ஆன்லைன் தீர்வின் அம்சங்களைப் பற்றிய முழுமையான ஆராய்ச்சியை மேற்கொள்ளுங்கள். செயல்பாடுகளை ஆராய்தல் மற்றும் வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குதல்

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவலை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக அத்தகைய வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறான பயன்பாடு, அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் ஆகியவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உட்பட - முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை எடுக்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

எங்களுடன் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆராய்ந்து உருவாக்க இன்று உங்களை அழைக்கிறோம். இந்தக் கட்டுரையை கவனமாகப் படித்த பிறகு, இந்த வகையான பணியை முடிக்க நீங்கள் நீண்ட நேரம் வியர்க்க வேண்டியதில்லை. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் படிப்பதும் கட்டமைப்பதும் எளிதானது அல்ல, இது ஒரு பெரிய வேலையாகும், இது அதிகபட்ச கவனம் மற்றும் கணக்கீடுகளின் துல்லியம் தேவைப்படுகிறது. பொருளைப் புரிந்துகொள்வதை எளிதாக்க, அதே செயல்பாட்டைப் படிப்படியாகப் படிப்போம் மற்றும் எங்கள் எல்லா செயல்களையும் கணக்கீடுகளையும் விளக்குவோம். கணிதத்தின் அற்புதமான மற்றும் கண்கவர் உலகத்திற்கு வரவேற்கிறோம்! போ!

களம்

ஒரு செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து வரைபடமாக்க, நீங்கள் பல வரையறைகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். செயல்பாடு என்பது கணிதத்தின் முக்கிய (அடிப்படை) கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். மாற்றங்களின் போது பல மாறிகள் (இரண்டு, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) இடையே உள்ள சார்புநிலையை இது பிரதிபலிக்கிறது. செயல்பாடு தொகுப்புகளின் சார்புநிலையையும் காட்டுகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான மாற்றத்தைக் கொண்ட இரண்டு மாறிகள் உள்ளன என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். எனவே, y என்பது x இன் செயல்பாடாகும், இரண்டாவது மாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் இரண்டின் ஒரு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கும். இந்த வழக்கில், மாறி y சார்புடையது, மேலும் இது ஒரு செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. x மற்றும் y மாறிகள் இந்த சார்புநிலையின் அதிக தெளிவுக்காக, செயல்பாட்டின் வரைபடம் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது என்று சொல்வது வழக்கம். செயல்பாட்டின் வரைபடம் என்றால் என்ன? இது ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இதில் ஒவ்வொரு x மதிப்பும் ஒரு y மதிப்புடன் ஒத்திருக்கும். வரைபடங்கள் வேறுபட்டிருக்கலாம் - நேர்கோடு, ஹைபர்போலா, பரவளைய, சைன் அலை மற்றும் பல.

ஆராய்ச்சி இல்லாமல் ஒரு செயல்பாட்டைத் திட்டமிடுவது சாத்தியமில்லை. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை எவ்வாறு ஆராய்ச்சி செய்வது மற்றும் உருவாக்குவது என்பதை இன்று கற்றுக்கொள்வோம். படிப்பின் போது குறிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது மிகவும் அவசியம். இது பணியைச் சமாளிக்க மிகவும் எளிதாக்கும். மிகவும் வசதியான ஆராய்ச்சி திட்டம்:

1. களம்.
2. தொடர்ச்சி.
3. இரட்டை அல்லது ஒற்றை.
4. கால இடைவெளி.
5. அறிகுறிகள்
6. பூஜ்ஜியங்கள்.
7. நிலையான அடையாளம்.
8. அதிகரித்தும் குறையும்.
9. உச்சநிலைகள்.
10. குவிவு மற்றும் குழிவு.

முதல் புள்ளியுடன் ஆரம்பிக்கலாம். வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது, நமது செயல்பாடு எந்த இடைவெளியில் உள்ளது: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). எங்கள் விஷயத்தில், செயல்பாடு x இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் உள்ளது, அதாவது, வரையறையின் டொமைன் R க்கு சமம். இதை பின்வருமாறு எழுதலாம் xÎR.

தொடர்ச்சி

இப்போது நாம் இடைநிறுத்தம் செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். கணிதத்தில், "தொடர்ச்சி" என்ற சொல் இயக்க விதிகளின் ஆய்வின் விளைவாக தோன்றியது. எல்லையற்றது என்றால் என்ன? இடம், நேரம், சில சார்புகள் (இயக்கச் சிக்கல்களில் S மற்றும் t மாறிகளின் சார்பு ஒரு எடுத்துக்காட்டு), சூடான பொருளின் வெப்பநிலை (தண்ணீர், வாணலி, வெப்பமானி, முதலியன), தொடர்ச்சியான வரி (அதாவது, ஒன்று தாள் பென்சிலில் இருந்து தூக்காமல் வரையலாம்).

ஒரு வரைபடம் சில புள்ளியில் உடைக்கவில்லை என்றால் அது தொடர்ச்சியாகக் கருதப்படுகிறது. அத்தகைய வரைபடத்தின் மிகத் தெளிவான எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்று சைனூசாய்டு ஆகும், இதை நீங்கள் இந்தப் பிரிவில் உள்ள படத்தில் காணலாம். பல நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், ஒரு செயல்பாடு x0 புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்:

• ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது;
• ஒரு புள்ளியில் வலது மற்றும் இடது வரம்புகள் சமம்;
• வரம்பு x0 புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனையாவது பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், செயல்பாடு தோல்வியடையும் என்று கூறப்படுகிறது. மற்றும் செயல்பாடு உடைக்கும் புள்ளிகள் பொதுவாக முறிவு புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. வரைபடமாக காட்டப்படும் போது "உடைந்துவிடும்" செயல்பாட்டின் உதாரணம்: y=(x+4)/(x-3). மேலும், y புள்ளி x = 3 இல் இல்லை (பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க இயலாது என்பதால்).

நாம் படிக்கும் செயல்பாட்டில் (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) வரைபடம் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் என்பதால், அனைத்தும் எளிமையானதாக மாறியது.

சம, ஒற்றைப்படை

இப்போது சமநிலைக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள். முதலில், ஒரு சிறிய கோட்பாடு. x (மதிப்பு வரம்பில் இருந்து) மாறியின் எந்த மதிப்பிற்கும் f(-x)=f(x) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு சமச் சார்பு. எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

• தொகுதி x (வரைபடம் ஒரு daw போல் தெரிகிறது, வரைபடத்தின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது காலாண்டுகளின் இருசமப் பிரிவு);
• x சதுரம் (பரவளை);
• கொசைன் x (கொசைன்).

இந்த வரைபடங்கள் அனைத்தும் y-அச்சு (அதாவது, y-அச்சு) தொடர்பாக பார்க்கும்போது சமச்சீரானவை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

அப்படியானால் ஒற்றைப்படை செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது? இவை நிபந்தனையைப் பூர்த்தி செய்யும் செயல்பாடுகள்: x மாறியின் எந்த மதிப்பிற்கும் f(-x)=-f(x). எடுத்துக்காட்டுகள்:

• ஹைபர்போலா;
• கன பரவளையம்;
• சைனூசாய்டு;
• தொடுகோடு மற்றும் பல.

இந்த செயல்பாடுகள் புள்ளி (0:0), அதாவது தோற்றம் பற்றி சமச்சீர் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். கட்டுரையின் இந்தப் பிரிவில் கூறப்பட்டுள்ளவற்றின் அடிப்படையில், ஒரு சம மற்றும் ஒற்றைப்படைச் செயல்பாட்டிற்குப் பண்பு இருக்க வேண்டும்: x என்பது வரையறைத் தொகுப்பைச் சேர்ந்தது மற்றும் -x என்பதும் ஆகும்.

சமநிலைக்கான செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். அவள் எந்த விளக்கத்திற்கும் பொருந்தவில்லை என்பதை நாம் காணலாம். எனவே, எங்கள் செயல்பாடு இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல.

அறிகுறிகள்

ஒரு வரையறையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். ஒரு அசிம்டோட் என்பது வரைபடத்திற்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக இருக்கும் ஒரு வளைவு ஆகும், அதாவது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து தூரம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். மொத்தத்தில், மூன்று வகையான அறிகுறிகள் உள்ளன:

• செங்குத்து, அதாவது y-அச்சுக்கு இணையாக;
• கிடைமட்டமானது, அதாவது x அச்சுக்கு இணையாக;
• சாய்ந்திருக்கும்.

முதல் வகையைப் பொறுத்தவரை, இந்த வரிகள் சில புள்ளிகளில் பார்க்கப்பட வேண்டும்:

• இடைவெளி;
• வரையறையின் டொமைன் முடிவடைகிறது.

எங்கள் விஷயத்தில், செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது, மற்றும் வரையறையின் டொமைன் R க்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, செங்குத்து அறிகுறிகள் எதுவும் இல்லை.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு கிடைமட்ட அசிம்ப்டோட்டைக் கொண்டுள்ளது, இது பின்வரும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கிறது: x முடிவிலி அல்லது கழித்தல் முடிவிலியாக இருந்தால், மற்றும் வரம்பு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு சமமாக இருந்தால் (எடுத்துக்காட்டாக, a). இந்த வழக்கில், y=a என்பது கிடைமட்ட அறிகுறியாகும். நாம் படிக்கும் செயல்பாட்டில் கிடைமட்ட அறிகுறிகள் எதுவும் இல்லை.

இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் மட்டுமே ஒரு சாய்ந்த அறிகுறி உள்ளது:

• லிம்(f(x))/x=k;
• லிம் f(x)-kx=b.

பின்னர் அதை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்: y=kx+b. மீண்டும், எங்கள் விஷயத்தில் சாய்ந்த அறிகுறிகளும் இல்லை.

செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள்

பூஜ்ஜியங்களுக்கான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆய்வு செய்வது அடுத்த படியாகும். ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிவதோடு தொடர்புடைய பணியானது, ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் படிக்கும் மற்றும் கட்டமைக்கும் போது மட்டுமல்லாமல், ஒரு சுயாதீனமான பணியாகவும், ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழியாகவும் நிகழ்கிறது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டியது அவசியம். நீங்கள் வரைபடத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிய வேண்டும் அல்லது கணிதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

இந்த மதிப்புகளைக் கண்டறிவது செயல்பாட்டை மிகவும் துல்லியமாக வரைபடமாக்க உதவும். எளிமையான சொற்களில், ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியம் என்பது y = 0 என்ற மாறி x இன் மதிப்பாகும். வரைபடத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களை நீங்கள் தேடுகிறீர்களானால், வரைபடம் x- அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கு நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களைக் கண்டறிய, பின்வரும் சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும்: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. தேவையான கணக்கீடுகளைச் செய்த பிறகு, பின்வரும் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

நிலையான அடையாளம்

ஒரு செயல்பாட்டின் (வரைபடம்) ஆராய்ச்சி மற்றும் கட்டுமானத்தின் அடுத்த கட்டம் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இதன் பொருள், செயல்பாடு எந்த இடைவெளியில் நேர்மறை மதிப்பை எடுக்கும் மற்றும் எந்த இடைவெளியில் எதிர்மறை மதிப்பை எடுக்கும் என்பதை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். கடைசி பகுதியில் காணப்படும் பூஜ்ஜிய செயல்பாடுகள் இதைச் செய்ய உதவும். எனவே, நாம் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்க வேண்டும் (வரைபடத்திலிருந்து தனித்தனியாக) மற்றும் செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்களை சரியான வரிசையில் சிறியது முதல் பெரியது வரை விநியோகிக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வரும் இடைவெளிகளில் எது “+” அடையாளம் மற்றும் “-” உள்ளது என்பதை இப்போது நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

எங்கள் விஷயத்தில், செயல்பாடு இடைவெளிகளில் நேர்மறையான மதிப்பை எடுக்கும்:

• 1 முதல் 4 வரை;
• 9 முதல் முடிவிலி வரை.

எதிர்மறை பொருள்:

• கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து 1 வரை;
• 4 முதல் 9 வரை.

இதை தீர்மானிக்க மிகவும் எளிதானது. இடைவெளியில் இருந்து எந்த எண்ணையும் செயல்பாட்டிற்கு மாற்றவும் மற்றும் பதில் எந்த அடையாளமாக மாறுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும் (கழித்தல் அல்லது கூட்டல்).

செயல்பாடுகளை அதிகரித்தல் மற்றும் குறைத்தல்

ஒரு செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து கட்டமைக்க, வரைபடம் எங்கு அதிகரிக்கும் (Oy அச்சில் மேலே செல்லவும்) மற்றும் அது எங்கு விழும் (y- அச்சில் கீழே வலம் வரும்) என்பதை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

x மாறியின் பெரிய மதிப்பு y இன் பெரிய மதிப்புடன் ஒத்துப்போனால் மட்டுமே ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது. அதாவது, x2 x1 ஐ விட பெரியது, மற்றும் f(x2) f(x1) ஐ விட பெரியது. மேலும் குறையும் செயல்பாட்டுடன் முற்றிலும் எதிர் நிகழ்வை நாம் கவனிக்கிறோம் (அதிக x, குறைவான y). அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

• வரையறையின் டொமைன் (எங்களிடம் ஏற்கனவே உள்ளது);
• வழித்தோன்றல் (எங்கள் வழக்கில்: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு, முடிவைப் பெறுகிறோம்:

நாம் பெறுகிறோம்: செயல்பாடு கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து 7/3 மற்றும் 7 முதல் முடிவிலி வரை இடைவெளியில் அதிகரிக்கிறது மற்றும் 7/3 முதல் 7 வரை இடைவெளியில் குறைகிறது.

உச்சநிலைகள்

ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாடு y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) தொடர்ச்சியானது மற்றும் x மாறியின் எந்த மதிப்பிற்கும் உள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சத்தை தீவிர புள்ளி காட்டுகிறது. எங்கள் விஷயத்தில் எதுவும் இல்லை, இது கட்டுமான பணியை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. இல்லையெனில், அவை வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம். கண்டுபிடிக்கப்பட்டதும், அவற்றை விளக்கப்படத்தில் குறிக்க மறக்காதீர்கள்.

குவிவு மற்றும் குழிவு

y(x) செயல்பாட்டை நாங்கள் தொடர்ந்து ஆராய்வோம். இப்போது நாம் அதை குவிவு மற்றும் குழிவுத்தன்மையை சரிபார்க்க வேண்டும். இந்த கருத்துகளின் வரையறைகளை புரிந்துகொள்வது மிகவும் கடினம், எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி எல்லாவற்றையும் பகுப்பாய்வு செய்வது நல்லது. சோதனைக்கு: ஒரு செயல்பாடு குறையாத செயல்பாடாக இருந்தால் குவிந்திருக்கும். ஒப்புக்கொள், இது புரிந்துகொள்ள முடியாதது!

இரண்டாவது வரிசை செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நாம் பெறுகிறோம்: y=1/3(6x-28). இப்போது வலது பக்கத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம். பதில்: x=14/3. ஊடுருவல் புள்ளியைக் கண்டறிந்தோம், அதாவது, வரைபடமானது குவிவிலிருந்து குழிவு அல்லது நேர்மாறாக மாறும் இடம். மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து 14/3 வரையிலான இடைவெளியில் செயல்பாடு குவிந்ததாகவும், 14/3 முதல் பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி வரை குழிவானதாகவும் இருக்கும். வரைபடத்தில் உள்ள ஊடுருவல் புள்ளி மென்மையாகவும் மென்மையாகவும் இருக்க வேண்டும், கூர்மையான மூலைகள் இருக்கக்கூடாது என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

கூடுதல் புள்ளிகளை வரையறுத்தல்

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை ஆராய்ந்து உருவாக்குவதே எங்கள் பணி. நாங்கள் ஆய்வை முடித்துவிட்டோம்; செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவது இப்போது கடினம் அல்ல. ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் ஒரு வளைவு அல்லது நேர் கோட்டின் மிகவும் துல்லியமான மற்றும் விரிவான இனப்பெருக்கம் செய்ய, நீங்கள் பல துணை புள்ளிகளைக் காணலாம். அவர்கள் கணக்கிட மிகவும் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக, நாம் x=3 ஐ எடுத்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, y=4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம். அல்லது x=5, மற்றும் y=-5 மற்றும் பல. கட்டுமானத்திற்கு தேவையான கூடுதல் புள்ளிகளை நீங்கள் எடுக்கலாம். அவற்றில் குறைந்தது 3-5 காணப்படுகின்றன.

ஒரு வரைபடத்தை வரைதல்

செயல்பாட்டை (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y பற்றி ஆராய வேண்டும். கணக்கீடுகளின் போது தேவையான அனைத்து மதிப்பெண்களும் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் செய்யப்பட்டன. செய்ய வேண்டியது ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதுதான், அதாவது அனைத்து புள்ளிகளையும் இணைக்க வேண்டும். புள்ளிகளை இணைப்பது மென்மையாகவும் துல்லியமாகவும் இருக்க வேண்டும், இது திறமையின் விஷயம் - ஒரு சிறிய பயிற்சி மற்றும் உங்கள் அட்டவணை சரியாக இருக்கும்.

\(y= \frac(x^3)(1-x) \) செயல்பாட்டைப் படித்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

1. வரையறையின் நோக்கம்.
ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் (பின்னம்) வரையறையின் களம்: வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, அதாவது. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). டொமைன் $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. செயல்பாடு முறிவு புள்ளிகள் மற்றும் அவற்றின் வகைப்பாடு.
செயல்பாட்டில் ஒரு இடைவெளி புள்ளி x = 1 உள்ளது
x= 1 புள்ளியை ஆராய்வோம். செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம் இடைநிறுத்தப் புள்ளியின் வலது மற்றும் இடது, வலது $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ மற்றும் புள்ளியின் இடதுபுறம் $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ இது ஏனெனில் இது இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளியாகும் ஒரு பக்க வரம்புகள் \(\infty\) க்கு சமம்.

நேர்கோடு \(x = 1\) என்பது செங்குத்து அறிகுறியாகும்.

3. செயல்பாட்டு சமநிலை.
சமநிலையை சரிபார்க்கிறோம் \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) செயல்பாடு சமமாகவோ அல்லது ஒற்றைப்படையாகவோ இல்லை.

4. செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் (ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள்). ஒரு செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள்.
செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள் (எருது அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளி): நாம் \(y=0\) ஐ சமப்படுத்துகிறோம், நமக்கு \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) கிடைக்கும். வளைவு ஆக்ஸ் அச்சுடன் \((0;0)\) ஒரு வெட்டுப்புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள்.
கருதப்படும் இடைவெளிகளில் \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) வளைவு ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் ஒரு புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, எனவே வரையறையின் டொமைனை மூன்று இடைவெளிகளில் கருத்தில் கொள்வோம்.

வரையறையின் களத்தின் இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிப்போம்:
இடைவெளி \(-\infty; 0) \) எந்த புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
இடைவெளி \(0; 1) \) எந்தப் புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் காண்கிறோம் \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு நேர்மறை \(f(x ) > 0 \), அதாவது. ஆக்ஸ் அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது.
இடைவெளி \((1;+\infty) \) எந்த புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகள்: நாம் \(x=0\) ஐ சமப்படுத்துகிறோம், நமக்கு \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) கிடைக்கும். Oy அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்புகள் \((0; 0)\)

6. ஏகபோகத்தின் இடைவெளிகள். ஒரு செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீமா.
முக்கியமான (நிலையான) புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம், இதற்காக முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமப்படுத்துகிறோம் $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ க்கு சமம் 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம் \( f(0) = 0\) மற்றும் \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). ஆயத்தொகுப்புகளுடன் இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகளைப் பெற்றோம் \((0;0)\) மற்றும் \((1.5;-6.75)\)

ஏகபோகத்தின் இடைவெளிகள்.
செயல்பாடு இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது (சாத்தியமான உச்சநிலை புள்ளிகள்), எனவே நான்கு இடைவெளிகளில் மோனோடோனிசிட்டியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
இடைவெளி \(-\infty; 0) \) இடைவெளியில் எந்த புள்ளியிலும் முதல் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
இடைவெளி \((0;1)\) இடைவெளியில் எந்தப் புள்ளியிலும் முதல் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் காண்கிறோம் \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.
இடைவெளி \((1;1.5)\) இடைவெளியில் எந்தப் புள்ளியிலும் முதல் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் காண்கிறோம் \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.
இடைவெளி \((1.5; +\infty)\) இடைவெளியில் எந்த புள்ளியிலும் முதல் வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

ஒரு செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீமா.

செயல்பாட்டைப் படிக்கும் போது, ​​வரையறையின் டொமைனின் இடைவெளியில் இரண்டு முக்கியமான (நிலையான) புள்ளிகளைப் பெற்றோம். அவை தீவிரமானவையா என்பதைத் தீர்மானிப்போம். முக்கியமான புள்ளிகளைக் கடக்கும்போது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

புள்ளி \(x = 0\) வழித்தோன்றல் மாற்றங்கள் குறி \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - புள்ளி ஒரு தீவிரம் அல்ல.
புள்ளி \(x = 1.5\) \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) உடன் வழித்தோன்றல் மாற்றங்கள் குறி - புள்ளி அதிகபட்ச புள்ளியாகும்.

7. குவிவு மற்றும் குழிவுகளின் இடைவெளிகள். ஊடுருவல் புள்ளிகள்.

குவிவு மற்றும் குழிவு இடைவெளிகளைக் கண்டறிய, செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்து, அதை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்கிறோம் $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ ஆயத்தொகுப்புகளுடன் இரண்டாவது வகையான ஒரு முக்கியமான புள்ளியை செயல்பாடு கொண்டுள்ளது. .
வரையறையின் களத்தின் இடைவெளியில் குவிவுத்தன்மையை வரையறுப்போம், இரண்டாவது வகையின் முக்கியமான புள்ளியை (சாத்தியமான ஊடுருவலின் ஒரு புள்ளி) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வோம்.

இடைவெளி \(-\infty; 0)\) எந்த புள்ளியிலும் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
இடைவெளி \((0; 1)\) எந்த புள்ளியிலும் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் காணலாம் \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), இந்த இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் நேர்மறை \(f""(x) > 0 \) செயல்பாடு குவிந்த கீழ்நோக்கி (குவிந்த) உள்ளது.
இடைவெளி \((1; \infty)\) எந்த புள்ளியிலும் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

ஊடுருவல் புள்ளிகள்.

இரண்டாவது வகையின் முக்கியமான புள்ளியைக் கடக்கும்போது இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
\(x =0\) புள்ளியில், \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\) உடன் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் மாற்றங்கள் குறி, செயல்பாட்டின் வரைபடம் குவிவுத்தன்மையை மாற்றுகிறது, அதாவது. இது \((0;0)\) ஆயத்தொலைவுகளுடன் கூடிய ஊடுருவல் புள்ளியாகும்.

8. அறிகுறிகள்.

செங்குத்து அறிகுறி. செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு செங்குத்து அசிம்ப்டோட்டைக் கொண்டுள்ளது \(x =1\) (பத்தி 2 ஐப் பார்க்கவும்).
சாய்ந்த அறிகுறி.
செயல்பாட்டின் வரைபடம் \(y= \frac(x^3)(1-x) \) இல் \(x \to \infty\) ஒரு சாய்ந்த அசிம்ப்டோட் \(y = kx+b\) , இது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது , அதனால் இரண்டு வரம்புகள் $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$அதைக் கண்டுபிடிக்கிறோம் $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ மற்றும் இரண்டாவது வரம்பு $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, ஏனெனில் \(k = \infty\) - சாய்ந்த அறிகுறி இல்லை.

கிடைமட்ட அறிகுறி:ஒரு கிடைமட்ட அறிகுறி இருக்க, ஒரு வரம்பு இருக்க வேண்டும் $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ அதை கண்டுபிடிப்போம் $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
கிடைமட்ட அறிகுறி இல்லை.

9. செயல்பாட்டு வரைபடம்.

செயல்பாட்டை முழுமையாகப் படித்து அதன் வரைபடத்தைத் திட்டமிட, பின்வரும் திட்டம் பரிந்துரைக்கப்படுகிறது:
A) வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும், முறிவு புள்ளிகள்; இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளுக்கு அருகில் ஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தையை ஆராயுங்கள் (இந்த புள்ளிகளில் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் செயல்பாட்டின் வரம்புகளைக் கண்டறியவும்). செங்குத்து அறிகுறிகளைக் குறிக்கவும்.
B) ஒரு செயல்பாடு சமமா அல்லது ஒற்றைப்படையா என்பதைத் தீர்மானித்து, சமச்சீர் உள்ளதா என்று முடிவு செய்யுங்கள். என்றால், செயல்பாடு OY அச்சில் சமமாகவும் சமச்சீராகவும் இருக்கும்; செயல்பாடு ஒற்றைப்படை, தோற்றம் பற்றி சமச்சீர் இருக்கும் போது; மற்றும் என்றால் பொது வடிவத்தின் செயல்பாடு.
C) OY மற்றும் OX ஆகிய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் செயல்பாட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் (முடிந்தால்), செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்கவும். ஒரு செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகளின் எல்லைகள், செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள்) அல்லது இல்லாதது மற்றும் இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனின் எல்லைகள். செயல்பாட்டின் வரைபடம் OX அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ள இடைவெளிகளில், மற்றும் எங்கே - இந்த அச்சுக்கு கீழே.
D) செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிந்து, அதன் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் நிலையான குறியின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிக்கவும். செயல்பாடு அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும் இடைவெளியில். எக்ஸ்ட்ரீமா (செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல் இருக்கும் புள்ளிகள் மற்றும் அதன் வழியாக செல்லும் போது அடையாளத்தை மாற்றும் புள்ளிகள். குறி கூட்டலில் இருந்து மைனஸுக்கு மாறினால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சம், மற்றும் கழிப்பிலிருந்து கூட்டாக இருந்தால்) பற்றி ஒரு முடிவுக்கு வரவும் , பின்னர் குறைந்தபட்சம்). தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்.
D) இரண்டாவது வழித்தோன்றல், அதன் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் நிலையான குறியின் இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும். எங்கே இடைவெளியில்< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) சாய்ந்த (கிடைமட்ட) அறிகுறிகளைக் கண்டறியவும், அவற்றின் சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன ; எங்கே
.
மணிக்கு செயல்பாட்டின் வரைபடம் இரண்டு சாய்ந்த அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பும் b இன் இரண்டு மதிப்புகளுடன் ஒத்திருக்கும்.
ஜி) வரைபடத்தை தெளிவுபடுத்த கூடுதல் புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து (தேவைப்பட்டால்) வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1 செயல்பாட்டை ஆராய்ந்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும். தீர்வு: A) வரையறையின் களம் ; செயல்பாடு அதன் வரையறையின் களத்தில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது; - இடைவேளை புள்ளி, ஏனெனில் ;. பின்னர் - செங்குத்து அசிம்ப்டோட்.
B)
அந்த. y(x) என்பது பொது வடிவத்தின் செயல்பாடு.
C) OY அச்சுடன் வரைபடத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டறியவும்: x=0 அமைக்கவும்; பின்னர் y(0)=–1, அதாவது. செயல்பாட்டின் வரைபடம் (0;-1) புள்ளியில் அச்சை வெட்டுகிறது. செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் (OX அச்சுடன் வரைபடத்தின் வெட்டும் புள்ளிகள்): y=0 அமைக்கவும்; பிறகு
.
இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளது, அதாவது பூஜ்ஜியங்கள் இல்லை. பின்னர் நிலையான குறியின் இடைவெளிகளின் எல்லையானது x=1 என்ற புள்ளியாகும், அங்கு செயல்பாடு இல்லை.
ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் செயல்பாட்டின் அடையாளம் பகுதி மதிப்புகளின் முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடம் OX அச்சின் கீழும், இடைவெளியில் - OX அச்சுக்கு மேலேயும் அமைந்துள்ளது என்பது வரைபடத்திலிருந்து தெளிவாகிறது.
D) முக்கியமான புள்ளிகள் இருப்பதைக் கண்டுபிடிக்கிறோம்.
.
சமத்துவங்கள் மற்றும் .

நாம் பெறுவது: x1=1, x2=0, x3=2. ஒரு துணை அட்டவணையை உருவாக்குவோம்

அட்டவணை 1

(முதல் வரியில் முக்கியமான புள்ளிகள் மற்றும் இடைவெளிகள் உள்ளன, அதில் இந்த புள்ளிகள் OX அச்சால் வகுக்கப்படுகின்றன; இரண்டாவது வரி முக்கிய புள்ளிகளில் உள்ள வழித்தோன்றலின் மதிப்புகளையும் இடைவெளிகளில் உள்ள குறிகளையும் குறிக்கிறது. அறிகுறிகள் பகுதி மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. மூன்றாவது வரியானது முக்கியமான புள்ளிகளில் y(x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது - எண் அச்சின் தொடர்புடைய இடைவெளியில் கூடுதலான அல்லது அதிகபட்சமாக இருக்கும் சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது.
D) செயல்பாட்டின் குவிவு மற்றும் குழிவு இடைவெளிகளைக் கண்டறியவும்.
; புள்ளி D இல் உள்ளதைப் போல ஒரு அட்டவணையை உருவாக்கவும்); இரண்டாவது வரியில் மட்டுமே குறிகளை எழுதுகிறோம், மூன்றாவது வரியில் குவிவு வகையைக் குறிப்பிடுகிறோம். ஏனெனில் ; பின்னர் முக்கியமான புள்ளி ஒன்று x=1.
அட்டவணை 2

புள்ளி x=1 என்பது ஊடுருவல் புள்ளி.
E) சாய்ந்த மற்றும் கிடைமட்ட அறிகுறிகளைக் கண்டறியவும்

பின்னர் y=x என்பது ஒரு சாய்ந்த அறிகுறியாகும்.
ஜி) பெறப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம்

1). செயல்பாட்டின் நோக்கம்.
"" மற்றும் "" புள்ளிகளைத் தவிர, முழு எண் வரியிலும் இந்த செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது வெளிப்படையானது. இந்த புள்ளிகளில் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், எனவே, செயல்பாடு இல்லை, மற்றும் நேர் கோடுகள் மற்றும் செங்குத்து அறிகுறிகளாக இருக்கும்.

2). வாதமாக ஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தை முடிவிலி, இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளின் இருப்பு மற்றும் சாய்ந்த அறிகுறிகளின் இருப்பை சரிபார்க்கிறது.
இடது மற்றும் வலதுபுறமாக முடிவிலியை அணுகும்போது செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை முதலில் பார்க்கலாம்.

எனவே, செயல்பாடு 1 ஆக இருக்கும் போது, ​​அதாவது. - கிடைமட்ட அறிகுறி.
இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளுக்கு அருகில், செயல்பாட்டின் நடத்தை பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது:


அந்த. இடதுபுறத்தில் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளை அணுகும் போது, ​​செயல்பாடு எல்லையில்லாமல் குறைகிறது, வலதுபுறத்தில், அது எல்லையற்றதாக அதிகரிக்கிறது.
சமத்துவத்தைக் கருத்தில் கொண்டு சாய்ந்த அறிகுறியின் இருப்பை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

சாய்ந்த அறிகுறிகளும் இல்லை.

3). ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் வெட்டும் புள்ளிகள்.
இங்கே இரண்டு சூழ்நிலைகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்: ஆக்ஸ் அச்சு மற்றும் ஓய் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும். ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் அடையாளம் என்பது செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜிய மதிப்பு, அதாவது. சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்:

இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே, இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை.
Oy அச்சுடன் வெட்டும் அடையாளம் மதிப்பு x = 0. இந்த வழக்கில்
,
அந்த. - Oy அச்சுடன் செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் வெட்டும் புள்ளி.

4).தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளை தீர்மானித்தல்.
இந்த சிக்கலைப் படிக்க, முதல் வழித்தோன்றலை நாங்கள் வரையறுக்கிறோம்:
.
முதல் வழித்தோன்றலின் மதிப்பை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.
.
ஒரு பின்னம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதன் எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது. .
செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைத் தீர்மானிப்போம்.

எனவே, செயல்பாடு ஒரு தீவிர புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இரண்டு புள்ளிகளில் இல்லை.
இதனால், செயல்பாடு இடைவெளிகளில் அதிகரிக்கிறது மற்றும் இடைவெளிகளில் குறைகிறது மற்றும் .

5). ஊடுருவல் புள்ளிகள் மற்றும் குவிவு மற்றும் குழிவு பகுதிகள்.
ஒரு செயல்பாட்டின் நடத்தையின் இந்த பண்பு இரண்டாவது வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது. முதலில் ஊடுருவல் புள்ளிகள் இருப்பதை தீர்மானிப்போம். செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் சமம்

எப்போது மற்றும் செயல்பாடு குழிவானது;

எப்போது மற்றும் செயல்பாடு குவிந்திருக்கும்.

6). ஒரு செயல்பாட்டை வரைபடமாக்குதல்.
புள்ளிகளில் காணப்படும் மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை திட்டவட்டமாக உருவாக்குவோம்:

தீர்வு
கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்பது பொதுவான வடிவத்தின் காலமுறை அல்லாத செயல்பாடு ஆகும். அதன் வரைபடம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் வழியாக செல்கிறது.
கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் தவிர, பின்னத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறும்.
இதன் விளைவாக, புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகள்.
ஏனெனில் ,

ஏனெனில் ,
, பின்னர் புள்ளி என்பது இரண்டாவது வகையின் தொடர்ச்சியற்ற புள்ளியாகும்.
நேர்கோடுகள் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் செங்குத்து அறிகுறிகளாகும்.
சாய்ந்த அறிகுறிகளின் சமன்பாடுகள், எங்கே, .
மணிக்கு ,
.
எனவே, செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு அறிகுறியைக் கொண்டுள்ளது.
செயல்பாடு மற்றும் தீவிர புள்ளிகளின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.
.
செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல் at மற்றும், எனவே, at மற்றும் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.
எப்போது , எனவே , எப்போது , செயல்பாடு குறைகிறது.
, .
, எனவே, எப்போது செயல்பாட்டின் வரைபடம் குழிவானது.
மணிக்கு , எனவே, எப்போது செயல்பாட்டின் வரைபடம் குவிந்துள்ளது.

புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் போது , , மாற்றங்கள் அடையாளம். எப்போது , செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே, செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ஊடுருவல் புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது.
செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.