چگونه یک ریشه دیگر را از یک ریشه کم کنیم. قانون اضافه کردن ریشه های مربع فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")

در درس قبل متوجه شدیم که جذر چیست. وقت آن است که بفهمیم چه چیزی هستند فرمول های ریشه، چه هستند خواص ریشهو چه کاری می توان در مورد آن انجام داد.

فرمول های ریشه، ویژگی های ریشه و قوانین اعمال با ریشه ها- اساساً همین است. به طور شگفت انگیزی فرمول های کمی برای ریشه های مربع وجود دارد. که البته خوشحال کننده است! در عوض، شما می توانید انواع فرمول های زیادی بنویسید، اما تنها سه مورد برای کار عملی و مطمئن با ریشه کافی است. همه چیز دیگر از این سه سرچشمه می گیرد. اگرچه بسیاری در سه فرمول ریشه ها گمراه می شوند، بله ...

بیایید با ساده ترین شروع کنیم. او اینجاست:

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

دوباره به بشقاب نگاه کردم... و بیا بریم!

بیایید با یک مورد ساده شروع کنیم:

یک دقیقه صبر کن. این یعنی ما می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:

فهمیدم؟ این مورد بعدی برای شما است:

ریشه اعداد به دست آمده دقیقاً استخراج نشده اند؟ نگران نباشید، در اینجا چند نمونه آورده شده است:

اما اگر دو ضریب وجود نداشته باشد، بلکه بیشتر باشد چه؟ همان! فرمول ضرب ریشه با هر تعدادی از عوامل کار می کند:

اکنون کاملاً مستقل:

پاسخ ها:آفرین! موافقم، همه چیز بسیار آسان است، نکته اصلی این است که جدول ضرب را بدانید!

تقسیم ریشه

ما ضرب ریشه ها را فهمیدیم، حالا بیایید به ویژگی تقسیم برویم.

به شما یادآوری می کنم که فرمول به طور کلی به این صورت است:

و این به این معنی است ریشه ضریب برابر با ضریب ریشه است.

خوب، بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

این همه علم است. و در اینجا یک مثال است:

همه چیز مانند مثال اول صاف نیست، اما همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

چه می شود اگر عبارت به این شکل باشد:

فقط باید فرمول را برعکس اعمال کنید:

و در اینجا یک مثال است:

شما همچنین می توانید این عبارت را ببینید:

همه چیز یکسان است، فقط در اینجا باید نحوه ترجمه کسرها را به خاطر بسپارید (اگر به یاد ندارید، به موضوع نگاه کنید و برگردید!). به یاد آورد؟ حالا ما تصمیم می گیریم!

من مطمئن هستم که شما با همه چیز، همه چیز کنار آمدید، حالا بیایید سعی کنیم در یک درجه ریشه کنیم.

توانمندی

چه اتفاقی می افتد اگر جذر جذر آن مربع باشد؟ ساده است، معنی جذر یک عدد را به خاطر بسپارید - این عددی است که ریشه دوم آن برابر است.

بنابراین، اگر عددی را که جذر آن برابر است مربع کنیم، چه چیزی به دست می آید؟

خوب البته، !

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

همه چیز ساده است، درست است؟ و اگر ریشه در درجه دیگری باشد؟ خوبه!

به همان منطق پایبند باشید و خواص و اقدامات ممکن را با قدرت ها به خاطر بسپارید.

تئوری را در مورد موضوع "" بخوانید و همه چیز برای شما بسیار روشن خواهد شد.

به عنوان مثال، در اینجا یک عبارت است:

در این مثال، درجه زوج است، اما اگر فرد باشد چه؟ دوباره، ویژگی های قدرت را اعمال کنید و همه چیز را فاکتور بگیرید:

با این، به نظر همه چیز روشن است، اما چگونه ریشه را از یک عدد در یک درجه استخراج کنیم؟ به عنوان مثال، در اینجا این است:

خیلی ساده، درست است؟ اگر مدرک بالاتر از دو باشد چه؟ ما با استفاده از ویژگی های درجه از همان منطق پیروی می کنیم:

خوب، همه چیز روشن است؟ سپس مثال های خود را حل کنید:

و در اینجا پاسخ ها وجود دارد:

مقدمه زیر علامت ریشه

کاری که ما یاد نگرفته ایم با ریشه ها انجام دهیم! فقط تمرین وارد کردن شماره زیر علامت ریشه باقی می ماند!

این کاملا آسان است!

فرض کنید یک عدد داریم

با آن چه کنیم؟ خوب، البته، سه گانه را زیر ریشه پنهان کنید، در حالی که به یاد داشته باشید که ثلاث جذر آن است!

چرا ما به اون احتیاج داریم؟ بله، فقط برای گسترش توانایی‌هایمان هنگام حل مثال‌ها:

این خاصیت ریشه را چگونه دوست دارید؟ زندگی را بسیار آسان تر می کند؟ برای من، درست است! فقط باید به خاطر داشته باشیم که فقط می توانیم اعداد مثبت را زیر علامت جذر وارد کنیم.

این مثال را خودتان امتحان کنید:
توانستی مدیریت کنی؟ بیایید ببینیم چه چیزی باید دریافت کنید:

آفرین! شما موفق شدید یک عدد زیر علامت ریشه وارد کنید! بیایید به چیزی به همان اندازه مهم برویم - نحوه مقایسه اعداد حاوی یک جذر را در نظر بگیرید!

مقایسه ریشه

چرا باید مقایسه اعداد حاوی جذر را یاد بگیریم؟

بسیار ساده. اغلب، در عبارات بزرگ و طولانی که در امتحان با آنها مواجه می شویم، یک پاسخ غیرمنطقی می گیریم (یادتان می آید چیست؟ امروز قبلاً در این مورد صحبت کردیم!)

باید پاسخ های دریافت شده را مثلاً روی خط مختصات قرار دهیم تا مشخص کنیم کدام بازه برای حل معادله مناسب است. و اینجاست که مشکل ایجاد می شود: هیچ ماشین حسابی در امتحان وجود ندارد و بدون آن چگونه می توان تصور کرد که کدام عدد بزرگتر و کدام کوچکتر است؟ خودشه!

به عنوان مثال، تعیین کنید کدام بزرگتر است: یا؟

شما به درستی نمی گویید. خوب، بیایید از خاصیت تجزیه شده اضافه کردن یک عدد زیر علامت ریشه استفاده کنیم؟

سپس به جلو:

خب معلومه که هر چی عدد زیر علامت ریشه بزرگتر باشه خود ریشه هم بزرگتره!

آن ها اگر یعنی .

از این به طور قاطع نتیجه می گیریم که و هیچ کس ما را در غیر این صورت متقاعد نمی کند!

استخراج ریشه از اعداد زیاد

قبل از آن فاکتوری را زیر علامت ریشه معرفی کردیم، اما چگونه آن را خارج کنیم؟ شما فقط باید آن را فاکتور بگیرید و آنچه استخراج می شود را استخراج کنید!

می شد راه دیگری رفت و به عوامل دیگر تجزیه شد:

بد نیست، درست است؟ هر یک از این رویکردها صحیح است، تصمیم بگیرید که چگونه احساس راحتی می کنید.

فاکتورینگ هنگام حل کارهای غیر استانداردی مانند این بسیار مفید است:

ما نمی ترسیم، ما عمل می کنیم! ما هر عامل را در زیر ریشه به عوامل جداگانه تجزیه می کنیم:

و حالا خودتان آن را امتحان کنید (بدون ماشین حساب! در امتحان نخواهد بود):

آیا این پایان است؟ در نیمه راه نمی ایستیم!

این همه چیز است، آنقدرها هم ترسناک نیست، درست است؟

اتفاق افتاد؟ آفرین، حق با شماست!

حالا این مثال را امتحان کنید:

و یک مثال یک مهره سخت برای شکستن است، بنابراین شما نمی توانید بلافاصله بفهمید که چگونه به آن نزدیک شوید. اما ما، البته، در دندان هستیم.

خوب، بیایید فاکتورسازی را شروع کنیم، درست است؟ فوراً توجه می کنیم که می توانید یک عدد را بر (علائم تقسیم پذیری) تقسیم کنید:

و اکنون، خودتان آن را امتحان کنید (دوباره، بدون ماشین حساب!):

خوب کار کرد؟ آفرین، حق با شماست!

جمع بندی

1. جذر (ریشه دوم حسابی) یک عدد غیر منفی عددی غیرمنفی است که مربع آن برابر است.
   .
2. اگر فقط جذر چیزی را بگیریم، همیشه یک نتیجه غیر منفی می گیریم.
3. خواص ریشه حسابی:
4. هنگام مقایسه ریشه های مربع، باید به خاطر داشت که هر چه تعداد زیر علامت ریشه بزرگتر باشد، خود ریشه بزرگتر است.

جذر را چگونه دوست دارید؟ همه چیز روشن است؟

ما سعی کردیم بدون آب هر آنچه را که در امتحان باید در مورد ریشه مربع بدانید برای شما توضیح دهیم.

نوبت شماست برای ما بنویسید که آیا این موضوع برای شما سخت است یا خیر.

آیا چیز جدیدی یاد گرفتید یا همه چیز از قبل خیلی واضح بود.

در نظرات بنویسید و در امتحانات موفق باشید!

سلام بچه گربه ها! آخرین بار ما با جزئیات تجزیه و تحلیل کردیم که ریشه چیست (اگر به خاطر ندارید، توصیه می کنم بخوانید). نتیجه اصلی آن درس: تنها یک تعریف جهانی از ریشه وجود دارد که باید آن را بدانید. بقیه چیزا بیهوده و اتلاف وقت است.

امروز جلوتر می رویم. ما یاد می گیریم که ریشه ها را ضرب کنیم، برخی از مشکلات مرتبط با ضرب را مطالعه می کنیم (اگر این مشکلات حل نشوند، در امتحان می توانند کشنده شوند) و به درستی تمرین می کنیم. پس پاپ کورن تهیه کنید، خودتان را راحت کنید - و ما شروع می کنیم. :)

هنوز سیگار نکشیده ای؟

درس بسیار بزرگ بود، بنابراین آن را به دو بخش تقسیم کردم:

1. ابتدا قوانین ضرب را بررسی می کنیم. به نظر می رسد که کلاه اشاره می کند: این زمانی است که دو ریشه وجود دارد، علامت "ضرب" بین آنها وجود دارد - و ما می خواهیم کاری با آن انجام دهیم.
2. سپس وضعیت معکوس را تحلیل خواهیم کرد: یک ریشه بزرگ وجود دارد و ما بی تاب بودیم که آن را به عنوان محصول دو ریشه به روشی ساده تر ارائه کنیم. با چه ترسی لازم است یک سؤال جداگانه است. ما فقط الگوریتم را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

برای کسانی که نمی توانند منتظر بمانند تا مستقیماً وارد قسمت 2 شوند، خوش آمدید. بیایید با بقیه به ترتیب شروع کنیم.

قانون ضرب اصلی

بیایید با ساده ترین - ریشه های مربع کلاسیک شروع کنیم. آنهایی که با $\sqrt(a)$ و $\sqrt(b)$ نشان داده می شوند. برای آنها، همه چیز به طور کلی روشن است:

قانون ضرب برای ضرب یک جذر در دیگری، فقط باید عبارات رادیکال آنها را ضرب کنید و نتیجه را زیر رادیکال مشترک بنویسید:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

هیچ محدودیت اضافی برای اعداد سمت راست یا چپ اعمال نمی شود: اگر ریشه های ضرب وجود داشته باشد، محصول نیز وجود دارد.

مثال ها. چهار مثال با اعداد را همزمان در نظر بگیرید:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید معنای اصلی این قانون ساده سازی عبارات غیر منطقی است. و اگر در مثال اول ریشه های 25 و 4 را بدون هیچ قانون جدیدی استخراج می کردیم، tin شروع می شود: $\sqrt(32)$ و $\sqrt(2)$ به خودی خود حساب نمی شوند، اما حاصل ضرب آنها یک مربع دقیق است، بنابراین ریشه آن برابر با یک عدد گویا است.

به طور جداگانه، من می خواهم به آخرین خط توجه کنم. در آنجا، هر دو عبارت رادیکال کسری هستند. به لطف محصول، بسیاری از عوامل باطل می شوند و کل عبارت به یک عدد مناسب تبدیل می شود.

البته همیشه همه چیز به این زیبایی نخواهد بود. گاهی اوقات در زیر ریشه ها تلخی کامل وجود دارد - مشخص نیست که با آن چه باید کرد و چگونه پس از ضرب تغییر کرد. کمی بعد، وقتی شروع به مطالعه معادلات و نابرابری های غیرمنطقی کنید، به طور کلی انواع متغیرها و توابع وجود خواهد داشت. و اغلب، کامپایلرهای مشکلات فقط روی این واقعیت حساب می کنند که شما برخی از شرایط یا عوامل قراردادی را پیدا خواهید کرد، پس از آن کار تا حد زیادی ساده می شود.

علاوه بر این، لازم نیست دقیقاً دو ریشه را ضرب کنید. شما می توانید سه را در یک بار ضرب کنید، چهار - بله حتی ده! این قانون را تغییر نخواهد داد. نگاهی بیاندازید:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \پایان (تراز کردن)\]

و باز هم یک نکته کوچک در مورد مثال دوم. همانطور که می بینید، در ضریب سوم، یک کسری اعشاری در زیر ریشه وجود دارد - در فرآیند محاسبات، آن را با یک معمولی جایگزین می کنیم، پس از آن همه چیز به راحتی کاهش می یابد. بنابراین: من به شدت توصیه می کنم از شر کسرهای اعشاری در هر عبارت غیر منطقی (یعنی حداقل یک نماد رادیکال) خلاص شوید. این کار باعث صرفه جویی در زمان و اعصاب شما در آینده می شود.

اما این یک انحراف غزلی بود. حال بیایید یک مورد کلی تر را در نظر بگیریم - زمانی که توان ریشه حاوی یک عدد دلخواه $n$ باشد و نه فقط دو "کلاسیک".

مورد یک شاخص دلخواه

بنابراین، ما ریشه های مربع را فهمیدیم. و با مکعب ها چه کنیم؟ یا به طور کلی با ریشه های درجه دلخواه $n$؟ بله، همه چیز یکسان است. قاعده ثابت می ماند:

برای ضرب دو ریشه درجه $n$ کافی است عبارات رادیکال آنها را ضرب کنیم و بعد از آن نتیجه زیر یک رادیکال نوشته می شود.

به طور کلی، هیچ چیز پیچیده ای نیست. مگر اینکه حجم محاسبات بیشتر شود. بیایید به چند مثال نگاه کنیم:

مثال ها. محاسبه محصولات:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5 \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \راست))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \پایان (تراز کردن)\]

و باز هم به عبارت دوم توجه کنید. ما ریشه های مکعب را ضرب می کنیم، از کسر اعشاری خلاص می شویم و در نتیجه حاصلضرب اعداد 625 و 25 را در مخرج می گیریم. این عدد نسبتاً بزرگی است - شخصاً من بلافاصله محاسبه نمی کنم که برابر است. به.

بنابراین، ما به سادگی مکعب دقیق را در صورت و مخرج انتخاب کردیم و سپس از یکی از خصوصیات کلیدی (یا اگر دوست داشتید، تعریف) ریشه درجه $n$th استفاده کردیم:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\راست|. \\ \پایان (تراز کردن)\]

چنین «کلاهبرداری‌هایی» می‌تواند زمان زیادی را در یک امتحان یا آزمون صرفه‌جویی کند، بنابراین به یاد داشته باشید:

برای ضرب اعداد در عبارت رادیکال عجله نکنید. ابتدا بررسی کنید: اگر درجه دقیق هر عبارتی در آنجا "رمزگذاری شده" باشد چه؟

با تمام بدیهیات این تذکر، باید اعتراف کنم که اکثر دانش آموزان ناآماده، درجات دقیق را نمی بینند. در عوض، آنها همه چیز پیش رو را ضرب می کنند، و سپس تعجب می کنند: چرا آنها به این اعداد وحشیانه دست یافته اند؟ :)

با این حال، همه اینها در مقایسه با آنچه که اکنون مطالعه خواهیم کرد، بازی کودکانه است.

ضرب ریشه ها با توان های مختلف

خب، حالا می‌توانیم ریشه‌ها را با همان توان‌ها ضرب کنیم. اگر نمرات متفاوت باشد چه؟ بگویید، چگونه می توان یک $\sqrt(2)$ معمولی را در مقداری مزخرف مانند $\sqrt(23)$ ضرب کرد؟ آیا حتی امکان انجام این کار وجود دارد؟

بله، البته که شما می توانید. همه چیز طبق این فرمول انجام می شود:

قانون ضرب ریشه برای ضرب $\sqrt[n](a)$ در $\sqrt[p](b)$، فقط تبدیل زیر را انجام دهید:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

با این حال، این فرمول تنها در صورتی کار می کند که عبارات رادیکال غیر منفی هستند. این نکته بسیار مهمی است که کمی بعد به آن خواهیم پرداخت.

در حال حاضر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست. حالا بیایید بفهمیم شرط غیر منفی از کجا آمده است و اگر آن را نقض کنیم چه اتفاقی می افتد. :)

چرا عبارات رادیکال باید غیر منفی باشند؟

البته می توانید مانند معلمان مدرسه شوید و با نگاهی هوشمندانه از کتاب درسی نقل قول کنید:

لازمه عدم منفی بودن با تعاریف مختلفی از ریشه های درجه زوج و فرد همراه است (به ترتیب حوزه های تعریف آنها نیز متفاوت است).

خب واضح تر شد؟ من شخصاً وقتی این مزخرفات را در کلاس هشتم خواندم، برای خودم چیزی شبیه به این فهمیدم: "ضرورت عدم منفی با *#&^@(*#@^#)~% مرتبط است - خلاصه من. اون موقع چیزی نفهمیدم :)

بنابراین اکنون همه چیز را به صورت عادی توضیح خواهم داد.

ابتدا بیایید دریابیم که فرمول ضرب بالا از کجا آمده است. برای انجام این کار، اجازه دهید یک ویژگی مهم ریشه را به شما یادآوری کنم:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

به عبارت دیگر، می‌توانیم با خیال راحت عبارت ریشه را به هر توان طبیعی $k$ افزایش دهیم - در این حالت، شاخص ریشه باید در همان توان ضرب شود. بنابراین، ما به راحتی می توانیم هر ریشه را به یک شاخص مشترک کاهش دهیم، پس از آن ضرب می کنیم. فرمول ضرب از اینجا می آید:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

اما یک مشکل وجود دارد که کاربرد همه این فرمول ها را به شدت محدود می کند. این عدد را در نظر بگیرید:

طبق فرمولی که داده شد، می توانیم هر مدرکی را اضافه کنیم. بیایید سعی کنیم $k=2$ را اضافه کنیم:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

منهای را دقیقاً به این دلیل حذف کردیم که مربع منهای را می سوزاند (مانند هر درجه زوج دیگری). و اکنون اجازه دهید تبدیل معکوس را انجام دهیم: این دو را در توان و درجه "کاهش" کنیم. از این گذشته، هر برابری را می توان هم از چپ به راست و هم از راست به چپ خواند:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](آ)؛ \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\arrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما بعد یک اتفاق دیوانه کننده می افتد:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

این نمی تواند به این دلیل باشد که $\sqrt(-5) \lt 0$ و $\sqrt(5) \gt 0$. این بدان معناست که برای توان های زوج و اعداد منفی، فرمول ما دیگر کار نمی کند. پس از آن دو گزینه داریم:

1. مبارزه با دیوار برای بیان اینکه ریاضیات یک علم احمقانه است، جایی که "قوانینی وجود دارد، اما این نادرست است".
2. محدودیت های اضافی را معرفی کنید که تحت آن فرمول 100٪ کار می کند.

در اولین گزینه، ما باید دائماً موارد "غیر کاری" را بگیریم - این دشوار، طولانی و به طور کلی فو. بنابراین، ریاضیدانان گزینه دوم را ترجیح دادند. :)

اما نگران نباشید! در عمل، این محدودیت به هیچ وجه بر محاسبات تأثیر نمی گذارد، زیرا تمام مشکلات توصیف شده فقط به ریشه های یک درجه فرد مربوط می شود و می توان موارد منفی را از آنها خارج کرد.

بنابراین، قانون دیگری را فرموله می کنیم که به طور کلی برای همه اقدامات با ریشه اعمال می شود:

قبل از ضرب ریشه ها، از غیر منفی بودن عبارات رادیکال مطمئن شوید.

مثال. در عدد $\sqrt(-5)$، می توانید منهای را از زیر علامت ریشه خارج کنید - سپس همه چیز خوب خواهد بود:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\night arrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(تراز)\]

تفاوت را احساس کنید؟ اگر یک منهای زیر ریشه بگذارید، وقتی عبارت رادیکال مربع شد، ناپدید می‌شود و مزخرف شروع می‌شود. و اگر ابتدا یک منهای را بردارید، حتی می توانید یک مربع را بلند یا بردارید تا زمانی که در صورت آبی شوید - عدد منفی باقی می ماند. :)

بنابراین، صحیح ترین و مطمئن ترین راه برای ضرب ریشه ها به شرح زیر است:

1. تمام منفی ها را از زیر رادیکال ها حذف کنید. منفی ها فقط در ریشه های تعدد فرد هستند - می توان آنها را در جلوی ریشه قرار داد و در صورت لزوم آنها را کاهش داد (مثلاً اگر دو مورد از این موارد منفی وجود داشته باشد).
2. ضرب را طبق قوانینی که در درس امروز در بالا توضیح داده شد، انجام دهید. اگر شاخص های ریشه ها یکسان است، به سادگی عبارات ریشه را ضرب کنید. و اگر متفاوت باشند، از فرمول شیطانی \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) استفاده می کنیم. ^(n)))\].
3. 3. ما از نتیجه و نمرات خوب لذت می بریم. :)

خوب؟ تمرین کنیم؟

مثال 1. عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \پایان (تراز کردن)\]

این ساده ترین گزینه است: شاخص های ریشه ها یکسان و عجیب هستند، مشکل فقط در منهای ضریب دوم است. ما این منهای نافیگ را تحمل می کنیم که پس از آن همه چیز به راحتی در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt((((2)^(2)))= \sqrt((\left(((2)^(5)) \راست))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \راست))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( تراز کردن)\]

در اینجا، بسیاری از این واقعیت که خروجی یک عدد غیر منطقی است، گیج می شوند. بله، این اتفاق می افتد: ما نتوانستیم به طور کامل از ریشه خلاص شویم، اما حداقل به طور قابل توجهی بیان را ساده کردیم.

مثال 3. عبارت را ساده کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \راست))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))) = \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(تراز)\]

این چیزی است که می خواهم توجه شما را به آن جلب کنم. در اینجا دو نکته وجود دارد:

1. زیر ریشه یک عدد یا درجه خاص نیست، بلکه متغیر $a$ است. در نگاه اول، این کمی غیر معمول است، اما در واقعیت، هنگام حل مسائل ریاضی، اغلب باید با متغیرها سر و کار داشته باشید.
2. در پایان، ما موفق شدیم نما و درجه ریشه در بیان رادیکال را "کاهش" دهیم. این اغلب اتفاق می افتد. و این بدان معنی است که در صورت عدم استفاده از فرمول اصلی، محاسبات به میزان قابل توجهی ساده می شود.

به عنوان مثال، می توانید این کار را انجام دهید:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \راست))^(2))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \پایان (تراز کردن)\]

در واقع، تمام تحولات فقط با رادیکال دوم انجام شد. و اگر تمام مراحل میانی را با جزئیات نقاشی نکنید، در پایان میزان محاسبات به میزان قابل توجهی کاهش می یابد.

در واقع، ما قبلاً هنگام حل مثال $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ با یک کار مشابه در بالا روبرو شده ایم. حالا می توان خیلی راحت تر نوشت:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \راست))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \راست))^(2))) =\sqrt(75). \پایان (تراز کردن)\]

خوب، ما ضرب ریشه ها را فهمیدیم. حال عمل معکوس را در نظر بگیرید: وقتی اثری در زیر ریشه وجود دارد چه باید کرد؟

در ریاضیات، هر عملی جفت مخالف خود را دارد - در اصل، این یکی از مظاهر قانون هگلی دیالکتیک است: "وحدت و مبارزه اضداد". یکی از اقدامات در چنین "جفت" با هدف افزایش تعداد است و دیگری، برعکس آن، کاهش می یابد. به عنوان مثال، عمل مخالف جمع، تفریق است و تقسیم با ضرب مطابقت دارد. ارتقاء به یک قدرت نیز جفت دیالکتیکی خود را برعکس دارد. این در مورد استخراج ریشه است.

استخراج ریشه فلان درجه از یک عدد به معنای محاسبه این است که کدام عدد باید به توان مربوطه افزایش یابد تا به این عدد برسد. دو درجه نام جداگانه خود را دارند: درجه دوم "مربع" و سوم - "مکعب" نامیده می شود. بر این اساس، خوشایند است که ریشه این قوا را جذر و مکعب بنامیم. اقدامات با ریشه مکعب موضوعی برای بحث جداگانه است، اما اکنون اجازه دهید در مورد افزودن ریشه های مربع صحبت کنیم.

بیایید با این واقعیت شروع کنیم که در برخی موارد ساده تر است ابتدا ریشه های مربع را استخراج کنید و سپس نتایج را اضافه کنید. فرض کنید باید ارزش چنین عبارتی را پیدا کنیم:

از این گذشته ، محاسبه اینکه جذر 16 4 است و 121 - 11 است اصلاً دشوار نیست.

√16+√121=4+11=15

با این حال، این ساده ترین حالت است - در اینجا ما در مورد مربع های کامل صحبت می کنیم، یعنی. در مورد اعدادی که از مجذور اعداد صحیح بدست می آیند. اما این همیشه صدق نمیکند. به عنوان مثال، عدد 24 یک مربع کامل نیست (هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که وقتی به توان دوم افزایش یابد، به 24 منجر شود). همین امر در مورد عددی مانند 54 صدق می کند ... اگر لازم باشد جذر این اعداد را جمع کنیم چه؟

در این صورت، در پاسخ نه یک عدد، بلکه عبارت دیگر را خواهیم گرفت. حداکثر کاری که در اینجا می توانیم انجام دهیم این است که عبارت اصلی را تا حد امکان ساده کنیم. برای این کار باید فاکتورها را از زیر ریشه مربع خارج کنید. بیایید ببینیم که چگونه با استفاده از اعداد ذکر شده به عنوان مثال این کار انجام می شود:

برای شروع، ما 24 را فاکتور می کنیم - به گونه ای که یکی از آنها به راحتی به عنوان یک جذر در نظر گرفته شود (یعنی به طوری که مربع کامل باشد). چنین عددی وجود دارد - این 4 است:

حالا همین کار را با 54 انجام می دهیم. در ترکیب آن، این عدد 9 خواهد بود:

بنابراین، ما موارد زیر را دریافت می کنیم:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

حالا بیایید ریشه ها را از چیزی که می توانیم از آن استخراج کنیم استخراج کنیم: 2*√6+3*√6

یک عامل مشترک در اینجا وجود دارد که می توانیم آن را از پرانتز خارج کنیم:

(2+3)* √6=5*√6

این نتیجه اضافه خواهد بود - هیچ چیز دیگری در اینجا قابل استخراج نیست.

درست است، می توانید به استفاده از ماشین حساب متوسل شوید - با این حال، نتیجه تقریبی و با تعداد زیادی رقم اعشار خواهد بود:

√6=2,449489742783178

به تدریج با گرد کردن آن، تقریباً 2.5 می گیریم. اگر باز هم بخواهیم جواب مثال قبلی را به نتیجه منطقی برسانیم، می توانیم این نتیجه را در 5 ضرب کنیم - و 12.5 به دست می آید. با چنین داده های اولیه نمی توان نتیجه دقیق تری به دست آورد.

جمع و تفریق ریشه ها- یکی از رایج ترین "سنگ های" برای کسانی که یک دوره ریاضی (جبر) را در دبیرستان می گذرانند. با این حال، یادگیری نحوه جمع و تفریق صحیح آنها بسیار مهم است، زیرا مثال هایی برای مجموع یا اختلاف ریشه ها در برنامه امتحان دولتی واحد پایه در رشته "ریاضی" گنجانده شده است.

برای تسلط بر حل چنین مثال هایی به دو چیز نیاز دارید - درک قوانین و همچنین به دست آوردن تمرین. پس از حل یک یا دو دوجین مثال معمولی، دانش آموز این مهارت را به خودکارسازی می آورد و سپس در امتحان هیچ ترسی نخواهد داشت. توصیه می شود تسلط بر عملیات های حسابی را با جمع شروع کنید، زیرا جمع کردن آنها کمی راحت تر از تفریق آنها است.

ریشه چیست

ساده ترین راه برای توضیح این موضوع با مثال یک جذر است. در ریاضیات یک اصطلاح کاملاً جا افتاده "مربع" وجود دارد. «مربع» یعنی یک عدد معین را در خودش یک بار ضرب کنیم.. به عنوان مثال، اگر 2 را مربع کنید، 4 می گیرید. اگر مربع 7 را به دست آورید، 49 می شود. مجذور 9 برابر با 81 است. بنابراین جذر 4 برابر 2، از 49 برابر با 7 و از 81 برابر با 9 است.

قاعدتا آموزش این مبحث در ریاضی با جذر آغاز می شود. برای تعیین فوری آن، یک دانش آموز دبیرستانی باید جدول ضرب را از روی قلب بداند. برای کسانی که این جدول را به خوبی نمی شناسند، باید از نکات استفاده کنند. معمولاً فرآیند استخراج ریشه مربع از یک عدد به صورت جدول روی جلد بسیاری از دفترهای مدرسه در ریاضیات آورده شده است.

ریشه ها از انواع زیر هستند:

• مربع؛
• مکعب (یا به اصطلاح درجه سوم)؛
• درجه چهارم؛
• درجه پنجم

قوانین اضافه

برای حل موفقیت آمیز یک مثال معمولی، باید در نظر داشت که همه اعداد ریشه نیستند را می توان با یکدیگر انباشته کرد. برای اینکه بتوان آنها را کنار هم قرار داد، باید آنها را به یک الگوی واحد رساند. اگر این امکان پذیر نیست، پس مشکل راه حلی ندارد. چنین مسائلی نیز اغلب در کتاب های درسی ریاضی به عنوان نوعی تله برای دانش آموزان یافت می شود.

هنگامی که عبارات رادیکال با یکدیگر متفاوت هستند، افزودن در تکالیف مجاز نیست. این را می توان با یک مثال گویا نشان داد:

• دانش آموز با این وظیفه روبرو می شود: جذر 4 و 9 را اضافه کند.
• یک دانش آموز بی تجربه که قانون را نمی داند معمولاً می نویسد: "ریشه 4 + ریشه 9 \u003d ریشه 13."
• اثبات اشتباه بودن این راه حل بسیار آسان است. برای انجام این کار، باید جذر 13 را پیدا کنید و بررسی کنید که آیا مثال به درستی حل شده است یا خیر.
• با استفاده از یک ریزمحاسبه می توانید تعیین کنید که تقریباً 3.6 است. اکنون باقی مانده است که راه حل را بررسی کنیم.
• ریشه 4=2 و 9=3.
• مجموع دو و سه می شود پنج. بنابراین، این الگوریتم حل را می توان نادرست در نظر گرفت.

اگر ریشه ها دارای درجه یکسان، اما عبارت های عددی متفاوت باشند، از پرانتز خارج می شود و مجموع دو عبارت رادیکال. بنابراین، قبلاً از این مقدار استخراج شده است.

الگوریتم جمع

برای حل صحیح ساده ترین مشکل، لازم است:

1. مشخص کنید که دقیقاً چه چیزی به اضافه نیاز دارد.
2. دریابید که آیا می توان با توجه به قوانین موجود در ریاضیات، مقادیر را به یکدیگر اضافه کرد.
3. اگر نمی توان آنها را اضافه کرد، باید آنها را به گونه ای تبدیل کنید که بتوان آنها را اضافه کرد.
4. پس از انجام تمام تبدیل های لازم، باید جمع را انجام دهید و پاسخ تمام شده را یادداشت کنید. بسته به پیچیدگی مثال، جمع را می توان به صورت ذهنی یا با ماشین حساب انجام داد.

ریشه های مشابه چیست

برای حل صحیح یک مثال جمع، قبل از هر چیز لازم است به این فکر کنیم که چگونه می توان آن را ساده کرد. برای انجام این کار، شما نیاز به دانش اولیه از چیستی شباهت دارید.

توانایی شناسایی موارد مشابه به حل سریع نمونه های مشابه کمک می کند و آنها را به شکل ساده شده در می آورد. برای ساده کردن یک مثال اضافه معمولی، باید:

1. موارد مشابه را پیدا کنید و آنها را به یک گروه (یا چند گروه) اختصاص دهید.
2. مثال موجود را به گونه ای بازنویسی کنید که ریشه هایی که نشانگر یکسانی دارند به وضوح از یکدیگر پیروی کنند (به این می گویند "گروه بندی").
3. سپس باید دوباره عبارت را بنویسید، این بار به گونه ای که موارد مشابه (که نشانگر یکسان و ریشه یکسان دارند) نیز به دنبال یکدیگر بیایند.

پس از آن، یک مثال ساده معمولاً به راحتی قابل حل است.

برای حل صحیح هر مثال جمع، باید قوانین اساسی جمع را به وضوح درک کنید و همچنین بدانید که ریشه چیست و چگونه اتفاق می افتد.

گاهی اوقات چنین کارهایی در نگاه اول بسیار پیچیده به نظر می رسند، اما معمولاً با گروه بندی موارد مشابه به راحتی حل می شوند. مهمترین چیز تمرین است، و سپس دانش آموز شروع به "کلیک کردن وظایف مانند آجیل" می کند. جمع ریشه یکی از مهمترین شاخه های ریاضی است، بنابراین معلمان باید زمان کافی را برای مطالعه آن اختصاص دهند.

ویدئو

این ویدیو به شما کمک می کند تا معادلات با جذر را درک کنید.