Seria Fourier trigonometrică. serie trigonometrică. Seria Fourier. Aplicarea metodei diferențelor finite

Într-o serie de cazuri, examinând coeficienții de serie de forma (C) sau, se poate stabili că aceste serii converg (poate cu excepția punctelor individuale) și sunt serii Fourier pentru sumele lor (vezi, de exemplu, nr. ), dar în toate aceste cazuri se pune firesc întrebarea

cum să găsim sumele acestor serii sau, mai precis, cum să le exprimăm în forma finală în termeni de funcții elementare, dacă ele sunt exprimate într-o astfel de formă. Chiar și Euler (și, de asemenea, Lagrange) a folosit cu succes funcțiile analitice ale unei variabile complexe pentru a însuma serii trigonometrice într-o formă finală. Ideea din spatele metodei Euler este următoarea.

Să presupunem că, pentru un anumit set de coeficienți, seria (C) și converg către funcții peste tot în interval, excluzând doar punctele individuale. Să considerăm acum o serie de puteri cu aceiași coeficienți, dispuse în puteri ale unei variabile complexe

Pe circumferința cercului unitar, adică la , această serie converge prin presupunere, excluzând punctele individuale:

În acest caz, conform proprietății binecunoscute a seriei de puteri, seria (5) converge cu siguranță în interiorul cercului unitar, definind acolo o anumită funcție a unei variabile complexe. Folosind cunoscut de noi [vezi. § 5 al capitolului XII] din extinderea funcțiilor elementare ale unei variabile complexe, este adesea posibil să se reducă funcția la acestea.Atunci pentru că avem:

iar prin teorema Abel, de îndată ce seria (6) converge, suma ei se obține ca limită

De obicei, această limită este pur și simplu egală cu care ne permite să calculăm funcția în forma finală

Să fie, de exemplu, serialul

Afirmațiile dovedite în paragraful anterior conduc la concluzia că ambele serii converg (prima, excluzând punctele 0 și

servesc drept serie Fourier pentru funcțiile pe care le definesc.Dar care sunt aceste funcții? Pentru a răspunde la această întrebare, facem o serie

Prin asemănarea cu seria logaritmică, suma acesteia se stabilește ușor:

Prin urmare,

Acum, un calcul ușor oferă:

deci modulul acestei expresii este , iar argumentul este .

și astfel în cele din urmă

Aceste rezultate ne sunt familiare și chiar odată au fost obținute cu ajutorul unor considerații „complexe”; dar în primul caz, am plecat de la funcțiile și , iar în al doilea - de la funcția analitică.Aici, pentru prima dată, seria în sine a servit ca punct de plecare. Cititorul va găsi alte exemple de acest fel în secțiunea următoare.

Subliniem încă o dată că trebuie să fii sigur în prealabil de convergența și seria (C) și pentru a avea dreptul de a determina sumele lor folosind egalitatea limitatoare (7). Simpla existență a unei limite în partea dreaptă a acestei egalități nu ne permite încă să concluzionăm că seriile menționate converg. Pentru a arăta acest lucru cu un exemplu, luați în considerare seria

Metode standard, dar a ajuns într-o fundătură cu un alt exemplu.

Care este dificultatea și unde poate fi o problemă? Să lăsăm deoparte frânghia cu săpun, să analizăm cu calm motivele și să ne familiarizăm cu metodele practice de soluție.

Primul și cel mai important: în majoritatea covârșitoare a cazurilor, pentru a studia convergența unei serii, este necesar să se aplice o metodă familiară, dar termenul comun al seriei este plin de umplutură atât de complicată încât nu este deloc evident ce să faci cu ea . Și te învârți în cercuri: primul semn nu funcționează, al doilea nu funcționează, a treia, a patra, a cincea metodă nu funcționează, apoi curenții sunt aruncați deoparte și totul începe din nou. Acest lucru se datorează, de obicei, lipsei de experiență sau lipsurilor în alte secțiuni ale calculului. În special, dacă alergi limitele secvențeiși dezasamblat superficial limitele funcției, atunci va fi dificil.

Cu alte cuvinte, o persoană pur și simplu nu vede soluția necesară din cauza lipsei de cunoștințe sau experiență.

Uneori, de vină este și „eclipsa”, atunci când, de exemplu, criteriul necesar pentru convergența unei serii pur și simplu nu este îndeplinit, dar din cauza ignoranței, neatenției sau neglijenței, acest lucru scapă din vedere. Și se dovedește ca în acea bicicletă în care profesorul de matematică a rezolvat o problemă a copiilor cu ajutorul unor secvențe sălbatice recurente și serii de numere =)

În cele mai bune tradiții, exemple vii imediat: rânduri și rudele lor - diverg, deoarece în teorie se dovedește limitele secvenței. Cel mai probabil, în primul semestru, vei fi bătut din suflet pentru o dovadă de 1-2-3 pagini, dar acum este suficient să arăți că nu este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei, referindu-se. la fapte cunoscute. Faimos? Dacă studentul nu știe că rădăcina gradului al n-lea este un lucru extrem de puternic, atunci, să zicem, seria pune-l într-o rută. Deși soluția este ca două și două: , i.e. din motive evidente, ambele serii diferă. Un comentariu modest „aceste limite au fost dovedite în teorie” (sau chiar absența lui) este destul de suficient pentru compensare, la urma urmei, calculele sunt destul de grele și cu siguranță nu aparțin secțiunii seriilor numerice.

Și după ce ai studiat următoarele exemple, vei fi doar surprins de concizia și transparența multor soluții:

Exemplul 1

Investigați convergența unei serii

Soluţie: in primul rand verificati executia criteriul necesar pentru convergenţă. Aceasta nu este o formalitate, ci o mare șansă de a face față exemplului „mică vărsare de sânge”.

„Inspecția scenei” sugerează o serie divergentă (cazul unei serii armonice generalizate), dar din nou se pune întrebarea, cum să luăm în considerare logaritmul în numărător?

Exemple aproximative de sarcini la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit când trebuie să efectuați un raționament în două sensuri (sau chiar în trei):

Exemplul 6

Investigați convergența unei serii

Soluţie: mai întâi, ocupă-te cu atenție de galimul numărătorului. Secvența este limitată: . Apoi:

Să comparăm seria noastră cu seria . În virtutea dublei inegalități tocmai obținute, pentru toate „en” va fi adevărat:

Acum să comparăm seria cu seria armonică divergentă.

Numitorul fracției Mai puțin numitorul fracției, deci fracția în sine – Mai mult fracții (notați primii termeni, dacă nu sunt clari). Astfel, pentru orice „ro”:

Deci, prin comparație, serialul divergeîmpreună cu seria armonică.

Dacă schimbăm puțin numitorul: , atunci prima parte a raționamentului va fi similară: . Dar pentru a demonstra divergența seriei, doar testul limită de comparație este deja aplicabil, deoarece inegalitatea este falsă.

Situația cu serii convergente este „oglindă”, adică, de exemplu, atât criteriile de comparație pot fi folosite pentru o serie (inegalitatea este adevărată), cât și pentru o serie, doar criteriul limitativ (inegalitatea este falsă).

Ne continuăm safariul prin sălbăticie, unde o turmă de antilope grațioase și suculente se profilează la orizont:

Exemplul 7

Investigați convergența unei serii

Soluţie: este îndeplinit criteriul de convergență necesar și ne punem din nou întrebarea clasică: ce să facem? În fața noastră este ceva asemănător cu o serie convergentă, cu toate acestea, nu există o regulă clară aici - astfel de asociații sunt adesea înșelătoare.

Deseori, dar nu de data asta. Prin utilizarea Criteriul de comparare limită Să comparăm seria noastră cu seria convergentă. Când calculăm limita, folosim limita minunata , unde ca infinitezimal standuri:

convergeîmpreună cu lângă .

În loc să se folosească tehnica artificială standard de înmulțire și împărțire cu un „trei”, a fost posibil să se compare inițial cu o serie convergentă.
Dar aici este de dorit o avertizare că multiplicatorul constant al termenului general nu afectează convergența seriei. Și tocmai în acest stil este concepută soluția următorului exemplu:

Exemplul 8

Investigați convergența unei serii

Exemplu la sfârșitul lecției.

Exemplul 9

Investigați convergența unei serii

Soluţie: în exemplele anterioare, am folosit mărginirea sinusului, dar acum această proprietate este în afara jocului. Numitorul unei fracții de o mai mare ordinea de creștere decât numărătorul, deci când argumentul sinusului și întregul termen comun infinit de mici. Condiția necesară pentru convergență, după cum înțelegeți, este îndeplinită, ceea ce nu ne permite să ne sustragem de la muncă.

Vom efectua recunoașteri: în conformitate cu echivalență remarcabilă , aruncați mental sinusul și obțineți o serie. Pai asa ceva....

Luarea unei decizii:

Să comparăm seria studiată cu seria divergentă. Folosim criteriul de comparare a limitelor:

Să înlocuim infinitezimalul cu cel echivalent: pentru .

Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu seria armonică.

Exemplul 10

Investigați convergența unei serii

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Pentru planificarea acțiunilor ulterioare în astfel de exemple, respingerea mentală a sinusului, arcsinusului, tangentei, arctangentei ajută foarte mult. Dar amintiți-vă, această posibilitate există doar atunci când infinitezimal argument, nu cu mult timp în urmă am dat peste o serie provocatoare:

Exemplul 11

Investigați convergența unei serii
.

Soluţie: este inutil să folosim aici limitarea arc-tangentei și nici echivalența nu funcționează. Ieșirea este surprinzător de simplă:


Seria de studii diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.

Al doilea motiv„Gag on the job” constă într-o sofisticare decentă a membrului comun, care provoacă dificultăți de natură tehnică. În linii mari, dacă serialele discutate mai sus aparțin categoriei „smochinele pe care le ghiciți”, atunci acestea aparțin categoriei „tu decizi”. De fapt, aceasta se numește complexitate în sensul „obișnuit”. Nu toată lumea va rezolva corect mai multe factoriale, grade, rădăcini și alți locuitori ai savanei. Desigur, factorialii cauzează cele mai multe probleme:

Exemplul 12

Investigați convergența unei serii

Cum să ridici un factorial la putere? Uşor. Conform regulii operațiunilor cu puteri, este necesar să se ridice fiecare factor al produsului la o putere:

Și, desigur, atenție și încă o dată atenție, semnul d'Alembert în sine funcționează în mod tradițional:

Astfel, seria în studiu converge.

Vă reamintesc de o tehnică rațională de eliminare a incertitudinii: când este clar ordinea de creștere numărător și numitor - nu este deloc necesar să suferiți și să deschideți parantezele.

Exemplul 13

Investigați convergența unei serii

Bestia este foarte rară, dar este găsită și ar fi nedrept să o ocolim cu un obiectiv de cameră.

Ce este factorial de semn dublu de exclamare? Factorialul „desfășoară” produsul numerelor pare pozitive:

În mod similar, factorialul „închide” produsul numerelor impare pozitive:

Analizați care este diferența dintre

Exemplul 14

Investigați convergența unei serii

Și în această sarcină, încercați să nu vă confundați cu diplomele, echivalențe minunateși limite minunate.

Exemple de soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Dar elevul ajunge să hrănească nu numai tigri, ci și leoparzii vicleni își urmăresc prada:

Exemplul 15

Investigați convergența unei serii

Soluţie: criteriul necesar de convergenţă, criteriul limitativ, criteriul d'Alembert şi Cauchy dispar aproape instantaneu. Dar cel mai rău dintre toate, trăsătura cu inegalități, care ne-a salvat în mod repetat, este neputincioasă. Într-adevăr, compararea cu o serie divergentă este imposibilă, deoarece inegalitatea incorect - logaritmul multiplicator crește doar numitorul, reducând fracția în sine în raport cu fracţia. Și încă o întrebare globală: de ce suntem inițial siguri că seria noastră este obligat să diverge și trebuie comparat cu unele serii divergente? Se potrivește deloc?

Caracteristica integrală? Integrală improprie trezește o stare de jale. Acum, dacă am avea un rând … atunci da. Stop! Așa se nasc ideile. Luăm o decizie în doi pași:

1) În primul rând, studiem convergența seriei . Folosim caracteristică integrală:

Integrand continuu pe

Astfel, un număr diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare.

2) Comparați seria noastră cu seria divergentă . Folosim criteriul de comparare a limitelor:

Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu următorul .

Și nu este nimic neobișnuit sau creativ într-o astfel de decizie - așa ar trebui decis!

Propun să elaborăm în mod independent următoarele două mișcări:

Exemplul 16

Investigați convergența unei serii

Un student cu ceva experiență în cele mai multe cazuri vede imediat dacă seria converge sau diverge, dar se întâmplă ca un prădător să se deghizeze inteligent în tufișuri:

Exemplul 17

Investigați convergența unei serii

Soluţie: la prima vedere, nu este deloc clar cum se comportă această serie. Și dacă avem ceață în fața noastră, atunci este logic să începem cu o verificare brută a condiției necesare pentru convergența seriei. Pentru a elimina incertitudinea, folosim un nescufundabil metoda înmulțirii și împărțirii prin expresie adjunctă:

Semnul necesar de convergență nu a funcționat, dar l-a scos la lumină pe tovarășul nostru de Tambov. În urma transformărilor efectuate s-a obţinut o serie echivalentă , care la rândul său seamănă puternic cu o serie convergentă .

Scriem o soluție curată:

Comparați această serie cu seria convergentă. Folosim criteriul de comparare a limitelor:

Înmulțiți și împărțiți cu expresia adjunctă:

Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .

Poate unii au o întrebare, de unde au venit lupii în safariul nostru african? Nu stiu. Probabil că l-au adus. Veți obține următoarea piele de trofeu:

Exemplul 18

Investigați convergența unei serii

Un exemplu de soluție la sfârșitul lecției

Și, în sfârșit, încă un gând care vizitează mulți studenți în disperare: în loc să folosească un criteriu mai rar pentru convergenţa seriei? Semnul lui Raabe, semnul lui Abel, semnul lui Gauss, semnul lui Dirichlet și alte animale necunoscute. Ideea funcționează, dar în exemple reale este implementată foarte rar. Personal, în toți anii de practică, am apelat doar de 2-3 ori semnul lui Raabe când nimic nu a ajutat cu adevărat din arsenalul standard. Redau integral cursul căutării mele extreme:

Exemplul 19

Investigați convergența unei serii

Soluţie: Fără îndoială un semn al lui d'Alembert. În timpul calculelor, folosesc în mod activ proprietățile gradelor, precum și a doua limită minunată:

Iată una pentru tine. Semnul lui D'Alembert nu a dat un răspuns, deși nimic nu prefigura un asemenea rezultat.

După ce am parcurs manualul, am găsit o limită puțin cunoscută dovedită în teorie și am aplicat un criteriu Cauchy radical mai puternic:

Iată două pentru tine. Și, cel mai important, nu este deloc clar dacă seria converge sau diverge (o situație extrem de rară pentru mine). Semn necesar de comparație? Fără prea multe speranțe - chiar dacă într-un mod de neconceput îmi dau seama ordinea de creștere a numărătorului și numitorului, acest lucru totuși nu garantează o recompensă.

Un d'Alembert complet, dar cel mai rău lucru este că seria trebuie rezolvată. Nevoie. La urma urmei, aceasta va fi prima dată când renunț. Și apoi mi-am amintit că păreau să fie niște semne mai puternice. Înaintea mea nu mai era un lup, nici un leopard și nici un tigru. Era un elefant uriaș fluturând o trompa mare. A trebuit să iau un lansator de grenade:

Semnul lui Raabe

Luați în considerare o serie de numere pozitive.
Dacă există o limită , apoi:
a) La un rând diverge. Mai mult, valoarea rezultată poate fi zero sau negativă.
b) La un rând converge. În special, seria converge pentru .
c) Când Semnul lui Raabe nu dă un răspuns.

Compunem limita și simplificăm cu atenție fracția:


Da, poza este, ca să spun ușor, neplăcută, dar nu m-a mai mirat. regulile spitalului, iar primul gând, după cum sa dovedit mai târziu, s-a dovedit a fi corect. Dar mai întâi, timp de aproximativ o oră, am răsucit și am răsucit limita folosind metode „obișnuite”, dar incertitudinea nu a vrut să fie eliminată. Iar mersul în cerc, după cum sugerează experiența, este un semn tipic că a fost ales o modalitate greșită de rezolvare.

A trebuit să apelez la înțelepciunea populară rusă: „Dacă nimic nu ajută, citiți instrucțiunile”. Și când am deschis volumul al 2-lea din Fichtenholtz, spre marea mea bucurie am găsit un studiu dintr-o serie identică. Și apoi soluția a mers după model.

Soluția Navier este potrivită numai pentru calculul plăcilor articulate de-a lungul conturului. Mai general este Soluția lui Levy. Vă permite să calculați o placă articulată pe două laturi paralele, cu condiții de limită arbitrare pe fiecare dintre celelalte două laturi.

În placa dreptunghiulară prezentată în Fig. 5.11, (a), marginile articulate sunt cele paralele cu axa y. Condițiile la limită la aceste margini au forma

Orez. 5.11

Este evident că fiecare termen din seria trigonometrică infinită

https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; derivate parțiale secunde ale funcției de deviere

(5.45)

la X = 0 și X = A sunt, de asemenea, zero, deoarece conțin https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46)

Înlocuirea (5.46) în (5.18) dă

Înmulțind ambele părți ale ecuației rezultate cu , integrând de la 0 la Ași amintindu-și asta

,

ajungem să definim funcția Ym o astfel de ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți

. (5.48)

Dacă, pentru a scurta notația, notează

ecuația (5.48) ia forma

. (5.50)

Soluția generală a ecuației neomogene (5.50), așa cum se știe din cursul ecuațiilor diferențiale, are forma

Ym(y) = jm (y)+ fm(y), (5.51)

Unde jm (y) este o soluție particulară a ecuației neomogene (5.50); forma sa depinde de partea dreaptă a ecuației (5.50), adică, de fapt, de tipul de sarcină q (X, y);

fm(y)= Am shAmy + BmchAmy+y(cm shAmy + DmchAmy), (5.52)

soluția generală a ecuației omogene

Patru constante arbitrare A.m,LAm ,Cmși Dm trebuie determinată din cele patru condiții de fixare a marginilor plăcii, paralele cu axa , aplicate pe placă constant q (X, y) = q partea dreaptă a ecuației (5.50) ia forma

https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5,55)

Deoarece partea dreaptă a ecuației (5.55) este constantă, și partea stângă este constantă; deci toate derivatele jm (y) sunt egale cu zero și

, (5.56)

, (5.57)

unde este indicat: .

Luați în considerare o farfurie ciupit de-a lungul marginilor paralele cu axa X(Fig. 5.11, (c)).

Condiții de limită la margini y = ± b/2

. (5.59)

Datorită simetriei deflexiunii plăcii în jurul axei OX, în soluția generală (5.52) ar trebui păstrați numai termenii care conțin funcții pare. Pentru că sh Amy este o funcție impară și сh Am y- uniform si, cu pozitia adoptata a axei Oh, y SH Amy- chiar și în la cap Am y este impar, atunci integrala generală (5.51) în cazul în cauză poate fi reprezentată ca

. (5.60)

Deoarece în (5.44) nu depinde de valoarea argumentului y, a doua pereche de condiții la limită (5.58), (5.59) poate fi scrisă ca:

Ym = 0, (5.61)

Y¢ m = = 0. (5.62)

Y¢ m = Ambm SH Amy + cm SH Amy + y cmAm cap Amy=

Ambm SH Amy + cm(SH Amy+yAm cap Amy)

Din (5.60) - (5.63) rezultă

https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)

Înmulțirea ecuației (5.64) cu , și a ecuației (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)

Înlocuirea (5.66) în ecuația (5.64) ne permite să obținem bm

https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)

Cu această expresie a funcției Ym. , formula (5.44) pentru determinarea funcției de deviere ia forma

(5.69)

Seria (5.69) converge rapid. De exemplu, pentru o farfurie pătrată în centrul ei, adică la x=A/2, y = 0

(5.70)

Păstrarea în (5.70) un singur termen al seriei, adică luarea , obținem o valoare a deformarii supraestimată cu mai puțin de 2,47%. Ținând cont de faptul că p 5 = 306.02, find Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> Metoda variațională a lui V..Ritz se bazează pe principiul variațional al lui Lagrange formulat în Secțiunea 2.

Să considerăm această metodă ca fiind aplicată problemei de îndoire a plăcilor. Imaginați-vă suprafața curbată a plăcii ca un rând

, (5.71)

Unde fi(X, y) funcții de coordonate continue, fiecare dintre ele trebuie să satisfacă condițiile la limită cinematice; Ci sunt parametri necunoscuți determinați din ecuația Lagrange. Această ecuație

(5.72)

conduce la un sistem de n ecuaţii algebrice în raport cu parametrii Ci.

În cazul general, energia de deformare a plăcii constă din îndoirea U și membrana U m părți

, (5.73)

, (5.74)

Unde Mh.,My. ,MX y– forțele de încovoiere; NX., Ny. , Nxy– forțele membranare. Partea de energie corespunzătoare forțelor transversale este mică și poate fi neglijată.

În cazul în care un u, vși w sunt componentele deplasării reale, px. , pyși pz sunt componentele intensității sarcinii de suprafață, Ri- forta concentrata, D i deplasarea liniară corespunzătoare, Mj- moment concentrat qj- unghiul de rotație corespunzător acestuia (Fig. 5.12), atunci energia potențială a forțelor externe poate fi reprezentată astfel:

Dacă marginile plăcii permit mișcarea, atunci marginea forțează vn. , mn. , mnt(Fig. 5.12, (a)) crește potențialul forțelor externe

Orez. 5.12

Aici nși t– element normal și tangent la margine ds.

În coordonate carteziene, luând în considerare expresiile cunoscute pentru forțe și curburi

, (5.78)

energia potențială totală E a unei plăci dreptunghiulare de dimensiune A ´ b, sub acțiunea numai a sarcinii verticale pz

(5.79)

Ca exemplu, luați în considerare o placă dreptunghiulară cu un raport de aspect de 2 A´ 2 b(Fig. 5.13).

Placa este prinsă de-a lungul conturului și încărcată cu o sarcină uniformă

pz = q = const. În acest caz, expresia (5.79) pentru energia E este simplificată

. (5.80)

Accept pentru w(X y) rând

care satisface condiţiile de contur

Orez. 5.13

Păstrați doar primul membru al seriei

.

Apoi conform (5.80)

.

Minimizarea energiei E conform (5..gif" width="273 height=57" height="57">.

.

Deformarea centrului unei plăci pătrate de dimensiunea 2 A´ 2 A

,

care este cu 2,5% mai mult decât soluția exactă 0,0202 qa 4/D. Rețineți că deformarea centrului plăcii sprijinite pe patru laturi este de 3,22 ori mai mare.

Acest exemplu ilustrează avantajele metodei: simplitate și posibilitatea de a obține un rezultat bun. Placa poate avea contururi diferite, grosime variabila. Dificultăți în această metodă, precum și în alte metode energetice, apar atunci când alegeți funcții de coordonate adecvate.

5.8. Metoda de ortogonalizare

Metoda de ortogonalizare propusă de și se bazează pe următoarea proprietate a funcțiilor ortogonale ji. , jj

. (5.82)

Un exemplu de funcții ortogonale pe intervalul ( – p, p) pot servi ca funcții trigonometrice cos nxși păcatul nx pentru care

Dacă una dintre funcții, de exemplu funcția ji (X) este identic egal cu zero, atunci condiția (5.82) este îndeplinită pentru o funcție arbitrară jj (X).

Pentru a rezolva problema de îndoire a plăcilor, ecuația este

poate fi imaginat astfel

, (5.83)

Unde F este aria delimitată de conturul plăcii; jij sunt funcții specificate astfel încât să satisfacă condițiile cinematice și la limită de forță ale problemei.

Să reprezentăm soluția aproximativă a ecuației de îndoire a plăcilor (5.18) sub forma unei serii

. (5.84)

Dacă soluția (5.84) ar fi exactă, atunci ecuația (5.83) ar fi valabilă identic pentru orice sistem de funcții de coordonate jij. , pentru că în acest caz D c2c2 wn – q = 0. Cerem ca ecuația D c2c2 wn – q era ortogonală familiei de funcţii jij, și folosim această cerință pentru a determina coeficienții Cij. . Înlocuind (5.84) în (5.83) obținem

. (5.85)

După efectuarea unor transformări, obținem următorul sistem de ecuații algebrice de determinare Cij

, (5.86)

și hij = hji.

Metodei Bubnov-Galerkin i se poate da următoarea interpretare. Funcţie D c2c2 wn – q = 0 este în esență o ecuație de echilibru și este o proiecție a forțelor externe și interne care acționează asupra unui element mic al plăcii în direcția axei verticale z. Funcția de deviere wn este o mișcare în direcția aceleiași axe, iar funcțiile jij pot fi considerate posibile mişcări. Prin urmare, ecuația (5.83) exprimă aproximativ egalitatea la zero a muncii tuturor forțelor externe și interne asupra posibilelor deplasări jij. . Astfel, metoda Bubnov-Galerkin este în esență variațională.

Ca exemplu, luați în considerare o placă dreptunghiulară prinsă de-a lungul conturului și încărcată cu o sarcină distribuită uniform. Dimensiunile plăcii și locația axelor de coordonate sunt aceleași ca în Fig. 5.6.

Condiții de frontieră

la X = 0, X= a: w = 0, ,

la y = 0, y = b: w = 0, .

Alegem o expresie aproximativă pentru funcția de deviere sub forma unei serii (5.84) în care funcția jij

îndeplinește condițiile la limită; Cij sunt coeficienții doriti. Limitat la un singur membru al seriei

obținem următoarea ecuație

După integrare

Unde putem calcula coeficientul DIN 11

,

care corespunde pe deplin coeficientului DIN 11. obţinut prin metoda

V. Ritz -.

Ca o primă aproximare, funcția de deviere este următoarea

.

Deflexie maximă în centrul unei plăci pătrate A ´ A

.

5.9. Aplicarea metodei diferențelor finite

Să luăm în considerare aplicarea metodei diferențelor finite pentru plăci dreptunghiulare cu condiții complexe de contur. Operatorul de diferență este un analog al ecuației diferențiale a suprafeței curbe a plăcii (5.18), pentru o grilă pătrată, pentru D X = D y = D are forma (3.54)

20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +

Orez. 5.14

Luând în considerare prezența a trei axe de simetrie de încărcare și deformații ale plăcii, ne putem restrânge să luăm în considerare a opta ei și să determinăm valorile deformațiilor numai la nodurile 1 ... 10 (Fig. 5.14, (b) ). Pe fig. 5.14, (b) arată grila și numerotarea nodurilor (D = a/4).

Deoarece marginile plăcii sunt ciupite, atunci prin scrierea condițiilor de contur (5.25), (5.26) în diferențe finite

Prin cosinus și sinusuri ale arcelor multiple, adică o serie de formă

sau în formă complexă

Unde un k,b k sau, respectiv, c k numit coeficienții lui T. r.
Pentru prima dată T. r. se întâlnesc la L. Euler (L. Euler, 1744). A primit expansiuni

Toate R. secolul al 18-lea În legătură cu studiul problemei vibrației libere a unei coarde, s-a pus problema posibilității de a reprezenta funcția care caracterizează poziția inițială a coardei ca sumă a lui T. r. Această întrebare a provocat o dezbatere aprinsă care a durat câteva decenii, cei mai buni analiști ai vremii - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Litigii legate de conținutul conceptului de funcție. La acea vreme, funcțiile erau de obicei asociate cu analiza lor. atribuire, care a condus la luarea în considerare numai a funcțiilor analitice sau pe bucăți. Și aici a devenit necesar pentru o funcție al cărei grafic este suficient de arbitrar pentru a construi un T. r. reprezentând această funcție. Dar semnificația acestor dispute este mai mare. De fapt, au discutat sau au apărut în legătură cu întrebări legate de multe concepte și idei fundamental importante ale matematicii. analiza în general – reprezentarea funcţiilor prin serie Taylor şi analitică. continuarea functiilor, folosirea serii divergente, limite, sisteme infinite de ecuatii, functii prin polinoame etc.
Și în viitor, ca și în aceasta inițială, teoria lui T. r. a servit ca sursă de idei noi în matematică. Integrală Fourier, funcții aproape periodice, serie ortogonală generală, abstractă. Cercetări asupra râului T.. a servit ca punct de plecare pentru crearea teoriei multimilor. T. r. sunt un instrument puternic pentru reprezentarea și explorarea caracteristicilor.
Întrebarea care a dus la controverse în rândul matematicienilor în secolul al XVIII-lea a fost rezolvată în 1807 de J. Fourier, care a indicat formule de calcul al coeficienților lui T. r. (1), care trebuie. reprezentați pe funcția f(x):

și le-a aplicat în rezolvarea problemelor de conducere a căldurii. Formulele (2) sunt numite formule Fourier, deși au fost întâlnite mai devreme de A. Clairaut (1754), iar L. Euler (1777) a ajuns la ele folosind integrarea termen cu termen. T. r. (1), ai căror coeficienți sunt determinați prin formulele (2), numite. lângă funcția Fourier f și numerele a k , b k- coeficienții Fourier.
Natura rezultatelor obținute depinde de modul în care reprezentarea unei funcții este înțeleasă ca o serie, de modul în care este înțeleasă integrala din formulele (2). Teoria modernă a râului T.. dobândit după apariţia integralei Lebesgue.
Teoria lui T. r. poate fi împărțit condiționat în două mari secțiuni - teoria seria Fourier,în care se presupune că seria (1) este seria Fourier a unei anumite funcții, iar teoria generalului T. R., unde nu se face o astfel de presupunere. Mai jos sunt principalele rezultate obținute în teoria generalului T. r. (în acest caz, mulțimile și măsurabilitatea funcțiilor sunt înțelese conform Lebesgue).
Primul sistematic cercetarea T. r., în care nu se presupunea că aceste serii sunt serii Fourier, a fost disertația lui V. Riemann (V. Riemann, 1853). Prin urmare, teoria generalului T. r. numit uneori teoria riemanniană a termodinamicii.
Pentru a studia proprietățile T. r arbitrare. (1) cu coeficienți care tind spre zero B. Riemann a considerat funcția continuă F(x) , care este suma unei serii uniform convergente

obţinută după integrarea de două ori termen cu termen a seriei (1). Dacă seria (1) converge într-un punct x către un număr s, atunci în acest punct există a doua simetrică și este egală cu s. Funcții F:

atunci aceasta duce la însumarea seriei (1) generate de factori numit prin metoda însumării Riemann. Folosind funcția F se formulează principiul de localizare Riemann, conform căruia comportamentul seriei (1) în punctul x depinde doar de comportamentul funcției F într-o vecinătate arbitrar mică a acestui punct.
Dacă T. r. converge spre un set de măsură pozitivă, apoi coeficienții săi tind spre zero (Cantor-Lebesgue). Tendința la zero coeficienți T. r. rezultă şi din convergenţa sa asupra unui set de a doua categorie (W. Young, W. Young, 1909).
Una dintre problemele centrale ale teoriei termodinamicii generale este problema reprezentării unei funcţii arbitrare T. r. Consolidând rezultatele lui N. N. Luzin (1915) privind reprezentarea funcțiilor T. R. prin metodele însumabile Abel-Poisson și Riemann, D. E. Men'shov a demonstrat (1940) următoarea teoremă, care se referă la cel mai important caz când reprezentarea funcției f este înțeles ca T. r. la f(x) aproape peste tot. Pentru fiecare funcție măsurabilă și finită aproape pretutindeni f, există un T. R. care converge către ea aproape peste tot (teorema lui Men’shov). De remarcat că, chiar dacă f este integrabil, atunci, în general, nu se poate lua seria Fourier a funcției f ca o astfel de serie, deoarece există serii Fourier care diverg peste tot.
Teorema Menshov de mai sus admite următoarea rafinare: dacă o funcție f este măsurabilă și finită aproape peste tot, atunci există astfel încât aproape peste tot și seria Fourier diferențiată termen cu termen a funcției j converge spre f(x) aproape peste tot (N. K. Bari, 1952).
Nu se știe (1984) dacă este posibil să se omite condiția de finititate pentru funcția f aproape peste tot în teorema lui Men’shov. În special, nu se știe (1984) dacă T. r. converg aproape peste tot
Prin urmare, problema reprezentării funcțiilor care pot lua valori infinite pe un set de măsură pozitivă a fost luată în considerare pentru cazul în care este înlocuită cu cerința mai slabă - . Convergența în măsură la funcții care pot lua valori infinite este definită astfel: sume parțiale ale T. p. s n(x) converge în măsură la funcția f(x) . dacă unde f n(x) converg la / (x) aproape peste tot, iar succesiunea converge la zero ca măsură. În acest cadru, problema reprezentării funcțiilor a fost rezolvată până la capăt: pentru fiecare funcție măsurabilă, există un T. R. care converge către ea în măsură (D. E. Men'shov, 1948).
Multe cercetări au fost dedicate problemei unicității T. r.: Pot două T. diferite să diverge către aceeași funcție? într-o formulare diferită: dacă T. r. converge la zero, rezultă că toți coeficienții seriei sunt egali cu zero. Aici se poate însemna convergență în toate punctele sau în toate punctele din afara unui anumit set. Răspunsul la aceste întrebări depinde în esență de proprietățile mulțimii în afara căreia nu se presupune convergența.
S-a stabilit următoarea terminologie. Multe nume. set de unicitate sau U- se stabilește dacă, din convergența lui T. r. la zero peste tot, cu excepția, poate, a punctelor setului E, rezultă că toţi coeficienţii acestei serii sunt egali cu zero. Altfel Enaz. M-set.
După cum a arătat G. Cantor (1872), precum și orice finit sunt U-mulți. Un arbitrar este, de asemenea, un U-set (W. Jung, 1909). Pe de altă parte, fiecare set de măsură pozitivă este un M-set.
Existența M-urilor de măsură a fost stabilită de D. E. Men'shov (1916), care a construit primul exemplu de mulțime perfectă cu aceste proprietăți. Acest rezultat este de o importanță fundamentală în problema unicității. Din existența M-urilor de măsură zero rezultă că, în reprezentarea funcțiilor lui T. R. care converg aproape peste tot, aceste serii sunt definite invariabil ambiguu.
Seturile perfecte pot fi și seturi U (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Caracteristicile foarte subtile ale seturilor de măsură zero joacă un rol esențial în problema unicității. Întrebare generală despre clasificarea seturilor de măsură zero pe M- iar U-seturile rămân deschise (1984). Nu se rezolva nici macar pentru seturi perfecte.
Următoarea problemă este legată de problema unicității. Dacă T. r. converge către funcția atunci dacă această serie trebuie să fie seria Fourier a funcției /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) a dat un răspuns pozitiv la această întrebare dacă f este integrabil în sensul lui Riemann și seria converge către f(x) în toate punctele. Din rezultate III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) presupune că răspunsul este pozitiv chiar dacă seria converge peste tot, cu excepția unui set numărabil de puncte și suma sa este finită.
Dacă un T. p converge absolut într-un punct x 0, atunci punctele de convergență ale acestei serii, precum și punctele de convergență absolută a acesteia, sunt situate simetric față de punctul x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Conform Denjoy - Teorema Luzin din convergenţa absolută a lui T. r. (1) pe un set de măsură pozitivă, seria converge și, în consecință, convergența absolută a seriei (1) pentru toți X. Această proprietate este deținută și de mulțimile din a doua categorie, precum și de anumite mulțimi de măsură zero.
Acest sondaj acoperă doar unidimensional T. r. (unu). Există rezultate separate legate de generalul T. p. din mai multe variabile. Aici, în multe cazuri, este încă necesar să găsiți enunțuri naturale ale problemei.

Lit.: Bari N. K., Seria trigonometrică, M., 1961; Sigmund A., Seria trigonometrică, trad. din engleză, vol. 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Seria integrală şi trigonometrică, M.-L., 1951; Riemann B., Opere, trad. din germană, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Teliakovsky.

Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

În știință și tehnologie, de multe ori trebuie să ne confrunți cu fenomene periodice, de exemplu. cele care se reproduc după o anumită perioadă de timp T numită perioadă. Cea mai simplă dintre funcțiile periodice (cu excepția unei constante) este o valoare sinusoidală: ca în(X+ ), oscilație armonică, unde există o „frecvență” legată de perioadă prin raportul: . Din astfel de funcții periodice simple pot fi compuse altele mai complexe. În mod evident, mărimile sinusoidale constitutive trebuie să fie de frecvențe diferite, deoarece prin adăugarea unor mărimi sinusoidale de aceeași frecvență rezultă o mărime sinusoidală de aceeași frecvență. Dacă adăugăm mai multe valori ale formei

De exemplu, reproducem aici adăugarea a trei mărimi sinusoidale: . Luați în considerare graficul acestei funcții

Acest grafic este semnificativ diferit de o undă sinusoidală. Acest lucru este și mai adevărat pentru suma unei serii infinite compuse din termeni de acest tip. Să ne punem întrebarea: este posibil pentru o anumită funcție periodică a perioadei T reprezentați ca sumă a unui set finit sau cel puțin infinit de mărimi sinusoidale? Se pare că, în ceea ce privește o clasă mare de funcții, la această întrebare se poate răspunde afirmativ, dar asta numai dacă includem exact întreaga succesiune infinită a unor astfel de termeni. Geometric, aceasta înseamnă că graficul unei funcții periodice se obține prin suprapunerea unei serii de sinusoide. Dacă considerăm fiecare valoare sinusoidală ca o anumită mișcare oscilativă armonică, atunci putem spune că aceasta este o oscilație complexă caracterizată printr-o funcție sau pur și simplu prin armonicile acesteia (prima, a doua etc.). Procesul de descompunere a unei funcții periodice în armonici se numește analiza armonică.

Este important de menționat că astfel de expansiuni se dovedesc adesea utile în studiul funcțiilor care sunt definite doar într-un anumit interval finit și nu sunt deloc generate de niciun fenomen oscilator.

Definiție. O serie trigonometrică este o serie de forma:

Sau (1).

Numerele reale se numesc coeficienți ai seriei trigonometrice. Această serie poate fi scrisă și așa:

Dacă o serie de tipul prezentat mai sus converge, atunci suma ei este o funcție periodică cu perioada 2p.

Definiție. Coeficienții Fourier ai unei serii trigonometrice se numesc: (2)

(3)

(4)

Definiție. Aproape de Fourier pentru o funcție f(x) se numește o serie trigonometrică ai cărei coeficienți sunt coeficienții Fourier.

Dacă seria Fourier a funcţiei f(x) converge către el în toate punctele sale de continuitate, atunci spunem că funcția f(x) se extinde într-o serie Fourier.

Teorema.(Teorema lui Dirichlet) Dacă o funcție are o perioadă de 2p și este continuă pe un segment sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel, segmentul poate fi împărțit într-un număr finit de segmente astfel încât funcția să fie monotonă în interiorul fiecăruia. dintre ele, apoi seria Fourier pentru funcție converge pentru toate valorile X, iar în punctele de continuitate ale funcției, suma acesteia S x) este egal cu , iar la punctele de discontinuitate suma sa este egală cu , i.e. media aritmetică a valorilor limită din stânga și dreapta.

În acest caz, seria Fourier a funcției f(x) converge uniform asupra oricărui interval care aparține intervalului de continuitate al funcției .

O funcție care îndeplinește condițiile acestei teoreme se numește netedă pe bucăți în intervalul .

Să luăm în considerare exemple de extindere a unei funcții într-o serie Fourier.

Exemplul 1. Extindeți funcția într-o serie Fourier f(x)=1-x, care are punct 2p si dat pe segmentul .

Soluţie. Să diagramăm această funcție

Această funcție este continuă pe segmentul , adică pe un segment cu lungimea unei perioade, prin urmare poate fi extinsă într-o serie Fourier care converge către ea în fiecare punct al acestui segment. Folosind formula (2), găsim coeficientul acestei serii: .

Aplicăm formula de integrare pe părți și găsim și utilizăm formulele (3) și respectiv (4):

Înlocuind coeficienții în formula (1), obținem sau .

Această egalitate are loc în toate punctele, cu excepția punctelor și (punctele de lipire ale graficelor). În fiecare dintre aceste puncte, suma seriei este egală cu media aritmetică a valorilor sale limită din dreapta și din stânga, adică.

Prezentăm un algoritm de extindere a funcțieiîntr-o serie Fourier.

Procedura generală de rezolvare a problemei puse este următoarea.