Логарифмын шинж чанарууд ба тэдгээрийн шийдлийн жишээ. Цогц гарын авлага (2019). Логарифмын үндсэн шинж чанарууд 8 логарифмын шинж чанарууд

Нийгэм хөгжиж, үйлдвэрлэл ээдрээтэй болохын хэрээр математик ч хөгжсөн. Энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү шилжих хөдөлгөөн. Нэмэх, хасах аргыг ашигладаг энгийн нягтлан бодох бүртгэлээс бид тэдгээрийг олон удаа давтах замаар үржүүлэх, хуваах тухай ойлголттой болсон. Үржүүлэхийн давтагдах үйлдлийг багасгах нь экспонентацийн ойлголт болсон. Тоонуудын суурь ба экспонентацийн тооноос хамаарах анхны хүснэгтүүдийг Энэтхэгийн математикч Варасена 8-р зуунд эмхэтгэсэн. Тэдгээрээс та логарифм үүсэх цагийг тоолж болно.

Түүхэн ноорог

16-р зуунд Европ дахин сэргэсэн нь механикийн хөгжилд түлхэц өгсөн. Т их хэмжээний тооцоолол шаарддаголон оронтой тоог үржүүлэх, хуваахтай холбоотой. Эртний ширээ нь маш сайн үйлчилгээтэй байсан. Тэд нарийн төвөгтэй үйлдлүүдийг илүү энгийн зүйлээр солих боломжтой болсон - нэмэх, хасах. Математикч Майкл Стифелийн 1544 онд хэвлэгдсэн олон математикчдын санааг хэрэгжүүлсэн ажил нь урагшлах том алхам байв. Энэ нь хүснэгтийг зөвхөн анхны тоо хэлбэрээр төдийгүй дурын рациональ тоонуудын хувьд ашиглах боломжтой болгосон.

1614 онд шотланд хүн Жон Непьер эдгээр санааг боловсруулж байхдаа "тооны логарифм" гэсэн шинэ нэр томъёог анх нэвтрүүлсэн. Синус ба косинусын логарифм, шүргэгчийг тооцоолох шинэ цогц хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Энэ нь одон орон судлаачдын ажлыг ихээхэн бууруулсан.

Гурван зууны турш эрдэмтэд амжилттай ашиглаж байсан шинэ хүснэгтүүд гарч ирэв. Алгебрийн шинэ үйл ажиллагаа дууссан хэлбэрээ олж авахаас өмнө маш их цаг хугацаа өнгөрчээ. Логарифмын тодорхойлолтыг өгч, шинж чанарыг нь судалсан.

Зөвхөн 20-р зуунд тооны машин, компьютер бий болсноор хүн төрөлхтөн 13-р зууны турш амжилттай ажиллаж байсан эртний хүснэгтүүдийг орхисон.

Өнөөдөр бид a-ийн суурь болох b-ийн логарифмыг x тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь b-ийн хүчин чадал юм. Үүнийг томъёогоор бичнэ: x = log a(b).

Жишээлбэл, log 3(9) нь 2-той тэнцүү байх болно. Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл энэ нь ойлгомжтой. Хэрэв бид 3-ыг 2-ын зэрэглэлд өсгөвөл бид 9-ийг авна.

Тиймээс томъёолсон тодорхойлолт нь зөвхөн нэг хязгаарлалтыг тогтоодог: a ба b тоонууд бодит байх ёстой.

Логарифмын төрлүүд

Сонгодог тодорхойлолтыг бодит логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд үнэндээ a x = b тэгшитгэлийн шийдэл юм. Сонголт a = 1 нь хил хязгаар бөгөөд сонирхолгүй. Анхаар: Аливаа хүчинд 1 нь 1-тэй тэнцүү байна.

Логарифмын бодит утгасуурь болон аргумент нь 0-ээс их байх үед л тодорхойлогддог бөгөөд суурь нь 1-тэй тэнцүү байж болохгүй.

Математикийн салбарт онцгой байр суурь эзэлдэглогарифмуудыг тоглуулж, тэдгээрийн суурийн хэмжээнээс хамааран нэрлэнэ:

Дүрэм ба хязгаарлалт

Логарифмын үндсэн шинж чанар нь дүрэм юм: бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна. log abp = log a(b) + log a(p).

Энэ мэдэгдлийн хувилбарын хувьд: log c(b/p) = log c(b) - log c(p) байх болно, хуваах функц нь функцүүдийн зөрүүтэй тэнцүү байна.

Өмнөх хоёр дүрмээс харахад амархан: log a(b p) = p * log a(b).

Бусад шинж чанарууд нь:

Сэтгэгдэл. Нийтлэг алдаа гаргах шаардлагагүй - нийлбэрийн логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү биш юм.

Олон зууны турш логарифм олох ажиллагаа нь нэлээд цаг хугацаа шаардсан ажил байв. Математикчид олон гишүүнт тэлэлтийн логарифмын онолын сайн мэддэг томьёог ашигласан.

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), энд n нь 1-ээс их натурал тоо бөгөөд энэ нь тооцооллын нарийвчлалыг тодорхойлдог.

Бусад суурьтай логарифмыг нэг баазаас нөгөөд шилжих тухай теорем болон үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг ашиглан тооцоолсон.

Энэ арга нь маш их хөдөлмөр шаарддаг тул практик асуудлыг шийдвэрлэх үедхэрэгжүүлэхэд хэцүү байсан тул бид урьдчилан эмхэтгэсэн логарифмын хүснэгтүүдийг ашигласан бөгөөд энэ нь бүх ажлыг ихээхэн хурдасгасан.

Зарим тохиолдолд логарифмын тусгайлан эмхэтгэсэн графикуудыг ашигласан бөгөөд энэ нь нарийвчлал багатай боловч хүссэн утгыг хайх ажлыг ихээхэн хурдасгасан. Хэд хэдэн цэг дээр баригдсан y = log a(x) функцийн муруй нь ердийн захирагч ашиглан өөр ямар ч цэг дээрх функцийн утгыг олох боломжийг олгодог. Удаан хугацааны туршид инженерүүд эдгээр зорилгоор график цаас гэж нэрлэгддэг цаасыг ашигладаг байсан.

17-р зуунд анхны туслах аналог тооцоолох нөхцөлүүд гарч ирсэн бөгөөд 19-р зуун гэхэд бүрэн хэлбэрийг олж авсан. Хамгийн амжилттай төхөөрөмжийг слайд дүрэм гэж нэрлэдэг. Төхөөрөмжийн энгийн байдлыг үл харгалзан түүний гадаад төрх нь бүх инженерийн тооцооллын үйл явцыг ихээхэн хурдасгасан бөгөөд үүнийг хэт үнэлэхэд хэцүү байдаг. Одоогийн байдлаар цөөхөн хүн энэ төхөөрөмжийг мэддэг.

Тооны машин, компьютер гарч ирснээр бусад төхөөрөмжүүдийн хэрэглээг утгагүй болгосон.

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Логарифм ашиглан янз бүрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд дараахь томъёог ашиглана.

• Нэг баазаас нөгөөд шилжих: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Өмнөх сонголтын үр дүнд: log a(b) = 1 / log b(a).

Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд дараахь зүйлийг мэдэх нь зүйтэй.

• Суурь болон аргумент хоёулаа нэгээс их эсвэл бага байвал л логарифмын утга эерэг байх болно; хэрэв дор хаяж нэг нөхцөл зөрчсөн бол логарифмын утга сөрөг байна.
• Хэрэв логарифмын функцийг тэгш бус байдлын баруун ба зүүн талд хэрэглэж, логарифмын суурь нь нэгээс их байвал тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдана; тэгэхгүй бол өөрчлөгдөнө.

Жишээ асуудлууд

Логарифм болон тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн сонголтыг авч үзье. Тэгшитгэл шийдвэрлэх жишээ:

Логарифмыг зэрэгт байрлуулах сонголтыг авч үзье.

• Бодлого 3. 25^log 5(3)-ыг тооцоол. Шийдэл: асуудлын нөхцөлд оруулга нь дараах (5^2)^log5(3) эсвэл 5^(2 * log 5(3))-тай төстэй байна. Үүнийг өөрөөр бичье: 5^log 5(3*2), эсвэл функцын аргумент болох тооны квадратыг функцийн өөрийнх нь квадрат (5^log 5(3))^2 гэж бичиж болно. Логарифмын шинж чанарыг ашиглан энэ илэрхийлэл нь 3^2-тэй тэнцүү байна. Хариулт: Тооцооллын үр дүнд бид 9-ийг авна.

Практик хэрэглээ

Цэвэр математикийн хэрэгсэл болохын хувьд логарифм нь бодит ертөнц дэх объектуудыг дүрслэхийн тулд гэнэт асар их ач холбогдолтой болсон нь бодит амьдралаас хол санагдаж байна. Ашиглагдаагүй шинжлэх ухааныг олоход хэцүү байдаг. Энэ нь зөвхөн байгалийн төдийгүй хүмүүнлэгийн мэдлэгийн салбарт бүрэн хамаатай.

Логарифмын хамаарал

Тоон хамаарлын зарим жишээ энд байна:

Механик ба физик

Түүхийн хувьд механик, физик нь математик судалгааны аргуудыг ашиглан үргэлж хөгжиж ирсэн бөгөөд нэгэн зэрэг математик, түүний дотор логарифмийг хөгжүүлэх хөшүүрэг болж байв. Физикийн ихэнх хуулиудын онолыг математикийн хэлээр бичдэг. Логарифм ашиглан физикийн хуулиудыг тайлбарлах хоёрхон жишээг өгье.

Пуужингийн хурд гэх мэт нарийн төвөгтэй хэмжигдэхүүнийг тооцоолох асуудлыг Циолковскийн томъёогоор шийдэж болох бөгөөд энэ нь сансар судлалын онолын үндэс суурийг тавьсан юм.

V = I * ln (M1/M2), хаана

• V нь онгоцны эцсийн хурд юм.
• I - хөдөлгүүрийн тодорхой импульс.
• M 1 - пуужингийн анхны масс.
• M 2 - эцсийн масс.

Өөр нэг чухал жишээ- энэ нь термодинамик дахь тэнцвэрийн төлөвийг үнэлэх өөр нэг агуу эрдэмтэн Макс Планкийн томъёонд хэрэглэгддэг.

S = k * ln (Ω), хаана

• S - термодинамик шинж чанар.
• k – Больцманы тогтмол.
• Ω нь янз бүрийн мужуудын статистик жин юм.

Хими

Химийн шинжлэх ухаанд логарифмын харьцааг агуулсан томъёог ашиглах нь тийм ч ойлгомжтой биш юм. Хоёрхон жишээ хэлье:

• Нернстийн тэгшитгэл, бодисын идэвхжил, тэнцвэрийн тогтмолтой холбоотой орчны исэлдэлтийн потенциалын нөхцөл.
• Автолизийн индекс ба уусмалын хүчиллэг зэрэг тогтмол үзүүлэлтүүдийн тооцоог бидний үйл ажиллагаагүйгээр хийх боломжгүй юм.

Сэтгэл судлал, биологи

Мөн сэтгэл судлал үүнтэй ямар холбоотой вэ гэдэг нь тодорхойгүй байна. Мэдрэхүйн хүчийг энэ функцээр өдөөлтийн эрчмийн утгыг доод эрчимтэй урвуу харьцаа гэж сайн тодорхойлсон байдаг.

Дээрх жишээнүүдийн дараа биологид логарифмын сэдвийг өргөнөөр ашиглах болсон нь гайхах зүйлгүй болсон. Логарифмын спиральд тохирох биологийн хэлбэрүүдийн талаар бүхэл бүтэн боть бичиж болно.

Бусад бүс нутаг

Энэ функцтэй холбоогүй бол ертөнц оршин тогтнох боломжгүй мэт санагдаж, бүх хуулийг захирдаг. Ялангуяа байгалийн хуулиуд нь геометрийн прогресстой холбоотой байдаг. MatProfi вэбсайт руу хандах нь зүйтэй бөгөөд дараах үйл ажиллагааны чиглэлээр ийм олон жишээ бий.

Жагсаалт төгсгөлгүй байж болно. Энэ функцийн үндсэн зарчмуудыг эзэмшсэний дараа та хязгааргүй мэргэн ухааны ертөнцөд орох боломжтой.

-ээс эхэлье нэгийн логарифмын шинж чанарууд. Түүний томъёолол нь дараах байдалтай байна: нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, log a 1=0ямар ч a>0, a≠1. Баталгаажуулах нь тийм ч хэцүү биш: дээрх a>0 ба a≠1 нөхцлийг хангасан аль ч тохиолдолд a 0 =1 байх тул нотлох ёстой a 1=0 тэгшитгэл нь логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарч ирнэ.

Харгалзан авч буй үл хөдлөх хөрөнгийн хэрэглээний жишээг өгье: log 3 1=0, log1=0 ба .

Дараагийн үл хөдлөх хөрөнгө рүү шилжье: суурьтай тэнцүү тооны логарифм нь нэгтэй тэнцүү байна, тэр бол, log a a=1 a>0, a≠1 хувьд. Үнэн хэрэгтээ аливаа а-д a 1 =a тул логарифмын тодорхойлолтоор a a=1 болно.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ нь log 5 5=1, log 5.6 5.6 ба lne=1 тэнцүү байна.

Жишээлбэл, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ба .

Хоёр эерэг тооны үржвэрийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1 . Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг баталъя. Зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, мөн үндсэн логарифмын адилтгалаар лог a x =x ба log a y =y байх тул a log a x ·a log a y =x·y болно. Ийнхүү лог a x+log a y =x·y байх бөгөөд үүнээс логарифмын тодорхойлолтоор нотлогдож буй тэгш байдал гарч ирнэ.

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглах жишээг үзүүлье: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ба .

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг x 1 , x 2 , …, x n эерэг тоонуудын төгсгөлтэй n тооны үржвэрт ерөнхийлж болно. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Энэ тэгш байдлыг асуудалгүйгээр баталж болно.

Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний натурал логарифмыг 4, e, ба тоонуудын гурван натурал логарифмын нийлбэрээр сольж болно.

Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна. Хэсгийн логарифмын шинж чанар нь a>0, a≠1, x ба y нь эерэг тоонууд байх хэлбэрийн томьёотой тохирч байна. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёоноос гадна энэ томьёоны хүчинтэй байдал нотлогдсон: оноос хойш , дараа нь логарифмын тодорхойлолтоор.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна. .

Дараа нь үргэлжлүүлье чадлын логарифмын шинж чанар. Зэрэглэлийн логарифм нь энэ зэргийн суурийн индекс ба модулийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. Хүчний логарифмын энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье. log a b p =p·log a |b|, энд a>0, a≠1, b ба p нь b p зэрэг нь утга учиртай, b p >0 байх тоо юм.

Эхлээд бид энэ шинж чанарыг эерэгээр баталж байна b. Үндсэн логарифмын ижилсэл нь b тоог a log a b , дараа нь b p =(a log a b) p хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог ба үр дүнгийн илэрхийлэл нь чадлын шинж чанараас шалтгаалан p·log a b -тэй тэнцүү байна. Ингээд бид b p =a p·log a b тэгшитгэлд хүрч, логарифмын тодорхойлолтоор log a b p =p·log a b гэж дүгнэж байна.

Энэ өмчийг сөрөг талаас нь нотлох хэвээр байна b. Энд бид сөрөг b-ийн хувьд log a b p илэрхийлэл нь зөвхөн тэгш илтгэгч p (учир нь b p зэрэгийн утга тэгээс их байх ёстой, эс тэгвээс логарифм утгагүй болно) утга учиртай болохыг тэмдэглэж байна, энэ тохиолдолд b p =|b| х. Дараа нь b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, хаанаас log a b p =p·log a |b| .

Жишээлбэл, ба ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Энэ нь өмнөх өмчөөс үүдэлтэй язгуураас авсан логарифмын шинж чанар: n-р язгуурын логарифм нь 1/n бутархайг радикал илэрхийллийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, , энд a>0, a≠1, n нь нэгээс их натурал тоо, b>0.

Нотолгоо нь аливаа эерэг b-ийн хувьд хүчинтэй тэгш байдал (харна уу) ба чадлын логарифмын шинж чанар дээр суурилдаг. .

Энэ өмчийг ашиглах жишээ энд байна: .

Одоо баталъя шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёотөрлийн . Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлын log c b=log a b·log c a-ийн үнэн зөвийг батлахад хангалттай. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог a log a b , дараа нь log c b=log c a log a b гэж илэрхийлэх боломжийг олгодог. Зэрэглэлийн логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хэвээр байна: log c a log a b =log a b log c a. Энэ нь log c b=log a b·log c a тэнцүү болохыг баталж байгаа нь логарифмын шинэ суурьт шилжих томьёо мөн батлагдсан гэсэн үг.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн жишээг үзүүлье: ба .

Шинэ суурь руу шилжих томъёо нь "тохиромжтой" суурьтай логарифмуудтай ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Жишээлбэл, логарифмын хүснэгтээс логарифмын утгыг тооцоолохын тулд натурал буюу аравтын логарифм руу шилжихэд ашиглаж болно. Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь зарим тохиолдолд бусад суурьтай зарим логарифмын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог.

С=b хэлбэрийн шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёоны онцгой тохиолдлыг ихэвчлэн ашигладаг . Энэ нь log a b ба log b a – болохыг харуулж байна. Жишээ нь, .

Томъёог бас ихэвчлэн ашигладаг , энэ нь логарифмын утгыг олоход тохиромжтой. Бидний үгсийг батлахын тулд бид үүнийг маягтын логарифмын утгыг тооцоолоход хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Бидэнд байгаа . Томьёог батлахын тулд a логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглахад хангалттай. .

Логарифмын харьцуулалтын шинж чанарыг батлахад л үлддэг.

Аливаа эерэг тоонуудын хувьд b 1 ба b 2, b 1 гэдгийг баталцгаая log a b 2, a>1-ийн хувьд – тэгш бус байдлын log a b 1

Эцэст нь логарифмын хамгийн сүүлийн жагсаасан шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Түүний эхний хэсгийн нотолгоогоор хязгаарлъя, өөрөөр хэлбэл, хэрэв 1 >1, a 2 >1, a 1 гэдгийг батлах болно. 1 нь үнэн log a 1 b>log a 2 b . Логарифмын энэ өмчийн үлдсэн мэдэгдлүүдийг ижил төстэй зарчмын дагуу нотолж байна.

Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. 1 >1, 2 >1 ба 1 гэж бодъё 1 нь үнэн log a 1 b≤log a 2 b . Логарифмын шинж чанарууд дээр үндэслэн эдгээр тэгш бус байдлыг дахин бичиж болно Тэгээд тус тус ба тэдгээрээс log b a 1 ≤log b a 2 ба log b a 1 ≥log b a 2 байна. Дараа нь ижил суурьтай зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу b log b a 1 ≥b log b a 2 ба b log b a 1 ≥b log b a 2 тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл a 1 ≥a 2 байна. Тиймээс бид 1 гэсэн нөхцөлтэй зөрчилдсөн

Ном зүй.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын сургуулийн 10-11 дүгээр ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Тооны логарифм Н дээр суурилсан А экспонент гэж нэрлэдэг X , та үүнийг барих хэрэгтэй А дугаарыг авахын тулд Н

Тэгсэн бол
,
,

Логарифмын тодорхойлолтоос харахад ийм байна
, өөрөөр хэлбэл
- энэ тэгш байдал нь үндсэн логарифмын ижилсэл юм.

10 суурь хүртэлх логарифмыг аравтын логарифм гэнэ. Оронд нь
бичих
.

Суурь руу логарифмууд д байгалийн гэж нэрлэдэг ба томилогдсон байна
.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд.

Нэгийн логарифм нь аль ч суурийн хувьд тэгтэй тэнцүү байна.

Бүтээгдэхүүний логарифм нь хүчин зүйлийн логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна.

3) Хэсгийн логарифм нь логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна

Хүчин зүйл
логарифмаас суурь руу шилжих модуль гэж нэрлэдэг а суурь дээр логарифм руу б .

2-5-р шинж чанарыг ашиглан логарифм дээрх энгийн арифметик үйлдлийн үр дүнд нийлмэл илэрхийллийн логарифмыг багасгах боломжтой байдаг.

Жишээлбэл,

Логарифмын ийм хувиргалтыг логарифм гэж нэрлэдэг. Логарифмын урвуу хувиргалтыг потенциац гэж нэрлэдэг.

Бүлэг 2. Дээд математикийн элементүүд.

1. Хязгаарлалт

Функцийн хязгаар
нь хязгаарлагдмал тоо юм xx 0 урьдчилан тодорхойлсон тус бүрийн хувьд
, ийм тоо байна
тэр даруйдаа
, Тэр
.

Хязгаарлалттай функц нь үүнээс хязгааргүй бага хэмжээгээр ялгаатай:
, хаана- b.m.v., i.e.
.

Жишээ. Функцийг авч үзье
.

Хичээж байхдаа
, функц y тэг рүү чиглэдэг:

1.1. Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд.

Тогтмол утгын хязгаар нь энэ тогтмол утгатай тэнцүү байна

.

Хязгаарлагдмал тооны функцын нийлбэрийн (ялгаа) хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын нийлбэр (ялгаа)-тай тэнцүү байна.

Хязгаарлагдмал тооны функцын үржвэрийн хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна.

Хоёр функцийн хязгаарын хязгаар нь хуваарийн хязгаар тэг биш бол эдгээр функцүүдийн хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна.

Гайхамшигтай хязгаарууд

,
, Хаана

1.2. Хязгаарлалтын тооцооны жишээ

Гэсэн хэдий ч бүх хязгаарыг тийм ч хялбархан тооцдоггүй. Ихэнхдээ хязгаарыг тооцоолох нь тодорхойгүй байдлын төрлийг илрүүлэхэд хүргэдэг. эсвэл .

.

2. Функцийн дериватив

Бидэнд функцтэй байцгаая
, сегмент дээр тасралтгүй
.

Аргумент бага зэрэг нэмэгдлээ
. Дараа нь функц нь өсөлтийг хүлээн авах болно
.

Аргументын утга функцийн утгатай тохирч байна
.

Аргументын утга
функцийн утгатай тохирч байна.

Тиймээс, .

Энэ харьцааны хязгаарыг олъё
. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол өгөгдсөн функцийн дериватив гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3 Өгөгдсөн функцийн дериватив
аргументаар Аргументийн өсөлт нь дур зоргоороо тэг рүү чиглэх үед функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлтөд харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж нэрлэдэг.

Функцийн дериватив
дараах байдлаар тодорхойлж болно:

; ; ; .

Тодорхойлолт 4 Функцийн деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах.

2.1. Деривативын механик утга.

Зарим хатуу бие эсвэл материаллаг цэгийн шулуун хөдөлгөөнийг авч үзье.

Хэзээ нэгэн цагт зөвшөөр хөдлөх цэг
зайтай байсан эхлэх байрлалаас
.

Хэсэг хугацааны дараа
тэр хол нүүсэн
. Хандлага =- материаллаг цэгийн дундаж хурд
. Үүнийг харгалзан энэ харьцааны хязгаарыг олъё
.

Үүний үр дүнд материаллаг цэгийн хөдөлгөөний агшин зуурын хурдыг тодорхойлох нь цаг хугацааны хувьд замын деривативыг олох хүртэл буурдаг.

2.2. Деривативын геометрийн утга

Графикаар тодорхойлогдсон функцтэй болцгооё
.

Цагаан будаа. 1. Деривативын геометрийн утга

Хэрэв
, дараа нь зааж өгнө үү
, цэг рүү ойртож, муруйн дагуу хөдөлнө
.

Тиймээс
, өөрөөр хэлбэл аргументийн өгөгдсөн утгын деривативын утга тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй өгөгдсөн цэг дээрх шүргэгчийн үүсгэсэн өнцгийн тангенстай тоон хувьд тэнцүү
.

2.3. Үндсэн ялгах томъёоны хүснэгт.

Эрчим хүчний функц

Экспоненциал функц

Логарифм функц

Тригонометрийн функц

Урвуу тригонометрийн функц

2.4. Ялгах дүрэм.

-ийн дериватив

Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив

Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив

Хоёр функцийн хуваалтын дериватив

2.5. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Функцийг өгье
хэлбэрээр төлөөлөх боломжтой

Тэгээд
, хувьсагч хаана байна тэгвэл завсрын аргумент юм

Комплекс функцийн дериватив нь өгөгдсөн функцийн завсрын аргументийн деривативын үржвэр ба x-ийн завсрын аргументийн деривативтай тэнцүү байна.

Жишээ 1.

Жишээ 2.

3. Дифференциал функц.

Байг
, зарим интервалаар ялгах боломжтой
орхи цагт Энэ функц нь деривативтай

,

тэгвэл бид бичиж болно

(1),

Хаана - хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн,

хэзээнээс

Бүх тэгш байдлын нөхцөлийг (1) үржүүлэв
бидэнд байгаа:

Хаана
- b.m.v. илүү өндөр дараалал.

Хэмжээ
функцийн дифференциал гэж нэрлэдэг
болон томилогдсон

.

3.1. Дифференциалын геометрийн утга.

Функцийг өгье
.

Зураг 2. Дифференциалын геометрийн утга.

.

Мэдээжийн хэрэг, функцийн дифференциал
өгөгдсөн цэг дэх шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.

3.2. Төрөл бүрийн эрэмбийн дериватив ба дифференциал.

Хэрвээ тэнд
, Дараа нь
анхны дериватив гэж нэрлэдэг.

Эхний деривативын деривативыг хоёрдугаар эрэмбийн дериватив гэж нэрлээд бичнэ
.

Функцийн n-р эрэмбийн дериватив
(n-1)-р эрэмбийн дериватив гэж нэрлэгддэг ба дараах байдлаар бичнэ.

.

Функцийн дифференциалын дифференциалыг хоёр дахь дифференциал буюу хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал гэнэ.

.

.

3.3 Биологийн асуудлыг ялгах аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Даалгавар 1. Судалгаанаас харахад бичил биетний колонийн өсөлт нь хуульд захирагддаг
, Хаана Н - бичил биетний тоо (мянганаар), т - цаг (өдөр).

б) Энэ хугацаанд колонийн хүн ам өсөх эсвэл буурах уу?

Хариулах. Колонийн хэмжээ нэмэгдэх болно.

Даалгавар 2. Нуурын усыг үе үе шинжилж, эмгэг төрүүлэгч бактерийн агууламжийг хянаж байдаг. дамжуулан т шинжилгээ хийснээс хойш хэд хоногийн дараа бактерийн концентрацийг харьцаагаар тодорхойлно

.

Нуурт хэзээ нянгийн хамгийн бага концентраци үүсч, усанд сэлэх боломжтой болох вэ?

Шийдэл: Функц нь дериватив нь тэг байхад max эсвэл min-д хүрнэ.

,

6 хоногийн дараа хамгийн их эсвэл мин болохыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь деривативыг авч үзье.

Хариулт: 6 хоногийн дараа бактерийн хамгийн бага концентраци байх болно.

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а xболон бүртгэл а y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. бүртгэл а x+ бүртгэл а y= бүртгэл а (x · y);
2. бүртгэл а x- бүртгэл а y= бүртгэл а (x : y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.

Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, x> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд байгаа:

[Зургийн тайлбар]

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын бүртгэлийг өгье а x. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:

[Зургийн тайлбар]

Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = x, бид авах:

[Зургийн тайлбар]

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:

[Зургийн тайлбар]

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

[Зургийн тайлбар]

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд тоо nмаргаанд хэр зэрэг байр суурьтай байгаагийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг.

Уг нь тоо гарвал яах бол бтоог ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно а. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

[Зургийн тайлбар]

log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

[Зургийн тайлбар]

Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтаас авсан жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Дүгнэж хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй зүйлийг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. бүртгэл а а= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
2. бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь а 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.