Энгийн бутархайг хасах. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн хасаж сурах вэ. Дүгнэлт: ерөнхий тооцооны схем

Энэ нийтлэл нь алгебрийн бутархайтай үйлдлүүдийг судалж эхэлдэг: бид алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах гэх мэт үйлдлүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно. Ижил ба өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах схемд дүн шинжилгээ хийцгээе. Олон гишүүнт алгебрийн бутархайг хэрхэн нэмэх, тэдгээрийг хэрхэн хасах талаар сурцгаая. Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан бид асуудлын шийдлийг олох алхам бүрийг тайлбарлах болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэнцүү хуваагчтай нэмэх, хасах үйлдлүүд

Энгийн бутархайг нэмэх схем нь алгебрийн хувьд ч бас хамааралтай. Ижил хуваагчтай энгийн бутархайг нэмэх, хасахдаа тэдгээрийн хүртэгчдийг нэмэх, хасах шаардлагатай боловч хуваагч нь хэвээр байдгийг бид мэднэ.

Жишээ нь: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 ба 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Үүний дагуу ижил хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмийг ижил төстэй байдлаар бичсэн болно.

Тодорхойлолт 1

Ижил хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасахын тулд та анхны бутархайн тоог тус тус нэмж, хасах ба хуваагчийг өөрчлөхгүйгээр бичих хэрэгтэй.

Энэ дүрэм нь алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах үр дүн нь шинэ алгебрийн бутархай (тодорхой тохиолдолд: олон гишүүнт, мономиал эсвэл тоо) гэж дүгнэх боломжтой болгодог.

Томъёолсон дүрмийг хэрэглэх жишээг үзүүлье.

Жишээ 1

Өгөгдсөн алгебрийн бутархайнууд нь: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 ба 3 - x · y x 2 · y - 2 байна. Тэдгээрийг нэмэх шаардлагатай байна.

Шийдэл

Анхны бутархай нь ижил хуваагчийг агуулна. Дүрмийн дагуу бид өгөгдсөн бутархайн тоог нэмэх ажлыг хийж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ.

Анхны бутархайн тоологч олон гишүүнтүүдийг нэмбэл бид дараахь зүйлийг авна. x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Дараа нь шаардлагатай хэмжээг дараах байдлаар бичнэ: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

Практикт олон тохиолдлын нэгэн адил шийдлийг тэгш байдлын гинжин хэлхээгээр өгдөг бөгөөд энэ нь шийдлийн бүх үе шатыг тодорхой харуулж байна.

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Хариулт: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Нэмэх, хасах үр дүн нь бууруулж болох бутархай байж болох бөгөөд энэ тохиолдолд үүнийг багасгах нь оновчтой байдаг.

Жишээ 2

x x 2 - 4 · y 2 алгебрийн бутархайгаас 2 · y x 2 - 4 · y 2 бутархайг хасах шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны бутархайн хуваагч тэнцүү байна. Тоолууртай үйлдлүүдийг хийцгээе, тухайлбал: эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь хэсгийн тоог хасаад үр дүнг бичээд хуваагчийг өөрчлөхгүй.

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Үүссэн фракц нь буурах боломжтой болохыг бид харж байна. Квадрат ялгаварын томъёог ашиглан хуваагчийг хувиргах замаар үүнийг багасгая.

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Хариулт: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Ижил зарчмаар ижил хуваагчтай гурав ба түүнээс дээш алгебрийн бутархайг нэмж, хасна. Жишээ нь:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Өөр өөр хуваагчтай нэмэх, хасах үйлдлүүд

Энгийн бутархайтай үйлдлийн схемийг дахин харцгаая: өөр өөр хуваагчтай энгийн бутархайг нэмэх эсвэл хасахын тулд тэдгээрийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, дараа нь ижил хуваагчтай үр дүнгийн бутархайг нэмэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 эсвэл 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Мөн адил төстэй байдлаар бид өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмийг томъёолдог.

Тодорхойлолт 2

Өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасахын тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

• анхны бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрах;
• ижил хуваагчтай үр дүнгийн бутархайг нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэх.

Энд гол зүйл бол алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах ур чадвар байх нь ойлгомжтой. Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая.

Алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах

Алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагчтай болгохын тулд өгөгдсөн бутархайн ижил хувиргалтыг хийх шаардлагатай бөгөөд үүний үр дүнд анхны бутархайн хуваагч ижил болно. Энд алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах дараах алгоритмыг ашиглах нь оновчтой.

• эхлээд бид алгебрийн бутархайн нийтлэг хэсгийг тодорхойлно;
• дараа нь бид нийтлэг хуваагчийг анхны бутархайн хуваагчдад хуваах замаар бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олно;
• Сүүлийн үйлдэл нь өгөгдсөн алгебрийн бутархайн тоо ба хуваагчийг харгалзах нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх явдал юм.

Алгебрийн бутархайг өгөгдсөн: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a and a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Тэднийг нийтлэг зүйлд хүргэх шаардлагатай байна.

Шийдэл

Бид дээрх алгоритмын дагуу ажилладаг. Анхны бутархайн нийтлэг хуваагчийг тодорхойлъё. Үүний тулд бид өгөгдсөн бутархайн хуваагчийг хүчин зүйлээр ангилдаг: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) ба 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). Эндээс бид нийтлэг хуваагчийг бичиж болно: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Одоо бид нэмэлт хүчин зүйлийг олох хэрэгтэй. Олдсон нийтлэг хуваагчийг алгоритмын дагуу анхны бутархайн хуваагчдад хуваая.

• эхний бутархайн хувьд: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a - 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• хоёр дахь бутархайн хувьд: 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) : (3 · a · (a - 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• Гурав дахь бутархайн хувьд: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Дараагийн алхам бол өгөгдсөн бутархайн тоо ба хуваагчийг олдсон нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх явдал юм.

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (a - 2) (a + 2) a + 3 3 a 2 - 6 a = (a + 3) 4 a 2 ( a + 2) 3 a 2 - 6 a 4 a 2 (a + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a) 5 - 16 · a 3) · 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 (a - 2) (a + 2)

Хариулт: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Тиймээс бид анхны бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсан. Шаардлагатай бол та олон гишүүнт ба мономиалуудыг тоологч ба хуваагчаар үржүүлэх замаар үр дүнг алгебрийн бутархай хэлбэрт шилжүүлж болно.

Энэ зүйлийг мөн тодруулъя: эцсийн фракцыг багасгах шаардлагатай тохиолдолд олсон нийтлэг хуваагчийг бүтээгдэхүүн хэлбэрээр үлдээх нь оновчтой юм.

Бид анхны алгебрийн бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах схемийг нарийвчлан судалж үзсэн бөгөөд одоо бид өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийж эхэлж болно.

Жишээ 4

Өгөгдсөн алгебрийн бутархайнууд нь: 1 - 2 x x 2 + x ба 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Тэдний нэмэлт үйлдлийг хийх шаардлагатай байна.

Шийдэл

Анхны бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг тул эхний алхам нь тэдгээрийг нийтлэг хуваарьт хүргэх явдал юм. Бид хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцно: x 2 + x = x · (x + 1) , and x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) ,учир нь дөрвөлжин гурвалсан үндэс x 2 + 3 x + 2Эдгээр тоонууд нь: - 1 ба - 2. Бид нийтлэг хуваагчийг тодорхойлно: x (x + 1) (x + 2), дараа нь нэмэлт хүчин зүйлүүд нь: x+2Тэгээд – xэхний болон хоёр дахь бутархайн хувьд тус тус.

Иймд: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) ба 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x +) 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Одоо нийтлэг хуваагч руу авчирсан бутархайнуудыг нэмье.

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Үүссэн фракцыг нийтлэг хүчин зүйлээр багасгаж болно x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

Эцэст нь бид олсон үр дүнг алгебрийн бутархай хэлбэрээр бичиж, хуваагч дахь бүтээгдэхүүнийг олон гишүүнтээр орлуулна.

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Үүний шийдлийг тэгш байдлын гинжин хэлхээний хэлбэрээр товч бичье.

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x +) 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Хариулт: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Энэ нарийн ширийн зүйлийг анхаарч үзээрэй: алгебрийн бутархайг нэмэх эсвэл хасахын өмнө боломжтой бол хялбаршуулахын тулд тэдгээрийг хувиргах нь зүйтэй.

Жишээ 5

Бутархайг хасах шаардлагатай: 2 1 1 3 · x - 2 21 ба 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Шийдэл

Цаашдын шийдлийг хялбарчлахын тулд анхны алгебрийн бутархайг өөрчилье. Хуваагч дахь хувьсагчдын тоон коэффициентийг хаалтанд авъя:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 ба 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Энэхүү өөрчлөлт нь бидэнд ашиг тусаа өгсөн нь тодорхой: нийтлэг хүчин зүйл байгааг бид тодорхой харж байна.

Хугацааны тоон коэффициентээс бүрмөсөн салцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашигладаг: эхний бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг 3 4, хоёр дахь хэсгийг - 1 2-оор үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 ба 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Бутархай коэффициентээс ангижрах үйлдлийг хийцгээе: үүссэн бутархайг 14-өөр үржүүлнэ.

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 ба - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Эцэст нь, асуудлын мэдэгдэлд шаардлагатай үйлдлийг хийцгээе - хасах:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Хариулт: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Алгебрийн бутархай ба олон гишүүнтийг нэмэх, хасах

Энэ үйлдэл нь мөн алгебрийн бутархайг нэмэх, хасахад хүргэдэг: анхны олон гишүүнтийг хуваагч 1-тэй бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай.

Жишээ 6

Олон гишүүнт нэмэх шаардлагатай x 2 − 3 3 x x + 2 алгебрийн бутархайтай.

Шийдэл

Олон гишүүнтийг 1 хуваагчтай алгебрийн бутархай хэлбэрээр бичье: x 2 - 3 1

Одоо бид өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх дүрмийн дагуу нэмэлтийг хийж болно.

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Хариулт: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Бутархай нь энгийн тоо бөгөөд нэмж хасах боломжтой. Гэхдээ тэдгээр нь хуваагчтай тул бүхэл тооноос илүү төвөгтэй дүрэм шаарддаг.

Ижил хуваагчтай хоёр бутархай байх хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь:

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Ижил хуваагчтай бутархайг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасаад дахин хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Илэрхийлэл бүрийн дотор бутархайн хуваагч тэнцүү байна. Бутархайг нэмэх, хасахын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олж авна.

Таны харж байгаагаар энэ нь тийм ч төвөгтэй зүйл биш юм: бид зүгээр л тоологчдыг нэмж эсвэл хасдаг, тэгээд л болоо.

Гэхдээ ийм энгийн үйлдлүүд ч гэсэн хүмүүс алдаа гаргаж чаддаг. Хамгийн их мартагддаг зүйл бол хуваагч өөрчлөгддөггүй. Жишээлбэл, тэдгээрийг нэмэхэд тэд бас нэмж эхэлдэг бөгөөд энэ нь үндсэндээ буруу юм.

Хуваагч нэмэх муу зуршлаасаа салах нь маш энгийн. Хасахдаа ижил зүйлийг туршиж үзээрэй. Үүний үр дүнд хуваагч нь тэг болж, бутархай нь (гэнэт!) утгаа алдах болно.

Тиймээс, нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: нэмэх, хасах үед хуваагч өөрчлөгдөхгүй!

Олон хүмүүс хэд хэдэн сөрөг бутархай нэмэхэд алдаа гаргадаг. Тэмдгүүдийн хувьд төөрөгдөл байдаг: хасахыг хаана, нэмэхийг хаана тавих вэ.

Мөн энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд маш хялбар байдаг. Бутархайн тэмдгийн өмнөх хасахыг үргэлж тоологч руу шилжүүлж болно гэдгийг санахад хангалттай - мөн эсрэгээр. Мэдээжийн хэрэг, хоёр энгийн дүрмийг мартаж болохгүй:

1. Дээрээс нь хасах нь хасах өгдөг;
2. Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог.

Энэ бүгдийг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Эхний тохиолдолд бүх зүйл энгийн, гэхдээ хоёрдугаарт, бутархайн тоологчдод хасахыг нэмье.

Хэрэв хуваагч нь өөр байвал яах вэ

Та өөр хуваагчтай бутархайг шууд нэмж болохгүй. Наад зах нь энэ арга надад мэдэгдэхгүй байна. Гэсэн хэдий ч хуваагч нь ижил байхын тулд анхны бутархайг үргэлж дахин бичиж болно.

Бутархайг хөрвүүлэх олон арга бий. Эдгээрийн гурвыг "Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах" хичээл дээр авч үзсэн тул бид энд ярихгүй. Зарим жишээг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Эхний тохиолдолд бид "загалмайн" аргыг ашиглан бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна. Хоёрдугаарт бид ҮОХ-г хайх болно. 6 = 2 · 3 гэдгийг анхаарна уу; 9 = 3 · 3. Эдгээр өргөтгөлийн сүүлийн хүчин зүйлүүд тэнцүү бөгөөд эхнийх нь харьцангуй анхдагч байна. Тиймээс LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Бутархай нь бүхэл тоотой бол яах вэ

Би чамайг баярлуулж чадна: бутархайн ялгаатай хуваагч нь хамгийн том хорон муу зүйл биш юм. Нэмэлт бутархай хэсэгт хэсгийг бүхэлд нь тодруулсан тохиолдолд илүү их алдаа гардаг.

Мэдээжийн хэрэг, ийм бутархайн хувьд өөрийн нэмэх, хасах алгоритмууд байдаг боловч тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд урт хугацааны судалгаа шаарддаг. Доорх энгийн диаграммыг ашиглах нь дээр.

1. Бүхэл тоо агуулсан бүх бутархайг буруу бутархай болгон хөрвүүлнэ. Бид дээр дурдсан дүрмийн дагуу тооцоолсон ердийн нэр томъёог (өөр өөр хуваагчтай ч гэсэн) олж авдаг;
2. Үнэн хэрэгтээ үүссэн бутархайн нийлбэр эсвэл зөрүүг тооцоол. Үүний үр дүнд бид хариултыг бараг олох болно;
3. Хэрэв энэ нь асуудалд шаардагдах бүх зүйл бол бид урвуу хувиргалтыг хийдэг, жишээлбэл. Бид бүхэл бүтэн хэсгийг тодруулснаар буруу бутархайгаас салдаг.

Бутархай бутархай руу шилжих, бүх хэсгийг тодруулах дүрмийг "Тоон бутархай гэж юу вэ" хичээлд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Хэрэв та санахгүй байгаа бол давтахаа мартуузай. Жишээ нь:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Энд бүх зүйл энгийн. Илэрхийлэл бүрийн доторх хуваагч нь тэнцүү тул бүх бутархайг буруу болгон хувиргаж, тоолоход л үлддэг. Бидэнд байгаа:

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд би сүүлийн жишээнүүдийн зарим тодорхой алхмуудыг алгассан.

Бүхэл тоогоор тэмдэглэсэн бутархайг хассан сүүлийн хоёр жишээний тухай жижиг тэмдэглэл. Хоёрдахь бутархайн өмнөх хасах нь зөвхөн бүхэл хэсгийг нь биш харин бүхэлд нь хасна гэсэн үг юм.

Энэ өгүүлбэрийг дахин уншаад, жишээнүүдийг харж, бодоод үзээрэй. Эндээс эхлэн суралцагчид маш олон тооны алдаа гаргадаг. Тэд тест дээр ийм асуудал гаргах дуртай. Удахгүй хэвлэгдэх энэ хичээлийн тестүүд дээр та тэдэнтэй хэд хэдэн удаа таарах болно.

Дүгнэлт: ерөнхий тооцооны схем

Эцэст нь би хоёр ба түүнээс дээш бутархайн нийлбэр эсвэл зөрүүг олоход туслах ерөнхий алгоритмыг өгөх болно.

1. Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн бутархай бүхэл тоотой бол эдгээр бутархайг буруу болгон хөрвүүлэх;
2. Бүх бутархайг өөрт тохирсон ямар нэгэн байдлаар нийтлэг хуваагч руу аваач (мэдээжийн хэрэг, асуудлын зохиолчид үүнийг хийгээгүй бол);
3. Үүссэн тоог ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах дүрмийн дагуу нэмэх, хасах;
4. Боломжтой бол үр дүнг богиносгох хэрэгтэй. Хэрэв бутархай буруу байвал хэсгийг бүхэлд нь сонгоно.

Хариултыг бичихийн өмнө ажлын төгсгөлд хэсгийг бүхэлд нь тодруулах нь дээр гэдгийг санаарай.

Энэ хичээл нь өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах үйлдлийг авч үзэх болно. Янз бүрийн хуваагчтай энгийн бутархайг хэрхэн нэмэх, хасах талаар бид аль хэдийн мэддэг болсон. Үүнийг хийхийн тулд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. Алгебрийн фракцууд ижил дүрмийг баримталдаг нь харагдаж байна. Үүний зэрэгцээ бид алгебрийн бутархайг хэрхэн нийтлэг хуваагч болгон бууруулахыг аль хэдийн мэддэг болсон. Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах нь 8-р ангийн хичээлийн хамгийн чухал бөгөөд хэцүү сэдвүүдийн нэг юм. Түүгээр ч барахгүй энэ сэдэв нь таны цаашид судлах алгебрийн хичээлийн олон сэдвээр гарч ирэх болно. Хичээлийн нэг хэсэг болгон бид өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах дүрмийг судалж, хэд хэдэн ердийн жишээн дээр дүн шинжилгээ хийх болно.

Энгийн бутархайн хувьд хамгийн энгийн жишээг авч үзье.

Жишээ 1.Бутархай нэмэх: .

Шийдэл:

Бутархай тоог нэмэх дүрмийг санацгаая. Эхлэхийн тулд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй. Энгийн бутархайн нийтлэг хуваагч нь байна хамгийн бага нийтлэг үржвэр(LCM) анхны хуваагч.

Тодорхойлолт

болон тоонд хоёуланд нь хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо.

LCM-ийг олохын тулд та хуваагчийг үндсэн хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь хоёр хуваагчийн өргөтгөлд багтсан бүх үндсэн хүчин зүйлийг сонгох хэрэгтэй.

; . Дараа нь тоонуудын LCM нь хоёр хоёр, хоёр гурвыг агуулсан байх ёстой: .

Нийтлэг хуваагчийг олсны дараа та бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олох хэрэгтэй (үнэндээ нийтлэг хуваагчийг харгалзах бутархайн хуваагчаар хуваана).

Дараа нь бутархай бүрийг үүссэн нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлнэ. Бид өмнөх хичээлүүдээс нэмж хасаж сурсан ижил хуваагчтай бутархайг авдаг.

Бид авах: .

Хариулт:.

Одоо өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархай нэмэхийг авч үзье. Эхлээд хуваагч нь тоо байдаг бутархайг авч үзье.

Жишээ 2.Бутархай нэмэх: .

Шийдэл:

Шийдлийн алгоритм нь өмнөх жишээтэй туйлын төстэй юм. Эдгээр бутархайн нийтлэг хуваагчийг олоход хялбар байдаг: мөн тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлүүд.

.

Хариулт:.

Ингээд томъёолъё өөр өөр хуваагчтай алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах алгоритм:

1. Бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг ол.

2. Бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг ол (нийтийн хуваарийг өгөгдсөн бутархайн хуваах замаар).

3. Тоолуурыг харгалзах нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

4. Ижил хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасах дүрмийг ашиглан бутархайг нэмэх, хасах.

Одоо хуваагч нь үсгийн илэрхийлэл агуулсан бутархайн жишээг авч үзье.

Жишээ 3.Бутархай нэмэх: .

Шийдэл:

Хоёр хуваагч дахь үсгийн илэрхийлэл ижил тул та тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй. Эцсийн нийтлэг хуваагч нь дараах байдлаар харагдана. Тиймээс энэ жишээний шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Хариулт:.

Жишээ 4.Бутархайг хасах: .

Шийдэл:

Хэрэв та нийтлэг хуваагчийг сонгохдоо "хууран мэхлэх" боломжгүй бол (үүнийг хүчин зүйлээр тооцох эсвэл үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах боломжгүй) хоёр бутархайн хуваагчийн үржвэрийг нийтлэг хуваагч болгон авах хэрэгтэй.

Хариулт:.

Ер нь ийм жишээг шийдвэрлэхэд хамгийн хэцүү ажил бол нийтлэг хуваагчийг олох явдал юм.

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье.

Жишээ 5.Хялбарчлах: .

Шийдэл:

Нийтлэг хуваагчийг олохдоо эхлээд анхны бутархайн хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох хэрэгтэй (нийтлэг хуваагчийг хялбарчлахын тулд).

Энэ тохиолдолд:

Дараа нь нийтлэг хуваагчийг тодорхойлоход хялбар болно: .

Бид нэмэлт хүчин зүйлсийг тодорхойлж, энэ жишээг шийднэ.

Хариулт:.

Одоо өөр өөр хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасах дүрмийг тогтооцгооё.

Жишээ 6.Хялбарчлах: .

Шийдэл:

Хариулт:.

Жишээ 7.Хялбарчлах: .

Шийдэл:

.

Хариулт:.

Одоо хоёр биш, харин гурван бутархай нэмэгдсэн жишээг авч үзье (эцэст нь олон тооны бутархайг нэмэх, хасах дүрэм ижил хэвээр байна).

Жишээ 8.Хялбарчлах: .

Анхаар!Эцсийн хариултаа бичихээсээ өмнө хүлээн авсан бутархайгаа богиносгож чадах эсэхээ шалгаарай.

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах, жишээ:

,

,

Нэгээс тохирох бутархайг хасах.

Хэрэв зөв нэгжээс бутархайг хасах шаардлагатай бол тухайн нэгжийг буруу бутархай хэлбэрт шилжүүлж, түүний хуваагч нь хасагдсан бутархайн хуваагчтай тэнцүү байна.

Нэгээс тохирох бутархайг хасах жишээ:

Хасах бутархайн хуваагч = 7 , өөрөөр хэлбэл, бид нэгийг 7/7 буруу бутархайгаар төлөөлж, ижил хуваарьтай бутархайг хасах дүрмийн дагуу хасна.

Бүхэл тооноос зохих бутархайг хасах.

Бутархайг хасах дүрэм -бүхэл тооноос зөв (натурал тоо):

• Бид бүхэл тоо агуулсан өгөгдсөн бутархайг буруу бутархай болгон хувиргадаг. Бид дээр дурдсан дүрмийн дагуу тооцдог ердийн нэр томъёог (өөр өөр хуваагчтай байх нь хамаагүй) авдаг;
• Дараа нь бид хүлээн авсан фракцуудын ялгааг тооцоолно. Үүний үр дүнд бид бараг хариултыг олох болно;
• Бид урвуу хувиргалтыг хийдэг, өөрөөр хэлбэл бид буруу бутархай хэсгээс салдаг - бид бутархай дахь бүх хэсгийг сонгоно.

Бүхэл тооноос зохих бутархайг хасах: натурал тоог холимог тоогоор илэрхийлнэ. Тэдгээр. Бид натурал тоон дахь нэгжийг авч, буруу бутархай хэлбэрт шилжүүлдэг бөгөөд хуваагч нь хасагдсан бутархайтай ижил байна.

Бутархайг хасах жишээ:

Жишээн дээр бид нэгийг 7/7 буруу бутархайгаар сольж, 3-ын оронд холимог тоог бичиж, бутархай хэсгээс бутархайг хасав.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах.

Эсвэл өөрөөр хэлбэл, өөр өөр бутархайг хасах.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах дүрэм.Янз бүрийн хуваарьтай бутархайг хасахын тулд эхлээд эдгээр бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваарь (LCD) хүртэл багасгах шаардлагатай бөгөөд зөвхөн үүний дараа ижил хуваарьтай бутархайнуудын адил хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

Хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагч нь LCM (хамгийн бага нийтлэг үржвэр)эдгээр бутархайн хуваагч болох натурал тоонууд.

Анхаар!Хэрэв эцсийн бутархайд тоологч ба хуваагч нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй бол бутархайг багасгах шаардлагатай. Буруу бутархайг холимог бутархай хэлбэрээр хамгийн сайн төлөөлдөг. Боломжтой бол бутархайг багасгахгүйгээр хасах үр дүнг үлдээх нь жишээний бүрэн бус шийдэл юм!

Өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах журам.

• бүх хуваагчийн LCM-ийг олох;
• бүх бутархайд нэмэлт хүчин зүйл тавих;
• бүх тоологчдыг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх;
• Бид үүссэн бүтээгдэхүүнийг тоологч руу бичиж, бүх бутархайн дор нийтлэг хуваагчийг гарын үсэг зурна;
• Бутархайн тоог хасч, ялгааны доор нийтлэг хуваагчийг тэмдэглэнэ.

Үүнтэй адилаар тоологч дээр үсэг байгаа бол бутархайг нэмэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Бутархайг хасах жишээ, жишээ:

Холимог бутархайг хасах.

At холимог бутархай (тоо) хасахтус тусад нь бүхэл хэсгийг бүхэл хэсгээс, бутархай хэсгийг бутархай хэсгээс хасна.

Холимог бутархайг хасах эхний сонголт.

Хэрэв бутархай хэсгүүд адилханхасах ба бутархай хэсгийн хуваагч (бид үүнээс хасах) ≥ хасахын бутархай хэсгийн хуваагч (бид үүнийг хасна).

Жишээлбэл:

Холимог бутархайг хасах хоёр дахь сонголт.

Хэзээ бутархай хэсгүүд өөрхуваагч. Эхлэхийн тулд бид бутархай хэсгүүдийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, дараа нь бүхэл хэсгийг бүхэлд нь, бутархай хэсгийг бутархай хэсгээс хасна.

Жишээлбэл:

Холимог бутархайг хасах гурав дахь сонголт.

Минуэндийн бутархай хэсэг нь хасалтын бутархай хэсгээс бага байна.

Жишээ:

Учир нь Бутархай хэсгүүд нь өөр өөр хуваагчтай байдаг бөгөөд энэ нь хоёр дахь хувилбарын нэгэн адил бид эхлээд энгийн бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг гэсэн үг юм.

Хасалтын бутархай хэсгийн хүртэгч нь хасалтын бутархай хэсгийн хүртэгчээс бага байна.3 < 14. Энэ нь бид бүхэл хэсгээс нэгжийг авч, энэ нэгжийг ижил хуваагч, тоологчтой буруу бутархай хэлбэрт оруулна гэсэн үг юм. = 18.

Баруун талд байгаа тоологч дээр бид тоологчдын нийлбэрийг бичиж, дараа нь баруун талд байгаа тоологч дахь хаалтуудыг нээнэ, өөрөөр хэлбэл бид бүгдийг үржүүлж, ижил төстэй зүйлийг өгнө. Бид хуваагч дахь хашилтыг нээхгүй. Бүтээгдэхүүнийг хуваарьт үлдээх нь заншилтай байдаг. Бид авах:

Хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагч нь өгөгдсөн бутархайн хуваагч болох натурал тоонуудын LCM (хамгийн бага нийтлэг үржвэр) юм.

Өгөгдсөн бутархайн тоологчдод LCM ба харгалзах хуваарийн харьцаатай тэнцүү нэмэлт хүчин зүйлийг нэмэх шаардлагатай.

Өгөгдсөн бутархайн тоог тэдгээрийн нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлснээр нэг нийтлэг хуваагчтай бутархайн тоо гарна. Нийтлэг хуваагч болгон бууруулсан бутархайг бүртгэх үйл ажиллагааны тэмдэг ("+" эсвэл "-") бутархай бүрийн өмнө хадгалагдана. Нийтлэг хуваагчтай бутархайн хувьд багасгасан тоо бүрийн өмнө үйлдлийн тэмдэг хадгалагдана.

Зөвхөн одоо та тоологчдыг нэмж, хасаж, үр дүнгийн доор нийтлэг хуваагч дээр гарын үсэг зурж болно.

Анхаар! Хэрэв үүссэн бутархай дахь тоологч ба хуваагч нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй бол бутархайг багасгах шаардлагатай. Буруу бутархайг холимог бутархай болгон хувиргах нь зүйтэй. Боломжтой бол бутархайг хүчингүй болгохгүйгээр нэмэх, хасах үйл ажиллагааны үр дүнг үлдээх нь жишээний бүрэн бус шийдэл юм!

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах. Дүрэм. руу өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах, та эхлээд тэдгээрийг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулж, дараа нь ижил хуваагчтай бутархайн адил нэмэх эсвэл хасах үйлдлийг гүйцэтгэх ёстой.

Өөр өөр хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасах журам

1. бүх хуваагчийн LCM-ийг олох;
2. бутархай тус бүрт нэмэлт хүчин зүйл нэмэх;
3. тоологч бүрийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх;
4. үр дүнгийн бүтээгдэхүүнийг тоологч болгон авч, бутархай бүрийн доор нийтлэг хуваагчийг гарын үсэг зурах;
5. нийлбэр эсвэл зөрүүний доор нийтлэг хуваагч дээр гарын үсэг зурж бутархайн тоог нэмэх, хасах.

Хэрэв тоологч дотор үсэг байгаа бол бутархайг нэмж, хасаж болно.