Гүдгэр дөрвөлжин гэдэг нь орой дээрээ бие биетэйгээ холбогдсон дөрвөн хэсгээс бүрдэх дүрс бөгөөд талуудтай хамт дөрвөн өнцгийг үүсгэдэг бол дөрвөлжин нь өөрөө аль нэг тал нь байрлах шулуунтай харьцуулахад үргэлж нэг хавтгайд байрладаг. Өөрөөр хэлбэл, бүхэл бүтэн дүрс нь аль нэг талынх нь нэг талд байна.

-тай холбоотой

Таны харж байгаагаар тодорхойлолтыг санахад маш хялбар байдаг.

Үндсэн шинж чанар ба төрлүүд

Дөрвөн булан ба хажуугаас бүрдсэн бараг бүх мэдэгдэж буй дүрсийг гүдгэр дөрвөлжин гэж ангилж болно. Дараахь зүйлийг ялгаж болно.

1. параллелограмм;
2. дөрвөлжин;
3. тэгш өнцөгт;
4. трапец;
5. ромб.

Эдгээр бүх тоонууд нь зөвхөн дөрвөлжин хэлбэртэй төдийгүй гүдгэр хэлбэртэй гэдгээрээ нэгтгэгддэг. Зүгээр л диаграмыг хараарай:

Зураг нь гүдгэр трапецийг харуулж байна. Эндээс трапец нь нэг хавтгайд эсвэл сегментийн нэг талд байгааг харж болно. Хэрэв та ижил төстэй үйлдлүүдийг хийвэл бусад бүх талуудын хувьд трапецын гүдгэр байгааг олж мэдэх боломжтой.

Параллелограмм нь гүдгэр дөрвөлжин мөн үү?

Дээр параллелограммын зураг байна. Зурагнаас харахад, параллелограмм нь мөн гүдгэр. Хэрэв та AB, BC, CD, AD сегментүүд байрлах шулуунуудтай харьцуулсан зургийг харвал энэ нь эдгээр шугамуудаас үргэлж нэг хавтгайд байх нь тодорхой болно. Параллелограммын гол шинж чанар нь эсрэг талын өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байдагтай адил талууд нь хос параллель, тэнцүү байдаг.

Одоо дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгтийг төсөөлөөд үз дээ. Үндсэн шинж чанаруудын дагуу тэдгээр нь мөн параллелограммууд, өөрөөр хэлбэл бүх талууд нь зэрэгцээ хосууд байрладаг. Зөвхөн тэгш өнцөгтийн хувьд талуудын урт нь өөр байж болох ба өнцөг нь зөв (90 градустай тэнцүү), дөрвөлжин нь бүх талууд тэнцүү, өнцөг нь мөн тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт юм. параллелограмм, талуудын урт ба өнцгүүд өөр байж болно.

Үүний үр дүнд дөрвөн өнцөгтийн бүх дөрвөн өнцгийн нийлбэр 360 градустай тэнцүү байх ёстой. Үүнийг тодорхойлох хамгийн хялбар арга бол тэгш өнцөгтийг харах явдал юм: тэгш өнцөгтийн бүх дөрвөн өнцөг нь зөв, өөрөөр хэлбэл 90 градустай тэнцүү. Эдгээр 90 градусын өнцгүүдийн нийлбэр нь 360 градус болно, өөрөөр хэлбэл 90 градусыг 4 удаа нэмбэл хүссэн үр дүнд хүрнэ.

Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагональуудын шинж чанар

Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн диагональууд огтлолцоно. Үнэн хэрэгтээ энэ үзэгдлийг нүдээр харж болно, зүгээр л зургийг хараарай.

Зүүн талд байгаа зураг нь гүдгэр бус дөрвөлжин эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Таны хүссэнээр. Таны харж байгаагаар диагональууд огтлолцдоггүй, ядаж бүгдийг нь огтолдоггүй. Баруун талд нь гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Энд диагональуудын огтлолцох шинж чанар аль хэдийн ажиглагдсан. Үүнтэй ижил шинж чанарыг дөрвөн өнцөгтийн гүдгэр шинж тэмдэг гэж үзэж болно.

Дөрвөн өнцөгтийн бусад шинж чанар ба гүдгэр шинж тэмдэг

Энэ нэр томъёог ашиглан ямар нэгэн өвөрмөц шинж чанар, шинж чанарыг нэрлэх нь маш хэцүү байдаг. Үүнийг ялгахад хялбар байдаг янз бүрийн төрөлэнэ төрлийн дөрвөн өнцөгт. Та параллелограммаас эхэлж болно. Энэ бол дөрвөлжин хэлбэртэй, талууд нь зэрэгцээ, хос хосоороо тэнцүү гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Үүний зэрэгцээ параллелограммын диагональуудын бие биетэйгээ огтлолцох шинж чанар, мөн зургийн гүдгэр шинж тэмдэг орно: параллелограмм нь үргэлж нэг хавтгайд, аль нэгтэй харьцуулахад ижил тал дээр байрладаг. түүний талууд.

Тэгэхээр, Үндсэн шинж чанар, шинж чанаруудыг мэддэг:

1. дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 360 градус;
2. Дүрсүүдийн диагональ нь нэг цэг дээр огтлолцдог.

Тэгш өнцөгт. Энэ зураг нь параллелограммтай ижил шинж чанар, шинж чанартай боловч түүний бүх өнцөг нь 90 градустай тэнцүү байна. Тиймээс нэр нь тэгш өнцөгт юм.

Дөрвөлжин, ижил параллелограмм, гэхдээ түүний өнцөг нь тэгш өнцөгттэй адил тэгш байна. Үүнээс болж квадратыг тэгш өнцөгт гэж нэрлэх нь ховор. Гэхдээ хамгийн чухал нь онцлох тэмдэгДээр дурдсанаас гадна квадратын дөрвөн тал нь тэнцүү байна.

Трапец бол маш сонирхолтой дүрс юм. Энэ нь мөн дөрвөлжин, бас гүдгэр юм. Энэ нийтлэлд трапецийг зургийн жишээн дээр аль хэдийн авч үзсэн болно. Энэ нь бас гүдгэр гэдэг нь тодорхой. Гол ялгаа, тиймээс трапецын шинж тэмдэг нь түүний талууд нь урт, мөн өнцгийн хувьд бие биентэйгээ огт адилгүй байж болно. Энэ тохиолдолд дүрсийг бүрдүүлж буй сегментүүдийн дагуу түүний дурын хоёр оройг холбосон аль ч шулуунтай харьцуулахад зураг нь үргэлж нэг хавтгайд үлддэг.

Ромб бол адилхан сонирхолтой дүрс юм. Нэг хэсэг нь ромбыг дөрвөлжин гэж үзэж болно. Ромбын шинж тэмдэг нь түүний диагональууд нь огтлолцож зогсохгүй ромбын булангуудыг хагасаар нь хувааж, диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл перпендикуляр байдаг. Хэрэв ромбын талуудын урт нь тэнцүү бол огтлолцох үед диагональуудыг мөн хагасаар хуваана.

Дельтоид буюу гүдгэр ромбоид (ромбус)янз бүрийн хажуугийн урттай байж болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн ромбын үндсэн шинж чанар, шинж чанар, түүнчлэн гүдгэр байдлын шинж чанар, шинж чанарууд хадгалагдсаар байна. Өөрөөр хэлбэл, диагональууд нь өнцгүүдийг хоёр хувааж, зөв ​​өнцгөөр огтолж байгааг бид ажиглаж болно.

Өнөөдрийн даалгавар бол гүдгэр дөрвөлжин гэж юу болох, тэдгээр нь ямар байдаг, тэдгээрийн үндсэн шинж чанар, шинж чанарыг авч үзэх, ойлгох явдал байв. Анхаар! Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 360 градус гэдгийг дахин санах нь зүйтэй. Жишээлбэл, зургийн периметр нь дүрсийг бүрдүүлж буй бүх сегментүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Дөрвөн өнцөгтийн периметр ба талбайг тооцоолох томъёог дараах нийтлэлд авч үзэх болно.

Гүдгэр дөрвөлжин хэлбэрийн төрлүүд

Олон өнцөгт ойлголт

Тодорхойлолт 1

Олон өнцөгтХавтгай дээрх геометрийн дүрс бөгөөд энэ нь хосоор холбогдсон сегментүүдээс бүрдэх бөгөөд зэргэлдээх хэсгүүд нь нэг шулуун дээр хэвтдэггүй.

Энэ тохиолдолд сегментүүдийг дууддаг олон өнцөгтийн талууд, мөн тэдгээрийн төгсгөлүүд - олон өнцөгтийн оройнууд.

Тодорхойлолт 2

$n$-gon нь $n$ оройтой олон өнцөгт юм.

Олон өнцөгтийн төрлүүд

Тодорхойлолт 3

Хэрэв олон өнцөгт нь түүний талуудыг дайран өнгөрч буй аливаа шулууны нэг талд үргэлж оршдог бол олон өнцөгтийг дуудна гүдгэр(Зураг 1).

Зураг 1. Гүдгэр олон өнцөгт

Тодорхойлолт 4

Хэрэв олон өнцөгт нь түүний хажуу талыг дайран өнгөрөх дор хаяж нэг шулуун шугамын эсрэг талд байрладаг бол олон өнцөгтийг гүдгэр бус гэж нэрлэдэг (Зураг 2).

Зураг 2. Гүдгэр бус олон өнцөгт

Олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр

Гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн тухай теоремыг танилцуулъя.

Теорем 1

Гүдгэр гурвалжны өнцгийн нийлбэрийг дараах байдлаар тодорхойлно

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Баталгаа.

Бидэнд $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ гүдгэр олон өнцөгт өгье. Түүний $A_1$ оройг энэ олон өнцөгтийн бусад бүх оройтой холбоно (Зураг 3).

Зураг 3.

Энэ холболтоор бид $ n-2 $ гурвалжин авна. Тэдний өнцгийг нэгтгэснээр бид өгөгдсөн -gon-ийн өнцгийн нийлбэрийг олж авна. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр $(180)^0,$-тэй тэнцүү тул гүдгэр гурвалжны өнцгийн нийлбэрийг томъёогоор тодорхойлно.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теорем нь батлагдсан.

Дөрвөн өнцөгтийн тухай ойлголт

$2$-ын тодорхойлолтыг ашиглан дөрвөлжингийн тодорхойлолтыг танилцуулахад хялбар байдаг.

Тодорхойлолт 5

Дөрвөн өнцөгт нь $4$ оройтой олон өнцөгт юм (Зураг 4).

Зураг 4. Дөрвөн өнцөгт

Дөрвөн өнцөгтийн хувьд гүдгэр дөрвөлжин ба гүдгэр бус дөрвөлжин гэсэн ойлголтууд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Гүдгэр дөрвөлжингийн сонгодог жишээ бол дөрвөлжин, тэгш өнцөгт, трапец, ромб, параллелограмм юм (Зураг 5).

Зураг 5. Гүдгэр дөрвөн өнцөгт

Теорем 2

Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь $(360)^0$ байна

Баталгаа.

$1$ теоремоор бид гүдгэр -гон өнцгийн нийлбэрийг томъёогоор тодорхойлно гэдгийг мэднэ.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Тиймээс гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна

\[\зүүн(4-2\баруун)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теорем нь батлагдсан.

8-р ангид сургуулийн геометрийн хичээлийн үеэр сурагчдад гүдгэр олон өнцөгтийн тухай ойлголттой танилцдаг. Тун удахгүй тэд энэ дүрс нь маш сонирхолтой шинж чанартай гэдгийг мэдэх болно. Энэ нь хичнээн төвөгтэй байсан ч гүдгэр олон өнцөгтийн бүх дотоод болон гадаад өнцгийн нийлбэр нь хатуу тодорхойлогдсон утгыг авдаг. Энэ өгүүлэлд математик, физикийн багш гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр хэдтэй тэнцүү байх талаар ярилцав.

Гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр

Энэ томъёог хэрхэн батлах вэ?

Энэ мэдэгдлийн нотолгоо руу шилжихээсээ өмнө аль олон өнцөгтийг гүдгэр гэж нэрлэдэгийг санацгаая. Гүдгэр олон өнцөгт нь аль нэг талыг агуулсан шугамын нэг талд бүхэлдээ орших олон өнцөгтийг хэлнэ. Жишээлбэл, энэ зурагт үзүүлсэн:

Хэрэв олон өнцөгт нь заасан нөхцлийг хангахгүй бол түүнийг гүдгэр бус гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Гүдгэр олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь -тэй тэнцүү бөгөөд энд олон өнцөгтийн талуудын тоо байна.

Энэ баримтын нотолгоо нь бүх сургуулийн сурагчдад сайн мэддэг гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн тухай теорем дээр суурилдаг. Энэ теорем танд бас танил байгаа гэдэгт итгэлтэй байна. Гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр нь .

Гол санаа нь гүдгэр олон өнцөгтийг хэд хэдэн гурвалжинд хуваах явдал юм. Үүнийг хийж болно янз бүрийн арга замууд. Ямар аргыг сонгохоос шалтгаалж нотлох баримтууд арай өөр байх болно.

1. Гүдгэр олон өнцөгтийг аль нэг оройноос зурсан бүх боломжит диагональуудыг ашиглан гурвалжинд хуваа. Дараа нь бидний n-gon гурвалжинд хуваагдана гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг.

Түүнээс гадна үүссэн бүх гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь бидний n-gon-ийн өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Эцсийн эцэст, үүссэн гурвалжны өнцөг бүр нь бидний гүдгэр олон өнцөгт хэсэгчилсэн өнцөг юм. Энэ нь шаардлагатай хэмжээ нь тэнцүү байна.

2. Мөн гүдгэр олон өнцөгт доторх цэгийг сонгоод бүх оройтой холбож болно. Дараа нь бидний n-gon гурвалжинд хуваагдана:

Түүнээс гадна, энэ тохиолдолд манай олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь эдгээр бүх гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэрээс төв өнцгийг хассантай тэнцүү байх бөгөөд энэ нь -тэй тэнцүү байна. Энэ нь шаардлагатай хэмжээ нь дахин тэнцүү байна.

Гүдгэр олон өнцөгтийн гадна талын өнцгийн нийлбэр

Одоо "Гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр хэд вэ?" Гэсэн асуултыг асууя. Энэ асуултад дараах байдлаар хариулж болно. Гадаад булан бүр нь харгалзах дотоод булантай зэргэлдээ байна. Тиймээс энэ нь тэнцүү байна:

Тэгвэл бүх гадаад өнцгүүдийн нийлбэр нь тэнцүү байна. Энэ нь тэнцүү гэсэн үг.

Энэ нь маш хөгжилтэй үр дүнд хүрсэн гэсэн үг юм. Хэрэв бид ямар нэгэн гүдгэр n-гононы бүх гадаад өнцгийг дараалан зурвал үр дүн нь яг бүхэлдээ хавтгай болно.

Энэ сонирхолтой баримтдараах байдлаар дүрсэлж болно. Зарим гүдгэр олон өнцөгтийг нэг цэгт нийлэх хүртэл бүх талыг пропорциональ хэмжээгээр багасгая. Үүний дараа гаднах бүх өнцгүүдийг бие биенээсээ тусгаарлаж, бүхэл бүтэн хавтгайг дүүргэнэ.

Сонирхолтой баримт, тийм үү? Мөн геометрт ийм олон баримт байдаг. Тиймээс геометрийг сур, эрхэм сургуулийн сурагчид!

Гүдгэр олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр хэдтэй тэнцүү вэ гэсэн материалыг Сергей Валерьевич бэлтгэсэн.

Олон өнцөгт ойлголт

Тодорхойлолт 1

Олон өнцөгтХавтгай дээрх геометрийн дүрс бөгөөд энэ нь хосоор холбогдсон сегментүүдээс бүрдэх бөгөөд зэргэлдээх хэсгүүд нь нэг шулуун дээр хэвтдэггүй.

Энэ тохиолдолд сегментүүдийг дууддаг олон өнцөгтийн талууд, мөн тэдгээрийн төгсгөлүүд - олон өнцөгтийн оройнууд.

Тодорхойлолт 2

$n$-gon нь $n$ оройтой олон өнцөгт юм.

Олон өнцөгтийн төрлүүд

Тодорхойлолт 3

Хэрэв олон өнцөгт нь түүний талуудыг дайран өнгөрч буй аливаа шулууны нэг талд үргэлж оршдог бол олон өнцөгтийг дуудна гүдгэр(Зураг 1).

Зураг 1. Гүдгэр олон өнцөгт

Тодорхойлолт 4

Хэрэв олон өнцөгт нь түүний хажуу талыг дайран өнгөрөх дор хаяж нэг шулуун шугамын эсрэг талд байрладаг бол олон өнцөгтийг гүдгэр бус гэж нэрлэдэг (Зураг 2).

Зураг 2. Гүдгэр бус олон өнцөгт

Олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр

Гурвалжны өнцгийн нийлбэрийн тухай теоремыг танилцуулъя.

Теорем 1

Гүдгэр гурвалжны өнцгийн нийлбэрийг дараах байдлаар тодорхойлно

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Баталгаа.

Бидэнд $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ гүдгэр олон өнцөгт өгье. Түүний $A_1$ оройг энэ олон өнцөгтийн бусад бүх оройтой холбоно (Зураг 3).

Зураг 3.

Энэ холболтоор бид $ n-2 $ гурвалжин авна. Тэдний өнцгийг нэгтгэснээр бид өгөгдсөн -gon-ийн өнцгийн нийлбэрийг олж авна. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр $(180)^0,$-тэй тэнцүү тул гүдгэр гурвалжны өнцгийн нийлбэрийг томъёогоор тодорхойлно.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Теорем нь батлагдсан.

Дөрвөн өнцөгтийн тухай ойлголт

$2$-ын тодорхойлолтыг ашиглан дөрвөлжингийн тодорхойлолтыг танилцуулахад хялбар байдаг.

Тодорхойлолт 5

Дөрвөн өнцөгт нь $4$ оройтой олон өнцөгт юм (Зураг 4).

Зураг 4. Дөрвөн өнцөгт

Дөрвөн өнцөгтийн хувьд гүдгэр дөрвөлжин ба гүдгэр бус дөрвөлжин гэсэн ойлголтууд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог. Гүдгэр дөрвөлжингийн сонгодог жишээ бол дөрвөлжин, тэгш өнцөгт, трапец, ромб, параллелограмм юм (Зураг 5).

Зураг 5. Гүдгэр дөрвөн өнцөгт

Теорем 2

Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь $(360)^0$ байна

Баталгаа.

$1$ теоремоор бид гүдгэр -гон өнцгийн нийлбэрийг томъёогоор тодорхойлно гэдгийг мэднэ.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Тиймээс гүдгэр дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна

\[\зүүн(4-2\баруун)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Теорем нь батлагдсан.

Эвдэрсэн

Тодорхойлолт

эвдэрсэн шугам, эсвэл товчхондоо, эвдэрсэн шугам, дуудсан эцсийн дараалалЭхний сегментийн төгсгөлүүдийн нэг нь хоёр дахь хэсгийн төгсгөл, хоёр дахь сегментийн нөгөө төгсгөл нь гурав дахь хэсгийн төгсгөл гэх мэт сегментүүд юм. Энэ тохиолдолд зэргэлдээх сегментүүд нэг шулуун шугам дээр хэвтдэггүй. Эдгээр сегментүүдийг тасархай шугамын холбоос гэж нэрлэдэг.

Полилинийн төрлүүд

Эвдэрсэн шугам гэж нэрлэдэг хаалттай, хэрэв эхний сегментийн эхлэл нь сүүлчийнх нь төгсгөлтэй давхцаж байвал.

Эвдэрсэн шугам нь өөрөө гаталж, өөрөө хүрч эсвэл давхцаж болно. Хэрэв ийм онцгой шинж чанар байхгүй бол ийм тасархай шугамыг нэрлэдэг энгийн.

Олон өнцөгт

Тодорхойлолт

Энгийн битүү тасархай шугамыг түүгээр хязгаарлагдсан хавтгайн хэсэг гэж нэрлэдэг олон өнцөгт.

Сэтгэгдэл

Олон өнцөгтийн орой бүр дээр түүний талууд нь олон өнцөгтийн тодорхой өнцгийг тодорхойлдог. Энэ нь бага өргөжиж эсвэл илүү өргөжсөн байж болно.

Өмч

Олон өнцөгт бүр $180^\circ$-аас бага өнцөгтэй байдаг.

Баталгаа

$P$ олон өнцөгтийг өгье.

Түүнийг огтлолцдоггүй шулуун шугам зуръя. Бид үүнийг олон өнцөгттэй зэрэгцүүлэн шилжүүлнэ. Хэзээ нэгэн цагт бид $P$ олон өнцөгттэй дор хаяж нэг нийтлэг цэг бүхий $a$ шулуун шугамыг анх удаа олж авах болно. Олон өнцөгт нь энэ шугамын нэг талд байрладаг (түүний зарим цэг нь $a$ шулуун дээр байрладаг).

$a$ мөрөнд олон өнцөгтийн дор хаяж нэг оройг агуулна. $a$ шугамын нэг талд байрлах түүний хоёр тал үүн дотор нийлдэг (тэдгээрийн аль нэг нь энэ мөрөнд байрлах тохиолдолд). Энэ нь энэ оройн өнцөг нь задалсанаас бага байна гэсэн үг юм.

Тодорхойлолт

олон өнцөгт гэж нэрлэдэг гүдгэр, хэрэв энэ нь түүний талыг агуулсан мөр бүрийн нэг талд хэвтэж байвал. Хэрэв олон өнцөгт гүдгэр биш бол түүнийг дуудна гүдгэр бус.

Сэтгэгдэл

Гүдгэр олон өнцөгт нь олон өнцөгтийн талуудыг агуулсан шугамаар хүрээлэгдсэн хагас хавтгайн огтлолцол юм.

Гүдгэр олон өнцөгтийн шинж чанарууд

Гүдгэр олон өнцөгт бүх өнцөг нь $180^\circ$-аас бага байна.

Гүдгэр олон өнцөгтийн дурын хоёр цэгийг (ялангуяа түүний диагональуудын аль нэгийг) холбосон шугамын хэсэг энэ олон өнцөгт агуулагдана.

Баталгаа

Эхний өмчийг баталъя

$A$ оройноос ирж байгаа гүдгэр олон өнцөгт $P$ ба түүний талыг $a$-ын дурын өнцгийг $A$ ав. $l$ нь $a$ талыг агуулсан мөр байг. $P$ олон өнцөгт гүдгэр тул $l$ шулууны нэг талд оршдог. Иймээс түүний $A$ өнцөг нь мөн энэ шугамын нэг талд оршдог. Энэ нь $A$ өнцөг нь боловсруулсан өнцгөөс бага, өөрөөр хэлбэл $180^\circ$-аас бага гэсэн үг юм.

Хоёрдахь өмчийг баталъя

$P$ гүдгэр олон өнцөгтийн $A$ ба $B$ дурын хоёр цэгийг ав. $P$ олон өнцөгт нь хэд хэдэн хагас хавтгайн огтлолцол юм. $AB$ сегмент нь эдгээр хагас хавтгай бүрт агуулагддаг. Тиймээс энэ нь $P$ олон өнцөгт мөн агуулагддаг.

Тодорхойлолт

Олон өнцөгтийн диагональтүүний зэргэлдээх бус оройнуудыг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг.

Теорем (n өнцөгтийн диагональуудын тооны тухай)

Гүдгэр $n$-gon-ийн диагональуудын тоог $\dfrac(n(n-3))(2)$ томъёогоор тооцоолно.

Баталгаа

n өнцөгтийн орой бүрээс $n-3$ диагональ зурах боломжтой (хөрш зэргэлдээх орой руу эсвэл энэ орой руу диагональ зурж болохгүй). Хэрэв бид ийм боломжтой бүх сегментүүдийг тоолвол $n\cdot(n-3)$ байх болно, учир нь $n$ оройнууд байдаг. Гэхдээ диагональ бүрийг хоёр удаа тоолох болно. Тиймээс n-gon-ийн диагональуудын тоо $\dfrac(n(n-3))(2)$-тай тэнцүү байна.

Теорем (n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн тухай)

Гүдгэр $n$-gon-ын өнцгийн нийлбэр нь $180^\circ(n-2)$ байна.

Баталгаа

$n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$-г авч үзье.

Энэ олон өнцөгт доторх дурын $O$ цэгийг авъя.

$A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ гурвалжны өнцгийн нийлбэр $180^\circ\cdot n$-тай тэнцүү байна.

Нөгөө талаас энэ нийлбэр нь олон өнцөгтийн бүх дотоод өнцгүүдийн нийлбэр ба $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$-ийн нийт өнцөг юм.

Тэгвэл авч үзэж буй $n$-гоны өнцгийн нийлбэр $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$-тай тэнцүү байна.

Үр дагавар

Гүдгэр бус $n$-gon-ын өнцгийн нийлбэр нь $180^\circ(n-2)$ байна.

Баталгаа

$A_1A_2\ldots A_n$ олон өнцөгтийг авч үзье, түүний цорын ганц өнцөг нь $\өнцөг A_2$ нь гүдгэр биш, өөрөөр хэлбэл $\ өнцөг A_2>180^\circ$.

Түүний барьсан нийлбэрийг $S$ гэж тэмдэглэе.

$A_1A_3$ цэгүүдийг холбож, $A_1A_3\ldots A_n$ олон өнцөгтийг авч үзье.

Энэ олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\өнцөг A_2+\өнцөг 1+\өнцөг 2=S-\өнцөг A_2+180^\circ-\өнцөг A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \өнцөг A_1A_2A_3+\ өнцөг A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Тиймээс $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Хэрэв анхны олон өнцөгт нь нэгээс олон гүдгэр бус өнцөгтэй бол дээр дурдсан үйлдлийг ийм өнцөг бүрээр хийж болох бөгөөд энэ нь мэдэгдлийг батлахад хүргэнэ.

Теорем (гүдгэр n өнцөгтийн гадаад өнцгийн нийлбэр дээр)

Гүдгэр $n$-gon-ийн гадна өнцгийн нийлбэр нь $360^\circ$ байна.

Баталгаа

$A_1$ орой дээрх гадаад өнцөг нь $180^\circ-\angle A_1$-тэй тэнцүү байна.

Бүх гадаад өнцгийн нийлбэр нь дараахтай тэнцүү байна.

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\өнцөг A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\circ$.