Densitatea de distribuție a sumei a două mărimi uniform distribuite. Legea distribuției sumei a două variabile aleatoare. Componența a două legi de distribuție. Cereri pentru asigurare

În practică, adesea devine necesar să se găsească legea distribuției pentru suma variabilelor aleatoare.

Să existe un sistem (X b X 2) două continue s. în. si suma lor

Să găsim densitatea de distribuție c. în. U. În conformitate cu soluţia generală a paragrafului precedent găsim regiunea planului în care x + x 2 (Fig. 9.4.1):

Diferențiând această expresie față de y, obținem un ap. variabilă aleatorie Y \u003d X + X 2:

Deoarece funcția φ (x b x 2) = Xj + x 2 este simetrică în raport cu argumentele sale, atunci

Dacă cu. în. Xși X 2 sunt independente, atunci formulele (9.4.2) și (9.4.3) iau forma:

În cazul în care independentă c. în. x xși X 2, vorbesc despre componența legilor de distribuție. Legume şi fructe compoziţie două legi de distribuție - aceasta înseamnă găsirea legii de distribuție pentru suma a două c independente. c., distribuite conform acestor legi. Notația simbolică este folosită pentru a desemna compoziția legilor de distribuție

care se notează în esență prin formulele (9.4.4) sau (9.4.5).

Exemplul 1. Se are în vedere funcționarea a două dispozitive tehnice (TD). În primul rând, TU funcționează după ce defecțiunea sa (eșecul) este inclusă în funcționarea TU 2. Uptime TU TU TU 2 - x xși X 2 - sunt independente şi distribuite conform legilor exponenţiale cu parametrii A,1 şi X 2 . Prin urmare, timpul Y funcționarea fără probleme a TU, constând din TU! iar TU 2 va fi determinat prin formula

Se cere găsirea unui p.r. variabilă aleatorie Y, adică alcătuirea a două legi exponențiale cu parametri și X 2 .

Soluţie. Prin formula (9.4.4) obținem (y > 0)

Dacă există o compoziție a două legi exponențiale cu aceiași parametri (?c = X 2 = Y), atunci în expresia (9.4.8) se obține o incertitudine de tip 0/0, extinzând căreia, obținem:

Comparând această expresie cu expresia (6.4.8), suntem convinși că alcătuirea a două legi exponențiale identice (?c = X 2 = X) este legea Erlang de ordinul doi (9.4.9). La alcătuirea a două legi exponenţiale cu parametri diferiţi x xși A-2 obține legea Erlang generalizată de ordinul doi (9.4.8). ?

Problema 1. Legea distribuției diferenței a două s. în. Sistem cu. în. (X și X 2) are un r.p./(x x x 2). Găsiți un p.r. diferențele lor Y=X - X 2 .

Soluţie. Pentru sistemul cu în. (X b - X 2) etc. va fi / (x b - x 2), adică am înlocuit diferența cu suma. Prin urmare, a.r. variabila aleatoare U va avea forma (vezi (9.4.2), (9.4.3)):

În cazul în care un Cu. în. X x iX 2 independent, atunci

Exemplul 2. Găsiți un f.r. diferența a două s independente distribuite exponențial. în. cu parametrii x xși X 2 .

Soluţie. Conform formulei (9.4.11) obținem

Orez. 9.4.2 Orez. 9.4.3

Figura 9.4.2 prezintă o p. g(y). Dacă luăm în considerare diferența a două s independente distribuite exponențial. în. cu aceiași parametri (A-i= X 2 = DAR,), apoi g(y) \u003d / 2 - deja familiar

legea lui Laplace (Fig. 9.4.3). ?

Exemplul 3. Aflați legea distribuției pentru suma a două c independente. în. Xși X 2, distribuite conform legii Poisson cu parametri un xși a 2 .

Soluţie. Găsiți probabilitatea unui eveniment (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Prin urmare, s. în. Y= X x + X 2 distribuit conform legii Poisson cu parametrul a x2) - a x + a 2. ?

Exemplul 4. Aflați legea distribuției pentru suma a două c independente. în. x xși X 2, distribuite după legi binomiale cu parametri p x ri p 2 , p respectiv.

Soluţie. Imaginați-vă cu. în. x x la fel de:

Unde X 1) - indicator de eveniment DAR wu "a-a experiență:

Gama de distributie cu. în. X,- are forma

Vom face o reprezentare similară pentru s. în. X 2: unde X] 2) - indicator de eveniment DARîn a-a experiență:

Prin urmare,

unde este X? 1)+(2) dacă indicatorul evenimentului DAR:

Astfel, am arătat că în. Suma socrului (u + n 2) indicatori de eveniment DAR, de unde rezultă că s. în. ^distribuit conform legii binomiale cu parametri ( n x + n 2), p.

Rețineți că dacă probabilitățile Rîn diferite serii de experimente sunt diferite, apoi ca urmare a adăugării a două s independente. c., distribuite conform legilor binomiale, rezultă c. c., distribuite nu conform legii binomiale. ?

Exemplele 3 și 4 sunt ușor de generalizat la un număr arbitrar de termeni. La alcătuirea legilor lui Poisson cu parametri a b a 2 , ..., un t Legea lui Poisson se obține din nou cu parametrul a (t) \u003d a x + a 2 + ... + Si t.

La alcătuirea legilor binomiale cu parametri (n r); (i 2, R) , (n t, p) din nou obținem legea binomială cu parametrii (“(“), R), Unde n (t) \u003d u + n 2 + ... + etc.

Am demonstrat proprietăți importante ale legii lui Poisson și ale legii binomiale: „proprietatea de stabilitate”. Legea distributiei se numeste durabil, dacă din alcătuirea a două legi de același tip rezultă o lege de același tip (diferă doar parametrii acestei legi). În Subsecțiunea 9.7 vom arăta că legea normală are aceeași proprietate de stabilitate.

Factorul de decizie poate folosi asigurarea pentru a atenua impactul financiar negativ al anumitor tipuri de evenimente aleatorii.

Dar această discuție este foarte generală, deoarece un factor de decizie ar putea însemna atât o persoană care caută protecție împotriva daunelor aduse proprietății, economii sau venituri, cât și o organizație care caută protecție împotriva aceluiași tip de daune.

De fapt, o astfel de organizație poate fi o companie de asigurări care caută modalități de a se proteja de pierderile financiare din cauza prea multor evenimente asigurate care au avut loc cu un client individual sau cu portofoliul său de asigurări. Această protecție se numește reasigurare.

Luați în considerare unul dintre cele două modele (și anume model de risc individual) utilizat pe scară largă în determinarea ratelor și rezervelor de asigurare, precum și în reasigurare.

Notează prin S valoarea pierderilor accidentale ale companiei de asigurări pentru o parte din riscurile acesteia. În acest caz S este o variabilă aleatoare pentru care trebuie să determinăm distribuția probabilității. Din punct de vedere istoric, pentru distribuțiile de r.v. S existau două seturi de postulate. Modelul de risc individual definește S in felul urmator:

unde r.v. înseamnă pierderi cauzate de obiectul asigurării cu numărul eu, A n denotă numărul total de obiecte de asigurare.

De obicei, se presupune că sunt variabile aleatoare independente, deoarece în acest caz calculele matematice sunt mai simple și nu sunt necesare informații despre natura relației dintre ele. Al doilea model este modelul de risc colectiv.

Modelul luat în considerare al riscurilor individuale nu reflectă modificări ale valorii banilor în timp. Acest lucru se face pentru a simplifica modelul, motiv pentru care titlul articolului se referă la un interval de timp scurt.

Vom lua în considerare doar modele închise, adică cele în care numărul obiectelor de asigurare nîn formula (1.1) este cunoscută și fixată chiar la începutul intervalului de timp considerat. Dacă introducem ipoteze despre prezența migrației din sau către sistemul de asigurări, atunci obținem un model deschis.

Variabile aleatorii care descriu plăți individuale

În primul rând, să reamintim principalele prevederi privind asigurarea de viață.

În cazul asigurării de deces pe o perioadă de un an, asigurătorul se obligă să plătească suma b, daca asiguratul decedeaza in termen de un an de la data incheierii contractului de asigurare, si nu plateste nimic daca asiguratul traieste in acest an.

Probabilitatea ca un eveniment asigurat să se producă în cursul anului specificat este notă cu .

Variabila aleatoare care descrie plățile de asigurare are o distribuție care poate fi specificată fie prin funcția de probabilitate

(2.1)

sau funcția de distribuție corespunzătoare

(2.2)

Din formula (2.1) și din definiția momentelor se obține

(2.4)

Aceste formule pot fi obținute și prin scriere X la fel de

unde este o valoare constantă plătită în caz de deces și este o variabilă aleatorie care ia valoarea 1 la deces și 0 în caz contrar.

Astfel, și , iar valoarea medie și varianța r.v. sunt egale și respectiv, iar valoarea medie și varianța r.v. sunt egale cu și , care coincide cu formulele de mai sus.

O variabilă aleatoare cu interval (0,1) este utilizată pe scară largă în modelele actuariale.

În manualele de teoria probabilităților, se numește indicator, Bernoulli aleatoriu valoare sau variabilă aleatoare binomialăîn proiectarea unică de testare.

O vom suna indicator din motive de concizie, precum și pentru că indică declanșarea, sau nu, a evenimentului în cauză.

Să ne întoarcem la căutarea unor modele mai generale în care valoarea plății asigurării este și ea o variabilă aleatorie și pot apărea mai multe evenimente de asigurare în intervalul de timp considerat.

Asigurarea de sănătate, asigurarea auto și alte asigurări de proprietate și asigurarea de răspundere civilă oferă imediat multe exemple. Generalizând formula (2.5), setăm

unde este o variabilă aleatorie care descrie plățile de asigurare în intervalul de timp considerat, r.v. denota suma totala a platilor in acest interval si r.v. este un indicator al cazului în care a avut loc cel puțin un eveniment asigurat.

Fiind un indicator al unui astfel de eveniment, r.v. fixează prezența () sau lipsa () evenimentele asigurate în acest interval de timp, dar nu și numărul de evenimente asigurate din acesta.

Probabilitatea va continua să fie notată cu .

Să discutăm câteva exemple și să determinăm distribuția variabilelor aleatoare și în unele modele.

Să luăm în considerare mai întâi asigurarea de deces pentru un an, cu o prestație suplimentară dacă decesul este un accident.

Pentru certitudine, să presupunem că dacă decesul a survenit în urma unui accident, atunci suma plății va fi de 50 000. Dacă decesul survine din alte cauze, suma plății va fi de 25 000.

Să presupunem că pentru o persoană de o anumită vârstă, stare de sănătate și profesie, probabilitatea de a muri ca urmare a unui accident în timpul anului este de 0,0005, iar probabilitatea de a muri din alte cauze este de 0,0020. Sub formă de formulă, arată astfel:

Însumând toate valorile posibile ale , obținem

,

Distribuția condiționată c. în. condiția are forma

Să luăm acum în considerare asigurarea împotriva coliziunii auto (despăgubire plătită proprietarului mașinii pentru daunele cauzate mașinii sale) cu o deductibilă necondiționată de 250 și o plată maximă de 2000.

Pentru claritate, presupunem că probabilitatea de apariție a unui eveniment asigurat în perioada de timp considerată pentru o persoană este de 0,15, iar probabilitatea de apariție a mai multor coliziuni este egală cu zero:

, .

Presupunerea nerealistă că nu se poate produce mai mult de un eveniment asigurat pe parcursul unei perioade este făcută pentru a simplifica distribuirea r.v. .

Vom renunța la această ipoteză în secțiunea următoare după ce vom analiza distribuția sumei mai multor daune de asigurare.

Întrucât este valoarea plăților asigurătorului, și nu prejudiciul cauzat mașinii, putem lua în considerare două caracteristici, și.

În primul rând, evenimentul include acele coliziuni în care prejudiciul este mai mic decât deductibilitatea necondiționată, care este 250.

În al doilea rând, distribuirea r.v. va avea un „cheag” al masei probabilistice în punctul sumei maxime a plăților de asigurare, care este egală cu 2000.

Să presupunem că masa probabilistică concentrată în acest punct este 0,1. În plus, să presupunem că valoarea plăților de asigurare în intervalul de la 0 la 2000 poate fi modelată printr-o distribuție continuă cu o funcție de densitate proporțională cu (În practică, curba continuă care este aleasă pentru a reprezenta distribuția primelor este rezultatul studiilor primelor din perioada anterioară.)

Rezumând aceste ipoteze despre distribuția condiționată a r.v. în condiția , ajungem la o distribuție de tip mixt care are o densitate pozitivă în intervalul de la 0 la 2000 și un „cheag” al masei probabilistice la punctul 2000. Acest lucru este ilustrat de graficul din Fig. 2.2.1.

Funcția de distribuție a acestei distribuții condiționate arată astfel:

Fig.2.1. Funcția de distribuție a r.v. B în condiția I = 1

Calculăm așteptările și variația matematică în exemplul considerat cu asigurarea auto în două moduri.

În primul rând, scriem distribuția r.v. și folosește-l pentru a calcula și . Notând prin funcția de distribuție a r.v. , avem

Pentru X<0

Aceasta este o distribuție mixtă. După cum se arată în fig. 2.2, are atât o parte discretă („clump” de masă probabilistică la punctul 2000) cât și o parte continuă. O astfel de funcție de distribuție corespunde unei combinații a funcției de probabilitate

Orez. 2.2. Funcția de distribuție a r.v. X=IB

și funcții de densitate

În special, și . De aceea .

Există o serie de formule care relaționează momentele variabilelor aleatoare cu așteptările matematice condiționate. Pentru așteptarea matematică și pentru varianță, aceste formule au forma

(2.10)

(2.11)

Se presupune că expresiile din stânga acestor egalități sunt calculate direct din distribuția r.v. . La calcularea expresiilor din partea dreaptă, și anume, și , se utilizează distribuția condiționată a r.v. la o valoare fixă ​​de r.v. .

Aceste expresii sunt, așadar, funcții ale r.v. , și putem calcula momentele lor folosind distribuția r.v. .

Distribuțiile condiționate sunt utilizate în multe modele actuariale și acest lucru permite ca formulele de mai sus să fie aplicate direct. În modelul nostru. Având în vedere r.v. ca si r.v. ca, primim

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

și luați în considerare așteptările matematice condiționate

(2.16)

(2.17)

Formulele (2.16) și (2.17) sunt definite în funcție de r.v. , care poate fi scrisă sub următoarea formulă:

De la , atunci (2.21)

Pentru că avem și (2.22)

Formulele (2.21) și (2.22) pot fi combinate: (2.23)

Astfel, (2,24)

Înlocuind (2.21), (2.20) și (2.24) în (2.12) și (2.13), obținem

Să aplicăm formulele primite pentru calcul și într-un exemplu de asigurare auto (fig. 2.2). Deoarece funcția de densitate a r.v. În condiția este exprimată prin formula

și P(B=2000|I=1)= 0,1, avem

În fine, presupunând q= 0,15, din formulele (2.25) și (2.26) obținem următoarele egalități:

Pentru a descrie o altă situație de asigurare, putem oferi și alte modele pentru r.v. .

Exemplu: model pentru numărul de decese din accidente de aviație

De exemplu, luați în considerare un model pentru numărul de decese cauzate de accidente de aviație pe o perioadă de un an de operare a unei companii aeriene.

Putem începe cu o variabilă aleatorie care descrie numărul de decese pentru un zbor și apoi să însumăm aceste variabile aleatoare pentru toate zborurile dintr-un an.

Pentru un zbor, evenimentul va indica debutul unui accident aerian. Numărul de decese pe care le-a determinat această catastrofă va fi reprezentat de produsul a două variabile aleatorii și , unde este factorul de încărcare a aeronavei, adică numărul de persoane aflate la bord în momentul accidentului și este proporția deceselor în rândul persoanelor aflate pe bord.

Numărul deceselor este prezentat în acest fel, deoarece statisticile separate pentru și sunt mai accesibile decât statisticile pentru r.v. . Deci, deși proporția deceselor în rândul persoanelor aflate la bord și numărul de persoane aflate la bord sunt probabil legate, ca primă aproximare se poate presupune că r.v. si independenta.

Sumele variabilelor aleatoare independente

În modelul de risc individual, plățile de asigurare efectuate de o companie de asigurări sunt prezentate ca sumă a plăților către mai multe persoane.

Amintiți-vă două metode pentru determinarea distribuției sumei variabilelor aleatoare independente. Luați în considerare mai întâi suma a două variabile aleatoare, al căror spațiu eșantion este prezentat în Fig. 3.1.

Orez. 2.3.1. Eveniment

Linia și zona de sub această linie reprezintă un eveniment. Prin urmare, funcția de distribuție a r.v. S are forma (3.1)

Pentru două variabile aleatoare discrete nenegative, putem folosi formula probabilității totale și scriem (3.1) ca

În cazul în care un Xși Y sunt independente, ultima sumă poate fi rescrisă ca

(3.3)

Funcția de probabilitate corespunzătoare acestei funcții de distribuție poate fi găsită prin formula

(3.4)

Pentru variabile aleatoare continue nenegative, formulele corespunzătoare formulelor (3.2), (3.3) și (3.4) au forma

Când una sau ambele variabile aleatoare Xși Y au o distribuție de tip mixt (ceea ce este tipic pentru modelele de risc individuale), formulele sunt similare, dar mai greoaie. Pentru variabilele aleatoare care pot lua și valori negative, sumele și integralele din formulele de mai sus sunt preluate toate valorile lui y de la până la .

În teoria probabilităților, operația din formulele (3.3) și (3.6) se numește convoluția a două funcții de distribuție și se notează cu . Operația de convoluție poate fi definită și pentru o pereche de funcții de probabilitate sau densitate folosind formulele (3.4) și (3.7).

Pentru a determina distribuția sumei a mai mult de două variabile aleatoare, putem folosi iterații ale procesului de convoluție. Pentru , unde sunt variabile aleatoare independente, denotă funcția de distribuție a r.v. și este funcția de distribuție a r.v. , vom lua

Exemplul 3.1 ilustrează această procedură pentru trei variabile aleatoare discrete.

Exemplul 3.1. Variabile aleatoare și sunt independente și au distribuții definite de coloanele (1), (2) și (3) din tabelul de mai jos.

Să scriem funcția de probabilitate și funcția de distribuție a r.v.

Soluţie. Tabelul folosește notația introdusă înainte de exemplu:

Coloanele (1)-(3) conțin informațiile disponibile.

Coloana (4) se obține din coloanele (1) și (2) folosind (3.4).

Coloana (5) se obține din coloanele (3) și (4) folosind (3.4).

Definiția coloanei (5) completează determinarea funcției de probabilitate pentru r.v. . Funcția sa de distribuție în coloana (8) este mulțimea sumelor parțiale ale coloanei (5), începând de sus.

Pentru claritate, am inclus coloana (6), funcția de distribuție pentru coloana (1), coloana (7), care poate fi obținută direct din coloanele (1) și (6) folosind (2.3.3) și coloana (8). ) determinat de în mod similar pentru coloanele (3) și (7). Coloana (5) poate fi determinată din coloana (8) prin scădere succesivă.

Să ne întoarcem la considerarea a două exemple cu variabile aleatoare continue.

Exemplul 3.2. Lasă r.v. are o distribuție uniformă pe intervalul (0,2), și fie r.v. nu depinde de r.v. și are o distribuție uniformă pe intervalul (0,3). Să definim funcția de distribuție a r.v.

Soluţie. Deoarece distribuirile de r.v. și continuă, folosim formula (3.6):

Apoi

Spațiul eșantion al r.v. și este ilustrat în fig. 3.2. Zona dreptunghiulară conține toate valorile posibile ale perechii și . Evenimentul care ne interesează, , este reprezentat în figură pentru cinci valori s.

Pentru fiecare valoare, linia intersectează axa Y la punct sși o linie într-un punct. Valorile funcției pentru aceste cinci cazuri sunt descrise prin următoarea formulă:

Orez. 3.2. Convoluția a două distribuții uniforme

Exemplul 3.3. Să luăm în considerare trei r.v independente. . Pentru r.v. are o distribuţie exponenţială şi . Să găsim funcția de densitate a r.v. prin aplicarea operaţiei de convoluţie.

Soluţie. Avem

Folosind formula (3.7) de trei ori, obținem

O altă metodă de determinare a distribuției sumei variabilelor aleatoare independente se bazează pe unicitatea funcției generatoare de moment, care pentru r.v. este determinată de relație .

Dacă această așteptare matematică este finită pentru toți t dintr-un interval deschis care conține originea, atunci este singura funcție generatoare a momentelor de distribuție a r.v. în sensul că nu există altă funcţie decât , care ar fi funcţia generatoare a momentelor de distribuţie a r.v. .

Această unicitate poate fi folosită astfel: pentru suma

Dacă sunt independenți, atunci așteptarea produsului din formula (3.8) este egală cu ..., asa de

Găsirea unei expresii explicite pentru singura distribuție corespunzătoare funcției generatoare a momentelor (3.9) ar completa găsirea distribuției r.v. . Dacă nu este posibil să îl specificați în mod explicit, atunci poate fi căutat prin metode numerice.

Exemplul 3.4. Luați în considerare variabilele aleatoare din Exemplul 3.3. Să definim funcția de densitate a r.v. , folosind funcția generatoare a momentelor r.v. .

Soluţie. Conform egalității (3.9), care poate fi scris ca folosind metoda descompunerii în fracții simple. Soluția este . Dar este funcția generatoare a momentelor distribuției exponențiale cu parametrul , astfel încât funcția de densitate a r.v. se pare ca

Exemplul 3.5. În studiul proceselor aleatorii a fost introdusă distribuția Gaussiană inversă. Este folosit ca distribuție de r.v. LA, suma plăților de asigurare. Funcția de densitate și funcția generatoare a momentelor distribuției gaussiene inverse sunt date de formulele

Să găsim distribuția r.v. , unde r.v. sunt independente și au aceleași distribuții gaussiene inverse.

Soluţie. Folosind formula (3.9), obținem următoarea expresie pentru funcția generatoare a momentelor r.v. :

Funcția generatoare a momentelor corespunde unei distribuții unice, și se poate observa că are o distribuție Gaussiană inversă cu parametrii și .

Aproximații pentru distribuția sumelor

Teorema limită centrală oferă o metodă de găsire a valorilor numerice pentru distribuția sumei variabilelor aleatoare independente. De obicei, această teoremă este formulată pentru suma variabilelor aleatoare independente și distribuite identic, unde .

Pentru orice n, distribuția r.v. unde = , are așteptarea matematică 0 și varianța 1. După cum se știe, succesiunea unor astfel de distribuții (pentru n= 1, 2, ...) tinde spre distribuția normală standard. Când n mare, această teoremă se aplică pentru a aproxima distribuția r.v. distribuție normală cu medie μ și dispersie. În mod similar, distribuția sumei n variabile aleatoare este aproximată printr-o distribuție normală cu medie și varianță.

Eficiența unei astfel de aproximări depinde nu numai de numărul de termeni, ci și de apropierea distribuției termenilor de cea normală. Multe cursuri elementare de statistică afirmă că n trebuie să fie cel puțin 30 pentru ca aproximarea să fie rezonabilă.

Cu toate acestea, unul dintre programele pentru generarea de variabile aleatoare distribuite normal utilizate în modelarea simulării implementează o variabilă aleatoare normală ca o medie a 12 variabile aleatoare independente distribuite uniform pe intervalul (0,1).

În multe modele individuale de risc, variabilele aleatoare incluse în sume nu sunt distribuite în mod egal. Acest lucru va fi ilustrat prin exemple în secțiunea următoare.

Teorema limită centrală se extinde și la secvențe de variabile aleatoare distribuite inegal.

Pentru a ilustra unele aplicații ale modelului de risc individual, vom folosi o aproximare normală a distribuției sumei variabilelor aleatoare independente pentru a obține soluții numerice. În cazul în care un , apoi

si mai departe, daca r.v. independent, atunci

Pentru aplicația în cauză avem nevoie doar de:

• găsiți mediile și variațiile variabilelor aleatoare care simulează pierderile individuale,
• însumați-le pentru a obține media și variația pierderilor companiei de asigurări în ansamblu,
• utilizați aproximarea normală.

Mai jos ilustrăm această secvență de acțiuni.

Cereri pentru asigurare

Această secțiune ilustrează utilizarea aproximării normale cu patru exemple.

Exemplul 5.1. O companie de asigurări de viață oferă un contract de asigurare de deces pe un an cu plăți de 1 și 2 unități persoanelor ale căror probabilități de deces sunt 0,02 sau 0,01. Tabelul de mai jos arată numărul de persoane nkîn fiecare din cele patru clase formate în conformitate cu plata b kși probabilitatea unui eveniment asigurat qk:

Societatea de asigurări dorește să încaseze de la acest grup de 1800 de persoane fizice o sumă egală cu percentila 95 a repartizării plăților totale de asigurări pentru acest grup. În plus, ea dorește ca cota fiecărei persoane din acea sumă să fie proporțională cu plata de asigurare așteptată de persoana respectivă.

Ponderea persoanei cu numărul , a cărei plată medie este egală cu , ar trebui să fie . Din cerința percentilei 95 rezultă că . Excesul de valoare, , este prima de risc și se numește primă de risc relativă. Să calculăm.

Soluţie. Valoarea este determinată de relație = 0,95, unde S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 . Această declarație de probabilitate este echivalentă cu următoarea:

În conformitate cu cele spuse despre teorema limitei centrale în Sec. 4, aproximăm distribuția r.v. distribuția normală standard și folosim percentila 95, din care obținem:

Pentru cele patru clase în care sunt împărțiți asigurații, obținem următoarele rezultate:

În acest fel,

Prin urmare, prima de risc relativă este

Exemplul 5.2. Clienții unei companii de asigurări auto sunt împărțiți în două clase:

Distribuția exponențială trunchiată este definită de funcția de distribuție

Aceasta este o distribuție de tip mixt cu o funcție de densitate , și un „clump” de masă probabilistică într-un punct L. Graficul acestei funcții de distribuție este prezentat în Figura 5.1.

Orez. 5.1. Distribuție exponențială trunchiată

Ca și până acum, probabilitatea ca suma totală a plăților de asigurare să depășească suma colectată de la asigurați ar trebui să fie egală cu 0,05. Vom presupune că prima de risc relativă ar trebui să fie aceeași în fiecare dintre cele două clase luate în considerare. Să calculăm.

Soluţie. Acest exemplu este foarte asemănător cu cel precedent. Singura diferență este că valorile plăților de asigurări sunt acum variabile aleatorii.

În primul rând, vom obține expresii pentru momentele distribuției exponențiale trunchiate. Acesta va fi un pas pregătitor pentru aplicarea formulelor (2.25) și (2.26):

Folosind valorile parametrilor date în condiție și aplicând formulele (2.25) și (2.26), obținem următoarele rezultate:

Asa de, S, suma totală a plăților de asigurare, are momente

Condiția pentru definiție rămâne aceeași ca în exemplul 5.1, și anume,

Folosind din nou aproximarea distribuției normale, obținem

Exemplul 5.3. Portofoliul companiei de asigurări cuprinde 16.000 de contracte de asigurare de deces pe o perioadă de un an conform următorului tabel:

Probabilitatea unui eveniment asigurat q pentru fiecare dintre 16.000 de clienți (se presupune că aceste evenimente sunt independente reciproc) este de 0,02. Compania vrea să-și stabilească propria rată de retenție. Pentru fiecare asigurat, nivelul de reținere proprie este valoarea sub care această societate (compania cesionară) efectuează plăți în mod independent, iar plățile care depășesc această valoare sunt acoperite prin contractul de reasigurare de către o altă companie (reasigurător).

De exemplu, dacă rata de reținere proprie este de 200.000, atunci compania își rezervă acoperire până la 20.000 pentru fiecare asigurat și cumpără reasigurare pentru a acoperi diferența dintre primă și suma de 20.000 pentru fiecare dintre cei 4.500 de asigurați ale căror prime de asigurare depășesc 20.000.

Compania alege ca criteriu de decizie minimizarea probabilității ca daunele de asigurare rămase pe propria deducere, plus suma plătită pentru reasigurare, să depășească suma de 8 250 000. Reasigurarea costă 0,025 pe unitatea de acoperire (adică 125% din valoarea preconizată). valoarea plăților de asigurare pe unitate 0,02).

Considerăm că portofoliul luat în considerare este închis: noile contracte de asigurare încheiate în cursul anului curent nu vor fi luate în considerare în procesul decizional descris.

Soluție parțială. Să facem mai întâi toate calculele, alegând ca unitate de plată 10 000. Ca exemplu, să presupunem că c. în. S este suma plăților rămase din proprie deducere, are următoarea formă:

Pentru aceste plăți de asigurare lăsate pe propria deducere S, se adaugă cuantumul primelor de reasigurare. În total, valoarea totală a acoperirii conform acestei scheme este

Suma rămasă din propria deducere este egală cu

Astfel, valoarea totală reasigurată este de 35.000-24.000=11.000 iar costul reasigurării este

Prin urmare, la nivelul de reținere propriu egal cu 2, plățile de asigurare rămase în reținere proprie plus costul reasigurării sunt de . Criteriul de decizie se bazează pe probabilitatea ca acest total să depășească 825,

Folosind distribuția normală, obținem că această valoare este aproximativ egală cu 0,0062.

Valorile medii ale plăților de asigurare în cazul asigurării în exces de pierdere, ca unul dintre tipurile de reasigurare, pot fi aproximate folosind distribuția normală ca distribuție a plăților totale de asigurare.

Fie că plățile totale de asigurări X au o distribuție normală cu medie și varianță

Exemplul 5.4. Să luăm în considerare un portofoliu de asigurări, ca în exemplul 5.3. Să găsim așteptarea matematică a sumei plăților de asigurare conform contractului de asigurare pentru excesul de neprofitabilitate, dacă

(a) nu există reasigurare individuală, iar deductibilitatea necondiționată este stabilită la 7.500.000

(b) pe contractele individuale de asigurare se stabilește o reținere personală de 20.000, iar deductibilă necondiționată pentru portofoliu este de 5.300.000.

Soluţie.

(a) În absența unei reasigurări individuale și în trecerea la 10.000 ca monedă

aplicând formula (5.2) dă

care este suma de 43.770 în unitățile originale.

(b) În Figura 5.3, obținem ca media și variația primelor totale pentru o deductibilă individuală de 20.000 să fie 480 și, respectiv, 784, folosind 10.000 ca unitate. Astfel, =28.

aplicând formula (5.2) dă

care este suma de 4140 în unitățile originale.

Să fie un sistem de două variabile aleatoare Xși Y, a cărui distribuție comună este cunoscută. Sarcina este de a găsi distribuția unei variabile aleatoare. Ca exemple de SV Z puteți aduce profit de la două întreprinderi; numărul de alegători care au votat într-un anumit mod din două secții diferite; suma punctelor de pe cele două zaruri.

1. Cazul a două DSV-uri. Indiferent de valorile pe care le iau CV-urile discrete (sub forma unei fracții zecimale finite, cu pași diferiți), situația poate fi aproape întotdeauna redusă la următorul caz special. Cantitati Xși Y poate lua numai valori întregi, adică Unde . Dacă inițial au fost fracții zecimale, atunci pot fi făcute numere întregi prin înmulțirea cu 10 k. Și valorile lipsă dintre maxime și minime pot fi atribuite probabilități zero. Fie cunoscută distribuția de probabilitate comună. Atunci, dacă numerotăm rândurile și coloanele matricei conform regulilor: , atunci probabilitatea sumei este:

Elementele matricei sunt adăugate de-a lungul uneia dintre diagonale.

2. Cazul a două NSW. Fie cunoscută densitatea distribuției comune. Apoi densitatea de distribuție a sumei:

În cazul în care un Xși Y independent, adică , apoi

Exemplul 1 X Y– SW independent, uniform distribuit:

Să găsim densitatea de distribuție a variabilei aleatoare.

Este evident că ,

SW Z poate lua valori în interval ( c+d; a+b), dar nu pentru toți X. în afara acestui interval. Pe planul de coordonate ( X, z) intervalul de valori posibile ale cantității z este un paralelogram cu laturi X=Cu; X=A; z=x+d; z=x+b. În formula pentru limitele integrării va fi cși A. Cu toate acestea, datorită faptului că în înlocuire y=z-x, pentru unele valori z functie . De exemplu, dacă c , apoi la z=x+cși orice X vom avea: . Prin urmare, calculul integralei ar trebui să fie efectuat separat pentru diferite zone de modificare a valorii z, în fiecare dintre care limitele integrării vor fi diferite, dar pentru toți Xși z. Vom face acest lucru pentru cazul special când a+d< b+c . Să luăm în considerare trei regiuni diferite de modificare a cantității z iar pentru fiecare dintre ele găsim .