பின்வரும் பகுத்தறிவு பின்னங்களை ஒருங்கிணைப்பதற்கான மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான விரிவான தீர்வுகளை இங்கே வழங்குகிறோம்:
, , .

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
.

தீர்வு

இங்கே, ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாடு உள்ளது, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பு என்பது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒரு பகுதி. வகுத்தல் பல்லுறுப்புக்கோவை பட்டம் ( 3 ) எண் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவை விட குறைவாக உள்ளது ( 4 ) எனவே, முதலில் நீங்கள் பகுதியின் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

1. பின்னத்தின் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கலாம். x ஐ வகுக்கவும் 4 x மூலம் 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

இங்கிருந்து
.

2. பின்னத்தின் வகுப்பினை காரணியாக்குவோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் கன சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
x = ஐ மாற்றுவோம் 1 :
.

1 . x ஆல் வகுக்க - 1 :

இங்கிருந்து
.
இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.
.
சமன்பாட்டின் வேர்கள்: , .
பிறகு
.

3. பின்னத்தை அதன் எளிய வடிவமாக உடைப்போம்.

.

எனவே நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம்:
.
ஒருங்கிணைப்போம்.

பதில்

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
.

தீர்வு

இங்கே பின்னத்தின் எண் என்பது டிகிரி பூஜ்ஜியத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ( 1 = x 0) வகுத்தல் என்பது மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். ஏனெனில் 0 < 3 , பின்னம் சரியாக இருக்கும். அதை எளிய பின்னங்களாகப் பிரிப்போம்.

1. பின்னத்தின் வகுப்பினை காரணியாக்குவோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் மூன்றாம் நிலை சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்:
.
அதற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு முழு வேர் உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். பின்னர் அது எண்ணின் வகுத்தல் ஆகும் 3 (x இல்லாத உறுப்பினர்). அதாவது, முழு மூலமும் எண்களில் ஒன்றாக இருக்கலாம்:
1, 3, -1, -3 .
x = ஐ மாற்றுவோம் 1 :
.

எனவே, x = என்ற ஒரு மூலத்தைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம் 1 . x ஐ வகுக்கவும் 3 + 2 x - 3 x இல் - 1 :

அதனால்,
.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது:
எக்ஸ் 2 + x + 3 = 0.
பாகுபாட்டைக் கண்டறியவும்: D = 1 2 - 4 3 = -11. முதல் டி< 0 , சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை. இவ்வாறு, வகுப்பின் காரணியாக்கத்தைப் பெற்றோம்:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
x = ஐ மாற்றுவோம் 1 . பின்னர் x - 1 = 0 ,
.

பதிலீடு செய்வோம் (2.1) x = 0 :
1 = 3 ஏ - சி;
.

சமன் செய்வோம் (2.1) x க்கான குணகங்கள் 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. ஒருங்கிணைப்போம்.
(2.2) .
இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட, நாம் எண்களில் உள்ள வகுப்பின் வழித்தோன்றலைத் தேர்ந்தெடுத்து, வகுப்பின் கூட்டுத்தொகைக்கு வகுப்பைக் குறைக்கிறோம்.

;
;
.

ஐ கணக்கிடுங்கள் 2 .


.
x சமன்பாட்டிலிருந்து 2 + x + 3 = 0உண்மையான வேர்கள் இல்லை, பின்னர் x 2 + x + 3 > 0. எனவே, மாடுலஸ் அடையாளத்தைத் தவிர்க்கலாம்.

நாங்கள் வழங்குகிறோம் (2.2) :
.

பதில்

எடுத்துக்காட்டு 3

ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்:
.

தீர்வு

இங்கே ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஒரு பகுதி உள்ளது. எனவே, ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாடு. எண்ணில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு சமம் 3 . பின்னத்தின் வகுப்பின் பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு சமம் 4 . ஏனெனில் 3 < 4 , பின்னம் சரியாக இருக்கும். எனவே, இது எளிய பின்னங்களாக சிதைக்கப்படலாம். ஆனால் இதைச் செய்ய, நீங்கள் வகுப்பினை காரணியாக்க வேண்டும்.

1. பின்னத்தின் வகுப்பினை காரணியாக்குவோம். இதைச் செய்ய, நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும்:
.
அதற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு முழு வேர் உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். பின்னர் அது எண்ணின் வகுத்தல் ஆகும் 2 (x இல்லாத உறுப்பினர்). அதாவது, முழு மூலமும் எண்களில் ஒன்றாக இருக்கலாம்:
1, 2, -1, -2 .
x = ஐ மாற்றுவோம் -1 :
.

எனவே, x = என்ற ஒரு மூலத்தைக் கண்டுபிடித்துள்ளோம் -1 . x ஆல் வகுக்க - (-1) = x + 1:


அதனால்,
.

இப்போது நாம் மூன்றாம் நிலை சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்:
.
இந்தச் சமன்பாடு முழு எண் மூலத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதினால், அது எண்ணின் வகுப்பாகும். 2 (x இல்லாத உறுப்பினர்). அதாவது, முழு மூலமும் எண்களில் ஒன்றாக இருக்கலாம்:
1, 2, -1, -2 .
x = ஐ மாற்றுவோம் -1 :
.

எனவே, x = என்ற மற்றொரு மூலத்தைக் கண்டுபிடித்தோம் -1 . முந்தைய வழக்கைப் போலவே, பல்லுறுப்புக்கோவையை வகுக்க முடியும், ஆனால் நாங்கள் விதிமுறைகளை தொகுப்போம்:
.

x சமன்பாட்டிலிருந்து 2 + 2 = 0 உண்மையான வேர்கள் இல்லை, பின்னர் நாம் வகுப்பின் காரணியாக்கத்தைப் பெறுகிறோம்:
.

2. பின்னத்தை அதன் எளிய வடிவமாக உடைப்போம். வடிவத்தில் விரிவாக்கத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம்:
.
பின்னத்தின் வகுப்பிலிருந்து விடுபடுகிறோம், பெருக்குகிறோம் (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
x = ஐ மாற்றுவோம் -1 . பின்னர் x + 1 = 0 ,
.

வேறுபடுத்துவோம் (3.1) :

;

.
x = ஐ மாற்றுவோம் -1 மற்றும் x + என்பதை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் 1 = 0 :
;
; .

பதிலீடு செய்வோம் (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

சமன் செய்வோம் (3.1) x க்கான குணகங்கள் 3 :
;
1 = பி + சி;
.

எனவே, சிதைவை எளிய பின்னங்களாகக் கண்டறிந்துள்ளோம்:
.

3. ஒருங்கிணைப்போம்.


.

ஒரு பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு.
நிச்சயமற்ற குணக முறை

பின்னங்களை ஒருங்கிணைப்பதில் நாங்கள் தொடர்ந்து பணியாற்றி வருகிறோம். பாடத்தில் உள்ள சில வகையான பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் ஏற்கனவே பார்த்துள்ளோம், மேலும் இந்த பாடம் ஒரு வகையில் தொடர்ச்சியாக கருதப்படலாம். பொருளை வெற்றிகரமாகப் புரிந்து கொள்ள, அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு திறன்கள் தேவை, எனவே நீங்கள் ஒருங்கிணைப்பைப் படிக்கத் தொடங்கியிருந்தால், அதாவது, நீங்கள் ஒரு தொடக்கக்காரர், நீங்கள் கட்டுரையுடன் தொடங்க வேண்டும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

விந்தை போதும், இப்போது நாம் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் அதிகம் ஈடுபடவில்லை, ஆனால்... நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதில். இது குறித்து அவசரமாகபாடத்தில் கலந்துகொள்ள நான் பரிந்துரைக்கிறேன், நீங்கள் மாற்று முறைகளில் ("பள்ளி" முறை மற்றும் கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறைகளை நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும்.

ஒரு பகுதி பகுத்தறிவு செயல்பாடு என்றால் என்ன? எளிமையான சொற்களில், ஒரு பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாடு என்பது ஒரு பகுதி ஆகும், அதன் எண் மற்றும் வகுப்பில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தயாரிப்புகள் உள்ளன. மேலும், கட்டுரையில் விவாதிக்கப்பட்டதை விட பின்னங்கள் மிகவும் சிக்கலானவை சில பின்னங்களை ஒருங்கிணைத்தல்.

ஒரு சரியான பின்னம்-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல்

ஒரு பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்க உடனடியாக ஒரு எடுத்துக்காட்டு மற்றும் ஒரு பொதுவான வழிமுறை.

எடுத்துக்காட்டு 1

படி 1.ஒரு பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்கும் போது நாம் எப்போதும் செய்யும் முதல் காரியம் பின்வரும் கேள்வியை தெளிவுபடுத்துவதாகும்: பின்னம் சரியானதா?இந்த படி வாய்மொழியாக செய்யப்படுகிறது, இப்போது நான் எப்படி விளக்குகிறேன்:

முதலில் நாம் எண்ணிக்கையைப் பார்த்து கண்டுபிடிப்போம் மூத்த பட்டம்பல்லுறுப்புக்கோவை:

எண்ணின் முன்னணி சக்தி இரண்டு.

இப்போது நாம் வகுப்பைப் பார்த்து கண்டுபிடிப்போம் மூத்த பட்டம்வகுக்கும். வெளிப்படையான வழி அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து ஒத்த சொற்களைக் கொண்டுவருவது, ஆனால் நீங்கள் அதை எளிமையாகச் செய்யலாம் ஒவ்வொன்றும்அடைப்புக்குறிக்குள் மிக உயர்ந்த பட்டத்தைக் கண்டறியவும்

மற்றும் மனரீதியாக பெருக்கவும்: - இவ்வாறு, வகுப்பின் மிக உயர்ந்த அளவு மூன்றுக்கு சமம். நாம் உண்மையில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்தால், மூன்றிற்கு மேல் பட்டம் பெற மாட்டோம் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது.

முடிவுரை: மேஜர் பட்டம் கண்டிப்பாகவகுப்பின் மிக உயர்ந்த சக்தியை விட குறைவாக உள்ளது, அதாவது பின்னம் சரியானது.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் எண் 3, 4, 5, முதலியன பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கொண்டிருந்தால். டிகிரி, பின்னர் பின்னம் இருக்கும் தவறு.

இப்போது நாம் சரியான பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம். எண் பட்டம் வகுப்பின் அளவை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருந்தால் பாடத்தின் முடிவில் விவாதிக்கப்படும்.

படி 2.வகுத்தலை காரணியாக்குவோம். நமது வகுப்பினைப் பார்ப்போம்:

பொதுவாக, இது ஏற்கனவே காரணிகளின் விளைவாகும், இருப்பினும், நாம் நம்மை நாமே கேட்டுக்கொள்கிறோம்: வேறு எதையாவது விரிவாக்க முடியுமா? சித்திரவதையின் பொருள் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி சதுர முக்கோணமாக இருக்கும். இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது:

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது, அதாவது முக்கோணத்தை உண்மையில் காரணியாக்க முடியும்:

பொது விதி: வகுப்பில் உள்ள அனைத்தும் காரணிகளாக - காரணிகளாக இருக்கலாம்

ஒரு தீர்வை உருவாக்கத் தொடங்குவோம்:

படி 3.காலவரையற்ற குணகங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைப்பை எளிய (தொடக்க) பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவுபடுத்துகிறோம். இப்போது அது தெளிவாக இருக்கும்.

எங்கள் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

மேலும், உங்களுக்குத் தெரியும், எப்படியாவது ஒரு உள்ளுணர்வு எண்ணம் தோன்றும், நமது பெரிய பகுதியை பல சிறியதாக மாற்றுவது நல்லது. உதாரணமாக, இது போன்றது:

கேள்வி எழுகிறது, இதைச் செய்வது கூட சாத்தியமா? நாம் நிம்மதிப் பெருமூச்சு விடுவோம், கணிதப் பகுப்பாய்வின் தொடர்புடைய தேற்றம் கூறுகிறது - இது சாத்தியம். அத்தகைய சிதைவு உள்ளது மற்றும் தனித்துவமானது.

ஒரே ஒரு பிடிப்பு உள்ளது, முரண்பாடுகள் உள்ளன வருகிறேன்எங்களுக்குத் தெரியாது, எனவே பெயர் - காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை.

நீங்கள் யூகித்தபடி, அடுத்தடுத்த உடல் அசைவுகள் அப்படித்தான், கேக்காதே! அவற்றை அங்கீகரிப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டதாக இருக்கும் - அவை எதற்குச் சமம் என்பதைக் கண்டறிய.

கவனமாக இருங்கள், நான் ஒரு முறை மட்டுமே விரிவாக விளக்குகிறேன்!

எனவே, நடனமாட ஆரம்பிக்கலாம்:

இடது பக்கத்தில் நாம் வெளிப்பாட்டை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கிறோம்:

இப்போது நாம் பகுப்புகளை பாதுகாப்பாக அகற்றலாம் (அவை ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால்):

இடதுபுறத்தில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், ஆனால் இப்போது அறியப்படாத குணகங்களைத் தொடாதே:

அதே நேரத்தில், பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பெருக்கும் பள்ளி விதியை மீண்டும் சொல்கிறோம். நான் ஆசிரியராக இருந்தபோது, ​​இந்த விதியை நேரான முகத்துடன் உச்சரிக்க கற்றுக்கொண்டேன்: ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்க, நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் மற்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொல்லால் பெருக்க வேண்டும்..

தெளிவான விளக்கத்தின் பார்வையில், குணகங்களை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது நல்லது (நேரத்தைச் சேமிப்பதற்காக நான் தனிப்பட்ட முறையில் இதைச் செய்யவில்லை என்றாலும்):

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.
முதலில் நாம் மூத்த பட்டங்களைத் தேடுகிறோம்:

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டில் தொடர்புடைய குணகங்களை எழுதுகிறோம்:

பின்வரும் விஷயத்தை நன்றாக நினைவில் கொள்ளுங்கள். வலது பக்கத்தில் கள் இல்லாவிட்டால் என்ன நடக்கும்? சொல்லட்டும், இது எந்த சதுரமும் இல்லாமல் காட்டப்படுமா? இந்த வழக்கில், அமைப்பின் சமன்பாட்டில் வலதுபுறத்தில் பூஜ்ஜியத்தை வைப்பது அவசியம்: . ஏன் பூஜ்யம்? ஆனால் வலது பக்கத்தில் நீங்கள் எப்போதும் இதே சதுரத்தை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒதுக்கலாம்: வலது பக்கத்தில் மாறிகள் மற்றும்/அல்லது இலவச சொல் இல்லை என்றால், கணினியின் தொடர்புடைய சமன்பாடுகளின் வலது பக்கங்களில் பூஜ்ஜியங்களை வைக்கிறோம்.

கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் தொடர்புடைய குணகங்களை எழுதுகிறோம்:

இறுதியாக, மினரல் வாட்டர், இலவச உறுப்பினர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.

அட... எப்படியோ நான் கேலி செய்தேன். நகைச்சுவைகள் ஒருபுறம் இருக்க - கணிதம் ஒரு தீவிர அறிவியல். எங்கள் நிறுவனக் குழுவில், உதவிப் பேராசிரியை அவர் சொற்களை எண் வரிசையில் சிதறடித்து, பெரியவற்றைத் தேர்ந்தெடுப்பார் என்று சொன்னபோது யாரும் சிரிக்கவில்லை. சீரியஸாகப் பார்ப்போம். இருந்தாலும்... இந்தப் பாடத்தின் முடிவைக் காண வாழ்பவர் இன்னும் அமைதியாகச் சிரிப்பார்.

அமைப்பு தயாராக உள்ளது:

நாங்கள் அமைப்பைத் தீர்க்கிறோம்:

(1) முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் அதை அமைப்பின் 2வது மற்றும் 3வது சமன்பாடுகளில் வெளிப்படுத்தி மாற்றுகிறோம். உண்மையில், மற்றொரு சமன்பாட்டிலிருந்து (அல்லது மற்றொரு கடிதத்தை) வெளிப்படுத்த முடியும், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் 1 வது சமன்பாட்டிலிருந்து அதை வெளிப்படுத்துவது சாதகமானது. சிறிய முரண்பாடுகள்.

(2) 2வது மற்றும் 3வது சமன்பாடுகளில் இதே போன்ற சொற்களை முன்வைக்கிறோம்.

(3) நாம் 2 வது மற்றும் 3 வது சமன்பாடுகளை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்க்கிறோம், சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு

(4) இரண்டாவது (அல்லது மூன்றாவது) சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக, அதைக் கண்டுபிடிக்கும் இடத்திலிருந்து

(5) மாற்று மற்றும் முதல் சமன்பாட்டில், பெறுதல்.

கணினியைத் தீர்க்கும் முறைகளில் ஏதேனும் சிரமங்கள் இருந்தால், வகுப்பில் அவற்றைப் பயிற்சி செய்யுங்கள். நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

கணினியைத் தீர்த்த பிறகு, சரிபார்க்க எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் - கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றவும் ஒவ்வொருஅமைப்பின் சமன்பாடு, இதன் விளைவாக எல்லாம் "ஒன்றிணைக்க" வேண்டும்.

ஏறக்குறைய அங்குதான். குணகங்கள் கண்டறியப்பட்டன, மேலும்:

முடிக்கப்பட்ட வேலை இப்படி இருக்க வேண்டும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பணியின் முக்கிய சிரமம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவது (சரியாக!) மற்றும் தீர்ப்பது (சரியாக!) ஆகும். இறுதி கட்டத்தில், எல்லாம் மிகவும் சிக்கலானதாக இல்லை: காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் ஒருங்கிணைக்கிறோம். மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளில் ஒவ்வொன்றின் கீழும் ஒரு "இலவச" சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது என்பதை நான் பாடத்தில் அதன் ஒருங்கிணைப்பின் அம்சங்களைப் பற்றி பேசினேன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் மாறி மாற்றும் முறை.

சரிபார்க்கவும்: பதிலை வேறுபடுத்தவும்:

அசல் ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடு பெறப்பட்டது, அதாவது ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது.
சரிபார்ப்பின் போது, ​​ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு வெளிப்பாட்டைக் குறைக்க வேண்டியிருந்தது, இது தற்செயலானதல்ல. காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை மற்றும் ஒரு வெளிப்பாட்டை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்தல் ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 2

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

முதல் எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பின்னத்திற்கு வருவோம்: . வகுப்பில் அனைத்து காரணிகளும் வேறுபட்டவை என்பதைக் கவனிப்பது எளிது. கேள்வி எழுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் பகுதி கொடுக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது: ? இங்கே நாம் வகுப்பில் பட்டங்களைப் பெற்றுள்ளோம், அல்லது, கணித ரீதியாக, மடங்குகள். கூடுதலாக, காரணியாக்க முடியாத இருபடி முக்கோணம் உள்ளது (சமன்பாட்டின் பாகுபாடு என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது எதிர்மறையானது, எனவே முக்கோணத்தை காரணியாக்க முடியாது). என்ன செய்ய? அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவடைவது போல் இருக்கும் மேலே தெரியாத குணகங்கள் அல்லது வேறு ஏதாவது?

எடுத்துக்காட்டு 3

ஒரு செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துங்கள்

படி 1.எங்களிடம் சரியான பின்னம் இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கிறது
முக்கிய எண்: 2
வகுப்பின் அதிகபட்ச அளவு: 8
, அதாவது பின்னம் சரியானது.

படி 2.வகுத்தலில் ஏதாவது காரணியாக இருக்க முடியுமா? வெளிப்படையாக இல்லை, எல்லாம் ஏற்கனவே தீட்டப்பட்டது. மேலே கூறப்பட்ட காரணங்களுக்காக சதுர முக்கோணத்தை ஒரு தயாரிப்பாக விரிவாக்க முடியாது. ஹூட். வேலை குறைவு.

படி 3.ஒரு பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டை அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக கற்பனை செய்வோம்.
இந்த வழக்கில், விரிவாக்கம் பின்வரும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

நமது வகுப்பினைப் பார்ப்போம்:
ஒரு பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டை அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கும் போது, ​​மூன்று அடிப்படை புள்ளிகளை வேறுபடுத்தி அறியலாம்:

1) வகுப்பில் முதல் சக்திக்கு "தனிமை" காரணி இருந்தால் (எங்கள் விஷயத்தில்), பின்னர் காலவரையற்ற குணகத்தை மேலே வைக்கிறோம் (எங்கள் விஷயத்தில்). எடுத்துக்காட்டுகள் எண் 1, 2 அத்தகைய "தனிமையான" காரணிகளை மட்டுமே கொண்டிருந்தது.

2) வகுத்தல் இருந்தால் பலபெருக்கி, நீங்கள் அதை இவ்வாறு சிதைக்க வேண்டும்:
- அதாவது, "X" இன் அனைத்து டிகிரிகளையும் முதல் முதல் n வது பட்டம் வரை தொடர்ச்சியாகச் செல்லுங்கள். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் இரண்டு பல காரணிகள் உள்ளன: மற்றும் , நான் கொடுத்த விரிவாக்கத்தை மீண்டும் பாருங்கள் மற்றும் இந்த விதியின்படி அவை சரியாக விரிவுபடுத்தப்பட்டுள்ளன என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்.

3) வகுப்பில் இரண்டாவது பட்டத்தின் அழியாத பல்லுறுப்புக்கோவை இருந்தால் (எங்கள் விஷயத்தில்), பின்னர் எண்களில் சிதையும் போது நீங்கள் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டை எழுத வேண்டும் (எங்கள் விஷயத்தில் தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்கள் மற்றும் ).

உண்மையில், மற்றொரு 4 வது வழக்கு உள்ளது, ஆனால் நான் அதைப் பற்றி அமைதியாக இருப்பேன், ஏனெனில் நடைமுறையில் இது மிகவும் அரிதானது.

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துங்கள் அறியப்படாத குணகங்களுடன் கூடிய அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.
அல்காரிதத்தை கண்டிப்பாக பின்பற்றவும்!

நீங்கள் ஒரு பகுதியளவு-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டை ஒரு தொகையாக விரிவுபடுத்த வேண்டிய கொள்கைகளை நீங்கள் புரிந்து கொண்டால், பரிசீலனையில் உள்ள வகையின் எந்தவொரு ஒருங்கிணைப்பையும் நீங்கள் மெல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

படி 1.வெளிப்படையாக, பின்னம் சரியானது:

படி 2.வகுத்தலில் ஏதாவது காரணியாக இருக்க முடியுமா? முடியும். கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை இதோ . சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வகுப்பினைக் காரணியாக்கு

படி 3.காலவரையற்ற குணகங்களின் முறையைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவுபடுத்துகிறோம்:

பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் (பாகுபாடு எதிர்மறையாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்), எனவே மேலே நாம் அறியப்படாத குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டை வைக்கிறோம், ஒரு எழுத்து மட்டுமல்ல.

நாம் பின்னத்தை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

(1) நாம் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதை கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம் (இது மிகவும் பகுத்தறிவு வழி).

(2) இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இதே போன்ற சொற்களை முன்வைக்கிறோம்.

(3) கணினி காலத்தின் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளை கால அடிப்படையில் சேர்க்கிறோம்.

மேலும் அனைத்து கணக்கீடுகளும், கொள்கையளவில், வாய்வழி, ஏனெனில் அமைப்பு எளிமையானது.

(1) காணப்படும் குணகங்களுக்கு ஏற்ப பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையை எழுதுகிறோம்.

(2) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில் என்ன நடந்தது? பாடத்தின் கடைசி பத்தியில் இந்த முறையை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம். சில பின்னங்களை ஒருங்கிணைத்தல்.

(3) மீண்டும் நாம் நேர்கோட்டு பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பில் முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்தத் தொடங்குகிறோம் (பாடத்தின் இறுதிப் பத்தி சில பின்னங்களை ஒருங்கிணைத்தல்).

(4) நாம் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக்கொள்கிறோம், மூன்றில் நாம் முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.

(5) மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். தயார்.

இந்த தலைப்பில் வழங்கப்பட்ட பொருள் "பகுத்தறிவு பின்னங்கள். பகுத்தறிவு பின்னங்களை அடிப்படை (எளிய) பின்னங்களாக சிதைத்தல்" என்ற தலைப்பில் வழங்கப்பட்ட தகவலை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்தத் தலைப்பைப் படிப்பதற்கு முன், குறைந்தபட்சம் இந்தத் தலைப்பைப் படிக்குமாறு நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன். கூடுதலாக, காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை நமக்குத் தேவைப்படும்.

ஓரிரு சொற்களை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். அவை தொடர்புடைய தலைப்பில் விவாதிக்கப்பட்டன, எனவே இங்கே நான் ஒரு சுருக்கமான சூத்திரத்திற்கு என்னை மட்டுப்படுத்துகிறேன்.

இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதம் $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாடு அல்லது பகுத்தறிவு பின்னம் எனப்படும். பகுத்தறிவு பின்னம் என்று அழைக்கப்படுகிறது சரி, $n என்றால்< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется தவறு.

அடிப்படை (எளிமையான) பகுத்தறிவு பின்னங்கள் நான்கு வகைகளின் பகுத்தறிவு பின்னங்கள்:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

குறிப்பு (உரை பற்றிய முழுமையான புரிதலுக்கு விரும்பத்தக்கது): காட்டு\மறை

நிபந்தனை $p^2-4q ஏன் தேவை?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

எடுத்துக்காட்டாக, $x^2+5x+10$ வெளிப்பாட்டிற்கு நாம் பெறுவது: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 முதல்< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

மூலம், இந்தச் சரிபார்ப்புக்கு $x^2$க்கு முந்தைய குணகம் 1க்கு சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, $5x^2+7x-3=0$க்கு நாம் பெறுவது: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. $D > 0$ என்பதால், $5x^2+7x-3$ என்ற வெளிப்பாடு காரணிப்படுத்தக்கூடியது.

பகுத்தறிவு பின்னங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் (சரியான மற்றும் முறையற்றவை), அத்துடன் ஒரு பகுத்தறிவு பின்னத்தை அடிப்படைப் பகுதிகளாக சிதைப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் காணலாம். இங்கே நாம் அவர்களின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய கேள்விகளில் மட்டுமே ஆர்வமாக இருப்போம். அடிப்படை பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்புடன் ஆரம்பிக்கலாம். எனவே, மேலே உள்ள நான்கு வகையான அடிப்படை பின்னங்கள் ஒவ்வொன்றும் கீழே உள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைக்க எளிதானது. (2) மற்றும் (4) வகைகளின் பின்னங்களை ஒருங்கிணைக்கும்போது, ​​$n=2,3,4,\ldots$ என்று கருதப்படுவதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். சூத்திரங்கள் (3) மற்றும் (4) நிபந்தனையை $p^2-4q பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்< 0$.

\begin(சமன்பாடு) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \int \frac(Mx+N)(x^2) +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(சமன்பாடு)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$க்கு மாற்று $t=x+\frac(p)(2)$ ஆனது, அதன் பிறகு விளையும் இடைவெளி இரண்டாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. முதலாவது வேறுபட்ட குறியின் கீழ் உள்ளிடுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படும், இரண்டாவது $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும். இந்த ஒருங்கிணைப்பு மறுநிகழ்வு உறவைப் பயன்படுத்தி எடுக்கப்படுகிறது

\begin(சமன்பாடு) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(சமன்பாடு)

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பின் கணக்கீடு எடுத்துக்காட்டு எண் 7 இல் விவாதிக்கப்படுகிறது (மூன்றாம் பகுதியைப் பார்க்கவும்).

பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான திட்டம் (பகுத்தறிவு பின்னங்கள்):

1. ஒருங்கிணைப்பு ஆரம்பமானது என்றால், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தவும் (1)-(4).
2. ஒருங்கிணைப்பு அடிப்படையாக இல்லாவிட்டால், அதை அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கவும், பின்னர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைக்கவும் (1)-(4).

பகுத்தறிவு பின்னங்களை ஒருங்கிணைப்பதற்கான மேலே உள்ள வழிமுறை மறுக்க முடியாத நன்மையைக் கொண்டுள்ளது - இது உலகளாவியது. அந்த. இந்த அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் ஒருங்கிணைக்க முடியும் ஏதேனும்பகுத்தறிவு பின்னம். அதனால்தான் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பில் (யூலர், செபிஷேவ், உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று) மாறிகளின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து மாற்றங்களும் இந்த மாற்றத்திற்குப் பிறகு இடைவெளியின் கீழ் ஒரு பகுத்தறிவுப் பகுதியைப் பெறும் வகையில் செய்யப்படுகின்றன. பின்னர் அதற்கு அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தவும். ஒரு சிறிய குறிப்பை உருவாக்கிய பிறகு, இந்த வழிமுறையின் நேரடி பயன்பாட்டை எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

கொள்கையளவில், சூத்திரத்தின் இயந்திர பயன்பாடு இல்லாமல் இந்த ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுவது எளிது. ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து $7$ என்ற மாறிலியை எடுத்து $dx=d(x+9)$ என்று கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

விரிவான தகவலுக்கு, தலைப்பைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறேன். அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை இது விரிவாக விளக்குகிறது. மூலம், "கைமுறையாக" தீர்க்கும் போது இந்த பத்தியில் பயன்படுத்தப்பட்ட அதே மாற்றங்களால் சூத்திரம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

2) மீண்டும், இரண்டு வழிகள் உள்ளன: ஆயத்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் அல்லது அது இல்லாமல் செய்யவும். நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், $x$ (எண் 4) க்கு முன்னால் உள்ள குணகம் அகற்றப்பட வேண்டும் என்பதை நீங்கள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். இதைச் செய்ய, அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து இந்த நான்கை எடுத்துக்கொள்வோம்:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\வலது)\வலது)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\இடது(x+\frac(19)(4)\வலது)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\இடது(x+\frac(19)(4)\வலது)^8). $$

இப்போது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான நேரம் இது:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\இடது(x+\frac(19)(4)\வலது)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\இடது(x+\frac(19)(4) \வலது)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+சி. $$

நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாமல் செய்யலாம். மேலும் நிலையான $4$ ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்காமல் கூட. $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ என்று கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிவதற்கான விரிவான விளக்கங்கள் "பதிலீடு மூலம் ஒருங்கிணைப்பு (வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் மாற்றீடு)" என்ற தலைப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

3) நாம் $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ என்ற பகுதியை ஒருங்கிணைக்க வேண்டும். இந்தப் பின்னமானது $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ என்ற அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது, இங்கு $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. இருப்பினும், இது உண்மையில் மூன்றாவது வகையின் அடிப்படைப் பகுதி என்பதை உறுதிப்படுத்த, $p^2-4q நிபந்தனையின் பூர்த்தியைச் சரிபார்க்க வேண்டும்< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

அதே உதாரணத்தைத் தீர்ப்போம், ஆனால் ஆயத்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாமல். எண்களில் வகுப்பின் வழித்தோன்றலை தனிமைப்படுத்த முயற்சிப்போம். இதன் பொருள் என்ன? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ என்பது எங்களுக்குத் தெரியும். இது $2x+10$ என்ற சொற்றொடரையே நாம் எண்ணில் தனிமைப்படுத்த வேண்டும். இதுவரை எண்ணில் $4x+7$ மட்டுமே உள்ளது, ஆனால் இது நீண்ட காலம் நீடிக்காது, பின்வரும் மாற்றத்தை எண்ணுக்குப் பயன்படுத்துவோம்:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

இப்போது தேவையான எக்ஸ்பிரஷன் $2x+10$ எண்ணில் தோன்றும். எங்கள் ஒருங்கிணைப்பை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

ஒருங்கிணைப்பை இரண்டாகப் பிரிப்போம். சரி, மற்றும், அதன்படி, ஒருங்கிணைப்பும் "இரண்டாக" உள்ளது:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \வலது)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

முதலில் முதல் ஒருங்கிணைப்பு பற்றி பேசலாம், அதாவது. சுமார் $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ என்பதால், ஒருங்கிணைப்பின் எண் வகுப்பின் வேறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது. சுருக்கமாக, அதற்குப் பதிலாக $(2x+10)dx$ என்ற வெளிப்பாட்டின் $d(x^2+10x+34)$ என்று எழுதுகிறோம்.

இப்போது இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு பற்றி சில வார்த்தைகள் சொல்லலாம். வகுப்பில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்போம்: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. கூடுதலாக, நாங்கள் $dx=d(x+5)$ கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம். இப்போது நாம் முன்பு பெற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகை சற்று வித்தியாசமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) $$

முதல் ஒருங்கிணைப்பில் நாம் $u=x^2+10x+34$ என்று மாற்றினால், அது $\int\frac(du)(u)$ வடிவத்தை எடுக்கும், மேலும் இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் பெறலாம். . இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பைப் பொறுத்தவரை, $u=x+5$ மாற்றம் சாத்தியமாகும், அதன் பிறகு அது $\int\frac(du)(u^2+9)$ வடிவத்தை எடுக்கும். இது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து தூய பதினொன்றாவது சூத்திரமாகும். எனவே, ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு, எங்களிடம் உள்ளது:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும்போது அதே பதிலைப் பெற்றோம், இது கண்டிப்பாகச் சொன்னால் ஆச்சரியமில்லை. பொதுவாக, இந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய நாம் பயன்படுத்திய அதே முறைகளால் சூத்திரம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. கவனமுள்ள வாசகருக்கு இங்கே ஒரு கேள்வி இருக்கலாம் என்று நான் நம்புகிறேன், எனவே நான் அதை உருவாக்குவேன்:

கேள்வி எண். 1

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து ஒருங்கிணைந்த $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ வரை இரண்டாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

தீர்வில் ஏன் தொகுதி இல்லை?

கேள்வி எண் 1க்கான பதில்

கேள்வி முற்றிலும் இயற்கையானது. R$ இல் எந்த $x\க்கு $x^2+10x+34$ என்ற வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருப்பதால் மட்டுமே தொகுதி காணவில்லை. இது பல வழிகளில் காட்ட மிகவும் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ மற்றும் $(x+5)^2 ≥ 0$, பிறகு $(x+5)^2+9 > 0$ . ஒரு முழுமையான சதுரத்தின் தேர்வைப் பயன்படுத்தாமல், நீங்கள் வித்தியாசமாக சிந்திக்கலாம். $10^2-4\cdot 34=-16 முதல்< 0$, то $x^2+10x+34 >எந்த $x\in R$ க்கும் 0$ (இந்த தருக்கச் சங்கிலி ஆச்சரியமாக இருந்தால், இருபடி ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறையைப் பார்க்குமாறு நான் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறேன்). எப்படியிருந்தாலும், $x^2+10x+34 > 0$, பிறகு $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, அதாவது. தொகுதிக்கு பதிலாக, நீங்கள் வழக்கமான அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டு எண் 1 இன் அனைத்து புள்ளிகளும் தீர்க்கப்பட்டுள்ளன, பதிலை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது.

பதில்:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2

ஒருங்கிணைந்த $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ ஐக் கண்டறியவும்.

முதல் பார்வையில், ஒருங்கிணைந்த பின்னம் $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ மூன்றாம் வகையின் அடிப்படைப் பகுதிக்கு மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, அதாவது. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ மூலம். $x^2$ க்கு முன்னால் உள்ள $3$ இன் குணகம் மட்டுமே வித்தியாசம் என்று தெரிகிறது, ஆனால் குணகத்தை அகற்ற அதிக நேரம் எடுக்காது (அடைப்புக்கு வெளியே வைக்கவும்). இருப்பினும், இந்த ஒற்றுமை வெளிப்படையானது. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ என்ற பின்னத்திற்கு $p^2-4q நிபந்தனை கட்டாயம்< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$க்கு முன் எங்களின் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லை, எனவே $p^2-4q நிபந்தனையை சரிபார்க்கவும்< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, எனவே வெளிப்பாடு $3x^2-5x-2$ காரணியாக்கப்படலாம். இதன் பொருள் $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ என்பது மூன்றாம் வகையின் தனிமப் பின்னம் அல்ல, மேலும் $\int\frac(7x+12)(3x^2-) ) ஒருங்கிணைந்த 5x-2)dx$ சூத்திரம் சாத்தியமில்லை.

சரி, கொடுக்கப்பட்ட பகுத்தறிவு பின்னம் ஒரு அடிப்படை பின்னம் இல்லை என்றால், அது அடிப்படை பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக குறிப்பிடப்பட்டு பின்னர் ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டும். சுருக்கமாக, பாதையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். ஒரு பகுத்தறிவுப் பகுதியை அடிப்படைப் பகுதிகளாக எவ்வாறு சிதைப்பது என்பது விரிவாக எழுதப்பட்டுள்ளது. வகுப்பினை காரணியாக்குவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம்:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

இந்த வடிவத்தில் துணை இடைவெளியை நாங்கள் வழங்குகிறோம்:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2)). $$

இப்போது $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ என்ற பின்னத்தை அடிப்படையானவைகளாக சிதைப்போம்:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது))(\இடது(x+) \frac(1)(3)\வலது)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\இடது(x+\frac(1)( 3)\வலது). $$

குணகங்களைக் கண்டறிய $A$ மற்றும் $B$ இரண்டு நிலையான வழிகள் உள்ளன: தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் முறை மற்றும் பகுதி மதிப்புகளை மாற்றும் முறை. $x=2$ மற்றும் $x=-\frac(1)(3)$ ஆகியவற்றை மாற்றுவதன் மூலம் பகுதி மதிப்பு மாற்று முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\இடது(2+\frac(1)(3)\வலது); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\வலது)+B\இடது (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\வலது); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

குணகங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டதால், முடிக்கப்பட்ட விரிவாக்கத்தை எழுதுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

கொள்கையளவில், நீங்கள் இந்த பதிவை விட்டுவிடலாம், ஆனால் நான் மிகவும் துல்லியமான விருப்பத்தை விரும்புகிறேன்:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\இடது(x+\frac(1)(3)\வலது)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

அசல் ஒருங்கிணைப்புக்குத் திரும்பி, அதன் விளைவாக வரும் விரிவாக்கத்தை அதில் மாற்றுகிறோம். பின்னர் நாம் ஒருங்கிணைப்பை இரண்டாகப் பிரித்து, ஒவ்வொன்றிற்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலிகளை உடனடியாக வைக்க விரும்புகிறேன்:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\வலது|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

பதில்: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\வலது| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3

ஒருங்கிணைந்த $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ ஐக் கண்டறியவும்.

நாம் $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ என்ற பகுதியை ஒருங்கிணைக்க வேண்டும். எண் இரண்டாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் வகுப்பில் மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது. தொகுதியில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் பட்டம் வகுப்பில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவை விட குறைவாக இருப்பதால், அதாவது. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

நாம் செய்ய வேண்டியது, கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை மூன்றாகப் பிரித்து ஒவ்வொன்றிற்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலிகளை உடனடியாக வைக்க விரும்புகிறேன்:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

பதில்: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

இந்த தலைப்பின் எடுத்துக்காட்டுகளின் பகுப்பாய்வின் தொடர்ச்சி இரண்டாவது பகுதியில் அமைந்துள்ளது.

"ஒரு கணிதவியலாளர், ஒரு கலைஞர் அல்லது கவிஞரைப் போலவே, வடிவங்களை உருவாக்குகிறார். மேலும் அவரது வடிவங்கள் இன்னும் நிலையானதாக இருந்தால், அது கருத்துக்களால் ஆனது மட்டுமே... ஒரு கணிதவியலாளரின் வடிவங்கள், ஒரு கலைஞர் அல்லது ஒரு கவிஞரின் வடிவங்களைப் போலவே, அழகாக இருக்க வேண்டும்; கருத்துக்கள், வண்ணங்கள் அல்லது சொற்களைப் போலவே, ஒருவருக்கொருவர் ஒத்திருக்க வேண்டும். அழகு முதல் தேவை: அசிங்கமான கணிதத்திற்கு உலகில் இடமில்லை».

ஜி.எச்.ஹார்டி

முதல் அத்தியாயத்தில், அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்படுத்த முடியாத மிகவும் எளிமையான செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இது சம்பந்தமாக, அவற்றின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் அடிப்படை செயல்பாடுகள் என்று துல்லியமாகச் சொல்லக்கூடிய செயல்பாடுகளின் அந்த வகுப்புகள் மகத்தான நடைமுறை முக்கியத்துவத்தைப் பெறுகின்றன. இந்த வகை செயல்பாடுகள் அடங்கும் பகுத்தறிவு செயல்பாடுகள், இரண்டு இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதத்தைக் குறிக்கிறது. பல சிக்கல்கள் பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்புக்கு வழிவகுக்கும். எனவே, அத்தகைய செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்க முடியும் என்பது மிகவும் முக்கியம்.

2.1.1. பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடுகள்

பகுத்தறிவு பின்னம்(அல்லது பகுதியளவு பகுத்தறிவு செயல்பாடு) இரண்டு இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொடர்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது:

பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எங்கே மற்றும் உள்ளன.

அதை நினைவு கூர்வோம் பல்லுறுப்புக்கோவை (பல்லுறுப்புக்கோவை, முழு பகுத்தறிவு செயல்பாடு) nவது பட்டம்படிவத்தின் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது

எங்கே - உண்மையான எண்கள். உதாரணத்திற்கு,

- முதல் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை;

- நான்காவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை, முதலியன.

பகுத்தறிவு பின்னம் (2.1.1) அழைக்கப்படுகிறது சரி, பட்டம் பட்டத்தை விட குறைவாக இருந்தால், அதாவது. n<மீ, இல்லையெனில் பின்னம் அழைக்கப்படுகிறது தவறு.

எந்தவொரு முறையற்ற பின்னமும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை (முழுப் பகுதி) மற்றும் சரியான பின்னம் (பின்னமான பகுதி) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம்."மூலையில்" பல்லுறுப்புக்கோவைகளை பிரிப்பதற்கான விதியின்படி ஒரு முறையற்ற பின்னத்தின் முழு மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளை பிரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.1.1.பின்வரும் முறையற்ற பகுத்தறிவு பின்னங்களின் முழு மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளை அடையாளம் காணவும்:

A) , b) .

தீர்வு . a) "மூலை" பிரிவு அல்காரிதம் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

இவ்வாறு, நாம் பெறுகிறோம்

.

b) இங்கே நாம் “மூலை” பிரிவு அல்காரிதத்தையும் பயன்படுத்துகிறோம்:

இதன் விளைவாக, நாம் பெறுகிறோம்

.

சுருக்கமாகக் கூறுவோம். பொது வழக்கில், ஒரு பகுத்தறிவு பின்னத்தின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் சரியான பகுத்தறிவு பின்னம் என குறிப்பிடப்படுகிறது. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவது கடினம் அல்ல. எனவே, பின்வருவனவற்றில் நாம் முக்கியமாக சரியான பகுத்தறிவு பின்னங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

2.1.2. எளிமையான பகுத்தறிவு பின்னங்கள் மற்றும் அவற்றின் ஒருங்கிணைப்பு

சரியான பகுத்தறிவு பின்னங்களில், நான்கு வகைகள் உள்ளன, அவை வகைப்படுத்தப்படுகின்றன எளிமையான (தொடக்க) பகுத்தறிவு பின்னங்கள்:

ஒரு முழு எண் எங்கே, , அதாவது இருபடி முக்கோணம் உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

1 வது மற்றும் 2 வது வகைகளின் எளிய பின்னங்களை ஒருங்கிணைப்பது பெரிய சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

இப்போது 3 வது வகையின் எளிய பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம், ஆனால் 4 வது வகையின் பின்னங்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம்.

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம்

.

இந்த ஒருங்கிணைப்பு பொதுவாக வகுப்பின் சரியான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்துவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது. இதன் விளைவாக பின்வரும் படிவத்தின் ஒருங்கிணைந்த அட்டவணை உள்ளது

அல்லது .

எடுத்துக்காட்டு 2.1.2.ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:

A) , b) .

தீர்வு . a) இருபடி முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

b) ஒரு முழு சதுரத்தை ஒரு இருபடி முக்கோணத்திலிருந்து தனிமைப்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

இதனால்,

.

ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய

நீங்கள் தொகுதியில் வகுப்பின் வழித்தோன்றலைத் தனிமைப்படுத்தி, ஒருங்கிணைப்பை இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவுபடுத்தலாம்: அவற்றில் முதலாவது மாற்றீடு மூலம் தோற்றத்திற்கு வரும்

,

மற்றும் இரண்டாவது - மேலே விவாதிக்கப்பட்ட ஒன்றுக்கு.

எடுத்துக்காட்டு 2.1.3.ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:

.

தீர்வு . அதை கவனி . எண்களில் வகுப்பின் வழித்தோன்றலை தனிமைப்படுத்துவோம்:

முதல் ஒருங்கிணைப்பு மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது :

இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில், வகுப்பில் சரியான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்

இறுதியாக, நாம் பெறுகிறோம்

2.1.3. சரியான பகுத்தறிவு பின்னம் விரிவாக்கம்
எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு

ஏதேனும் சரியான பகுத்தறிவு பின்னம் எளிமையான பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒரு தனித்துவமான வழியில் குறிப்பிடப்படலாம். இதைச் செய்ய, வகுப்பினை காரணியாக்க வேண்டும். உயர் இயற்கணிதத்திலிருந்து ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் உண்மையான குணகங்களைக் கொண்டதாக அறியப்படுகிறது