Cara mengurangi akar lain dari satu akar. Aturan untuk menambahkan akar kuadrat. Rumus akar. Sifat-sifat akar kuadrat

Rumus akar. sifat-sifat akar kuadrat.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mengetahui apa itu akar kuadrat. Saatnya untuk mencari tahu apa itu rumus akar, apa sifat akar dan apa yang bisa dilakukan tentang itu semua.

Rumus Akar, Properti Akar, dan Aturan untuk Tindakan dengan Akar- itu pada dasarnya hal yang sama. Ada beberapa rumus yang mengejutkan untuk akar kuadrat. Yang, tentu saja, menyenangkan! Sebaliknya, Anda dapat menulis banyak jenis rumus, tetapi hanya tiga yang cukup untuk pekerjaan praktis dan percaya diri dengan akar. Segala sesuatu yang lain mengalir dari ketiganya. Meski banyak nyasar di ketiga rumus akarnya, ya…

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Itu dia:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Saya melihat lagi ke piring ... Dan, ayo pergi!

Mari kita mulai dengan yang sederhana:

Tunggu sebentar. ini, yang berarti kita dapat menulisnya seperti ini:

Mengerti? Inilah yang berikutnya untuk Anda:

Akar dari angka yang dihasilkan tidak persis diekstraksi? Jangan khawatir, berikut beberapa contohnya:

Tetapi bagaimana jika tidak ada dua pengganda, tetapi lebih? Sama! Rumus perkalian akar bekerja dengan sejumlah faktor:

Sekarang sepenuhnya independen:

Jawaban: Bagus sekali! Setuju, semuanya sangat mudah, yang utama adalah mengetahui tabel perkalian!

Pembagian akar

Kami menemukan perkalian akarnya, sekarang mari kita lanjutkan ke sifat pembagian.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa rumus secara umum terlihat seperti ini:

Dan itu berarti akar hasil bagi sama dengan hasil bagi akar-akarnya.

Nah, mari kita lihat contohnya:

Itu semua ilmu. Dan inilah contohnya:

Semuanya tidak semulus pada contoh pertama, tetapi seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Bagaimana jika ekspresinya seperti ini:

Anda hanya perlu menerapkan rumus secara terbalik:

Dan inilah contohnya:

Anda juga dapat melihat ekspresi ini:

Semuanya sama, hanya di sini Anda perlu mengingat cara menerjemahkan pecahan (jika Anda tidak ingat, lihat topiknya dan kembali!). Ingat? Sekarang kita putuskan!

Saya yakin Anda telah mengatasi segalanya, segalanya, sekarang mari kita coba membangun akar dalam satu gelar.

Eksponen

Apa yang terjadi jika akar kuadrat dikuadratkan? Sederhana saja, ingat arti akar kuadrat dari suatu angka - ini adalah angka yang akar kuadratnya sama dengan.

Jadi, jika kita mengkuadratkan suatu bilangan yang akar kuadratnya sama, lalu apa yang kita peroleh?

Yah, tentu saja, !

Mari kita lihat contohnya:

Semuanya sederhana, bukan? Dan jika akarnya dalam derajat yang berbeda? Tidak apa-apa!

Tetap pada logika yang sama dan ingat properti dan kemungkinan tindakan dengan kekuatan.

Baca teori tentang topik "" dan semuanya akan menjadi sangat jelas bagi Anda.

Misalnya, inilah ekspresi:

Dalam contoh ini, derajatnya genap, tetapi bagaimana jika ganjil? Sekali lagi, terapkan properti daya dan faktorkan semuanya:

Dengan ini, semuanya tampak jelas, tetapi bagaimana cara mengekstrak akar dari angka dalam satu derajat? Di sini, misalnya, adalah ini:

Cukup sederhana, bukan? Bagaimana jika derajatnya lebih besar dari dua? Kami mengikuti logika yang sama menggunakan sifat derajat:

Nah, apakah semuanya jelas? Kemudian selesaikan contoh Anda sendiri:

Dan inilah jawabannya:

Pendahuluan di bawah tanda akar

Apa yang belum kita pelajari untuk dilakukan dengan akarnya! Tetap hanya berlatih memasukkan nomor di bawah tanda root!

Ini cukup mudah!

Katakanlah kita punya nomor

Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Yah, tentu saja, sembunyikan rangkap tiga di bawah akar, sambil mengingat bahwa rangkap tiga adalah akar kuadrat dari!

Mengapa kita membutuhkannya? Ya, hanya untuk memperluas kemampuan kami saat memecahkan contoh:

Bagaimana Anda menyukai properti akar ini? Membuat hidup jauh lebih mudah? Bagi saya, itu benar! Hanya kita harus ingat bahwa kita hanya dapat memasukkan bilangan positif di bawah tanda akar kuadrat.

Coba contoh ini untuk diri Anda sendiri:
Apakah Anda berhasil? Mari kita lihat apa yang harus Anda dapatkan:

Bagus sekali! Anda berhasil memasukkan nomor di bawah tanda root! Mari kita beralih ke sesuatu yang sama pentingnya - pertimbangkan bagaimana membandingkan angka yang mengandung akar kuadrat!

Perbandingan akar

Mengapa kita harus belajar membandingkan bilangan yang mengandung akar kuadrat?

Sangat sederhana. Seringkali, dalam ekspresi besar dan panjang yang ditemui dalam ujian, kita mendapatkan jawaban yang tidak rasional (ingat apa itu? Kita sudah membicarakannya hari ini!)

Kita perlu menempatkan jawaban yang diterima pada garis koordinat, misalnya, untuk menentukan interval mana yang cocok untuk menyelesaikan persamaan. Dan di sinilah hambatan muncul: tidak ada kalkulator pada ujian, dan tanpanya, bagaimana membayangkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil? Itu dia!

Misalnya, tentukan mana yang lebih besar: atau?

Anda tidak akan langsung mengatakannya. Nah, mari kita gunakan properti parsing untuk menambahkan angka di bawah tanda root?

Kemudian maju:

Jelas, semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri!

Itu. jika berarti.

Dari sini kami dengan tegas menyimpulkan bahwa Dan tidak ada yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Mengekstrak akar dari jumlah besar

Sebelum itu, kami memperkenalkan faktor di bawah tanda root, tetapi bagaimana cara menghilangkannya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang diekstraksi!

Itu mungkin untuk pergi ke arah lain dan terurai menjadi faktor-faktor lain:

Tidak buruk, kan? Salah satu dari pendekatan ini benar, putuskan bagaimana Anda merasa nyaman.

Anjak sangat berguna saat menyelesaikan tugas non-standar seperti ini:

Kami tidak takut, kami bertindak! Kami menguraikan setiap faktor di bawah akar menjadi faktor-faktor terpisah:

Dan sekarang coba sendiri (tanpa kalkulator! Tidak akan ada di ujian):

Apakah ini akhirnya? Kami tidak berhenti di tengah jalan!

Itu saja, tidak terlalu menakutkan, kan?

Telah terjadi? Bagus sekali, Anda benar!

Sekarang coba contoh ini:

Dan contohnya adalah kacang yang sulit untuk dipecahkan, sehingga Anda tidak dapat langsung mencari cara untuk mendekatinya. Tapi kita, tentu saja, berada di gigi.

Baiklah, mari kita mulai memfaktorkan, ya? Segera, kami mencatat bahwa Anda dapat membagi angka dengan (ingat tanda-tanda pembagian):

Dan sekarang, coba sendiri (sekali lagi, tanpa kalkulator!):

Nah, apakah itu berhasil? Bagus sekali, Anda benar!

Menyimpulkan

1. Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) dari bilangan non-negatif adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama.
   .
2. Jika kita hanya mengambil akar kuadrat dari sesuatu, kita selalu mendapatkan satu hasil non-negatif.
3. Sifat akar aritmatika:
4. Saat membandingkan akar kuadrat, harus diingat bahwa semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri.

Bagaimana Anda menyukai akar kuadrat? Semua jelas?

Kami mencoba menjelaskan kepada Anda tanpa air semua yang perlu Anda ketahui dalam ujian tentang akar kuadrat.

Ini giliran Anda. Tulis kepada kami apakah topik ini sulit bagi Anda atau tidak.

Apakah Anda mempelajari sesuatu yang baru atau semuanya sudah begitu jelas.

Tulis di komentar dan semoga berhasil dalam ujian!

Halo kucing! Terakhir kali kami menganalisis secara rinci apa itu root (jika Anda tidak ingat, saya sarankan membaca). Kesimpulan utama dari pelajaran itu: hanya ada satu definisi universal tentang akar, yang perlu Anda ketahui. Sisanya adalah omong kosong dan buang-buang waktu.

Hari ini kita melangkah lebih jauh. Kita akan belajar mengalikan akar, kita akan mempelajari beberapa masalah yang berhubungan dengan perkalian (jika masalah ini tidak diselesaikan, maka bisa berakibat fatal pada ujian) dan kita akan berlatih dengan benar. Jadi siapkan popcorn, buat diri Anda nyaman - dan kita akan mulai. :)

Anda belum merokok, kan?

Pelajarannya ternyata cukup besar, jadi saya membaginya menjadi dua bagian:

1. Pertama, kita akan melihat aturan perkalian. Tutupnya tampaknya mengisyaratkan: ini adalah ketika ada dua akar, ada tanda "kalikan" di antara mereka - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
2. Kemudian kami akan menganalisis situasi sebaliknya: ada satu akar besar, dan kami tidak sabar untuk menyajikannya sebagai produk dari dua akar dengan cara yang lebih sederhana. Dengan ketakutan apa itu perlu adalah pertanyaan terpisah. Kami hanya akan menganalisis algoritma.

Bagi yang sudah tidak sabar untuk langsung masuk ke Bagian 2, sama-sama. Mari kita mulai dengan sisanya secara berurutan.

Aturan perkalian dasar

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana - akar kuadrat klasik. Yang dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Bagi mereka, semuanya umumnya jelas:

aturan perkalian. Untuk mengalikan satu akar kuadrat dengan akar kuadrat lainnya, Anda hanya perlu mengalikan ekspresi radikalnya, dan menulis hasilnya di bawah akar umum:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Tidak ada batasan tambahan yang dikenakan pada angka di kanan atau kiri: jika akar pengali ada, maka produk juga ada.

Contoh. Pertimbangkan empat contoh dengan angka sekaligus:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, arti utama dari aturan ini adalah untuk menyederhanakan ekspresi irasional. Dan jika pada contoh pertama kita akan mengekstrak akar dari 25 dan 4 tanpa aturan baru, maka kaleng dimulai: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dihitung sendiri, tetapi hasil kali mereka adalah kuadrat eksak, jadi akarnya sama dengan bilangan rasional.

Secara terpisah, saya ingin mencatat baris terakhir. Di sana, kedua ekspresi radikal adalah pecahan. Berkat produk, banyak faktor yang dibatalkan, dan seluruh ekspresi berubah menjadi jumlah yang memadai.

Tentu saja, tidak semuanya akan selalu begitu indah. Kadang-kadang akan ada omong kosong lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya dan bagaimana mengubahnya setelah perkalian. Beberapa saat kemudian, ketika Anda mulai mempelajari persamaan dan pertidaksamaan irasional, akan ada berbagai macam variabel dan fungsi secara umum. Dan sangat sering, penyusun masalah hanya mengandalkan fakta bahwa Anda akan menemukan beberapa persyaratan atau faktor kontrak, setelah itu tugas akan sangat disederhanakan.

Selain itu, tidak perlu mengalikan tepat dua akar. Anda dapat mengalikan tiga sekaligus, empat - ya bahkan sepuluh! Ini tidak akan mengubah aturan. Lihatlah:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi komentar kecil pada contoh kedua. Seperti yang Anda lihat, di pengganda ketiga, ada pecahan desimal di bawah akar - dalam proses perhitungan, kami menggantinya dengan yang biasa, setelah itu semuanya mudah dikurangi. Jadi: Saya sangat menyarankan untuk menyingkirkan pecahan desimal dalam ekspresi irasional apa pun (yaitu, mengandung setidaknya satu ikon radikal). Ini akan menghemat banyak waktu dan saraf di masa depan.

Tapi itu penyimpangan liris. Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum - ketika eksponen root berisi angka arbitrer $n$, dan bukan hanya dua "klasik".

Kasus indikator arbitrer

Jadi, kami menemukan akar kuadrat. Dan apa yang harus dilakukan dengan kubus? Atau secara umum dengan akar derajat arbitrer $n$? Ya, semuanya sama. Aturannya tetap sama:

Untuk mengalikan dua akar derajat $n$, cukup dengan mengalikan ekspresi radikalnya, setelah itu hasilnya ditulis di bawah satu akar.

Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali volume perhitungan bisa lebih. Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh. Hitung produk:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3))))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi perhatikan ekspresi kedua. Kami mengalikan akar pangkat tiga, menyingkirkan pecahan desimal, dan sebagai hasilnya kami mendapatkan produk dari angka 625 dan 25 dalam penyebut Ini adalah angka yang agak besar - secara pribadi, saya tidak akan segera menghitung apa yang sama ke.

Oleh karena itu, kami hanya memilih kubus yang tepat di pembilang dan penyebut, dan kemudian menggunakan salah satu properti kunci (atau, jika Anda suka, definisi) dari akar tingkat $n$:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\benar|. \\ \end(sejajarkan)\]

"Penipuan" semacam itu dapat menghemat banyak waktu Anda dalam ujian atau ujian, jadi ingatlah:

Jangan terburu-buru mengalikan angka dalam ekspresi radikal. Pertama, periksa: bagaimana jika tingkat yang tepat dari ekspresi apa pun "dienkripsi" di sana?

Dengan semua kejelasan pernyataan ini, saya harus mengakui bahwa sebagian besar siswa yang tidak siap tidak melihat derajat yang tepat. Sebaliknya, mereka mengalikan semuanya di depan, dan kemudian bertanya-tanya: mengapa mereka mendapatkan angka yang begitu brutal? :)

Namun, semua ini adalah permainan anak-anak dibandingkan dengan apa yang akan kita pelajari sekarang.

Perkalian akar dengan pangkat yang berbeda

Nah, sekarang kita bisa mengalikan akar dengan pangkat yang sama. Bagaimana jika skornya berbeda? Katakanlah, bagaimana Anda mengalikan $\sqrt(2)$ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Apakah mungkin untuk melakukan ini?

Ya, tentu saja kamu bisa. Semuanya dilakukan sesuai dengan rumus ini:

Aturan perkalian akar. Untuk mengalikan $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, lakukan saja transformasi berikut:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Namun, rumus ini hanya berfungsi jika ekspresi radikal adalah non-negatif. Ini adalah komentar yang sangat penting, yang akan kami kembalikan nanti.

Untuk saat ini, mari kita lihat beberapa contoh:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sekarang mari kita cari tahu dari mana persyaratan non-negatif itu berasal, dan apa yang akan terjadi jika kita melanggarnya. :)

Mengapa ekspresi radikal harus non-negatif?

Tentu saja, Anda bisa menjadi seperti guru sekolah dan mengutip buku teks dengan tampilan yang cerdas:

Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan definisi yang berbeda dari akar derajat genap dan ganjil (masing-masing, domain definisi mereka juga berbeda).

Nah, menjadi lebih jelas? Secara pribadi, ketika saya membaca omong kosong ini di kelas 8, saya memahami sendiri sesuatu seperti ini: "Persyaratan non-negatif terhubung dengan *#&^@(*#@^#)~%" - singkatnya, saya tidak mengerti apa-apa pada waktu itu. :)

Jadi sekarang saya akan menjelaskan semuanya dengan cara biasa.

Pertama, mari kita cari tahu dari mana rumus perkalian di atas berasal. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan Anda tentang satu properti penting dari root:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Dengan kata lain, kita dapat dengan aman menaikkan ekspresi root ke kekuatan alami $k$ - dalam hal ini, indeks root harus dikalikan dengan kekuatan yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah mengurangi akar apa pun menjadi indikator umum, setelah itu kita mengalikannya. Dari sinilah rumus perkalian berasal:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tetapi ada satu masalah yang sangat membatasi penerapan semua formula ini. Pertimbangkan nomor ini:

Menurut rumus yang baru saja diberikan, kita dapat menambahkan derajat apa pun. Mari kita coba menambahkan $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Kami menghapus minus justru karena kotak membakar minus (seperti derajat genap lainnya). Dan sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: "kurangi" keduanya dalam eksponen dan derajat. Bagaimanapun, kesetaraan apa pun dapat dibaca dari kiri ke kanan dan kanan ke kiri:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](sebuah); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Panah kanan \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(sejajarkan)\]

Tapi kemudian sesuatu yang gila terjadi:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ini tidak mungkin karena $\sqrt(-5) \lt 0$ dan $\sqrt(5) \gt 0$. Ini berarti bahwa untuk pangkat genap dan bilangan negatif, rumus kita tidak lagi berfungsi. Setelah itu kami memiliki dua opsi:

1. Berjuang melawan tembok untuk menyatakan bahwa matematika adalah ilmu yang bodoh, di mana "ada beberapa aturan, tetapi ini tidak akurat";
2. Perkenalkan batasan tambahan di mana formula akan menjadi 100% berfungsi.

Pada opsi pertama, kita harus terus-menerus menangkap kasus "tidak berfungsi" - ini sulit, panjang, dan umumnya fu. Oleh karena itu, matematikawan lebih memilih opsi kedua. :)

Tapi jangan khawatir! Dalam praktiknya, pembatasan ini tidak mempengaruhi perhitungan dengan cara apa pun, karena semua masalah yang dijelaskan hanya menyangkut akar tingkat ganjil, dan minus dapat dihilangkan darinya.

Oleh karena itu, kami merumuskan aturan lain yang berlaku secara umum untuk semua tindakan dengan akar:

Sebelum mengalikan akar-akarnya, pastikan bahwa ekspresi radikal adalah non-negatif.

Contoh. Di nomor $\sqrt(-5)$, Anda dapat mengambil minus dari bawah tanda root - maka semuanya akan baik-baik saja:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Rasakan perbedaan nya? Jika Anda meninggalkan minus di bawah root, maka ketika ekspresi radikal dikuadratkan, itu akan hilang, dan omong kosong akan dimulai. Dan jika Anda pertama kali mengambil minus, maka Anda bahkan dapat menaikkan / menghapus kotak sampai wajah Anda biru - angkanya akan tetap negatif. :)

Jadi, cara yang paling benar dan paling dapat diandalkan untuk mengalikan akar adalah sebagai berikut:

1. Hapus semua minus dari bawah radikal. Minus hanya ada di akar multiplisitas ganjil - mereka dapat ditempatkan di depan root dan, jika perlu, dikurangi (misalnya, jika ada dua minus ini).
2. Lakukan perkalian menurut aturan yang dibahas di atas dalam pelajaran hari ini. Jika indeks akarnya sama, cukup kalikan ekspresi akarnya. Dan jika berbeda, kita menggunakan rumus jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Kami menikmati hasil dan nilai bagus. :)

Sehat? Haruskah kita berlatih?

Contoh 1. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ kuadrat(64)=-4; \end(sejajarkan)\]

Ini adalah opsi paling sederhana: indikator akarnya sama dan ganjil, masalahnya hanya di minus pengali kedua. Kami menanggung minus nafig ini, setelah itu semuanya dengan mudah dipertimbangkan.

Contoh 2. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( meluruskan)\]

Di sini, banyak yang akan dibingungkan oleh fakta bahwa keluarannya ternyata merupakan bilangan irasional. Ya, itu terjadi: kami tidak dapat sepenuhnya menghilangkan root, tetapi setidaknya kami menyederhanakan ekspresi secara signifikan.

Contoh 3. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Inilah yang saya ingin menarik perhatian Anda. Ada dua poin di sini:

1. Di bawah akar bukanlah angka atau derajat tertentu, tetapi variabel $a$. Sepintas, ini agak tidak biasa, tetapi pada kenyataannya, ketika memecahkan masalah matematika, Anda paling sering harus berurusan dengan variabel.
2. Pada akhirnya, kami berhasil "mengurangi" eksponen akar dan derajat dalam ekspresi radikal. Ini cukup sering terjadi. Dan ini berarti dimungkinkan untuk menyederhanakan perhitungan secara signifikan jika Anda tidak menggunakan rumus utama.

Misalnya, Anda dapat melakukan ini:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(sejajarkan)\]

Faktanya, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika Anda tidak melukis secara rinci semua langkah perantara, maka pada akhirnya jumlah perhitungan akan berkurang secara signifikan.

Sebenarnya, kita telah menemukan tugas serupa di atas saat menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sekarang dapat ditulis lebih mudah:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(sejajarkan)\]

Nah, kami menemukan perkalian dari akar-akarnya. Sekarang pertimbangkan operasi terbalik: apa yang harus dilakukan ketika ada pekerjaan di bawah root?

Dalam matematika, tindakan apa pun memiliki pasangan-lawannya sendiri - pada dasarnya, ini adalah salah satu manifestasi dari hukum dialektika Hegelian: "kesatuan dan perjuangan yang berlawanan." Salah satu tindakan dalam "pasangan" semacam itu ditujukan untuk menambah jumlahnya, dan yang lainnya, sebaliknya, berkurang. Misalnya, tindakan yang berlawanan dengan penjumlahan adalah pengurangan, dan pembagian berhubungan dengan perkalian. Menaikkan kekuasaan juga memiliki pasangan dialektikanya sendiri yang berlawanan. Ini tentang ekstraksi akar.

Untuk mengekstrak akar derajat ini dan itu dari suatu angka berarti menghitung angka mana yang harus dipangkatkan ke pangkat yang sesuai untuk mendapatkan angka ini. Dua derajat memiliki nama sendiri yang terpisah: derajat kedua disebut "persegi", dan yang ketiga - "kubus". Oleh karena itu, menyenangkan untuk menyebut akar pangkat ini sebagai akar kuadrat dan akar kubik. Tindakan dengan akar pangkat tiga adalah topik untuk diskusi terpisah, tetapi sekarang mari kita bicara tentang menambahkan akar kuadrat.

Mari kita mulai dengan fakta bahwa dalam beberapa kasus lebih mudah untuk mengekstrak akar kuadrat terlebih dahulu, lalu menambahkan hasilnya. Misalkan kita perlu menemukan nilai dari ekspresi seperti itu:

Lagi pula, sama sekali tidak sulit untuk menghitung bahwa akar kuadrat dari 16 adalah 4, dan dari 121 - 11. Oleh karena itu,

√16+√121=4+11=15

Namun, ini adalah kasus paling sederhana - di sini kita berbicara tentang kotak penuh, mis. tentang bilangan yang diperoleh dengan mengkuadratkan bilangan bulat. Tapi ini tidak selalu terjadi. Misalnya, angka 24 bukanlah kuadrat sempurna (Anda tidak dapat menemukan bilangan bulat yang, jika dipangkatkan ke dua, akan menghasilkan 24). Hal yang sama berlaku untuk angka seperti 54 ... Bagaimana jika kita perlu menambahkan akar kuadrat dari angka-angka ini?

Dalam hal ini, kita akan mendapatkan jawaban bukan angka, tetapi ekspresi lain. Maksimal yang bisa kita lakukan di sini adalah menyederhanakan ekspresi aslinya sebanyak mungkin. Untuk melakukan ini, Anda harus menghilangkan faktor-faktor dari bawah akar kuadrat. Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dengan menggunakan angka-angka yang disebutkan sebagai contoh:

Untuk memulainya, mari kita faktorkan 24 - sedemikian rupa sehingga salah satunya dapat dengan mudah diambil sebagai akar kuadrat (yaitu, sehingga merupakan kuadrat sempurna). Ada nomor seperti itu - ini adalah 4:

Sekarang mari kita lakukan hal yang sama dengan 54. Dalam komposisinya, angka ini akan menjadi 9:

Dengan demikian, kita mendapatkan yang berikut:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Sekarang mari kita ekstrak akar dari apa yang dapat kita ekstrak dari: 2*√6+3*6

Ada faktor umum di sini, yang dapat kita keluarkan dari tanda kurung:

(2+3)* √6=5*√6

Ini akan menjadi hasil dari penambahan - tidak ada lagi yang bisa diekstraksi di sini.

Benar, Anda dapat menggunakan bantuan kalkulator - namun, hasilnya akan menjadi perkiraan dan dengan sejumlah besar tempat desimal:

√6=2,449489742783178

Secara bertahap dibulatkan, kita mendapatkan sekitar 2,5. Jika kita masih ingin membawa solusi dari contoh sebelumnya ke kesimpulan logisnya, kita dapat mengalikan hasil ini dengan 5 - dan kita mendapatkan 12,5. Hasil yang lebih akurat dengan data awal seperti itu tidak dapat diperoleh.

Penjumlahan dan pengurangan akar- salah satu "batu sandungan" paling umum bagi mereka yang mengambil kursus matematika (aljabar) di sekolah menengah. Akan tetapi, mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan dengan benar sangatlah penting, karena contoh-contoh jumlah atau selisih akar-akar termasuk dalam program UN Unified State dasar dalam disiplin "matematika".

Untuk menguasai solusi dari contoh-contoh seperti itu, Anda memerlukan dua hal - untuk memahami aturan, serta untuk mendapatkan latihan. Setelah memecahkan satu atau dua lusin contoh khas, siswa akan membawa keterampilan ini ke otomatisme, dan kemudian dia tidak perlu takut pada ujian. Disarankan untuk mulai menguasai operasi aritmatika dengan penambahan, karena menambahkannya sedikit lebih mudah daripada menguranginya.

Apa itu akar?

Cara termudah untuk menjelaskan ini adalah dengan contoh akar kuadrat. Dalam matematika, ada istilah mapan "persegi". "Persegi" berarti mengalikan angka tertentu dengan dirinya sendiri sekali.. Misalnya, jika Anda kuadratkan 2, Anda mendapatkan 4. Jika Anda kuadratkan 7, Anda mendapatkan 49. Kuadrat dari 9 adalah 81. Jadi akar kuadrat dari 4 adalah 2, dari 49 adalah 7, dan dari 81 adalah 9.

Sebagai aturan, mengajarkan topik ini dalam matematika dimulai dengan akar kuadrat. Untuk segera menentukannya, seorang siswa sekolah menengah harus hafal tabel perkalian. Bagi mereka yang tidak tahu tabel ini dengan baik, Anda harus menggunakan petunjuk. Biasanya proses mengekstrak akar kuadrat dari suatu bilangan diberikan dalam bentuk tabel di sampul banyak buku catatan sekolah dalam matematika.

Akar adalah dari jenis berikut:

• kotak;
• kubik (atau yang disebut derajat ketiga);
• derajat keempat;
• derajat kelima.

Aturan tambahan

Agar berhasil menyelesaikan contoh tipikal, harus diingat bahwa tidak semua bilangan akar dapat ditumpuk satu sama lain. Untuk dapat menyatukannya, mereka harus dibawa ke satu pola. Jika ini tidak mungkin, maka masalahnya tidak memiliki solusi. Masalah seperti itu juga sering ditemukan dalam buku teks matematika sebagai semacam jebakan bagi siswa.

Penambahan tidak diperbolehkan dalam penugasan ketika ekspresi radikal berbeda satu sama lain. Ini dapat diilustrasikan dengan contoh ilustrasi:

• siswa dihadapkan pada tugas: menjumlahkan akar kuadrat dari 4 dan 9;
• seorang siswa yang tidak berpengalaman yang tidak tahu aturan biasanya menulis: "akar dari 4 + akar dari 9 \u003d akar dari 13."
• sangat mudah untuk membuktikan bahwa cara penyelesaian ini salah. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan akar kuadrat dari 13 dan memeriksa apakah contoh diselesaikan dengan benar;
• menggunakan mikrokalkulator, Anda dapat menentukan bahwa itu kira-kira 3,6. Sekarang tinggal memeriksa solusinya;
• akar dari 4=2, dan dari 9=3;
• Jumlah dua dan tiga adalah lima. Dengan demikian, algoritma solusi ini dapat dianggap salah.

Jika akar-akarnya memiliki derajat yang sama, tetapi ekspresi numeriknya berbeda, itu dikeluarkan dari tanda kurung, dan jumlah dari dua ekspresi radikal. Jadi, sudah diekstraksi dari jumlah ini.

Algoritma penambahan

Untuk menyelesaikan masalah paling sederhana dengan benar, perlu:

1. Tentukan apa yang sebenarnya membutuhkan penambahan.
2. Cari tahu apakah mungkin untuk menambah nilai satu sama lain, dipandu oleh aturan yang ada dalam matematika.
3. Jika tidak dapat ditambahkan, Anda perlu mengubahnya sedemikian rupa sehingga dapat ditambahkan.
4. Setelah melakukan semua transformasi yang diperlukan, perlu untuk melakukan penambahan dan menuliskan jawaban yang sudah selesai. Penjumlahan dapat dilakukan secara mental atau dengan kalkulator, tergantung pada kerumitan contoh.

Apa akar yang mirip?

Untuk menyelesaikan contoh penambahan dengan benar, pertama-tama perlu dipikirkan bagaimana itu dapat disederhanakan. Untuk melakukan ini, Anda perlu memiliki pengetahuan dasar tentang apa itu kesamaan.

Kemampuan untuk mengidentifikasi yang serupa membantu dengan cepat menyelesaikan jenis contoh penambahan yang sama, menjadikannya bentuk yang disederhanakan. Untuk menyederhanakan contoh penambahan khas, Anda perlu:

1. Temukan yang serupa dan alokasikan ke satu grup (atau beberapa grup).
2. Tulis ulang contoh yang ada sedemikian rupa sehingga akar-akar yang memiliki indikator yang sama saling mengikuti dengan jelas (ini disebut "pengelompokan").
3. Selanjutnya, Anda harus menulis ekspresi lagi, kali ini sedemikian rupa sehingga yang serupa (yang memiliki indikator yang sama dan angka akar yang sama) juga saling mengikuti.

Setelah itu, contoh yang disederhanakan biasanya mudah dipecahkan.

Untuk menyelesaikan contoh penjumlahan dengan benar, Anda perlu memahami dengan jelas aturan dasar penjumlahan, dan juga mengetahui apa itu root dan bagaimana hal itu terjadi.

Terkadang tugas seperti itu terlihat sangat rumit pada pandangan pertama, tetapi biasanya mudah diselesaikan dengan mengelompokkan yang serupa. Yang paling penting adalah latihan, dan kemudian siswa akan mulai "mengklik tugas seperti kacang". Penjumlahan akar merupakan salah satu cabang matematika yang paling penting, sehingga guru harus mengalokasikan waktu yang cukup untuk mempelajarinya.

Video

Video ini akan membantu Anda memahami persamaan dengan akar kuadrat.