Biografia lui Leonardo din Pisa, alias Fibonacci. Leonardo Fibonacci - viața sub auspiciile împăratului Leonardo din Pisa scurtă biografie

Plan:

Introducere

• 1 Fibonacci, cifre arabe și operațiuni bancare
• 2 Activitate științifică
• 3 numere Fibonacci
• 4 Țintele Fibonacci
Literatură
Note

Introducere

Leonardo din Pisa(lat. Leonardo Pisano, pe la 1170, Pisa - pe la 1250, ibid) - primul mare matematician al Europei medievale. Cel mai cunoscut după porecla Fibonacci (Fibonacci); Există diferite versiuni despre originea acestui pseudonim. Potrivit unuia dintre ei, tatăl său Guillermo avea porecla Bonacci (« bine intentionat”), iar Leonardo însuși a fost poreclit Filius Bonacci(„fiul bine-intenționați”). Potrivit altuia Fibonacci provine din fraza Figlio Buono Nato Ci, care înseamnă „s-a născut un fiu bun” în italiană.

Tatăl lui Fibonacci a fost adesea în Algeria pentru afaceri, iar Leonardo a studiat acolo matematica cu profesori arabi. Mai târziu a vizitat Egiptul, Siria, Bizanțul, Sicilia. Leonardo a studiat lucrările matematicienilor din țările islamice (cum ar fi al-Khwarizmi și Abu Kamil); din traduceri arabe, a făcut cunoștință și cu realizările matematicienilor antici și indieni. Pe baza cunoștințelor pe care le-a dobândit, Fibonacci a scris o serie de tratate de matematică, care sunt un fenomen remarcabil al științei medievale vest-europene.

În secolul al XIX-lea, la Pisa a fost ridicat un monument al omului de știință.

1. Fibonacci, cifre arabe și operațiuni bancare

Este imposibil să ne imaginăm contabilitatea modernă și contabilitatea financiară în general fără utilizarea sistemului de numere zecimale și a cifrelor arabe, al căror început a fost folosit în Europa de Fibonacci.

Unul dintre bancherii pisani, care făcea comerț în Tunisia și se ocupa acolo cu împrumuturi și rambursarea taxelor și taxelor vamale, un anume Leonardo Fibonacci, a aplicat cifrele arabe în contabilitatea bancară, introducându-le astfel în Europa.

Articolul „Bancher” // ENE (ESBE)

2. Activitatea stiintifica

O parte semnificativă din cunoștințele pe care le-a dobândit, el a subliniat în extraordinara sa „Cartea Abacului” ( Liber abaci, 1202; doar manuscrisul suplimentat din 1228 a supraviețuit până astăzi). Această carte conține aproape toate informațiile aritmetice și algebrice ale vremii, prezentate cu o completitudine și profunzime excepționale. Primele cinci capitole ale cărții sunt dedicate aritmeticii întregi bazate pe numerotarea zecimală. În capitolele VI și VII, Leonardo schițează operațiile pe fracții obișnuite. Capitolele VIII-X prezintă metode de rezolvare a problemelor de aritmetică comercială bazate pe proporții. Capitolul XI tratează problemele de amestecare. Capitolul XII prezintă sarcini de însumare a seriilor - progresii aritmetice și geometrice, o serie de pătrate și, pentru prima dată în istoria matematicii, o serie reciprocă care duce la o succesiune de așa-numitele numere Fibonacci. Capitolul XIII stabilește regula a două poziții false și o serie de alte probleme reduse la ecuații liniare. În capitolul XIV, Leonardo, folosind exemple numerice, explică cum se aproximează extragerea rădăcinilor pătrate și cubice. În final, în capitolul XV sunt colectate o serie de probleme privind aplicarea teoremei lui Pitagora și un număr mare de exemple de ecuații pătratice.

„Cartea abacului” se ridică brusc deasupra literaturii aritmetice și algebrice europene din secolele XII-XIV. varietatea și puterea metodelor, bogăția sarcinilor, dovezile prezentării. Matematicienii ulterioare au tras din aceasta atât probleme, cât și metode de rezolvare a acestora.

Monumentul Fibonacci din Pisa

„Practica geometriei” ( Practica geometriae, 1220) conține diverse teoreme legate de metodele de măsurare. Alături de rezultatele clasice, Fibonacci dă și propria lui - de exemplu, prima dovadă că cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct (Arhimede știa acest fapt, dar dacă dovada lui a existat, nu a ajuns la noi).

În tratatul „Floare” ( Flos, 1225) Fibonacci a explorat ecuația cubică X 3 + 2X 2 + 10X = 20 , oferită lui de Ioan de Palermo la un concurs de matematică la curtea împăratului Frederic al II-lea. Însuși Ioan din Palermo a împrumutat aproape sigur această ecuație din tratatul lui Omar Khayyam Despre dovezile problemelor în algebră, unde este dată ca exemplu al unuia dintre tipurile din clasificarea ecuațiilor cubice. Leonardo din Pisa a investigat această ecuație, arătând că rădăcina ei nu poate fi rațională sau nu poate avea forma uneia dintre iraționalitățile pătratice găsite în Cartea X a Elementelor lui Euclid, apoi a găsit valoarea aproximativă a rădăcinii în fracții sexagesimale, egală cu 1; 22,07 .42, 33,04,40, fără a indica, însă, metoda de soluţionare a acestuia.

„Cartea pătratelor” ( Liber quadratorum, 1225), conține o serie de probleme pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice nedefinite. Într-una dintre probleme, propusă tot de Ioan din Palermo, s-a cerut să se găsească un număr pătrat rațional, care, atunci când crește sau micșorează cu 5, dă din nou numere pătrate raționale.

3. Numerele Fibonacci

În onoarea omului de știință, este numită o serie de numere, în care fiecare număr următor este egal cu suma celor două anterioare. Această secvență de numere se numește numere Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 12786, 10946, 6765, 10946, 6765 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, … (secvența OEIS A000045)

Această serie era cunoscută în India antică cu mult înainte de Fibonacci. Numerele Fibonacci și-au primit numele actual datorită studiului proprietăților acestor numere, realizat de om de știință în lucrarea sa Cartea Abacului (1202).

4. Sarcini Fibonacci

• „Problema creșterii iepurilor”.
• „Problema greutăților” („Problema alegerii celui mai bun sistem de greutăți pentru cântărire pe o cântar”):

1, 3, 9, 27, 81,... (grade de 3, secvența OEIS A009244)

Literatură

• Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea (sub redacția lui A.P. Yushkevich), volumul II, M., Nauka, 1972, pp. 260-267.
• Karpushina N.„Liber abaci” de Leonardo Fibonacci, Matematică la școală, nr. 4, 2008.
• Shchetnikov A.I. Despre reconstrucția unei metode iterative de rezolvare a ecuațiilor cubice în matematica medievală. Procesele celei de-a treia lecturi ale lui Kolmogorov. Yaroslavl: Editura YaGPU, 2005, p. 332-340.
• Yaglom I.M. Negustorul italian Leonardo Fibonacci și iepurii săi. // Kvant, 1984. Nr. 7. P. 15-17.
• Glushkov S. Despre metodele de aproximare ale lui Leonardo Fibonacci. Historia Mathematica, 3, 1976, p. 291-296.
• Sigler, L.E. Fibonacci's Liber Abaci, Leonardo Pisano's Book of Calculations" Springer. New York, 2002, ISBN 0-387-40737-5.

Note

1. Karpushina N. M. „Liber abaci” de Leonardo Fibonacci, Matematică la școală, nr. 4, 2008 http://n-t.ru/tp/in/la.htm - n-t.ru/tp/in/la.htm
2. A. P. Stahov. Două probleme celebre Fibonacci http://www.goldenmuseum.com/1001TwoProblems_eng.html - www.goldenmuseum.com/1001TwoProblems_eng.html
3. Leonardo Pisano Fibonacci http://www.xfibo.ru/fibonachi/leonardo-pisano-fibonacci.htm - www.xfibo.ru/fibonachi/leonardo-pisano-fibonacci.htm

Descarca
Acest rezumat se bazează pe un articol din Wikipedia rusă. Sincronizare finalizată pe 07/11/11 07:02:11
Rezumate similare:
Introducere

O persoană se străduiește pentru cunoaștere, încearcă să studieze lumea care o înconjoară. În procesul de observare, apar numeroase întrebări la care, în consecință, trebuie să se răspundă. O persoană caută aceste răspunsuri și, găsindu-le, apar și alte întrebări.

Astăzi, în era tehnologiei înalte, studiul se desfășoară nu numai pe planeta noastră Pământ, ci și dincolo de granițele sale - în Univers. Dar asta nu înseamnă că totul pe Pământ a fost studiat, ci, dimpotrivă, rămâne un număr imens de fenomene de neînțeles și inexplicabile. Dar există „răspunsuri” care explică mai multe astfel de fenomene simultan.

Se pare că regularitatea fenomenelor naturale, structura și diversitatea organismelor vii de pe planeta noastră, tot ceea ce ne înconjoară, lovind imaginația cu armonia și ordinea ei, legile universului, mișcarea gândirii umane și realizările știință - toate acestea pot fi încercate să fie explicate prin succesiunea Fibonacci.

Dar să vorbim despre totul în ordine.

Biografie

Leonardo din Pisa, alias Fibonacci.
Au rămas foarte puține informații biografice despre viața lui Leonardo. Cât despre numele Fibonacci, sub care a intrat în istoria matematicii, acesta i-a fost fixat abia în secolul al XIX-lea.
Leonardo din Pisa nu s-a numit niciodată Fibonacci; acest pseudonim i-a fost dat mai târziu, probabil de Guillaume Libri în 1838. Cuvântul Fibonacci este prescurtarea celor două cuvinte „filius Bonacci” care au apărut pe coperta Cărții Abacului; ar putea însemna fie „fiul lui Bonaccio”, fie, dacă cuvântul Bonacci este interpretat ca nume de familie, „fiul lui Bonacci”. Conform celei de-a treia versiuni, însuși cuvântul Bonacci trebuie înțeles și ca o poreclă care înseamnă „norocos”. El însuși semna de obicei pe Bonacci; uneori a folosit și numele Leonardo Bigollo - cuvântul bigollo în dialectul toscan însemna „rătăcitor”, precum și „loafer”.
Fibonacci s-a născut în orașul italian Pisa, probabil în anii 1170 (unele surse spun că 1180). Tatăl său, Guillermo, era negustor. Atunci Pisa a fost unul dintre cele mai mari centre comerciale care coopera activ cu Orientul Islamic, iar tatăl lui Fibonacci a făcut comerț activ într-unul dintre punctele comerciale fondate de italieni pe coasta de nord a Africii.În 1192, a fost numit să reprezinte colonia comercială pizană din Africa de Nord și a frecventat Bejai, Algeria. Datorită acesteia, a reușit să-și „aranjeze” fiul, viitorul mare matematician Fibonacci, într-una dintre școlile arabe, unde a putut primi o educație matematică excelentă pentru acea vreme. Leonardo a studiat lucrările matematicienilor din țările de credință musulmană (cum ar fi al-Khwarizmi și Abu Kamil); din traducerile arabe, a făcut cunoștință și cu realizările matematicienilor antici și indieni.

Mai târziu, Fibonacci a vizitat Egiptul, Siria, Bizanțul, Sicilia.

Pe baza cunoștințelor dobândite, Fibonacci a scris o serie de tratate de matematică, care sunt un fenomen remarcabil al științei medievale vest-europene.
În 1200, Leonardo s-a întors la Pisa și a început să scrie prima sa lucrare, Cartea Abacului. La acea vreme, foarte puțini oameni din Europa știau despre sistemul de numere poziționale și cifrele arabe. În cartea sa, Fibonacci a susținut puternic metodele și metodele indiene de calcul. Potrivit istoricului de matematică A.P. Yushkevich, „Cartea Abacului se ridică brusc deasupra literaturii aritmetice și algebrice europene din secolele XII-XIV prin varietatea și puterea metodelor, bogăția problemelor, dovezile prezentării... Matematicienii ulterioare au extras pe scară largă din ea atât probleme, cât și tehnici, deciziile lor.” Conform primei cărți, multe generații de matematicieni europeni au studiat sistemul indian de numere poziționale.

Lucrarea lui Leonardo Fibonacci „Cartea Abacului” a contribuit la răspândirea în Europa a unui sistem numeric pozițional, mai convenabil pentru calcule decât notația romană; în această carte, au fost studiate în detaliu posibilitățile de utilizare a numerelor indiene, care anterior rămăseseră neclare, și au fost date exemple de rezolvare a problemelor practice, în special, a celor legate de comerț. Sistemul pozițional a câștigat popularitate în Europa în timpul Renașterii.

Cartea l-a interesat pe împăratul Frederic al II-lea și curtenii săi, printre care s-au numărat și astrologul Michael Scotus, filozoful Theodorus Physicus și Dominicus Hispanus. Acesta din urmă a sugerat ca Leonardo să fie invitat la curte într-una dintre vizitele împăratului la Pisa în jurul anului 1225, unde i s-a dat sarcini de către Johannes de Palermo, un alt filozof de curte al lui Frederic al II-lea. Unele dintre aceste probleme au apărut în lucrarea ulterioară a lui Fibonacci. Datorită unei bune educații, Leonardo a reușit să atragă atenția împăratului Frederic al II-lea în timpul turneelor ​​de matematică. Ulterior, Leonardo s-a bucurat de patronajul împăratului.
Câțiva ani, Fibonacci a trăit la curtea împăratului. Lucrarea sa Cartea pătratelor, scrisă în 1225, datează din această perioadă. Cartea este dedicată ecuațiilor diofantine de gradul doi și îl pune pe Fibonacci la egalitate cu oamenii de știință care au dezvoltat teoria numerelor precum Diophantus și Fermat. Singura mențiune despre Fibonacci după 1228 este în 1240, când i s-a acordat o pensie pentru serviciile aduse orașului din Republica Pisa.
Nu s-au păstrat portrete pe viață ale lui Fibonacci, iar cele existente sunt idei moderne despre el. Leonardo de Pisa nu a lăsat practic nicio informație autobiografică; singura excepție este al doilea paragraf din Cartea Abacului, unde Fibonacci își expune motivele pentru care a scris cartea:
„Când tatăl meu a fost numit în funcția de vameș responsabil cu afacerile negustorilor pizani care se înghesuiau la el în Bejaia, în adolescența mea m-a chemat la el și s-a oferit să studiez arta numărării timp de câteva zile, ceea ce promitea multora. confort și beneficii pentru viitorul meu. Învățat de priceperea profesorilor elementele de bază ale numărării indiene, am dobândit o mare dragoste pentru această artă și, în același timp, am aflat că ceva despre acest subiect este cunoscut printre egipteni, sirieni, greci, sicilieni și provencali, care și-au dezvoltat metode. Mai târziu, în timpul călătoriilor mele comerciale prin aceste părți, am dedicat multă muncă unui studiu detaliat al metodelor lor și, în plus, am stăpânit arta disputei științifice. Cu toate acestea, în comparație cu metoda indienilor, toate construcțiile acestor oameni, inclusiv abordarea algorștilor și învățăturile lui Pitagora, par aproape delirante și, prin urmare, am decis, după ce am studiat metoda indiană cât mai atent posibil, să prezint este în cincisprezece capitole cât de clar pot, cu adăugiri din propria mea minte și cu câteva note utile din geometria lui Euclid introduse pe parcurs. Pentru ca cititorul iscoditor să poată studia socoteala indiană în modul cel mai atent, am însoțit aproape fiecare afirmație cu dovezi convingătoare; Sper ca de acum înainte poporul latin să nu fie lipsit de cele mai exacte informații despre arta calculelor. Dacă, mai mult decât mă așteptam, mi-a scăpat ceva mai mult sau mai puțin important, sau poate necesar, atunci mă rog pentru iertare, pentru că nu există nimeni printre oameni care să fie fără păcat sau să aibă capacitatea de a prevedea totul.
Cu toate acestea, înțelesul exact al acestui paragraf nu poate fi considerat pe deplin cunoscut, deoarece textul său, ca și întregul text latin al cărții, a ajuns până la noi cu erori introduse de cărturari.

Activitate științifică
Multe dintre cunoștințele pe care le-a dobândit, le-a subliniat în a lui „Cartea abacului”(Liberabaci, 1202; doar manuscrisul modificat din 1228 a supraviețuit până astăzi). Această carte este formată din 15 capitole și conține aproape toate informațiile aritmetice și algebrice ale vremii, prezentate cu o completitudine și profunzime excepționale. Primele cinci capitole ale cărții sunt dedicate aritmeticii întregi bazate pe numerotarea zecimală. În capitolele VI și VII, Leonardo schițează operațiile pe fracții obișnuite. Capitolele VIII-X prezintă metode de rezolvare a problemelor de aritmetică comercială bazate pe proporții. Capitolul XI tratează problemele de amestecare. Capitolul XII prezintă sarcini de însumare a seriilor - progresii aritmetice și geometrice, o serie de pătrate și, pentru prima dată în istoria matematicii, o serie reciprocă care duce la o succesiune de așa-numitele numere Fibonacci. Capitolul XIII stabilește regula a două poziții false și o serie de alte probleme reduse la ecuații liniare. În capitolul XIV, Leonardo, folosind exemple numerice, explică cum se aproximează extragerea rădăcinilor pătrate și cubice. În final, în capitolul XV sunt colectate o serie de probleme privind aplicarea teoremei lui Pitagora și un număr mare de exemple de ecuații pătratice. Leonardo a fost primul din Europa care a folosit numere negative, pe care le considera datorie. Cartea este dedicată lui Mikael Scotus.
O altă carte Fibonacci „Practica geometriei”(Practicageometriae, 1220), este format din șapte părți și conține diverse teoreme cu dovezi referitoare la metodele de măsurare. Alături de rezultatele clasice, Fibonacci dă și propria lui - de exemplu, prima dovadă că cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct (Arhimede știa acest fapt, dar dacă dovada lui a existat, nu a ajuns la noi). Printre tehnicile de topografie a terenurilor cărora le este dedicată ultima secțiune a cărții se numără utilizarea unui pătrat marcat într-un anumit mod pentru a determina distanțe și înălțimi. Pentru a determina numărul π, Fibonacci folosește perimetrele 96-gonului înscris și circumscris, ceea ce îl conduce la valoarea

3.1418. Cartea a fost dedicată lui Dominicus Hispanus. În 1915

R. S. Archibald s-a angajat în restaurarea lucrării pierdute a lui Euclid privind împărțirea figurilor, bazată pe „Practica geometriei” de Fibonacci și traducerea franceză a versiunii arabe.
În tratat "Floare"(Flos, 1225) Fibonacci a studiat ecuația cubică x 3 + 2x 2 + 10 x = 20 oferită lui de Ioan de Palermo la un concurs de matematică la curtea împăratului Frederic al II-lea. Însuși Ioan din Palermo a împrumutat aproape sigur această ecuație din tratatul lui Omar Khayyam Despre dovezile problemelor în algebră, unde este dată ca exemplu al unuia dintre tipurile din clasificarea ecuațiilor cubice. Leonardo din Pisa a investigat această ecuație, arătând că rădăcina ei nu poate fi rațională sau nu poate avea forma uneia dintre iraționalitățile pătratice găsite în cartea X a Elementelor lui Euclid, apoi a găsit valoarea aproximativă a rădăcinii în fracții sexagesimale, egală cu 1; 22.07.42, 33,04,40, fără a indica, însă, modul de soluţionare a acestuia.
„Cartea pătratelor”(Liberquadratorum, 1225) conține o serie de probleme pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice nedefinite. Fibonacci a lucrat la găsirea numerelor care, atunci când sunt adăugate unui număr pătrat, ar da din nou un număr pătrat. El a observat că numerele x 2 + y 2 și x 2 − y 2 nu pot fi pătrate în același timp și a folosit, de asemenea, formula x 2 + (2 x + 1) = (x + 1) 2 pentru a căuta numere pătrate. . Într-una dintre sarcinile cărții,

propus inițial de Ioan din Palermo, a fost necesar să se găsească un număr pătrat rațional, care, atunci când crește sau micșorează cu 5, dă din nou numere pătrate raționale.

Printre lucrările lui Fibonacci care nu au ajuns până la noi se numără tratatul lui Diminorguisa de aritmetică comercială, precum și comentarii la cartea X a Elementelor lui Euclid.
Ceea ce știm acum sub numele de „numerele Fibonacci” era cunoscut de matematicienii indieni antici cu mult înainte de a fi folosite în Europa.

Țintele Fibonacci
Rămânând fidel turneelor ​​de matematică, Fibonacci atribuie în cărțile sale rolul principal problemelor, soluțiilor și comentariilor acestora. Sarcinile pentru turnee au fost propuse atât de Fibonacci însuși, cât și de rivalul său, filozoful de curte al lui Frederic al II-lea, Johannes de Palermo. Problemele Fibonacci, ca și omologii lor, au continuat să fie folosite în diverse manuale de matematică timp de câteva secole. Ele pot fi găsite în „Suma aritmeticii” a lui Pacioli (1494), în „Probleme plăcute și distractive” de Basche de Miziriac (1612), în „Aritmetica” a lui Magnitsky (1703), în „Algebra” lui Euler (1768).
După Fibonacci, au rămas un număr mare de probleme, care au fost foarte populare în rândul matematicienilor în secolele următoare. Vom lua în considerare problema iepurilor, în soluția căreia se folosesc numerele Fibonacci.
Problema iepurilor
Fibonacci a pus următoarele condiții: există o pereche de iepuri nou-născuți (masculi și femele) dintr-o rasă atât de interesantă încât aceștia produc în mod regulat (începând cu luna a doua) descendenți - întotdeauna o nouă pereche de iepuri. De asemenea, după cum ați putea ghici, bărbați și femei.

Acești iepuri condiționati sunt plasați într-un spațiu închis și se reproduc. De asemenea, se prevede că niciun iepure nu moare din cauza unei boli misterioase a iepurelui.

Trebuie să calculăm câți iepuri vom obține într-un an.

La începutul unei luni avem 1 pereche de iepuri. La sfârșitul lunii se împerechează.

A doua luna - avem deja 2 perechi de iepuri (o pereche are parinti + 1 pereche - puii lor).

A treia lună: prima pereche dă naștere unei noi perechi, a doua pereche se împerechează. Total - 3 perechi de iepuri.

Luna a patra: Primul cuplu dă naștere unui nou cuplu, al doilea cuplu nu pierde timpul și, de asemenea, dă naștere unui nou cuplu, al treilea cuplu tocmai se împerechează. Total - 5 perechi de iepuri.

Numărul de iepuri din luna a n-a = numărul de perechi de iepuri din luna precedentă + numărul de perechi de nou-născuți (există același număr de perechi de iepuri ca și cu 2 luni înainte). Și toate acestea sunt descrise de formula pe care am dat-o deja mai sus: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Astfel, obținem o secvență numerică recurentă (o explicație a recursiunii - mai jos). În care fiecare număr următor este egal cu suma celor două precedente:

233+ 144 = 377
Puteți continua secvența mult timp: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Dar din moment ce ne-am stabilit o anumită perioadă - un an, ne interesează rezultatul obținut la a 12-a „mișcare”. Acestea. Al 13-lea membru al secvenței: 377.
Răspunsul este în problemă: se vor obține 377 de iepuri dacă sunt îndeplinite toate condițiile enunțate.
Deci, reflectând la acest subiect, Fibonacci a construit următoarea serie de numere:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Dar după cum sa dovedit, această secvență are o serie de proprietăți remarcabile.

Proprietățile șirului Fibonacci

1. Raportul dintre fiecare număr și următorul tinde din ce în ce mai mult la 0,618 pe măsură ce numărul de serie crește. Raportul fiecărui număr față de cel precedent tinde la 1,618 (invers la 0,618).

2. La împărțirea fiecărui număr la următorul, numărul 0,382 se obține prin unul; invers - respectiv 2.618.

55: 144:55=2,618…

144=0,382…
3. Selectând rapoarte în acest fel, obținem setul principal de coeficienți Fibonacci: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

Una dintre proprietățile șirului Fibonacci este foarte curioasă. Dacă luați două perechi consecutive dintr-o serie și împărțiți numărul mai mare la cel mai mic, rezultatul se va apropia treptat de raportul de aur.

În limbajul matematicii, „limita raporturilor a n + 1 la a n este egală cu raportul de aur”.

O explicație despre recursivitate
Recursiunea este o definiție, descriere, imagine a unui obiect sau proces care conține acest obiect sau proces în sine. Adică, de fapt, un obiect sau un proces este o parte din sine.
Recursiunea își găsește o largă aplicație în matematică și informatică, și chiar în artă și cultura populară.
Numerele Fibonacci sunt definite folosind o relație recursivă. Pentru un număr n>2, al n-lea număr este (n - 1) + (n - 2).

Raportul de aur este împărțirea unui întreg (de exemplu, un segment) în astfel de părți care sunt corelate conform următorului principiu: o parte mare se raportează la una mai mică în același mod ca întreaga valoare (de exemplu, suma din două segmente) la o parte mai mare.
Prima mențiune despre raportul de aur poate fi găsită în tratatul lui Euclid „Începuturi” (aproximativ 300 î.Hr.). În contextul construirii unui dreptunghi regulat.
Termenul cunoscut nouă în 1835 a fost introdus de matematicianul german Martin Ohm.
Dacă descrii proporția de aur aproximativ, este o împărțire proporțională în două părți inegale: aproximativ 62% și 38%. În termeni numerici, raportul de aur este numărul 1,6180339887.
Raportul de aur își găsește aplicare practică în artele vizuale (picturi ale lui Leonardo da Vinci și alți pictori renascentiste), arhitectură, cinema (Coirasatul Potemkin al lui S. Ezenstein) și alte domenii. Multă vreme s-a crezut că proporția de aur este cea mai estetică proporție. Această vedere este încă populară astăzi. Deși, conform rezultatelor cercetărilor, din punct de vedere vizual, majoritatea oamenilor nu percep o astfel de proporție ca fiind cea mai de succes opțiune și o consideră prea alungită (disproporționată).

Lungimea segmentului c \u003d 1, a \u003d 0,618, b \u003d 0,382.

Raportul c la a = 1,618.

Raportul c la b = 2,618

Acum revenim la numerele Fibonacci. Luați doi termeni succesivi din succesiunea sa. Împărțiți numărul mai mare la cel mai mic și obțineți aproximativ 1,618. Și acum să folosim același număr mai mare și următorul membru al seriei (adică un număr și mai mare) - raportul lor este devreme 0,618.
Iată un exemplu: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 și 233/377 = 0,618
Apropo, dacă încercați să faceți același experiment cu numerele de la începutul secvenței (de exemplu, 2, 3, 5), nimic nu va funcționa. Aproape. Regula proporției de aur aproape nu este respectată pentru începutul secvenței. Dar, pe de altă parte, pe măsură ce vă deplasați de-a lungul rândului și numerele cresc, funcționează bine.
Și pentru a calcula întreaga serie de numere Fibonacci, este suficient să cunoaștem trei membri ai șirului, care se succed. Puteți vedea singur!
Probleme cu Kettlebell
Problema alegerii celui mai bun sistem de greutăți pentru cântărire pe o cântar a fost formulată pentru prima dată de Fibonacci. Leonardo din Pisa oferă două opțiuni pentru această sarcină:
O opțiune simplă: trebuie să găsiți cinci greutăți, cu care puteți găsi toate greutățile mai mici de 30, în timp ce greutățile pot fi plasate doar pe un singur cântar (Răspuns: 1, 2, 4, 8, 16).

Soluția este construită în sistemul de numere binar.

Opțiune dificilă: trebuie să găsiți cel mai mic număr de greutăți cu care puteți cântări toate greutățile mai puțin decât una dată (Răspuns: 1, 3, 9, 27, 81, ...).

Soluția este construită în sistemul numeric de bază trei și este în general secvența A000244 în OEIS.

Probleme în teoria numerelor
Pe lângă problema iepurelui, Fibonacci a propus o serie de alte probleme în teoria numerelor:

Găsiți un număr care este divizibil cu 7 și are restul de 1 când este împărțit la 2, 3, 4, 5 și 6;

Aflați numărul al cărui produs cu șapte dă restul 1, 2, 3, 4, 5 când este împărțit la 2, 3, 4, 5, 6, respectiv;

Găsiți un număr pătrat (adică un număr egal cu pătratul unui număr întreg) care, mărit sau micșorat cu 5, ar da un număr pătrat.

Alte sarcini
Găsiți un număr al cărui 19/20 este egal cu pătratul numărului însuși. (Răspuns: 19/20).

Un aliaj de 30 de părți de greutate este format din trei metale: primul metal valorează trei monede pe parte, al doilea metal valorează două monede pe parte, iar al treilea metal are o monedă la fiecare două părți; costul întregului aliaj este de 30 de monede. Câte părți din fiecare metal conține aliajul? (Răspuns: 3 părți din primul metal, 5 părți din al doilea metal, 22 părți din al treilea). În astfel de termeni, Fibonacci a reformulat binecunoscuta problemă a păsărilor, care foloseau aceleași numere (30 de păsări din trei specii diferite costă 30 de monede, la prețuri date, aflați numărul de păsări din fiecare specie).

„O problemă de glumă despre șapte bătrâne” care mergeau la Roma, și fiecare avea șapte catâri, fiecare având șapte pungi, fiecare având șapte pâini, fiecare având șapte cuțite, fiecare având șapte teacă. Trebuie să găsiți numărul total de articole. Această sarcină a mers în jurul multor țări, prima mențiune cunoscută despre ea a fost în Egiptul antic în papirusul lui Ahmes. (Răspuns: 137256).
Probleme în combinatorică
Numerele Fibonacci sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor din combinatorică.
Combinatoria este o ramură a matematicii care se ocupă cu studiul unei selecții a unui număr dat de elemente dintr-o mulțime desemnată, enumerare etc.
Să ne uităm la exemple de sarcini de combinatorie concepute pentru nivelul de liceu.
Sarcina 1:
Lesha urcă pe o scară de 10 trepte. El sare în sus fie o treaptă, fie două trepte o dată. În câte moduri poate Lesha să urce scările?
Soluţie:
Numărul de moduri prin care Lesha poate urca pe o scară de n trepte este notat cu n. Rezultă că a 1 = 1, a 2 = 2 (la urma urmei, Lesha sare unul sau doi pași).
Se mai prevede ca Lesha sa sare pe o scara de n > 2 trepte. Să presupunem că a sărit doi pași prima dată. Deci, în funcție de starea problemei, trebuie să sară încă n - 2 pași. Apoi, numărul de moduri de a finaliza urcarea este descris ca n–2. Și dacă presupunem că pentru prima dată Lesha a sărit doar un pas, atunci vom descrie numărul de moduri de a finaliza urcarea ca un n–1 .
De aici obținem următoarea egalitate: a n = a n–1 + a n–2 (pare familiar, nu-i așa?).
Deoarece cunoaștem a 1 și a 2 și ne amintim că există 10 pași în funcție de starea problemei, calculați toți a n în ordine: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.
Răspuns: 89 de moduri.
Sarcina #2:
Este necesar să găsiți numărul de cuvinte cu o lungime de 10 litere, care constau numai din literele „a” și „b” și nu trebuie să conțină două litere „b” la rând.
Soluţie:
Notează cu a n numărul de cuvinte cu lungimea n litere care constau numai din literele „a” și „b” și care nu conțin două litere „b” la rând. Deci a 1 = 2, a 2 = 3.
În succesiunea a1, a2, a n, vom exprima fiecare termen următor în termenii celor anteriori. Prin urmare, numărul de cuvinte cu lungimea n litere, care, de asemenea, nu conțin o literă dublă „b” și încep cu litera „a”, este un n-1. Și dacă un cuvânt cu o lungime de n litere începe cu litera „b”, este logic ca următoarea literă dintr-un astfel de cuvânt să fie „a” (la urma urmei, nu pot exista doi „b” conform condiției problemă). Prin urmare, numărul de cuvinte cu lungimea n litere în acest caz va fi notat cu n–2. Atât în ​​primul cât și în al doilea caz, poate urma orice cuvânt (lungimea de n - 1 și respectiv n - 2 litere) fără „b” dublat.
Am putut justifica de ce a n = a n–1 + a n -2.
Să calculăm acum a 3 = a 2 + a 1 = 3 + 2 = 5, a 4 = a 3 + a 2 = 5 + 3 = 8, a 10 = a 9 + a 8 = 144. Și obținem familiarul Secvența Fibonacci.
Raspuns: 144.
Sarcina #3:
Imaginează-ți că există o bandă împărțită în celule. Merge spre dreapta și durează la infinit. Așezați o lăcustă pe prima celulă a panglicii. Pe oricare dintre celulele casetei se află, el se poate deplasa doar spre dreapta: fie o celulă, fie două. Câte moduri există ca o lăcustă să sară de la începutul benzii la celula a n-a?
Soluţie:
Să notăm numărul de moduri de a muta lăcusta de-a lungul benzii până la a n-a celulă ca n . În acest caz, a 1 = a 2 = 1. De asemenea, lăcusta poate intra în celula n + 1 fie din celula a n-a, fie sărind peste ea. Prin urmare a n + 1 = a n - 1 + a n . De unde un n \u003d F n - 1.
Răspuns: Fn - 1.
Poți să creezi singur probleme similare și să încerci să le rezolvi la lecțiile de matematică cu colegii tăi.

Lucrările lui Fibonacci
Sub patronajul împăratului, Leonardo de Pisa a scris mai multe cărți:

Cartea Abacului (Liberabaci), 1202, completată în 1228;

„Practica de geometrie” (Practicageometriae), 1220;

„Floare” (Flos) 1225;

Cartea Pătratelor (Liberquadratorum), 1225;

Diminorguisa, pierdută;

Comentariu la Cartea a X-a a Elementelor lui Euclid, pierdut;

Scrisoare către Theodorus, 1225.

Dreptunghiul de aur și spirala Fibonacci
O altă paralelă curioasă între numerele Fibonacci și raportul de aur ne permite să desenăm așa-numitul „dreptunghi de aur”: laturile lui sunt legate în proporție de 1,618 la 1. Dar știm deja care este numărul 1,618, nu?
De exemplu, să luăm doi termeni consecutivi din seria Fibonacci - 8 și 13 - și să construim un dreptunghi cu următorii parametri: lățime = 8, lungime = 13.
Și apoi împărțim dreptunghiul mare în altele mai mici. Condiție obligatorie: lungimile laturilor dreptunghiurilor trebuie să corespundă numerelor Fibonacci. Acestea. lungimea laturii dreptunghiului mai mare trebuie să fie egală cu suma laturilor celor două dreptunghiuri mai mici.
Modul în care se face în această figură (pentru comoditate, cifrele sunt semnate cu litere latine).


Apropo, puteți construi dreptunghiuri în ordine inversă. Acestea. începeți să construiți din pătrate cu latura de 1. La care, ghidându-se după principiul exprimat mai sus, se completează figuri cu laturile egale cu numerele Fibonacci. Teoretic, acest lucru poate fi continuat la infinit - la urma urmei, seria Fibonacci este formal infinită.
Dacă conectăm colțurile dreptunghiurilor obținute în figură cu o linie netedă, obținem o spirală logaritmică. Mai degrabă, cazul său special este spirala Fibonacci. Se caracterizează, în special, prin faptul că nu are granițe și nu își schimbă forma.

O astfel de spirală se găsește adesea în natură. Cojile de moluște sunt unul dintre cele mai izbitoare exemple. Mai mult, unele galaxii care pot fi văzute de pe Pământ au formă de spirală. Dacă ești atent la prognozele meteo de la televizor, poate ai observat că ciclonii au o formă similară în spirală atunci când le trag din sateliți.

Este curios că helixul ADN respectă și regula secțiunii de aur - modelul corespunzător poate fi văzut în intervalele curbelor sale.

Asemenea „coincidențe” uimitoare nu pot decât să excite mințile și să dea naștere la discuții despre un fel de algoritm unic căruia îi respectă toate fenomenele din viața Universului. Acum înțelegi ușile către ce lumi uimitoare îți poate deschide matematica?

Numerele Fibonacci în natură
Legătura dintre numerele Fibonacci și raportul de aur sugerează modele curioase. Atât de curios încât este tentant să încerci să găsești secvențe precum numerele Fibonacci în natură și chiar în cursul evenimentelor istorice. Și natura într-adevăr dă naștere unor astfel de presupuneri. Dar poate fi explicat și descris totul din viața noastră cu ajutorul matematicii?

Trebuie spus că spirala Fibonacci poate fi dublă. Există numeroase exemple de aceste elice duble găsite peste tot. Așa se corelează întotdeauna spiralele de floarea-soarelui cu seria Fibonacci. Chiar și într-o conă de pin obișnuită, puteți vedea această spirală dublă Fibonacci. Prima spirală merge într-o direcție, a doua - în cealaltă. Dacă numărăm numărul de scale dintr-o spirală care se rotește într-o direcție și numărul de scale din cealaltă spirală, putem vedea că acestea sunt întotdeauna două numere consecutive ale seriei Fibonacci. Pot fi opt într-o direcție și 13 în cealaltă, sau 13 într-una și 21 în cealaltă 3.

Care este diferența dintre spiralele raportului de aur și spirala Fibonacci? Spirala proporției de aur este perfectă. Ea corespunde sursei primare a armoniei. Această spirală nu are nici început, nici sfârșit. Ea este nesfârșită. Spirala Fibonacci are un început, de la care începe „desfășurarea”. Aceasta este o proprietate foarte importantă. Acesta permite Naturii, după următorul ciclu închis, să realizeze construcția unei noi spirale de la „zero”.
Deci, exemple de animale sălbatice care pot fi descrise folosind secvența Fibonacci:

ordinea de aranjare a frunzelor (și a ramurilor) la plante - distanțele dintre ele sunt corelate cu numerele Fibonacci (filotaxie);

locația semințelor de floarea soarelui (semințele sunt dispuse în două rânduri de spirale răsucite în direcții diferite: un rând în sensul acelor de ceasornic, celălalt în sens invers acelor de ceasornic);

localizarea solzilor de conuri de pin;

petale de flori;

celule de ananas;

raportul dintre lungimile falangelor degetelor de pe mâna omului (aproximativ) etc.

Plante

Până și Goethe a subliniat tendința naturii spre spiralare. Aranjarea în spirală și spirală a frunzelor de pe ramurile copacilor a fost observată cu mult timp în urmă. Spirala a fost văzută în aranjamentul semințelor de floarea soarelui, în conuri de pin, ananas, cactusi etc. Lucrarea comună a botaniştilor şi matematicienilor aruncă lumină asupra acestor fenomene naturale uimitoare. S-a dovedit că în aranjarea frunzelor pe o ramură de semințe de floarea soarelui, conuri de pin, seria Fibonacci se manifestă și, prin urmare, legea secțiunii de aur se manifestă.

Printre ierburile de pe marginea drumului crește o plantă neremarcabilă - cicoarea. Să aruncăm o privire mai atentă. Din tulpina principală s-a format o ramură. Iată prima frunză. Procesul face o ejectare puternică în spațiu, se oprește, eliberează o frunză, dar este deja mai scurtă decât prima, face din nou o ejectare în spațiu, dar cu o forță mai mică, eliberează o frunză de dimensiuni și mai mici și ejectează din nou. Dacă primul valori aberanți este luat ca 100 de unități, atunci al doilea este de 62 de unități, al treilea este de 38, al patrulea este de 24 și așa mai departe. Lungimea petalelor este, de asemenea, supusă raportului de aur. În creștere, cucerirea spațiului, planta și-a păstrat anumite proporții. Impulsurile sale de creștere au scăzut treptat proporțional cu raportul de aur.

Plante compuse

Solidele platonice și seria Fibonacci

Și acum să ne uităm la o altă proprietate remarcabilă a seriei Fibonacci.

Există doar cinci forme unice care sunt de o importanță capitală. Se numesc corpuri Platanus. Orice solid platonic are unele caracteristici speciale.

În primul rând, toate fețele unui astfel de corp au dimensiuni egale.

În al doilea rând, marginile solidului platonic sunt de aceeași lungime.

În al treilea rând, unghiurile interne dintre fețele sale adiacente sunt egale.

Și, în al patrulea rând, fiind înscris într-o sferă, solidul platonic atinge suprafața acestei sfere cu fiecare dintre vârfurile sale.

Există doar patru forme în afară de cub care au toate aceste caracteristici. Al doilea corp este un tetraedru (tetra înseamnă „patru”), având patru fețe sub formă de triunghiuri echilaterale și patru vârfuri. Un alt solid este octaedrul (octa înseamnă „opt”), ale cărui opt fețe sunt triunghiuri echilaterale de aceeași dimensiune. Octaedrul conține 6 vârfuri. Un cub are 6 fețe și opt vârfuri. Celelalte două solide platonice sunt oarecum mai complicate. Unul se numește icosaedru, care înseamnă „având 20 de fețe”, reprezentat prin triunghiuri echilaterale. Icosaedrul are 12 vârfuri. Celălalt se numește dodecaedru (dodeca este „doisprezece”). Fețele sale sunt 12 pentagoane regulate. Dodecaedrul are douăzeci de vârfuri.

Aceste corpuri au proprietățile remarcabile de a fi înscrise în doar două cifre - o sferă și un cub. O relație similară cu solidele platonice poate fi urmărită în toate zonele. Deci, de exemplu, sistemul de orbite ale planetelor sistemului solar poate fi reprezentat ca solide platonice imbricate unele în altele, înscrise în sferele corespunzătoare, care determină razele orbitelor planetelor corespunzătoare ale sistemului solar.

CONCLUZIE

Seria Fibonacci ar fi putut rămâne doar un incident matematic dacă nu ar fi fost faptul că toți cercetătorii diviziei de aur din lumea plantelor și animale, ca să nu mai vorbim de artă și arhitectură, au ajuns invariabil la această serie ca o expresie aritmetică a aurului. legea diviziunii.

Astfel, secvența totală a lui Fibonacci poate interpreta cu ușurință tiparul manifestărilor numerelor de aur găsite în natură. Aceste legi funcționează indiferent de cunoștințele noastre, din dorința cuiva de a le accepta sau nu.
În munca mea, desigur, nu pot afirma esența acestei probleme până la cel mai mic detaliu, dar am încercat să reflect cele mai interesante și semnificative aspecte.

Sunt convins că acest subiect va fi relevant pentru o lungă perioadă de timp, iar din ce în ce mai multe fapte vor fi descoperite care confirmă prezența și influența secvenței Fibonacci asupra vieții noastre.

Sper că am putut să vă spun o mulțime de lucruri interesante și utile astăzi. De exemplu, acum poți căuta spirala Fibonacci în natura din jurul tău. Dintr-o dată, tu ești cel care vei putea dezvălui „secretul vieții, al universului și în general”.
Deși există o părere că aproape toate afirmațiile care găsesc numerele Fibonacci în fenomenele naturale și istorice sunt incorecte - acesta este un mit comun, care se dovedește adesea a fi o potrivire inexactă la rezultatul dorit.

Republica Pisa

Activitate științifică

El a prezentat o parte semnificativă a cunoștințelor pe care le dobândise în extraordinara sa „Cartea abacului” ( Liber abaci, 1202; doar manuscrisul suplimentat din 1228 a supraviețuit până astăzi). Această carte conține aproape toate informațiile aritmetice și algebrice ale vremii, prezentate cu o completitudine și profunzime excepționale. Primele cinci capitole ale cărții sunt dedicate aritmeticii întregi bazate pe numerotarea zecimală. În capitolele VI și VII, Leonardo schițează operațiile pe fracții obișnuite. Capitolele VIII-X prezintă metode de rezolvare a problemelor de aritmetică comercială bazate pe proporții. Capitolul XI tratează problemele de amestecare. Capitolul XII prezintă sarcini de însumare a seriilor - progresii aritmetice și geometrice, o serie de pătrate și, pentru prima dată în istoria matematicii, o serie reciprocă care duce la o succesiune de așa-numitele numere Fibonacci. Capitolul XIII stabilește regula a două poziții false și o serie de alte probleme reduse la ecuații liniare. În capitolul XIV, Leonardo, folosind exemple numerice, explică cum se aproximează extragerea rădăcinilor pătrate și cubice. În final, în capitolul XV sunt colectate o serie de probleme privind aplicarea teoremei lui Pitagora și un număr mare de exemple de ecuații pătratice. Leonardo a fost primul din Europa care a folosit numere negative, pe care le considera datorie.

„Cartea abacului” se ridică brusc deasupra literaturii aritmetice și algebrice europene din secolele XII-XIV. varietatea și puterea metodelor, bogăția sarcinilor, dovezile prezentării. Matematicienii ulterioare au tras din aceasta atât probleme, cât și metode de rezolvare a acestora. Conform primei cărți, multe generații de matematicieni europeni au studiat sistemul indian de numere poziționale.

Monumentul Fibonacci din Pisa

O altă carte de Fibonacci, Practica geometriei ( Practica geometriae, 1220), conține o varietate de teoreme legate de metodele de măsurare. Alături de rezultatele clasice, Fibonacci dă și propria lui - de exemplu, prima dovadă că cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct (Arhimede știa acest fapt, dar dacă dovada lui a existat, nu a ajuns la noi).

În tratatul „Floare” ( Flos, 1225) Fibonacci a investigat ecuația cubică propusă de Ioan de Palermo la un concurs de matematică la curtea împăratului Frederic al II-lea. Însuși Ioan din Palermo a împrumutat aproape sigur această ecuație din tratatul lui Omar Khayyam Despre dovezile problemelor în algebră, unde este dată ca exemplu al unuia dintre tipurile din clasificarea ecuațiilor cubice. Leonardo din Pisa a investigat această ecuație, arătând că rădăcina ei nu poate fi rațională sau nu poate avea forma uneia dintre iraționalitățile pătratice găsite în cartea X a Elementelor lui Euclid, apoi a găsit valoarea aproximativă a rădăcinii în fracții sexagesimale, egală cu 1; 22.07.42, 33,04,40, fără a indica, însă, modul de soluţionare a acestuia.

„Cartea pătratelor” ( Liber quadratorum, 1225), conține o serie de probleme pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice nedefinite. Într-una dintre probleme, propusă tot de Ioan din Palermo, s-a cerut să se găsească un număr pătrat rațional, care, atunci când crește sau micșorează cu 5, dă din nou numere pătrate raționale.

numerele Fibonacci

În onoarea omului de știință, este numită o serie de numere, în care fiecare număr următor este egal cu suma celor două anterioare. Această secvență de numere se numește numere Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 12786, 10946, 6765, 10946, 6765 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, … (secvența OEIS A000045)

Țintele Fibonacci

1, 3, 9, 27, 81,... (grade de 3, secvența OEIS A009244)

Lucrările lui Fibonacci

• „Cartea abacului” (Liber abaci), 1202

Vezi si

Note

Literatură

• Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea (sub redacția lui A.P. Yushkevich), volumul II, M., Nauka, 1972, pp. 260-267.
• Karpushina N.„Liber abaci” de Leonardo Fibonacci, Matematică la școală, nr. 4, 2008.
• Shchetnikov A.I. Despre reconstrucția unei metode iterative de rezolvare a ecuațiilor cubice în matematica medievală. Procesele celei de-a treia lecturi ale lui Kolmogorov. Yaroslavl: Editura YaGPU, 2005, p. 332-340.
• Yaglom I.M. Negustorul italian Leonardo Fibonacci și iepurii săi. // Kvant, 1984. Nr. 7. P. 15-17.
• Glushkov S. Despre metodele de aproximare ale lui Leonardo Fibonacci. Historia Mathematica, 3, 1976, p. 291-296.
• Sigler, L.E. Fibonacci's Liber Abaci, Leonardo Pisano's Book of Calculations" Springer. New York, 2002, ISBN 0-387-40737-5.

Categorii:

• Personalități în ordine alfabetică
• Oamenii de știință în ordine alfabetică
• Născut în Pisa
• Mort la Pisa
• Matematicieni în ordine alfabetică
• Matematicieni din Italia
• matematicienii din secolul al XIII-lea
• Oamenii de știință din Evul Mediu
• Matematicieni în teoria numerelor

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Fibonacci” în alte dicționare:

- (Fibonacci) Leonardo (c. 1170 c. 1240), matematician italian. Autor al „Liber Abaci” (c. 1200), prima lucrare vest-europeană, care propunea adoptarea sistemului arab (indian) de scriere a numerelor. Dezvoltare matematică... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Vezi pe Leonardo din Pisa... Dicţionar enciclopedic mare

Fibonacci- (1170 1288) Unul dintre primii reprezentanți ai contabilității italiene, al cărui principal merit este introducerea și promovarea cifrelor arabe în Europa (adică înlocuirea sistemului de deducție romană aditivă cu zecimal pozițional). )