Шугаман тэгшитгэл. Шугаман тэгшитгэлийн төрлүүд. Нэг ба хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл, шугаман тэгш бус байдал Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн ойлгох вэ

ХИЧЭЭЛИЙН ХУРААНГУЙ

Анги: 7

UMK: Алгебр 7-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Mindyuk нар]; засварласан С.А. Теляковский. - 2-р хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2014 он

Сэдэв: Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл

Зорилго: Оюутнуудад хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл, түүний шийдлийн тухай ойлголтыг танилцуулж, тэгшитгэлээс хэрхэн илэрхийлэхийг заах.X дамжууланцагт эсвэлцагт дамжууланX .

Үүсгэсэн UUD:

Танин мэдэхүйн: таамаглал дэвшүүлж, зөвтгөх, тэдгээрийг шалгах арга замыг санал болгох

Зохицуулалт: өөрийн үйлдлийн арга, үр дүнг өгөгдсөн стандарттай харьцуулах, стандартаас хазайлт, зөрүүг илрүүлэх; төлөвлөгөө, үйл ажиллагааны дарааллыг гаргах.

Харилцааны: ажлын харилцаа тогтоох; үр дүнтэй хамтран ажиллаж, үр бүтээлтэй хамтын ажиллагааг дэмжих.

Хувийн: еөөрийн үйл ажиллагаанд дүн шинжилгээ хийх ур чадварыг хөгжүүлэх

Тоног төхөөрөмж:компьютер, мультимедиа проектор, дэлгэц

Хичээлийн үеэр:

I Зохион байгуулах цаг

Тэнцүү өвөөгийн тухай үлгэрийг сонсоод өнөөдөр юу ярихыг тааварлаарай

"Өвөө-Тэгш" үлгэр

Равняло хочит өвөө ойн захад овоохойд амьдардаг байжээ. Тэр тоогоор хошигнох дуртай байсан. Өвөө нь өөрийнхөө хоёр талд байгаа тоонуудыг авч, тэмдгүүдээр холбож, хамгийн хурданыг нь хаалтанд хийнэ, гэхдээ нэг хэсэг нь нөгөөтэй тэнцүү байх ёстой. Дараа нь тэр "Х"-ийн маскны доор хэдэн дугаар нууж, ач хүү бяцхан Равнялкагаас үүнийг олохыг хүсэх болно. Равнялка жижигхэн ч гэсэн тэр өөрийн зүйлсийг мэддэг: тэр "X"-ээс бусад бүх тоог нөгөө тал руу хурдан шилжүүлж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөхөө мартахгүй. Тоонууд түүнд дуулгавартай байж, түүний тушаалаар бүх үйлдлийг хурдан гүйцэтгэдэг бөгөөд "X" нь мэдэгддэг. Өвөө нь ач охин нь бүх зүйлийг хэрхэн ухаалаг хийж байгааг хараад баярлаж байна: түүнийг орлох сайн хүн өсч байна.

За, энэ үлгэр юуны тухай вэ?(тэгшитгэлийн тухай)

II . Шугаман тэгшитгэлийн талаар мэддэг бүх зүйлээ санаж, бидний мэддэг материал болон шинэ материалын хооронд параллель зурахыг хичээцгээе.

Бид ямар төрлийн тэгшитгэлийг мэддэг вэ?(нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл)

Нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Нэг хувьсагчийн шугаман тэгшитгэлийн үндэс нь юу вэ?

Нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн бүх шинж чанарыг томъёолъё.

Хүснэгтийн 1 хэсгийг бөглөнө

ax = b, энд x нь хувьсагч, a, b тоонууд.

Жишээ нь: 3x = 6

Тэгшитгэл үнэн болох x-ийн утга

1) нэр томъёог тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлэх, тэдгээрийн тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх.

2) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш, ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваах.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл.

ax + vy = c, энд x, y нь хувьсагч, a, b.c тоонууд.

Жишээ:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6y =68

Тэгшитгэлийг үнэн болгох x, y утгууд.

x=8; у=3 (8;3)

x=60; у = - 4 (60;-4)

1 ба 2-р шинж чанарууд үнэн.

3) эквивалент тэгшитгэл:

x-y=5 ба y=x-5

(8;3) (8;3)

Аналоги дээр үндэслэн хүснэгтийн эхний хэсгийг бөглөсний дараа бид хүснэгтийн хоёр дахь мөрийг бөглөж, улмаар шинэ материалыг сурч эхэлдэг.

III . Сэдэв рүүгээ буцъя:хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл . Сэдвийн гарчиг нь та шинэ хувьсагч, жишээ нь y-г нэвтрүүлэх шаардлагатайг харуулж байна.

Нэг нь нөгөөгөөсөө 5-аар их x ба у хоёр тоо байна.Тэдний хоорондын хамаарлыг хэрхэн бичих вэ? (x – y = 5)Энэ нь хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн тодорхойлолттой адилтган хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн тодорхойлолтыг томъёолъё. (Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юмсүх + by = в , Хаанаа,б Тэгээдв - зарим тоо, баx Тэгээдy - хувьсагч).

Тэгшитгэл x – y= 5, x = 8, y = 3 нь зөв тэгшитгэл болж хувирдаг 8 – 3 = 5. Тэд x = 8, y = 3 хувьсагчийн хос утгыг энэ тэгшитгэлийн шийдэл гэж хэлдэг.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн шийдийн тодорхойлолтыг томъёолох (Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах хувьсагчийн хос утгууд юм)

Хувьсагчийн утгуудын хосыг заримдаа богино бичдэг: (8;3). Ийм тэмдэглэгээнд эхний ээлжинд х утгыг, хоёрдугаарт у утгыг бичнэ.

Ижил шийдэлтэй (эсвэл шийдгүй) хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэлтэй ижил шинж чанартай байдаг.

Хэрэв та тэгшитгэлийн аль нэг гишүүнийг нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилбөл өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарч ирнэ.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор (тэгтэй тэнцүү биш) үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг авна.

Жишээ 1. 10x + 5y = 15 тэгшитгэлийг авч үзье. Тэгшитгэлийн шинж чанарыг ашиглан бид нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлдэг.

Үүнийг хийхийн тулд эхлээд зүүн талаас баруун тийш 10 дахин хөдөлж, тэмдгийг нь өөрчил. Бид 5y = 15 - 10x тэнцүү тэгшитгэлийг авна.

Энэ тэгшитгэлийн хэсэг бүрийг 5-д хуваахад бид тэнцүү тэгшитгэлийг олж авна

y = 3 - 2x. Тиймээс бид нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлсэн. Энэ тэгшитгэлийг ашиглан x-ийн утга бүрийн хувьд y-ийн утгыг тооцоолж болно.

Хэрэв x = 2 бол у = 3 - 2 2 = -1 болно.

Хэрэв x = -2 бол у = 3 - 2· (-2) = 7. Хос тоо (2; -1), (-2; 7) нь энэ тэгшитгэлийн шийд юм. Тиймээс энэ тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Түүхээс.Натурал тоогоор тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудлыг Грекийн алдарт математикч Диофант (III зуун)-ийн бүтээлүүдэд нарийвчлан авч үзсэн. Түүний "Арифметик" зохиол нь олон янзын тэгшитгэлийн натурал тоонуудын ухаалаг шийдлүүдийг агуулдаг. Үүнтэй холбогдуулан натурал буюу бүхэл тоогоор шийдлийг шаарддаг хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийг диофантийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Жишээ 2.Гурилыг 3 кг, 2 кг-аар савласан. 20 кг гурил хийхэд төрөл тус бүрээс хэдэн уут авах ёстой вэ?

Бид 3 кг-ын х уут, 2 кг-ын у уут авах хэрэгтэй гэж бодъё. Дараа нь 3x + 2y = 20. Энэ тэгшитгэлийг хангасан x ба y хувьсагчдын натурал утгуудын бүх хосыг олох шаардлагатай. Бид авах:

2y = 20 - 3x

у =

Энэ тэгшитгэлд x-ийн оронд 1,2,3 гэх мэт бүх тоонуудыг дараалан орлуулснаар х-ийн аль утгууд, у-ийн утгууд натурал тоо болохыг олж мэднэ.

Бид дараахыг авна: (2;7), (4;4), (6;1). Энэ тэгшитгэлийг хангах өөр хос байхгүй. Энэ нь та 2 ба 7, эсвэл 4 ба 4, 6 ба 1 багцын аль нэгийг авах шаардлагатай гэсэн үг юм.

IV . Сурах бичгийн бүтээл (амаар) No1025, No1027 (a)

Ангид тест хийх бие даасан ажил.

1. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл бич.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Хос тоо нь тэгшитгэлийн шийдэл мөн үү?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Шугаман тэгшитгэлээс илэрхийл

4x – 3y = 12 a) x - y b) y - x

4. Тэгшитгэлийн гурван шийдийг ол.

x + y = 27

В . Тиймээс, нэгтгэн дүгнэхэд:

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг тодорхойлно уу.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн шийдэл (язгуур) гэж юу вэ.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн шинж чанарыг хэл.

Дүгнэлт.

Гэрийн даалгавар: 40-р догол мөр, No1028, No1032

Бид ах + b = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлтэй олон удаа таарч байсан бөгөөд a, b нь тоонууд, x нь хувьсагч юм. Жишээ нь bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0 гэх мэт. a, b (тэгшитгэлийн коэффициент) тоо нь a = 0 байхаас бусад тохиолдолд дурын байж болно.

ax + b = 0 тэгшитгэлийг а нь нэг x хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэг (эсвэл нэг үл мэдэгдэх х-тэй шугаман тэгшитгэл). Бид үүнийг шийдэж чадна, өөрөөр хэлбэл х-г a ба b-ээр илэрхийлнэ.

Бид үүнийг нэлээд олон удаа тэмдэглэсэн математик загварбодит нөхцөл байдал нь нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл эсвэл хувиргасны дараа шугаман болж буурдаг тэгшитгэл юм. Одоо энэ бодит байдлыг харцгаая.

500 км зайтай А, В хотуудаас тус бүр өөрийн гэсэн тогтмол хурдтай хоёр галт тэрэг бие бие рүүгээ хөдөлсөн. Эхний галт тэрэг хоёр дахь галт тэрэгнээс 2 цагийн өмнө хөдөлсөн нь мэдэгдэж байна. Хоёр дахь галт тэрэг явснаас хойш 3 цагийн дараа тэд уулзав. Галт тэрэгний хурд хэд вэ?

Бодлогын математик загварыг бүтээцгээе. Эхний галт тэрэгний хурдыг х км/цаг, хоёр дахь галт тэрэгний хурдыг у км/ц гэж үзье. Эхнийх нь зам дээр 5 цаг явсан тул bx км замыг туулсан. Хоёр дахь галт тэрэг 3 цаг явж байсан, өөрөөр хэлбэл. 3 км зайд алхсан.

Тэдний уулзалт С цэгт болсон. Зураг 31-д нөхцөл байдлын геометрийн загварыг харуулав. Алгебрийн хэлээр үүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно.

5х + Зу = 500

эсвэл
5х + Зу - 500 = 0.

Энэхүү математик загварыг x, y хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Бүх,

ax + by + c = 0,

Үүнд: a, b, c нь тоонууд ба , шугаман байна тэгшитгэл x ба y хоёр хувьсагчтай (эсвэл x ба y хоёр үл мэдэгдэх хувьсагчтай).

5x + 3 = 500 тэгшитгэл рүү буцъя. Хэрэв x = 40, y = 100 бол 5 40 + 3 100 = 500 нь зөв тэгшитгэл гэдгийг бид тэмдэглэв. Асуудлын асуултын хариулт нь эхний галт тэрэгний хурд 40 км / цаг, хоёр дахь галт тэрэгний хурд 100 км / цаг байна гэсэн үг юм. x = 40, y = 100 гэсэн хос тоог 5x + 3 = 500 тэгшитгэлийн шийдэл гэж нэрлэдэг. Мөн энэ хос утгууд (x; y) нь 5x + 3 = 500 тэгшитгэлийг хангадаг гэж хэлдэг.

Харамсалтай нь, энэ шийдэл нь цорын ганц биш юм (бид бүгд итгэлтэй, хоёрдмол утгагүй байдалд дуртай). Үнэн хэрэгтээ дараах сонголт бас боломжтой: x = 64, y = 60; үнэхээр 5 64 + 3 60 = 500 бол зөв тэгшитгэл юм. Мөн энэ нь: x = 70, y = 50 (5 70 + 3 50 = 500 бол жинхэнэ тэгш байдал учраас).

Гэхдээ x = 80, y = 60 гэсэн хос тоо нь тэгшитгэлийн шийдэл биш, учир нь эдгээр утгуудын хувьд жинхэнэ тэгш байдал ажиллахгүй:

Ерөнхийдөө ax + by + c = 0 тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ тэгшитгэлийг хангасан, өөрөөр хэлбэл ax + by + c = 0 хувьсагчтай тэгшитгэлийг жинхэнэ тоо болгон хувиргах дурын хос тоо (x; y) юм. тэгш байдал. Ийм шийдлүүд хязгааргүй олон байдаг.

Сэтгэгдэл. Дээр хэлэлцсэн бодлогод олж авсан 5x + 3 = 500 тэгшитгэл рүү дахин нэг удаа буцъя. Үүний төгсгөлгүй тооны шийдлүүдийн дунд жишээлбэл: x = 100, y = 0 (үнэхээр 5 100 + 3 0 = 500 нь зөв тоон тэгшитгэл юм); x = 118, y = - 30 (5,118 + 3 (-30) = 500 нь зөв тооны тэгшитгэл учраас). Гэсэн хэдий ч байх тэгшитгэлийн шийдлүүд, эдгээр хосууд нь энэ асуудлыг шийдэх шийдэл болж чадахгүй, учир нь галт тэрэгний хурд 0-тэй тэнцүү байх боломжгүй (дараа нь тэр хөдөлдөггүй, харин зогсдог); Түүнээс гадна галт тэрэгний хурд сөрөг байж болохгүй (дараа нь асуудлын мэдэгдэлд дурдсанчлан өөр галт тэрэг рүү явахгүй, харин эсрэг чиглэлд).

Жишээ 1. x + y - 3 = 0 гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн шийдийг xOy координатын хавтгайд цэгээр зур.

Шийдэл. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн хэд хэдэн шийд, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг хангах хэд хэдэн хос тоог сонгоцгооё: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5) .

А.В.Погорелов, 7-11-р ангийн геометр, боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг

Хичээлийн агуулга хичээлийн тэмдэглэлдэмжих хүрээ хичээл танилцуулга хурдасгах аргууд интерактив технологи Дасгал хийх даалгавар, дасгал бие даан шалгах семинар, сургалт, кейс, даалгавар бие даалт хэлэлцүүлгийн асуултууд сурагчдын уран илтгэлийн асуулт Зураглал аудио, видео клип, мультимедиагэрэл зураг, зураг, график, хүснэгт, диаграмм, хошигнол, анекдот, хошигнол, хошин шог, сургаалт зүйрлэл, хэллэг, кроссворд, ишлэл Нэмэлтүүд хураангуйнийтлэл, сониуч хүүхдийн ор сурах бичиг, нэр томьёоны үндсэн болон нэмэлт толь бичиг бусад Сурах бичиг, хичээлийг сайжруулахсурах бичгийн алдааг засахсурах бичгийн хэсэг, хичээл дэх инновацийн элементүүдийг шинэчлэх, хуучирсан мэдлэгийг шинэ зүйлээр солих Зөвхөн багш нарт зориулагдсан төгс хичээлүүдоны хуанлийн төлөвлөгөө арга зүйн зөвлөмж, хэлэлцүүлгийн хөтөлбөр Нэгдсэн хичээлүүд

§ 1 Бодит нөхцөл байдалд тэгшитгэлийн язгуурыг сонгох

Энэ бодит байдлыг авч үзье:

Мастер, шавь нар нийлээд 400 ширхэг захиалгаар хийсэн. Түүгээр ч барахгүй мастер 3 хоног, оюутан 2 өдөр ажилласан. Хүн бүр хэдэн хэсэг хийсэн бэ?

Энэ нөхцөл байдлын алгебрийн загварыг бий болгоё. Мастер 1 өдрийн дотор эд ангиудыг үйлдвэрлэе. Мөн оюутан дэлгэрэнгүй мэдээлэл байна. Дараа нь мастер 3 хоногт 3 хэсэг, оюутан 2 өдөрт 2 хэсэг хийнэ. Тэд хамтдаа 3 + 2 хэсгийг үйлдвэрлэх болно. Нөхцөл байдлын дагуу нийт 400 ширхэгийг үйлдвэрлэсэн тул бид тэгшитгэлийг олж авна.

Үүссэн тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энд бид тэгшитгэл нь жинхэнэ тоон тэгшитгэлийн хэлбэрийг авах x ба y хос тоог олох хэрэгтэй. Хэрэв x = 90, y = 65 бол бид тэгшитгэлийг авна гэдгийг анхаарна уу.

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Зөв тоон тэгшитгэлийг олж авсан тул 90 ба 65 гэсэн хос тоо нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болно. Гэхдээ олсон шийдэл нь цорын ганц биш юм. Хэрэв x = 96 ба y = 56 бол бид тэгшитгэлийг авна.

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Энэ нь бас жинхэнэ тоон тэгшитгэл бөгөөд энэ нь 96 ба 56 гэсэн хос тоо нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл гэсэн үг юм. Гэхдээ x = 73 ба у = 23 хос тоо нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болохгүй. Үнэн хэрэгтээ 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 нь буруу тоон тэгшитгэлийг өгөх болно 265 = 400. Хэрэв бид тэгшитгэлийг энэ бодит нөхцөл байдалтай холбон авч үзвэл хос тоонууд байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь асуудлын шийдэл болохгүй. Жишээлбэл, хэд хэдэн тоо:

x = 200 ба y = -100

гэдэг нь тэгшитгэлийн шийдэл боловч оюутан -100 хэсгийг хийж чадахгүй тул ийм хос тоо нь бодлогын асуултын хариулт болж чадахгүй. Тиймээс тодорхой бодит нөхцөл байдал бүрт тэгшитгэлийн үндсийг сонгоход үндэслэлтэй хандах шаардлагатай.

Эхний үр дүнг нэгтгэн дүгнэж үзье:

a, b, c нь дурын тоо байх ax + bу + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн шийдэл нь x ба y-д харгалзах хос тоо бөгөөд тэгшитгэл нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болж хувирдаг.

§ 2 Шугаман тэгшитгэлийн график

(x;y) хосын бичлэг нь биднийг хавтгай дээрх xy y координаттай цэг болгон дүрслэх боломжийн талаар бодоход хүргэдэг. Энэ нь бид тодорхой нөхцөл байдлын геометрийн загварыг олж авах боломжтой гэсэн үг юм. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье:

2х + у - 4 = 0

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл болох хэд хэдэн хос тоог сонгож, олсон координатаар цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр нь оноо байг:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

Бүх цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг гэдгийг анхаарна уу. Энэ шугамыг хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн график гэж нэрлэдэг. Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн график (эсвэл геометрийн) загвар юм.

Хэрэв хос тоо (x;y) нь тэгшитгэлийн шийдэл юм

ax + vy + c = 0, тэгвэл M(x;y) цэг нь тэгшитгэлийн графикт хамаарна. Бид эсрэгээр нь хэлж болно: хэрэв M(x;y) цэг нь ax + y + c = 0 тэгшитгэлийн графикт хамаарах бол (x;y) хос тоо нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Геометрийн хичээлээс бид дараахь зүйлийг мэднэ.

Шулуун шугам барихын тулд 2 цэг хэрэгтэй тул хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн графикийг зурахын тулд зөвхөн 2 хос шийдийг мэдэхэд хангалттай. Гэхдээ үндсийг нь таах нь үргэлж тохиромжтой, оновчтой журам биш юм. Та өөр дүрмийн дагуу ажиллаж болно. Цэгийн абсцисса (х хувьсагч) нь бие даасан хувьсагч тул та түүнд ямар ч тохиромжтой утгыг өгч болно. Энэ тоог тэгшитгэлд орлуулснаар y хувьсагчийн утгыг олно.

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг өгье.

x = 0 гэж үзье, тэгвэл бид 0 - y + 1 = 0 эсвэл y = 1 болно. Энэ нь хэрэв x = 0 бол у = 1 гэсэн үг юм. Хос тоо (0;1) нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл болно. x хувьсагчийн хувьд өөр утгыг тогтооё: x = 2. Дараа нь бид 2 - y + 1 = 0 буюу у = 3 болно. Хос тоо (2;3) нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм. Олдсон хоёр цэгийг ашиглан x - y + 1 = 0 тэгшитгэлийн графикийг аль хэдийн байгуулах боломжтой болсон.

Та үүнийг хийж болно: эхлээд y хувьсагчдад тодорхой утгыг оноож, зөвхөн дараа нь x-ийн утгыг тооцоол.

§ 3 Тэгшитгэлийн систем

Нийлбэр нь 11, зөрүү нь 1 байх хоёр натурал тоог ол.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид эхлээд математик загвар (жишээлбэл, алгебрийн загвар) үүсгэдэг. Эхний тоо нь х, хоёр дахь тоо нь у байна. Дараа нь x + y = 11 тоонуудын нийлбэр ба тоонуудын зөрүү x - y = 1. Хоёр тэгшитгэл нь ижил тоонуудтай харьцдаг тул эдгээр нөхцөлийг нэгэн зэрэг биелүүлэх ёстой. Ихэвчлэн ийм тохиолдолд тусгай тэмдэглэл ашигладаг. Тэгшитгэлүүдийг нэг нэгнийхээ доор бичээд буржгар хаалтаар холбоно.

Ийм бичлэгийг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг.

Одоо тэгшитгэл бүрийн шийдлийн багцыг байгуулъя, жишээлбэл. тэгшитгэл тус бүрийн графикууд. Эхний тэгшитгэлийг авч үзье:

Хэрэв x = 4 бол у = 7. x = 9 бол у = 2.

(4;7) ба (9;2) цэгүүдээр шулуун шугам татъя.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье x - y = 1. Хэрэв x = 5 бол у = 4. Хэрэв x = 7 бол у = 6. Мөн бид (5;4) ба (7;6) цэгүүдээр шулуун шугам татна. ). Бид асуудлын геометрийн загварыг олж авсан. Бидний сонирхож буй хос тоо (x;y) нь хоёр тэгшитгэлийн шийдэл байх ёстой. Зураг дээр бид хоёр шулуун дээр байрлах нэг цэгийг харж байна; энэ нь шугамын огтлолцлын цэг юм.

Түүний координатууд нь (6;5). Тиймээс асуудлын шийдэл нь: эхний шаардлагатай тоо нь 6, хоёр дахь нь 5 байна.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:

1. Мордкович А.Г., Алгебрийн 7-р анги 2 хэсэг, 1-р хэсэг, Ерөнхий боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг / A.G. Мордкович. – 10 дахь хэвлэл, шинэчилсэн найруулга – Москва, “Мнемосине”, 2007 он
2. Мордкович А.Г., Алгебрийн 7-р анги 2 хэсэг, 2-р хэсэг, Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном / [A.G. Мордкович болон бусад]; редакторласан A.G. Мордкович - 10 дахь хэвлэл, шинэчилсэн - Москва, "Мнемосине", 2007
3. ТЭР. Тулчинская, Алгебр 7-р анги. Блиц судалгаа: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан гарын авлага, 4-р хэвлэл, шинэчлэгдсэн, өргөжүүлсэн, Москва, "Мнемосине", 2008 он.
4. Александрова Л.А., Алгебр 7-р анги. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан шинэ хэлбэрийн сэдэвчилсэн тестийн материал, А.Г. Мордкович, Москва, "Мнемосине", 2011 он
5. Александрова Л.А. Алгебр 7-р анги. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан бие даасан бүтээлүүд, А.Г. Мордкович - 6-р хэвлэл, хэвшмэл, Москва, "Мнемосине", 2010 он

Ямар ч сургуулийн хүүхэд бага ангидаа "илүү", "бага", "тэнцүү" гэсэн тэмдгээр дамжин энэ сэдвийг судалж эхэлдэг. Энэ төрлийн тэгш бус байдал, тэгшитгэл нь сургуулийн сурагч, оюутны суралцах бүх хугацааны сургалтын хөтөлбөрийн хамгийн энгийн зүйлүүдийн нэг юм. Ямар ч тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлын шийдэл нь шугаман хэлбэрийг хялбарчлах явдал юм. Шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдал ямар харагддаг вэ?

Ийм тэгшитгэлд үл мэдэгдэх нь нэгдүгээр зэрэгтэй байдаг бөгөөд энэ нь хувьсагчдыг хуваах тэмдгийн (тэгш байдал эсвэл тэгш бус байдал) эсрэг талд байрлуулж тогтмолуудаас энгийн бөгөөд хурдан салгах боломжийг олгодог. Аливаа шугаман тэгшитгэлийг хялбар бөгөөд энгийнээр шийдвэрлэх арга нь ямар харагдах вэ?

3x - 89 = (5x - 32)/2 тэгшитгэл байна гэж бодъё. Хамгийн эхний хийх зүйл бол тэгшитгэлийг бүхэлд нь 2-оор үржүүлэх замаар бутархай хэсгийг хялбарчлах явдал юм. Дараа нь үр дүн нь 6x - 178 = 5x - 32 болно. Үнэндээ энэ нь аль хэдийн шугаман тэгшитгэл юм. Одоо бид бүх хувьсагчдыг зүүн тал руу, тогтмолуудыг баруун тийш шилжүүлэх замаар үүнийг хялбарчлах хэрэгтэй. Үр дүн нь x = 146. Хэрэв хувьсагчийн хүчин зүйл нэгээс их байвал шугаман тэгшитгэлийг бүхэлд нь түүнд хуваах ба энэ тохиолдолд шаардлагатай хариултыг авна.

Тэгш бус байдалд мөн адил хамаарна. Эхлээд та шугаман тэгш бус байдлыг хялбарчилж, дараа нь хувьсагчдыг зүүн тал руу нь, тогтмолуудыг баруун тийш шилжүүлэх хэрэгтэй. Үүний дараа шугаман тэгш бус байдлыг дахин хялбарчилж, хувьсагчийн коэффициент нэгтэй тэнцүү байна. Тэгш бус байдлын хариултыг автоматаар авах бөгөөд үүний дараа үүнийг зөвхөн шаардлагатай хэлбэрээр (тэнхлэг дээрх тэгш бус байдал, интервал эсвэл цоорхой хэлбэрээр) бичих шаардлагатай.

Дээр дурдсанаас харахад шугаман тэгшитгэл, тэгш бус байдал нь бага сургуулийн хүүхдүүдэд ч маш энгийн байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ төрлийн тэгшитгэл нь өөр өөр байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Тэдгээрийн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл гэх мэт төрөл байдаг. Тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Энэ бол нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг үйл явц юм. Сургуульд ийм тохиолдлууд тулгарч эхэлдэг тул хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг илүү төвөгтэй сэдэв гэж ангилж болно.

2x + y = 3x + 17 тэгшитгэл байна гэж үзье. Хамгийн эхний хийх зүйл бол нэг үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг нөгөөгөөр илэрхийлэх явдал юм. Үүнийг маш энгийнээр хийдэг: нэг хувьсагч зүүн тийш, бусад бүх хувьсагч болон тоонууд баруун тийш шилждэг; хоёр хувьсагчтай бүх шугаман тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Үүний үр дүнд та y = x + 17 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авах болно. Хариулт нь энэ функцийг координатын системд зурах замаар илэрхийлэгдэх ба шулуун шугамын хэлбэртэй байна. Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг ингэж шийддэг.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлээс гадна ижил төстэй тэгш бус байдал байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хариулт нь функцийн график байдаг тэгшитгэлээс ялгаатай нь тэгш бус байдал нь хариултыг энэ графикаар хязгаарлагдсан хавтгайд агуулна. Үүнийг анхаарч үзэх нь зүйтэй: хэрэв тэгш бус байдал хатуу байвал график нь хариултанд ороогүй болно!

Одоо та шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар ойлголттой болсон. Хэдийгээр энэ сэдвийг судлахад маш энгийн боловч зарим нарийн ширийн зүйл нь тийм ч тодорхой биш байж болох тул энэ нь хяналтын тестийн таагүй алдаа, эцсийн оноо буурахад хүргэж болзошгүй тул анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Шугаман тэгшитгэл - Энэ бол энгийн, гол зүйл - тэгшитгэлийг бүхэлд нь дурын утгад хуваах, үржүүлэх, функцийн элементүүдийг тэнцүү тэмдгээс цааш шилжүүлэх, графикийг зөв байгуулах, хариултыг зөв бичих зэрэг математикийн шаардлагатай дүрмийг баримтлах.

Шугаман тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг хэрхэн зөв бичиж, шийдвэрлэх талаар мэдэх нь тэгшитгэл, тэгш бус байдлын илүү төвөгтэй төрлийг ойлгоход тусална. Тийм ч учраас энэ сэдвийг маш чухал гэж үздэг - бараг л математикийн тулгын чулуу, учир нь ийм жишээг шийдвэрлэх зарчмууд нь бусад тэгшитгэл, тэгш бус байдал, асуудлуудын арслангийн хувийг шийдвэрлэхэд оршино.