Instruktioner

Du får tre poäng. Låt oss beteckna dem som (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Det antas att dessa punkter är hörn på vissa triangel. Uppgiften är att skapa ekvationer av dess sidor - mer exakt, ekvationer av de linjer som dessa sidor ligger på. Dessa ekvationer bör se ut så här:
y = kl*x + bl;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 Således måste du hitta vinkelvärdena k1, k2, k3 och förskjutningarna b1, b2, b3.

Hitta en linje som går genom punkterna (x1, y1), (x2, y2). Om x1 = x2 är den önskade linjen vertikal och dess ekvation är x = x1. Om y1 = y2 är linjen horisontell och dess ekvation är y = y1. I allmänhet kommer dessa koordinater inte att motsvara varandra.

Genom att ersätta koordinaterna (x1, y1), (x2, y2) i den räta linjens allmänna ekvation får man ett system med två linjära ekvationer: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2. Subtrahera en ekvation från den andra och lös den resulterande ekvationen för k1: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, därför är k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Genom att ersätta det du hittade i någon av de ursprungliga ekvationerna, hitta uttrycket för b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 Eftersom vi redan vet att x2 ≠ x1, kan vi förenkla uttrycket genom att multiplicera y1 med (x2 - x1)/(x2 - x1). Då får du för b1 följande uttryck: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Kontrollera om den tredje av de givna punkterna är på den hittade linjen. För att göra detta, ersätt (x3, y3) i den resulterande ekvationen och se om likheten håller. Om det observeras ligger därför alla tre punkterna på samma linje, och triangeln degenererar till ett segment.

På samma sätt som beskrivits ovan, härled ekvationer för linjerna som går genom punkterna (x2, y2), (x3, y3) och (x1, y1), (x3, y3).

Den slutliga formen av ekvationerna för sidorna i en triangel som ges av koordinaterna för hörnen är: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3-y2)*x+ (x2*y3-x3*y2))/(x3-x2);
(3) y = ((y3 - yl)*x+ (xl*y3 - x3*yl))/(x3 - xl).

Att hitta ekvationer partier triangel, först och främst måste vi försöka lösa frågan om hur man hittar ekvationen för en linje på ett plan om dess riktningsvektor s(m, n) och någon punkt M0(x0, y0) som hör till linjen är kända.

Instruktioner

Ta en godtycklig (variabel, flytande) punkt М(x, y) och konstruera en vektor М0M =(x-x0, y-y0) (skriv även М0M(x-x0, y-y0)), som uppenbarligen kommer att vara kolinjär (parallell ) av k s. Sedan kan vi dra slutsatsen att koordinaterna för dessa vektorer är proportionella, så vi kan skapa en kanonisk rät linje: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Det är detta förhållande som kommer att användas för att lösa problemet.

Alla ytterligare åtgärder bestäms utifrån metoden .1:a metoden. En triangel ges av koordinaterna för dess tre hörn, som i skolans geometri ges av längden på dess tre partier(se fig. 1). Det vill säga att villkoret innehåller punkterna M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). De motsvarar deras radievektorer) OM1, 0M2 och OM3 med samma koordinater som punkterna. För att få ekvationer partier s M1M2 kräver sin riktningsvektor M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) och någon av punkterna M1 eller M2 (här tas punkten med det lägre indexet).

Så för partier y M1M2 kanonisk ekvation för linjen (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Att agera rent induktivt kan vi skriva ekvationer resten partier.För partier s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). För partier s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2:a metoden. Triangeln definieras av två punkter (samma som före M1(x1, y1) och M2(x2, y2)), samt enhetsvektorerna för riktningarna för de andra två partier. För partier s M2M3: p^0(ml, nl). För M1M3: q^0(m2, n2). Därför för partier s M1M2 kommer att vara samma som i den första metoden: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

För partier s М2М3 som en punkt (x0, y0) av det kanoniska ekvationer(x1, y1), och riktningsvektorn är p^0(m1, n1). För partier s M1M3, (x2, y2) tas som punkten (x0, y0), riktningsvektorn är q^0(m2, n2). Således, för M2M3: ekvation (x-x1)/m1=(y-y1)/n1: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Video om ämnet

Tips 3: Hur man hittar höjden på en triangel om punkternas koordinater är givna

Höjden är det raka linjesegmentet som förbinder toppen av figuren med den motsatta sidan. Detta segment måste vara vinkelrätt mot sidan, så endast ett kan ritas från varje vertex höjd. Eftersom det finns tre hörn i denna figur finns det samma antal höjder. Om en triangel ges av koordinaterna för dess hörn, kan längden på var och en av höjderna beräknas, till exempel genom att använda formeln för att hitta arean och beräkna längderna på sidorna.

Instruktioner

Börja med att räkna ut längderna på sidorna triangel. Beteckna koordinater siffror som denna: A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) och C(X3,Y3,Z3). Sedan kan du beräkna längden på sidan AB med formeln AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). För de andra två sidorna kommer dessa att se ut så här: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) och AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y3)2 + (Z1-Z3)2). Till exempel för triangel med koordinaterna A(3,5,7), B(16,14,19) och C(1,2,13) ​​blir längden på sidan AB √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Längden på sidorna BC och AC, beräknade på samma sätt, blir √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 och √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Att känna till längderna på de tre sidorna som erhölls i föregående steg är tillräckligt för att beräkna arean triangel(S) enligt Herons formel: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Till exempel genom att ersätta de värden som erhålls från koordinaterna i denna formel triangel-exempel från föregående steg, detta ger värdet: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Baserat på yta triangel, beräknat i föregående steg, och längderna på sidorna som erhölls i det andra steget, beräkna höjderna för var och en av sidorna. Eftersom arean är lika med halva produkten av höjden och längden på sidan som den är ritad till, för att hitta höjden, dividera den dubblerade arean med längden på den önskade sidan: H = 2*S/a. För exemplet som används ovan kommer höjden sänkt till sida AB att vara 2*68.815/16.09 ≈ 8.55, höjden till sida BC kommer att ha en längd på 2*68.815/20.12 ≈ 6.84, och för sida AC kommer detta värde att vara lika med 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Källor:

• givna punkter hitta arean av triangeln

Tips 4: Hur man använder koordinaterna för hörn i en triangel för att hitta ekvationerna för dess sidor

I analytisk geometri kan en triangel på ett plan definieras i ett kartesiskt koordinatsystem. Genom att känna till koordinaterna för hörnen kan du skapa ekvationer för triangelns sidor. Dessa kommer att vara ekvationerna för tre räta linjer, som skär varandra och bildar en figur.

Hur lär man sig att lösa problem i analytisk geometri?
Typiskt problem med en triangel på ett plan

Den här lektionen är skapad om inställningen till ekvatorn mellan planets geometri och rymdens geometri. För närvarande finns det ett behov av att systematisera den ackumulerade informationen och svara på en mycket viktig fråga: hur man lär sig att lösa problem i analytisk geometri? Svårigheten är att du kan komma på ett oändligt antal problem i geometri, och ingen lärobok kommer att innehålla alla de många och mångfalden av exempel. Är inte derivata av en funktion med fem regler för differentiering, en tabell och flera tekniker...

Det finns en lösning! Jag kommer inte att tala högt om det faktum att jag har utvecklat någon form av grandios teknik, men enligt min mening finns det ett effektivt tillvägagångssätt för det aktuella problemet, vilket gör att även en komplett dummy kan uppnå bra och utmärkta resultat. Åtminstone tog den allmänna algoritmen för att lösa geometriska problem form väldigt tydligt i mitt huvud.

VAD DU BEHÖVER VETA OCH KUNNA GÖRA
för att framgångsrikt lösa geometriproblem?

Det finns ingen flykt från detta - för att inte slumpmässigt peta på knapparna med näsan måste du behärska grunderna i analytisk geometri. Därför, om du precis har börjat studera geometri eller helt har glömt det, vänligen börja med lektionen Vektorer för dummies. Förutom vektorer och åtgärder med dem behöver du känna till de grundläggande begreppen plangeometri, i synnerhet, ekvation för en linje i ett plan Och . Rummets geometri presenteras i artiklar Planekvation, Ekvationer för en linje i rymden, Grundläggande problem på en rak linje och ett plan och några andra lektioner. Böjda linjer och rumsytor av andra ordningen skiljer sig något åt, och det finns inte så många specifika problem med dem.

Låt oss anta att studenten redan har grundläggande kunskaper och färdigheter i att lösa de enklaste problemen inom analytisk geometri. Men det händer så här: du läser redogörelsen för problemet, och... du vill stänga det hela helt, slänga det i det bortre hörnet och glömma det, som en ond dröm. Dessutom beror detta i grunden inte på nivån på dina kvalifikationer då och då stöter jag på uppgifter där lösningen inte är självklar. Vad ska man göra i sådana fall? Du behöver inte vara rädd för en uppgift som du inte förstår!

för det första, bör installeras - Är detta ett "platt" eller rumsligt problem? Till exempel, om villkoret inkluderar vektorer med två koordinater, så är detta naturligtvis geometrin för ett plan. Och om läraren laddade den tacksamma lyssnaren med en pyramid, så finns det helt klart rymdens geometri. Resultaten av det första steget är redan ganska bra, eftersom vi lyckades skära bort en enorm mängd information som var onödig för denna uppgift!

Andra. Tillståndet kommer vanligtvis att beröra dig med någon geometrisk figur. Gå faktiskt längs korridorerna på ditt hemuniversitet, och du kommer att se många oroliga ansikten.

I "platta" problem, för att inte tala om de uppenbara punkterna och linjerna, är den mest populära figuren en triangel. Vi kommer att analysera det i detalj. Därefter kommer parallellogrammet, och mycket mindre vanliga är rektangeln, kvadraten, romben, cirkeln och andra former.

I rumsliga problem kan samma platta figurer + själva planen och vanliga triangulära pyramider med parallellepiped flyga.

Fråga två - Vet du allt om den här figuren? Anta att tillståndet talar om en likbent triangel, och du minns mycket vagt vilken typ av triangel det är. Vi öppnar en skolbok och läser om en likbent triangel. Vad ska man göra... doktorn sa en romb, det betyder en romb. Analytisk geometri är analytisk geometri, men problemet kommer att lösas av figurernas geometriska egenskaper, känd för oss från skolans läroplan. Om du inte vet vad summan av vinklarna i en triangel är, kan du lida under lång tid.

Tredje. Försök ALLTID följa ritningen(på utkast/avslutskopia/mentalt), även om detta inte krävs av villkoret. I "platta" problem beordrade Euclid själv att plocka upp en linjal och en penna - och inte bara för att förstå tillståndet, utan också för att självtesta. I det här fallet är den lämpligaste skalan 1 enhet = 1 cm (2 bärbara celler). Låt oss inte prata om slarviga elever och matematiker som snurrar i sina gravar – det är nästan omöjligt att göra fel i sådana problem. För rumsliga uppgifter utför vi en schematisk ritning, som också hjälper till att analysera tillståndet.

En ritning eller schematisk ritning låter dig ofta omedelbart se hur du löser ett problem. Naturligtvis, för detta måste du känna till grunden för geometri och förstå egenskaperna hos geometriska former (se föregående stycke).

Fjärde. Utveckling av en lösningsalgoritm. Många geometriproblem är flerstegs, så lösningen och dess design är mycket bekväm att dela upp i punkter. Ofta kommer algoritmen direkt att tänka på efter att du läst villkoret eller slutfört ritningen. Vid svårigheter börjar vi med uppgiftens FRÅGA. Till exempel, enligt villkoret "du måste konstruera en rak linje ...". Här är den mest logiska frågan: "Vad är tillräckligt att veta för att konstruera denna räta linje?" Antag att "vi vet poängen, vi behöver känna till riktningsvektorn." Vi ställer följande fråga: "Hur hittar man denna riktningsvektor? Var?" etc.

Ibland finns det en "bugg" - problemet är inte löst och det är det. Orsakerna till stopp kan vara följande:

– Allvarlig brist i grundläggande kunskaper. Med andra ord, du vet inte och/eller ser inte någon väldigt enkel sak.

– Okunskap om egenskaperna hos geometriska figurer.

– Uppgiften var svår. Ja, det händer. Det är ingen idé att ånga i timmar och samla tårar i en näsduk. Be om råd från din lärare, medstudenter eller ställ en fråga på forumet. Dessutom är det bättre att göra sitt uttalande konkret - om den del av lösningen som du inte förstår. Ett rop i form av "Hur löser man problemet?" ser inte särskilt bra ut... och framför allt för ditt eget rykte.

Steg fem. Vi bestämmer-kollar, bestämmer-kollar, bestämmer-kollar-ger svar. Det är fördelaktigt att kontrollera varje punkt i uppgiften omedelbart efter att den är klar. Detta hjälper dig att upptäcka felet omedelbart. Naturligtvis är det ingen som förbjuder att snabbt lösa hela problemet, men det finns risk att skriva om allt igen (ofta flera sidor).

Dessa är kanske alla de viktigaste övervägandena som bör följas när man löser problem.

Den praktiska delen av lektionen presenteras i plangeometri. Det kommer bara att finnas två exempel, men det verkar inte tillräckligt =)

Låt oss gå igenom tråden i algoritmen som jag just tittade på i mitt lilla vetenskapliga arbete:

Exempel 1

Tre hörn av ett parallellogram ges. Hitta toppen.

Låt oss börja förstå:

Steg ett: Det är uppenbart att vi talar om ett "platt" problem.

Steg två: Problemet handlar om ett parallellogram. Kommer alla ihåg denna parallellogramfigur? Det finns ingen anledning att le, många människor får sin utbildning vid 30-40-50 år eller äldre, så även enkla fakta kan raderas ur minnet. Definitionen av ett parallellogram finns i exempel nr 3 i lektionen Linjärt (icke) beroende av vektorer. Grund för vektorer.

Steg tre: Låt oss göra en ritning där vi markerar tre kända hörn. Det är roligt att det inte är svårt att omedelbart konstruera den önskade punkten:

Att konstruera det är naturligtvis bra, men lösningen måste formuleras analytiskt.

Steg fyra: Utveckling av en lösningsalgoritm. Det första som kommer att tänka på är att en punkt kan hittas som skärningspunkten mellan linjer. Vi känner inte till deras ekvationer, så vi måste ta itu med denna fråga:

1) Motstående sidor är parallella. Med poäng Låt oss hitta riktningsvektorn för dessa sidor. Detta är det enklaste problemet som diskuterades i klassen. Vektorer för dummies.

Notera: det är mer korrekt att säga "ekvationen för en linje som innehåller en sida", men här och längre för korthets skull kommer jag att använda fraserna "ekvation för en sida", "riktningsvektor för en sida" etc.

3) Motstående sidor är parallella. Med hjälp av punkterna hittar vi riktningsvektorn för dessa sidor.

4) Låt oss skapa en ekvation av en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor

I styckena 1-2 och 3-4 löste vi faktiskt samma problem två gånger, det diskuterades i exempel nr 3 i lektionen De enklaste problemen med en rak linje på ett plan. Det var möjligt att ta en längre väg - först hitta ekvationerna för linjerna och först sedan "dra ut" riktningsvektorerna från dem.

5) Nu är linjernas ekvationer kända. Allt som återstår är att komponera och lösa motsvarande system av linjära ekvationer (se exempel nr 4, 5 i samma lektion De enklaste problemen med en rak linje på ett plan).

Poängen har hittats.

Uppgiften är ganska enkel och lösningen är uppenbar, men det finns en kortare väg!

Andra lösningen:

Diagonalerna i ett parallellogram är delade av deras skärningspunkt. Jag markerade poängen, men för att inte röra teckningen ritade jag inte själva diagonalerna.

Låt oss komponera ekvationen för sidan punkt för punkt :

För att kontrollera bör du mentalt eller på ett utkast ersätta koordinaterna för varje punkt i den resulterande ekvationen. Låt oss nu hitta lutningen. För att göra detta skriver vi om den allmänna ekvationen i form av en ekvation med en lutningskoefficient:

Således är lutningen:

På samma sätt hittar vi sidornas ekvationer. Jag ser inte så mycket mening med att beskriva samma sak, så jag ska genast ge det färdiga resultatet:

2) Hitta längden på sidan. Detta är det enklaste problemet i klassen. Vektorer för dummies. För poäng vi använder formeln:

Med samma formel är det lätt att hitta längden på andra sidor. Kontrollen kan göras mycket snabbt med en vanlig linjal.

Vi använder formeln .

Låt oss hitta vektorerna:

Således:

Förresten, längs vägen hittade vi längderna på sidorna.

Som ett resultat:

Tja, det verkar vara sant, för att vara övertygande kan du fästa en gradskiva i hörnet.

Uppmärksamhet! Blanda inte ihop vinkeln på en triangel med vinkeln mellan raka linjer. Vinkeln på en triangel kan vara trubbig, men vinkeln mellan räta linjer kan inte (se sista stycket i artikeln De enklaste problemen med en rak linje på ett plan). Men för att hitta vinkeln på en triangel kan du också använda formlerna från ovanstående lektion, men grovheten är att de formlerna alltid ger en spetsig vinkel. Med deras hjälp löste jag detta problem i utkast och fick resultatet. Och på det sista exemplaret skulle jag behöva skriva ner ytterligare ursäkter, att .

4) Skriv en ekvation för en linje som går genom en punkt parallell med linjen.

Standarduppgift, diskuterad i detalj i exempel nr 2 i lektionen De enklaste problemen med en rak linje på ett plan. Från linjens allmänna ekvation Låt oss ta ut guidevektorn. Låt oss skapa en ekvation för en rät linje med hjälp av en punkt och en riktningsvektor:

Hur hittar man höjden på en triangel?

5) Låt oss skapa en ekvation för höjden och hitta dess längd.

Det finns ingen flykt från strikta definitioner, så du måste stjäla från en skolbok:

Triangelhöjd kallas vinkelrät från triangelns spets till linjen som innehåller den motsatta sidan.

Det vill säga, det är nödvändigt att skapa en ekvation för en vinkelrät ritad från spetsen till sidan. Denna uppgift diskuteras i exempel nr 6, 7 i lektionen De enklaste problemen med en rak linje på ett plan. Från Eq. ta bort den normala vektorn. Låt oss komponera höjdekvationen med hjälp av en punkt och en riktningsvektor:

Observera att vi inte känner till punktens koordinater.

Ibland hittas höjdekvationen från förhållandet mellan vinkelkoefficienterna för vinkelräta linjer: . I det här fallet då: . Låt oss komponera höjdekvationen med hjälp av en punkt och en vinkelkoefficient (se början av lektionen Ekvation för en rät linje på ett plan):

Höjdlängden kan hittas på två sätt.

Det finns en omväg:

a) hitta – skärningspunkten mellan höjd och sida;
b) hitta längden på segmentet med hjälp av två kända punkter.

Men i klassen De enklaste problemen med en rak linje på ett plan en lämplig formel för avståndet från en punkt till en linje övervägdes. Punkten är känd: , linjens ekvation är också känd: , Således:

6) Beräkna arean av triangeln. I rymden beräknas arean av en triangel traditionellt med hjälp av vektorprodukt av vektorer, men här får vi en triangel på ett plan. Vi använder skolans formel:
– Arean av en triangel är lika med hälften av produkten av dess bas och dess höjd.

I detta fall:

Hur hittar man medianen för en triangel?

7) Låt oss skapa en ekvation för medianen.

Medianen av en triangel kallas ett segment som förbinder toppen av en triangel med mitten av den motsatta sidan.

a) Hitta punkten - mitten av sidan. Vi använder formler för koordinaterna för mittpunkten av ett segment. Koordinaterna för segmentets ändar är kända: , sedan koordinaterna för mitten:

Således:

Låt oss komponera medianekvationen punkt för punkt :

För att kontrollera ekvationen måste du ersätta punkternas koordinater i den.

8) Hitta skärningspunkten för höjden och medianen. Jag tror att alla redan har lärt sig hur man utför denna del av konståkning utan att falla:

Ett exempel på att lösa några uppgifter från standardarbetet "Analytisk geometri på ett plan"

Topparna är givna,
,
triangel ABC. Hitta:

Ekvationer för alla sidor i en triangel;

System av linjära olikheter som definierar en triangel ABC;

Ekvationer av höjd, median och bisektris för en triangel dragna från vertex A;

Skärningspunkten för triangelns höjder;

Skärningspunkten för triangelns medianer;

Längden på höjden sänkt åt sidan AB;

Hörn A;

Gör en ritning.

Låt triangelns hörn ha koordinater: A (1; 4), I (5; 3), MED(3; 6). Låt oss genast rita en ritning:

1. För att skriva ner ekvationerna för alla sidor i en triangel använder vi ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter med koordinater ( x 0 , y 0 ) Och ( x 1 , y 1 ):

=

Alltså, ersätta istället för ( x 0 , y 0 ) punktkoordinater A, och istället för ( x 1 , y 1 ) punktkoordinater I, får vi linjens ekvation AB:

Den resulterande ekvationen blir den räta linjens ekvation AB, skriven i allmän form. På samma sätt hittar vi ekvationen för den räta linjen AC:

Och även den räta linjens ekvation Sol:

2. Observera att uppsättningen av punkter i triangeln ABC representerar skärningspunkten mellan tre halvplan, och varje halvplan kan definieras med hjälp av en linjär olikhet. Om vi ​​tar ekvationen för endera sidan ∆ ABC, Till exempel AB, sedan ojämlikheterna

Och

definiera punkter som ligger på motsatta sidor av en linje AB. Vi måste välja det halva planet där punkt C ligger. Låt oss byta ut dess koordinater i båda olikheterna:

Den andra ojämlikheten kommer att vara korrekt, vilket innebär att poängen som krävs bestäms av ojämlikheten

.

Vi gör samma sak med den räta linjen BC, dess ekvation
. Vi använder punkt A (1, 1) som en testpunkt:

Detta innebär att den nödvändiga ojämlikheten har formen:

.

Om vi ​​kontrollerar rät linje AC (testpunkt B), får vi:

Detta innebär att den erforderliga ojämlikheten kommer att ha formen

Vi får äntligen ett system av ojämlikheter:

Tecknen "≤", "≥" betyder att punkter som ligger på triangelns sidor också ingår i den uppsättning punkter som utgör triangeln ABC.

3. a) För att hitta ekvationen för höjden som faller från vertexet Aåt sidan Sol, betrakta sidans ekvation Sol:
. Vektor med koordinater
vinkelrätt mot sidan Sol och därför parallellt med höjden. Låt oss skriva ner ekvationen för en rät linje som går genom en punkt A parallellt med vektorn
:

Detta är ekvationen för höjden utelämnad från t. Aåt sidan Sol.

b) Hitta koordinaterna för mitten av sidan Sol enligt formlerna:

Här
– detta är koordinaterna för t. I, A
– koordinater t. MED. Låt oss ersätta och få:

Den räta linjen som går genom denna punkt och punkten Aär den nödvändiga medianen:

c) Vi kommer att leta efter halveringsekvationen baserat på det faktum att i en likbent triangel är höjden, medianen och bisekturen från en vertex till triangelns bas lika stora. Låt oss hitta två vektorer
Och
och deras längder:

Sedan vektorn
har samma riktning som vektorn
, och dess längd
Likaså enhetsvektorn
sammanfaller i riktning med vektorn
Summan av vektorer

är en vektor som sammanfaller i riktning med vinkelns bisektrik A. Således kan ekvationen för den önskade bisektorn skrivas som:

4) Vi har redan konstruerat ekvationen för en av höjderna. Låt oss konstruera en ekvation för en annan höjd, till exempel från vertexet I. Sida AC ges av ekvationen
Alltså vektorn
vinkelrät AC, och därmed parallellt med önskad höjd. Sedan ekvationen för linjen som går genom vertexet I i vektorns riktning
(dvs vinkelrät AC), har formen:

Det är känt att en triangels höjder skär varandra vid en punkt. I synnerhet är denna punkt skärningspunkten mellan de funna höjderna, dvs. lösa ekvationssystemet:

- Koordinater för denna punkt.

5. Mitten AB har koordinater
. Låt oss skriva ekvationen för medianen åt sidan AB. Denna linje passerar genom punkter med koordinater (3, 2) och (3, 6), vilket betyder att dess ekvation har formen:

Observera att en nolla i nämnaren för ett bråk i ekvationen för en rät linje betyder att denna räta linje löper parallellt med ordinataaxeln.

För att hitta skärningspunkten för medianerna räcker det med att lösa ekvationssystemet:

Skärningspunkten för medianerna i en triangel har koordinater
.

6. Längd på höjden sänkt åt sidan AB, lika med avståndet från punkten MED till en rak linje AB med ekvation
och hittas av formeln:

7. Vinkelkosinus A kan hittas med hjälp av formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer Och , vilket är lika med förhållandet mellan skalärprodukten av dessa vektorer och produkten av deras längder:

.