طرح الكسور العادية. كيف تتعلم طرح الكسور ذات القواسم المختلفة. ملخص: مخطط الحساب العام

تبدأ هذه المقالة بدراسة العمليات على الكسور الجبرية: وسننظر بالتفصيل في عمليات مثل جمع وطرح الكسور الجبرية. دعونا نحلل مخطط إضافة وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات نفسها والمختلفة. دعونا نتعلم كيفية إضافة كسر جبري متعدد الحدود وكيفية طرحهما. وباستخدام أمثلة محددة، سنشرح كل خطوة في إيجاد حلول للمشكلات.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

عمليات الجمع والطرح ذات المقامات المتساوية

ينطبق مخطط إضافة الكسور العادية أيضًا على الكسور الجبرية. نحن نعلم أنه عند جمع أو طرح الكسور المشتركة ذات المقامات المتشابهة، يجب عليك جمع أو طرح بسطيها، لكن المقام يظل كما هو.

على سبيل المثال: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 و 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

وبناء على ذلك، فإن قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المتشابهة مكتوبة بطريقة مماثلة:

التعريف 1

لجمع أو طرح كسور جبرية ذات مقامات متشابهة، عليك جمع أو طرح بسط الكسور الأصلية، على التوالي، وكتابة المقام دون تغيير.

تتيح هذه القاعدة استنتاج أن نتيجة إضافة أو طرح الكسور الجبرية هي كسر جبري جديد (في حالة معينة: كثير الحدود أو أحادي الحد أو رقم).

دعونا نشير إلى مثال على تطبيق القاعدة المصاغة.

مثال 1

الكسور الجبرية المعطاة هي: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 و 3 - x · y x 2 · y - 2 . ومن الضروري إضافتها.

حل

تحتوي الكسور الأصلية على نفس المقامات. وفقًا للقاعدة، سنجري عملية جمع بسط الكسور المعطاة، ونترك المقام دون تغيير.

بإضافة كثيرات الحدود التي هي بسط الكسور الأصلية، نحصل على: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

ثم سيتم كتابة المبلغ المطلوب على النحو التالي: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

من الناحية العملية، كما هو الحال في كثير من الحالات، يتم تقديم الحل من خلال سلسلة من المعادلات، والتي توضح بوضوح جميع مراحل الحل:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

إجابة:س 2 + 2 · س · ص - 5 × 2 · ص - 2 + 3 - س · ص × 2 · ص - 2 = س 2 + س · ص - 2 × 2 · ص - 2.

يمكن أن تكون نتيجة الجمع أو الطرح كسرًا قابلًا للاختزال، وفي هذه الحالة يكون تقليله هو الأمثل.

مثال 2

من الضروري طرح الكسر 2 · y x 2 - 4 · y 2 من الكسر الجبري x x 2 - 4 · y 2 .

حل

مقامات الكسور الأصلية متساوية. لنقم بإجراء عمليات على البسط، وهي: طرح بسط الثاني من بسط الكسر الأول، ثم كتابة النتيجة، مع ترك المقام دون تغيير:

س س 2 - 4 ص 2 - 2 ص س 2 - 4 ص 2 = س - 2 ص س 2 - 4 ص 2

نرى أن الكسر الناتج قابل للاختزال. لنقم بتقليله عن طريق تحويل المقام باستخدام صيغة فرق المربع:

س - 2 ص × 2 - 4 ص 2 = س - 2 ص (س - 2 ص) (س + 2 ص) = 1 س + 2 ص

إجابة:س × 2 - 4 · ص 2 - 2 · ص × 2 - 4 · ص 2 = 1 س + 2 · ص.

باستخدام نفس المبدأ، يتم إضافة أو طرح ثلاثة كسور جبرية أو أكثر لها نفس المقامات. على سبيل المثال:

1 × 5 + 2 × 3 - 1 + 3 × - × 4 × 5 + 2 × 3 - 1 - × 2 × 5 + 2 × 3 - 1 - 2 × 3 × 5 + 2 × 3 - 1 = 1 + 3 س - س 4 - س 2 - 2 × 3 × 5 + 2 × 3 - 1

عمليات الجمع والطرح ذات المقامات المختلفة

دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على مخطط العمليات مع الكسور العادية: لإضافة أو طرح الكسور العادية ذات القواسم المختلفة، تحتاج إلى إحضارها إلى قاسم مشترك، ثم إضافة الكسور الناتجة بنفس القواسم.

على سبيل المثال، 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 أو 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

وبالقياس أيضًا، نقوم بصياغة قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة:

التعريف 2

لجمع أو طرح كسور جبرية ذات مقامات مختلفة، يجب عليك:

• جلب الكسور الأصلية إلى قاسم مشترك؛
• إجراء عمليات الجمع أو الطرح للكسور الناتجة التي لها نفس المقامات.

من الواضح أن المفتاح هنا سيكون مهارة اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك. دعونا نلقي نظرة فاحصة.

اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك

لجلب الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك، من الضروري إجراء تحويل مماثل للكسور المحددة، ونتيجة لذلك تصبح مقامات الكسور الأصلية هي نفسها. من الأفضل هنا استخدام الخوارزمية التالية لتقليل الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك:

• أولاً نحدد القاسم المشترك للكسور الجبرية؛
• ثم نجد عوامل إضافية لكل كسر من الكسور، وذلك بقسمة المقام المشترك على مقامات الكسور الأصلية؛
• الإجراء الأخير هو ضرب بسط ومقامات الكسور الجبرية المعطاة في العوامل الإضافية المقابلة.

الكسور الجبرية معطاة: أ + 2 2 · أ 3 - 4 · أ 2 ، أ + 3 3 · أ 2 - 6 · أ و + 1 4 · أ 5 - 16 · أ 3 . من الضروري إحضارهم إلى قاسم مشترك.

حل

نحن نتصرف وفقا للخوارزمية المذكورة أعلاه. دعونا نحدد القاسم المشترك للكسور الأصلية. لهذا الغرض، نقوم بتحليل مقامات الكسور المعطاة: 2 أ 3 − 4 أ 2 = 2 أ 2 (أ − 2)، 3 أ 2 − 6 أ = 3 أ (أ − 2) و 4 أ 5 − 16 أ 3 = 4 أ 3 (أ − 2) (أ + 2). ومن هنا يمكننا كتابة القاسم المشترك: 12 أ 3 (أ − 2) (أ + 2).

الآن علينا أن نجد عوامل إضافية. دعونا نقسم، وفقًا للخوارزمية، القاسم المشترك الموجود إلى مقامات الكسور الأصلية:

• للكسر الأول: 12 · أ 3 · (أ − 2) · (أ + 2) : (2 · أ 2 · (أ − 2)) = 6 · أ · (أ + 2) ;
• للكسر الثاني: 12 · أ 3 · (أ − 2) · (أ + 2) : (3 · أ · (أ − 2)) = 4 · أ 2 · (أ + 2);
• للكسر الثالث : 12 أ 3 (أ − 2) (أ + 2) : (4 أ 3 (أ − 2) (أ + 2)) = 3 .

الخطوة التالية هي ضرب بسط ومقامات الكسور المعطاة في العوامل الإضافية الموجودة:

أ + 2 2 أ 3 - 4 أ 2 = (أ + 2) 6 أ (أ + 2) (2 أ 3 - 4 أ 2) 6 أ (أ + 2) = 6 أ (أ + 2) 2 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2) أ + 3 3 أ 2 - 6 أ = (أ + 3) 4 أ 2 ( أ + 2) 3 أ 2 - 6 أ 4 أ 2 (أ + 2) = 4 أ 2 (أ + 3) (أ + 2) 12 أ 3 (أ - 2) · (أ + 2) أ + 1 4 · أ 5 - 16 · أ 3 = (أ + 1) · 3 (4 · أ 5 - 16 · أ 3) · 3 = 3 · (أ + 1) 12 · أ 3 (أ - 2) (أ + 2)

إجابة:أ + 2 2 · أ 3 - 4 · أ 2 = 6 · أ · (أ + 2) 2 12 · أ 3 · (أ - 2) · (أ + 2) ; أ + 3 3 · أ 2 - 6 · أ = 4 · أ 2 · (أ + 3) · (أ + 2) 12 · أ 3 · (أ - 2) · (أ + 2) ؛ أ + 1 4 · أ 5 - 16 · أ 3 = 3 · (أ + 1) 12 · أ 3 · (أ - 2) · (أ + 2) .

لذا، فقد قمنا بتبسيط الكسور الأصلية إلى مقام مشترك. إذا لزم الأمر، يمكنك بعد ذلك تحويل النتيجة الناتجة إلى شكل كسور جبرية عن طريق ضرب كثيرات الحدود ووحيدات الحد في البسط والمقامات.

دعونا أيضًا نوضح هذه النقطة: من الأفضل ترك القاسم المشترك الموجود على شكل منتج في حالة الضرورة لتقليل الكسر النهائي.

لقد درسنا بالتفصيل مخطط اختزال الكسور الجبرية الأولية إلى مقام مشترك؛ والآن يمكننا أن نبدأ في تحليل أمثلة على جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

مثال 4

الكسور الجبرية المعطاة هي: 1 - 2 x x 2 + x و 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. من الضروري تنفيذ عملية إضافتها.

حل

الكسور الأصلية لها مقامات مختلفة، لذا فإن الخطوة الأولى هي جمعها إلى مقام مشترك. نقوم بتحليل المقامات: x 2 + x = x · (x + 1) , و س 2 + 3 س + 2 = (س + 1) (س + 2) ,لأن جذور ثلاثية الحدود مربعة × 2 + 3 × + 2هذه الأرقام هي: - 1 و - 2. نحدد القاسم المشترك: س (س + 1) (س + 2)، فإن العوامل الإضافية ستكون: س+2و –xللكسرين الأول والثاني على التوالي.

وبالتالي: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) و 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (س + 2) = 2 س + 5 س (س + 1) (س + 2) س = 2 · س 2 + 5 · س س · (س + 1) · (س + 2)

الآن دعونا نضيف الكسور التي أحضرناها إلى قاسم مشترك:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 س س (س + 1) (س + 2) = 2 2 س س (س + 1) (س + 2)

يمكن تخفيض الكسر الناتج بعامل مشترك س+1:

2 + 2 س س (س + 1) (س + 2) = 2 (س + 1) س (س + 1) (س + 2) = 2 س (س + 2)

وأخيرًا، نكتب النتيجة التي تم الحصول عليها على شكل كسر جبري، مع استبدال حاصل الضرب في المقام بمتعدد الحدود:

2 س (س + 2) = 2 × 2 + 2 س

دعونا نكتب الحل بإيجاز على شكل سلسلة من المتساويات:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (س + 2) = 2 س (س + 2) = 2 × 2 + 2 س

إجابة: 1 - 2 × × 2 + × + 2 × + 5 × 2 + 3 × + 2 = 2 × 2 + 2 ×

انتبه لهذه التفاصيل: قبل إضافة أو طرح الكسور الجبرية، إذا أمكن، فمن المستحسن تحويلها من أجل التبسيط.

مثال 5

من الضروري طرح الكسور: 2 1 1 3 · x - 2 21 و 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

حل

دعونا نحول الكسور الجبرية الأصلية لتبسيط الحل الإضافي. لنأخذ المعاملات العددية للمتغيرات الموجودة في المقام خارج الأقواس:

2 1 1 3 س - 2 21 = 2 4 3 س - 2 21 = 2 4 3 س - 1 14 و 3 س - 1 1 7 - 2 س = 3 س - 1 - 2 س - 1 14

من الواضح أن هذا التحول أعطانا فائدة: فنحن نرى بوضوح وجود عامل مشترك.

دعونا نتخلص من المعاملات العددية في المقامات تمامًا. للقيام بذلك، نستخدم الخاصية الرئيسية للكسور الجبرية: نضرب بسط ومقام الكسر الأول بـ 3 4، والثاني بـ - 1 2، ثم نحصل على:

2 4 3 س - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 س - 1 14 = 3 2 س - 1 14 و 3 س - 1 - 2 س - 1 14 = - 1 2 3 س - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

لنقم بإجراء يسمح لنا بالتخلص من المعاملات الكسرية: اضرب الكسور الناتجة في 14:

3 2 س - 1 14 = 14 3 2 14 س - 1 14 = 21 14 س - 1 و - 3 2 س + 1 2 س - 1 14 = 14 - 3 2 س + 1 2 س - 1 14 = - 21 · س + 7 14 · س - 1 .

أخيرًا، لننفذ الإجراء المطلوب في بيان المشكلة – الطرح:

2 1 1 3 س - 2 21 - 3 س - 1 1 7 - 2 س = 21 14 س - 1 - - 21 س + 7 14 س - 1 = 21 - - 21 س + 7 14 · س - 1 = 21 · س + 14 14 · س - 1

إجابة: 2 1 1 3 · س - 2 21 - 3 · س - 1 1 7 - 2 · س = 21 · س + 14 14 · س - 1 .

جمع وطرح الكسور الجبرية ومتعددة الحدود

يتعلق هذا الإجراء أيضًا بإضافة أو طرح الكسور الجبرية: من الضروري تمثيل كثير الحدود الأصلي ككسر بمقام 1.

مثال 6

فمن الضروري إضافة كثير الحدود س 2 - 3مع الكسر الجبري 3 x x + 2.

حل

لنكتب كثيرة الحدود في صورة كسر جبري مقامه 1: x 2 - 3 1

يمكننا الآن إجراء عملية الجمع وفقًا لقاعدة جمع الكسور ذات المقامات المختلفة:

س 2 - 3 + 3 س س + 2 = س 2 - 3 1 + 3 س س + 2 = س 2 - 3 (س + 2) 1 س + 2 + 3 س س + 2 = = س 3 + 2 · س 2 - 3 · س - 6 س + 2 + 3 · س س + 2 = س 3 + 2 · س 2 - 3 · س - 6 + 3 · س س + 2 = = س 3 + 2 · س 2 - 6 س + 2

إجابة:س 2 - 3 + 3 س س + 2 = س 3 + 2 × 2 - 6 س + 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

الكسور هي أرقام عادية ويمكن أيضًا جمعها وطرحها. ولكن نظرًا لأن لها مقامًا، فإنها تتطلب قواعد أكثر تعقيدًا من تلك الخاصة بالأعداد الصحيحة.

لنفكر في أبسط حالة، عندما يكون هناك كسران لهما نفس المقامات. ثم:

لجمع كسور لها نفس المقامات، عليك جمع بسطيها وترك المقام دون تغيير.

لطرح الكسور التي لها نفس المقامات، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير مرة أخرى.

في كل تعبير، مقامات الكسور متساوية. من خلال تعريف جمع وطرح الكسور نحصل على:

كما ترون، الأمر ليس معقدًا: كل ما علينا فعله هو جمع البسط أو طرحها وهذا كل شيء.

ولكن حتى في مثل هذه الإجراءات البسيطة، يتمكن الناس من ارتكاب الأخطاء. ما يُنسى غالبًا هو أن القاسم لا يتغير. على سبيل المثال، عند إضافتها، فإنها تبدأ أيضًا في التراكم، وهذا خطأ جوهري.

التخلص من العادة السيئة المتمثلة في إضافة القواسم أمر بسيط للغاية. جرب نفس الشيء عند الطرح. ونتيجة لذلك، سيكون المقام صفرًا، وسيفقد الكسر (فجأة!) معناه.

لذلك، تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: عند الجمع والطرح، لا يتغير المقام!

يرتكب العديد من الأشخاص أيضًا أخطاء عند إضافة عدة كسور سالبة. هناك ارتباك مع العلامات: أين تضع علامة ناقص وأين تضع علامة زائد.

من السهل جدًا حل هذه المشكلة أيضًا. يكفي أن نتذكر أن الطرح قبل إشارة الكسر يمكن دائمًا نقله إلى البسط - والعكس صحيح. وبالطبع، لا تنس قاعدتين بسيطتين:

1. زائد بواسطة ناقص يعطي ناقص؛
2. اثنان من السلبيات يجعلان إيجابيا.

دعونا نلقي نظرة على كل هذا بأمثلة محددة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

في الحالة الأولى، كل شيء بسيط، ولكن في الحالة الثانية، دعونا نضيف السلبيات إلى بسط الكسور:

ماذا تفعل إذا كانت القواسم مختلفة

لا يمكنك إضافة كسور بمقامات مختلفة مباشرة. على الأقل هذه الطريقة غير معروفة بالنسبة لي. ومع ذلك، يمكن دائمًا إعادة كتابة الكسور الأصلية بحيث تصبح المقامات هي نفسها.

هناك طرق عديدة لتحويل الكسور. تمت مناقشة ثلاثة منها في درس "اختزال الكسور إلى قاسم مشترك" لذلك لن نتناولها هنا. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

في الحالة الأولى، نقوم بتبسيط الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام طريقة "التقاطع". في الثانية سوف نبحث عن NOC. لاحظ أن 6 = 2 · 3؛ 9 = 3 · 3. العوامل الأخيرة في هذه التوسعات متساوية، والعوامل الأولى أولية نسبيًا. ولذلك، م م م(6، 9) = 2 3 3 = 18.

ماذا تفعل إذا كان الكسر يحتوي على جزء صحيح

يمكنني إرضائك: اختلاف القواسم في الكسور ليس الشر الأكبر. تحدث أخطاء أكثر بكثير عندما يتم تمييز الجزء بأكمله في الكسور الإضافية.

بالطبع، هناك خوارزميات الجمع والطرح الخاصة لمثل هذه الكسور، لكنها معقدة للغاية وتتطلب دراسة طويلة. من الأفضل استخدام الرسم البياني البسيط أدناه:

1. تحويل جميع الكسور التي تحتوي على جزء صحيح إلى أجزاء غير صحيحة. نحصل على الحدود العادية (حتى مع وجود قواسم مختلفة)، والتي يتم حسابها وفقا للقواعد التي نوقشت أعلاه؛
2. في الواقع، احسب مجموع الكسور الناتجة أو الفرق بينها. ونتيجة لذلك، سوف نجد الجواب عمليا؛
3. إذا كان هذا هو كل ما هو مطلوب في المشكلة، فإننا نقوم بإجراء التحويل العكسي، أي. نتخلص من الكسر غير الحقيقي من خلال تسليط الضوء على الجزء بأكمله.

قواعد الانتقال إلى الكسور غير الصحيحة وإبراز الجزء بأكمله موصوفة بالتفصيل في الدرس "ما هو الكسر العددي". إذا كنت لا تتذكر، تأكد من تكرار ذلك. أمثلة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

كل شيء بسيط هنا. المقامات داخل كل تعبير متساوية، لذا كل ما تبقى هو تحويل جميع الكسور إلى كسور غير حقيقية والعد. لدينا:

لتبسيط الحسابات، قمت بتخطي بعض الخطوات الواضحة في الأمثلة الأخيرة.

ملاحظة صغيرة حول المثالين الأخيرين، حيث يتم طرح الكسور التي تم تمييز الجزء الصحيح منها. السالب قبل الكسر الثاني يعني أنه تم طرح الكسر بأكمله، وليس الجزء بأكمله فقط.

أعد قراءة هذه الجملة مرة أخرى، وانظر إلى الأمثلة - وفكر فيها. هذا هو المكان الذي يرتكب فيه المبتدئون عددًا كبيرًا من الأخطاء. إنهم يحبون إعطاء مثل هذه المشاكل في الاختبارات. كما ستواجهها عدة مرات في اختبارات هذا الدرس والتي سيتم نشرها قريبًا.

ملخص: مخطط الحساب العام

في الختام، سأقدم خوارزمية عامة ستساعدك في العثور على مجموع أو الفرق بين كسرين أو أكثر:

1. إذا كان واحد أو أكثر من الكسور تحتوي على جزء صحيح، فقم بتحويل هذه الكسور إلى كسور غير صحيحة؛
2. قم بإحضار جميع الكسور إلى قاسم مشترك بأي طريقة تناسبك (ما لم يفعل ذلك مؤلفو المشكلات بالطبع) ؛
3. جمع أو طرح الأرقام الناتجة وفقًا لقواعد جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة؛
4. إذا كان ذلك ممكنا، تقصير النتيجة. إذا كان الكسر غير صحيح، حدد الجزء بأكمله.

تذكر أنه من الأفضل تسليط الضوء على الجزء بأكمله في نهاية المهمة، مباشرة قبل كتابة الإجابة.

سيتناول هذا الدرس جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة. نحن نعرف بالفعل كيفية جمع وطرح الكسور المشتركة ذات المقامات المختلفة. للقيام بذلك، يجب تخفيض الكسور إلى قاسم مشترك. اتضح أن الكسور الجبرية تتبع نفس القواعد. وفي الوقت نفسه، نحن نعرف بالفعل كيفية اختزال الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك. يعد جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة من أهم وأصعب المواضيع في مقرر الصف الثامن. علاوة على ذلك، سيظهر هذا الموضوع في العديد من المواضيع في مقرر الجبر الذي ستدرسه مستقبلا. كجزء من الدرس، سوف ندرس قواعد جمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة، وسنقوم أيضًا بتحليل عدد من الأمثلة النموذجية.

دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال للكسور العادية.

مثال 1.إضافة الكسور: .

حل:

دعونا نتذكر قاعدة إضافة الكسور. للبدء، يجب تقليل الكسور إلى قاسم مشترك. القاسم المشترك للكسور العادية هو أقل مضاعف مشترك(LCM) من المقامات الأصلية.

تعريف

أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على العددين و .

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، تحتاج إلى تحليل المقامات إلى عوامل أولية، ثم تحديد جميع العوامل الأولية المضمنة في مفكوك كلا المقامين.

; . ثم يجب أن يتضمن المضاعف المشترك الأصغر للأرقام رقمين اثنين وثلاثتين: .

بعد العثور على القاسم المشترك، تحتاج إلى العثور على عامل إضافي لكل كسر (في الواقع، قسمة القاسم المشترك على مقام الكسر المقابل).

ثم يتم ضرب كل جزء بالعامل الإضافي الناتج. نحصل على كسور لها نفس المقامات، والتي تعلمنا جمعها وطرحها في الدروس السابقة.

نحن نحصل: .

إجابة:.

دعونا الآن نفكر في جمع الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة. أولاً، دعونا ننظر إلى الكسور التي مقاماتها أرقام.

مثال 2.إضافة الكسور: .

حل:

خوارزمية الحل مشابهة تمامًا للمثال السابق. ومن السهل العثور على القاسم المشترك لهذه الكسور: والعوامل الإضافية لكل منها.

.

إجابة:.

لذلك، دعونا صياغة خوارزمية لجمع وطرح الكسور الجبرية ذات المقامات المختلفة:

1. ابحث عن القاسم المشترك الأصغر للكسور.

2. ابحث عن عوامل إضافية لكل كسر (بقسمة المقام المشترك على مقام الكسر المعطى).

3. اضرب البسطين في العوامل الإضافية المقابلة.

4. جمع أو طرح الكسور باستخدام قواعد جمع وطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة.

دعونا الآن نفكر في مثال للكسور التي يحتوي مقامها على تعبيرات حرفية.

مثال 3.إضافة الكسور: .

حل:

نظرًا لأن تعبيرات الحروف في كلا المقامين هي نفسها، فيجب أن تجد مقامًا مشتركًا للأرقام. سيكون القاسم المشترك النهائي كالتالي: . وهكذا يبدو حل هذا المثال كما يلي:.

إجابة:.

مثال 4.طرح الكسور: .

حل:

إذا لم تتمكن من "الغش" عند اختيار مقام مشترك (لا يمكنك تحليله أو استخدام صيغ الضرب المختصرة)، فعليك أن تأخذ حاصل ضرب مقامات كلا الكسرين باعتباره المقام المشترك.

إجابة:.

بشكل عام، عند حل مثل هذه الأمثلة، فإن المهمة الأكثر صعوبة هي العثور على قاسم مشترك.

دعونا ننظر إلى مثال أكثر تعقيدا.

مثال 5.تبسيط: .

حل:

عند العثور على قاسم مشترك، يجب عليك أولاً محاولة تحليل مقامات الكسور الأصلية (لتبسيط القاسم المشترك).

في هذه الحالة بالذات:

ومن السهل بعد ذلك تحديد القاسم المشترك: .

نحدد عوامل إضافية ونحل هذا المثال:

إجابة:.

الآن دعونا نضع قواعد جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

مثال 6.تبسيط: .

حل:

إجابة:.

مثال 7.تبسيط: .

حل:

.

إجابة:.

دعونا نفكر الآن في مثال لا تتم فيه إضافة كسورين، بل ثلاثة كسور (بعد كل شيء، تظل قواعد الجمع والطرح لعدد أكبر من الكسور كما هي).

مثال 8.تبسيط: .

ملحوظة!قبل كتابة إجابتك النهائية، تأكد من إمكانية تقصير الكسر الذي تلقيته.

طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة أمثلة:

,

,

طرح كسر مناسب من واحد.

إذا كان من الضروري طرح كسر من وحدة صحيحة، يتم تحويل الوحدة إلى صورة كسر غير حقيقي، مقامه يساوي مقام الكسر المطروح.

مثال على طرح كسر مناسب من واحد:

مقام الكسر المراد طرحه = 7 أي أننا نمثل واحدًا ككسر غير حقيقي 7/7 ونطرحه وفقًا لقاعدة طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة.

طرح كسر صحيح من عدد صحيح.

قواعد طرح الكسور -الصحيح من عدد صحيح (عدد طبيعي):

• نقوم بتحويل الكسور المعطاة التي تحتوي على جزء صحيح إلى كسور غير صحيحة. نحصل على الحدود العادية (لا يهم إذا كانت لها مقامات مختلفة)، والتي نحسبها وفقًا للقواعد المذكورة أعلاه؛
• بعد ذلك، نحسب الفرق بين الكسور التي تلقيناها. ونتيجة لذلك، سنجد الإجابة تقريبًا؛
• نقوم بإجراء تحويل عكسي، أي أننا نتخلص من الكسر غير الحقيقي - نختار الجزء بأكمله في الكسر.

طرح كسر مناسب من عدد صحيح: تمثيل العدد الطبيعي كعدد مختلط. أولئك. نحن نأخذ وحدة في عدد طبيعي ونحولها إلى صورة كسر غير فعلي، ويكون مقامها هو نفس مقام الكسر المطروح.

مثال على طرح الكسور:

في المثال، استبدلنا واحدًا بالكسر غير الفعلي 7/7 وبدلاً من 3 كتبنا رقمًا مختلطًا وطرحنا كسرًا من الجزء الكسري.

طرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

طريقة اخرى لقول هذا، طرح كسور مختلفة.

قاعدة طرح الكسور ذات المقامات المختلفة.من أجل طرح الكسور ذات المقامات المختلفة، من الضروري أولاً تقليل هذه الكسور إلى أدنى مقام مشترك (LCD)، وبعد ذلك فقط يتم إجراء الطرح كما هو الحال مع الكسور ذات المقامات نفسها.

القاسم المشترك لعدة كسور هو LCM (المضاعف المشترك الأصغر)الأعداد الطبيعية التي هي مقامات هذه الكسور.

انتباه!إذا كان للبسط والمقام عوامل مشتركة في الكسر الأخير، فيجب تقليل الكسر. من الأفضل تمثيل الكسر غير الصحيح ككسر مختلط. ترك نتيجة الطرح دون تقليل الكسر حيثما أمكن هو حل غير كامل للمثال!

إجراءات طرح الكسور ذات المقامات المختلفة.

• أوجد المضاعف المشترك الأصغر لجميع المقامات؛
• وضع عوامل إضافية لجميع الكسور؛
• ضرب جميع البسطين بعامل إضافي؛
• نكتب المنتجات الناتجة في البسط، ونوقع القاسم المشترك تحت جميع الكسور؛
• اطرح بسط الكسور، مع وضع علامة على القاسم المشترك تحت الفرق.

وبنفس الطريقة، يتم جمع وطرح الكسور إذا كان هناك أحرف في البسط.

طرح الكسور، أمثلة:

طرح الكسور المختلطة.

في طرح الكسور المختلطة (الأرقام)بشكل منفصل، يتم طرح الجزء الصحيح من الجزء الصحيح، ويتم طرح الجزء الكسري من الجزء الكسري.

الخيار الأول لطرح الكسور المختلطة.

إذا كانت الأجزاء الكسرية نفس الشيءمقامات وبسط الجزء الكسري من المطروح (نطرحه منه) ≥ بسط الجزء الكسري من المطروح (نطرحه).

على سبيل المثال:

الخيار الثاني لطرح الكسور المختلطة.

عندما أجزاء كسرية مختلفالقواسم. في البداية، نأتي بالأجزاء الكسرية إلى قاسم مشترك، وبعد ذلك نطرح الجزء الكامل من الجزء الكامل، والجزء الكسري من الجزء الكسري.

على سبيل المثال:

الخيار الثالث لطرح الكسور المختلطة.

الجزء الكسري من المطرح أقل من الجزء الكسري من المطروح.

مثال:

لأن الأجزاء الكسرية لها مقامات مختلفة، مما يعني، كما في الخيار الثاني، أننا نقوم أولًا بإحضار الكسور العادية إلى مقام مشترك.

بسط الجزء الكسري للمطرح أقل من بسط الجزء الكسري للمطرح.3 < 14. وهذا يعني أننا نأخذ وحدة من الجزء كله ونختصر هذه الوحدة إلى صورة كسر غير فعلي له نفس المقام والبسط = 18.

في البسط على الجانب الأيمن نكتب مجموع البسطين، ثم نفتح الأقواس في البسط على الجانب الأيمن، أي نضرب كل شيء ونعطي متشابهات. نحن لا نفتح الأقواس في المقام. من المعتاد ترك المنتج في القواسم. نحن نحصل:

القاسم المشترك للعديد من الكسور هو المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر) للأعداد الطبيعية التي تمثل مقامات الكسور المحددة.

إلى بسط الكسور المعينة تحتاج إلى إضافة عوامل إضافية تساوي نسبة المضاعف المشترك الأصغر والمقام المقابل.

يتم ضرب بسط الكسور المعطاة في عواملها الإضافية، مما يؤدي إلى بسط الكسور بمقام مشترك واحد. يتم تخزين علامات العمل ("+" أو "-") في تسجيل الكسور المختزلة إلى قاسم مشترك قبل كل كسر. بالنسبة للكسور ذات المقام المشترك، يتم الاحتفاظ بعلامات الفعل قبل كل بسط مخفض.

الآن فقط يمكنك إضافة أو طرح البسطين وتوقيع القاسم المشترك تحت النتيجة.

انتباه! إذا كان للبسط والمقام عوامل مشتركة في الكسر الناتج، فيجب تقليل الكسر. يُنصح بتحويل الكسر غير الصحيح إلى كسر مختلط. ترك نتيجة الجمع أو الطرح دون إلغاء الكسر حيثما أمكن هو حل ناقص للمثال!

جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة. قاعدة. ل جمع أو طرح الكسور ذات القواسم المختلفة، يجب عليك أولاً تقليلها إلى المقام المشترك الأدنى، ثم إجراء عمليات الجمع أو الطرح كما هو الحال مع الكسور ذات المقامات نفسها.

إجراءات جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة

1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لجميع المقامات؛
2. إضافة عوامل إضافية لكل جزء.
3. اضرب كل بسط بعامل إضافي؛
4. خذ المنتجات الناتجة كبسط، مع توقيع القاسم المشترك تحت كل جزء؛
5. جمع أو طرح بسط الكسور من خلال الإشارة إلى المقام المشترك تحت المجموع أو الفرق.

يمكن أيضًا جمع الكسور وطرحها إذا كان البسط يحتوي على أحرف.