Cum se rezolvă ecuațiile punctului extrem. Cum să găsiți extremul (punctele minime și maxime) ale unei funcții. Descreșterea definiției funcției

Se numește funcția y = f(x). crescând (în scădere) într-un anumit interval dacă pentru x 1< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Dacă o funcție diferențiabilă y = f(x) pe un segment crește (descrește), atunci derivata sa pe acest segment f "(x) > 0, (f "(x)< 0).

Punct Xdespre numit punct maxim local (minim) a funcției f(x) dacă există o vecinătate a punctului x o, pentru toate punctele în care inegalitatea f(x) ≤ f(x o), (f(x) ≥f(x o)) este adevărată.

Se numesc punctele maxime și minime puncte extremum, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extrema.

puncte extremum

Condiții necesare pentru un extremum. Dacă punct Xdespre este un punct extrem al funcției f (x), atunci fie f "(x o) \u003d 0, fie f (x o) nu există. Astfel de puncte sunt numite critic, unde funcția însăși este definită în punctul critic. Extremele unei funcții ar trebui căutate printre punctele sale critice.

Prima condiție suficientă. Lăsa Xdespre- punct critic. Dacă f "(x) la trecerea printr-un punct Xdespre schimbă semnul plus în minus, apoi la punctul x o functia are un maxim, altfel are un minim. Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct critic, atunci la punctul Xdespre nu există extremum.

A doua condiție suficientă. Fie funcția f(x) să aibă f " (x) într-o vecinătate a punctului Xdespre iar derivata a doua f "" (x 0) chiar în punctul x o. Dacă f "(x o) \u003d 0, f "" (x 0)> 0, (f "" (x 0)<0), то точкаx o este un punct minim (maxim) local al funcției f(x). Dacă f "" (x 0) = 0, atunci trebuie fie să utilizați prima condiție suficientă, fie să implicați altele mai mari.

Pe un segment, funcția y =f(x) își poate atinge valoarea minimă sau maximă fie în punctele critice, fie la capetele segmentului.

Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluţie. Deoarece f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 \u003d 2 și x 2 \u003d 3. Punctele extreme pot fie numai în aceste puncte. Deci, la fel ca atunci când trece prin punctul x 1 \u003d 2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, apoi în acest punct funcția are un maxim. Când trece prin punctul x 2 \u003d 3, derivata schimbă semnul de la minus la plus, prin urmare, în punctul x 2 \u003d 3, funcția are un minim. După ce am calculat valorile funcției la punctele x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f (2) = 14 și minim f (3) = 13.

Sarcini pentru găsirea extremului unei funcții

Exemplul 3.23.A

Soluţie. Xși y. Aria sitului este egala cu S =xy. Lăsa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Apoi, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare, y = a - 2x și S =x(a - 2x), unde 0 ≤x ≤a/2 (lungimea și lățimea pad-ului nu pot fi negative). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a/4, de unde y = a - 2×a/4 = a/2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, verificați dacă semnul schimbă derivata pe măsură ce trecem prin acest punct, pentru x< a/4, S " >0, iar pentru x > a/4, S "< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24.

Soluţie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluţie. Deoarece f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 \u003d 2 și x 2 \u003d 3. Punctele extreme pot fie numai în aceste puncte. Deci, la fel ca atunci când trece prin punctul x 1 \u003d 2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, apoi în acest punct funcția are un maxim. Când trece prin punctul x 2 \u003d 3, derivata schimbă semnul de la minus la plus, prin urmare, în punctul x 2 \u003d 3, funcția are un minim. După ce am calculat valorile funcției la punctele x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f (2) = 14 și minim f (3) = 13.

Exemplul 3.23. Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie împrejmuită cu plasă de sârmă pe trei laturi și să se învețe cu peretele pe a patra latură. Pentru asta există A metri liniari ai grilei. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?

Soluţie. Indicați părțile laterale ale site-ului prin Xși y. Aria sitului este S = xy. Lăsa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Apoi, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare y = a - 2x și S = x(a - 2x), unde
0 ≤x ≤a/2 (lungimea și lățimea site-ului nu pot fi negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a/4, de unde
y = a - 2a/4 = a/2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. La x< a/4, S " >0, iar pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Se cere realizarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V=16p ≈ 50 m 3 . Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru a utiliza cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea lui?

Soluţie. Suprafața totală a cilindrului este S = 2pR(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Prin urmare, S(R) = 2p(R2+16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pentru R 3 \u003d 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Luați în considerare doi dinți ai unui profil de ferăstrău binecunoscut. Să direcționăm axa de-a lungul părții plate a ferăstrăului, iar axa - perpendiculară pe aceasta. Să obținem un grafic al unei funcții, prezentată în Fig. unu.

Este destul de evident că atât la punct, cât și la punct, valorile funcției se dovedesc a fi cele mai mari în comparație cu valorile din punctele învecinate din dreapta și din stânga, iar la punct - cel mai mic în comparație cu punctele învecinate. Punctele se numesc punctele extreme ale funcției (din latinescul extremum - „extrem”), punctele și sunt punctele maxime, iar punctul este punctul minim (din latinescul maxim și minim - „cel mai mare” și „cel mai mic ”).

Să rafinăm definiția unui extremum.

Se spune că o funcție într-un punct are un maxim dacă există un interval care conține punctul și aparține domeniului funcției, astfel încât pentru toate punctele acestui interval se dovedește a fi . În consecință, funcția într-un punct are un minim dacă condiția este îndeplinită pentru toate punctele dintr-un anumit interval.

Pe fig. Figurile 2 și 3 prezintă grafice ale funcțiilor care au un extremum într-un punct.

Să acordăm atenție faptului că, prin definiție, punctul extremum trebuie să se afle în intervalul de setare a funcției, și nu la sfârșitul acesteia. Prin urmare, pentru funcția prezentată în fig. 1, nu se poate presupune că are un minim la punct.

Dacă în această definiție a maximului (minimului) unei funcții, înlocuim inegalitatea strictă cu una nestrictă , atunci obținem definiția unui maxim nestrict (minimum nestrict). Luați în considerare, de exemplu, profilul unui vârf de munte (Fig. 4). Fiecare punct al unei zone plane - un segment este un punct maxim nestrict.

În calculul diferențial, studiul unei funcții pentru extrema este foarte eficient și destul de simplu efectuat folosind o derivată. Una dintre principalele teoreme ale calculului diferenţial, care stabileşte o condiţie necesară pentru extremul unei funcţii diferenţiabile, este teorema lui Fermat (vezi teorema lui Fermat). Fie ca funcția dintr-un punct să aibă un extrem. Dacă există o derivată în acest punct, atunci aceasta este egală cu zero.

În limbajul geometric, teorema lui Fermat înseamnă că în punctul extremum tangenta la graficul funcției este orizontală (Fig. 5). Afirmația inversă, desigur, nu este adevărată, ceea ce este arătat, de exemplu, de graficul din Fig. 6.

Teorema este numită după matematicianul francez P. Fermat, care a fost unul dintre primii care a rezolvat o serie de probleme extreme. El nu avea încă la dispoziție conceptul de derivată, ci a aplicat în cercetările sale o metodă, a cărei esență este exprimată în enunțul teoremei.

O condiție suficientă pentru extremul unei funcții diferențiabile este o modificare a semnului derivatei. Dacă la un moment dat derivata își schimbă semnul din minus în plus, i.e. scăderea sa este înlocuită cu o creștere, atunci punctul va fi punctul minim. Dimpotriva, punctul va fi punctul maxim daca derivata isi schimba semnul din plus in minus, i.e. trece de la ascendent la descendent.

Punctul în care derivata funcției este egală cu zero se numește staționar. Dacă o funcție diferențiabilă este investigată pentru un extremum, atunci toate punctele sale staționare ar trebui găsite și semnele derivatei trebuie luate în considerare la stânga și la dreapta acestora.

Investigăm funcția pentru un extremum.

Să-i găsim derivata: .

Înainte de a învăța cum să găsiți extremele unei funcții, este necesar să înțelegeți ce este un extrem. Cea mai generală definiție a unui extremum spune că este cea mai mică sau cea mai mare valoare a unei funcții utilizate în matematică pe un anumit set de drepte numerice sau grafic. În locul unde este minimul apare extremul minimului, iar unde este maximul apare extremul maximului. De asemenea, într-o disciplină precum analiza matematică, se disting extremele locale ale unei funcții. Acum să vedem cum să găsim extremums.

Extremele din matematică sunt printre cele mai importante caracteristici ale unei funcții, ele arată valoarea ei cea mai mare și cea mai mică. Extremele se găsesc în principal în punctele critice ale funcțiilor găsite. Este de remarcat faptul că funcția își schimbă radical direcția în punctul extremum. Dacă calculăm derivata punctului extremum, atunci, conform definiției, aceasta trebuie să fie egală cu zero sau va fi complet absentă. Astfel, pentru a învăța cum să găsiți extremul unei funcții, trebuie să efectuați două sarcini secvențiale:

• găsiți derivata pentru funcția care trebuie determinată de sarcină;
• găsiți rădăcinile ecuației.

Secvența găsirii extremului

1. Scrieți funcția f(x) care este dată. Găsiți derivata sa de ordinul întâi f "(x). Echivalați expresia rezultată cu zero.
2. Acum trebuie să rezolvi ecuația care a rezultat. Soluțiile rezultate vor fi rădăcinile ecuației, precum și punctele critice ale funcției care se definește.
3. Acum determinăm care puncte critice (maxim sau minim) sunt rădăcinile găsite. Următorul pas, după ce am învățat cum să găsim punctele extreme ale unei funcții, este să găsim derivata a doua a funcției dorite f "(x). Va fi necesar să înlocuim valorile punctelor critice găsite. într-o anumită inegalitate și apoi calculați ce se întâmplă.Dacă se întâmplă acest lucru, că derivata a doua se dovedește a fi mai mare decât zero în punctul critic, atunci va fi punctul minim, iar în caz contrar va fi punctul maxim.
4. Rămâne de calculat valoarea funcției inițiale la punctele maxime și minime necesare ale funcției. Pentru a face acest lucru, înlocuim valorile obținute în funcție și calculăm. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că, dacă punctul critic s-a dovedit a fi un maxim, atunci extremul va fi și maxim, iar dacă este un minim, atunci va fi minim prin analogie.

Algoritm pentru găsirea unui extremum

Pentru a generaliza cunoștințele acumulate, vom realiza un scurt algoritm despre cum să găsim punctele extreme.

1. Găsim domeniul funcției date și intervalele acesteia, care determină exact pe ce intervale funcția este continuă.
2. Găsim derivata funcției f "(x).
3. Se calculează punctele critice ale ecuației y = f (x).
4. Analizăm modificările de direcție ale funcției f (x), precum și semnul derivatei f "(x) unde punctele critice separă domeniul de definire al acestei funcții.
5. Acum determinăm dacă fiecare punct de pe grafic este un maxim sau un minim.
6. Găsim valorile funcției în acele puncte care sunt extreme.
7. Fixăm rezultatul acestui studiu - extreme și intervale de monotonitate. Asta e tot. Acum ne-am gândit cum să găsim un extremum pe orice interval. Dacă trebuie să găsiți un extremum pe un anumit interval al unei funcții, atunci acest lucru se face într-un mod similar, doar limitele cercetării efectuate sunt în mod necesar luate în considerare.

Deci, ne-am gândit cum să găsim punctele extreme ale unei funcții. Cu ajutorul calculelor simple, precum și a cunoștințelor despre găsirea derivatelor, puteți găsi orice extremum și îl puteți calcula, precum și să îl desemnați grafic. Găsirea extremelor este una dintre cele mai importante secțiuni ale matematicii, atât la școală, cât și la o instituție de învățământ superior, prin urmare, dacă înveți cum să le determine corect, atunci învățarea va deveni mult mai ușoară și mai interesantă.

Extreme ale funcției

Definiția 2

Un punct $x_0$ se numește punct de maxim al funcției $f(x)$ dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru toți $x$ din această vecinătate inegalitatea $f(x)\le f(x_0). )$ este mulțumit.

Definiția 3

Un punct $x_0$ se numește punct de maxim al funcției $f(x)$ dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru toți $x$ din această vecinătate inegalitatea $f(x)\ge f(x_0). )$ este mulțumit.

Conceptul de extremum al unei funcții este strâns legat de conceptul de punct critic al unei funcții. Să introducem definiția lui.

Definiția 4

$x_0$ se numește punct critic al funcției $f(x)$ dacă:

1) $x_0$ - punct intern al domeniului de definire;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ sau nu există.

Pentru conceptul de extremum, se pot formula teoreme asupra condițiilor suficiente și necesare pentru existența acestuia.

Teorema 2

Condiție extremum suficientă

Fie punctul $x_0$ critic pentru funcția $y=f(x)$ și se află în intervalul $(a,b)$. Fie că pe fiecare interval $\left(a,x_0\right)\ și\ (x_0,b)$ există derivata $f"(x)$ și păstrează un semn constant. Atunci:

1) Dacă pe intervalul $(a,x_0)$ derivata $f"\left(x\right)>0$, iar pe intervalul $(x_0,b)$ derivata $f"\left(x\ dreapta)

2) Dacă derivata $f"\left(x\right)0$ este pe intervalul $(a,x_0)$, atunci punctul $x_0$ este punctul minim pentru această funcție.

3) Dacă atât pe intervalul $(a,x_0)$ cât și pe intervalul $(x_0,b)$ derivata $f"\left(x\right) >0$ sau derivata $f"\left(x \dreapta)

Această teoremă este ilustrată în figura 1.

Figura 1. Condiție suficientă pentru existența extremei

Exemple de extreme (Fig. 2).

Figura 2. Exemple de puncte extreme

Regula pentru examinarea unei funcții pentru un extremum

2) Aflați derivata $f"(x)$;

7) Trageți concluzii despre prezența maximelor și minimelor pe fiecare interval, folosind teorema 2.

Funcția Crescător și Descrescător

Să introducem mai întâi definițiile funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Definiția 5

O funcție $y=f(x)$ definită pe un interval $X$ se numește crescător dacă pentru orice puncte $x_1,x_2\în X$ pentru $x_1

Definiția 6

O funcție $y=f(x)$ definită pe un interval $X$ se numește descrescătoare dacă pentru orice puncte $x_1,x_2\in X$ pentru $x_1f(x_2)$.

Examinarea unei funcții pentru creștere și scădere

Puteți investiga funcțiile de creștere și scădere folosind derivata.

Pentru a examina o funcție pentru intervale de creștere și scădere, trebuie să faceți următoarele:

1) Aflați domeniul funcției $f(x)$;

2) Aflați derivata $f"(x)$;

3) Găsiți punctele în care egalitatea $f"\left(x\right)=0$;

4) Găsiți puncte în care $f"(x)$ nu există;

5) Marcați pe linia de coordonate toate punctele găsite și domeniul funcției date;

6) Să se determine semnul derivatei $f"(x)$ pe fiecare interval rezultat;

7) Concluzi: la intervalele în care $f"\left(x\right)0$ funcția crește.

Exemple de probleme pentru studiul funcțiilor de creștere, descreștere și prezența punctelor extreme

Exemplul 1

Investigați funcția de creștere și scădere și prezența punctelor de maxime și minime: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Deoarece primele 6 puncte sunt aceleași, le vom extrage mai întâi.

1) Domeniul definiției - toate numerele reale;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ există în toate punctele domeniului de definiție;

5) Linia de coordonate:

Figura 3

6) Determinați semnul derivatei $f"(x)$ pe fiecare interval:

\ \}