امروز در کلاس نگاه خواهیم کرد توالی دقیقو تعریف دقیق حد یک تابع، و همچنین حل مسائل مربوط به ماهیت نظری را بیاموزید. این مقاله در درجه اول برای دانشجویان سال اول علوم طبیعی و تخصص های مهندسی است که شروع به مطالعه تئوری تجزیه و تحلیل ریاضی کردند و در درک این بخش از ریاضیات عالی با مشکلاتی مواجه شدند. علاوه بر این، مطالب برای دانش آموزان دبیرستانی کاملاً در دسترس است.

در طول سال‌های فعالیت سایت، ده‌ها نامه با این مضمون دریافت کرده‌ام: «من تحلیل ریاضی را خوب نمی‌فهمم، چه کار کنم؟»، «اصلاً ریاضی را نمی‌فهمم، به ترک تحصیل فکر می کنم و غیره. و در واقع، این متان است که اغلب پس از جلسه اول، گروه دانشجو را نازک می کند. چرا این طور است؟ چون موضوع به طرز غیرقابل تصوری پیچیده است؟ اصلا! تئوری تجزیه و تحلیل ریاضی آنقدرها هم که عجیب است دشوار نیست. و باید او را همان طور که هست بپذیری و دوستش داشته باشی =)

بیایید از همان ابتدا شروع کنیم مورد شدید. اولین و مهمترین چیز این است که شما مجبور نیستید تحصیل خود را رها کنید. به درستی درک کنید، همیشه می توانید ترک کنید؛-) البته، اگر بعد از یک یا دو سال از تخصص انتخابی خود احساس بیماری کردید، بله، باید در مورد آن فکر کنید. (و عصبانی نشو!)در مورد تغییر فعالیت اما در حال حاضر ارزش ادامه دادن را دارد. و لطفاً عبارت "من چیزی نمی فهمم" را فراموش کنید - این اتفاق نمی افتد که شما اصلاً چیزی را نمی فهمید.

اگر تئوری بد باشد چه باید کرد؟ به هر حال، این نه تنها در مورد تجزیه و تحلیل ریاضی صدق می کند. اگر تئوری بد است، ابتدا باید به طور جدی روی تمرین تمرکز کنید. در این مورد، دو وظیفه استراتژیک به طور همزمان حل می شود:

- اولاً، سهم قابل توجهی از دانش نظری از طریق عمل پدیدار شد. و به همین دلیل است که بسیاری از مردم این نظریه را از طریق ... درک می کنند - درست است! نه، نه، تو به این فکر نمی کنی =)

– و ثانیاً، مهارت‌های عملی به احتمال زیاد شما را از امتحان «کشش» می‌کند، حتی اگر... اما اجازه دهید اینقدر هیجان زده نشویم! همه چیز واقعی است و همه چیز را می توان در یک زمان نسبتاً کوتاه "بالا" کرد. تجزیه و تحلیل ریاضی بخش مورد علاقه من در ریاضیات عالی است و بنابراین نمی توانم کمکی به شما نکنم:

در ابتدای ترم 1، محدودیت های توالی و محدودیت های عملکرد معمولا پوشش داده می شود. نمی دانید اینها چیست و نمی دانید چگونه آنها را حل کنید؟ با مقاله شروع کنید محدودیت های عملکرد، که در آن خود مفهوم "روی انگشتان" بررسی می شود و ساده ترین نمونه ها تجزیه و تحلیل می شود. در مرحله بعد، درس های دیگر را در مورد موضوع، از جمله درسی در مورد آن کار کنید در سکانس ها، که من در واقع قبلاً تعریف دقیقی از آن ارائه کرده ام.

به جز علائم نابرابری و مدول چه نمادهایی را می شناسید؟

- یک چوب عمودی بلند به این صورت است: "چنین آن"، "چنین آن"، "چنین آن" یا "چنین آن"در مورد ما، بدیهی است که ما در مورد یک عدد صحبت می کنیم - بنابراین "چنین"؛

– برای همه «en» بزرگتر از ;

– علامت مدول به معنای فاصله است، یعنی این مدخل به ما می گوید که فاصله بین مقادیر کمتر از اپسیلون است.

خوب، کشنده سخت است؟ =)

پس از تسلط بر تمرین، مشتاقانه منتظر دیدار شما در پاراگراف بعدی هستم:

و در واقع، بیایید کمی فکر کنیم - چگونه یک تعریف دقیق از دنباله را تدوین کنیم؟ ... اولین چیزی که در دنیا به ذهن می رسد درس عملی: "حد یک دنباله عددی است که اعضای دنباله بی نهایت به آن نزدیک می شوند."

خوب، بیایید آن را بنویسیم دنباله :

درک آن کار سختی نیست دنباله بی نهایت نزدیک به عدد -1 و اصطلاحات زوج است - به یک".

یا شاید دو حد وجود دارد؟ اما پس چرا هیچ سکانسی نمی تواند ده یا بیست عدد از آنها را داشته باشد؟ شما می توانید از این راه دور بروید. در این زمینه منطقی است که چنین فرض کنیم اگر یک دنباله دارای محدودیت باشد، پس منحصر به فرد است.

توجه داشته باشید : دنباله محدودیتی ندارد، اما دو دنباله فرعی از آن قابل تشخیص است (به بالا مراجعه کنید) که هر کدام حد خود را دارند.

بنابراین، تعریف فوق غیرقابل دفاع است. بله، برای مواردی از این قبیل کار می کند (که من در توضیح ساده مثال های کاربردی به درستی استفاده نکردم)، اما اکنون باید یک تعریف دقیق پیدا کنیم.

تلاش دوم: "محدودیت یک دنباله، عددی است که همه اعضای دنباله به آن نزدیک می شوند، به جز شاید آنها نهاییمقادیر." این به حقیقت نزدیک‌تر است، اما هنوز کاملاً دقیق نیست. بنابراین، برای مثال، دنباله نیمی از عبارات به هیچ وجه به صفر نزدیک نمی شوند - آنها به سادگی با آن برابر هستند =) به هر حال، "چراغ چشمک زن" معمولاً دو مقدار ثابت می گیرد.

توضیح این فرمول دشوار نیست، اما پس از آن یک سوال دیگر مطرح می شود: چگونه می توان تعریف را در نمادهای ریاضی نوشت؟ دنیای علم برای مدت طولانی با این مشکل دست و پنجه نرم کرد تا این که وضعیت حل شد استاد معروف، که در اصل آنالیز ریاضی کلاسیک را با تمام سختی آن رسمیت بخشید. کوشی عمل جراحی را پیشنهاد کرد محیط اطراف ، که به طور قابل توجهی این نظریه را پیش برد.

یک نکته و آن را در نظر بگیرید دلخواه-محیط اطراف:

ارزش "epsilon" همیشه مثبت است، و علاوه بر این، ما این حق را داریم که خودمان آن را انتخاب کنیم. بیایید فرض کنیم که در این محله اعضای زیادی وجود دارد (نه لزوما همه)چند دنباله اینکه مثلاً ترم دهم در همسایگی است چگونه یادداشت کنیم؟ بگذارید در سمت راست آن باشد. سپس فاصله بین نقاط و باید کمتر از “epsilon” باشد: . اما اگر "x دهم" در سمت چپ نقطه "الف" قرار داشته باشد، این تفاوت منفی خواهد بود و بنابراین علامت باید به آن اضافه شود. مدول: .

تعریف: یک عدد را حد یک دنباله اگر می گویند برای هرچیاطراف آن (از پیش انتخاب شده)یک عدد طبیعی وجود دارد که همهاعضای دنباله با اعداد بالاتر در داخل محله خواهند بود:

یا به طور خلاصه: اگر

به عبارت دیگر، مهم نیست که چقدر مقدار "اپسیلون" را کوچک می گیریم، دیر یا زود "دم بی نهایت" دنباله به طور کامل در این همسایگی خواهد بود.

به عنوان مثال، "دم بی نهایت" دنباله به طور کامل وارد هر محله کوچک دلخواه نقطه می شود. بنابراین این مقدار طبق تعریف، حد توالی است. به شما یادآوری می کنم که دنباله ای که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک.

لازم به ذکر است که برای یک سکانس دیگر نمی توان گفت "دم بی پایان" وارد خواهد شد"- اعضای با اعداد فرد در واقع برابر با صفر هستند و "هیچ جا نمی روند" =) به همین دلیل است که در تعریف از فعل "ظاهر می شود" استفاده می شود. و البته اعضای سکانسی مانند این نیز «به جایی نمی‌رسند». به هر حال، بررسی کنید که آیا تعداد محدودیت آن است یا خیر.

اکنون نشان خواهیم داد که دنباله محدودیتی ندارد. برای مثال، همسایگی نقطه را در نظر بگیرید. کاملاً واضح است که چنین عددی وجود ندارد که پس از آن همه عبارت‌ها در یک محله مشخص به پایان برسند - عبارت‌های فرد همیشه به «منهای یک» «بیرون می‌روند». به همین دلیل، هیچ محدودیتی در نقطه وجود ندارد.

بیایید مطالب را با تمرین ادغام کنیم:

مثال 1

ثابت کنید که حد دنباله صفر است. عددی را مشخص کنید که پس از آن همه اعضای دنباله تضمین می‌شوند که در هر محله کوچک دلخواه نقطه قرار دارند.

توجه داشته باشید : برای بسیاری از دنباله ها، عدد طبیعی مورد نیاز به مقدار بستگی دارد - از این رو نماد .

راه حل: در نظر گرفتن دلخواه هستتعداد - به طوری که همه اعضای با تعداد بالاتر در این محله باشند:

برای نشان دادن وجود عدد مورد نیاز، آن را از طریق بیان می کنیم.

از آنجایی که برای هر مقدار "en"، علامت مدول را می توان حذف کرد:

ما از اقدامات "مدرسه ای" با نابرابری هایی استفاده می کنیم که در کلاس تکرار کردم نابرابری های خطیو دامنه تابع. در این مورد، یک شرایط مهم این است که "epsilon" و "en" مثبت هستند:

از آنجایی که ما در مورد اعداد طبیعی در سمت چپ صحبت می کنیم، و سمت راست به طور کلی کسری است، باید گرد شود:

توجه داشته باشید : گاهی اوقات یک واحد به سمت راست اضافه می شود تا در سمت امن باشد، اما در واقع این بیش از حد است. به طور نسبی، اگر نتیجه را با گرد کردن به پایین تضعیف کنیم، نزدیکترین عدد مناسب ("سه") همچنان نابرابری اصلی را برآورده می کند.

اکنون به نابرابری نگاه می کنیم و آنچه را در ابتدا در نظر گرفتیم به یاد می آوریم دلخواه- همسایگی، یعنی "epsilon" می تواند برابر باشد هر کسییک عدد مثبت

نتیجه: برای هر محله کوچک دلخواه یک نقطه، مقدار پیدا شد . بنابراین، عدد بر اساس تعریف، حد یک دنباله است. Q.E.D.

به هر حال، از نتیجه به دست آمده است یک الگوی طبیعی به وضوح قابل مشاهده است: هر چه محله کوچکتر باشد، تعداد آن بزرگتر است، پس از آن همه اعضای دنباله در این محله خواهند بود. اما مهم نیست که "اپسیلون" چقدر کوچک باشد، همیشه یک "دم بی نهایت" در داخل و خارج وجود خواهد داشت - حتی اگر بزرگ باشد. نهاییتعداد اعضا

برداشت شما چگونه است؟ =) موافقم که کمی عجیب است. اما به شدت!لطفا دوباره بخوانید و دوباره به همه چیز فکر کنید.

بیایید به یک مثال مشابه نگاه کنیم و با سایر تکنیک های فنی آشنا شویم:

مثال 2

راه حل: با تعریف یک دنباله اثبات آن ضروری است (این را بلند بگو!!!).

در نظر بگیریم دلخواه-همسایگی نقطه و بررسی، آیا وجود داردعدد طبیعی - به طوری که برای همه اعداد بزرگتر نابرابری زیر برقرار است:

برای نشان دادن وجود چنین، باید "en" را از طریق "epsilon" بیان کنید. عبارت زیر علامت مدول را ساده می کنیم:

ماژول علامت منفی را از بین می برد:

مخرج برای هر "en" مثبت است، بنابراین، میله ها را می توان حذف کرد:

بر زدن:

حالا باید استخراج کنیم ریشه دوم، اما نکته مهم این است که برای برخی از "اپسیلون" سمت راست منفی خواهد بود. برای جلوگیری از این دردسر تقویت کنیمنابرابری بر اساس مدول:

چرا می توان این کار را انجام داد؟ اگر، به طور نسبی، معلوم شود که، آنگاه شرط نیز برآورده می شود. ماژول می تواند فقط افزایش دهیدشماره مورد نظر، و این برای ما نیز مناسب خواهد بود! به طور کلی اگر صدم مناسب است، دو صدم هم مناسب است! طبق تعریف، باید نشان دهید حقیقت وجود عدد(حداقل برخی)، پس از آن همه اعضای دنباله در همسایگی خواهند بود. به هر حال، به همین دلیل است که ما از گرد شدن نهایی سمت راست به سمت بالا نمی ترسیم.

استخراج ریشه:

و نتیجه را گرد کنید:

نتیجه: زیرا مقدار "epsilon" به طور دلخواه انتخاب شد، سپس برای هر محله کوچک دلخواه نقطه، مقدار آن پیدا شد. ، به طوری که برای همه اعداد بزرگتر نابرابری برقرار است . بدین ترتیب، اولی. Q.E.D.

من توصیه میکنم بخصوصدرک تقویت و تضعیف نابرابری ها یک تکنیک معمولی و بسیار رایج در تحلیل ریاضی است. تنها چیزی که باید نظارت کنید صحت این یا آن عمل است. بنابراین، برای مثال، نابرابری تحت هیچ شرایطی امکان پذیر نیست شل کردن، تفریق، بگویید، یک:

باز هم به صورت مشروط: اگر عدد دقیقاً مطابقت داشته باشد، ممکن است شماره قبلی دیگر مناسب نباشد.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل:

مثال 3

با استفاده از تعریف یک دنباله، آن را ثابت کنید

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

اگر دنباله بی نهایت بزرگ، سپس تعریف یک حد به روشی مشابه فرموله می شود: یک نقطه حد یک دنباله نامیده می شود اگر وجود داشته باشد، به اندازه ای که دوست داریدعدد، عددی وجود دارد که برای همه اعداد بزرگتر، نابرابری برآورده می شود. شماره تماس گرفته می شود مجاورت نقطه "به علاوه بی نهایت":

به عبارت دیگر، هر چه باشد پراهمیتمهم نیست که چه اتفاقی می افتد، "دم نامتناهی" دنباله قطعاً به همسایگی نقطه می رود و فقط تعداد محدودی از عبارت ها در سمت چپ باقی می ماند.

مثال استاندارد:

و علامت کوتاه شده: , if

برای مورد، تعریف را خودتان بنویسید. نسخه صحیح در انتهای درس آمده است.

پس از بررسی مثال‌های عملی و فهمیدن تعریف حد یک دنباله، می‌توانید به ادبیات حسابان و/یا دفتر سخنرانی خود مراجعه کنید. توصیه می کنم جلد 1 بوهان را دانلود کنید (ساده تر - برای دانشجویان مکاتبه ای)و فیختنهولتز (با جزئیات و جزئیات بیشتر). در میان نویسندگان دیگر، من Piskunov را توصیه می کنم، که دوره اش برای دانشگاه های فنی است.

سعی کنید با وجدان قضایایی را که مربوط به حد توالی، اثبات آنها، پیامدها است، مطالعه کنید. در ابتدا، این نظریه ممکن است "ابری" به نظر برسد، اما این طبیعی است - فقط باید به آن عادت کنید. و بسیاری حتی طعم آن را خواهند چشید!

تعریف دقیق حد یک تابع

بیایید با همان چیز شروع کنیم - چگونه فرمول بندی کنیم این مفهوم? تعریف شفاهی حد یک تابع بسیار ساده تر است: "عدد حد یک تابع است اگر "x" تمایل به (هم چپ و هم راست)، مقادیر تابع مربوطه به » (نقاشی را ببینید). به نظر می رسد همه چیز عادی است، اما کلمات کلمه هستند، معنی معنی است، نماد یک نماد است، و نمادهای ریاضی دقیق کافی وجود ندارد. و در پاراگراف دوم با دو رویکرد برای حل این موضوع آشنا می شویم.

اجازه دهید تابع در یک بازه زمانی مشخص، به استثنای نقطه، تعریف شود. که در ادبیات آموزشیبه طور کلی پذیرفته شده است که تابع وجود دارد نهتعریف شده است:

این انتخاب تاکید می کند ماهیت حد یک تابع: "ایکس" بی نهایت نزدیکرویکردها و مقادیر مربوط به تابع هستند بی نهایت نزدیکبه . به عبارت دیگر، مفهوم حد به معنای «رویکرد دقیق» به نقاط نیست، بلکه به معنای آن است تقریب بی نهایت نزدیک، فرقی نمی کند که تابع در نقطه تعریف شده باشد یا خیر.

تعریف اول از حد یک تابع، تعجب آور نیست، با استفاده از دو دنباله فرموله شده است. اولاً، مفاهیم مرتبط هستند، و ثانیاً، حدود توابع معمولاً پس از محدودیت‌های توالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند.

دنباله را در نظر بگیرید نکته ها (روی نقاشی نیست)، متعلق به فاصله و متفاوت از، که همگرا می شودبه . سپس مقادیر تابع مربوطه نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند که اعضای آن در محور ارتین قرار دارند.

حد یک تابع طبق هاینه برای هرچیدنباله ای از نقاط (متعلق و متفاوت از)، که به نقطه همگرا می شود، دنباله مربوط به مقادیر تابع به همگرا می شود.

ادوارد هاینه یک ریاضیدان آلمانی است. ... و نیازی به چنین چیزی نیست، فقط یک همجنسگرا در اروپا وجود دارد - گی-لوساک =)

تعریف دوم حد ایجاد شد... بله بله درست می فرمایید. اما ابتدا بیایید طراحی آن را درک کنیم. یک همسایگی دلخواه نقطه را در نظر بگیرید (محله "سیاه"). بر اساس پاراگراف قبل، مدخل به این معناست که مقداری ارزشتابع در داخل محله "epsilon" واقع شده است.

اکنون - همسایگی را می یابیم که مطابق با - همسایگی است (خطوط نقطه چین سیاه را از چپ به راست و سپس از بالا به پایین بکشید). توجه داشته باشید که مقدار انتخاب شده است در طول بخش کوچکتر، در در این مورد- در طول بخش سمت چپ کوتاه تر. علاوه بر این، "تمشک" - همسایگی یک نقطه حتی می تواند کاهش یابد، زیرا در تعریف زیر حقیقت وجود مهم استاین محله و به طور مشابه، نماد به این معنی است که مقداری در همسایگی "دلتا" قرار دارد.

محدودیت عملکرد کوشی: یک عدد حد تابع در یک نقطه if نامیده می شود برای هرچی از پیش انتخاب شدهمحله (هرچقدر که دوست دارید کوچک), وجود دارد-همسایگی نقطه، چنین، که: AS ONLY مقادیر (متعلق به)در این حوزه گنجانده شده است: (فلش های قرمز)- بنابراین بلافاصله مقادیر تابع مربوطه برای وارد کردن - همسایگی تضمین می شود: (فلش های آبی).

باید به شما هشدار بدهم که برای شفافیت، کمی بداهه نوشتم، پس زیاده روی نکنید =)

ورودی کوتاه:، اگر

اصل تعریف چیست؟ به بیان تصویری، با کاهش بی‌نهایت همسایگی، مقادیر تابع را تا حد آنها «همراه» می‌کنیم و هیچ جایگزینی برای نزدیک شدن به جای دیگری باقی نمی‌گذاریم. کاملا غیر معمول، اما باز هم سختگیرانه! برای درک کامل ایده، عبارت را دوباره بخوانید.

! توجه: اگر فقط نیاز به فرمول بندی دارید تعریف هاینهیا فقط تعریف کوشیلطفا در مورد را فراموش نکنید قابل توجهنظرات اولیه: "یک تابع را در نظر بگیرید که در یک بازه زمانی مشخص تعریف شده است، به استثنای یک نقطه". این را در همان ابتدا یک بار گفتم و هر بار تکرار نکردم.

با توجه به قضیه مربوط به تحلیل ریاضی، تعاریف هاینه و کوشی معادل هستند، اما گزینه دوم معروف ترین است. (هنوز این کار را انجام خواهد داد!)، که به آن "محدودیت زبان" نیز می گویند:

مثال 4

با استفاده از تعریف حد، آن را ثابت کنید

راه حل: تابع در کل خط عددی به جز نقطه تعریف شده است. با استفاده از تعریف، وجود یک حد را در یک نقطه معین اثبات می کنیم.

توجه داشته باشید : ارزش محله "دلتا" به "epsilon" بستگی دارد، از این رو تعیین می شود

در نظر بگیریم دلخواه-محیط اطراف. وظیفه این است که از این مقدار برای بررسی اینکه آیا استفاده کنید آیا وجود دارد-محیط اطراف، چنین، که از نابرابری نابرابری به دنبال دارد .

با این فرض، آخرین نابرابری را تبدیل می کنیم:
(سه جمله ای درجه دوم را گسترش داد)

فرمول بندی قضایای اصلی و ویژگی های دنباله های عددی که دارای حد هستند آورده شده است. شامل تعریفی از دنباله و حد آن است. عملیات حسابی با دنباله ها، خواص مربوط به نامساوی ها، معیارهای همگرایی، خواص دنباله های بی نهایت کوچک و بی نهایت بزرگ در نظر گرفته شده است.

محتوا

خواص محدودیت های محدود دنباله ها

خواص اساسی

نقطه a حدی از یک دنباله است اگر و فقط اگر خارج از همسایگی این نقطه باشد تعداد محدودی از عناصردنباله ها یا مجموعه خالی

اگر عدد a حد دنباله نباشد، همسایگی نقطه a وجود دارد که فراتر از آن وجود دارد. تعداد نامتناهی از عناصر دنباله.

قضیه یگانگی برای حد یک دنباله اعداد. اگر یک دنباله محدودیتی داشته باشد، پس منحصر به فرد است.

اگر دنباله ای حد محدودی داشته باشد، آن وقت است محدود.

اگر هر عنصر دنباله برابر با همان عددج: پس این دنباله دارای حدی برابر با عدد C است.

اگر دنباله اولین m عناصر را اضافه، دور بیندازید یا تغییر دهید، پس این بر همگرایی آن تأثیری نخواهد گذاشت.

اثبات خواص اساسیدر صفحه آورده شده است
ویژگی های اساسی محدودیت های محدود دنباله ها >>>.

عملیات حسابی با حد

اجازه دهید محدودیت های محدودی برای هر دو دنباله و . و C یک ثابت باشد، یعنی یک عدد معین. سپس
;
;
;
، اگر .
در مورد ضریب، فرض می شود که برای همه n.

اگر پس از آن.

اثبات خواص حسابیدر صفحه آورده شده است
خواص حسابی حدود محدود دنباله ها >>>.

ویژگی های مربوط به نابرابری ها

اگر عناصر یک دنباله، که از عدد معینی شروع می شوند، نابرابری را برآورده کنند، حد a این دنباله نیز نابرابری را برآورده می کند.

اگر عناصر دنباله که از عدد معینی شروع می شوند به یک بازه بسته (قطعه) تعلق داشته باشند، حد a نیز به این بازه تعلق دارد: .

اگر و و عناصر دنباله ها، که از یک عدد معین شروع می شوند، نابرابری را برآورده می کنند، پس .

اگر و، با شروع از تعدادی عدد،، سپس .
به طور خاص، اگر، با شروع از برخی از شماره،، سپس
اگر پس از آن ؛
اگر پس از آن .

اگر و، پس.

بگذار باشد. اگر یک < b ، پس یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n > Nنابرابری برقرار است

اثبات خواص مربوط به نابرابری هادر صفحه آورده شده است
ویژگی های محدودیت های دنباله مرتبط با نابرابری ها >>>.

دنباله های بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک

دنباله بی نهایت کوچک

دنباله بی نهایت کوچک دنباله ای است که حد آن صفر است:
.

جمع و تفاوتتعداد محدودی از دنباله های بینهایت کوچک یک دنباله بی نهایت کوچک است.

محصول یک دنباله محدودبه بینهایت کوچک یک دنباله بی نهایت کوچک است.

حاصل ضرب عدد محدوددنباله های بینهایت کوچک یک دنباله بی نهایت کوچک است.

برای اینکه یک دنباله حد a داشته باشد کافی و لازم است که در کجا یک دنباله بی نهایت کوچک باشد.

اثبات خواص دنباله های بی نهایت کوچکدر صفحه آورده شده است
دنباله های بی نهایت کوچک - تعریف و ویژگی ها >>>.

دنباله بی نهایت بزرگ

دنباله بی نهایت بزرگ دنباله ای است که حد بی نهایت بزرگی دارد. یعنی اگر برای هر عدد مثبت یک عدد طبیعی N وجود داشته باشد بسته به این که برای همه اعداد طبیعی نابرابری برقرار باشد.
.
در این مورد می نویسند
.
یا در .
می گویند به بی نهایت گرایش دارد.

اگر، با شروع از مقداری N، پس
.
اگر پس از آن
.

اگر دنباله بی نهایت بزرگ باشد، با شروع از مقداری N، دنباله ای تعریف می شود که بی نهایت کوچک است. اگر دنباله ای بی نهایت کوچک با عناصر غیر صفر باشد، آنگاه دنباله بی نهایت بزرگ است.

اگر دنباله بی نهایت بزرگ و دنباله محدود است، پس
.

اگر ارزش های مطلقعناصر دنباله از پایین با یک عدد مثبت () محدود می شوند، و بی نهایت کوچک با عناصر غیربرابر با صفر است، سپس
.

در جزئیات تعریف یک دنباله بی نهایت بزرگ با مثالدر صفحه داده شده است
تعریف یک دنباله بی نهایت بزرگ >>>.
اثبات خواص توالی های بی نهایت بزرگدر صفحه آورده شده است
ویژگی های دنباله های بی نهایت بزرگ >>> .

معیارهای همگرایی دنباله ای

سکانس های یکنواخت

دنباله ای کاملاً افزایشی دنباله ای است که برای آن همه عناصر نابرابری های زیر را برآورده می کنند:
.

نابرابری های مشابه دیگر توالی های یکنواخت را تعریف می کنند.

دنباله به شدت نزولی:
.
توالی بدون کاهش:
.
توالی غیر افزایشی:
.

نتیجه این است که یک توالی به شدت افزایشی نیز کاهش نمی یابد. یک توالی به شدت کاهشی نیز غیرافزاینده است.

دنباله یکنواخت یک دنباله بدون کاهش یا غیر افزایشی است.

یک دنباله یکنواخت حداقل در یک طرف توسط مقدار محدود می شود. یک دنباله بدون کاهش در زیر محدود می شود: . یک دنباله بدون افزایش از بالا محدود می شود: .

قضیه وایرشتراس. برای اینکه یک دنباله غیر کاهشی (غیر افزایشی) حد محدودی داشته باشد، لازم و کافی است که از بالا (از پایین) محدود شود. در اینجا M تعدادی عدد است.

از آنجایی که هر دنباله غیر کاهشی (غیر افزایشی) از پایین (از بالا) محدود می شود، قضیه وایرشتراس را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

برای اینکه یک دنباله یکنواخت حد محدودی داشته باشد لازم و کافی است که محدود شود: .

دنباله نامحدود یکنواختدارای حد بی نهایت، برابر برای یک دنباله غیر کاهشی و غیر افزایشی.

اثبات قضیه وایرشتراسدر صفحه داده شده است
قضیه وایرشتراس در حد یک دنباله یکنواخت >>>.

معیار کوشی برای همگرایی توالی

حالت کوشی
سازگاری راضی می کند حالت کوشی، اگر برای هر یک عدد طبیعی وجود داشته باشد به طوری که برای همه اعداد طبیعی n و m که شرط را برآورده می کنند، نابرابری برقرار است.
.

یک دنباله اساسی دنباله ای است که ارضا می کند حالت کوشی

معیار کوشی برای همگرایی توالی. برای اینکه یک دنباله حد محدودی داشته باشد، کافی و لازم است که شرط کوشی را برآورده کند.

اثبات معیار همگرایی کوشیدر صفحه داده شده است
معیار کوشی برای همگرایی دنباله >>>.

دنباله ها

قضیه بولزانو وایرشتراس. از هر دنباله محدود می توان یک دنباله فرعی همگرا استخراج کرد. و از هر دنباله نامحدود - دنباله ای بی نهایت بزرگ که به یا به همگرا می شود.

اثبات قضیه بولزانو وایرشتراسدر صفحه داده شده است
قضیه بولزانو – وایرشتراس >>> .

تعاریف، قضایا و خواص دنباله های فرعی و حدود جزئی در صفحه مورد بحث قرار گرفته است
دنباله ها و حدود جزئی سکانس ها >>>.

منابع:
سانتی متر. نیکولسکی. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 1983.
L.D. کودریاوتسف. دوره تحلیل ریاضی. جلد 1. مسکو، 2003.
V.A. زوریخ. تجزیه و تحلیل ریاضی. قسمت 1. مسکو، 1997.
V.A. ایلین، ای.جی. پوزنیاک. مبانی آنالیز ریاضی. قسمت 1. مسکو، 2005.

همچنین ببینید:

دنباله اعداد
چگونه؟

بر این درسما چیزهای جالب زیادی از زندگی اعضای یک جامعه بزرگ به نام VKontakte یاد خواهیم گرفت دنباله های اعداد. موضوع مورد بررسی نه تنها به دوره تجزیه و تحلیل ریاضی مربوط می شود، بلکه به اصول اولیه نیز می پردازد. ریاضیات گسسته. علاوه بر این، مواد برای تسلط بر سایر بخش های برج، به ویژه در طول مطالعه مورد نیاز خواهد بود سری اعدادو سری کاربردی. شما می توانید به طور پیش پا افتاده بگویید که این مهم است، می توانید به طرز دلگرم کننده ای بگویید که ساده است، می توانید عبارات روتین بیشتری را بیان کنید، اما امروز اولین هفته، به طور غیرمعمولی تنبل مدرسه است، بنابراین نوشتن پاراگراف اول به طرز وحشتناکی باعث ناراحتی من شده است =) قبلاً پرونده را در قلبم ذخیره کرده بودم و آماده خواب شدم، که ناگهان ... سرم با ایده یک اعتراف صادقانه روشن شد که به طرز باورنکردنی روحم را سبک کرد و مرا مجبور کرد به ضربه زدن انگشتانم روی صفحه کلید ادامه دهم. .

بیایید کمی از خاطرات تابستانی استراحت کنیم و به این دنیای جذاب و مثبت جدید نگاه کنیم شبکه اجتماعی:

مفهوم دنباله اعداد

ابتدا بیایید به خود کلمه فکر کنیم: دنباله چیست؟ توالی زمانی است که چیزی به دنبال چیزی می آید. مثلاً دنباله ای از اعمال، دنباله ای از فصل ها. یا وقتی کسی پشت سر کسی قرار دارد. به عنوان مثال، دنباله ای از افراد در یک صف، دنباله ای از فیل ها در مسیر یک آبخوری.

اجازه دهید بلافاصله ویژگی های مشخصه دنباله را روشن کنیم. اولا، اعضای دنبالهواقع شده اند دقیقاً به ترتیب خاصی. بنابراین، اگر دو نفر در صف با هم مبادله شوند، این از قبل خواهد بود دیگردنباله دوما همه عضو سکانسشما می توانید یک شماره سریال اختصاص دهید:

در مورد اعداد هم همینطور است. اجازه دهید به هرارزش طبیعی طبق یک قاعدهسازگار عدد واقعی. بعد می گویند یک دنباله عددی داده شده است.

بله، در مسائل ریاضی، بر خلاف موقعیت های زندگی، دنباله تقریبا همیشه شامل می شود بی نهایت زیادشماره.

که در آن:
تماس گرفت عضو اولدنباله ها
– عضو دومدنباله ها
– عضو سومدنباله ها
…
– نهمینیا عضو مشترکدنباله ها
…

در عمل معمولا توالی داده می شود فرمول اصطلاح رایج، مثلا:
- دنباله ای از اعداد زوج مثبت:

بنابراین، رکورد به طور منحصر به فرد تمام اعضای دنباله را تعیین می کند - این قاعده (فرمول) است که براساس آن مقادیر طبیعی اعداد در مکاتبات قرار می گیرند. بنابراین، دنباله اغلب به طور خلاصه با یک اصطلاح رایج نشان داده می شود و به جای "x" می توان از حروف لاتین دیگری استفاده کرد، به عنوان مثال:

دنباله اعداد فرد مثبت:

دنباله رایج دیگر:

همانطور که احتمالاً بسیاری متوجه شده اند، متغیر "en" نقش نوعی شمارنده را بازی می کند.

در واقع، ما در دوران راهنمایی با توالی اعداد سروکار داشتیم. به یاد بیاوریم پیشرفت حسابی. من تعریف را بازنویسی نمی‌کنم، اجازه دهید به اصل آن بپردازیم مثال خاص. بگذارید اولین ترم باشد، و - گامپیشرفت حسابی سپس:
- دوره دوم این پیشرفت؛
- دوره سوم این پیشرفت؛
- چهارم؛
- پنجم؛
…
و بدیهی است که ترم n داده شده است عود کنندهفرمول

توجه داشته باشید : در یک فرمول تکرارشونده، هر عبارت بعدی بر حسب عبارت قبلی یا حتی بر حسب مجموعه کاملی از اصطلاحات قبلی بیان می شود.

فرمول به دست آمده در عمل کاربرد کمی دارد - برای به دست آوردن، مثلاً، باید تمام شرایط قبلی را مرور کنید. و در ریاضیات، عبارت راحت تری برای ترم n یک پیشروی حسابی به دست آمده است: . در مورد ما:

اعداد طبیعی را جایگزین فرمول کنید و صحت دنباله عددی ساخته شده در بالا را بررسی کنید.

محاسبات مشابهی را می توان برای پیشرفت هندسی، که nامین عبارت آن با فرمول، که عبارت اول است و – مخرجپیشرفت در تکالیف ریاضی، ترم اول اغلب برابر با یک است.

پیشرفت دنباله را تعیین می کند ;
پیشرفت دنباله را تنظیم می کند.
پیشرفت دنباله را تعیین می کند ;
پیشرفت دنباله را تعیین می کند .

امیدوارم همه بدانند که –1 به توان فرد برابر با –1 و به توان زوج – یک است.

پیشرفت نامیده می شود بی نهایت در حال کاهش، اگر (دو مورد آخر).

بیایید دو دوست جدید را به لیست خود اضافه کنیم که یکی از آنها به تازگی روی ماتریس مانیتور ضربه زده است:

دنباله در اصطلاحات ریاضی "چشمک زن" نامیده می شود:

بدین ترتیب، اعضای دنباله را می توان تکرار کرد. بنابراین، در مثال در نظر گرفته شده، دنباله از دو عدد بی نهایت متناوب تشکیل شده است.

آیا این اتفاق می افتد که یک دنباله از اعداد یکسان تشکیل شده باشد؟ قطعا. به عنوان مثال، تعداد بی نهایت "سه" را تنظیم می کند. برای زیبایی شناسان، موردی وجود دارد که "en" هنوز به طور رسمی در فرمول ظاهر می شود:

بیایید یک دوست ساده را به رقص دعوت کنیم:

وقتی "en" تا بی نهایت افزایش می یابد چه اتفاقی می افتد؟ بدیهی است که اعضای سکانس خواهند بود بی نهایت نزدیکنزدیک شدن به صفر این محدودیت این دنباله است که به صورت زیر نوشته شده است:

اگر حد یک دنباله صفر باشد آنگاه نامیده می شود بی نهایت کوچک.

در تئوری آنالیز ریاضی داده شده است تعریف دقیق محدودیت توالیاز طریق محله به اصطلاح اپسیلون. مقاله بعدی به این تعریف اختصاص داده خواهد شد، اما در حال حاضر اجازه دهید به معنای آن نگاه کنیم:

اجازه دهید شرایط دنباله و همسایگی متقارن را با توجه به صفر (حد) روی خط اعداد نشان دهیم:


اکنون ناحیه آبی را با لبه های کف دست خود نیشگون بگیرید و شروع به کوچک کردن آن کنید و آن را به سمت حد (نقطه قرمز) بکشید. اگر برای هر محله از پیش انتخاب شده باشد، یک عدد حد یک دنباله است (هرچقدر که دوست دارید کوچک)داخل آن خواهد بود بی نهایت زیاداعضای دنباله، و خارج از آن - فقط نهاییتعداد اعضا (یا هیچ کدام). یعنی همسایگی اپسیلون می تواند میکروسکوپی و حتی کوچکتر باشد، اما "دم بی نهایت" دنباله دیر یا زود باید به طور کاملوارد منطقه شوید

این دنباله نیز بی نهایت کوچک است: با این تفاوت که اعضای آن به جلو و عقب نمی پرند، بلکه منحصراً از سمت راست به حد نزدیک می شوند.

به طور طبیعی، حد می تواند برابر با هر عدد محدود دیگری باشد، یک مثال ابتدایی:

در اینجا کسر به سمت صفر میل می کند و بر این اساس، حد برابر با "دو" است.

اگر دنباله یک حد محدود وجود دارد، سپس نامیده می شود همگرا(به خصوص، بی نهایت کوچکدر). که در در غیر این صورت – واگرا، در این صورت دو گزینه ممکن است: یا حد وجود ندارد یا نامحدود است. در حالت دوم، دنباله نامیده می شود بی نهایت بزرگ. بیایید نمونه‌های پاراگراف اول را مرور کنیم:

دنباله ها هستند بی نهایت بزرگ، در حالی که اعضای آنها با اطمینان به سمت "به علاوه بی نهایت" حرکت می کنند:

یک پیشرفت حسابی با اولین جمله و مرحله نیز بی نهایت بزرگ است:

به هر حال، هر پیشروی حسابی نیز واگرا می شود، به استثنای مورد با گام صفر - وقتی . حد چنین دنباله ای وجود دارد و مصادف با جمله اول است.

سکانس ها سرنوشت مشابهی دارند:

هر پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش، همانطور که از نام آن مشخص است، بی نهایت کوچک:

اگر مخرج پیشرفت هندسی باشد، دنباله بی نهایت بزرگ است:

برای مثال، اگر محدودیت اصلا وجود نداشته باشد، زیرا اعضا به طور خستگی ناپذیر یا به "بعلاوه بی نهایت" یا "منهای بی نهایت" می پرند. و عقل سلیم و قضایای ماتان حاکی از آن است که اگر چیزی در جایی تلاش می کند، این تنها مکان گرامی است.

بعد از کمی افشاگری مشخص می شود که "چراغ چشمک زن" مقصر پرتاب غیرقابل کنترل است که اتفاقاً به خودی خود واگرا می شود.
در واقع، برای یک دنباله، انتخاب یک -همسایگی که مثلاً فقط عدد -1 را می‌بندد، آسان است. در نتیجه، تعداد نامتناهی از اعضای دنباله ("به علاوه یک") خارج از این محله باقی خواهند ماند. اما طبق تعریف، "دم نامتناهی" دنباله از یک لحظه خاص (عدد طبیعی) باید به طور کاملبه هر نزدیکی از حد خود بروید. نتیجه: آسمان حد است.

فاکتوریل است بی نهایت بزرگتوالی:

علاوه بر این، با جهش و مرز در حال رشد است، بنابراین عددی است که بیش از 100 رقم (رقم) دارد! چرا دقیقا 70؟ روی آن ریزمحاسبه مهندسی من التماس رحمت دارد.

با یک شات کنترلی، همه چیز کمی پیچیده تر است و ما به تازگی به بخش عملی سخنرانی رسیده ایم که در آن نمونه های رزمی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

اما اکنون باید بتوانید محدودیت های توابع را حداقل در سطح دو درس اساسی حل کنید: محدودیت ها. نمونه هایی از راه حل هاو محدودیت های شگفت انگیز. زیرا بسیاری از روش های راه حل مشابه خواهند بود. اما، اول از همه، اجازه دهید تفاوت های اساسی بین حد یک دنباله و حد یک تابع را تجزیه و تحلیل کنیم:

در حد دنباله، متغیر "دینامیک" "en" می تواند تمایل داشته باشد فقط به "به علاوه بی نهایت"- به سمت افزایش اعداد طبیعی .
در محدوده تابع، "x" را می توان در هر جایی هدایت کرد - به "بعلاوه / منهای بی نهایت" یا به یک عدد واقعی دلخواه.

دنباله گسسته(ناپیوسته)، یعنی از اعضای منزوی منفرد تشکیل شده است. یک، دو، سه، چهار، پنج، خرگوش برای قدم زدن بیرون رفت. آرگومان یک تابع با پیوستگی مشخص می شود، یعنی "X" به آرامی، بدون حادثه، به یک یا مقدار دیگری تمایل دارد. و بر این اساس، مقادیر تابع نیز به طور مداوم به حد خود نزدیک می شوند.

به خاطر اینکه گسستگیدرون سکانس ها چیزهایی با امضای خاص خود وجود دارد، مانند فاکتوریل ها، "چراغ های چشمک زن"، پیشرفت ها و غیره. و اکنون سعی خواهم کرد محدودیت هایی را که مختص دنباله ها هستند تحلیل کنم.

بیایید با پیشرفت ها شروع کنیم:

مثال 1

حد دنباله را پیدا کنید

راه حل: چیزی شبیه به یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت، اما آیا واقعا اینطور است؟ برای وضوح، اجازه دهید چند عبارت اول را بنویسیم:

از آن زمان، ما در مورد صحبت می کنیم میزانشرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی که با فرمول محاسبه می شود.

بیایید تصمیم بگیریم:

ما از فرمول برای مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش استفاده می کنیم: . در این مورد: - جمله اول، - مخرج پیشرفت.

مثال 2

چهار جمله اول دنباله را بنویسید و حد آن را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. برای از بین بردن عدم قطعیت در شمارشگر، باید فرمول مجموع جمله های اول یک پیشرفت حسابی را اعمال کنید:
، جایی که اولین و a nامین ترم پیشرفت است.

از آنجایی که در داخل دنباله‌ها «en» همیشه به «به علاوه بی‌نهایت» تمایل دارد، جای تعجب نیست که عدم قطعیت یکی از محبوب‌ترین موارد باشد.
و بسیاری از مثال ها دقیقاً به همان روشی که محدودیت های تابع حل می شوند!

یا شاید چیزی پیچیده تر مانند ? مثال شماره 3 مقاله را بررسی کنید روش های حل حدود.

از نقطه نظر رسمی، تفاوت فقط در یک حرف خواهد بود - "x" در اینجا و "en" در اینجا.
این تکنیک یکسان است - صورت و مخرج باید با "en" به بالاترین درجه تقسیم شوند.

همچنین، عدم قطعیت در توالی ها بسیار رایج است. نحوه حل محدودیت ها را می توانید از مثال های شماره 11-13 همان مقاله یاد بگیرید.

برای درک حد به مثال شماره 7 درس مراجعه کنید محدودیت های شگفت انگیز(دومین حد قابل توجه برای مورد گسسته نیز معتبر است). راه حل دوباره مانند یک کپی کربن با اختلاف یک حرف خواهد بود.

چهار مثال بعدی (شماره های 3-6) نیز "دو رو" هستند، اما در عمل به دلایلی بیشتر مشخصه محدودیت های دنباله ای هستند تا محدودیت های تابع:

مثال 3

حد دنباله را پیدا کنید

راه حل: ابتدا راه حل کامل، سپس نظرات مرحله به مرحله:

(1) در صورت حساب دو بار از فرمول استفاده می کنیم.

(2) ما اصطلاحات مشابه را در صورتگر ارائه می کنیم.

(3) برای حذف عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر ("en" تا بالاترین درجه تقسیم کنید.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست.

مثال 4

حد دنباله را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید، فرمول ضرب مختصربرای کمک به.

در s نشان دهندهدنباله ها از روش مشابهی برای تقسیم صورت و مخرج استفاده می کنند:

مثال 5

حد دنباله را پیدا کنید

راه حلبیایید آن را طبق همان طرح ترتیب دهیم:

اتفاقاً یک قضیه مشابه برای توابع صادق است: حاصلضرب یک تابع محدود و یک تابع بی‌نهایت کوچک، یک تابع بی‌نهایت کوچک است.

مثال 9

حد دنباله را پیدا کنید

تعریف حدود توالی و تابع، خواص حدود، حد اول و دوم قابل توجه، مثال.

عدد ثابت آتماس گرفت حد دنباله ها(x n)، اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک ε > 0 عدد N وجود داشته باشد به طوری که همه مقادیر x n، که برای آن n>N، نابرابری را برآورده می کند

آن را به صورت زیر بنویسید: یا x n → a.

نابرابری (6.1) معادل نابرابری مضاعف است

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n، با شروع از مقداری n>N، در داخل بازه (a-ε , a+ε) قرار می گیرد، یعنی. در هر همسایگی ε کوچک نقطه قرار می گیرند آ.

دنباله ای که حدی دارد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد تابع تعمیم مفهوم محدودیت دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد یک تابع x n = f(n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f(x) داده شود و اجازه دهید آ - نقطه حددامنه تعریف این تابع D(f)، یعنی. چنین نقطه ای که هر همسایگی آن حاوی نقاطی از مجموعه D(f) غیر از آ. نقطه آممکن است به مجموعه D(f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→ a، اگر برای هر دنباله ای (x n ) از مقادیر آرگومان تمایل به آ، دنباله های مربوطه (f(xn)) حد A یکسانی دارند.

این تعریف نامیده می شود تعیین حد یک تابع با توجه به هاینه،یا " به زبان توالی”.

تعریف 2. عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x → a، اگر یک عدد مثبت دلخواه و دلخواه کوچک ε داده شود، می توان چنین δ > 0 (بسته به ε) را پیدا کرد که برای همه ایکس، در همسایگی ε عدد قرار دارد آ، یعنی برای ایکس، ارضای نابرابری
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

این تعریف نامیده می شود با تعریف حد یک تابع مطابق کوشی،یا «در زبان ε - δ"

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f(x) به صورت x → a داشته باشد حد، برابر با A، این به شکل نوشته شده است

در صورتی که دنباله (f(xn)) بدون محدودیت برای هر روش تقریبی افزایش یابد (یا کاهش یابد) ایکستا حد شما آ، سپس خواهیم گفت که تابع f(x) دارد حد بی نهایت،و به شکل زیر بنویسید:

یک متغیر (یعنی دنباله یا تابع) که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن بی نهایت است نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده می شود.

قضیه 1 . اگر هر حدی وجود داشته باشد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

اظهار نظر. عبارات شکل 0/0، ∞/∞، ∞-∞ 0*∞ نامشخص هستند، به عنوان مثال، نسبت دو کمیت بینهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، و یافتن حدی از این نوع "افشای عدم قطعیت" نامیده می شود.

قضیه 2.

آن ها می توان بر اساس توان با توان ثابت به حدی رفت، به ویژه،

قضیه 3.

(6.11)

جایی که ه» 2.7 - پایه لگاریتم طبیعی. فرمول های (6.10) و (6.11) حد قابل توجه اول و حد قابل توجه دوم نامیده می شوند.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد،

اگر x → a و در همان زمان x > a، آنگاه x →a + 0 را بنویسید. اگر به طور خاص، a = 0، به جای نماد 0+0 +0 بنویسید. به همین ترتیب، اگر x→a و در همان زمان x و بر این اساس فراخوانی می شوند حد حقو حد چپ کارکرد f(x) در نقطه آ. برای اینکه حدی از تابع f(x) به صورت x← a وجود داشته باشد، لازم و کافی است . تابع f(x) فراخوانی می شود مداوم در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

(6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

یعنی عبور از حد تحت علامت یک تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر برابری (6.15) نقض شود، آنگاه می گوییم در x = xo تابع f(x) این دارد شکافتابع y = 1/x را در نظر بگیرید. دامنه تعریف این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 یک نقطه حدی از مجموعه D(f) است، زیرا در هر همسایگی آن، i.e. در هر بازه باز حاوی نقطه 0، نقاطی از D(f) وجود دارد، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f(x o)= f(0) تعریف نشده است، بنابراین در نقطه x o = 0 تابع دارای ناپیوستگی است.

تابع f(x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در نقطه x o اگر حد

و پیوسته در سمت چپ در نقطه x o، اگر حد

تداوم یک تابع در یک نقطه x oمعادل استمرار آن در این نقطه هم به سمت راست و هم به سمت چپ است.

برای اینکه تابع در نقطه پیوسته باشد x oمثلاً در سمت راست لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر با f(x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای ناپیوستگی خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f(x o) نباشد، می گویند تابع f(x) در نقطه x o دارد پارگی از نوع اول،یا جهش.

2. اگر حد +∞ یا -∞ باشد یا وجود نداشته باشد، می گویند که در نقطه x o تابع دارای ناپیوستگی است نوع دوم.

به عنوان مثال، تابع y = ctg x به عنوان x → +0 دارای حدی برابر با +∞ است، به این معنی که در نقطه x=0 دارای ناپیوستگی از نوع دوم است. تابع y = E(x) (قسمت صحیح از ایکس) در نقاطی با ابسیساهای کامل دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مداوم V . یک تابع پیوسته با یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم مقداری منجر به دومین حد قابل توجه می شود. از جمله این وظایف می توان به: رشد ذخایر طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه مواد رادیواکتیو، تکثیر باکتری ها و غیره اشاره کرد.

در نظر بگیریم مثال Ya. I. Perelman، تفسیری از عدد ارائه می دهد هدر مسئله بهره مرکب عدد همحدودیتی وجود دارد . در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر الحاق بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار بیشتری در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده در نظر بگیریم. 100 منکر در بانک واریز شود. واحدها بر اساس 100٪ در سال. اگر پول بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این دوره 100 den. واحدها به 200 واحد پولی تبدیل می شود. حالا ببینیم 100 denize به چه چیزی تبدیل می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از شش ماه 100 دن. واحدها 100 × 1.5 = 150 و پس از شش ماه دیگر - 150 × 1.5 = 225 (دانشگاه واحد) رشد خواهد کرد. اگر الحاق هر 1/3 سال انجام شود، پس از یک سال 100 den. واحدها به 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (دن. واحد) تبدیل می شود. ما شرایط اضافه کردن پول بهره را به 0.1 سال، به 0.01 سال، به 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها بعد از یک سال این خواهد شد:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (دانه واحد)،

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (دانه واحد)،

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (دنیای واحد).

با کاهش نامحدود در شرایط اضافه کردن بهره، سرمایه انباشته به طور نامحدود رشد نمی کند، بلکه به حد معینی برابر با 271 نزدیک می شود. سرمایه سپرده شده در سال 100٪ نمی تواند بیش از 2.71 برابر شود، حتی اگر سود تعلق گرفته باشد. هر ثانیه به پایتخت اضافه می شد زیرا محدودیت

مثال 3.1. با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.

راه حل.باید ثابت کنیم که صرف نظر از اینکه ε > 0 را بگیریم، برای آن یک عدد طبیعی N وجود دارد به طوری که برای همه n > N نابرابری |x n -1|< ε

هر ε > 0 را بگیرید. از آنجایی که x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، پس برای یافتن N کافی است نابرابری 1/n را حل کنیم.<ε. Отсюда n>1/ε و بنابراین، N را می توان قسمت صحیح 1/ε N = E(1/ε) در نظر گرفت. ما بدین وسیله ثابت کرده ایم که حد .

مثال 3.2.حد یک دنباله را که با یک جمله مشترک داده می شود، پیدا کنید .

راه حل. بیایید حد قضیه جمع را اعمال کنیم و حد هر جمله را پیدا کنیم. به عنوان n ∞ ∞، صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت میل می کند و نمی توانیم مستقیماً قضیه حد ضریب را اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم x n، تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2، و دوم در n. سپس با اعمال حد نصاب و حد قضیه حاصل، متوجه می شویم:

مثال 3.3. . پیدا کردن .

راه حل.

در اینجا از حد قضیه استفاده کردیم: حد یک درجه برابر است با درجه حد پایه.

مثال 3.4. پیدا کردن ( ).

راه حل. استفاده از قضیه حد تفاوت غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل ∞-∞ داریم. بیایید فرمول اصطلاح کلی را تبدیل کنیم:

مثال 3.5. تابع f(x)=2 1/x داده شده است. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بیایید از تعریف 1 حد یک تابع از طریق یک دنباله استفاده کنیم. اجازه دهید دنباله ای ( x n ) بگیریم که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f(xn)= برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1/n. بدیهی است، پس از آن حد اجازه دهید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1/n، که به صفر نیز گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6. ثابت کنید که محدودیتی وجود ندارد.

راه حل.بگذارید x 1 , x 2 ,..., x n ,... دنباله ای باشد که برای آن
. دنباله (f(xn)) = (sin x n) برای x n های مختلف چگونه رفتار می کند → ∞

اگر x n = p n، آنگاه sin x n = گناه (ص n) = 0 برای همه nو حد اگر
x n = 2 p n+ p /2، سپس sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 برای همه nو بنابراین حد. پس وجود ندارد.

امروز در کلاس نگاه خواهیم کرد توالی دقیقو تعریف دقیق حد یک تابع، و همچنین حل مسائل مربوط به ماهیت نظری را بیاموزید. این مقاله در درجه اول برای دانشجویان سال اول علوم طبیعی و تخصص های مهندسی است که شروع به مطالعه تئوری تجزیه و تحلیل ریاضی کردند و در درک این بخش از ریاضیات عالی با مشکلاتی مواجه شدند. علاوه بر این، مطالب برای دانش آموزان دبیرستانی کاملاً در دسترس است.

در طول سال‌های فعالیت سایت، ده‌ها نامه با این مضمون دریافت کرده‌ام: «من تحلیل ریاضی را خوب نمی‌فهمم، چه کار کنم؟»، «اصلاً ریاضی را نمی‌فهمم، به ترک تحصیل فکر می کنم و غیره. و در واقع، این متان است که اغلب پس از جلسه اول، گروه دانشجو را نازک می کند. چرا این طور است؟ چون موضوع به طرز غیرقابل تصوری پیچیده است؟ اصلا! تئوری تجزیه و تحلیل ریاضی آنقدرها هم که عجیب است دشوار نیست. و باید او را همان طور که هست بپذیری و دوستش داشته باشی =)

بیایید با سخت ترین مورد شروع کنیم. اولین و مهمترین چیز این است که شما مجبور نیستید تحصیل خود را رها کنید. به درستی درک کنید، همیشه می توانید ترک کنید؛-) البته، اگر بعد از یک یا دو سال از تخصص انتخابی خود احساس بیماری کردید، بله، باید در مورد آن فکر کنید. (و عصبانی نشو!)در مورد تغییر فعالیت اما در حال حاضر ارزش ادامه دادن را دارد. و لطفاً عبارت "من چیزی نمی فهمم" را فراموش کنید - این اتفاق نمی افتد که شما اصلاً چیزی را نمی فهمید.

اگر تئوری بد باشد چه باید کرد؟ به هر حال، این نه تنها در مورد تجزیه و تحلیل ریاضی صدق می کند. اگر تئوری بد است، ابتدا باید به طور جدی روی تمرین تمرکز کنید. در این مورد، دو وظیفه استراتژیک به طور همزمان حل می شود:

- اولاً، سهم قابل توجهی از دانش نظری از طریق عمل پدیدار شد. و به همین دلیل است که بسیاری از مردم این نظریه را از طریق ... درک می کنند - درست است! نه، نه، تو به این فکر نمی کنی =)

– و ثانیاً، مهارت‌های عملی به احتمال زیاد شما را از امتحان «کشش» می‌کند، حتی اگر... اما اجازه دهید اینقدر هیجان زده نشویم! همه چیز واقعی است و همه چیز را می توان در یک زمان نسبتاً کوتاه "بالا" کرد. تجزیه و تحلیل ریاضی بخش مورد علاقه من در ریاضیات عالی است و بنابراین نمی توانم کمکی به شما نکنم:

در ابتدای ترم 1، محدودیت های توالی و محدودیت های عملکرد معمولا پوشش داده می شود. نمی دانید اینها چیست و نمی دانید چگونه آنها را حل کنید؟ با مقاله شروع کنید محدودیت های عملکرد، که در آن خود مفهوم "روی انگشتان" بررسی می شود و ساده ترین نمونه ها تجزیه و تحلیل می شود. در مرحله بعد، درس های دیگر را در مورد موضوع، از جمله درسی در مورد آن کار کنید در سکانس ها، که من در واقع قبلاً تعریف دقیقی از آن ارائه کرده ام.

به جز علائم نابرابری و مدول چه نمادهایی را می شناسید؟

- یک چوب عمودی بلند به این صورت است: "چنین آن"، "چنین آن"، "چنین آن" یا "چنین آن"در مورد ما، بدیهی است که ما در مورد یک عدد صحبت می کنیم - بنابراین "چنین"؛

– برای همه «en» بزرگتر از ;

– علامت مدول به معنای فاصله است، یعنی این مدخل به ما می گوید که فاصله بین مقادیر کمتر از اپسیلون است.

خوب، کشنده سخت است؟ =)

پس از تسلط بر تمرین، مشتاقانه منتظر دیدار شما در پاراگراف بعدی هستم:

و در واقع، بیایید کمی فکر کنیم - چگونه یک تعریف دقیق از دنباله را تدوین کنیم؟ ... اولین چیزی که در دنیا به ذهن می رسد درس عملی: "حد یک دنباله عددی است که اعضای دنباله بی نهایت به آن نزدیک می شوند."

خوب، بیایید آن را بنویسیم دنباله :

درک آن کار سختی نیست دنباله بی نهایت نزدیک به عدد -1 و اصطلاحات زوج است - به یک".

یا شاید دو حد وجود دارد؟ اما پس چرا هیچ سکانسی نمی تواند ده یا بیست عدد از آنها را داشته باشد؟ شما می توانید از این راه دور بروید. در این زمینه منطقی است که چنین فرض کنیم اگر یک دنباله دارای محدودیت باشد، پس منحصر به فرد است.

توجه داشته باشید : دنباله محدودیتی ندارد، اما دو دنباله فرعی از آن قابل تشخیص است (به بالا مراجعه کنید) که هر کدام حد خود را دارند.

بنابراین، تعریف فوق غیرقابل دفاع است. بله، برای مواردی از این قبیل کار می کند (که من در توضیح ساده مثال های کاربردی به درستی استفاده نکردم)، اما اکنون باید یک تعریف دقیق پیدا کنیم.

تلاش دوم: "محدودیت یک دنباله، عددی است که همه اعضای دنباله به آن نزدیک می شوند، به جز شاید آنها نهاییمقادیر." این به حقیقت نزدیک‌تر است، اما هنوز کاملاً دقیق نیست. بنابراین، برای مثال، دنباله نیمی از عبارات به هیچ وجه به صفر نزدیک نمی شوند - آنها به سادگی با آن برابر هستند =) به هر حال، "چراغ چشمک زن" معمولاً دو مقدار ثابت می گیرد.

توضیح این فرمول دشوار نیست، اما پس از آن یک سوال دیگر مطرح می شود: چگونه می توان تعریف را در نمادهای ریاضی نوشت؟ دنیای علم برای مدت طولانی با این مشکل دست و پنجه نرم کرد تا این که وضعیت حل شد استاد معروف، که در اصل آنالیز ریاضی کلاسیک را با تمام سختی آن رسمیت بخشید. کوشی عمل جراحی را پیشنهاد کرد محیط اطراف ، که به طور قابل توجهی این نظریه را پیش برد.

یک نکته و آن را در نظر بگیرید دلخواه-محیط اطراف:

ارزش "epsilon" همیشه مثبت است، و علاوه بر این، ما این حق را داریم که خودمان آن را انتخاب کنیم. بیایید فرض کنیم که در این محله اعضای زیادی وجود دارد (نه لزوما همه)چند دنباله اینکه مثلاً ترم دهم در همسایگی است چگونه یادداشت کنیم؟ بگذارید در سمت راست آن باشد. سپس فاصله بین نقاط و باید کمتر از “epsilon” باشد: . اما اگر "x دهم" در سمت چپ نقطه "الف" قرار داشته باشد، این تفاوت منفی خواهد بود و بنابراین علامت باید به آن اضافه شود. مدول: .

تعریف: یک عدد را حد یک دنباله اگر می گویند برای هرچیاطراف آن (از پیش انتخاب شده)یک عدد طبیعی وجود دارد که همهاعضای دنباله با اعداد بالاتر در داخل محله خواهند بود:

یا به طور خلاصه: اگر

به عبارت دیگر، مهم نیست که چقدر مقدار "اپسیلون" را کوچک می گیریم، دیر یا زود "دم بی نهایت" دنباله به طور کامل در این همسایگی خواهد بود.

به عنوان مثال، "دم بی نهایت" دنباله به طور کامل وارد هر محله کوچک دلخواه نقطه می شود. بنابراین این مقدار طبق تعریف، حد توالی است. به شما یادآوری می کنم که دنباله ای که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک.

لازم به ذکر است که برای یک سکانس دیگر نمی توان گفت "دم بی پایان" وارد خواهد شد"- اعضای با اعداد فرد در واقع برابر با صفر هستند و "هیچ جا نمی روند" =) به همین دلیل است که در تعریف از فعل "ظاهر می شود" استفاده می شود. و البته اعضای سکانسی مانند این نیز «به جایی نمی‌رسند». به هر حال، بررسی کنید که آیا تعداد محدودیت آن است یا خیر.

اکنون نشان خواهیم داد که دنباله محدودیتی ندارد. برای مثال، همسایگی نقطه را در نظر بگیرید. کاملاً واضح است که چنین عددی وجود ندارد که پس از آن همه عبارت‌ها در یک محله مشخص به پایان برسند - عبارت‌های فرد همیشه به «منهای یک» «بیرون می‌روند». به همین دلیل، هیچ محدودیتی در نقطه وجود ندارد.

بیایید مطالب را با تمرین ادغام کنیم:

مثال 1

ثابت کنید که حد دنباله صفر است. عددی را مشخص کنید که پس از آن همه اعضای دنباله تضمین می‌شوند که در هر محله کوچک دلخواه نقطه قرار دارند.

توجه داشته باشید : برای بسیاری از دنباله ها، عدد طبیعی مورد نیاز به مقدار بستگی دارد - از این رو نماد .

راه حل: در نظر گرفتن دلخواه هستتعداد - به طوری که همه اعضای با تعداد بالاتر در این محله باشند:

برای نشان دادن وجود عدد مورد نیاز، آن را از طریق بیان می کنیم.

از آنجایی که برای هر مقدار "en"، علامت مدول را می توان حذف کرد:

ما از اقدامات "مدرسه ای" با نابرابری هایی استفاده می کنیم که در کلاس تکرار کردم نابرابری های خطیو دامنه تابع. در این مورد، یک شرایط مهم این است که "epsilon" و "en" مثبت هستند:

از آنجایی که ما در مورد اعداد طبیعی در سمت چپ صحبت می کنیم، و سمت راست به طور کلی کسری است، باید گرد شود:

توجه داشته باشید : گاهی اوقات یک واحد به سمت راست اضافه می شود تا در سمت امن باشد، اما در واقع این بیش از حد است. به طور نسبی، اگر نتیجه را با گرد کردن به پایین تضعیف کنیم، نزدیکترین عدد مناسب ("سه") همچنان نابرابری اصلی را برآورده می کند.

اکنون به نابرابری نگاه می کنیم و آنچه را در ابتدا در نظر گرفتیم به یاد می آوریم دلخواه- همسایگی، یعنی "epsilon" می تواند برابر باشد هر کسییک عدد مثبت

نتیجه: برای هر محله کوچک دلخواه یک نقطه، مقدار پیدا شد . بنابراین، عدد بر اساس تعریف، حد یک دنباله است. Q.E.D.

به هر حال، از نتیجه به دست آمده است یک الگوی طبیعی به وضوح قابل مشاهده است: هر چه محله کوچکتر باشد، تعداد آن بزرگتر است، پس از آن همه اعضای دنباله در این محله خواهند بود. اما مهم نیست که "اپسیلون" چقدر کوچک باشد، همیشه یک "دم بی نهایت" در داخل و خارج وجود خواهد داشت - حتی اگر بزرگ باشد. نهاییتعداد اعضا

برداشت شما چگونه است؟ =) موافقم که کمی عجیب است. اما به شدت!لطفا دوباره بخوانید و دوباره به همه چیز فکر کنید.

بیایید به یک مثال مشابه نگاه کنیم و با سایر تکنیک های فنی آشنا شویم:

مثال 2

راه حل: با تعریف یک دنباله اثبات آن ضروری است (این را بلند بگو!!!).

در نظر بگیریم دلخواه-همسایگی نقطه و بررسی، آیا وجود داردعدد طبیعی - به طوری که برای همه اعداد بزرگتر نابرابری زیر برقرار است:

برای نشان دادن وجود چنین، باید "en" را از طریق "epsilon" بیان کنید. عبارت زیر علامت مدول را ساده می کنیم:

ماژول علامت منفی را از بین می برد:

مخرج برای هر "en" مثبت است، بنابراین، میله ها را می توان حذف کرد:

بر زدن:

اکنون باید ریشه دوم را استخراج کنیم، اما نکته مهم این است که برای برخی از "اپسیلون" سمت راست سمت راست منفی خواهد بود. برای جلوگیری از این دردسر تقویت کنیمنابرابری بر اساس مدول:

چرا می توان این کار را انجام داد؟ اگر، به طور نسبی، معلوم شود که، آنگاه شرط نیز برآورده می شود. ماژول می تواند فقط افزایش دهیدشماره مورد نظر، و این برای ما نیز مناسب خواهد بود! به طور کلی اگر صدم مناسب است، دو صدم هم مناسب است! طبق تعریف، باید نشان دهید حقیقت وجود عدد(حداقل برخی)، پس از آن همه اعضای دنباله در همسایگی خواهند بود. به هر حال، به همین دلیل است که ما از گرد شدن نهایی سمت راست به سمت بالا نمی ترسیم.

استخراج ریشه:

و نتیجه را گرد کنید:

نتیجه: زیرا مقدار "epsilon" به طور دلخواه انتخاب شد، سپس برای هر محله کوچک دلخواه نقطه، مقدار آن پیدا شد. ، به طوری که برای همه اعداد بزرگتر نابرابری برقرار است . بدین ترتیب، اولی. Q.E.D.

من توصیه میکنم بخصوصدرک تقویت و تضعیف نابرابری ها یک تکنیک معمولی و بسیار رایج در تحلیل ریاضی است. تنها چیزی که باید نظارت کنید صحت این یا آن عمل است. بنابراین، برای مثال، نابرابری تحت هیچ شرایطی امکان پذیر نیست شل کردن، تفریق، بگویید، یک:

باز هم به صورت مشروط: اگر عدد دقیقاً مطابقت داشته باشد، ممکن است شماره قبلی دیگر مناسب نباشد.

مثال زیر برای یک راه حل مستقل:

مثال 3

با استفاده از تعریف یک دنباله، آن را ثابت کنید

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

اگر دنباله بی نهایت بزرگ، سپس تعریف یک حد به روشی مشابه فرموله می شود: یک نقطه حد یک دنباله نامیده می شود اگر وجود داشته باشد، به اندازه ای که دوست داریدعدد، عددی وجود دارد که برای همه اعداد بزرگتر، نابرابری برآورده می شود. شماره تماس گرفته می شود مجاورت نقطه "به علاوه بی نهایت":

به عبارت دیگر، مهم نیست که چقدر مقدار را در نظر بگیریم، "دم نامتناهی" دنباله لزوماً به همسایگی نقطه می رود و فقط تعداد محدودی از عبارت ها در سمت چپ باقی می ماند.

مثال استاندارد:

و علامت کوتاه شده: , if

برای مورد، تعریف را خودتان بنویسید. نسخه صحیح در انتهای درس آمده است.

پس از بررسی مثال‌های عملی و فهمیدن تعریف حد یک دنباله، می‌توانید به ادبیات حسابان و/یا دفتر سخنرانی خود مراجعه کنید. توصیه می کنم جلد 1 بوهان را دانلود کنید (ساده تر - برای دانشجویان مکاتبه ای)و فیختنهولتز (با جزئیات و جزئیات بیشتر). در میان نویسندگان دیگر، من Piskunov را توصیه می کنم، که دوره اش برای دانشگاه های فنی است.

سعی کنید با وجدان قضایایی را که مربوط به حد توالی، اثبات آنها، پیامدها است، مطالعه کنید. در ابتدا، این نظریه ممکن است "ابری" به نظر برسد، اما این طبیعی است - فقط باید به آن عادت کنید. و بسیاری حتی طعم آن را خواهند چشید!

تعریف دقیق حد یک تابع

بیایید با همین موضوع شروع کنیم - چگونه این مفهوم را فرموله کنیم؟ تعریف شفاهی حد یک تابع بسیار ساده تر است: "عدد حد یک تابع است اگر "x" تمایل به (هم چپ و هم راست)، مقادیر تابع مربوطه به » (نقاشی را ببینید). به نظر می رسد همه چیز عادی است، اما کلمات کلمه هستند، معنی معنی است، نماد یک نماد است، و نمادهای ریاضی دقیق کافی وجود ندارد. و در پاراگراف دوم با دو رویکرد برای حل این موضوع آشنا می شویم.

اجازه دهید تابع در یک بازه زمانی مشخص، به استثنای نقطه، تعریف شود. در ادبیات آموزشی به طور کلی پذیرفته شده است که عملکرد وجود دارد نهتعریف شده است:

این انتخاب تاکید می کند ماهیت حد یک تابع: "ایکس" بی نهایت نزدیکرویکردها و مقادیر مربوط به تابع هستند بی نهایت نزدیکبه . به عبارت دیگر، مفهوم حد به معنای «رویکرد دقیق» به نقاط نیست، بلکه به معنای آن است تقریب بی نهایت نزدیک، فرقی نمی کند که تابع در نقطه تعریف شده باشد یا خیر.

تعریف اول از حد یک تابع، تعجب آور نیست، با استفاده از دو دنباله فرموله شده است. اولاً، مفاهیم مرتبط هستند، و ثانیاً، حدود توابع معمولاً پس از محدودیت‌های توالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند.

دنباله را در نظر بگیرید نکته ها (روی نقاشی نیست)، متعلق به فاصله و متفاوت از، که همگرا می شودبه . سپس مقادیر تابع مربوطه نیز یک دنباله عددی را تشکیل می دهند که اعضای آن در محور ارتین قرار دارند.

حد یک تابع طبق هاینه برای هرچیدنباله ای از نقاط (متعلق و متفاوت از)، که به نقطه همگرا می شود، دنباله مربوط به مقادیر تابع به همگرا می شود.

ادوارد هاینه یک ریاضیدان آلمانی است. ... و نیازی به چنین چیزی نیست، فقط یک همجنسگرا در اروپا وجود دارد - گی-لوساک =)

تعریف دوم حد ایجاد شد... بله بله درست می فرمایید. اما ابتدا بیایید طراحی آن را درک کنیم. یک همسایگی دلخواه نقطه را در نظر بگیرید (محله "سیاه"). بر اساس پاراگراف قبل، مدخل به این معناست که مقداری ارزشتابع در داخل محله "epsilon" واقع شده است.

اکنون - همسایگی را می یابیم که مطابق با - همسایگی است (خطوط نقطه چین سیاه را از چپ به راست و سپس از بالا به پایین بکشید). توجه داشته باشید که مقدار انتخاب شده است در طول بخش کوچکتر، در این مورد - در امتداد طول بخش سمت چپ کوتاهتر. علاوه بر این، "تمشک" - همسایگی یک نقطه حتی می تواند کاهش یابد، زیرا در تعریف زیر حقیقت وجود مهم استاین محله و به طور مشابه، نماد به این معنی است که مقداری در همسایگی "دلتا" قرار دارد.

محدودیت عملکرد کوشی: یک عدد حد تابع در یک نقطه if نامیده می شود برای هرچی از پیش انتخاب شدهمحله (هرچقدر که دوست دارید کوچک), وجود دارد-همسایگی نقطه، چنین، که: AS ONLY مقادیر (متعلق به)در این حوزه گنجانده شده است: (فلش های قرمز)- بنابراین بلافاصله مقادیر تابع مربوطه برای وارد کردن - همسایگی تضمین می شود: (فلش های آبی).

باید به شما هشدار بدهم که برای شفافیت، کمی بداهه نوشتم، پس زیاده روی نکنید =)

ورودی کوتاه:، اگر

اصل تعریف چیست؟ به بیان تصویری، با کاهش بی‌نهایت همسایگی، مقادیر تابع را تا حد آنها «همراه» می‌کنیم و هیچ جایگزینی برای نزدیک شدن به جای دیگری باقی نمی‌گذاریم. کاملا غیر معمول، اما باز هم سختگیرانه! برای درک کامل ایده، عبارت را دوباره بخوانید.

! توجه: اگر فقط نیاز به فرمول بندی دارید تعریف هاینهیا فقط تعریف کوشیلطفا در مورد را فراموش نکنید قابل توجهنظرات اولیه: "یک تابع را در نظر بگیرید که در یک بازه زمانی مشخص تعریف شده است، به استثنای یک نقطه". این را در همان ابتدا یک بار گفتم و هر بار تکرار نکردم.

با توجه به قضیه مربوط به تحلیل ریاضی، تعاریف هاینه و کوشی معادل هستند، اما گزینه دوم معروف ترین است. (هنوز این کار را انجام خواهد داد!)، که به آن "محدودیت زبان" نیز می گویند:

مثال 4

با استفاده از تعریف حد، آن را ثابت کنید

راه حل: تابع در کل خط عددی به جز نقطه تعریف شده است. با استفاده از تعریف، وجود یک حد را در یک نقطه معین اثبات می کنیم.

توجه داشته باشید : ارزش محله "دلتا" به "epsilon" بستگی دارد، از این رو تعیین می شود

در نظر بگیریم دلخواه-محیط اطراف. وظیفه این است که از این مقدار برای بررسی اینکه آیا استفاده کنید آیا وجود دارد-محیط اطراف، چنین، که از نابرابری نابرابری به دنبال دارد .

با این فرض، آخرین نابرابری را تبدیل می کنیم:
(سه جمله ای درجه دوم را گسترش داد)