Пи тоог хэн нээсэн бэ? Тооцооллын түүх. "Пи" гэж юу вэ, эсвэл математикчид яаж тангараг өргөдөг вэ? Физик дэх пи-ийн утга

Дэлхий даяар математик сонирхогчид жил бүрийн 3-р сарын 14-нд нэг ширхэг бялуу иддэг - энэ бол хамгийн алдартай иррационал тоо болох Пигийн өдөр юм. Энэ огноо нь эхний орон нь 3.14 гэсэн тоотой шууд холбоотой. Пи нь тойргийн тойргийн диаметрийг түүний тойргийн харьцаа юм. Нэгэнт үндэслэлгүй учраас бутархай хэлбэрээр бичих боломжгүй. Энэ бол хязгааргүй урт тоо юм. Энэ нь олон мянган жилийн өмнө нээгдсэн бөгөөд тэр цагаас хойш тасралтгүй судалж ирсэн боловч Пид ямар нэгэн нууц хэвээр байна уу? Эртний гарал үүслээс эхлээд тодорхойгүй ирээдүй хүртэл Пигийн тухай хамгийн сонирхолтой баримтуудыг энд оруулав.

Пи цээжлэх

Аравтын бутархай тоог цээжлэх дээд амжилт нь 70,000 цифрийг санаж чадсан Энэтхэгийн Ражвир Минагийнх бөгөөд тэрээр 2015 оны 3-р сарын 21-нд дээд амжилт тогтоожээ. Өмнө нь 67,890 цифрийг санаж чадсан Хятадын Чао Лу дээд амжилтыг 2005 онд тогтоож байжээ. Албан бус рекорд эзэмшигч нь 2005 онд 100,000 цифрийг давтаж видео бичлэг хийж, 117,000 цифрийг санаж чадсан бичлэгээ саяхан нийтэлсэн Акира Харагучи юм. Энэ бичлэгийг Гиннесийн амжилтын номны төлөөлөгчийн дэргэд бичсэн тохиолдолд л энэ бичлэг албан ёсны болох бөгөөд баталгаагүйгээр энэ нь зөвхөн гайхалтай баримт хэвээр байгаа боловч ололт гэж тооцогддоггүй. Математик сонирхогчид Пи тоог цээжлэх дуртай. Олон хүмүүс янз бүрийн мнемоник аргуудыг ашигладаг, жишээ нь яруу найраг, үг бүрийн үсгийн тоо нь Пи-ийн цифртэй таарч байдаг. Хэл бүр эхний хэдэн тоо болон бүхэл бүтэн зууг хоёуланг нь санахад тусалдаг ижил төстэй хэллэгүүдийн өөрийн гэсэн хувилбартай байдаг.

Пи хэл байдаг

Утга зохиолд дуртай математикчид бүх үгийн үсгийн тоо нь Пи-ийн цифртэй яг дарааллаар тохирдог аялгууг зохион бүтээжээ. Зохиолч Майк Кэйт тэр ч байтугай "No a Wake" ном бичсэн нь бүхэлдээ Пи хэл дээр бичигдсэн байдаг. Ийм бүтээлч сэтгэлгээтэй хүмүүс өөрсдийн бүтээлээ үсгийн тоо, тооны утгад бүрэн нийцүүлэн бичдэг. Энэ нь практик хэрэглээгүй боловч урам зоригтой эрдэмтдийн хүрээлэлд нэлээд түгээмэл бөгөөд алдартай үзэгдэл юм.

Экспоненциал өсөлт

Пи бол хязгааргүй тоо тул хүмүүс хэзээ ч энэ тооны яг тодорхой цифрийг тогтоож чадахгүй. Гэсэн хэдий ч аравтын бутархайн тоо Пи-г анх хэрэглэж эхэлснээс хойш маш их өссөн. Вавилончууд үүнийг бас ашигладаг байсан боловч гурван бүтэн ба наймны нэг нь тэдэнд хангалттай байв. Хятадууд болон Хуучин Гэрээг бүтээгчид гурваар бүрэн хязгаарлагдмал байв. 1665 он гэхэд сэр Исаак Ньютон Пигийн 16 оронтой тоог тооцоолжээ. 1719 он гэхэд Францын математикч Том Фанте де Лагни 127 оронтой тоог тооцоолжээ. Компьютер гарч ирснээр хүний ​​Пи-ийн талаарх мэдлэг эрс сайжирсан. 1949-1967 онд хүний ​​мэддэг цифрүүдийн тоо 2,037-оос 500,000 болтлоо огцом өсчээ.Төд удалгүй Швейцарийн эрдэмтэн Питер Труеб Пи-ийн 2,24 их наяд оронтой тоог тооцоолж чаджээ! 105 хоног зарцуулсан. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол хязгаар биш юм. Технологийн хөгжлийг дагаад илүү нарийвчлалтай тоо тогтоох боломжтой байх магадлалтай - Пи нь хязгааргүй тул нарийвчлалд хязгаар байхгүй бөгөөд зөвхөн компьютерийн технологийн техникийн шинж чанарууд үүнийг хязгаарлаж чадна.

Пи-г гараар тооцоолох

Хэрэв та дугаарыг өөрөө олохыг хүсвэл хуучин хэв маягийг ашиглаж болно - танд захирагч, ваар, утас хэрэгтэй болно, эсвэл протектор, харандаа ашиглаж болно. Лаазыг ашиглахын сул тал нь дугуй хэлбэртэй байх шаардлагатай бөгөөд тухайн хүн олсоор хэр сайн ороож чадахаас нарийвчлал тодорхойлогдоно. Та протектороор тойрог зурж болно, гэхдээ тэгш бус тойрог нь таны хэмжилтийг ноцтойгоор гажуудуулж болзошгүй тул энэ нь бас ур чадвар, нарийвчлал шаарддаг. Илүү нарийвчлалтай арга нь геометрийг ашиглах явдал юм. Тойргийг пицца шиг олон хэсэг болгон хувааж, дараа нь сегмент бүрийг ижил өнцөгт гурвалжин болгон хувиргах шулуун шугамын уртыг тооцоол. Талуудын нийлбэр нь ойролцоогоор Pi тоог өгнө. Илүү олон сегмент ашиглах тусам тоо нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Мэдээжийн хэрэг, та тооцоололдоо компьютерын үр дүнд ойртох боломжгүй, гэхдээ эдгээр энгийн туршилтууд нь Pi тоо гэж юу болох, математикт хэрхэн ашиглагддагийг илүү нарийвчлан ойлгох боломжийг олгодог.

Пигийн нээлт

Эртний Вавилончууд Пи тоог дөрвөн мянган жилийн өмнө мэддэг байсан. Вавилоны шахмалууд Pi-г 3.125 гэж тооцдог бөгөөд Египетийн математикийн папирус нь 3.1605 гэсэн тоог харуулжээ. Библид Пи-г хуучирсан тохой уртаар өгсөн бөгөөд Грекийн математикч Архимед Пифагорын теоремыг гурвалжны талуудын урт ба тойргийн доторх болон гаднах дүрсүүдийн талбайн хоорондох геометрийн хамаарлыг ашигласан. Пи-г дүрслэх. Тиймээс, энэ тооны яг нэр нь харьцангуй саяхан гарч ирсэн ч Пи бол хамгийн эртний математик ойлголтуудын нэг гэж бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Pi-ийн шинэ дүр төрх

Пи тоог тойрогтой холбож эхлэхээс өмнө математикчдад энэ тоог нэрлэх олон арга бий. Жишээлбэл, эртний математикийн сурах бичгүүдээс "диаметрийг үржүүлэхэд уртыг харуулах хэмжигдэхүүн" гэж ойролцоогоор орчуулж болох латин хэл дээрх хэллэгийг олж болно. Швейцарийн эрдэмтэн Леонхард Эйлер 1737 онд тригонометрийн ажилд үүнийг ашигласнаар иррационал тоо алдартай болсон. Гэсэн хэдий ч Грекийн Пи гэсэн тэмдэгийг ашиглаагүй хэвээр байгаа бөгөөд энэ нь зөвхөн бага нэртэй математикч Уильям Жонсын номонд тохиолдсон юм. Тэр үүнийг аль хэдийн 1706 онд ашигласан боловч удаан хугацааны туршид анзаарагдахгүй байв. Цаг хугацаа өнгөрөхөд эрдэмтэд энэ нэрийг хүлээн авсан бөгөөд одоо энэ нь нэрний хамгийн алдартай хувилбар юм, гэхдээ өмнө нь үүнийг Людольфын тоо гэж нэрлэдэг байсан.

Пи хэвийн тоо мөн үү?

Пи бол үнэхээр хачирхалтай тоо, гэхдээ энэ нь ердийн математик хуулиудыг хэр дагаж мөрддөг вэ? Эрдэмтэд энэхүү зохисгүй тоотой холбоотой олон асуултыг аль хэдийн шийдсэн боловч зарим нууц хэвээр байна. Жишээлбэл, бүх тоог хэр олон удаа ашигладаг нь тодорхойгүй байна - 0-ээс 9 хүртэлх тоог тэнцүү хэмжээгээр ашиглах ёстой. Гэсэн хэдий ч статистикийг эхний триллион оронтой тооноос харж болно, гэхдээ энэ тоо нь хязгааргүй учраас баттай юу ч батлах боломжгүй юм. Эрдэмтдийн анхаарлыг татахгүй хэвээр байгаа өөр бусад асуудлууд бий. Шинжлэх ухааны цаашдын хөгжил нь тэднийг гэрэлтүүлэхэд тустай байж болох ч одоогоор энэ нь хүний ​​оюун ухааны цар хүрээнээс гадуур хэвээр байна.

Пи нь бурханлаг сонсогдож байна

Эрдэмтэд Пи тооны талаарх зарим асуултад хариулж чадахгүй байгаа ч жил бүр тэд түүний мөн чанарыг илүү сайн ойлгодог. 18-р зуунд энэ тооны үндэслэлгүй байдал нотлогдсон. Үүнээс гадна энэ тоо трансцендент болох нь батлагдсан. Энэ нь оновчтой тоо ашиглан Pi-г тооцоолох тусгай томъёо байхгүй гэсэн үг юм.

Пи тоонд сэтгэл дундуур байна

Олон математикчид зүгээр л Пи-д дурладаг ч эдгээр тоо нь тийм ч чухал биш гэж үздэг хүмүүс бас байдаг. Үүнээс гадна тэд Pi-ээс хоёр дахин том Tau-г иррационал тоо болгон ашиглахад илүү тохиромжтой гэж тэд баталж байна. Тау нь тойрог ба радиусын хоорондын хамаарлыг харуулдаг бөгөөд зарим нь үүнийг илүү логик тооцооллын арга гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч энэ асуудалд ямар нэг зүйлийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлох боломжгүй бөгөөд нэг болон нөгөө тоо нь үргэлж дэмжигчидтэй байх болно, хоёр арга хоёулаа амьд явах эрхтэй тул энэ бол зүгээр л сонирхолтой баримт бөгөөд үүнийг хийх ёсгүй гэж бодох шалтгаан биш юм. Pi тоог ашигла.

Геологи-минералогийн шинжлэх ухааны доктор, физик-математикийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч Б.ГОРОБЕЦ.

y = arcsin x, урвуу функц y = sin x функцуудын графикууд

y = arctan x функцийн график, y = tan x функцийн урвуу.

Хэвийн тархалтын функц (Гауссын тархалт). Графикийн хамгийн их хэмжээ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утгатай тохирч байна (жишээлбэл, захирагчаар хэмжсэн объектын урт), муруйг "тархах" зэрэг нь a ба sigma параметрүүдээс хамаарна.

Эртний Вавилоны тахилч нар нарны диск нь үүр цайхаас нар жаргах хүртэл тэнгэрт 180 удаа багтдаг гэж тооцоолж, шинэ хэмжилтийн нэгжийг нэвтрүүлсэн - түүний өнцгийн хэмжээтэй тэнцэх хэмжүүр.

Байгалийн тогтоц болох элсэн манхан, толгод, уулсын хэмжээ алхам тутамд дунджаар 3.14 дахин нэмэгддэг.

Шинжлэх ухаан ба амьдрал // Зураг

Шинжлэх ухаан ба амьдрал // Зураг

Үрэлт, эсэргүүцэлгүйгээр дүүжин савлуур нь тогтмол хэлбэлзлийн далайцыг хадгалж байдаг. Эсэргүүцлийн харагдах байдал нь хэлбэлзлийн экспоненциал сулралд хүргэдэг.

Маш наалдамхай орчинд хазайсан дүүжин тэнцвэрийн байрлал руугаа экспоненциал хурдтайгаар хөдөлдөг.

Нарсны боргоцой, олон нялцгай биетний хясааны буржгарууд нь логарифмын спираль хэлбэрээр байрладаг.

Шинжлэх ухаан ба амьдрал // Зураг

Шинжлэх ухаан ба амьдрал // Зураг

Логарифмын спираль нь О цэгээс гарч буй бүх цацрагийг ижил өнцгөөр огтолдог.

Магадгүй, ямар ч өргөдөл гаргагч эсвэл оюутнуудаас тоо болон e гэж юу болохыг асуухад: - энэ нь тойргийн диаметрийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү тоо бөгөөд e нь натурал логарифмын суурь юм. Хэрэв эдгээр тоог илүү нарийн тодорхойлж, тооцоолохыг хүсвэл оюутнууд дараах томъёог өгнө.

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2.7183…

(n факториал гэдгийг санаарай! =1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(Ньютоны цуврал бол сүүлчийнх, бусад цувралууд бий).

Энэ бүхэн үнэн боловч математик, физик, хими, биологи, эдийн засагт ч тоо, е нь олон томъёонд багтсан байдаг. Энэ нь тэдгээр нь байгалийн зарим ерөнхий хуулийг тусгасан гэсэн үг юм. Яг аль нь вэ? Цувралаар дамжуулан эдгээр тоонуудын тодорхойлолт нь зөв, хатуу байсан ч сэтгэл хангалуун бус мэдрэмжийг үлдээсээр байна. Эдгээр нь хийсвэр бөгөөд өдөр тутмын туршлагаар дамжуулан тухайн тоонуудын гадаад ертөнцтэй холбоог илэрхийлдэггүй. Боловсролын уран зохиолд тавьсан асуултын хариултыг олох боломжгүй байна.

Үүний зэрэгцээ e тогтмол нь орон зай, цаг хугацааны нэгэн төрлийн байдал, орон зайн изотропитой шууд холбоотой гэж маргаж болно. Тиймээс тэдгээр нь хадгалалтын хуулиудыг тусгадаг: е тоо - энерги ба импульс (момент), тоо нь момент (момент). Ихэвчлэн ийм гэнэтийн мэдэгдэл нь гайхшралыг төрүүлдэг боловч үндсэндээ онолын физикийн үүднээс авч үзвэл тэдэнд шинэ зүйл байдаггүй. Эдгээр дэлхийн тогтмолуудын гүн гүнзгий утга нь сургуулийн сурагчид, оюутнууд, тэр байтугай байгалийн шинжлэх ухаан, эдийн засгийн бусад салбарыг дурдахгүй байхын тулд математик, ерөнхий физикийн ихэнх багш нарын хувьд нууц хэвээр үлддэг.

Их сургуулийн эхний жилд оюутнууд жишээлбэл, 1/(x 2 +1) төрлийн функцууд болон арксинусын төрлийн дугуй тригонометрийн функцүүдийг нэгтгэх үед арктангенс яагаад гарч ирдэг вэ гэсэн асуултад гайхаж болно. тойргийн нумын талаар? Өөрөөр хэлбэл, интеграцчлалын үед тойрогууд хаанаас "гарч ирдэг" бөгөөд урвуу үйл ажиллагааны үед - арктангенс ба арксиныг ялгах үед хаана алга болдог вэ? Ялгаварлах, нэгтгэх харгалзах томъёог гарган авах нь өөрөө тавьсан асуултанд хариулах магадлал багатай юм.

Цаашилбал, их сургуулийн хоёр дахь жилдээ магадлалын онолыг судлахдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хуулийн томъёонд тоо гарч ирдэг ("Шинжлэх ухаан ба амьдрал" 1995 оны 2-р дугаарыг үзнэ үү); Үүнээс та жишээлбэл, 100 шидэлтээр зоос хэдэн ч удаа сүлд дээр унах магадлалыг тооцоолж болно. Энд байгаа тойрог хаана байна? Зоосны хэлбэр үнэхээр чухал уу? Үгүй ээ, магадлалын томъёо нь дөрвөлжин зоосны хувьд ижил байна. Үнэндээ эдгээр нь тийм ч амар асуулт биш юм.

Гэхдээ e тооны мөн чанарыг хими, материал судлалын оюутнууд, биологич, эдийн засагчдад илүү гүнзгий мэдэхэд тустай. Энэ нь цацраг идэвхт элементүүдийн задралын кинетик, уусмалын ханалт, материалын элэгдэл, эвдрэл, микробын тархалт, мэдрэхүйд үзүүлэх дохионы нөлөө, хөрөнгийн хуримтлалын үйл явц гэх мэтийг ойлгоход тусална. амьд ба амьгүй байгаль, хүний ​​үйл ажиллагаа.

Орон зайн тоо ба бөмбөрцөг тэгш хэм

Эхлээд бид эхний үндсэн диссертацийг томъёолж, дараа нь түүний утга, үр дагаврыг тайлбарлана.

1. Энэ тоо нь манай Орчлон ертөнцийн хоосон орон зайн шинж чанаруудын изотропи, тэдгээрийн аль ч чиглэлд ижил төстэй байдлыг илэрхийлдэг. Эргэлтийн хүчийг хадгалах хууль нь орон зайн изотроптой холбоотой байдаг.

Энэ нь ахлах сургуульд суралцдаг сайн мэддэг үр дагаварт хүргэдэг.

Дүгнэлт 1. Тойргийн нумын урт нь түүний радиус таарч байгаа нь байгалийн нум ба өнцгийн нэгж юм радиан.

Энэ нэгж нь хэмжээсгүй юм. Тойргийн нуман дахь радианы тоог олохын тулд түүний уртыг хэмжиж, энэ тойргийн радиусын уртад хуваах хэрэгтэй. Бидний мэдэж байгаагаар аливаа бүтэн тойргийн дагуу түүний радиус нь ойролцоогоор 6.28 дахин их байдаг. Илүү нарийвчлалтайгаар тойргийн бүтэн нумын урт нь 2 радиан, ямар ч тооны систем, уртын нэгжид байдаг. Дугуйг зохион бүтээхэд Америкийн индианчууд, Азийн нүүдэлчид, Африкийн хар арьстнуудын дунд ийм байсан. Зөвхөн нумын хэмжилтийн нэгжүүд өөр, уламжлалт байсан. Тиймээс бидний өнцөг болон нумын градусыг Вавилоны тахилч нар нэвтрүүлсэн бөгөөд тэд бараг оргилд байрладаг нарны диск нь үүр цайхаас нар жаргах хүртэл тэнгэрт 180 удаа багтдаг гэж үздэг. 1 градус нь 0.0175 рад буюу 1 рад нь 57.3° байна. Таамагласан харь гаригийн соёл иргэншлүүд тойрог нь "сүүлтэй" зургаан хэсэгт хуваагдсан мессежийг солилцох замаар бие биенээ амархан ойлгодог гэж маргаж болно; Энэ нь "хэлэлцээрийн түнш" нь ядаж дугуйг дахин зохион бүтээх шатыг аль хэдийн давж, тоо нь юу болохыг мэддэг гэсэн үг юм.

Дүгнэлт 2.Тригонометрийн функцүүдийн зорилго нь объектын нум ба шугаман хэмжээсүүд, түүнчлэн бөмбөрцөг тэгш хэмтэй орон зайд явагдаж буй үйл явцын орон зайн параметрүүдийн хоорондын хамаарлыг илэрхийлэх явдал юм.

Дээрхээс харахад тригонометрийн функцүүдийн аргументууд нь зарчмын хувьд бусад төрлийн функцүүдийн нэгэн адил хэмжээсгүй байдаг. Эдгээр нь бодит тоонууд юм - тооны тэнхлэг дээрх градусын тэмдэглэгээ шаардлагагүй цэгүүд.

Туршлагаас харахад сургуулийн сурагчид, коллеж, их сургуулийн оюутнууд синус, тангенс гэх мэт хэмжээсгүй аргументуудад дасахад бэрхшээлтэй байдаг. Өргөдөл гаргагч бүр ямар cos1 (ойролцоогоор 0.5) эсвэл arctg / 3 гэсэн тооцоолуургүйгээр асуултанд хариулж чадахгүй. Сүүлийн жишээ нь ялангуяа будлиантай юм. Энэ нь "арктангенс нь 60 o" гэсэн утгагүй зүйл гэж ихэвчлэн хэлдэг. Хэрэв бид үүнийг яг хэлэх юм бол алдаа нь функцийн аргумент дээр зэрэглэлийн хэмжүүрийг зөвшөөрөлгүй хэрэглэхэд байх болно. Зөв хариулт нь: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Харамсалтай нь, өргөдөл гаргагчид болон оюутнууд ихэвчлэн = 180 0 гэж хэлдэг бөгөөд үүний дараа тэдгээрийг засах шаардлагатай байдаг: аравтын тооллын системд = 3.14 .... Гэхдээ мэдээжийн хэрэг бид радианыг 180 0-тэй тэнцүү гэж хэлж болно.

Магадлалын онолд тохиолдсон өөр нэг чухал бус нөхцөл байдлыг авч үзье. Энэ нь санамсаргүй алдаа (эсвэл магадлалын тархалтын ердийн хууль) магадлалын чухал томьёотой холбоотой бөгөөд үүнд тоо орно. Энэ томьёог ашиглан та жишээлбэл, 100 шидэлтээр төрийн сүлдэнд зоос унах магадлалыг 50 удаа тооцоолж болно. Тэгвэл доторх дугаар хаанаас ирсэн бэ? Эцсийн эцэст тэнд ямар ч тойрог, тойрог харагдахгүй байх шиг байна. Гэхдээ гол зүйл бол зоос нь бөмбөрцөг тэгш хэмтэй орон зайд санамсаргүй байдлаар унадаг бөгөөд түүний бүх чиглэлд санамсаргүй хэлбэлзлийг ижил хэмжээгээр харгалзан үзэх ёстой. Математикчид үүнийг тойрог дээр нэгтгэж, тодорхой магадлалын томъёонд багтсан Пуассоны интеграл гэж тооцдог. Ийм хэлбэлзлийн тод жишээ бол байнгын нөхцөлд бай руу буудах жишээ юм. Зорилтот дээрх нүхнүүд нь байны төвийн ойролцоо хамгийн өндөр нягтралтай тойрог (!) хэлбэрээр тархсан бөгөөд цохилтын магадлалыг тоо агуулсан ижил томъёог ашиглан тооцоолж болно.

Байгалийн бүтцэд тоо оролцдог уу?

Шалтгаан нь тодорхойгүй, гэхдээ бас тоо томшгүй байсан үзэгдлүүдийг ойлгохыг хичээцгээе.

Дотоодын газарзүйч В.В.Пиотровский байгалийн рельефийн дундаж шинж чанарыг дараах цувралаар харьцуулсан: гүехэн, манхан, толгод, Кавказ, Гималайн уулын систем гэх мэт. Хэмжээний дундаж өсөлт нь 3.14 байна. Сар, Ангараг гарагийн топографид үүнтэй төстэй зүй тогтол саяхан илэрсэн бололтой. Пиотровский бичжээ: "Дэлхийн царцдас дээр үүсдэг, түүний гадаргуу дээр рельеф хэлбэрээр илэрхийлэгддэг тектоник бүтцийн хэлбэрүүд нь дэлхийн бие махбодид тохиолддог зарим ерөнхий үйл явцын үр дүнд үүсдэг; тэдгээр нь дэлхийн хэмжээтэй пропорциональ байдаг. .” Тодруулъя - тэдгээр нь түүний шугаман ба нумын хэмжээсийн харьцаатай пропорциональ байна.

Эдгээр үзэгдлийн үндэс нь санамсаргүй цувралын максимумын тархалтын хууль буюу 1927 онд Е.Е.Слуцкийн боловсруулсан "гурвалсан хууль" байж болно.

Статистикийн дагуу гурвын хуулийн дагуу эртний Грекчүүд мэддэг байсан далайн эргийн давалгаа үүсдэг. Гурав дахь давалгаа бүр хөршөөсөө дунджаар арай өндөр байдаг. Эдгээр гурав дахь максимуудын цувралд гурав дахь нь эргээд хөршөөсөө өндөр байдаг. Алдарт есдүгээр давалгаа ингэж бүрэлдэж байна. Тэр бол "хоёрдугаар зэрэглэлийн үе"-ийн оргил юм. Зарим эрдэмтэд гурван ихрийн хуулийн дагуу нар, сүүлт од, солирын идэвхжилийн хэлбэлзэл бас тохиолддог гэж үздэг. Тэдний максимум хоорондын зай есөн арван хоёр жил буюу ойролцоогоор 3 2 байна. Биологийн шинжлэх ухааны доктор Г.Розенбергийн хэлснээр бид цаг хугацааны дарааллыг дараах байдлаар үргэлжлүүлэн байгуулж болно. Гуравдугаар зэрэглэлийн 3 3-ийн хугацаа нь 27-36 жил дунджаар хүчтэй гангийн хоорондох завсартай тохирч байна; үе 3 4 - иргэний нарны идэвхжилийн мөчлөг (81-108 жил); үе 3 5 - мөстлөгийн мөчлөг (243-324 жил). Хэрэв бид "цэвэр" гурвалсан хуулиас татгалзаж, тооны хүчинд шилжих юм бол давхцал бүр ч сайхан болно. Дашрамд хэлэхэд тэдгээрийг тооцоолоход маш хялбар байдаг, учир нь 2 нь бараг 10-тай тэнцүү байдаг (Энэтхэгт нэг удаа энэ тоог 10-ын үндэс гэж тодорхойлдог байсан). Та геологийн эрин үе, үе, эрин үеүүдийн мөчлөгийг бүхэлд нь гурвын хүчинд (энэ нь Г. Розенберг, тухайлбал, "Эврика-88", 1988 оны цуглуулгад) эсвэл 3.14 тоогоор тохируулж болно. Мөн та янз бүрийн нарийвчлалтайгаар хүслийг үргэлж авч болно. (Тохируулгатай холбогдуулан математикийн онигоо санаанд орж байна. Сондгой тоо анхны тоо гэдгийг баталъя. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 гэх мэтийг ав, энд 9 бол туршилтын алдаа юм. .) Гэсэн хэдий ч геологи, биологийн олон үзэгдлүүдэд p тоо тодорхойгүй үүрэг гүйцэтгэдэг гэсэн санаа нь бүхэлдээ хоосон биш юм шиг санагдаж магадгүй бөгөөд магадгүй энэ нь ирээдүйд илэрч магадгүй юм.

e тоо ба цаг хугацаа орон зайн нэгэн төрлийн байдал

Одоо дэлхийн хоёр дахь том тогтмол болох e тоо руу орцгооё.Дээр өгөгдсөн цувааг ашиглан е тоог математикийн хувьд өө сэвгүй тодорхойлох нь үндсэндээ физикийн болон байгалийн бусад үзэгдэлтэй ямар ч холбоог тодруулж чадахгүй. Энэ асуудалд хэрхэн хандах вэ? Асуулт амаргүй байна. Магадгүй вакуум дахь цахилгаан соронзон долгионы тархалтын стандарт үзэгдлээс эхэлцгээе. (Түүнээс гадна бид вакуумыг сонгодог хоосон орон зай гэж ойлгох болно, физик вакуумын хамгийн нарийн төвөгтэй шинж чанарыг хөндөхгүйгээр.)

Цаг хугацааны тасралтгүй долгионыг синусын долгион эсвэл синус ба косинусын долгионы нийлбэрээр тодорхойлж болохыг хүн бүр мэддэг. Математик, физик, цахилгаан инженерчлэлд ийм долгионыг (1-тэй тэнцүү далайцтай) e iβt =cos βt + isin βt гэсэн экспоненциал функцээр тодорхойлдог бөгөөд β нь гармоник хэлбэлзлийн давтамж юм. Хамгийн алдартай математикийн томъёонуудын нэг нь Эйлерийн томъёог энд бичсэн болно. Агуу Леонхард Эйлер (1707-1783)-ийн хүндэтгэлд зориулж е тоог түүний овгийн эхний үсгээр нэрлэжээ.

Энэ томъёог оюутнууд сайн мэддэг боловч математикийн бус сургуулийн сурагчдад тайлбарлах шаардлагатай байдаг, учир нь бидний үед нийлмэл тоо нь ердийн сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс хасагдсан байдаг. Цогцолбор тоо z = x+iy нь бодит тоо (x) ба төсөөллийн тоо гэсэн хоёр гишүүнээс бүрдэх бөгөөд энэ нь бодит тоо y-г төсөөллийн нэгжээр үржүүлдэг. Бодит тоог O x тэнхлэгийн дагуу, төсөөллийг O y тэнхлэгийн дагуу ижил масштабаар тоолох ба түүний нэгж нь i, энэ нэгжийн сегментийн урт нь модуль | би | =1. Иймд комплекс тоо нь координаттай (х, у) хавтгай дээрх цэгтэй тохирч байна. Тиймээс зөвхөн төсөөллийн i нэгжийг агуулсан илтгэгчтэй e тооны ер бусын хэлбэр нь косинус ба синус долгионоор дүрсэлсэн зөвхөн унтрахгүй хэлбэлзэл байгааг илтгэнэ.

Унтрагаагүй долгион нь вакуум дахь цахилгаан соронзон долгионы энерги хадгалагдах хуулийг дагаж мөрдөж байгааг харуулж байгаа нь тодорхой юм. Энэ байдал нь долгионы энергийг алдагдуулахгүйгээр орчинтой "уян" харилцан үйлчлэх үед үүсдэг. Албан ёсоор үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: хэрэв та лавлагаа цэгийг цаг хугацааны тэнхлэгийн дагуу хөдөлгөвөл долгионы энерги хадгалагдах болно, учир нь гармоник долгион нь ижил далайц, давтамжийг, өөрөөр хэлбэл энергийн нэгжийг хадгалах бөгөөд зөвхөн түүний үе шат буюу шинэ лавлах цэгээс алслагдсан хугацааны хэсэг өөрчлөгдөнө. Гэхдээ лавлагаа цэгийг шилжүүлэхэд цаг хугацаа жигд байдаг тул фаз нь энергид яг нөлөөлдөггүй. Тиймээс координатын системийн зэрэгцээ шилжих нь (үүнийг орчуулга гэж нэрлэдэг) t цаг хугацааны нэгэн төрлийн байдлаас шалтгаалан хууль ёсны юм. Одоо цаг хугацааны хувьд нэгэн төрлийн байх нь яагаад энерги хадгалагдах хууль руу хөтөлдөг нь зарчмын хувьд тодорхой болсон байх.

Дараа нь долгионыг цаг хугацааны хувьд биш, харин орон зайд төсөөлье. Үүний тод жишээ бол тогтсон долгион (хэд хэдэн зангилааны хөдөлгөөнгүй утасны хэлбэлзэл) эсвэл эргийн элсний долгион юм. Математикийн хувьд O x тэнхлэгийн дагуух энэ долгионыг e ix = cos x + isin x гэж бичнэ. Энэ тохиолдолд х-ийн дагуух хөрвүүлэлт нь энэ тэнхлэгийн дагуу орон зай нь нэгэн төрлийн байвал косинус эсвэл синусоид өөрчлөгдөхгүй нь тодорхой байна. Дахин хэлэхэд зөвхөн тэдний үе шат өөрчлөгдөх болно. Сансар огторгуйн нэгэн төрлийн байдал нь импульс (момент) хадгалагдах хууль, өөрөөр хэлбэл массыг хурдаар үржүүлэхэд хүргэдэг гэдгийг онолын физикээс мэддэг. Одоо орон зай цаг хугацааны хувьд нэгэн төрлийн (мөн энерги хадгалагдах хууль хангагдсан), харин координатын хувьд нэгэн төрлийн бус байцгаая. Дараа нь нэг төрлийн бус орон зайн өөр өөр цэгүүдэд хурд нь бас өөр байх болно, учир нь нэг төрлийн цаг тутамд өгөгдсөн масстай бөөмс (эсвэл долгионы) секундэд бүрхсэн сегментүүдийн уртын өөр өөр утгууд байх болно. өгөгдсөн импульс).

Тиймээс бид хоёр дахь үндсэн диссертацийг томъёолж болно:

2. Цогц хувьсагчийн функцийн үндэс болох e тоо нь энерги - цаг хугацааны нэгэн төрлийн, импульс - орон зайн нэгэн төрлийн байдлаар хадгалагдах үндсэн хоёр хуулийг тусгадаг.

Гэсэн хэдий ч яагаад Эйлерийн томьёонд өөр биш харин яг e тоо багтаж, долгионы функцийн суурь болж хувирав? Сургуулийн математик, физикийн хичээлийн хүрээнд байх нь энэ асуултад хариулахад амаргүй. Зохиогч энэ асуудлын талаар онолч, физик-математикийн шинжлэх ухааны доктор В.Д.Эфростой ярилцсан бөгөөд бид нөхцөл байдлыг дараах байдлаар тайлбарлахыг оролдсон.

Процессын хамгийн чухал анги болох шугаман ба шугаман процессууд нь орон зай, цаг хугацааны нэгэн төрлийн байдлаас шалтгаалан шугаман байдлаа яг таг хадгалдаг. Математикийн хувьд шугаман процессыг тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн шийд болж өгдөг функцээр дүрсэлдэг (энэ төрлийн тэгшитгэлийг их, дээд сургууль, коллежийн нэг, хоёрдугаар курст судалдаг). Үүний гол цөм нь дээрх Эйлерийн томъёо юм. Тэгэхээр шийдэл нь долгионы тэгшитгэлтэй адил e суурьтай цогц функцийг агуулна. Түүгээр ч барахгүй, энэ нь е бөгөөд градусын суурь дахь өөр тоо биш! Учир нь зөвхөн ex функц нь хэдэн ч ялгаа, интегралчлалд өөрчлөгддөггүй. Тиймээс анхны тэгшитгэлд орлуулсны дараа зөвхөн e суурьтай шийдэл нь ижил төстэй байдлыг өгөх болно, учир нь зөв шийдэл байх ёстой.

Гармоник долгионы орчин дахь тархалтыг тодорхойлсон тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг үүнтэй харьцах уян хатан бус харилцан үйлчлэлийг харгалзан, энергийг сарниулах эсвэл гадаад эх үүсвэрээс эрчим хүч авахад хүргэдэг шийдлийг бичье.

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

Эйлерийн томьёог бодит хувьсагч e αt-аар үржүүлж байгааг бид харж байна, энэ нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөх долгионы далайц юм. Дээр, энгийн байх үүднээс бид үүнийг тогтмол ба 1-тэй тэнцүү гэж үзсэн. Үүнийг α = 0-тэй саармагжуулаагүй гармоник хэлбэлзлийн үед хийж болно. Аливаа долгионы ерөнхий тохиолдолд далайцын төлөв нь тэмдгээс хамаарна. t хувьсагчтай a коэффициентийн (хугацаа): хэрэв α > 0 бол α бол хэлбэлзлийн далайц нэмэгдэнэ.< 0, затухает по экспоненте.

Магадгүй сүүлийн догол мөр нь олон энгийн сургуулийн төгсөгчдийн хувьд хэцүү байдаг. Гэхдээ энэ нь тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг сайтар судалдаг их, дээд сургуулийн оюутнуудад ойлгомжтой байх ёстой.

Одоо β = 0 гэж тохируулъя, өөрөөр хэлбэл Эйлерийн томъёог агуулсан уусмал дахь i тоотой хэлбэлзлийн хүчин зүйлийг устгах болно. Өмнөх хэлбэлзлүүдээс зөвхөн экспоненциалаар задрах (эсвэл өсөх) "далайц" л үлдэх болно.

Хоёр тохиолдлыг харуулахын тулд дүүжин гэж төсөөлөөд үз дээ. Хоосон зайд чийгшүүлэхгүйгээр хэлбэлздэг. Эсэргүүцэх орчинтой орон зайд далайцын экспоненциал задралын үед хэлбэлзэл үүсдэг. Хэрэв та хэтэрхий том биш дүүжинг хангалттай наалдамхай орчинд хазайлгах юм бол тэр тэнцвэрийн байрлал руу жигд хөдөлж, улам бүр удаашрах болно.

Тиймээс 2-р диссертациас бид дараах үр дүнг гаргаж болно.

Дүгнэлт 1.β = 0 үед (өөрөөр хэлбэл тэг давтамжтай үед) f(t) функцийн хийсвэр, цэвэр чичиргээний хэсэг байхгүй тохиолдолд экспоненциал функцийн бодит хэсэг нь үндсэн зарчмын дагуу явагддаг олон байгалийн процессуудыг дүрсэлдэг. : үнэ цэнийн өсөлт нь тухайн үнэ цэнэтэй пропорциональ байна .

Томъёолсон зарчим нь математикийн хувьд дараах байдалтай байна: ∆I ~ I∆t, энд би дохио, ∆t нь ∆I дохио нэмэгдэх жижиг хугацааны интервал юм. Тэгш байдлын хоёр талыг I-д хувааж, интегралдвал lnI ~ kt болно. Эсвэл: I ~ e kt - дохионы экспоненциал өсөх, буурах хууль (k-ийн тэмдгээс хамаарч). Тиймээс, утгын өсөлтийн пропорциональ байдлын хууль нь өөрөө натурал логарифм, улмаар е тоо руу хөтөлдөг.(Үүнийг интеграцийн элементүүдийг мэддэг ахлах сургуулийн сурагчдад боломжтой хэлбэрээр харуулав.)

Физик, хими, биологи, экологи, эдийн засаг гэх мэт олон үйл явц нь ямар ч эргэлзээгүйгээр хүчинтэй аргументийн дагуу экспоненциал байдлаар явагддаг. Вебер-Фехнерийн бүх нийтийн психофизикийн хуулийг бид онцгойлон анхаардаг (сургууль, их дээд сургуулийн боловсролын хөтөлбөрт ямар нэг шалтгаанаар үл тоомсорлодог). . Үүнд: "Мэдрэхүйн хүч нь өдөөх хүчний логарифмтай пропорциональ байна."

Алсын хараа, сонсгол, үнэр, хүрэлцэх, амтлах, сэтгэл хөдлөл, ой санамж нь энэ хуульд захирагддаг (байгалийн хувьд физиологийн үйл явц гэнэт эмгэг болж хувирах хүртэл, рецепторууд өөрчлөгдөх, устах хүртэл). Хуулийн дагуу: 1) дурын интервал дахь цочроох дохионы бага зэрэг өсөлт нь мэдрэмжийн хүч чадлын шугаман өсөлттэй (нэмэх эсвэл хасах) тохирч байна; 2) цочроох дохио сул байгаа хэсэгт мэдрэмжийн хүч нэмэгдэх нь хүчтэй дохионы бүсээс хамаагүй огцом байна. Цайг жишээ болгон авч үзье: хоёр ширхэг элсэн чихэртэй аяга цай нь нэг хэсэг элсэн чихэртэй цайнаас хоёр дахин чихэрлэг гэж тооцогддог; гэхдээ 20 ширхэг элсэн чихэртэй цай 10 ширхэгтэй цайнаас хамаагүй амттай мэт санагдах нь юу л бол. Биологийн рецепторуудын динамик хүрээ нь асар том юм: нүдээр хүлээн авсан дохио нь ~ 10 10, чихний хувьд ~ 10 12 дахин хүчтэй байдаг. Зэрлэг ан амьтад ийм бүс нутагт дасан зохицсон. Энэ нь ирж буй өдөөлтөөс логарифм (биологийн хязгаарлалтаар) авах замаар өөрийгөө хамгаалдаг, эс тэгвээс рецепторууд үхэх болно. Өргөн хэрэглэгддэг логарифм (децибел) дууны эрчмийн хэмжүүр нь Вебер-Фехнерийн хууль дээр суурилдаг бөгөөд үүний дагуу аудио төхөөрөмжийн дууны хяналтууд ажилладаг: тэдгээрийн шилжилт нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн дууны хэмжээтэй пропорциональ, гэхдээ дууны эрчтэй пропорциональ байна! (Мэдрэмж нь lg/ 0-тэй пропорциональ байна. Сонсголын босгыг p 0 = 10 -12 Ж/м 2 с гэж авна. Босго дээр бид lg1 = 0 байна. Дууны хүч (даралт) -аар нэмэгдэнэ. 10 удаа нь шивнэх мэдрэмжтэй ойролцоогоор таарч байгаа бөгөөд энэ нь логарифмын масштабаар босгоноос 1 бел дээш байна. Шивнэхээс хашгирах хүртэл дууг сая удаа өсгөх (10 -5 Ж/м 2 секунд хүртэл) логарифмын масштабаар. нь 6 баллын буюу 6 Белийн өсөлт юм.)

Магадгүй ийм зарчим нь олон организмын хөгжилд хамгийн оновчтой хэмнэлттэй байдаг. Энэ нь нялцгай биетний нялцгай биетний логарифмын спираль, наранцэцгийн сагсанд эгнээний үр, боргоцойд хайрс үүсэхэд тодорхой ажиглагдаж болно. Төвөөс зай нь r = ae kj хуулийн дагуу нэмэгддэг. Агшин бүрт өсөлтийн хурд нь өөрөө энэ зайтай шугаман пропорциональ байна (бичсэн функцийн деривативыг авч үзвэл үүнийг харахад хялбар байдаг). Эргэдэг хутга, таслагчийн профиль нь логарифмын спираль хэлбэрээр хийгдсэн байдаг.

Дүгнэлт 2.Тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн шийдэлд α = 0, β 0 үед функцийн зөвхөн төсөөлөлтэй хэсэг байгаа нь уналтгүй гармоник хэлбэлзэл явагддаг олон төрлийн шугаман болон шугаман процессуудыг дүрсэлдэг.

Энэ үр дүн нь биднийг дээр дурдсан загвар руу буцаан авчирдаг.

Дүгнэлт 3.Дүгнэлт 2-ыг хэрэгжүүлэх үед тоонуудын нэг томьёонд "хаалтын" байдаг ба Эйлерийн түүхэн томьёогоор дамжуулан анхны хэлбэрээрээ e i = -1.

Энэ хэлбэрээр Эйлер анхны илтгэгчээ төсөөлөлтэй илтгэгчээр нийтлэв. Үүнийг зүүн талын косинус, синусаар илэрхийлэхэд хэцүү биш юм. Дараа нь энэ томъёоны геометрийн загвар нь хоёр гармоник хэлбэлзлийн нийлбэр болох үнэмлэхүй утгын хурдны тогтмолтой тойрог дахь хөдөлгөөн байх болно. Физик мөн чанарын дагуу томьёо ба түүний загвар нь орон зай-цаг хугацааны бүх үндсэн гурван шинж чанарыг тусгасан байдаг - тэдгээрийн нэгэн төрлийн байдал ба изотропи, улмаар хадгалалтын бүх гурван хуулийг.

Дүгнэлт

Хамгаалалтын хуулиудыг цаг хугацаа, орон зайн нэгэн төрлийн байдалтай холбох тухай диссертаци нь сонгодог физикийн Евклидийн орон зай, Харьцангуйн ерөнхий онолын псевдо-евклидийн Минковскийн орон зайд (ГР, энд цаг нь дөрөв дэх координат) тохирох нь дамжиггүй. Гэхдээ харьцангуйн ерөнхий онолын хүрээнд байгалийн асуулт гарч ирдэг: асар том таталцлын талбайн бүс нутаг, онцгой байдлын ойролцоо, ялангуяа хар нүхний ойролцоо байдал ямар байна вэ? Физикчид энд өөр өөр үзэл бодолтой байдаг: ихэнх нь эдгээр үндсэн зарчмууд эдгээр эрс тэс нөхцөлд үнэн хэвээр байна гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч эрх мэдэл бүхий судлаачдын өөр үзэл бодол байдаг. Хоёулаа квант таталцлын шинэ онолыг бий болгохоор ажиллаж байна.

Энд ямар асуудал үүсч байгааг товч төсөөлөхийн тулд онолын физикч Академич А.А.Логуновын хэлсэн үгийг иш татъя: “Энэ (Минковскийн орон зай. - Автомат.) бүх хэлбэрийн материйн нийтлэг шинж чанарыг тусгадаг. Энэ нь нэгдмэл физик шинж чанарууд - энерги, импульс, өнцгийн импульс, энерги хадгалагдах хууль, импульс оршин тогтнохыг баталгаажуулдаг. Гэхдээ Эйнштейн үүнийг зөвхөн таталцлын хүч байхгүй тохиолдолд л боломжтой гэж үзсэн<...>. Эйнштейний энэхүү мэдэгдлээс харахад орон зай-цаг хугацаа нь псевдо-евклид биш, харин геометрийн хувьд илүү төвөгтэй - Римани болж хувирав. Сүүлийнх нь нэгэн төрлийн байхаа больсон. Энэ нь цэгээс цэг хүртэл өөрчлөгддөг. Орон зайн муруйлтын шинж чанар гарч ирнэ. Сонгодог физикт хүлээн зөвшөөрөгдсөн хадгалалтын хуулиудын яг нарийн томъёолол нь үүн дотор алга болдог.<...>Хатуухан хэлэхэд харьцангуйн онолын хувьд эрчим хүчний импульсийн хадгалалтын хуулиудыг зарчмын хувьд нэвтрүүлэх боломжгүй, тэдгээрийг томъёолж болохгүй" ("Шинжлэх ухаан ба амьдрал" 1987 оны 2, 3 дугаарыг үзнэ үү).

Бидний ярилцсан бидний ертөнцийн үндсэн тогтмолууд нь зөвхөн физикчдэд төдийгүй уянгын зохиолчдод мэддэг. Ингээд 3.14159265358979323846-тай тэнцэх иррационал тоо нь 20-р зууны Польшийн нэрт яруу найрагч, 1996 оны Нобелийн шагналт Вислава Шимборскаг "Пи" шүлгийг бүтээхэд түлхэц өгсөн бөгөөд бид дараах ишлэлүүдийг төгсгөх болно.

Бахархмаар тоонууд:
Гурван таслал нэг дөрөв нэг.
Тоо бүр мэдрэмж төрүүлдэг
эхлэл - тав ес хоёр,
Учир нь чи хэзээ ч төгсгөлд хүрэхгүй.
Та бүх тоог нэг дор ойлгох боломжгүй -
зургаа тав гурав тав.
Арифметик үйлдлүүд -
найман ес -
хангалттай биш, итгэхэд бэрх -
долоо ес -
та үүнээс зугтаж чадахгүй - гурав хоёр гурав
найман -
байхгүй тэгшитгэл ч биш,
хошигносон харьцуулалт биш -
чи тэднийг тоолж чадахгүй.
Үргэлжлүүлье: дөрөв зургаа ...
(Польш хэлнээс орчуулсан - Б. Г.)

Pi нь хэдтэй тэнцүү вэ?Бид сургуулиасаа мэддэг, санаж байна. Энэ нь 3.1415926-тай тэнцүү гэх мэт... Энгийн хүн тойргийн тойргийг голчоор нь хуваахад энэ тоо гарна гэдгийг мэдэхэд л хангалттай. Гэхдээ Пи тоо нь зөвхөн математик, геометрийн төдийгүй физикийн санаанд оромгүй салбарт гарч ирдэг гэдгийг олон хүмүүс мэддэг. За, хэрэв та энэ тооны мөн чанарын нарийн ширийнийг судалбал эцэс төгсгөлгүй цуврал тоонуудын дунд олон гайхалтай зүйлийг анзаарах болно. Пи орчлон ертөнцийн хамгийн гүн нууцыг нууж байгаа болов уу?

Хязгааргүй тоо

Пи тоо нь өөрөө манай ертөнцөд диаметр нь нэгтэй тэнцүү тойргийн урт мэт харагддаг. Гэхдээ Pi-тэй тэнцэх сегмент нэлээд хязгаарлагдмал хэдий ч Pi тоо 3.1415926-аас эхэлж, хэзээ ч давтагдахгүй тооны эгнээнд хязгааргүйд хүрдэг. Хамгийн эхний гайхмаар зүйл бол геометрт ашигладаг энэ тоог бүхэл тооны бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, та үүнийг a/b хоёр тооны харьцаагаар бичиж болохгүй. Үүнээс гадна Пи тоо нь трансцендент юм. Энэ нь шийдэл нь Pi тоо болох бүхэл тооны коэффициент бүхий тэгшитгэл (олон гишүүн) байхгүй гэсэн үг юм.

Пи тоо трансцендент гэдгийг 1882 онд Германы математикч фон Линдеман нотолсон. Энэ нь тухайн тойргийн талбайтай тэнцүү талбайг луужин, захирагч ашиглан зурах боломжтой юу гэсэн асуултын хариулт болсон нотолгоо болсон юм. Энэ асуудал нь эрт дээр үеэс хүн төрөлхтний санааг зовоож ирсэн тойрог квадратыг хайх гэж нэрлэгддэг. Энэ асуудал энгийн шийдэлтэй, шийдэгдэх гэж байгаа юм шиг санагдсан. Гэхдээ яг Pi тооны үл ойлгогдох шинж чанар нь тойргийг квадрат болгох асуудлыг шийдэх ямар ч шийдэл байхгүй гэдгийг харуулсан.

Дор хаяж дөрвөн ба хагас мянган жилийн турш хүн төрөлхтөн Pi-ийн илүү нарийвчлалтай утгыг олж авахыг хичээсээр ирсэн. Жишээлбэл, Хаадын гуравдугаар ном дахь Библид (7:23) Пи тоог 3 гэж авсан байдаг.

Гайхамшигтай нарийвчлалын Pi утгыг Гиза пирамидуудаас олж болно: пирамидын периметр ба өндрийн харьцаа нь 22/7 байна. Энэ бутархай нь 3.142-той тэнцэх Pi-ийн ойролцоо утгыг өгдөг... Мэдээж египетчүүд энэ харьцааг санамсаргүйгээр тогтоогоогүй бол. МЭӨ 3-р зуунд агуу Архимед Пи тоог тооцоолохтой холбоотой ижил утгыг аль хэдийн олж авсан.

МЭӨ 1650 онд хамаарах эртний Египетийн математикийн сурах бичиг болох Ахмесийн папирус дээр Пи 3.160493827 гэж тооцсон байдаг.

МЭӨ 9-р зууны үеийн эртний Энэтхэгийн бичвэрүүдэд хамгийн зөв утгыг 339/108 тоогоор илэрхийлсэн бөгөөд энэ нь 3.1388...

Архимедээс хойш бараг хоёр мянган жилийн турш хүмүүс Пиг тооцоолох арга замыг хайж олохыг хичээсэн. Тэдний дунд алдартай, үл мэдэгдэх математикчид байсан. Тухайлбал, Ромын архитектор Маркус Витрувий Поллио, Египетийн одон орон судлаач Клаудиус Птолемей, Хятадын математикч Лю Хуй, Энэтхэгийн мэргэн Арьябхата, Фибоначчи гэгддэг дундад зууны математикч Пизагийн Леонардо, Арабын эрдэмтэн Аль-Хорезми, түүний нэрнээс гаралтай үг. "алгоритм" гарч ирэв. Тэд бүгдээрээ болон бусад олон хүмүүс Пи-г тооцоолох хамгийн зөв аргыг хайж байсан боловч 15-р зууныг хүртэл тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлаас болж аравтын бутархай 10-аас илүүгүй байв.

Эцэст нь 1400 онд Энэтхэгийн математикч Мадхава Сангамаграммаас Пи-г 13 оронтой нарийвчлалтайгаар тооцоолжээ (хэдийгээр сүүлийн хоёрт андуурсан хэвээр).

Тэмдгийн тоо

17-р зуунд Лейбниц, Ньютон нар хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүдийн шинжилгээг нээсэн бөгөөд энэ нь Пи-г илүү дэвшилтэт байдлаар - хүчний цуваа ба интегралаар тооцоолох боломжтой болгосон. Ньютон өөрөө аравтын бутархайн 16 орон тоог тооцоолсон боловч номондоо үүнийг дурдаагүй - энэ нь түүнийг нас барсны дараа тодорхой болсон. Ньютон уйдсандаа л Пи-г тооцоолсон гэж мэдэгджээ.

Ойролцоогоор тэр үед бусад нэрд гарсан математикчид ч гарч ирж, тригонометрийн функцээр Пи тоог тооцоолох шинэ томъёог санал болгов.

Жишээлбэл, 1706 онд одон орон судлалын багш Жон Махины Пи-г тооцоолоход ашигласан томъёо нь энэ юм: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Махин аналитик аргуудыг ашиглан энэ томьёоноос аравтын орон хүртэлх Pi тоог гаргаж авсан.

Дашрамд дурдахад, мөн 1706 онд Пи тоо нь Грек үсгийн хэлбэрээр албан ёсны тэмдэглэгээг хүлээн авсан: Уильям Жонс үүнийг математикийн ажилд ашиглаж, "тойрог" гэсэн утгатай грек үгийн эхний үсгийг "захын" гэж авчээ. .” 1707 онд төрсөн агуу Леонхард Эйлер энэ нэрийг алдаршуулсан бөгөөд одоо ямар ч сургуулийн сурагчид мэддэг.

Компьютерийн эрин үеэс өмнө математикчид аль болох олон тэмдгийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулдаг байв. Үүнтэй холбогдуулан заримдаа инээдтэй зүйл гарч ирдэг. Сонирхогч математикч В.Шэнкс 1875 онд Пигийн 707 оронтой тоог тооцоолжээ. Эдгээр долоон зуун тэмдгийг 1937 онд Парис дахь Дисковерийн ордны хананд мөнхөлжээ. Гэсэн хэдий ч есөн жилийн дараа ажиглагч математикчид зөвхөн эхний 527 тэмдэгтийг зөв тооцоолсон болохыг олж мэдэв. Алдааг засахын тулд музей их хэмжээний зардал гаргах шаардлагатай болсон - одоо бүх тоо зөв байна.

Компьютер гарч ирэхэд Пи-ийн цифрүүдийн тоог огт төсөөлшгүй дарааллаар тооцоолж эхлэв.

1946 онд бүтээгдсэн анхны электрон компьютеруудын нэг болох ENIAC нь асар том хэмжээтэй бөгөөд маш их дулаан ялгаруулж, өрөө Цельсийн 50 хэм хүртэл дулаарч, Pi-ийн эхний 2037 оронтой тоог тооцоолжээ. Энэ тооцоонд машин 70 цаг зарцуулсан.

Компьютер хөгжихийн хэрээр бидний Пи-ийн талаарх мэдлэг улам бүр хязгааргүй рүү шилжсэн. 1958 онд 10 мянган оронтой тооны тоог тооцоолсон. 1987 онд Япончууд 10,013,395 тэмдэгтийг тооцоолжээ. 2011 онд Японы судлаач Шигэрү Хондо 10 триллион тэмдэгтийн босгыг давжээ.

Питэй өөр хаана уулзаж болох вэ?

Тиймээс, Пи тооны талаарх бидний мэдлэг ихэвчлэн сургуулийн түвшинд хэвээр үлддэг бөгөөд энэ тоо нь юуны түрүүнд геометрийн хувьд орлуулшгүй гэдгийг бид мэднэ.

Тойргийн урт ба талбайн томъёоноос гадна Pi тоог эллипс, бөмбөрцөг, конус, цилиндр, эллипсоид гэх мэт томъёонд ашигладаг: зарим газарт томъёо нь энгийн бөгөөд санахад хялбар байдаг. бусад нь маш нарийн төвөгтэй интеграл агуулдаг.

Дараа нь бид Пи тоог математикийн томъёогоор олж харах боломжтой бөгөөд энэ нь эхлээд харахад геометр харагдахгүй байна. Жишээлбэл, 1/(1-x^2)-ийн тодорхойгүй интеграл нь Pi-тэй тэнцүү байна.

Pi-г ихэвчлэн цуврал шинжилгээнд ашигладаг. Жишээлбэл, Pi-д нийлдэг энгийн цуврал энд байна:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Цувралуудын дунд Пи нь алдарт Riemann zeta функцэд хамгийн гэнэтийн байдлаар гарч ирдэг. Энэ тухай товчхон ярих боломжгүй, хэзээ нэгэн цагт Пи тоо анхны тоог тооцоолох томъёог олоход тусална гэж хэлье.

Гайхалтай нь: Пи нь математикийн хамгийн үзэсгэлэнтэй "хааны" хоёр томьёонд гарч ирдэг - Стирлингийн томъёо (энэ нь хүчин зүйлийн болон гамма функцийн ойролцоо утгыг олоход тусалдаг) болон Эйлерийн томъёо (энэ нь таван математикийн тогтмолыг холбодог).

Гэсэн хэдий ч магадлалын онолын математикчдыг хамгийн гэнэтийн нээлт хүлээж байв. Пи тоо бас байдаг.

Жишээлбэл, хоёр тоо харьцангуй анхны байх магадлал 6/PI^2 байна.

Пи нь 18-р зуунд томъёолсон Буффоны зүү шидэх асуудалд гардаг: доторлогоотой цаасан дээр шидсэн зүү аль нэг зураасыг давах магадлал хэд вэ. Хэрэв зүүний урт L, зураас хоорондын зай нь L, r > L байвал бид 2L/rPI магадлалын томъёогоор Pi-ийн утгыг ойролцоогоор тооцоолж болно. Зүгээр л төсөөлөөд үз дээ - бид санамсаргүй үйл явдлуудаас Pi-г авч чадна. Дашрамд хэлэхэд, Pi нь ердийн магадлалын тархалтад байдаг бөгөөд алдартай Гауссын муруйн тэгшитгэлд илэрдэг. Энэ нь Pi нь тойрог ба диаметрийн харьцаанаас илүү чухал гэсэн үг үү?

Бид Пи-тэй физикийн чиглэлээр ч уулзаж болно. Пи нь хоёр цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүчийг тодорхойлсон Кулоны хуульд, Кеплерийн гуравдугаар хуульд гаригийн нарны эргэн тойронд эргэх хугацааг харуулсан, тэр ч байтугай устөрөгчийн атомын электрон тойрог замын зохион байгуулалтад ч гардаг. Хамгийн гайхалтай нь Пи тоо нь квант физикийн үндсэн хууль болох Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын зарчмын томъёонд нуугдаж байгаа явдал юм.

Пигийн нууцууд

Ижил нэртэй киног бүтээдэг Карл Саганы "Холбоо барих" роман дээр харь гарагийнхан Пигийн шинж тэмдгүүдийн дунд бурхнаас ирсэн нууц мэдээ байдаг гэж баатар бүсгүйд хэлдэг. Тодорхой байрлалаас харахад тоон дахь тоонууд санамсаргүй байхаа больж, Орчлон ертөнцийн бүх нууцыг бичсэн кодыг илэрхийлдэг.

Энэхүү роман нь дэлхийн өнцөг булан бүрт байгаа математикчдын оюун ухааныг эзэмдсэн нууцыг тусгаж өгсөн: Пи нь цифрүүд нь ижил давтамжтайгаар тархсан хэвийн тоо мөн үү, эсвэл энэ тоонд ямар нэг буруу зүйл байна уу? Эрдэмтэд эхний хувилбарт хандах хандлагатай байгаа ч (гэхдээ үүнийг баталж чадахгүй) Пи тоо маш нууцлаг харагдаж байна. Япон хүн нэг удаа Пигийн эхний триллион оронтой тоонд 0-ээс 9 хүртэлх тоо хэдэн удаа байдгийг тооцоолжээ. Тэгээд би 2, 4, 8 гэсэн тоонууд бусдаас илүү нийтлэг байгааг олж харсан. Энэ нь Pi нь хэвийн биш бөгөөд тоонууд нь санамсаргүй биш гэдгийг илтгэх нэг санаа байж магадгүй юм.

Дээр уншсан бүхнээ санаж, өөр ямар иррационал, трансцендент тоо бодит ертөнцөд ийм олон байдаг вэ?

Мөн илүү олон хачирхалтай зүйлс дэлгүүрт байна. Жишээлбэл, Пигийн эхний хорин цифрийн нийлбэр нь 20, эхний 144 цифрийн нийлбэр нь “араатны тоо” 666-тай тэнцүү байна.

Америкийн "Сэжигтэн" олон ангит киноны гол дүр, профессор Финч оюутнуудад Пи тооны хязгааргүйн улмаас таны төрсөн огнооны тооноос эхлээд илүү төвөгтэй тоо хүртэл ямар ч тооны хослол байж болно гэж оюутнуудад хэлэв. . Жишээлбэл, 762-р байрлалд зургаан есийн дараалал байна. Энэхүү сонирхолтой хослолыг анзаарсан алдарт физикчийн нэрээр энэ байрлалыг Фейнманы цэг гэж нэрлэдэг.

Пи тоо нь 0123456789 гэсэн дарааллыг агуулж байгаа ч 17,387,594,880 дахь цифрт байрлаж байгааг бид мэднэ.

Энэ бүхэн нь Пи тооны хязгааргүйд тоонуудын сонирхолтой хослолууд төдийгүй "Дайн ба энх"-ийн кодлогдсон текст, Библи, тэр ч байтугай орчлон ертөнцийн гол нууцыг олж болно гэсэн үг юм.

Дашрамд хэлэхэд Библийн тухай. Математикийн алдартай дэлгэрүүлэгч Мартин Гарднер 1966 онд Пи-ийн сая дахь орон (тэр үед тодорхойгүй байсан) 5 тоо байх болно гэж мэдэгдсэн. Тэрээр өөрийн тооцоогоо Библийн англи хувилбарт 3-р хэсэгт бичсэнтэй холбон тайлбарлав. ном, 14-р бүлэг, 16 ишлэл (3-14-16) долоо дахь үг нь таван үсэгтэй. Найман жилийн дараа сая дахь тоонд хүрсэн. Энэ бол тавын дугаар байсан.

Үүний дараа Пи тоог санамсаргүй гэж батлах нь зүйтэй болов уу?

Олон зууны турш, бүр хачирхалтай нь хэдэн мянган жилийн турш хүмүүс тойргийн тойргийн диаметрийг түүний диаметртэй харьцуулсан математикийн тогтмол байдлын шинжлэх ухааны ач холбогдол, үнэ цэнийг ойлгодог. Пи тоо одоог хүртэл тодорхойгүй байгаа ч манай түүхэн дэх хамгийн шилдэг математикчид үүнтэй холбоотой байдаг. Ихэнх нь үүнийг оновчтой тоогоор илэрхийлэхийг хүссэн.

1. Судлаачид болон Пи тооны үнэнч шүтэн бишрэгчид клуб зохион байгуулсан бөгөөд үүнд элсэхийн тулд та түүний олон тооны шинж тэмдгийг цээжээр мэдэж байх хэрэгтэй.

2. 1988 оноос хойш “Пи өдөр” буюу 3-р сарын 14-ний өдрийг тэмдэглэдэг болсон. Тэд түүний дүр төрхтэй салат, бялуу, жигнэмэг, нарийн боов бэлтгэдэг.

3. Пи тоо аль хэдийн хөгжимд тавигдсан бөгөөд энэ нь маш сайн сонсогдож байна. АНУ-ын Сиэтл хотод, хотын Урлагийн музейн урд түүний хөшөөг хүртэл босгожээ.

Тэр үед тэд геометр ашиглан Пи тоог тооцоолохыг оролдсон. Энэ тоо нь олон янзын тойргийн хувьд тогтмол байдгийг Эртний Египет, Вавилон, Энэтхэг, Эртний Грекийн геометрүүд мэддэг байсан бөгөөд энэ нь гурваас арай илүү байсан гэж бүтээлдээ дурдсан байдаг.

Жайнизмын нэгэн ариун номонд (МЭӨ 6-р зуунд үүссэн эртний Энэтхэгийн шашин) Пи тоог арвын квадрат язгууртай тэнцүү гэж үздэг байсан бөгөөд энэ нь эцэстээ 3.162... .

Эртний Грекийн математикчид тойрог барих замаар тойрог хэмждэг байсан бол тойрог хэмжихийн тулд тэнцүү дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл талбайн хувьд тэнцүү дүрсийг барих ёстой байв.

Аравтын бутархайг хараахан мэдэхгүй байхад агуу Архимед Пигийн утгыг 99.9% нарийвчлалтай олжээ. Тэрээр ердийн олон өнцөгтийг тойрог хэлбэрээр бичиж, түүнийгээ тойруулан дүрслэх дараагийн олон тооны тооцооны үндэс болсон аргыг нээсэн. Үүний үр дүнд Архимед Pi-ийн утгыг 22 / 7 ≈ 3.142857142857143 харьцаагаар тооцсон.

Хятадад математикч, ордны одон орон судлаач Зу Чонжи МЭӨ 5-р зуунд. д. Pi-ийн илүү нарийвчлалтай утгыг аравтын бутархай болгон тооцоолж, 3, 1415926, 3.1415927 тоонуудын хооронд утгыг нь тодорхойлсон. Энэхүү дижитал цувралыг үргэлжлүүлэхийн тулд эрдэмтэд 900 гаруй жил зарцуулсан.

Дунд насны

14-15-р зууны төгсгөлд амьдарч байсан, Кералагийн одон орон, математикийн сургуулийг үндэслэгч Энэтхэгийн нэрт эрдэмтэн Мадхава түүхэнд анх удаа тригонометрийн функцийг цуврал болгон өргөжүүлэх ажлыг эхлүүлжээ. Түүний хоёр бүтээл л хадгалагдан үлдсэн нь үнэн бөгөөд зөвхөн түүний шавь нарын ишлэл, ишлэлүүд бусад хүмүүст мэдэгддэг. Мадхаватай холбоотой шинжлэх ухааны "Махажянаяна" зохиолд Пи тоог 3.14159265359 гэж заасан байдаг. Мөн "Садратнамала" зохиолд бүр илүү нарийвчлалтай аравтын бутархайтай тоог өгсөн: 3.14159265358979324. Өгөгдсөн тоонуудын сүүлийн цифрүүд нь зөв утгатай тохирохгүй байна.

15-р зуунд Самаркандын математикч, одон орон судлаач Аль-Каши Пи тоог арван зургаан бутархайгаар тооцоолжээ. Түүний үр дүн нь дараагийн 250 жилийн хамгийн үнэн зөв гэж тооцогддог.

Английн математикч В.Жонсон анхлан тойргийн тойргийн диаметртэй харьцуулсан харьцааг π үсгээр тэмдэглэсэн хүмүүсийн нэг юм. Пи нь "περιφέρεια" - тойрог гэсэн Грек үгийн эхний үсэг юм. Гэхдээ энэ тэмдэглэгээг 1736 онд илүү алдартай эрдэмтэн Л.Эйлер ашигласны дараа л нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдөж чадсан юм.

Дүгнэлт

Орчин үеийн эрдэмтэд Pi-ийн утгын цаашдын тооцоолол дээр үргэлжлүүлэн ажиллаж байна. Үүнд суперкомпьютер аль хэдийн ашиглагдаж байна. 2011 онд Шигеру Кондогийн эрдэмтэн Америкийн оюутан Александр Итэй хамтран 10 их наяд оронтой тооны дарааллыг зөв тооцоолжээ. Гэвч энэ асуудлын талаар анх бодож, жинхэнэ ид шидийн тооны анхны тооцоог хийсэн Пи тоог хэн нээсэн нь тодорхойгүй хэвээр байна.

Сурч байна Pi тооБага ангиас сурагчид тойрог, тойрог, Пи-ийн утгын талаар суралцах үед эхэлдэг. Pi-ийн утга нь тойргийн уртыг өгөгдсөн тойргийн диаметрийн урттай харьцуулсан тогтмол утга юм. Жишээлбэл, бид диаметр нь нэгтэй тэнцүү тойрог авбал түүний урт нь тэнцүү байна Pi тоо. Математикийн үргэлжлэлд Pi-ийн энэ утга нь хязгааргүй боловч нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээ бас байдаг. Энэ нь Pi-ийн утгыг хялбаршуулсан үсгээс гаралтай бөгөөд 3.14 шиг харагдаж байна.

Пигийн түүхэн төрөлт

Пи тоо нь эртний Египтээс эхтэй гэж үздэг. Эртний Египетийн эрдэмтэд тойргийн талбайг D диаметрийг ашиглан тооцоолсон бөгөөд энэ нь D - D/92 утгыг авсан. Энэ нь 16/92 буюу 256/81-тэй тохирч байгаа нь Pi нь 3.160 гэсэн үг юм.
МЭӨ 6-р зуунд Энэтхэгт мөн Жайнизмын шашинд Пи тоог хөндөж, Пи тоо нь квадрат язгуурт 10-тай тэнцэж, 3.162 гэсэн утгатай гэж тэмдэглэсэн байдаг.

МЭӨ III зуунд Архимед тойргийн хэмжилтийн тухай сургаал нь түүнийг дараах дүгнэлтэд хүргэсэн.

Хожим нь тэрээр зөв бичсэн эсвэл дүрсэлсэн олон өнцөгт дүрсүүдийн жишээг ашиглан эдгээр дүрсийн талуудын тоог хоёр дахин нэмэгдүүлсэн тооцооллын дарааллаар дүгнэлтээ баталжээ. Нарийвчилсан тооцоололд Архимед диаметр ба тойргийн харьцааг 3 * 10/71 ба 3 * 1/7 гэсэн тоонуудын хооронд дүгнэсэн тул Pi-ийн утга 3.1419 байна... Энэ утгын төгсгөлгүй хэлбэрийн талаар бид өмнө нь ярьсан тул, 3 шиг харагдаж байна, 1415927... Мөн энэ нь хязгаар биш, учир нь XV зууны математикч Каши Пи-ийн утгыг арван зургаан оронтой тоогоор тооцоолсон байдаг.
Английн математикч Жонсон В. 1706 онд тэмдэглэгээнд pi тэмдгийг ашиглаж эхэлсэн үү? (Грек хэлнээс энэ нь тойрог үгийн эхний үсэг юм).

Нууцлаг утга.

Пи-ийн утга нь үндэслэлгүй бөгөөд бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, учир нь бутархай бүхэл утгыг ашигладаг. Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс болж чадахгүй тул трансцендентал болж хувирдаг бөгөөд энэ нь аливаа процессыг авч үзэх замаар олддог, өгөгдсөн үйл явцын олон тооны үе шатуудын улмаас боловсронгуй болдог. Пи дахь аравтын бутархайн тоог хамгийн олон тоогоор тооцоолох оролдлого олон удаа хийгдсэн бөгөөд үүний үр дүнд өгөгдсөн аравтын бутархай хэдэн арван триллион оронтой болсон.

Сонирхолтой баримт: Хачирхалтай нь Пигийн үнэ цэнэ өөрийн гэсэн баяртай байдаг. Олон улсын Пи өдөр гэж нэрлэдэг. Гуравдугаар сарын 14-нд тэмдэглэдэг. Энэ огноо нь Pi 3.14 (mm.yy) болон физикч Ларри Шоугийн ачаар 1987 онд анх энэ баярыг тэмдэглэж байсны ачаар гарч ирэв.

Тайлбар: ОХУ-ын бүх иргэдэд гэмт хэргийн бүртгэлгүй (байгаа) гэрчилгээ авахад хууль зүйн туслалцаа үзүүлэх. Ял шийтгэлгүй байх төрийн албаны гэрчилгээг (http://conviction certificate.rf/) линкээр орж хуулийн дагуу, шуурхай, дараалалгүй аваарай!