3 dengan derajat yang berbeda-beda. Eksponensial. Operasi dengan derajat

Kunjungi saluran youtube situs web kami untuk terus mengikuti semua video pelajaran baru.

Pertama, mari kita ingat rumus dasar pangkat dan sifat-sifatnya.

Produk dari suatu angka A terjadi pada dirinya sendiri sebanyak n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a a … a=an n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (sebuah) m = sebuah nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / am = an - m

Persamaan pangkat atau eksponensial– ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

Dalam contoh ini, angka 6 adalah basis; selalu di bawah, dan variabel X derajat atau indikator.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2 x = 2 3

Contoh ini dapat dipecahkan bahkan di kepala Anda. Dapat dilihat bahwa x=3. Lagi pula, agar ruas kiri dan kanan sama, Anda harus memasukkan angka 3, bukan x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana memformalkan keputusan ini:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami menghilangkannya alasan yang identik(yaitu, dua) dan menuliskan sisanya, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita rangkum keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah persamaan tersebut mempunyai basis di kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya menjadi sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana.

Basis di sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, artinya kita bisa membuang alasnya dan menyamakan derajatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana diperoleh.
x=4 – 2
x=2
Jawaban: x=2

Pada contoh berikut, Anda dapat melihat bahwa basisnya berbeda: 3 dan 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pertama, pindahkan sembilan ke sisi kanan, kita mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2. Mari kita gunakan rumus pangkat (an) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Kita peroleh 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sekarang jelas bahwa sisi kiri dan kanan alasnya sama dan sama dengan tiga, artinya kita bisa membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 kita mendapatkan persamaan paling sederhana
3x - 2x=16
x=16
Jawaban: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat basisnya, basis dua dan empat. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi sama. Kita transformasikan keempatnya menggunakan rumus (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Tapi angka 10 dan 24 lainnya mengganggu kita, apa yang harus dilakukan dengan angka tersebut? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita memiliki 2 2x yang diulang, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x = 2 2 basanya sama, kita buang dan samakan derajatnya.
2x = 2 adalah persamaan paling sederhana. Bagilah dengan 2 dan kita dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.

Mari selesaikan persamaannya:

9 x – 12*3 x +27= 0

Mari kita bertransformasi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basis kita sama, sama dengan 3. Dalam contoh ini, Anda dapat melihat bahwa tiga bilangan pertama mempunyai derajat dua kali (2x) dibandingkan bilangan kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda bisa menyelesaikannya metode penggantian. Kita ganti angka tersebut dengan derajat terkecil:

Maka 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Kami mengganti semua pangkat x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:
D=144-108=36
T 1 = 9
t2 = 3

Kembali ke variabel X.

Ambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Itu adalah,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x 2 = 1.

Di situs web Anda dapat mengajukan pertanyaan apa pun yang Anda miliki di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup

Masukkan angka dan derajat, lalu tekan =.

Tabel derajat

Sifat derajat - 2 bagian

Tabel derajat utama dalam aljabar dalam bentuk kompak (gambar, nyaman untuk dicetak), di atas angka, di samping derajat.

MATERI REFERENSI ALJABAR UNTUK KELAS 7-11.

Yang terhormat orang tua! Jika Anda sedang mencari tutor matematika untuk anak Anda, maka iklan ini cocok untuk Anda. Saya menawarkan bimbingan Skype: persiapan Ujian Negara Bersatu, Ujian Negara Bersatu, menutup kesenjangan pengetahuan. Keuntungan Anda jelas:

1) Anak Anda ada di rumah, dan Anda bisa tenang terhadapnya;

2) Kelas diadakan pada waktu yang tepat bagi anak, dan Anda bahkan dapat menghadiri kelas ini. Saya menjelaskannya secara sederhana dan jelas di papan sekolah biasa.

3) Anda dapat memikirkan sendiri keuntungan penting lainnya dari pelajaran Skype!

• Bekerja N faktor yang masing-masing sama A ditelepon N-pangkat nomor tersebut A dan ditunjuk AN.
• Tindakan yang menghasilkan produk dari beberapa faktor yang sama disebut eksponensial. Bilangan yang dipangkatkan disebut bilangan pokok pangkat. Bilangan yang menunjukkan pangkat apa yang dipangkatkan disebut eksponen. Jadi, AN- derajat, A– dasar gelar, N– eksponen.
• dan 0 =1
• sebuah 1 =sebuah
• saya∙ sebuah= saya + N
• saya: sebuah= saya — N
• (saya) N= satu hal
• (a∙b) n =an n ∙b n
• (A/ B) N= sebuah/ bn Saat menaikkan pecahan, pembilang dan penyebut pecahan dipangkatkan.

• (- N) bilangan pangkat (n – natural). A, tidak sama dengan nol, dianggap kebalikan dari bilangan tersebut N-kekuatan angka A, yaitu. . A — N=1/ sebuah. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
• (A/ B) — N=(B/ A) N
• Sifat-sifat derajat dengan eksponen alami juga berlaku untuk derajat dengan eksponen apa pun.

Bilangan yang sangat besar dan sangat kecil biasanya ditulis dalam bentuk baku: A∙10 N, Di mana 1≤a<10 Dan N(alami atau bilangan bulat) – adalah urutan bilangan yang ditulis dalam bentuk standar.

• Ekspresi yang terdiri dari bilangan, variabel, dan pangkatnya menggunakan perkalian disebut monomial.
• Monomial jenis ini, jika faktor numerik (koefisien) didahulukan, diikuti variabel beserta pangkatnya, disebut jenis monomial standar. Jumlah eksponen seluruh variabel yang termasuk dalam monomial disebut derajat monomial.
• Monomial yang mempunyai bagian huruf yang sama disebut monomial sejenis.

• Jumlah monomial disebut polinomial. Monomial yang membentuk polinomial disebut suku polinomial.
• Binomial adalah polinomial yang terdiri dari dua suku (monomial).
• Trinomial adalah polinomial yang terdiri dari tiga suku (monomial).
• Derajat suatu polinomial adalah derajat tertinggi dari monomial-monomial penyusunnya.
• Polinomial bentuk standar tidak mengandung suku-suku serupa dan ditulis dalam urutan derajat suku-sukunya.

• Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku polinomial dengan monomial tersebut dan menjumlahkan hasil perkaliannya.
• Menyatakan suatu polinomial sebagai hasil kali dua atau lebih polinomial disebut memfaktorkan polinomial tersebut.
• Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung adalah cara paling sederhana untuk memfaktorkan suatu polinomial.
• Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lain dan menuliskan hasil perkaliannya sebagai jumlah monomial. Jika perlu, tambahkan istilah serupa.

• (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Kuadrat dari jumlah dua ekspresi sama dengan kuadrat ekspresi pertama ditambah dua kali hasil kali ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.
• (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Kuadrat selisih dua ekspresi sama dengan kuadrat ekspresi pertama dikurangi dua kali hasil kali ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah kuadrat ekspresi kedua.
• a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Selisih kuadrat dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih antara ekspresi itu sendiri dan jumlahnya.
• (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Kubus jumlah dua ekspresi sama dengan pangkat tiga dari ekspresi pertama ditambah tiga kali lipat hasil kali kuadrat dari ekspresi pertama dan yang kedua ditambah tiga kali lipat hasil kali dari ekspresi pertama dan kuadrat dari ekspresi kedua ditambah pangkat tiga dari ekspresi kedua.
• (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Kubus selisih dua ekspresi sama dengan pangkat tiga ekspresi pertama dikurangi tiga kali hasil kali kuadrat ekspresi pertama dan ekspresi kedua ditambah tiga kali hasil kali ekspresi pertama dan kuadrat ekspresi kedua dikurangi pangkat tiga ekspresi kedua.
• a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Jumlah kubus dari dua ekspresi sama dengan hasil kali jumlah ekspresi itu sendiri dan kuadrat tak lengkap selisihnya.
• a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Perbedaan kubus dua ekspresi sama dengan hasil kali selisih antara ekspresi itu sendiri dan kuadrat parsial dari jumlahnya.
• (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Kuadrat dari jumlah tiga ekspresi sama dengan jumlah kuadrat dari ekspresi-ekspresi ini ditambah semua kemungkinan hasil kali ganda berpasangan dari ekspresi-ekspresi itu sendiri.
• Referensi. Kuadrat sempurna dari jumlah dua ekspresi: a 2 + 2ab + b 2

Kuadrat parsial dari jumlah dua ekspresi: a 2 + ab + b 2

Fungsi formulir kamu=x2 disebut fungsi persegi. Grafik fungsi kuadrat adalah parabola yang titik puncaknya berada di titik asal. Cabang parabola kamu=x² diarahkan ke atas.

Fungsi formulir kamu=x 3 disebut fungsi kubik. Grafik fungsi kubik adalah parabola kubik yang melalui titik asal. Cabang parabola kubik kamu=x³ terletak di kuartal 1 dan 3.

Fungsi genap.

Fungsi F dipanggil meskipun, bersama dengan setiap nilai variabel X -X F(- X)= F(X). Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu ordinat (Oy). Fungsi y=x 2 genap.

Fungsi aneh.

Fungsi F disebut ganjil jika, bersama-sama dengan setiap nilai variabelnya X dari domain nilai fungsi ( -X) juga termasuk dalam cakupan fungsi ini dan persamaan terpenuhi: F(- X)=- F(X) . Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal. Fungsi y=x 3 ganjil.

Persamaan kuadrat.

Definisi. Persamaan bentuk kapak 2 +bx+c=0, Di mana a, b Dan C– bilangan real apa pun, dan a≠0,x– variabel, disebut persamaan kuadrat.

A– koefisien pertama, B– koefisien kedua, C- anggota gratis.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap.

• kapak 2 =0 – tidak lengkap persamaan kuadrat (b=0, c=0 ). Penyelesaian: x=0. Jawaban: 0.
• kapak 2 +bx=0 –tidak lengkap persamaan kuadrat (c=0 ). Penyelesaian: x (ax+b)=0 → x 1 =0 atau ax+b=0 → x 2 =-b/a. Jawaban: 0; -b/a.
• kapak 2 +c=0 –tidak lengkap persamaan kuadrat (b=0 ); Penyelesaian: kapak 2 =-c → x 2 =-c/a.

Jika (-c/a)<0 , maka tidak ada akar nyata. Jika (-с/а)>0

• kapak 2 +bx+c=0- persamaan kuadrat pandangan umum

Diskriminan D=b 2 - 4ac.

Jika D>0, maka kita mempunyai dua akar real:

Jika D=0, maka kita mempunyai satu akar (atau dua akar yang sama) x=-b/(2a).

Jika D<0, то действительных корней нет.

• kapak 2 +bx+c=0 – persamaan kuadrat bentuk pribadi untuk detik genap

Koefisien B

• kapak 2 +bx+c=0 – persamaan kuadrat tipe pribadi disediakan : a-b+c=0.

Akar pertama selalu sama dengan minus satu, dan akar kedua selalu sama dengan minus Dengan, dibagi dengan A:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

• kapak 2 +bx+c=0 – persamaan kuadrat tipe pribadi disediakan: a+b+c=0 .

Akar pertama selalu sama dengan satu, dan akar kedua sama dengan Dengan, dibagi dengan A:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Memecahkan persamaan kuadrat yang diberikan.

• x 2 +px+q=0 – persamaan kuadrat tereduksi (koefisien pertama sama dengan satu).

Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +px+q=0 sama dengan koefisien kedua yang diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas:

kapak 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Di mana x 1, x 2- akar persamaan kuadrat kapak 2 +bx+c=0.

Fungsi argumen natural disebut barisan bilangan, dan bilangan-bilangan yang membentuk barisan tersebut disebut suku-suku barisan tersebut.

Urutan numerik dapat ditentukan dengan cara berikut: verbal, analitis, berulang, grafik.

Suatu barisan bilangan, yang masing-masing anggotanya, mulai dari bilangan kedua, sama dengan bilangan sebelumnya, ditambah bilangan yang sama untuk suatu barisan tertentu D, disebut barisan aritmatika. Nomor D disebut selisih barisan aritmatika. Dalam perkembangan aritmatika (sebuah), yaitu dalam barisan aritmatika dengan suku: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, an, ... menurut definisi: a 2 =a 1 + D; sebuah 3 =sebuah 2 + D; sebuah 4 =sebuah 3 + D; sebuah 5 =sebuah 4 + D; ...; sebuah =sebuah-1 + D; …

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika.

sebuah =sebuah 1 +(n-1) d.

Sifat-sifat perkembangan aritmatika.

• Setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku tetangganya:

an =(an-1 +an+1):2;

• Setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku yang berjarak sama darinya:

a n =(a n-k +a n+k):2.

Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika.

1) S n = (a 1 +an)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2

Kemajuan geometris.

Pengertian barisan geometri.

Suatu barisan bilangan, yang masing-masing anggotanya, mulai dari barisan kedua, sama dengan barisan sebelumnya, dikalikan dengan bilangan yang sama untuk barisan tertentu Q, disebut barisan geometri. Nomor Q disebut penyebut suatu barisan geometri. Pada barisan geometri (b n), yaitu pada barisan geometri b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... menurut definisi: b 2 = b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; ... ; b n =b n -1 ∙q.

Rumus suku ke-n suatu barisan geometri.

b n =b 1 ∙q n -1 .

Sifat-sifat perkembangan geometri.

Rumus jumlah yang pertaman suku barisan geometri.

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Desimal periodik tak terhingga sama dengan pecahan biasa, yang pembilangnya merupakan selisih antara bilangan bulat setelah koma desimal dan bilangan setelah koma desimal sebelum periode pecahan, dan penyebutnya terdiri dari “sembilan” dan “nol”, dan jumlahnya sama banyak “ sembilan” sebanyak jumlah angka dalam periode, dan jumlah “nol” sebanyak jumlah angka setelah koma sebelum titik pecahan. Contoh:

Sinus, cosinus, tangen dan kotangen sudut lancip segitiga siku-siku.

(α+β=90°)

Kita mempunyai: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Karena β=90°-α, maka

dosa(90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;

tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.

Fungsi sudut-sudut yang saling berkomplemen sampai dengan 90° adalah sama besar.

Rumus penjumlahan.

9) dosa (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;

10) dosa (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;

11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;

12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;

Rumus argumen ganda dan rangkap tiga.

17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;

19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α

21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;

Rumus untuk mengubah suatu jumlah (selisih) menjadi suatu hasil kali.

Rumus untuk mengubah suatu hasil kali menjadi jumlah (selisih).

Rumus setengah argumen.

Sinus dan kosinus dari sudut mana pun.

Kemerataan (keanehan) fungsi trigonometri.

Dari fungsi trigonometri, hanya satu yang genap: y=cosx, tiga lainnya ganjil, yaitu cos (-α)=cosα;

dosa (-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.

Tanda-tanda fungsi trigonometri menurut koordinat kuarter.

Nilai fungsi trigonometri beberapa sudut.

Radian.

1) 1 radian adalah nilai sudut pusat berdasarkan busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran tertentu. 1 rad≈57°.

2) Mengubah besaran derajat suatu sudut menjadi besaran radian.

3) Mengubah besaran sudut radian menjadi besaran derajat.

Rumus reduksi.

Aturan mnemonik:

1. Sebelum fungsi tereduksi, beri tanda yang dapat direduksi.

2. Jika argumen π/2 (90°) ditulis ganjil, maka fungsinya diubah menjadi kofungsi.

Fungsi trigonometri terbalik.

Arcsinus suatu bilangan (arcsin a) adalah sudut dari interval [-π/2; π/2 ], yang sinusnya sama dengan a.

arcsin(- A)=- arcsinA.

Arccosinus suatu bilangan (arccos a) adalah sudut dari interval yang cosinusnya sama dengan a.

arccos(-a)=π – arccosa.

Garis singgung suatu bilangan a (arctg a) adalah sudut dari interval (-π/2; π/2), yang garis singgungnya sama dengan a.

arctg(- A)=- arctgA.

Kotangen suatu bilangan a (arcctg a) adalah sudut dari interval (0; π), kotangennya sama dengan a.

busur(-a)=π – busur a.

Memecahkan persamaan trigonometri sederhana.

Rumus umum.

1) dosa t=a, 0

2) dosa t = - a, 0

3) karena t=a, 0

4) biaya t =-a, 0

5) tg t =a, a>0, maka t=arctg a + πn, nϵZ;

6) tg t =-a, a>0, lalu t= - arctg a + πn, nϵZ;

7) ctg t=a, a>0, lalu t=arcctg a + πn, nϵZ;

8) ctg t= -a, a>0, lalu t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

Rumus tertentu.

1) sin t =0, maka t=πn, nϵZ;

2) dosa t=1, maka t= π/2 +2πn, nϵZ;

3) dosa t= -1, maka t= — π/2 +2πn, nϵZ;

4) cos t=0, maka t= π/2+ πn, nϵZ;

5) cos t=1, maka t=2πn, nϵZ;

6) cos t=1, maka t=π +2πn, nϵZ;

7) tg t =0, maka t = πn, nϵZ;

8) cot t=0, maka t = π/2+πn, nϵZ.

Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana.

1) dosa

2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn

3) biaya

4) biaya>a (|a|<1), -arccosa+2πn

5) tgt

6) tgt>a, arctga+πn

7) ctgt

8) ctgt>a, πn

Langsung di pesawat.