تبدیل عبارات با استفاده از خواص لگاریتم، مثال ها، راه حل ها. تبدیل یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی B4 تبدیل یکسان عبارات لگاریتمی

درس آزاد جبر در کلاس یازدهم

موضوع درس

"تبدیل عبارات،

حاوی لگاریتم"

اهداف درس:

تعریف لگاریتم یک عدد، هویت لگاریتمی پایه را تکرار کنید.

ادغام خواص اساسی لگاریتم ها؛

جهت گیری عملی این موضوع را برای آماده سازی با کیفیت برای UNT تقویت کنید.

ترویج جذب جامد از مواد؛

تقویت مهارت های خودکنترلی در دانش آموزان

نوع درس: ترکیبی با استفاده از آزمون تعاملی.

تجهیزات: پروژکتور، صفحه نمایش، پوستر با وظایف، برگه پاسخ.

طرح درس:

زمان سازماندهی

به روز رسانی دانش.

تست تعاملی

"مسابقه با لگاریتم"

حل مسائل بر اساس کتاب درسی.

خلاصه کردن. پر کردن پاسخنامه

درجه بندی.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

2. تعیین اهداف درس.

سلام بچه ها! امروز ما یک درس غیر معمول داریم، یک درس - یک بازی، که ما آن را در قالب یک تورنمنت با لگاریتم انجام خواهیم داد.

بیایید درس را با یک تست تعاملی شروع کنیم.

3. آزمون تعاملی:

4. مسابقات با لگاریتم:

تعریف لگاریتم

هویت لگاریتمی:

ساده کردن:

معنی عبارت را پیدا کنید:

خواص لگاریتم ها .

تبدیل:

کار با کتاب درسی

خلاصه کردن.

دانش آموزان پاسخنامه خود را پر می کنند.

برای هر پاسخ نمره بدهید.

درجه بندی. مشق شب. پیوست 1.

امروز شما در لگاریتم ها غوطه ور هستید،

آنها باید به طور دقیق محاسبه شوند.

البته، در امتحان با آنها ملاقات خواهید کرد،

ما فقط می توانیم برای شما آرزوی موفقیت کنیم!

من گزینه

الف) 9 ½ =3; ب) 7 0 =1.

آ)ورود به سیستم8=6; ب)ورود به سیستم9=-2.

الف) 1.7 ورود به سیستم 1,7 2 ; ب) 2 ورود به سیستم 2 5 .

4. محاسبه کنید:

آ) lg8+lg125;

ب) ورود به سیستم 2 7-log 2 7/16

V)ورود به سیستم 3 16/log 3 4.

II گزینه

1. لگاریتم مبنای a عددی که به صورت توان با پایه a نشان داده شده است را بیابید:

الف) 32 1/5 =2; ب) 3 -1 =1/3.

2. اعتبار برابری را بررسی کنید:

آ)ورود به سیستم27=-6; ب)ورود به سیستم 0,5 4=-2.

3. عبارت را با استفاده از هویت های لگاریتمی اصلی ساده کنید:

الف) 5 1+ ورود به سیستم 5 3 ; ب) 10 1- ال جی 2

4. محاسبه کنید:

آ) ورود به سیستم 12 4 + ورود 12 36;

ب) lg13-lg130;

V) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III گزینه

1. لگاریتم مبنای a عددی که به صورت توان با پایه a نشان داده شده است را بیابید:

الف) 27 2/3 =9; ب) 32 3/5 =8.

2. اعتبار برابری را بررسی کنید:

آ)ورود به سیستم 2 128=;

ب)ورود به سیستم 0,2 0,008=3.

3. عبارت را با استفاده از هویت های لگاریتمی اصلی ساده کنید:

الف) 4 2 ورود به سیستم 4 3 ;

ب) 5 -3 ورود به سیستم 5 1/2 .

4. محاسبه کنید:

آ) ورود به سیستم 6 12 + ورود 6 18;

ب) ورود به سیستم 7 14-log 7 6 + ورود 7 21;

V) (ورود به سیستم 7 3/ ورود به سیستم 7 13)∙ ورود به سیستم 3 169.

IV گزینه

1. لگاریتم مبنای a عددی که به صورت توان با پایه a نشان داده شده است را بیابید:

الف) 81 3/4 =27; ب) 125 2/3 =25.

2. اعتبار برابری را بررسی کنید:

آ)ورود به سیستم √5 0,2=-2;

ب)ورود به سیستم 0,2 125=-3.

3. عبارت را با استفاده از هویت های لگاریتمی اصلی ساده کنید:

الف) (1/2) 4 ورود به سیستم 1/2 3 ;

ب) 6 -2 ورود به سیستم 6 5 .

4. محاسبه کنید:

آ) ورود به سیستم 14 42-log 14 3;

ب) ورود به سیستم 2 20-log 2 25+ ورود 2 80;

V) ورود به سیستم 7 48/ ورود به سیستم 7 4- 0,5 ورود به سیستم 2 3.

دانشگاه دولتی ترانسنیستریا

آنها T.G. شوچنکو

دانشکده فیزیک و ریاضی

گروه تحلیل ریاضی

و روش های تدریس ریاضی

کار دوره

«تغییر هویت

نمایی و لگاریتمی

اصطلاحات"

کار انجام شده:

دانش آموز گروه _______

دانشکده فیزیک و ریاضی

_________________________

کار رو چک کردم:

_________________________

تیراسپول، 2003

مقدمه……………………………………………………………………………………………

فصل 1. تحولات و روشهای تدریس یکسان در درس جبر مدرسه و آغاز تحلیل……………………………………..4

§1. شکل گیری مهارت در به کارگیری انواع خاصی از تحولات………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§2. ویژگی های سازماندهی یک سیستم دانش در بررسی تحولات هویت………………………………………………………………….5

§3. برنامه ریاضی………………………………………………….11

فصل 2. تبدیلات و محاسبات یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی……………………………...…………………13

§1. تعمیم مفهوم درجه……………………………………..13

§2. تابع نمایی……………………………………………………………………..15

§3. تابع لگاریتمی………………………………….16

فصل 3. تبدیلات یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی در عمل..........................................................................19

نتیجه……………………………………………………………………………………………………………………………………

فهرست منابع……………………………………………………………………………………………………………………………………
معرفی

در این کار درسی، تبدیل‌های یکسان توابع نمایی و لگاریتمی در نظر گرفته می‌شود و روش تدریس آنها در درس جبر مدرسه و شروع تجزیه و تحلیل در نظر گرفته می‌شود.

فصل اول این کار روش شناسی آموزش تبدیل هویت در درس ریاضی مدرسه را تشریح می کند و همچنین شامل یک برنامه ریاضی در درس "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل" با مطالعه توابع نمایی و لگاریتمی است.

فصل دوم به طور مستقیم به بررسی خود توابع نمایی و لگاریتمی، ویژگی های اساسی آنها در تبدیل هویت می پردازد.

فصل سوم حل مثال‌ها و مسائل با استفاده از تبدیل‌های یکسان توابع نمایی و لگاریتمی است.

مطالعه تغییر شکل‌های مختلف عبارات و فرمول‌ها بخش قابل توجهی از زمان تدریس در درس ریاضی مدرسه را به خود اختصاص می‌دهد. ساده ترین تبدیل ها، بر اساس ویژگی های عملیات حسابی، در حال حاضر در مدرسه ابتدایی و در کلاس های IV-V انجام می شود. اما بار اصلی توسعه مهارت ها و توانایی های انجام تحولات بر عهده درس جبر مدرسه است. این هم به دلیل افزایش شدید تعداد و تنوع دگرگونی های انجام شده و هم به دلیل پیچیدگی فعالیت ها برای اثبات آنها و روشن کردن شرایط کاربرد، به دلیل شناسایی و مطالعه مفاهیم تعمیم یافته هویت، تحول یکسان، تبدیل معادل، نتیجه منطقی.

فرهنگ انجام تبدیل هویت به همان روشی که فرهنگ محاسبات بر اساس دانش کامل از ویژگی های عملیات روی اشیاء (اعداد، بردارها، چند جمله ای ها و غیره) و الگوریتم هایی برای اجرای آنها توسعه می یابد. این خود را نه تنها در توانایی اثبات صحیح تحولات نشان می دهد، بلکه در توانایی یافتن کوتاه ترین مسیر برای انتقال از عبارت تحلیلی اصلی به عبارتی که بیشتر با هدف تبدیل مطابقت دارد، در توانایی نظارت بر تغییرات در حوزه تعریف عبارات تحلیلی در زنجیره ای از تبدیل های یکسان، در سرعت و دقت انجام تبدیل ها.

اطمینان از فرهنگ بالای محاسبات و دگرگونی هویت یک مشکل مهم در آموزش ریاضیات است. با این حال، این مشکل هنوز تا حل رضایت بخش فاصله دارد. گواه این امر، داده های آماری مسئولان آموزش دولتی است که سالانه اشتباهات و روش های غیرمنطقی محاسبات و تبدیل های دانش آموزان طبقات مختلف را هنگام اجرای آزمون ثبت می کنند. این با بازخورد مؤسسات آموزش عالی در مورد کیفیت دانش و مهارت های ریاضی متقاضیان تأیید می شود. نمی توان با نتیجه گیری مقامات آموزش دولتی و دانشگاه ها موافق نبود که سطح ناکافی بالای فرهنگ محاسبات و دگرگونی های یکسان در دوره متوسطه نتیجه رسمی گرایی در دانش دانش آموزان، جدایی نظریه از عمل است.

فصل 1.

تحولات و روش های تدریس یکسان

در درس مدرسه جبر و شروع تحلیل.

§1. شکل گیری مهارت های کاربردی

انواع خاص دگرگونیعناوین.

سیستم تکنیک ها و قوانین برای انجام تبدیل های مورد استفاده در مرحله شروع جبر دارای کاربردهای بسیار گسترده ای است: در مطالعه کل دوره ریاضیات استفاده می شود. با این حال، دقیقاً به دلیل ویژگی پایین آن، این سیستم نیازمند تبدیل‌های اضافی است که ویژگی‌های ساختاری عبارات در حال تبدیل و ویژگی‌های عملیات و توابع تازه معرفی شده را در نظر می‌گیرد. تسلط بر انواع تبدیل های مربوطه با معرفی فرمول های ضرب اختصاری آغاز می شود. سپس تبدیل های مرتبط با عملکرد توان با کلاس های مختلف توابع ابتدایی - نمایی، توان، لگاریتمی، مثلثاتی در نظر گرفته می شود. هر یک از این نوع تحولات یک مرحله یادگیری را طی می کند که در آن توجه بر تسلط بر ویژگی های مشخصه آنها متمرکز است.

با انباشت مواد، می توان ویژگی های مشترک همه تبدیل های مورد بررسی را برجسته کرد و بر این اساس مفاهیم تبدیل های یکسان و معادل را معرفی کرد.

لازم به ذکر است که مفهوم دگرگونی هویت در درس جبر مدرسه نه به طور کلی، بلکه تنها در کاربرد عبارات ارائه شده است. تبدیل ها به دو دسته تقسیم می شوند: تبدیل های یکسان تبدیل عبارات هستند و تبدیل های معادل تبدیل فرمول ها هستند. در مواردی که نیاز به ساده سازی یک بخش از فرمول وجود دارد، یک عبارت در این فرمول برجسته می شود که به عنوان استدلالی برای تبدیل هویت کاربردی عمل می کند. محمول مربوطه بدون تغییر در نظر گرفته می شود.

مربوط به سازماندهی یک سیستم کل نگر از تحولات(سنتز)، سپس هدف اصلی آن تشکیل یک انعطاف پذیر و قدرتمند است. دستگاه مناسب برای استفاده در حل انواع وظایف آموزشی.

در دوره جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، یک سیستم کل نگر از تحولات، که قبلاً در ویژگی های اصلی آن شکل گرفته بود، به تدریج بهبود می یابد. انواع جدیدی از دگرگونی ها نیز به آن اضافه می شوند، اما فقط آن را غنی می کنند، قابلیت های آن را گسترش می دهند، اما ساختار آن را تغییر نمی دهند. روش مطالعه این تبدیل های جدید عملاً با روش مورد استفاده در درس جبر تفاوتی ندارد.

§2. ویژگی های سازمانسیستم های وظیفه

هنگام مطالعه تحولات هویتی

اصل اساسی سازماندهی هر سیستمی از وظایف، ارائه آنها از ساده به پیچیده، با در نظر گرفتن نیاز دانش آموزان برای غلبه بر مشکلات امکان پذیر و ایجاد موقعیت های مشکل ساز است. این اصل اساسی نیاز به مشخصات در رابطه با ویژگی های این ماده آموزشی دارد. برای توصیف سیستم های مختلف وظایف در روش های ریاضی، از این مفهوم استفاده می شود چرخه تمریناتچرخه تمرین ها با ترکیب در یک دنباله تمرین از چندین جنبه مطالعه و تکنیک های ترتیب دادن مواد مشخص می شود. در رابطه با دگرگونی های هویت، ایده چرخه را می توان به صورت زیر ارائه کرد.

چرخه تمرین ها با مطالعه یک هویت همراه است و هویت های دیگری که در ارتباط طبیعی با آن هستند، پیرامون آن گروه بندی می شوند. این چرخه، همراه با موارد اجرایی، شامل وظایفی است که مستلزم تشخیص قابلیت کاربردی بودن هویت مورد نظر است. هویت مورد مطالعه برای انجام محاسبات در حوزه های عددی مختلف استفاده می شود. ویژگی هویت در نظر گرفته شده است. به ویژه، چهره های گفتاری مرتبط با آن سازماندهی می شوند.

وظایف در هر چرخه به دو گروه تقسیم می شود. اولی شامل وظایفی است که در طی آشنایی اولیه با هویت انجام می شود. آنها به عنوان مواد آموزشی برای چندین درس متوالی که توسط یک موضوع متحد می شوند، خدمت می کنند. گروه دوم تمرین ها هویت مورد مطالعه را با کاربردهای مختلف مرتبط می کند. این گروه یک وحدت ترکیبی را تشکیل نمی دهد - تمرینات در اینجا در موضوعات مختلف پراکنده است.

ساختار چرخه توصیف شده به مرحله توسعه مهارت ها در به کارگیری انواع خاصی از تحولات اشاره دارد. در مرحله نهایی، مرحله سنتز، چرخه ها اصلاح می شوند. اولاً، هر دو گروه از کارها با هم ترکیب می شوند تا یک چرخه "گسترش یافته" را تشکیل دهند و ساده ترین آنها از نظر عبارت یا پیچیدگی تکمیل کار از گروه اول حذف می شوند. انواع باقی مانده وظایف پیچیده تر می شوند. ثانیاً، ادغام چرخه‌های مربوط به هویت‌های مختلف وجود دارد که به دلیل آن نقش اقدامات برای تشخیص کاربردی بودن یک هویت خاص افزایش می‌یابد.

اجازه دهید ویژگی‌های چرخه‌های وظیفه مربوط به هویت‌ها را برای توابع ابتدایی یادداشت کنیم. این ویژگی ها به این دلیل است که اولاً هویت های متناظر در ارتباط با مطالعه مواد کاربردی مورد مطالعه قرار می گیرند و ثانیاً دیرتر از هویت های گروه اول ظاهر می شوند و با استفاده از مهارت های از قبل شکل گرفته برای انجام دگرگونی های هویت مورد مطالعه قرار می گیرند. .

هر تابع ابتدایی تازه معرفی شده به طور چشمگیری دامنه اعدادی را که می توان به صورت جداگانه تعیین و نامگذاری کرد، گسترش می دهد. بنابراین، اولین گروه از وظایف چرخه باید شامل وظایفی برای ایجاد ارتباط بین این حوزه های عددی جدید و حوزه اصلی اعداد گویا باشد. بیایید نمونه هایی از چنین وظایفی را بیان کنیم.

مثال 1 . محاسبه:

در کنار هر عبارت یک هویت نشان داده شده است، در چرخه هایی که وظایف پیشنهادی ممکن است وجود داشته باشد. هدف از چنین وظایفی تسلط بر ویژگی های رکوردها، از جمله نمادهای عملیات و توابع جدید، و توسعه مهارت های گفتاری ریاضی است.

بخش قابل توجهی از استفاده از تبدیل هویت مرتبط با توابع ابتدایی بر روی حل معادلات غیرمنطقی و ماورایی است. چرخه های مربوط به همسان سازی هویت ها فقط ساده ترین معادلات را شامل می شود، اما در اینجا توصیه می شود کار بر روی روش حل چنین معادلاتی انجام شود: کاهش آن با جایگزینی مجهول با یک معادله جبری.

ترتیب مراحل این راه حل به شرح زیر است:

الف) تابعی را پیدا کنید که این معادله را می توان به شکل آن نشان داد.

ب) جایگزینی را انجام دهید و معادله را حل کنید.

ج) هر یک از معادلات را حل کنید، مجموعه ریشه های معادله کجاست.

هنگام استفاده از روش توصیف شده، مرحله b) اغلب به طور ضمنی، بدون معرفی نمادی برای . علاوه بر این، دانش‌آموزان اغلب ترجیح می‌دهند، از مسیرهای مختلف منتهی به یافتن پاسخ، مسیری را انتخاب کنند که سریع‌تر و آسان‌تر به معادله جبری منتهی شود.

مثال 2 . معادله را حل کنید.

راه اول:

راه دوم:

در اینجا می بینید که با روش اول مرحله a) دشوارتر از روش دوم است. روش اول "شروع کردن با آن دشوارتر است"، اگرچه مسیر بعدی راه حل بسیار ساده تر است. از سوی دیگر، روش دوم دارای مزایای سهولت بیشتر و دقت بیشتر در یادگیری کاهش به معادله جبری است.

برای یک دوره جبر مدرسه، وظایف معمولی هستند که در آن انتقال به یک معادله جبری حتی ساده تر از این مثال است. بار اصلی چنین وظایفی مربوط به شناسایی مرحله c) به عنوان بخشی مستقل از فرآیند حل مرتبط با استفاده از ویژگی های تابع ابتدایی مورد مطالعه است.

مثال 3 . معادله را حل کنید:

این معادلات به معادلات کاهش می یابد: a) یا ; ب) یا . برای حل این معادلات، آگاهی از ساده ترین حقایق در مورد تابع نمایی مورد نیاز است: یکنواختی آن، محدوده مقادیر. مانند مثال قبلی، معادلات a) و b) را می توان به عنوان اولین گروه از یک سری تمرینات برای حل معادلات نمایی درجه دوم طبقه بندی کرد.

بنابراین، ما به طبقه بندی وظایف در چرخه های مربوط به حل معادلات ماورایی می رسیم که شامل یک تابع نمایی است:

1) معادلاتی که به معادلات شکل تقلیل می یابند و پاسخ ساده و کلی دارند: ;

2) معادلاتی که به معادلات تقلیل می‌یابند، جایی که یک عدد صحیح است، یا، جایی که ;

3) معادلاتی که به معادلات تقلیل می یابند و نیازمند تحلیل صریح شکلی هستند که عدد در آن نوشته شده است .

وظایف برای سایر توابع ابتدایی را می توان به طور مشابه طبقه بندی کرد.

بخش قابل توجهی از هویت های مورد مطالعه در جبر و جبر و اصول دروس تجزیه و تحلیل در آنها اثبات یا حداقل تبیین شده است. این جنبه از بررسی هویت ها برای هر دو دوره از اهمیت بالایی برخوردار است، زیرا استدلال اثباتی در آنها دقیقاً در رابطه با هویت ها با بیشترین وضوح و دقت انجام می شود. فراتر از این مطالب، شواهد معمولاً کمتر کامل هستند و همیشه از دلایل استفاده شده متمایز نمی شوند.

از ویژگی های عملیات حسابی به عنوان تکیه گاهی برای اثبات هویت ها استفاده می شود.

تأثیر آموزشی محاسبات و دگرگونی های یکسان می تواند در توسعه تفکر منطقی باشد، اگر فقط دانش آموزان به طور سیستماتیک ملزم به توجیه محاسبات و دگرگونی های یکسان باشند، و در توسعه تفکر عملکردی، که به طرق مختلف به دست می آید. اهمیت محاسبات و دگرگونی های یکسان در رشد اراده، حافظه، هوش، خویشتن داری و ابتکار خلاق کاملاً آشکار است.

الزامات محاسبات روزمره و صنعتی دانش آموزان را ملزم به توسعه مهارت های قوی و خودکار در محاسبات منطقی و تغییر هویت می کند. این مهارت‌ها در فرآیند هر کار محاسباتی ایجاد می‌شوند، با این حال، تمرین‌های آموزشی ویژه در محاسبات و تبدیل‌های سریع ضروری است.

بنابراین، اگر درس شامل حل معادلات لگاریتمی با استفاده از هویت لگاریتمی پایه باشد، مفید است که در طرح درس تمرین‌های شفاهی ساده‌سازی یا محاسبه معانی عبارات را گنجانده شود: , , . هدف از تمرینات همیشه به دانش آموزان ابلاغ می شود. در طول تمرین، ممکن است لازم باشد از دانش‌آموزان بخواهیم که تغییرات فردی، اقدامات یا راه‌حل یک مشکل را توجیه کنند، حتی اگر این برنامه‌ریزی نشده باشد. در جاهایی که راه‌های مختلفی برای حل یک مشکل امکان‌پذیر است، توصیه می‌شود همیشه سوالاتی بپرسید: "مشکل چگونه حل شد؟"، "چه کسی مشکل را به روش دیگری حل کرد؟"

مفاهیم هویت و تبدیل هویت به صراحت در درس جبر کلاس ششم معرفی شده است. خود تعریف عبارات یکسان را نمی توان عملاً برای اثبات هویت دو عبارت استفاده کرد و درک کرد که ماهیت تبدیل های یکسان این است که تعاریف و ویژگی های آن اعمالی را که در عبارت نشان داده شده اند به عبارت اعمال کنند یا به آن اضافه کنند. عبارتی است که به طور یکسان برابر با 0 است، یا در ضرب آن در عبارتی یکسان برابر با یک است. اما حتی با تسلط بر این مفاد، دانش‌آموزان اغلب نمی‌فهمند که چرا این تغییر شکل‌ها به ما اجازه می‌دهد تا اظهار کنیم که عبارات اصلی و حاصل یکسان هستند، یعنی. مقادیر یکسانی را برای هر سیستم (مجموعه) مقادیر متغیر در نظر بگیرید.

همچنین مهم است که اطمینان حاصل شود که دانش آموزان به وضوح درک می کنند که چنین نتیجه گیری هایی از تبدیل های یکسان پیامدهای تعاریف و ویژگی های اقدامات مربوطه است.

دستگاه دگرگونی‌های هویتی که در سال‌های گذشته انباشته شده است، در کلاس ششم گسترش یافته است. این بسط با معرفی هویتی آغاز می‌شود که ویژگی حاصلضرب قدرت‌ها را با پایه‌های یکسان بیان می‌کند: , جایی که , اعداد صحیح هستند.

§3. برنامه ریاضی.

در درس مدرسه "جبر و آغاز تحلیل" دانش آموزان به طور سیستماتیک توابع نمایی و لگاریتمی و خواص آنها، تبدیل های یکسان عبارات لگاریتمی و نمایی و کاربرد آنها در حل معادلات و نامساوی مربوطه را مطالعه می کنند و با مفاهیم و گزاره های اساسی آشنا می شوند. .

در کلاس یازدهم، درس جبر 3 ساعت در هفته و در مجموع 102 ساعت در سال طول می کشد. این برنامه 36 ساعت طول می کشد تا توابع نمایی، لگاریتمی و توان را مطالعه کند.

این برنامه شامل بررسی و مطالعه مسائل زیر است:

مفهوم درجه با توان منطقی. حل معادلات غیر منطقی تابع نمایی، خواص و نمودار آن. تبدیلات یکسان عبارات نمایی. حل معادلات نمایی و نامساوی. لگاریتم یک عدد. ویژگی های اساسی لگاریتم ها تابع لگاریتمی، خواص و نمودار آن. حل معادلات لگاریتمی و نامساوی. مشتق تابع نمایی. عدد و لگاریتم طبیعی مشتق تابع توان.

هدف اصلی بخش تابع نمایی و لگاریتمی آشنایی دانش آموزان با توابع نمایی، لگاریتمی و توان است. حل معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی را به دانش آموزان آموزش دهید.

مفاهیم ریشه هفتم و درجه با توان گویا تعمیم مفاهیم ریشه دوم و درجه با توان صحیح است. دانش‌آموزان باید به این نکته توجه داشته باشند که ویژگی‌های ریشه‌ها و توان‌ها با توان‌های گویا در اینجا مشابه ویژگی‌هایی است که ریشه‌های مربعی قبلاً مطالعه شده و توان‌هایی با توان‌های صحیح دارند. لازم است زمان کافی برای تمرین ویژگی های درجه ها و توسعه مهارت های دگرگونی هویت اختصاص داده شود. مفهوم درجه با توان غیرمنطقی بر مبنای بصری و شهودی معرفی شده است. این ماده نقش کمکی ایفا می کند و در هنگام معرفی تابع نمایی استفاده می شود.

مطالعه خواص توابع نمایی، لگاریتمی و توانی مطابق با طرح کلی پذیرفته شده برای مطالعه توابع ساخته شده است. در این مورد، یک نمای کلی از ویژگی ها بسته به مقادیر پارامتر ارائه می شود. نابرابری های نمایی و لگاریتمی بر اساس ویژگی های مورد مطالعه توابع حل می شوند.

یکی از ویژگی های دوره، سیستم سازی و تعمیم دانش دانش آموزان، تثبیت و توسعه مهارت های به دست آمده در دوره جبر است که هم هنگام مطالعه مطالب جدید و هم هنگام انجام تکرار تعمیم یافته انجام می شود.
فصل 2.

تبدیل هویت و محاسبات

عبارات نمایی و لگاریتمی

§1. تعمیم مفهوم درجه.

تعریف:ریشه ام یک عدد خالص عددی است که توان آن برابر است با .

بر اساس این تعریف، ریشه ام یک عدد، جواب معادله است. تعداد ریشه های این معادله به و بستگی دارد. بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. همانطور که مشخص است، در بازه این تابع برای هر مقدار افزایش می یابد و همه مقادیر را از بازه می گیرد. با توجه به قضیه ریشه، معادله هر معادله دارای یک ریشه غیر منفی و علاوه بر این، فقط یک است. او نامیده می شود ریشه حسابی درجه یک عددو نشان دهید؛ شماره تماس گرفته می شود شاخص ریشه، و خود شماره است بیان رادیکال. این علامت رادیکال نیز نامیده می شود.

تعریف: ریشه حسابی توان دهم یک عدد عددی غیر منفی است که توان آن برابر است با .

برای اعداد زوج تابع زوج است. نتیجه این است که اگر، پس معادله علاوه بر ریشه، یک ریشه نیز دارد. اگر، پس یک ریشه وجود دارد: ; اگر، پس این معادله ریشه ندارد، زیرا توان زوج هر عددی غیر منفی است.

برای مقادیر فرد، تابع در طول کل خط اعداد افزایش می یابد. محدوده آن مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است. با اعمال قضیه ریشه، در می یابیم که معادله یک ریشه برای هر و، به ویژه، برای . این ریشه برای هر مقدار با نشان داده می شود.

برای ریشه های درجه فرد، تساوی برقرار است. در واقع، یعنی عدد ریشه ام است. اما چنین ریشه ای برای فرد تنها است. از این رو، .

یادداشت 1:برای هر واقعی

بیایید ویژگی های شناخته شده ریشه های حسابی درجه هفتم را به یاد بیاوریم.

برای هر عدد طبیعی، عدد صحیح و هر عدد صحیح غیر منفی و برابری ها معتبر هستند:

مدرک با توان منطقی.

عبارت برای همه و به جز مورد در تعریف شده است. بیایید ویژگی های چنین قدرت هایی را به یاد بیاوریم.

برای هر عدد و هر عدد صحیح و برابری معتبر است:

ما همچنین توجه داشته باشید که اگر، سپس در و در.

تعریف:به توان یک عدد با توان گویا که یک عدد صحیح و یک عدد طبیعی است، عدد می گویند.

بنابراین، طبق تعریف.

با تعریف فرمول‌بندی شده درجه با توان گویا، ویژگی‌های پایه درجه‌ها حفظ می‌شوند که برای هر توانمندی صادق است (تفاوت این است که خواص فقط برای پایه‌های مثبت صادق است).

§2. تابع نمایی.

تعریف:تابع داده شده با فرمول (where ) فراخوانی می شود تابع نمایی با پایه .

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع نمایی را فرموله کنیم.

نمودار تابع (شکل 1)

این فرمول ها نامیده می شوند ویژگی های اساسی درجه ها

همچنین می توانید متوجه شوید که تابع در مجموعه اعداد واقعی پیوسته است.

§3. تابع لگاریتمی

تعریف: لگاریتم اعداد به پایه را توانی می گویند که پایه باید به آن افزایش یابد. برای دریافت شماره

فرمول (where , and ) نامیده می شود هویت لگاریتمی پایه.

هنگام کار با لگاریتم، از ویژگی های زیر استفاده می شود که از ویژگی های تابع نمایی حاصل می شود:

برای هرچی( )و هرگونه مثبت و برابری برآورده می شود:

5. برای هر واقعی .

ویژگی های اصلی لگاریتم ها به طور گسترده در هنگام تبدیل عبارات حاوی لگاریتم استفاده می شود. به عنوان مثال، فرمول حرکت از یک پایه لگاریتمی به پایه دیگر اغلب استفاده می شود: .

فرض کنید یک عدد مثبت برابر با 1 نباشد.

تعریف:تابعی که با فرمول داده می شود نامیده می شود تابع لگاریتمی با پایه

اجازه دهید ویژگی های اصلی تابع لگاریتمی را فهرست کنیم.

1. دامنه تعریف یک تابع لگاریتمی مجموعه ای از تمام اعداد مثبت است، i.e. .

2. محدوده مقادیر یک تابع لگاریتمی مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است.

3. تابع لگاریتمی در کل دامنه تعریف افزایش می یابد (در) یا کاهش می یابد (در).

نمودار تابع (شکل 2)

نمودارهای توابع نمایی و لگاریتمی که پایه یکسانی دارند نسبت به یک خط مستقیم متقارن هستند.(شکل 3).

فصل 3.

تبدیل های یکسان نمایی و

عبارات لگاریتمی در عمل

تمرین 1.

محاسبه:

راه حل:

پاسخ:; ; ; ; . ، ما آن را دریافت می کنیم

هنگام مطالعه این مطالب روش هایی را برای پرورش مهارت در دانش آموزان در نظر گرفتم. وی همچنین برنامه ای در ریاضیات برای مطالعه درس توابع نمایی و لگاریتمی در درس «جبر و آغاز تحلیل» ارائه کرد.

کار با استفاده از دگرگونی‌های یکسان، وظایفی با پیچیدگی و محتوای متفاوت ارائه کرد. از این وظایف می توان برای انجام آزمون ها یا کار مستقل برای آزمایش دانش دانش آموزان استفاده کرد.

کار دوره، به نظر من، در چارچوب روش شناسی تدریس ریاضیات در موسسات آموزشی متوسطه انجام شد و می تواند به عنوان یک کمک بصری برای معلمان مدرسه و همچنین برای دانش آموزان تمام وقت و پاره وقت استفاده شود.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. جبر و آغاز تحلیل. اد. کولموگورووا A.N. م.: آموزش و پرورش، 1991.
2. برنامه برای مدارس متوسطه، سالن های ورزشی، لیسیوم ها. ریاضی 5-11 پایه. M.: Bustard، 2002.
3. I.F. شاریگین، V.I. گلوبف درس اختیاری ریاضی (حل مسئله). اوخ کمک هزینه کلاس یازدهم م.: آموزش و پرورش، 1991.
4. V.A. اوگانسیان و همکاران. روش های تدریس ریاضی در دوره متوسطه: روش های عمومی کتاب درسی برای دانشجویان دانشکده فیزیک و ریاضی موسسات آموزشی. -ویرایش دوم بازنگری و توسعه یافته M.: آموزش و پرورش، 1980.
5. چرکاسف R.S.، Stolyar A.A. روش های تدریس ریاضی در دوره متوسطه. م.: آموزش و پرورش، 1985.
6. مجله "ریاضیات در مدرسه".

دانشگاه دولتی ترانسنیستریا

آنها T.G. شوچنکو

دانشکده فیزیک و ریاضی

گروه تحلیل ریاضی

و روش های تدریس ریاضی

کار دوره

«تغییر هویت

نمایی و لگاریتمی

اصطلاحات"

کار انجام شده:

دانش آموز گروه _______

دانشکده فیزیک و ریاضی

_________________________

کار رو چک کردم:

_________________________

تیراسپول، 2003

مقدمه……………………………………………………………………………………………

فصل 1. دگرگونی های هویت و روش های تدریس در درس جبر مدرسه و شروع تحلیل………………………………………………

§1. شکل گیری مهارت در به کارگیری انواع خاصی از تحولات………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

§2. ویژگی های سازماندهی یک سیستم دانش در بررسی تحولات هویت………………………………………………………………….5

§3. برنامه ریاضی………………………………………………….11

فصل 2. تبدیلات و محاسبات یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی…………………………………………………………………

§1. تعمیم مفهوم درجه……………………………………..13

§2. تابع نمایی……………………………………………………………………..15

§3. تابع لگاریتمی………………………………….16

فصل 3. تبدیلات یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی در عمل ...................................... ................................................19

نتیجه……………………………………………………………………………………………………………………………………

فهرست منابع……………………………………………………………………………………………………………………………………
معرفی

در این کار درسی، تبدیل‌های یکسان توابع نمایی و لگاریتمی در نظر گرفته می‌شود و روش تدریس آنها در درس جبر مدرسه و شروع تجزیه و تحلیل در نظر گرفته می‌شود.

فصل اول این کار روش شناسی آموزش تبدیل هویت در درس ریاضی مدرسه را تشریح می کند و همچنین شامل یک برنامه ریاضی در درس "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل" با مطالعه توابع نمایی و لگاریتمی است.

فصل دوم به طور مستقیم به بررسی خود توابع نمایی و لگاریتمی، ویژگی های اساسی آنها در تبدیل هویت می پردازد.

فصل سوم حل مثال‌ها و مسائل با استفاده از تبدیل‌های یکسان توابع نمایی و لگاریتمی است.

مطالعه تغییر شکل‌های مختلف عبارات و فرمول‌ها بخش قابل توجهی از زمان تدریس در درس ریاضی مدرسه را به خود اختصاص می‌دهد. ساده ترین تبدیل ها، بر اساس ویژگی های عملیات حسابی، در حال حاضر در مدرسه ابتدایی و در کلاس های IV-V انجام می شود. اما بار اصلی توسعه مهارت ها و توانایی های انجام تحولات بر عهده درس جبر مدرسه است. این هم به دلیل افزایش شدید تعداد و تنوع دگرگونی های انجام شده و هم به دلیل پیچیدگی فعالیت ها برای اثبات آنها و روشن کردن شرایط کاربرد، به دلیل شناسایی و مطالعه مفاهیم تعمیم یافته هویت، تحول یکسان، تبدیل معادل، نتیجه منطقی.

فرهنگ انجام تبدیل هویت به همان روشی که فرهنگ محاسبات بر اساس دانش کامل از ویژگی های عملیات روی اشیاء (اعداد، بردارها، چند جمله ای ها و غیره) و الگوریتم هایی برای اجرای آنها توسعه می یابد. این خود را نه تنها در توانایی اثبات صحیح تحولات نشان می دهد، بلکه در توانایی یافتن کوتاه ترین مسیر برای انتقال از عبارت تحلیلی اصلی به عبارتی که بیشتر با هدف تبدیل مطابقت دارد، در توانایی نظارت بر تغییرات در حوزه تعریف عبارات تحلیلی در زنجیره ای از تبدیل های یکسان، در سرعت و دقت انجام تبدیل ها.

اطمینان از فرهنگ بالای محاسبات و دگرگونی هویت یک مشکل مهم در آموزش ریاضیات است. با این حال، این مشکل هنوز تا حل رضایت بخش فاصله دارد. گواه این امر، داده های آماری مسئولان آموزش دولتی است که سالانه اشتباهات و روش های غیرمنطقی محاسبات و تبدیل های دانش آموزان طبقات مختلف را هنگام اجرای آزمون ثبت می کنند. این با بازخورد مؤسسات آموزش عالی در مورد کیفیت دانش و مهارت های ریاضی متقاضیان تأیید می شود. نمی توان با نتیجه گیری مقامات آموزش دولتی و دانشگاه ها موافق نبود که سطح ناکافی بالای فرهنگ محاسبات و دگرگونی های یکسان در دوره متوسطه نتیجه رسمی گرایی در دانش دانش آموزان، جدایی نظریه از عمل است.

تحولات و روش های تدریس یکسان

در درس مدرسه جبر و شروع تحلیل.

§1. شکل گیری مهارت های کاربردی

انواع خاصی از تحولات

سیستم تکنیک ها و قوانین برای انجام تبدیل های مورد استفاده در مرحله شروع جبر دارای کاربردهای بسیار گسترده ای است: در مطالعه کل دوره ریاضیات استفاده می شود. با این حال، دقیقاً به دلیل ویژگی پایین آن، این سیستم نیازمند تبدیل‌های اضافی است که ویژگی‌های ساختاری عبارات در حال تبدیل و ویژگی‌های عملیات و توابع تازه معرفی شده را در نظر می‌گیرد. تسلط بر انواع تبدیل های مربوطه با معرفی فرمول های ضرب اختصاری آغاز می شود. سپس تبدیل های مرتبط با عملکرد توان با کلاس های مختلف توابع ابتدایی - نمایی، توان، لگاریتمی، مثلثاتی در نظر گرفته می شود. هر یک از این نوع تحولات یک مرحله یادگیری را طی می کند که در آن توجه بر تسلط بر ویژگی های مشخصه آنها متمرکز است.

با انباشت مواد، می توان ویژگی های مشترک همه تبدیل های مورد بررسی را برجسته کرد و بر این اساس مفاهیم تبدیل های یکسان و معادل را معرفی کرد.

لازم به ذکر است که مفهوم دگرگونی هویت در درس جبر مدرسه نه به طور کلی، بلکه تنها در کاربرد عبارات ارائه شده است. تبدیل ها به دو دسته تقسیم می شوند: تبدیل های یکسان تبدیل عبارات هستند و تبدیل های معادل تبدیل فرمول ها هستند. در مواردی که نیاز به ساده سازی یک بخش از فرمول وجود دارد، یک عبارت در این فرمول برجسته می شود که به عنوان استدلالی برای تبدیل هویت کاربردی عمل می کند. محمول مربوطه بدون تغییر در نظر گرفته می شود.

در مورد سازماندهی یک سیستم یکپارچه از تحولات (سنتز)، هدف اصلی آن تشکیل یک سیستم انعطاف پذیر و قدرتمند است. دستگاه مناسب برای استفاده در حل انواع وظایف آموزشی.

در دوره جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، یک سیستم کل نگر از تحولات، که قبلاً در ویژگی های اصلی آن شکل گرفته بود، به تدریج بهبود می یابد. انواع جدیدی از دگرگونی ها نیز به آن اضافه می شوند، اما فقط آن را غنی می کنند، قابلیت های آن را گسترش می دهند، اما ساختار آن را تغییر نمی دهند. روش مطالعه این تبدیل های جدید عملاً با روش مورد استفاده در درس جبر تفاوتی ندارد.

§2. ویژگی های سازماندهی سیستم وظیفه

هنگام مطالعه تحولات هویتی

اصل اساسی سازماندهی هر سیستمی از وظایف، ارائه آنها از ساده به پیچیده، با در نظر گرفتن نیاز دانش آموزان برای غلبه بر مشکلات امکان پذیر و ایجاد موقعیت های مشکل ساز است. این اصل اساسی نیاز به مشخصات در رابطه با ویژگی های این ماده آموزشی دارد. برای توصیف سیستم های مختلف وظایف در روش های ریاضی، از مفهوم چرخه تمرینات استفاده می شود. چرخه تمرین ها با ترکیب در یک دنباله تمرین از چندین جنبه مطالعه و تکنیک های ترتیب دادن مواد مشخص می شود. در رابطه با دگرگونی های هویت، ایده چرخه را می توان به صورت زیر ارائه کرد.

چرخه تمرین ها با مطالعه یک هویت همراه است و هویت های دیگری که در ارتباط طبیعی با آن هستند، پیرامون آن گروه بندی می شوند. این چرخه، همراه با موارد اجرایی، شامل وظایفی است که مستلزم تشخیص قابلیت کاربردی بودن هویت مورد نظر است. هویت مورد مطالعه برای انجام محاسبات در حوزه های عددی مختلف استفاده می شود. ویژگی هویت در نظر گرفته شده است. به ویژه، چهره های گفتاری مرتبط با آن سازماندهی می شوند.

وظایف در هر چرخه به دو گروه تقسیم می شود. اولی شامل وظایفی است که در طی آشنایی اولیه با هویت انجام می شود. آنها به عنوان مواد آموزشی برای چندین درس متوالی که توسط یک موضوع متحد می شوند، خدمت می کنند. گروه دوم تمرین ها هویت مورد مطالعه را با کاربردهای مختلف مرتبط می کند. این گروه یک وحدت ترکیبی را تشکیل نمی دهد - تمرینات در اینجا در موضوعات مختلف پراکنده است.

ساختار چرخه توصیف شده به مرحله توسعه مهارت ها در به کارگیری انواع خاصی از تحولات اشاره دارد. در مرحله نهایی، مرحله سنتز، چرخه ها اصلاح می شوند. اولاً، هر دو گروه از کارها با هم ترکیب می شوند تا یک چرخه "گسترش یافته" را تشکیل دهند و ساده ترین آنها از نظر عبارت یا پیچیدگی تکمیل کار از گروه اول حذف می شوند. انواع باقی مانده وظایف پیچیده تر می شوند. ثانیاً، ادغام چرخه‌های مربوط به هویت‌های مختلف وجود دارد که به دلیل آن نقش اقدامات برای تشخیص کاربردی بودن یک هویت خاص افزایش می‌یابد.

اجازه دهید ویژگی‌های چرخه‌های وظیفه مربوط به هویت‌ها را برای توابع ابتدایی یادداشت کنیم. این ویژگی ها به این دلیل است که اولاً هویت های متناظر در ارتباط با مطالعه مواد کاربردی مورد مطالعه قرار می گیرند و ثانیاً دیرتر از هویت های گروه اول ظاهر می شوند و با استفاده از مهارت های از قبل شکل گرفته برای انجام دگرگونی های هویت مورد مطالعه قرار می گیرند. .

هر تابع ابتدایی تازه معرفی شده به طور چشمگیری دامنه اعدادی را که می توان به صورت جداگانه تعیین و نامگذاری کرد، گسترش می دهد. بنابراین، اولین گروه از وظایف چرخه باید شامل وظایفی برای ایجاد ارتباط بین این حوزه های عددی جدید و حوزه اصلی اعداد گویا باشد. بیایید نمونه هایی از چنین وظایفی را بیان کنیم.

مثال 1. محاسبه کنید:

در کنار هر عبارت یک هویت نشان داده شده است، در چرخه هایی که وظایف پیشنهادی ممکن است وجود داشته باشد. هدف از چنین وظایفی تسلط بر ویژگی های رکوردها، از جمله نمادهای عملیات و توابع جدید، و توسعه مهارت های گفتاری ریاضی است.

بخش قابل توجهی از استفاده از تبدیل هویت مرتبط با توابع ابتدایی بر روی حل معادلات غیرمنطقی و ماورایی است. چرخه های مربوط به همسان سازی هویت ها فقط ساده ترین معادلات را شامل می شود، اما در اینجا توصیه می شود کار بر روی روش حل چنین معادلاتی انجام شود: کاهش آن با جایگزینی مجهول با یک معادله جبری.

ترتیب مراحل این راه حل به شرح زیر است:

الف) تابعی را پیدا کنید که این معادله را می توان به شکل آن نشان داد.

ب) جایگزینی را انجام دهید و معادله را حل کنید.

ج) حل هر یک از معادلات، که در آن مجموعه ریشه های معادله است.

هنگام استفاده از روش توصیف شده، مرحله b) اغلب به طور ضمنی، بدون معرفی نمادی برای . علاوه بر این، دانش‌آموزان اغلب ترجیح می‌دهند، از مسیرهای مختلف منتهی به یافتن پاسخ، مسیری را انتخاب کنند که سریع‌تر و آسان‌تر به معادله جبری منتهی شود.

مثال 2. معادله را حل کنید.

راه اول:

راه دوم:

آ)

ب)

در اینجا می بینید که با روش اول مرحله a) دشوارتر از روش دوم است. روش اول "شروع کردن با آن دشوارتر است"، اگرچه مسیر بعدی راه حل بسیار ساده تر است. از سوی دیگر، روش دوم دارای مزایای سهولت بیشتر و دقت بیشتر در یادگیری کاهش به معادله جبری است.

برای یک دوره جبر مدرسه، وظایف معمولی هستند که در آن انتقال به یک معادله جبری حتی ساده تر از این مثال است. بار اصلی چنین وظایفی مربوط به شناسایی مرحله c) به عنوان بخشی مستقل از فرآیند حل مرتبط با استفاده از ویژگی های تابع ابتدایی مورد مطالعه است.

مثال 3. معادله را حل کنید:

آ) ; ب) .

این معادلات به معادلات کاهش می یابد: a) یا ; ب) یا . برای حل این معادلات، آگاهی از ساده ترین حقایق در مورد تابع نمایی مورد نیاز است: یکنواختی آن، محدوده مقادیر. مانند مثال قبلی، معادلات a) و b) را می توان به عنوان اولین گروه از یک سری تمرینات برای حل معادلات نمایی درجه دوم طبقه بندی کرد.

بنابراین، ما به طبقه بندی وظایف در چرخه های مربوط به حل معادلات ماورایی می رسیم که شامل یک تابع نمایی است:

1) معادلاتی که به معادلات شکل تقلیل می یابند و پاسخ ساده و کلی دارند: ;

2) معادلاتی که به معادلات تقلیل می‌یابند، جایی که یک عدد صحیح است، یا، جایی که ;

3) معادلاتی که به معادلات تقلیل می یابند و نیازمند تحلیل صریح شکلی هستند که عدد در آن نوشته شده است.

وظایف برای سایر توابع ابتدایی را می توان به طور مشابه طبقه بندی کرد.

بخش قابل توجهی از هویت های مورد مطالعه در جبر و جبر و اصول دروس تجزیه و تحلیل در آنها اثبات یا حداقل تبیین شده است. این جنبه از بررسی هویت ها برای هر دو دوره از اهمیت بالایی برخوردار است، زیرا استدلال اثباتی در آنها دقیقاً در رابطه با هویت ها با بیشترین وضوح و دقت انجام می شود. فراتر از این مطالب، شواهد معمولاً کمتر کامل هستند و همیشه از دلایل استفاده شده متمایز نمی شوند.

از ویژگی های عملیات حسابی به عنوان تکیه گاهی برای اثبات هویت ها استفاده می شود.

تأثیر آموزشی محاسبات و دگرگونی های یکسان می تواند در توسعه تفکر منطقی باشد، اگر فقط دانش آموزان به طور سیستماتیک ملزم به توجیه محاسبات و دگرگونی های یکسان باشند، و در توسعه تفکر عملکردی، که به طرق مختلف به دست می آید. اهمیت محاسبات و دگرگونی های یکسان در رشد اراده، حافظه، هوش، خویشتن داری و ابتکار خلاق کاملاً آشکار است.

الزامات محاسبات روزمره و صنعتی دانش آموزان را ملزم به توسعه مهارت های قوی و خودکار در محاسبات منطقی و تغییر هویت می کند. این مهارت‌ها در فرآیند هر کار محاسباتی ایجاد می‌شوند، با این حال، تمرین‌های آموزشی ویژه در محاسبات و تبدیل‌های سریع ضروری است.

بنابراین، اگر درس شامل حل معادلات لگاریتمی با استفاده از هویت لگاریتمی پایه باشد، مفید است که در طرح درس تمرین‌های شفاهی در مورد ساده‌سازی یا محاسبه مقادیر عبارات را وارد کنید: . هدف از تمرینات همیشه به دانش آموزان ابلاغ می شود. در طول تمرین، ممکن است لازم باشد از دانش‌آموزان بخواهیم که تغییرات فردی، اقدامات یا راه‌حل یک مشکل را توجیه کنند، حتی اگر این برنامه‌ریزی نشده باشد. در جاهایی که راه‌های مختلفی برای حل یک مشکل امکان‌پذیر است، توصیه می‌شود همیشه سوالاتی بپرسید: "مشکل چگونه حل شد؟"، "چه کسی مشکل را به روش دیگری حل کرد؟"

مفاهیم هویت و تبدیل هویت به صراحت در درس جبر کلاس ششم معرفی شده است. خود تعریف عبارات یکسان را نمی توان عملاً برای اثبات هویت دو عبارت استفاده کرد و درک کرد که ماهیت تبدیل های یکسان این است که تعاریف و ویژگی های آن اعمالی را که در عبارت نشان داده شده اند به عبارت اعمال کنند یا به آن اضافه کنند. عبارتی است که به طور یکسان برابر با 0 است، یا در ضرب آن در عبارتی یکسان برابر با یک است. اما حتی با تسلط بر این مفاد، دانش‌آموزان اغلب نمی‌فهمند که چرا این تغییر شکل‌ها به ما اجازه می‌دهد تا اظهار کنیم که عبارات اصلی و حاصل یکسان هستند، یعنی. مقادیر یکسانی را برای هر سیستم (مجموعه) مقادیر متغیر در نظر بگیرید.

همچنین مهم است که اطمینان حاصل شود که دانش آموزان به وضوح درک می کنند که چنین نتیجه گیری هایی از تبدیل های یکسان پیامدهای تعاریف و ویژگی های اقدامات مربوطه است.

دستگاه دگرگونی‌های هویتی که در سال‌های گذشته انباشته شده است، در کلاس ششم گسترش یافته است. این بسط با معرفی هویتی آغاز می‌شود که ویژگی حاصلضرب قدرت‌ها را با پایه‌های یکسان بیان می‌کند: , جایی که , اعداد صحیح هستند.

§3. برنامه ریاضی. در درس مدرسه "جبر و آغاز تحلیل" دانش آموزان به طور سیستماتیک توابع نمایی و لگاریتمی و خواص آنها، تبدیل های یکسان عبارات لگاریتمی و نمایی و کاربرد آنها در حل معادلات و نامساوی مربوطه را مطالعه می کنند و با مفاهیم و گزاره های اساسی آشنا می شوند. . در کلاس یازدهم، درس جبر 3 ساعت در هفته و در مجموع 102 ساعت در سال طول می کشد. این برنامه 36 ساعت طول می کشد تا توابع نمایی، لگاریتمی و توان را مطالعه کند. این برنامه شامل بررسی و مطالعه موضوعات زیر است: مفهوم مدرک با توان منطقی. حل معادلات غیر منطقی تابع نمایی، خواص و نمودار آن. تبدیلات یکسان عبارات نمایی. حل معادلات نمایی و نامساوی. لگاریتم یک عدد. ویژگی های اساسی لگاریتم ها تابع لگاریتمی، خواص و نمودار آن. حل معادلات لگاریتمی و نامساوی. مشتق تابع نمایی. عدد و لگاریتم طبیعی مشتق تابع توان. هدف اصلی بخش تابع نمایی و لگاریتمی آشنایی دانش آموزان با توابع نمایی، لگاریتمی و توان است. حل معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی را به دانش آموزان آموزش دهید. مفاهیم ریشه هفتم و درجه با توان گویا تعمیم مفاهیم ریشه دوم و درجه با توان صحیح است. دانش‌آموزان باید به این نکته توجه داشته باشند که ویژگی‌های ریشه‌ها و توان‌ها با توان‌های گویا در اینجا مشابه ویژگی‌هایی است که ریشه‌های مربعی قبلاً مطالعه شده و توان‌هایی با توان‌های صحیح دارند. لازم است زمان کافی برای تمرین ویژگی های درجه ها و توسعه مهارت های دگرگونی هویت اختصاص داده شود. مفهوم درجه با توان غیرمنطقی بر مبنای بصری و شهودی معرفی شده است. این ماده نقش کمکی ایفا می کند و در هنگام معرفی تابع نمایی استفاده می شود. مطالعه خواص توابع نمایی، لگاریتمی و توانی مطابق با طرح کلی پذیرفته شده برای مطالعه توابع ساخته شده است. در این مورد، یک نمای کلی از ویژگی ها بسته به مقادیر پارامتر ارائه می شود. نابرابری های نمایی و لگاریتمی بر اساس ویژگی های مورد مطالعه توابع حل می شوند. یکی از ویژگی های دوره، سیستم سازی و تعمیم دانش دانش آموزان، تثبیت و توسعه مهارت های به دست آمده در دوره جبر است که هم هنگام مطالعه مطالب جدید و هم هنگام انجام تکرار تعمیم یافته انجام می شود.
فصل 2. تبدیلات و محاسبات یکسان عبارات نمایی و لگاریتمی

§1. تعمیم مفهوم درجه.

تعریف: ریشه ام یک عدد خالص عددی است که توان آن برابر است با .

بر اساس این تعریف، ریشه ام یک عدد، جواب معادله است. تعداد ریشه های این معادله به و بستگی دارد. بیایید عملکرد را در نظر بگیریم. همانطور که مشخص است، در بازه این تابع برای هر مقدار افزایش می یابد و همه مقادیر را از بازه می گیرد. با توجه به قضیه ریشه، معادله هر معادله دارای یک ریشه غیر منفی و علاوه بر این، فقط یک است. آن را ریشه حسابی درجه یک عدد می گویند و با ; عدد را توان رادیکال و خود عدد را عبارت رادیکال می نامند. این علامت رادیکال نیز نامیده می شود.

تعریف: ریشه حسابی توان دهم یک عدد عددی غیرمنفی است که توان آن برابر است با .

برای اعداد زوج تابع زوج است. نتیجه این است که اگر، پس معادله علاوه بر ریشه، یک ریشه نیز دارد. اگر، پس یک ریشه وجود دارد: ; اگر، پس این معادله ریشه ندارد، زیرا توان زوج هر عددی غیر منفی است.

برای مقادیر فرد، تابع در طول کل خط اعداد افزایش می یابد. محدوده آن مجموعه ای از تمام اعداد واقعی است. با اعمال قضیه ریشه، در می یابیم که معادله یک ریشه برای هر و، به ویژه، برای . این ریشه برای هر مقدار با نشان داده می شود.

برای ریشه های درجه فرد، تساوی برقرار است. در واقع، یعنی عدد ریشه ام است. اما چنین ریشه ای برای فرد تنها است. از این رو، .

نکته 1: برای هر واقعی

بیایید ویژگی های شناخته شده ریشه های حسابی درجه هفتم را به یاد بیاوریم.

برای هر عدد طبیعی، عدد صحیح و هر عدد صحیح غیر منفی و برابری ها معتبر هستند:

1.

2.

3.

4.

مدرک با توان منطقی.

عبارت برای همه و به جز مورد در تعریف شده است. بیایید ویژگی های چنین قدرت هایی را به یاد بیاوریم.

برای هر عدد و هر عدد صحیح و برابری معتبر است:

همچنین توجه می کنیم که اگر، پس برای و برای .. و

برای دانش‌آموزانی که در آزمون یکپارچه دولتی شرکت می‌کنند، معلمان ریاضی در دبیرستان شماره 26 در یاکوتسک از فهرستی از سؤالات محتوایی (کدکننده) برای درس ریاضی مدرسه استفاده می‌کنند که تسلط بر آن هنگام قبولی در امتحان دولتی یکپارچه سال 2007 آزمایش می‌شود. دوره انتخابی آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی مبتنی بر تکرار، نظام‌بندی و تعمیق دانش قبلی است. کلاس ها به صورت رایگان برگزار می شود...

مثال 1 . محاسبه:

در کنار هر عبارت یک هویت نشان داده شده است، در چرخه هایی که وظایف پیشنهادی ممکن است وجود داشته باشد. هدف از چنین وظایفی تسلط بر ویژگی های رکوردها، از جمله نمادهای عملیات و توابع جدید، و توسعه مهارت های گفتاری ریاضی است.

بخش قابل توجهی از استفاده از تبدیل هویت مرتبط با توابع ابتدایی بر روی حل معادلات غیرمنطقی و ماورایی است. چرخه های مربوط به همسان سازی هویت ها فقط ساده ترین معادلات را شامل می شود، اما در اینجا توصیه می شود کار بر روی روش حل چنین معادلاتی انجام شود: کاهش آن با جایگزینی مجهول با یک معادله جبری.

ترتیب مراحل این راه حل به شرح زیر است:

الف) تابع را پیدا کنید

، که این معادله را می توان به صورت ;

ب) جایگزینی انجام دهید

و معادله را حل کنید؛

ج) هر یک از معادلات را حل کنید

، مجموعه ریشه های معادله کجاست.

هنگام استفاده از روش توصیف شده، مرحله b) اغلب به طور ضمنی، بدون معرفی نماد برای انجام می شود

. علاوه بر این، دانش‌آموزان اغلب ترجیح می‌دهند، از مسیرهای مختلف منتهی به یافتن پاسخ، مسیری را انتخاب کنند که سریع‌تر و آسان‌تر به معادله جبری منتهی شود.

مثال 2 . معادله را حل کنید

.

راه اول:

راه دوم:

در اینجا می بینید که با روش اول مرحله a) دشوارتر از روش دوم است. روش اول "شروع کردن با آن دشوارتر است"، اگرچه مسیر بعدی راه حل بسیار ساده تر است. از سوی دیگر، روش دوم دارای مزایای سهولت بیشتر و دقت بیشتر در یادگیری کاهش به معادله جبری است.

برای یک دوره جبر مدرسه، وظایف معمولی هستند که در آن انتقال به یک معادله جبری حتی ساده تر از این مثال است. بار اصلی چنین وظایفی مربوط به شناسایی مرحله c) به عنوان بخشی مستقل از فرآیند حل مرتبط با استفاده از ویژگی های تابع ابتدایی مورد مطالعه است.

مثال 3 . معادله را حل کنید:

; ب) .

این معادلات به معادلات کاهش می یابد: الف)

یا ؛ ب) یا . برای حل این معادلات، آگاهی از ساده ترین حقایق در مورد تابع نمایی مورد نیاز است: یکنواختی آن، محدوده مقادیر. مانند مثال قبلی، معادلات a) و b) را می توان به عنوان اولین گروه از یک سری تمرینات برای حل معادلات نمایی درجه دوم طبقه بندی کرد.

بنابراین، ما به طبقه بندی وظایف در چرخه های مربوط به حل معادلات ماورایی می رسیم که شامل یک تابع نمایی است:

1) معادلاتی که به معادلات شکل کاهش می یابد

و داشتن یک پاسخ ساده و کلی: ;

2) معادلاتی که به معادلات کاهش می یابند

، کجا یک عدد صحیح است، یا، کجا ;

3) معادلاتی که به معادلات کاهش می یابند

و نیاز به تجزیه و تحلیل صریح شکلی که عدد در آن نوشته شده است .

وظایف برای سایر توابع ابتدایی را می توان به طور مشابه طبقه بندی کرد.

بخش قابل توجهی از هویت های مورد مطالعه در جبر و جبر و اصول دروس تجزیه و تحلیل در آنها اثبات یا حداقل تبیین شده است. این جنبه از بررسی هویت ها برای هر دو دوره از اهمیت بالایی برخوردار است، زیرا استدلال اثباتی در آنها دقیقاً در رابطه با هویت ها با بیشترین وضوح و دقت انجام می شود. فراتر از این مطالب، شواهد معمولاً کمتر کامل هستند و همیشه از دلایل استفاده شده متمایز نمی شوند.

از ویژگی های عملیات حسابی به عنوان تکیه گاهی برای اثبات هویت ها استفاده می شود.

تأثیر آموزشی محاسبات و دگرگونی های یکسان می تواند در توسعه تفکر منطقی باشد، اگر فقط دانش آموزان به طور سیستماتیک ملزم به توجیه محاسبات و دگرگونی های یکسان باشند، و در توسعه تفکر عملکردی، که به طرق مختلف به دست می آید. اهمیت محاسبات و دگرگونی های یکسان در رشد اراده، حافظه، هوش، خویشتن داری و ابتکار خلاق کاملاً آشکار است.

الزامات محاسبات روزمره و صنعتی دانش آموزان را ملزم به توسعه مهارت های قوی و خودکار در محاسبات منطقی و تغییر هویت می کند. این مهارت‌ها در فرآیند هر کار محاسباتی ایجاد می‌شوند، با این حال، تمرین‌های آموزشی ویژه در محاسبات و تبدیل‌های سریع ضروری است.

بنابراین، اگر درس شامل حل معادلات لگاریتمی با استفاده از هویت لگاریتمی پایه باشد.

، سپس گنجاندن تمرین های شفاهی ساده سازی یا محاسبه معانی عبارات در طرح درس مفید است: . هدف از تمرینات همیشه به دانش آموزان ابلاغ می شود. در طول تمرین، ممکن است لازم باشد از دانش‌آموزان بخواهیم که تغییرات فردی، اقدامات یا راه‌حل یک مشکل را توجیه کنند، حتی اگر این برنامه‌ریزی نشده باشد. در جاهایی که راه‌های مختلفی برای حل یک مشکل امکان‌پذیر است، توصیه می‌شود همیشه سوالاتی بپرسید: "مشکل چگونه حل شد؟"، "چه کسی مشکل را به روش دیگری حل کرد؟"

مفاهیم هویت و تبدیل هویت به صراحت در درس جبر کلاس ششم معرفی شده است. خود تعریف عبارات یکسان را نمی توان عملاً برای اثبات هویت دو عبارت استفاده کرد و درک کرد که ماهیت تبدیل های یکسان این است که تعاریف و ویژگی های آن اعمالی را که در عبارت نشان داده شده اند به عبارت اعمال کنند یا به آن اضافه کنند. عبارتی است که به طور یکسان برابر با 0 است، یا در ضرب آن در عبارتی یکسان برابر با یک است. اما حتی با تسلط بر این مفاد، دانش‌آموزان اغلب نمی‌فهمند که چرا این تغییر شکل‌ها به ما اجازه می‌دهد تا اظهار کنیم که عبارات اصلی و حاصل یکسان هستند، یعنی. مقادیر یکسانی را برای هر سیستم (مجموعه) مقادیر متغیر در نظر بگیرید.

همچنین مهم است که اطمینان حاصل شود که دانش آموزان به وضوح درک می کنند که چنین نتیجه گیری هایی از تبدیل های یکسان پیامدهای تعاریف و ویژگی های اقدامات مربوطه است.

دستگاه دگرگونی‌های هویتی که در سال‌های گذشته انباشته شده است، در کلاس ششم گسترش یافته است. این بسط با معرفی هویتی آغاز می شود که ویژگی محصول قدرت ها را با پایه های یکسان بیان می کند:

مفهوم درجه با توان منطقی. حل معادلات غیر منطقی تابع نمایی، خواص و نمودار آن. تبدیلات یکسان عبارات نمایی. حل معادلات نمایی و نامساوی. لگاریتم یک عدد. ویژگی های اساسی لگاریتم ها تابع لگاریتمی، خواص و نمودار آن. حل معادلات لگاریتمی و نامساوی. مشتق تابع نمایی. عدد و لگاریتم طبیعی مشتق تابع توان.

هدف اصلی بخش تابع نمایی و لگاریتمی آشنایی دانش آموزان با توابع نمایی، لگاریتمی و توان است. حل معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی را به دانش آموزان آموزش دهید.

مفاهیم ریشه هفتم و درجه با توان گویا تعمیم مفاهیم ریشه دوم و درجه با توان صحیح است. دانش‌آموزان باید به این نکته توجه داشته باشند که ویژگی‌های ریشه‌ها و توان‌ها با توان‌های گویا در اینجا مشابه ویژگی‌هایی است که ریشه‌های مربعی قبلاً مطالعه شده و توان‌هایی با توان‌های صحیح دارند. لازم است زمان کافی برای تمرین ویژگی های درجه ها و توسعه مهارت های دگرگونی هویت اختصاص داده شود. مفهوم درجه با توان غیرمنطقی بر مبنای بصری و شهودی معرفی شده است. این ماده نقش کمکی ایفا می کند و در هنگام معرفی تابع نمایی استفاده می شود.

مطالعه خواص توابع نمایی، لگاریتمی و توانی مطابق با طرح کلی پذیرفته شده برای مطالعه توابع ساخته شده است. در این مورد، یک نمای کلی از ویژگی ها بسته به مقادیر پارامتر ارائه می شود. نابرابری های نمایی و لگاریتمی بر اساس ویژگی های مورد مطالعه توابع حل می شوند.

یکی از ویژگی های دوره، سیستم سازی و تعمیم دانش دانش آموزان، تثبیت و توسعه مهارت های به دست آمده در دوره جبر است که هم هنگام مطالعه مطالب جدید و هم هنگام انجام تکرار تعمیم یافته انجام می شود.