att om vi generaliserar gravitationsinteraktioner, som Newton gjorde, och antar att alla kroppar deltar i gravitationsinteraktioner, så kan Keplers lagar utvidgas till rörelsen av satelliter runt jorden, till rörelsen av satelliter runt vilken annan planet som helst, och även till rörelsen av satelliter Månar runt månens centrum. Endast på höger sida av denna formel kommer bokstaven M att betyda massan på kroppen som attraherar satelliterna. Alla satelliter för ett givet rymdobjekt kommer att ha samma förhållande mellan kvadraten av omloppsperioden (T 2) och kuben på halvhuvudaxeln (a 3). Denna lag kan utvidgas till alla kroppar i universum och till och med stjärnorna som utgör vår galax.

Under andra hälften av 1900-talet märktes det att vissa stjärnor som är ganska långt från mitten av vår galax inte lyder denna Kepler-lag. Det betyder att vi inte vet allt om hur gravitationen fungerar över storleken på vår galax. En möjlig förklaring till varför avlägsna stjärnor rör sig snabbare än vad som krävs enligt Keplers tredje lag är följande: vi ser inte hela galaxens massa. En betydande del av den kan bestå av materia som inte är observerbar av våra instrument, inte interagerar elektromagnetiskt, inte avger eller absorberar ljus och deltar endast i gravitationsinteraktion. Detta ämne kallades dold massa eller mörk materia. Problem med mörk materia är ett av fysikens huvudproblem på 2000-talet.

Ämne för nästa lektion: system av materialpunkter, masscentrum, masscentrums rörelselag.

Bibliografi

1. Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. Fysik (grundnivå) - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Kabardin O.F., Orlov V.A., Evenchik E.E. Physics-10. M.: Utbildning, 2010.
3. Öppen fysik ()

1. Elementy.ru ().
2. Physics.ru ().
3. Ency.info().

Läxa

1. Definiera Keplers första lag.
2. Definiera Keplers andra lag.
3. Definiera Keplers tredje lag.

Planeterna rör sig runt solen i långsträckta elliptiska banor, där solen ligger vid en av ellipsens två brännpunkter.

En rät linje som förbinder solen och en planet skär av lika stora ytor under lika långa tidsperioder.

Kvadraterna för rotationsperioderna för planeterna runt solen är relaterade till kuberna i de semistora axlarna i deras banor.

Johannes Kepler hade en känsla för skönhet. Hela sitt vuxna liv försökte han bevisa att solsystemet är något slags mystiskt konstverk. Först försökte han koppla hennes enhet till fem vanliga polyedrar klassisk antik grekisk geometri. (En vanlig polyeder är en tredimensionell figur, vars ansikten alla är lika regelbundna polygoner.) Vid tiden för Kepler var sex planeter kända, som man trodde var placerade på roterande "kristallsfärer". Kepler hävdade att dessa sfärer är arrangerade på ett sådant sätt att vanliga polyedrar passar exakt mellan intilliggande sfärer. Mellan de två yttre sfärerna - Saturnus och Jupiter - placerade han en kub inskriven i den yttre sfären, i vilken i sin tur den inre sfären är inskriven; mellan sfärerna av Jupiter och Mars - en tetraeder (vanlig tetraeder), etc. Sex sfärer av planeter, fem regelbundna polyedrar inskrivna mellan dem - det verkar som perfektion själv?

Tyvärr, efter att ha jämfört sin modell med planeternas observerade banor, var Kepler tvungen att erkänna att himlakropparnas verkliga beteende inte passar in i den harmoniska ram han skisserade. Som den samtida brittiske biologen J. B. S. Haldane träffande noterade, "visade idén om universum som ett geometriskt perfekt konstverk vara ännu en vacker hypotes som förstördes av fula fakta." Det enda resultatet av Keplers ungdomliga impuls som överlevde århundradena var en modell av solsystemet, gjord av vetenskapsmannen själv och presenterad som en gåva till hans beskyddare, hertig Frederick von Württemburg. I denna vackert utförda metallartefakt är alla planeternas orbitala sfärer och de vanliga polyedrarna inskrivna i dem ihåliga behållare som inte kommunicerar med varandra, som på helgdagar var tänkta att fyllas med olika drycker för att behandla hertigens gäster.

Först efter att ha flyttat till Prag och blivit assistent till den berömda danske astronomen Tycho Brahe (1546-1601) stötte Kepler på idéer som verkligen förevigade hans namn i vetenskapens annaler. Tycho Brahe samlade in astronomiska observationsdata under hela sitt liv och samlade på sig enorma mängder information om planeternas rörelser. Efter hans död kom de i Keplers ägo. Dessa register hade förresten ett stort kommersiellt värde på den tiden, eftersom de kunde användas för att sammanställa förfinade astrologiska horoskop (idag föredrar forskare att vara tysta om denna del av tidig astronomi).

När han bearbetade resultaten av Tycho Brahes observationer, ställdes Kepler inför ett problem som, även med moderna datorer, kan verka svårlöst för någon, och Kepler hade inget annat val än att utföra alla beräkningar för hand. Naturligtvis, som de flesta astronomer på sin tid, var Kepler redan bekant med Copernicus heliocentriska system ( centimeter. Copernican-principen) och visste att jorden kretsar runt solen, vilket framgår av den ovan beskrivna modellen av solsystemet. Men exakt hur roterar jorden och andra planeter? Låt oss föreställa oss problemet enligt följande: du befinner dig på en planet som för det första roterar runt sin axel och för det andra kretsar runt solen i en för dig okänd bana. När vi tittar upp i himlen ser vi andra planeter som också rör sig i banor som är okända för oss. Vår uppgift är att, baserat på observationsdata gjorda på vår jordklot som roterar runt sin axel runt solen, bestämma geometrin för omloppsbanorna och rörelsehastigheterna för andra planeter. Detta är precis vad Kepler till slut lyckades göra, varefter han, baserat på de erhållna resultaten, härledde sina tre lagar!

Första lagen beskriver geometrin hos planetbanornas banor. Du kanske kommer ihåg från din skolgeometrikurs att en ellips är en uppsättning punkter på ett plan, summan av avstånden från vilka två fasta punkter är knep— lika med en konstant. Om det här är för komplicerat för dig, finns det en annan definition: föreställ dig en sektion av en kons sidoyta med ett plan i vinkel mot dess bas, som inte passerar genom basen - det här är också en ellips. Keplers första lag säger att planeternas banor är ellipser, med solen vid en av brännpunkterna. Excentriciteter(förlängningsgrad) av banor och deras avstånd från solen i perihelium(punkten närmast solen) och apohelia(den mest avlägsna punkten) alla planeter är olika, men alla elliptiska banor har en sak gemensamt - Solen är belägen i en av ellipsens två brännpunkter. Efter att ha analyserat Tycho Brahes observationsdata, drog Kepler slutsatsen att planetbanor är en uppsättning kapslade ellipser. Före honom hade detta helt enkelt inte fallit någon astronom upp.

Den historiska betydelsen av Keplers första lag kan inte överskattas. Före honom trodde astronomer att planeterna uteslutande rörde sig i cirkulära banor, och om detta inte passade in i ramen för observationer, kompletterades den huvudsakliga cirkulära rörelsen med små cirklar som planeterna beskrev runt punkterna i den huvudsakliga cirkulära banan. Detta var, skulle jag säga, först och främst en filosofisk ståndpunkt, ett slags oföränderligt faktum, inte föremål för tvivel och verifiering. Filosofer hävdade att den himmelska strukturen, till skillnad från den jordiska, är perfekt i sin harmoni, och eftersom de mest perfekta av geometriska figurer är cirkeln och sfären, betyder det att planeterna rör sig i en cirkel (och även idag måste jag skingra denna missuppfattning om och om igen bland mina elever). Huvudsaken är att Johannes Kepler, efter att ha fått tillgång till Tycho Brahes omfattande observationsdata, kunde kliva över denna filosofiska fördom, eftersom den inte överensstämde med fakta - precis som Copernicus vågade ta bort jorden från centrum av universum, inför argument som motsäger ihållande geocentriska idéer, som också bestod av "olämpligt beteende" hos planeter i omloppsbanor.

Andra lagen beskriver förändringen i planeternas hastighet runt solen. Jag har redan gett dess formulering i dess formella form, men för att bättre förstå dess fysiska betydelse, kom ihåg din barndom. Du har förmodligen haft möjlighet att snurra runt en påle på lekplatsen och ta tag i den med händerna. Faktum är att planeterna kretsar runt solen på ett liknande sätt. Ju längre den elliptiska omloppsbanan tar en planet från solen, desto långsammare rör sig den, ju närmare solen den är, desto snabbare rör sig planeten. Föreställ dig nu ett par linjesegment som förbinder två positioner av planeten i dess omloppsbana med fokus på ellipsen där solen befinner sig. Tillsammans med ellipssegmentet som ligger mellan dem bildar de en sektor, vars område är just det "området som är avskuret av ett rakt linjesegment." Det är precis vad den andra lagen talar om. Ju närmare planeten är solen, desto kortare segment. Men i det här fallet, för att sektorn ska täcka en lika stor yta på samma tid, måste planeten färdas ett större avstånd i sin omloppsbana, vilket innebär att dess rörelsehastighet ökar.

De två första lagarna handlar om detaljerna i omloppsbanorna för en enda planet. Tredje lagen Kepler låter dig jämföra planeternas banor med varandra. Den säger att ju längre en planet är från solen, desto längre tid tar det att fullborda ett helt varv när den rör sig i omloppsbana och desto längre, följaktligen, "året" varar på denna planet. Idag vet vi att detta beror på två faktorer. För det första, ju längre en planet är från solen, desto längre är dess omloppsbana. För det andra, när avståndet från solen ökar, minskar också den linjära hastigheten för planetens rörelse.

I sina lagar angav Kepler helt enkelt fakta, efter att ha studerat och generaliserat resultaten av observationer. Om du hade frågat honom vad som orsakade banornas elliptiska egenskaper eller jämlikheten i sektorernas områden, skulle han inte ha svarat dig. Detta följde helt enkelt av hans analys. Om du frågade honom om planeternas omloppsrörelse i andra stjärnsystem skulle han inte heller ha något att svara dig. Han skulle behöva börja om från början - samla observationsdata, sedan analysera den och försöka identifiera mönster. Det vill säga, han skulle helt enkelt inte ha någon anledning att tro att ett annat planetsystem lyder samma lagar som solsystemet.

En av Newtons klassiska mekaniks största triumfer ligger just i det faktum att den ger en grundläggande motivering för Keplers lagar och hävdar deras universalitet. Det visar sig att Keplers lagar kan härledas från Newtons mekaniklagar, Newtons lag om universell gravitation och lagen om bevarande av rörelsemängd genom rigorösa matematiska beräkningar. Och om så är fallet kan vi vara säkra på att Keplers lagar gäller lika för alla planetsystem var som helst i universum. Astronomer som letar efter nya planetsystem i rymden (och en hel del av dem har redan upptäckts) gång på gång använder som en självklarhet Keplers ekvationer för att beräkna parametrarna för avlägsna planeters banor, även om de inte kan observera dem direkt .

Keplers tredje lag spelade och fortsätter att spela en viktig roll i modern kosmologi. Genom att observera avlägsna galaxer upptäcker astrofysiker svaga signaler som sänds ut av väteatomer som kretsar i mycket avlägsna banor från det galaktiska centrumet - mycket längre än vad stjärnor vanligtvis är. Med hjälp av Doppler-effekten i spektrumet av denna strålning bestämmer forskare rotationshastigheterna för väteperiferin på den galaktiska skivan, och från dem - galaxernas vinkelhastigheter som helhet ( centimeter.även mörk materia). Jag är glad att vetenskapsmannens verk som bestämt satte oss på vägen till en korrekt förståelse av strukturen i vårt solsystem, och idag, århundraden efter hans död, spelar en så viktig roll i studiet av det enorma strukturen. Universum.

Mellan Mars och jordens sfärer finns en dodekaeder (dodekaeder); mellan jordens och Venus sfärer - icosahedron (tjugohedron); mellan Venus och Merkurius sfärer finns en oktaeder (oktaeder). Den resulterande designen presenterades av Kepler i tvärsnitt i en detaljerad tredimensionell ritning (se figur) i hans första monografi, "The Cosmographic Mystery" (Mysteria Cosmographica, 1596).— Översättarens anteckning.

Även i forntida tider märktes det att, till skillnad från stjärnor, som alltid bibehåller sin relativa position i rymden i århundraden, beskriver planeter mycket komplexa banor bland stjärnor. För att förklara planeternas slingliknande rörelse föreslog den antika grekiske vetenskapsmannen K. Ptalomey (2:a århundradet e.Kr.), som ansåg att jorden var belägen i universums centrum, att var och en av planeterna rör sig i en liten cirkel (epicykel) ), vars centrum rör sig likformigt i en stor cirkel, i vars centrum är jorden. Detta koncept kallades det Ptalomeiska eller geocentriska världssystemet.

I början av 1500-talet underbyggde den polske astronomen N. Copernicus (1473–1543) det heliocentriska systemet, enligt vilket himlakropparnas rörelser förklaras av jordens (liksom andra planeters) rörelse runt solen och jordens dagliga rotation. Copernicus observationsteori uppfattades som en underhållande fantasi. På 1500-talet detta uttalande ansågs av kyrkan vara kätteri. Det är känt att G. Bruno, som öppet stödde Copernicus heliocentriska system, fördömdes av inkvisitionen och brändes på bål.

Den universella gravitationens lag upptäcktes av Newton baserat på Keplers tre lagar.

Keplers första lag. Alla planeter rör sig i ellipser, med solen i ett av fokuserna (fig. 7.6).

Ris. 7.6

Keplers andra lag. Planets radievektor beskriver lika stora ytor i lika tider (fig. 7.7).
Nästan alla planeter (utom Pluto) rör sig i banor som är nära cirkulära. För cirkulära banor uppfylls Keplers första och andra lag automatiskt, och den tredje lagen säger att T 2 ~ R 3 (T– cirkulationsperiod; R– omloppsradie).

Newton löste mekanikens omvända problem och fick från planetrörelselagarna ett uttryck för gravitationskraften:

(7.5.2)

Som vi redan vet är gravitationskrafter konservativa krafter. När en kropp rör sig i ett gravitationsfält av konservativa krafter längs en stängd bana är arbetet noll.
Egenskapen för konservatism av gravitationskrafter tillät oss att introducera begreppet potentiell energi.

Potentiell energi kroppsmassa m, ligger på avstånd r från en stor massa M, Det finns

Alltså i enlighet med lagen om bevarande av energi den totala energin hos en kropp i ett gravitationsfält förblir oförändrad.

Den totala energin kan vara positiv eller negativ, eller lika med noll. Tecknet för den totala energin bestämmer arten av himlakroppens rörelse.

På E < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r 0 < r max. I det här fallet rör sig himlakroppen med elliptisk bana(solsystemets planeter, kometer) (Fig. 7.8)

Ris. 7.8

Rotationsperioden för en himlakropp i en elliptisk bana är lika med rotationsperioden i en cirkulär bana med radie R, Var R– banans halvhuvudaxel.

På E= 0 kroppen rör sig längs en parabolisk bana. Hastigheten för en kropp i oändligheten är noll.

På E< 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Första kosmiska hastighetenär rörelsehastigheten för en kropp i en cirkulär bana nära jordens yta. För att göra detta, enligt Newtons andra lag, måste centrifugalkraften balanseras av gravitationskraften:

Härifrån

Andra flykthastighet kallas hastigheten för en kropps rörelse längs en parabolisk bana. Den är lika med den lägsta hastighet som måste tilldelas en kropp på jordens yta så att den, efter att ha övervunnit gravitationen, blir en artificiell satellit för solen (konstgjord planet). För att göra detta är det nödvändigt att den kinetiska energin inte är mindre än det arbete som görs för att övervinna jordens gravitation:

Härifrån
Tredje flykthastighet– den rörelsehastighet med vilken en kropp kan lämna solsystemet och övervinna solens gravitation:

υ3 = 16,7·103 m/s.

Figur 7.8 visar banorna för kroppar med olika kosmiska hastigheter.