வழிமுறைகள்

உங்களுக்கு மூன்று புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றை (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) எனக் குறிப்போம். இந்த புள்ளிகள் சிலவற்றின் முனைகள் என்று கருதப்படுகிறது முக்கோணம். அதன் பக்கங்களின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதே பணி - இன்னும் துல்லியமாக, இந்த பக்கங்கள் இருக்கும் அந்த கோடுகளின் சமன்பாடுகள். இந்த சமன்பாடுகள் இப்படி இருக்க வேண்டும்:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 எனவே, நீங்கள் கோண மதிப்புகள் k1, k2, k3 மற்றும் இடப்பெயர்வுகள் b1, b2, b3 ஆகியவற்றைக் கண்டறிய வேண்டும்.

புள்ளிகள் (x1, y1), (x2, y2) வழியாக செல்லும் கோட்டைக் கண்டறியவும். x1 = x2 எனில், விரும்பிய கோடு செங்குத்தாகவும் அதன் சமன்பாடு x = x1 ஆகவும் இருக்கும். y1 = y2 எனில், கோடு கிடைமட்டமாகவும் அதன் சமன்பாடு y = y1 ஆகவும் இருக்கும். பொதுவாக, இந்த ஆயத்தொலைவுகள் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போவதில்லை.

ஆயங்களை (x1, y1), (x2, y2) நேர்கோட்டின் பொது சமன்பாட்டில் மாற்றினால், நீங்கள் இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுவீர்கள்: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 ஒரு சமன்பாட்டை மற்றொன்றிலிருந்து கழித்து, k1க்கான சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, எனவே k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

ஏதேனும் அசல் சமன்பாடுகளில் நீங்கள் கண்டறிந்ததை மாற்றியமைத்து, b1க்கான வெளிப்பாட்டைக் கண்டறியவும்:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 என்பது x2 ≠ x1 என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருப்பதால், y1 ஐ (x2 - x1)/(x2 - x1) ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கலாம். பிறகு b1க்கு பின்வரும் வெளிப்பாடு கிடைக்கும்: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் மூன்றாவது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வரியில் உள்ளதா என சரிபார்க்கவும். இதைச் செய்ய, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டில் (x3, y3) மாற்றவும் மற்றும் சமத்துவம் உள்ளதா என்று பார்க்கவும். இது கவனிக்கப்பட்டால், மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டில் இருக்கும், மேலும் முக்கோணம் ஒரு பிரிவாக சிதைகிறது.

மேலே விவரிக்கப்பட்டதைப் போலவே, புள்ளிகள் (x2, y2), (x3, y3) மற்றும் (x1, y1), (x3, y3) வழியாக செல்லும் கோடுகளுக்கான சமன்பாடுகளைப் பெறவும்.

முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளால் கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கான சமன்பாடுகளின் இறுதி வடிவம்: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

கண்டுபிடிக்க சமன்பாடுகள் கட்சிகள் முக்கோணம், முதலில், ஒரு கோட்டின் திசை திசையன் s(m, n) மற்றும் கோட்டிற்குச் சொந்தமான சில புள்ளிகள் M0(x0, y0) தெரிந்தால் அதன் சமன்பாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்வியைத் தீர்க்க முயற்சிக்க வேண்டும்.

வழிமுறைகள்

ஒரு தன்னிச்சையான (மாறி, மிதக்கும்) புள்ளி М(x, y) ஐ எடுத்து, ஒரு திசையன் М0M =(x-x0, y-y0) (M0M(x-x0, y-y0) என எழுதவும்), இது வெளிப்படையாக கோலினியர் ஆக இருக்கும் (இணை) கே எஸ் மூலம். பின்னர், இந்த வெக்டார்களின் ஆயத்தொலைவுகள் விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்று முடிவு செய்யலாம், எனவே நாம் ஒரு நியமன நேர்கோட்டை உருவாக்கலாம்: (x-x0)/m = (y-y0)/n. இந்த விகிதமே சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும்.

மேலும் அனைத்து செயல்களும் முறையின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன .1வது முறை. ஒரு முக்கோணம் அதன் மூன்று முனைகளின் ஆயத்தொகுப்புகளால் வழங்கப்படுகிறது, பள்ளி வடிவவியலில் அதன் மூன்றின் நீளத்தால் வழங்கப்படுகிறது. கட்சிகள்(படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்). அதாவது, நிபந்தனையில் M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) புள்ளிகள் உள்ளன. அவை அவற்றின் ஆரம் திசையன்களுக்கு ஒத்திருக்கும்) OM1, 0M2 மற்றும் OM3 புள்ளிகளின் அதே ஆயத்தொலைவுகளுடன். பெறுவதற்காக சமன்பாடுகள் கட்சிகள் s M1M2 க்கு அதன் திசை திசையன் M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) மற்றும் M1 அல்லது M2 புள்ளிகளில் ஏதேனும் (இங்கே குறைந்த குறியீட்டுடன் புள்ளி எடுக்கப்படுகிறது) தேவைப்படுகிறது.

எனவே கட்சிகள் y M1M2 கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடு (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). முற்றிலும் தூண்டுதலாக செயல்படுவதால், நாம் எழுதலாம் சமன்பாடுகள்மீதமுள்ளவை கட்சிகள்.அதற்காக கட்சிகள் s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). க்கு கட்சிகள் s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2வது முறை. முக்கோணம் இரண்டு புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது (முன் M1(x1, y1) மற்றும் M2(x2, y2)) மற்றும் மற்ற இரண்டின் திசைகளின் அலகு திசையன்கள் கட்சிகள். க்கு கட்சிகள் s М2M3: p^0(m1, n1). M1M3க்கு: q^0(m2, n2). எனவே கட்சிகள் s M1M2 முதல் முறையைப் போலவே இருக்கும்: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

க்கு கட்சிகள்நியதியின் ஒரு புள்ளியாக (x0, y0) s М2M3 சமன்பாடுகள்(x1, y1), மற்றும் திசை திசையன் p^0(m1, n1) ஆகும். க்கு கட்சிகள் s M1M3, (x2, y2) புள்ளியாக (x0, y0) எடுக்கப்படுகிறது, திசை திசையன் q^0(m2, n2). எனவே, M2M3க்கு: சமன்பாடு (x-x1)/m1=(y-y1)/n1: M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

தலைப்பில் வீடியோ

உதவிக்குறிப்பு 3: புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டால் முக்கோணத்தின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

உயரம் என்பது உருவத்தின் மேற்பகுதியை எதிர் பக்கத்துடன் இணைக்கும் நேர்கோட்டுப் பிரிவாகும். இந்த பிரிவு பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் ஒன்றை மட்டுமே வரைய முடியும் உயரம். இந்த படத்தில் மூன்று செங்குத்துகள் இருப்பதால், அதே எண்ணிக்கையிலான உயரங்கள் உள்ளன. ஒரு முக்கோணம் அதன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளால் கொடுக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு உயரத்தின் நீளத்தையும் கணக்கிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பக்கங்களின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்.

வழிமுறைகள்

பக்கங்களின் நீளத்தை கணக்கிடுவதன் மூலம் தொடங்கவும் முக்கோணம். நியமிக்கவும் ஒருங்கிணைப்புகள்இது போன்ற புள்ளிவிவரங்கள்: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) மற்றும் C(X₃,Y₃,Z₃). பிறகு AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி AB பக்கத்தின் நீளத்தைக் கணக்கிடலாம். மற்ற இரண்டு பக்கங்களுக்கு இவை இப்படி இருக்கும்: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) மற்றும் AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁ -Y₃ )² + (Z₁-Z₃)²). உதாரணமாக, க்கான முக்கோணம் A(3,5,7), B(16,14,19) மற்றும் C(1,2,13) ​​ஆகிய ஆயங்களுடன் AB பக்கத்தின் நீளம் √((3-16)² + (5-14) ஆக இருக்கும் )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19.85. அதே வழியில் கணக்கிடப்பட்ட BC மற்றும் AC பக்கங்களின் நீளம் √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20.12 மற்றும் √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7 ஆக இருக்கும்.

முந்தைய கட்டத்தில் பெறப்பட்ட மூன்று பக்கங்களின் நீளத்தை அறிந்தால் பகுதியை கணக்கிட போதுமானது முக்கோணம்(S) ஹெரானின் சூத்திரத்தின்படி: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). எடுத்துக்காட்டாக, இந்த சூத்திரத்தில் ஆயங்களிலிருந்து பெறப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுதல் முக்கோணம்முந்தைய படியிலிருந்து மாதிரி, இது மதிப்பைக் கொடுக்கும்: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ≈ ¼*√75768.55 ≈ ¼*275.26 = 68.815 .

பரப்பளவை அடிப்படையாகக் கொண்டது முக்கோணம், முந்தைய கட்டத்தில் கணக்கிடப்பட்டது, மற்றும் இரண்டாவது கட்டத்தில் பெறப்பட்ட பக்கங்களின் நீளம், ஒவ்வொரு பக்கத்திற்கும் உயரங்களைக் கணக்கிடுங்கள். பரப்பளவு உயரத்தின் பாதி தயாரிப்புக்கும், அது வரையப்பட்ட பக்கத்தின் நீளத்திற்கும் சமமாக இருப்பதால், உயரத்தைக் கண்டறிய, இரட்டிப்பான பகுதியை விரும்பிய பக்கத்தின் நீளத்தால் பிரிக்கவும்: H = 2*S/a. மேலே பயன்படுத்தப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், AB பக்கத்திற்கு குறைக்கப்பட்ட உயரம் 2*68.815/16.09 ≈ 8.55 ஆகவும், BC க்கு பக்கத்தின் உயரம் 2*68.815/20.12 ≈ 6.84 ஆகவும், பக்க AC க்கு இந்த மதிப்பு சமமாக இருக்கும் 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

ஆதாரங்கள்:

• கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியும்

உதவிக்குறிப்பு 4: ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் சமன்பாடுகளைக் கண்டறிய அதன் முனைகளின் ஆயங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது

பகுப்பாய்வு வடிவவியலில், ஒரு விமானத்தில் ஒரு முக்கோணத்தை ஒரு கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரையறுக்கலாம். செங்குத்துகளின் ஆயங்களை அறிந்து, முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு சமன்பாடுகளை உருவாக்கலாம். இவை மூன்று நேர் கோடுகளின் சமன்பாடுகளாக இருக்கும், அவை வெட்டும் ஒரு உருவத்தை உருவாக்குகின்றன.

பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் சிக்கல்களைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது எப்படி?
ஒரு விமானத்தில் ஒரு முக்கோணத்தில் பொதுவான பிரச்சனை

இந்த பாடம் விமானத்தின் வடிவவியலுக்கும் விண்வெளியின் வடிவவியலுக்கும் இடையில் பூமத்திய ரேகையின் அணுகுமுறையில் உருவாக்கப்பட்டது. இந்த நேரத்தில், திரட்டப்பட்ட தகவல்களை முறைப்படுத்தி, மிக முக்கியமான கேள்விக்கு பதிலளிக்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது: பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் சிக்கல்களைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது எப்படி?சிரமம் என்னவென்றால், நீங்கள் வடிவவியலில் எண்ணற்ற சிக்கல்களைக் கொண்டு வர முடியும், மேலும் எந்தப் பாடப்புத்தகத்திலும் எல்லா வகையிலும் பல்வேறு எடுத்துக்காட்டுகளும் இருக்காது. இல்லை ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்ஐந்து வேறுபாடு விதிகள், ஒரு அட்டவணை மற்றும் பல நுட்பங்களுடன்….

ஒரு தீர்வு இருக்கிறது! நான் ஒருவித பிரமாண்டமான நுட்பத்தை உருவாக்கியுள்ளேன் என்ற உண்மையைப் பற்றி நான் சத்தமாக பேசமாட்டேன், இருப்பினும், என் கருத்துப்படி, பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கலுக்கு ஒரு பயனுள்ள அணுகுமுறை உள்ளது, இது ஒரு முழுமையான போலி கூட நல்ல மற்றும் சிறந்த முடிவுகளை அடைய அனுமதிக்கிறது. குறைந்தபட்சம், வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான வழிமுறை என் தலையில் மிகத் தெளிவாக வடிவம் பெற்றது.

நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியவை மற்றும் செய்யக்கூடியவை
வடிவியல் சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்ப்பதற்கு?

இதிலிருந்து தப்பிக்க முடியாது - உங்கள் மூக்குடன் பொத்தான்களை தோராயமாக குத்தாமல் இருக்க, நீங்கள் பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் அடிப்படைகளை மாஸ்டர் செய்ய வேண்டும். எனவே, நீங்கள் வடிவவியலைப் படிக்கத் தொடங்கியிருந்தால் அல்லது அதை முற்றிலும் மறந்துவிட்டால், தயவுசெய்து பாடத்துடன் தொடங்கவும். டம்மிகளுக்கான திசையன்கள். திசையன்கள் மற்றும் அவற்றுடனான செயல்களுக்கு கூடுதலாக, விமான வடிவவியலின் அடிப்படைக் கருத்துகளை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும், குறிப்பாக, ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடுமற்றும் . விண்வெளியின் வடிவியல் கட்டுரைகளில் வழங்கப்படுகிறது விமானச் சமன்பாடு, விண்வெளியில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடுகள், ஒரு நேர் கோட்டில் அடிப்படை பிரச்சனைகள் மற்றும் ஒரு விமானம் மற்றும் வேறு சில பாடங்கள். இரண்டாவது வரிசையின் வளைந்த கோடுகள் மற்றும் இடஞ்சார்ந்த மேற்பரப்புகள் சற்று விலகி நிற்கின்றன, மேலும் அவற்றில் பல குறிப்பிட்ட சிக்கல்கள் இல்லை.

பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் எளிய சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் மாணவர் ஏற்கனவே அடிப்படை அறிவு மற்றும் திறன்களைக் கொண்டிருக்கிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஆனால் இது இப்படி நடக்கிறது: நீங்கள் பிரச்சனையின் அறிக்கையைப் படிக்கிறீர்கள், மேலும் ... நீங்கள் முழு விஷயத்தையும் முழுவதுமாக மூடிவிட விரும்புகிறீர்கள், அதை தொலைதூர மூலையில் தூக்கி எறிந்துவிட்டு, கெட்ட கனவு போல மறந்துவிடுவீர்கள். மேலும், இது அடிப்படையில் உங்கள் தகுதிகளின் அளவைச் சார்ந்து இல்லை; இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்வது? நீங்கள் புரிந்து கொள்ளாத ஒரு பணியைப் பற்றி பயப்படத் தேவையில்லை!

முதலில், நிறுவப்பட வேண்டும் - இது ஒரு "பிளாட்" அல்லது இடஞ்சார்ந்த பிரச்சனையா?எடுத்துக்காட்டாக, நிபந்தனை இரண்டு ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன்களை உள்ளடக்கியிருந்தால், நிச்சயமாக, இது ஒரு விமானத்தின் வடிவவியலாகும். ஆசிரியர் நன்றியுள்ள கேட்பவரை ஒரு பிரமிடுடன் ஏற்றினால், விண்வெளியின் வடிவியல் தெளிவாக உள்ளது. முதல் படியின் முடிவுகள் ஏற்கனவே நன்றாக உள்ளன, ஏனென்றால் இந்த பணிக்கு தேவையற்ற ஒரு பெரிய அளவிலான தகவலை நாங்கள் துண்டிக்க முடிந்தது!

இரண்டாவது. இந்த நிலை பொதுவாக சில வடிவியல் உருவத்துடன் உங்களைப் பற்றி கவலைப்படும். உண்மையில், உங்கள் சொந்த பல்கலைக்கழகத்தின் தாழ்வாரங்களில் நடந்து செல்லுங்கள், நீங்கள் நிறைய கவலையான முகங்களைக் காண்பீர்கள்.

"பிளாட்" சிக்கல்களில், வெளிப்படையான புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளைக் குறிப்பிடாமல், மிகவும் பிரபலமான உருவம் ஒரு முக்கோணமாகும். அதை மிக விரிவாக அலசுவோம். அடுத்து இணையான வரைபடம் வருகிறது, மேலும் செவ்வகம், சதுரம், ரோம்பஸ், வட்டம் மற்றும் பிற வடிவங்கள் மிகவும் குறைவான பொதுவானவை.

இடஞ்சார்ந்த சிக்கல்களில், அதே தட்டையான உருவங்கள் + விமானங்கள் மற்றும் பொதுவான முக்கோண பிரமிடுகள் இணையான குழாய்களுடன் பறக்க முடியும்.

கேள்வி இரண்டு - இந்த உருவத்தைப் பற்றி உங்களுக்கு எல்லாம் தெரியுமா?நிலை ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தைப் பற்றி பேசுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அது என்ன வகையான முக்கோணம் என்பதை நீங்கள் மிகவும் தெளிவற்ற முறையில் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள். பள்ளிப் பாடப்புத்தகத்தைத் திறந்து சமபக்க முக்கோணத்தைப் பற்றிப் படிக்கிறோம். என்ன செய்வது... டாக்டர் ரோம்பஸ், அதாவது ரோம்பஸ் என்றார். பகுப்பாய்வு வடிவியல் என்பது பகுப்பாய்வு வடிவியல், ஆனால் புள்ளிவிவரங்களின் வடிவியல் பண்புகளால் சிக்கல் தீர்க்கப்படும், பள்ளி பாடத்திட்டத்திலிருந்து எங்களுக்குத் தெரியும். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், நீங்கள் நீண்ட காலமாக பாதிக்கப்படலாம்.

மூன்றாவது. எப்போதும் வரைபடத்தைப் பின்பற்ற முயற்சிக்கவும்(ஒரு வரைவு/முடிவு நகலில்/மனநிலையில்), இது நிபந்தனையின்படி தேவைப்படாவிட்டாலும் கூட. "தட்டையான" சிக்கல்களில், யூக்ளிட் ஒரு ஆட்சியாளரையும் பென்சிலையும் எடுக்க உத்தரவிட்டார் - மேலும் நிலைமையைப் புரிந்துகொள்வதற்காக மட்டுமல்லாமல், சுய பரிசோதனையின் நோக்கத்திற்காகவும். இந்த வழக்கில், மிகவும் வசதியான அளவு 1 அலகு = 1 செமீ (2 நோட்புக் செல்கள்) ஆகும். கவனக்குறைவான மாணவர்கள் மற்றும் கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் கல்லறைகளில் சுழல்வதைப் பற்றி பேச வேண்டாம் - இதுபோன்ற பிரச்சினைகளில் தவறு செய்வது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது. இடஞ்சார்ந்த பணிகளுக்கு, நாங்கள் ஒரு திட்ட வரைபடத்தை செய்கிறோம், இது நிலைமையை பகுப்பாய்வு செய்ய உதவும்.

ஒரு வரைதல் அல்லது திட்டவட்டமான வரைதல் பெரும்பாலும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான வழியைக் காண உங்களை அனுமதிக்கிறது. நிச்சயமாக, இதற்காக நீங்கள் வடிவவியலின் அடித்தளத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் வடிவியல் வடிவங்களின் பண்புகளை புரிந்து கொள்ள வேண்டும் (முந்தைய பத்தியைப் பார்க்கவும்).

நான்காவது. தீர்வு வழிமுறையின் வளர்ச்சி. பல வடிவியல் சிக்கல்கள் பல படிகள், எனவே தீர்வு மற்றும் அதன் வடிவமைப்பு புள்ளிகளாக உடைக்க மிகவும் வசதியானது. நீங்கள் நிபந்தனையைப் படித்ததும் அல்லது வரைபடத்தை முடித்ததும் பெரும்பாலும் அல்காரிதம் உடனடியாக நினைவுக்கு வரும். சிரமங்கள் ஏற்பட்டால், பணியின் கேள்வியுடன் தொடங்குகிறோம். உதாரணமாக, "நீங்கள் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்க வேண்டும் ..." நிபந்தனையின் படி. இங்கே மிகவும் தர்க்கரீதியான கேள்வி: "இந்த நேர்கோட்டை உருவாக்க என்ன தெரிந்து கொள்ள போதுமானது?" "எங்களுக்கு புள்ளி தெரியும், திசை வெக்டரை நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்" என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்வரும் கேள்வியை நாங்கள் கேட்கிறோம்: "இந்த திசை திசையன் எப்படி கண்டுபிடிப்பது? எங்கே?" முதலியன

சில நேரங்களில் ஒரு "பிழை" உள்ளது - பிரச்சனை தீர்க்கப்படவில்லை, அவ்வளவுதான். நிறுத்தத்திற்கான காரணங்கள் பின்வருமாறு இருக்கலாம்:

- அடிப்படை அறிவில் கடுமையான இடைவெளி. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உங்களுக்குத் தெரியாது மற்றும்/அல்லது சில எளிய விஷயங்களைக் காணவில்லை.

- வடிவியல் உருவங்களின் பண்புகள் பற்றிய அறியாமை.

- பணி கடினமாக இருந்தது. ஆம், அது நடக்கும். மணிக்கணக்கில் வேகவைத்து, கைக்குட்டையில் கண்ணீரைச் சேகரிப்பதில் அர்த்தமில்லை. உங்கள் ஆசிரியர், சக மாணவர்களிடம் ஆலோசனை பெறவும் அல்லது மன்றத்தில் கேள்வி கேட்கவும். மேலும், அதன் அறிக்கையை உறுதிபடுத்துவது நல்லது - நீங்கள் புரிந்து கொள்ளாத தீர்வின் அந்த பகுதியைப் பற்றி. "பிரச்சனையை எவ்வாறு தீர்ப்பது?" என்ற வடிவத்தில் ஒரு அழுகை. மிகவும் நன்றாக இல்லை... மற்றும், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, உங்கள் சொந்த நற்பெயருக்காக.

நிலை ஐந்து. நாங்கள் முடிவு-சரிபார்த்து, முடிவு-சரிபார்த்து, முடிவு-சரிபார்த்து-ஒரு பதிலைக் கொடுக்கிறோம். பணியின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் சரிபார்ப்பது நன்மை பயக்கும் அது முடிந்த உடனேயே. இது உடனடியாக பிழையைக் கண்டறிய உதவும். இயற்கையாகவே, முழு சிக்கலையும் விரைவாக தீர்ப்பதை யாரும் தடைசெய்யவில்லை, ஆனால் எல்லாவற்றையும் மீண்டும் எழுதும் ஆபத்து உள்ளது (பெரும்பாலும் பல பக்கங்கள்).

இவை, ஒருவேளை, சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது பின்பற்ற வேண்டிய அனைத்து முக்கியக் கருத்தாகும்.

பாடத்தின் நடைமுறை பகுதி விமான வடிவவியலில் வழங்கப்படுகிறது. இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் மட்டுமே இருக்கும், ஆனால் அது போதுமானதாகத் தெரியவில்லை =)

எனது சிறிய அறிவியல் வேலையில் நான் பார்த்த வழிமுறையின் நூலைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூன்று முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. மேலே கண்டுபிடிக்கவும்.

புரிந்து கொள்ள ஆரம்பிக்கலாம்:

முதல் படி: நாம் ஒரு "பிளாட்" பிரச்சனை பற்றி பேசுகிறோம் என்பது வெளிப்படையானது.

படி இரண்டு: சிக்கல் ஒரு இணையான வரைபடத்தைக் கையாள்கிறது. இந்த இணையான வரைபடம் அனைவருக்கும் நினைவிருக்கிறதா? புன்னகைக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை, பலர் 30-40-50 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வயதில் தங்கள் கல்வியைப் பெறுகிறார்கள், எனவே எளிய உண்மைகள் கூட நினைவகத்திலிருந்து அழிக்கப்படும். ஒரு இணையான வரைபடத்தின் வரையறை பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண் 3 இல் காணப்படுகிறது திசையன்களின் நேரியல் (அல்லாத) சார்பு. திசையன்களின் அடிப்படை.

படி மூன்று: தெரிந்த மூன்று செங்குத்துகளைக் குறிக்கும் வரைதல் ஒன்றை உருவாக்குவோம். விரும்பிய புள்ளியை உடனடியாக உருவாக்குவது கடினம் அல்ல என்பது வேடிக்கையானது:

அதை நிர்மாணிப்பது நிச்சயமாக நல்லது, ஆனால் தீர்வு பகுப்பாய்வு முறையில் உருவாக்கப்பட வேண்டும்.

படி நான்கு: தீர்வு வழிமுறையின் வளர்ச்சி. மனதில் வரும் முதல் விஷயம் என்னவென்றால், ஒரு புள்ளியை கோடுகளின் குறுக்குவெட்டாகக் காணலாம். அவற்றின் சமன்பாடுகள் எங்களுக்குத் தெரியாது, எனவே இந்த சிக்கலை நாங்கள் சமாளிக்க வேண்டும்:

1) எதிர் பக்கங்கள் இணையாக உள்ளன. புள்ளிகள் மூலம் இந்தப் பக்கங்களின் திசை வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம். வகுப்பில் விவாதிக்கப்பட்ட எளிய பிரச்சனை இது. டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்.

குறிப்பு: "ஒரு பக்கத்தைக் கொண்ட ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு" என்று சொல்வது மிகவும் சரியானது, ஆனால் இங்கே மேலும் சுருக்கமாக நான் "ஒரு பக்கத்தின் சமன்பாடு", "ஒரு பக்கத்தின் திசை திசையன்" போன்ற சொற்றொடர்களைப் பயன்படுத்துவேன்.

3) எதிர் பக்கங்கள் இணையாக உள்ளன. புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி, இந்த பக்கங்களின் திசை வெக்டரைக் காண்கிறோம்.

4) ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்

1-2 மற்றும் 3-4 பத்திகளில், நாங்கள் உண்மையில் இரண்டு முறை அதே சிக்கலைத் தீர்த்தோம், இது பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண் 3 இல் விவாதிக்கப்பட்டது ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டில் எளிமையான சிக்கல்கள். நீண்ட பாதையில் செல்ல முடிந்தது - முதலில் கோடுகளின் சமன்பாடுகளைக் கண்டுபிடித்து, அவற்றிலிருந்து திசை திசையன்களை "வெளியே இழுக்கவும்".

5) இப்போது கோடுகளின் சமன்பாடுகள் தெரியும். நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொடர்புடைய அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்பதே எஞ்சியுள்ளது (அதே பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண். 4, 5 ஐப் பார்க்கவும் ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டில் எளிமையான சிக்கல்கள்).

புள்ளி கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது.

பணி மிகவும் எளிமையானது மற்றும் அதன் தீர்வு வெளிப்படையானது, ஆனால் ஒரு குறுகிய வழி உள்ளது!

இரண்டாவது தீர்வு:

ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்கள் அவற்றின் வெட்டும் புள்ளியால் பிரிக்கப்படுகின்றன. நான் புள்ளியைக் குறித்தேன், ஆனால் வரைபடத்தை ஒழுங்கீனம் செய்யக்கூடாது என்பதற்காக, நான் மூலைவிட்டங்களை வரையவில்லை.

பக்கப் புள்ளியின் சமன்பாட்டை புள்ளி வாரியாக உருவாக்குவோம் :

சரிபார்க்க, நீங்கள் மனரீதியாக அல்லது வரைவில் ஒவ்வொரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டில் மாற்ற வேண்டும். இப்போது சரிவைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, பொதுவான சமன்பாட்டை சாய்வு குணகத்துடன் சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

எனவே, சாய்வு:

இதேபோல், பக்கங்களின் சமன்பாடுகளைக் காண்கிறோம். ஒரே விஷயத்தை விவரிப்பதில் அதிக அர்த்தத்தை நான் காணவில்லை, எனவே முடிக்கப்பட்ட முடிவை உடனடியாக தருகிறேன்:

2) பக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறியவும். இது வகுப்பில் உள்ள எளிய பிரச்சனை. டம்மிகளுக்கான திசையன்கள். புள்ளிகளுக்கு நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மற்ற பக்கங்களின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. வழக்கமான ஆட்சியாளர் மூலம் காசோலை மிக விரைவாக செய்யப்படலாம்.

நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் .

திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இதனால்:

வழியில், வழியில் நாங்கள் பக்கங்களின் நீளங்களைக் கண்டோம்.

அதன் விளைவாக:

சரி, அது உண்மையாக இருப்பதாகத் தெரிகிறது, நீங்கள் மூலையில் ஒரு ப்ரொட்ராக்டரை இணைக்கலாம்.

கவனம்! ஒரு முக்கோணத்தின் கோணத்தை நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்துடன் குழப்ப வேண்டாம். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணம் மழுங்கலாக இருக்கலாம், ஆனால் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் முடியாது (கட்டுரையின் கடைசி பத்தியைப் பார்க்கவும் ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டில் எளிமையான சிக்கல்கள்) இருப்பினும், ஒரு முக்கோணத்தின் கோணத்தைக் கண்டறிய, மேலே உள்ள பாடத்தில் உள்ள சூத்திரங்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் கடினத்தன்மை என்னவென்றால், அந்த சூத்திரங்கள் எப்போதும் கடுமையான கோணத்தைக் கொடுக்கும். அவர்களின் உதவியுடன், நான் இந்த சிக்கலை வரைவில் தீர்த்தேன் மற்றும் முடிவைப் பெற்றேன். இறுதிப் பிரதியில் நான் கூடுதல் சாக்குகளை எழுத வேண்டும், என்று .

4) கோட்டிற்கு இணையான ஒரு புள்ளி வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

நிலையான பணி, பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண். 2 இல் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டது ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டில் எளிமையான சிக்கல்கள். வரியின் பொதுவான சமன்பாட்டிலிருந்து வழிகாட்டி வெக்டரை வெளியே எடுப்போம். ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

ஒரு முக்கோணத்தின் உயரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

5) உயரத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கி அதன் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

கடுமையான வரையறைகளிலிருந்து தப்பிக்க முடியாது, எனவே நீங்கள் பள்ளி பாடப்புத்தகத்திலிருந்து திருட வேண்டும்:

முக்கோண உயரம் முக்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து எதிர் பக்கத்தைக் கொண்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக வரையப்பட்டது.

அதாவது, உச்சியில் இருந்து பக்கமாக வரையப்பட்ட செங்குத்தாக ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம். இந்த பணி பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண் 6, 7 இல் விவாதிக்கப்படுகிறது ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டில் எளிமையான சிக்கல்கள். Eq இலிருந்து சாதாரண திசையன் அகற்றவும். ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி உயர சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் எங்களுக்குத் தெரியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

சில நேரங்களில் உயர சமன்பாடு செங்குத்து கோடுகளின் கோண குணகங்களின் விகிதத்தில் காணப்படுகிறது: . இந்த வழக்கில், பின்னர்: . ஒரு புள்ளி மற்றும் கோணக் குணகத்தைப் பயன்படுத்தி உயரச் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் (பாடத்தின் தொடக்கத்தைப் பார்க்கவும் ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு):

உயரத்தின் நீளத்தை இரண்டு வழிகளில் காணலாம்.

ஒரு சுற்று வழி உள்ளது:

a) கண்டுபிடி - உயரம் மற்றும் பக்கத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி;
b) அறியப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

ஆனால் வகுப்பில் ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டில் எளிமையான சிக்கல்கள்ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்திற்கான வசதியான சூத்திரம் கருதப்பட்டது. புள்ளி அறியப்படுகிறது: , கோட்டின் சமன்பாடும் அறியப்படுகிறது: , இதனால்:

6) முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள். விண்வெளியில், ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பாரம்பரியமாக கணக்கிடப்படுகிறது திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு, ஆனால் இங்கே ஒரு விமானத்தில் ஒரு முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. நாங்கள் பள்ளி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
- ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் அடிப்பகுதி மற்றும் அதன் உயரத்தின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம்.

இந்த வழக்கில்:

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

7) இடைநிலைக்கு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலை ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சியை எதிர் பக்கத்தின் நடுவில் இணைக்கும் பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

a) புள்ளியைக் கண்டுபிடி - பக்கத்தின் நடுப்பகுதி. நாம் பயன்படுத்த ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொகுதிகளுக்கான சூத்திரங்கள். பிரிவின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் அறியப்படுகின்றன: , பின்னர் நடுவின் ஆயத்தொலைவுகள்:

இதனால்:

இடைநிலை சமன்பாட்டை புள்ளி வாரியாக உருவாக்குவோம் :

சமன்பாட்டைச் சரிபார்க்க, நீங்கள் புள்ளிகளின் ஆயங்களை அதில் மாற்ற வேண்டும்.

8) உயரம் மற்றும் இடைநிலை வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும். ஃபிகர் ஸ்கேட்டிங்கின் இந்த உறுப்பை விழாமல் எப்படிச் செய்வது என்பதை அனைவரும் ஏற்கனவே கற்றுக்கொண்டதாக நான் நினைக்கிறேன்:

"ஒரு விமானத்தில் பகுப்பாய்வு வடிவியல்" என்ற நிலையான வேலையிலிருந்து சில பணிகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன,
,
முக்கோணம் ஏபிசி. கண்டுபிடி:

ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களின் சமன்பாடுகள்;

ஒரு முக்கோணத்தை வரையறுக்கும் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு ஏபிசி;

உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் உயரம், இடைநிலை மற்றும் இருபக்கத்தின் சமன்பாடுகள் ஏ;

முக்கோணத்தின் உயரங்களின் வெட்டுப்புள்ளி;

முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளி;

உயரத்தின் நீளம் பக்கவாட்டில் குறைக்கப்பட்டது ஏபி;

மூலை ஏ;

ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

முக்கோணத்தின் முனைகளில் ஆயத்தொலைவுகள் இருக்கட்டும்: ஏ (1; 4), IN (5; 3), உடன்(3; 6). உடனே ஒரு வரைபடத்தை வரைவோம்:

1. ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்துப் பக்கங்களின் சமன்பாடுகளையும் எழுத, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளை ஆயத்தொலைவுகளுடன் கடந்து செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம் ( எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 ) மற்றும் ( எக்ஸ் 1 , ஒய் 1 ):

=

எனவே, பதிலாக ( எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 ) புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் ஏ, மற்றும் அதற்கு பதிலாக ( எக்ஸ் 1 , ஒய் 1 ) புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் IN, கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் ஏபி:

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு நேர்கோட்டின் சமன்பாடாக இருக்கும் ஏபி, பொது வடிவத்தில் எழுதப்பட்டது. இதேபோல், நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம் ஏசி:

மேலும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு சூரியன்:

2. முக்கோணத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பு என்பதைக் கவனியுங்கள் ஏபிசிமூன்று அரை-தளங்களின் குறுக்குவெட்டைக் குறிக்கிறது, மேலும் ஒவ்வொரு அரை-தளத்தையும் நேரியல் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கலாம். இரண்டு பக்கங்களின் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால் ∆ ஏபிசி, உதாரணத்திற்கு ஏபி, பின்னர் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

மற்றும்

ஒரு கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் அமைந்துள்ள புள்ளிகளை வரையறுக்கவும் ஏபி. புள்ளி C அமைந்துள்ள அரை-தளத்தை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும், அதன் ஒருங்கிணைப்புகளை இரு ஏற்றத்தாழ்வுகளிலும் மாற்றுவோம்:

இரண்டாவது சமத்துவமின்மை சரியாக இருக்கும், அதாவது தேவையான புள்ளிகள் சமத்துவமின்மையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன

.

நாம் நேர்கோடு BC, அதன் சமன்பாட்டுடன் அதையே செய்கிறோம்
. ஒரு சோதனை புள்ளியாக A (1, 1) ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இதன் பொருள் தேவையான சமத்துவமின்மை வடிவம் உள்ளது:

.

நேர் கோடு AC (சோதனை புள்ளி B) ஐச் சரிபார்த்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

இதன் பொருள் தேவையான சமத்துவமின்மை வடிவம் கொண்டிருக்கும்

நாம் இறுதியாக ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

"≤", "≥" அறிகுறிகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் இருக்கும் புள்ளிகளும் முக்கோணத்தை உருவாக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. ஏபிசி.

3. அ) உச்சியில் இருந்து இறக்கப்பட்ட உயரத்திற்கான சமன்பாட்டைக் கண்டறியும் பொருட்டு ஏபக்கத்திற்கு சூரியன், பக்கத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் சூரியன்:
. ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன்
பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக சூரியன்எனவே உயரத்திற்கு இணையாக. ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம் ஏவெக்டருக்கு இணையாக
:

t இல் இருந்து விடுபட்ட உயரத்திற்கான சமன்பாடு இதுவாகும். ஏபக்கத்திற்கு சூரியன்.

b) பக்கத்தின் நடுப்பகுதியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும் சூரியன்சூத்திரங்களின் படி:

இங்கே
- இவை t இன் ஆயத்தொலைவுகள். IN, ஏ
– ஒருங்கிணைப்புகள் டி. உடன். பதிலீடு செய்து பெறுவோம்:

இந்த புள்ளி மற்றும் புள்ளி வழியாக செல்லும் நேர்கோடு ஏதேவையான சராசரி:

c) ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் உயரம், ஒரு உச்சியில் இருந்து முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதிக்கு இறங்கும் இடைநிலை மற்றும் இருபக்கங்கள் சமம் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் இருசமயத்தின் சமன்பாட்டைத் தேடுவோம். இரண்டு திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும்
மற்றும் அவற்றின் நீளம்:

பின்னர் திசையன்
திசையன் அதே திசையில் உள்ளது
, மற்றும் அதன் நீளம்
அதேபோல், அலகு திசையன்
திசையன் திசையில் ஒத்துப்போகிறது
திசையன்களின் தொகை

கோணத்தின் இருசமயத்துடன் திசையில் ஒத்துப்போகும் திசையன் ஆகும் ஏ. எனவே, விரும்பிய இருசமயத்தின் சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்:

4) உயரங்களில் ஒன்றிற்கான சமன்பாட்டை நாங்கள் ஏற்கனவே உருவாக்கியுள்ளோம். மற்றொரு உயரத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம், எடுத்துக்காட்டாக, உச்சியில் இருந்து IN. பக்கம் ஏசிசமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது
எனவே திசையன்
செங்குத்தாக ஏசி, இதனால் விரும்பிய உயரத்திற்கு இணையாக இருக்கும். பின்னர் உச்சி வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு INதிசையன் திசையில்
(அதாவது செங்குத்தாக ஏசி), வடிவம் உள்ளது:

ஒரு முக்கோணத்தின் உயரங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பது அறியப்படுகிறது. குறிப்பாக, இந்த புள்ளி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட உயரங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், அதாவது. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது:

- இந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்.

5. நடுத்தர ஏபிஆய உள்ளது
. இடைநிலையின் சமன்பாட்டை பக்கத்திற்கு எழுதுவோம் ஏபி.இந்த கோடு ஆய (3, 2) மற்றும் (3, 6) புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது, அதாவது அதன் சமன்பாடு வடிவம் உள்ளது:

ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒரு பகுதியின் வகுப்பில் பூஜ்ஜியம் என்பது இந்த கோடு ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையாக இயங்குகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது.

இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க, சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க போதுமானது:

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது
.

6. உயரத்தின் நீளம் பக்கவாட்டில் குறைக்கப்பட்டது ஏபி,புள்ளியில் இருந்து தூரத்திற்கு சமம் உடன்ஒரு நேர் கோட்டிற்கு ஏபிசமன்பாட்டுடன்
மற்றும் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

7. கோணத்தின் கோசைன் ஏதிசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கலாம் மற்றும் , இது இந்த திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் விகிதத்திற்கு அவற்றின் நீளங்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

.