Išgaubtas keturkampis yra figūra, susidedanti iš keturių kraštinių, sujungtų viena su kita viršūnėse, kartu su kraštinėmis sudaro keturis kampus, o pats keturkampis visada yra toje pačioje plokštumoje tiesės, kurioje yra viena iš jo kraštinių, atžvilgiu. Kitaip tariant, visa figūra yra toje pačioje bet kurios jos pusės pusėje.

Susisiekus su

Kaip matote, apibrėžimą gana lengva prisiminti.

Pagrindinės savybės ir tipai

Beveik visos žinomos figūros, susidedančios iš keturių kampų ir kraštinių, gali būti klasifikuojamos kaip išgaubti keturkampiai. Galima išskirti šiuos dalykus:

1. lygiagretainis;
2. kvadratas;
3. stačiakampis;
4. trapecijos formos;
5. rombas.

Visas šias figūras vienija ne tik tai, kad jos yra keturkampės, bet ir tai, kad jos yra ir išgaubtos. Tiesiog pažiūrėkite į diagramą:

Paveiksle pavaizduota išgaubta trapecija. Čia matote, kad trapecija yra toje pačioje plokštumoje arba vienoje atkarpos pusėje. Jei atliksite panašius veiksmus, galite sužinoti, kad visose kitose pusėse trapecija yra išgaubta.

Ar lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis?

Viršuje yra lygiagretainio paveikslėlis. Kaip matyti iš paveikslo, lygiagretainis taip pat yra išgaubtas. Jei pažvelgsite į figūrą, palyginti su tiesėmis, ant kurių yra atkarpos AB, BC, CD ir AD, paaiškėja, kad ji visada yra toje pačioje plokštumoje iš šių linijų. Pagrindinės lygiagretainio charakteristikos yra tai, kad jo kraštinės yra poromis lygiagrečios ir lygios, kaip ir priešingi kampai yra lygūs vienas kitam.

Dabar įsivaizduokite kvadratą arba stačiakampį. Pagal savo pagrindines savybes jie taip pat yra lygiagretainiai, tai yra, visos jų pusės yra lygiagrečiomis poromis. Tik stačiakampio atveju kraštinių ilgiai gali būti skirtingi, o kampai yra statūs (lygūs 90 laipsnių), kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir kampai taip pat yra stačiakampiai, o lygiagretainis, kraštinių ilgiai ir kampai gali būti skirtingi.

Dėl to visų keturių keturkampio kampų suma turi būti lygus 360 laipsnių. Lengviausias būdas tai nustatyti yra pažvelgus į stačiakampį: visi keturi stačiakampio kampai yra tiesūs, tai yra lygūs 90 laipsnių. Šių 90 laipsnių kampų suma duoda 360 laipsnių, kitaip tariant, 4 kartus pridėjus 90 laipsnių, gaunamas norimas rezultatas.

Išgaubto keturkampio įstrižainių savybė

Išgaubto keturkampio įstrižainės susikerta. Iš tiesų, šį reiškinį galima stebėti vizualiai, tiesiog pažiūrėkite į paveikslą:

Paveikslėlyje kairėje pavaizduotas neišgaubtas keturkampis arba keturkampis. Kaip nori. Kaip matote, įstrižainės nesikerta, bent jau ne visos. Dešinėje yra išgaubtas keturkampis. Čia jau pastebima įstrižainių savybė susikirsti. Ta pati savybė gali būti laikoma keturkampio išgaubimo ženklu.

Kitos keturkampio išgaubimo savybės ir požymiai

Vartojant šį terminą labai sunku įvardyti kokias nors konkrečias savybes ir charakteristikas. Lengviau atskirti įvairių tipųšio tipo keturkampiai. Galite pradėti nuo lygiagretainio. Jau žinome, kad tai keturkampė figūra, kurios kraštinės lygiagrečios ir poromis lygios. Kartu tai apima ir lygiagretainio įstrižainių savybę susikirsti viena su kita, taip pat patį figūros išgaubimo ženklą: lygiagretainis visada yra toje pačioje plokštumoje ir toje pačioje pusėje bet kurio iš jo šonai.

Taigi, žinomos pagrindinės savybės ir savybės:

1. keturkampio kampų suma lygi 360 laipsnių;
2. Figūrų įstrižainės susikerta viename taške.

Stačiakampis. Ši figūra turi visas tas pačias savybes ir charakteristikas kaip lygiagretainis, tačiau tuo pačiu metu visi jo kampai yra lygūs 90 laipsnių. Iš čia ir kilo pavadinimas – stačiakampis.

Kvadratas, tas pats lygiagretainis, bet jo kampai yra statūs kaip stačiakampio. Dėl šios priežasties kvadratas retai vadinamas stačiakampiu. Bet svarbiausia skiriamasis ženklas kvadrato, be jau išvardytų aukščiau, visos keturios jo kraštinės yra lygios.

Trapecija yra labai įdomi figūra. Tai taip pat yra keturkampis ir taip pat išgaubtas. Šiame straipsnyje trapecija jau buvo aptarta naudojant brėžinio pavyzdį. Akivaizdu, kad jis taip pat yra išgaubtas. Pagrindinis skirtumas, taigi ir trapecijos ženklas, yra tas, kad jos kraštinės gali būti visiškai nelygios viena kitai ilgio, taip pat kampų vertės. Šiuo atveju figūra visada išlieka toje pačioje plokštumoje bet kurios linijos, jungiančios bet kurias dvi jos viršūnes išilgai figūrą sudarančių atkarpų, atžvilgiu.

Rombas yra ne mažiau įdomi figūra. Iš dalies rombas gali būti laikomas kvadratu. Rombo ženklas yra tai, kad jo įstrižainės ne tik susikerta, bet ir dalija rombo kampus pusiau, o pačios įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai yra, yra statmenos. Jei rombo kraštinių ilgiai lygūs, tai susikertant įstrižainės taip pat dalijamos pusiau.

Deltai arba išgaubti rombai (rombai) gali turėti skirtingą šonų ilgį. Tačiau tuo pačiu metu vis dar išsaugomos pagrindinės paties rombo savybės ir savybės, taip pat išgaubimo savybės ir savybės. Tai yra, galime pastebėti, kad įstrižainės dalija kampus ir susikerta stačiu kampu.

Šios dienos užduotis buvo apsvarstyti ir suprasti, kas yra išgaubti keturkampiai, kokie jie yra ir kokie yra jų pagrindiniai bruožai ir savybės. Dėmesio! Verta dar kartą priminti, kad išgaubto keturkampio kampų suma yra 360 laipsnių. Pavyzdžiui, figūrų perimetras yra lygus visų figūrą sudarančių atkarpų ilgių sumai. Keturkampių perimetro ir ploto skaičiavimo formulės bus aptariamos tolesniuose straipsniuose.

Išgaubtų keturkampių tipai

Daugiakampio koncepcija

1 apibrėžimas

Poligonas yra geometrinė figūra plokštumoje, susidedanti iš atkarpų, sujungtų poromis, o gretimi yra ne vienoje tiesėje.

Šiuo atveju segmentai vadinami daugiakampio kraštinės ir jų galai - daugiakampio viršūnės.

2 apibrėžimas

$n$-kampis yra daugiakampis su $n$ viršūnėmis.

Daugiakampių tipai

3 apibrėžimas

Jei daugiakampis visada yra toje pačioje bet kurios tiesės, einančios per jo kraštines, pusėje, tada daugiakampis vadinamas išgaubtas(1 pav.).

1 pav. Išgaubtas daugiakampis

4 apibrėžimas

Jei daugiakampis yra bent vienos tiesės, einančios per jo kraštines, priešingose ​​pusėse, tai daugiakampis vadinamas neišgaubtu (2 pav.).

2 pav. Neišgaubtas daugiakampis

Daugiakampio kampų suma

Įveskime teoremą apie trikampio kampų sumą.

1 teorema

Išgaubto trikampio kampų suma nustatoma taip

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Įrodymas.

Pateikiame išgaubtą daugiakampį $A_1A_2A_3A_4A_5\taškai A_n$. Sujungkime jo viršūnę $A_1$ su visomis kitomis šio daugiakampio viršūnėmis (3 pav.).

3 pav.

Su šiuo ryšiu gauname $n-2$ trikampius. Susumavus jų kampus gauname duoto -gon kampų sumą. Kadangi trikampio kampų suma lygi $(180)^0,$ gauname, kad išgaubto trikampio kampų suma nustatoma pagal formulę

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema įrodyta.

Keturkampio samprata

Naudojant $2$ apibrėžimą, nesunku įvesti keturkampio apibrėžimą.

5 apibrėžimas

Keturkampis yra daugiakampis su $4$ viršūnėmis (4 pav.).

4 pav. Keturkampis

Keturkampiui panašiai apibrėžiamos išgaubto keturkampio ir neišgaubto keturkampio sąvokos. Klasikiniai išgaubtų keturkampių pavyzdžiai yra kvadratas, stačiakampis, trapecija, rombas, lygiagretainis (5 pav.).

5 pav. Išgaubti keturkampiai

2 teorema

Išgaubto keturkampio kampų suma yra $(360)^0$

Įrodymas.

Pagal teoremą $1$ žinome, kad išgaubto kampo kampų suma nustatoma pagal formulę

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Todėl išgaubto keturkampio kampų suma lygi

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema įrodyta.

8 klasėje per geometrijos pamokas mokykloje mokiniai pirmą kartą supažindinami su išgaubto daugiakampio samprata. Labai greitai jie sužinos, kad ši figūra turi labai įdomią savybę. Kad ir koks sudėtingas jis būtų, visų vidinių ir išorinių išgaubto daugiakampio kampų suma įgyja griežtai apibrėžtą reikšmę. Šiame straipsnyje matematikos ir fizikos mokytojas pasakoja apie tai, kam lygi išgaubto daugiakampio kampų suma.

Išgaubto daugiakampio vidinių kampų suma

Kaip įrodyti šią formulę?

Prieš pereidami prie šio teiginio įrodymo, prisiminkime, kuris daugiakampis vadinamas išgaubtu. Išgaubtas daugiakampis yra daugiakampis, kuris yra visiškai vienoje linijos, kurioje yra bet kuri jos kraštinė, pusėje. Pavyzdžiui, pavaizduota šiame paveikslėlyje:

Jei daugiakampis netenkina nurodytos sąlygos, tada jis vadinamas neišgaubtu. Pavyzdžiui, taip:

Išgaubto daugiakampio vidinių kampų suma yra lygi , Kur yra daugiakampio kraštinių skaičius.

Šio fakto įrodymas pagrįstas visiems moksleiviams gerai žinoma trikampio kampų sumos teorema. Esu tikras, kad ši teorema jums taip pat žinoma. Trikampio vidinių kampų suma yra .

Idėja yra padalinti išgaubtą daugiakampį į kelis trikampius. Tai galima padaryti Skirtingi keliai. Priklausomai nuo to, kokį metodą pasirinksime, įrodymai šiek tiek skirsis.

1. Padalinkite išgaubtą daugiakampį į trikampius, naudodami visas įmanomas įstrižaines, nubrėžtas iš kokios nors viršūnės. Nesunku suprasti, kad tada mūsų n-kampis bus padalintas į trikampius:

Be to, visų gautų trikampių visų kampų suma yra lygi mūsų n kampo kampų sumai. Galų gale, kiekvienas gautų trikampių kampas yra dalinis kampas mūsų išgaubtame daugiakampyje. Tai yra, reikalinga suma yra lygi .

2. Taip pat galite pasirinkti tašką išgaubto daugiakampio viduje ir prijungti jį prie visų viršūnių. Tada mūsų n-kampis bus padalintas į trikampius:

Be to, mūsų daugiakampio kampų suma šiuo atveju bus lygi visų šių trikampių kampų sumai, atėmus centrinį kampą, kuris yra lygus . Tai yra, reikalinga suma vėl lygi .

Išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma

Dabar užduokime klausimą: „Kokia yra išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma? Į šį klausimą galima atsakyti taip. Kiekvienas išorinis kampas yra greta atitinkamo vidinio kampo. Todėl jis lygus:

Tada visų išorinių kampų suma lygi . Tai yra, jis yra lygus.

Tai yra, gaunamas labai juokingas rezultatas. Jei paeiliui vieną po kito nubraižysime visus bet kurio išgaubto n kampo išorinius kampus, rezultatas bus tiksliai visa plokštuma.

Tai įdomus faktas galima iliustruoti taip. Proporcingai sumažinkime visas kurio nors išgaubto daugiakampio kraštines, kol jis susijungs į tašką. Po to visi išoriniai kampai bus nustumti vienas nuo kito ir taip užpildys visą plokštumą.

Įdomus faktas, ar ne? Ir tokių faktų geometrijoje yra labai daug. Taigi, brangūs moksleiviai, mokykitės geometrijos!

Medžiagą, kuriai lygi išgaubto daugiakampio kampų suma, parengė Sergejus Valerjevičius

Daugiakampio koncepcija

1 apibrėžimas

Poligonas yra geometrinė figūra plokštumoje, susidedanti iš atkarpų, sujungtų poromis, o gretimi yra ne vienoje tiesėje.

Šiuo atveju segmentai vadinami daugiakampio kraštinės ir jų galai - daugiakampio viršūnės.

2 apibrėžimas

$n$-kampis yra daugiakampis su $n$ viršūnėmis.

Daugiakampių tipai

3 apibrėžimas

Jei daugiakampis visada yra toje pačioje bet kurios tiesės, einančios per jo kraštines, pusėje, tada daugiakampis vadinamas išgaubtas(1 pav.).

1 pav. Išgaubtas daugiakampis

4 apibrėžimas

Jei daugiakampis yra bent vienos tiesės, einančios per jo kraštines, priešingose ​​pusėse, tai daugiakampis vadinamas neišgaubtu (2 pav.).

2 pav. Neišgaubtas daugiakampis

Daugiakampio kampų suma

Įveskime teoremą apie trikampio kampų sumą.

1 teorema

Išgaubto trikampio kampų suma nustatoma taip

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Įrodymas.

Pateikiame išgaubtą daugiakampį $A_1A_2A_3A_4A_5\taškai A_n$. Sujungkime jo viršūnę $A_1$ su visomis kitomis šio daugiakampio viršūnėmis (3 pav.).

3 pav.

Su šiuo ryšiu gauname $n-2$ trikampius. Susumavus jų kampus gauname duoto -gon kampų sumą. Kadangi trikampio kampų suma lygi $(180)^0,$ gauname, kad išgaubto trikampio kampų suma nustatoma pagal formulę

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema įrodyta.

Keturkampio samprata

Naudojant $2$ apibrėžimą, nesunku įvesti keturkampio apibrėžimą.

5 apibrėžimas

Keturkampis yra daugiakampis su $4$ viršūnėmis (4 pav.).

4 pav. Keturkampis

Keturkampiui panašiai apibrėžiamos išgaubto keturkampio ir neišgaubto keturkampio sąvokos. Klasikiniai išgaubtų keturkampių pavyzdžiai yra kvadratas, stačiakampis, trapecija, rombas, lygiagretainis (5 pav.).

5 pav. Išgaubti keturkampiai

2 teorema

Išgaubto keturkampio kampų suma yra $(360)^0$

Įrodymas.

Pagal teoremą $1$ žinome, kad išgaubto kampo kampų suma nustatoma pagal formulę

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Todėl išgaubto keturkampio kampų suma lygi

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema įrodyta.

Sulaužytas

Apibrėžimas

nutrūkusi linija arba trumpai tariant, nutrūkusi linija, paskambino galutinė seka segmentus, kad vienas iš pirmojo segmento galų būtų antrojo segmento galas, kitas antrojo segmento galas – kaip trečiojo ir t. t. Šiuo atveju gretimi segmentai nėra toje pačioje tiesioje linijoje. Šie segmentai vadinami trūkinės linijos nuorodomis.

Polilinijos tipai

Nutrūkusi linija vadinama uždaryta, jei pirmojo segmento pradžia sutampa su paskutinio atkarpos pabaiga.

Nutrūkusi linija gali kirsti save, liesti save arba persidengti. Jei tokių singuliarumų nėra, vadinasi tokia laužyta linija paprastas.

Daugiakampiai

Apibrėžimas

Vadinama paprasta uždara laužyta linija kartu su jos ribojama plokštumos dalimi poligonas.

komentuoti

Kiekvienoje daugiakampio viršūnėje jo kraštinės apibrėžia tam tikrą daugiakampio kampą. Jis gali būti arba mažiau išplėstas, arba labiau išplėstas.

Nuosavybė

Kiekvieno daugiakampio kampas yra mažesnis nei $180^\circ$.

Įrodymas

Tegu pateiktas daugiakampis $P$.

Nubrėžkime tiesią liniją, kuri jos nesikerta. Perkelsime jį lygiagrečiai daugiakampiui. Tam tikru momentu pirmą kartą gausime tiesę $a$, turinčią bent vieną bendrą tašką su daugiakampiu $P$. Daugiakampis yra vienoje šios linijos pusėje (kai kurie jo taškai yra tiesėje $a$).

Linijoje $a$ yra bent viena daugiakampio viršūnė. Dvi jo kraštinės, esančios vienoje linijos $a$ pusėje, susilieja joje (įskaitant atvejį, kai viena iš jų yra šioje linijoje). Tai reiškia, kad šioje viršūnėje kampas yra mažesnis už neišskleistą.

Apibrėžimas

Daugiakampis vadinamas išgaubtas, jei jis yra vienoje kiekvienos eilutės, kurioje yra jos pusė, pusėje. Jei daugiakampis nėra išgaubtas, jis vadinamas neišgaubtas.

komentuoti

Išgaubtasis daugiakampis yra pusiau plokštumų, apribotų linijų, kuriose yra daugiakampio kraštinės, sankirta.

Išgaubto daugiakampio savybės

Išgaubto daugiakampio visi kampai yra mažesni nei $180^\circ$.

Šiame daugiakampyje yra linijos atkarpa, jungianti bet kuriuos du išgaubto daugiakampio taškus (ypač bet kurią jo įstrižainę).

Įrodymas

Įrodykime pirmąją savybę

Paimkite bet kurį išgaubto daugiakampio $P$ ir jo kraštinės $a$ kampą $A$ iš viršūnės $A$. Tegul $l$ yra eilutė su kraštine $a$. Kadangi daugiakampis $P$ yra išgaubtas, jis yra vienoje tiesės $l$ pusėje. Vadinasi, jo kampas $A$ taip pat yra vienoje šios linijos pusėje. Tai reiškia, kad kampas $A$ yra mažesnis nei išvystytas kampas, tai yra mažesnis nei $180^\circ$.

Įrodykime antrąją savybę

Paimkite bet kuriuos du išgaubto daugiakampio $P$ taškus $A$ ir $B$. Daugiakampis $P$ yra kelių pusplokštumų sankirta. Atkarpa $AB$ yra kiekvienoje iš šių pusplokštumų. Todėl jis taip pat yra daugiakampyje $P$.

Apibrėžimas

Daugiakampio įstrižainė vadinama atkarpa, jungiančia jos negretimas viršūnes.

Teorema (apie n kampo įstrižainių skaičių)

Išgaubto $n$-gon įstrižainių skaičius apskaičiuojamas pagal formulę $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Įrodymas

Iš kiekvienos n kampo viršūnės galima nubrėžti $n-3$ įstrižaines (negalite nubrėžti įstrižainės į gretimas viršūnes arba į pačią šią viršūnę). Jei suskaičiuosime visus tokius galimus segmentus, tada jų bus $n\cdot(n-3)$, nes yra $n$ viršūnių. Bet kiekviena įstrižainė bus skaičiuojama du kartus. Taigi n kampo įstrižainių skaičius yra lygus $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Teorema (apie n kampo kampų sumą)

Išgaubto $n$-gon kampų suma yra $180^\circ(n-2)$.

Įrodymas

Apsvarstykite $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Paimkime savavališką tašką $O$ šio daugiakampio viduje.

Visų trikampių $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ kampų suma lygi $180^\circ\cdot n$.

Kita vertus, ši suma yra visų daugiakampio vidinių kampų ir viso kampo $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ suma.

Tada nagrinėjamo $n$-gon kampų suma lygi $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Pasekmė

Neišgaubto $n$-gon kampų suma yra $180^\circ(n-2)$.

Įrodymas

Apsvarstykite daugiakampį $A_1A_2\ldots A_n$, kurio vienintelis kampas $\angle A_2$ yra neišgaubtas, tai yra $\kampas A_2>180^\circ$.

Jo laimikio sumą pažymėkime kaip $S$.

Sujungkime taškus $A_1A_3$ ir apsvarstykime daugiakampį $A_1A_3\ldots A_n$.

Šio daugiakampio kampų suma yra:

180 $^\circ\cdot(n-1-2)=S-\kampas A_2+\angle 1+\angle 2=S-\kampas A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Todėl $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Jei pradinis daugiakampis turi daugiau nei vieną neišgaubtą kampą, tada aukščiau aprašytą operaciją galima atlikti su kiekvienu tokiu kampu, todėl teiginys bus įrodytas.

Teorema (apie išgaubto n kampo išorinių kampų sumą)

Išgaubto $n$-gon išorinių kampų suma yra $360^\circ$.

Įrodymas

Išorinis kampas viršūnėje $A_1$ yra lygus $180^\circ-\angle A_1$.

Visų išorinių kampų suma yra lygi:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\circ$.