Tiesiojo normalaus vektoriaus kanoninė lygtis. Normaliosios plokštumos vektorius, normaliosios plokštumos vektoriaus koordinatės. Kampas tarp dviejų tiesių linijų

Tipiškas vektorius lėktuvas(arba normaliai lėktuvas) vadinamas vektoriumi, statmenu duotajam lėktuvas. Vienas iš plokštumos apibrėžimo būdų yra nurodyti jos normaliosios ir taško, esančio ant jo, koordinates lėktuvas. Jei plokštuma pateikta lygtimi Ax+By+Cz+D=0, tai tipinis jos vektorius yra koordinatės (A;B;C). Kitais atvejais turėsite sunkiai dirbti, kad apskaičiuotumėte tipinį vektorių.

Instrukcijos

1. Tegu plokštuma apibrėžiama trimis jai priklausančiais taškais K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Norėdami rasti tipinį vektorių, sukurkime jo lygtį lėktuvas. Pažymėkite savavališką gulintį tašką lėktuvas, raidė L, tegul turi koordinates (x;y;z). Dabar pažiūrėkite į tris vektorius PK, PM ir PL, jie guli ant vieno lėktuvas(koplanarūs), todėl jų mišrus sandauga lygus nuliui.

2. Raskite vektorių PK, PM ir PL koordinates:PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y -yp; z-zp) Šių vektorių mišri sandauga bus lygi determinantui, parodytam paveiksle. Šis determinantas turi būti apskaičiuotas, kad būtų galima atrasti lygtį lėktuvas. Mišraus produkto apskaičiavimą konkrečiu atveju žr. pavyzdyje.

3. Pavyzdys Tegul plokštuma apibrėžiama trimis taškais K(2;1;-2), M(0;0;-1) ir P(1;8;1). Būtina aptikti tipinį vektorių lėktuvas.Paimkite savavališką tašką L su koordinatėmis (x;y;z). Apskaičiuokite vektorius PK, PM ir PL:PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)PM = (0-1;0-8;-1-1) ) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1)Sukurkite vektorių mišraus sandauga determinantą (jis yra paveikslėlyje).

4. Dabar išplėskite determinantą išilgai pirmosios eilutės, o po to suskaičiuokite 2 dydžio determinantų reikšmes 2. Taigi lygtis lėktuvas-10x + 5y – 15z – 15 = 0 arba, kas yra tas pats, -2x + y – 3z – 3 = 0. Iš ten lengva nustatyti normalųjį vektorių lėktuvas n = (-2;1;-3).

Prieš atsakant į pateiktą klausimą, būtina išsiaiškinti, ko tiksliai reikia ieškoti. IN tokiu atveju, apytiksliai problema susijusi su tam tikru paviršiumi.

Instrukcijos

1. Pradėdami spręsti problemą, turėtumėte atsiminti, kad paviršiaus normalioji yra apibrėžiama kaip liestinės plokštumos normalioji. Pagal tai bus parinkta sprendimo metodika.

2. 2 kintamųjų z=f(x, y)=z(x, y) funkcijos grafikas yra erdvės paviršius. Taigi jo klausiama dažniau nei visų kitų. Pirmiausia reikia rasti paviršiaus liestinės plokštumą tam tikrame taške M0(x0, y0, z0), kur z0=z(x0, y0).

3. Norėdami tai padaryti, turėtume prisiminti, kad vieno argumento funkcijos išvestinės geometrinė reikšmė yra funkcijos grafiko liestinės taške, kur y0=f(x0), kampinis rodiklis. 2 argumentų funkcijų dalinės išvestinės randamos teisingai fiksavus argumentą „nereikalingas“, kaip ir įprastų funkcijų išvestinius. Tai reiškia, kad funkcijos z=z(x, y) taške (x0,y0) dalinės išvestinės geometrinė reikšmė x atžvilgiu yra ta, kad jos kampinis rodiklis yra lygus sankirtos suformuotai įstrižainės liestine. paviršiaus ir plokštumos y=y0 (žr. 1 pav.).

4. Duomenys, parodyti pav. 1, galime daryti išvadą, kad paviršiaus z=z(x, y) liestinės, turinčios tašką M0(xo, y0, z0), atkarpoje ties y=y0, lygtis: m(x-x0)=(z -z0), y =y0. Kanonine forma galima rašyti: (x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Taigi vadovas vektoriusši liestinė s1(1/m, 0, 1).

5. Dabar, jei dalinės išvestinės liestinės kampinis eksponentas y atžvilgiu yra pažymėtas n, tada idealiai matoma, kad, kaip ir ankstesnėje išraiškoje, tai sukels (y-y0)/(1/n)=( z-z0), x=x0 ir s2(0, 1/n, 1).

6. Tada sprendinio judėjimas liestinės plokštumos lygties paieškos forma gali būti sustabdytas ir galima lengvai pereiti prie norimo normalaus n. Leidžiama gauti kaip vektorius produktas n=. Jį apskaičiavus, bus nustatyta, kad tam tikrame paviršiaus taške (x0, y0, z0). n=(-1/n, -1/m, 1/min).

7. Nes visi yra proporcingi vektorius taip pat liks vektorius om normalu, kiekvienam patogiau rezultatą pateikti forma n=(-n, -m, 1) ir galiausiai n(dz/dx, dz/dx, -1).

Video tema

Pastaba!
Atviras paviršius turi dvi puses. Šiuo atveju rezultatas pateikiamas „viršutinei“ pusei, kur normalus sudaro smailų kampą su 0Z ašimi.

Dėl vektoriai Yra du kūrinio atvaizdai. Vienas iš jų yra skaliarinis dirbti, kitas yra vektorius. Kiekvienas iš šių vaizdų turi savo matematinę ir fizinę reikšmę ir yra apskaičiuojamas visiškai skirtingais būdais.

Instrukcijos

1. Pažvelkime į du vektorius trimatėje erdvėje. Vektorius a su koordinatėmis (xa; ya; za) ir vektorius b su koordinatėmis (xb; yb; zb). Skaliarinis dirbti vektoriai a ir b žymimi (a,b). Jis apskaičiuojamas pagal formulę: (a,b) = |a|*|b|*cosα, kur α yra kampas tarp dviejų vektorių Galima apskaičiuoti skaliarą dirbti koordinatėmis: (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb. Taip pat yra vektoriaus skaliarinio kvadrato atvaizdas, tai yra skaliaras dirbti vektorius į save: (a,a) = |a|² arba koordinatėmis (a,a) = xa² + ya² + za². Skaliarinis dirbti vektoriai yra vietą apibūdinantis skaičius vektoriai vienas kito atžvilgiu. Jis dažnai naudojamas kampui tarp vektorių apskaičiuoti.

2. Vektorius dirbti vektoriaižymimas . Dėl vektoriaus sandaugos gaunamas vektorius, statmenas abiem faktorių vektoriams, o šio vektoriaus ilgis yra lygus lygiagretainio, sukurto ant faktoriaus vektorių, plotui. Be to, trys vektoriai a, b sudaro vadinamąjį dešinįjį trigubą vektoriai.Vektoriaus ilgis = |a|*|b|*sinα, kur α yra kampas tarp vektorių a ir b.

Video tema

Tiesinėje algebroje ir geometrijoje vaizdavimas vektorius apibrėžta skirtingai. Algebroje vektorius om yra elementas vektorius nogo erdvė. Geometrijoje vektorius om yra sutvarkyta taškų pora Euklido erdvėje – nukreipta atkarpa. Aukščiau vektorius Apibrėžėme tiesines operacijas – sudėjimą vektorius ov ir daugyba vektorius bet tam tikram skaičiui.

Instrukcijos

1. Trikampio taisyklė. 2 suma vektorius ov a ir o vadinami vektorius, kurio pratarmė sutampa su pradžia vektorius ir a, o pabaiga slypi gale vektorius ir o su pratarme vektorius o o sutampa su pabaiga vektorius ir a. Šios sumos konstrukcija parodyta paveikslėlyje.

2. Lygiagretainė taisyklė.Tegul vektorius s a ir o turi universalią pratarmę. Užbaikime tai vektorius s į lygiagretainį. Tada suma vektorius ov a ir o sutampa su lygiagretainio, prasidedančio nuo pradžios, įstriža vektorius ov a ir o.

3. Didesnio skaičiaus suma vektorius s galima aptikti laipsniškai jiems taikant trikampio taisyklę. Paveikslėlyje parodyta keturių suma vektorius ov.

4. Darbas vektorius o už numerį? vadinamas skaičiumi?a tokiu, kad |?a| = |?| * |a|. Gaunama padauginus iš skaičiaus vektorius lygiagrečiai pradiniam vektorius y arba yra toje pačioje tiesioje linijoje su juo. Jei?>0, tada vektorius s a ir ?a yra vienakrypčiai, jei?<0, то vektorius s a ir ?a nukreiptos skirtingomis kryptimis.

Video tema

Vektorius, kaip nukreiptas segmentas, priklauso ne tik nuo absoliučios vertės (modulio), kuri yra lygi jo ilgiui. Kitas pagrindinis palyginimas yra vektoriaus kryptis. Jį galima nustatyti ir pagal koordinates, ir pagal kampą tarp vektoriaus ir koordinačių ašies. Vektorius taip pat apskaičiuojamas surandant vektorių sumą ir skirtumą.

Jums reikės

• – vektoriaus apibrėžimas;
• – vektorių savybės;
• - skaičiuotuvas;
• – Bradis arba PC stalas.

Instrukcijos

1. Galite apskaičiuoti vektorių, žinodami jo koordinates. Norėdami tai padaryti, nustatykite vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates. Tegul jie yra lygūs (x1;y1) ir (x2;y2). Norėdami apskaičiuoti vektorių, raskite jo koordinates. Norėdami tai padaryti, atimkite jo pradžios koordinates iš vektoriaus pabaigos koordinačių. Jie bus lygūs (x2- x1;y2-y1). Paimkite x= x2- x1; y= y2-y1, tada vektoriaus koordinatės bus lygios (x;y).

2. Nustatykite vektoriaus ilgį. Tai galima padaryti nesunkiai išmatuojant liniuote. Bet jei žinomos vektoriaus koordinatės, apskaičiuokite ilgį. Norėdami tai padaryti, suraskite vektoriaus koordinačių kvadratų sumą ir paimkite gauto skaičiaus kvadratinę šaknį. Tada vektoriaus ilgis bus lygus d=?(x?+y?).

3. Po to atraskite vektoriaus kryptį. Norėdami tai padaryti, nustatykite kampą? tarp jo ir OX ašies. Šio kampo liestinė lygi vektoriaus y koordinatės ir x koordinatės santykiui (tg ?= y/x). Norėdami rasti kampą, naudokite arctangento funkciją, Bradis lentelę arba kompiuterį skaičiuoklėje. Žinant vektoriaus ilgį ir jo kryptį ašies atžvilgiu, galima nustatyti bet kurio vektoriaus vietą erdvėje.

4. Pavyzdys: vektoriaus pradžios koordinatės yra (-3;5), o pabaigos koordinatės yra (1;7). Raskite vektoriaus (1-(-3);7-5)=(4;2) koordinates. Tada jo ilgis bus d=?(4?+2?)=?20?4,47 tiesinių vienetų. Kampo tarp vektoriaus ir OX ašies liestinė bus tg?=2/4=0,5. Šio kampo arctangentas suapvalintas iki 26,6?.

5. Raskite vektorių, kuris yra 2 vektorių, kurių koordinatės žinomos, suma. Norėdami tai padaryti, pridėkite atitinkamas pridėtų vektorių koordinates. Jei sumuojamų vektorių koordinatės yra lygios (x1;y1) ir (x2;y2), tai jų suma bus lygi vektoriui su koordinatėmis ((x1+x2;y1+y2)). Jei reikia rasti skirtumą tarp 2 vektorių, suraskite sumą iš anksto padauginę vektoriaus koordinates, kurios atimamos iš -1.

6. Jei žinote vektorių d1 ir d2 ilgius ir kampą tarp jų?, raskite jų sumą naudodami kosinuso teoremą. Norėdami tai padaryti, suraskite vektorių ilgių kvadratų sumą ir iš gauto skaičiaus atimkite šių ilgių dvigubą sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso. Paimkite gauto skaičiaus kvadratinę šaknį. Tai bus vektoriaus ilgis, kuris yra 2 duotųjų vektorių suma (d=?(d1?+d2?-d1?d2?Cos(?)).

Paieškos užduotis vektorius normalūs tiesi linija plokštumoje ir plokštuma erdvėje yra pernelyg primityvi. Tiesą sakant, tai baigiasi universalių tiesės ar plokštumos lygčių įrašymu. Kadangi kiekvienos iš jų plokštumos kreivė yra tik ypatingas erdvės paviršiaus atvejis, bus aptartos paviršiaus normaliosios vertės.

Instrukcijos

1. 1-as metodas Šis metodas yra pats primityviausias, tačiau jo supratimui reikia mokėti atvaizduoti skaliarinį lauką. Tačiau net ir šiuo klausimu nepatyręs skaitytojas galės pritaikyti gautas šio klausimo formules.

2. Yra žinoma, kad skaliarinis laukas f pateikiamas kaip f=f(x, y, z), o bet koks paviršius šiuo atveju yra lygmens f(x, y, z)=C (C=const) paviršius. Be to, pakopos paviršiaus normalioji sutampa su skaliarinio lauko gradientu tam tikrame taške.

3. Skaliarinio lauko gradientas (3 kintamųjų funkcija) yra vektorius g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz). Nes ilgis normalūs nesvarbu, belieka tik surašyti rezultatą. Normalus paviršiui f(x, y, z)-C=0 taške M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy , df/ dz).

4. 2 metodas Tegul paviršius pateikiamas lygtimi F(x, y, z)=0. Kad ateityje būtų galima nubrėžti analogijas su pirmuoju metodu, reikėtų atsižvelgti į tai, kad ištisinės linijos išvestinė lygi nuliui, o F pateikiama kaip f(x, y, z)-C=0 ( C = pastovus). Jeigu šį paviršių nupjausime savavališka plokštuma, tai gautą erdvinę kreivę galima laikyti kokios nors vektorinės funkcijos r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t) hodografu. Tada išvestinė vektorius r’(t)= ix’(t)+jy’(t)+kz’(t) nukreiptas išilgai liestinės tam tikrame paviršiaus taške M0(x0, y0, z0) (žr. 1 pav.).

5. Kad būtų išvengta painiavos, dabartinės liestinės linijos koordinatės turi būti nurodytos, tarkime, kursyvu (x, y, z). Kanoninė liestinės linijos lygtis, atsižvelgiant į tai, kad r'(t0) yra krypties vektorius, rašoma kaip (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy (t0)/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Pakeitę vektorinės funkcijos koordinates paviršiaus lygtyje f(x, y, z)-C=0 ir diferencijuodami t atžvilgiu, gauname (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df /dz)(dz/dt)=0. Lygybė yra kai kurių skaliarinė sandauga vektorius n(df/dx, df/dy, df/dz) ir r'(x'(t), y'(t), z'(t)). Kadangi jis lygus nuliui, n(df/dx, df/dy, df/dz) yra norimas vektorius normalūs. Matyt, abiejų metodų rezultatai yra vienodi.

7. Pavyzdys (turi teorinės reikšmės). Aptikti vektorių normalūsį paviršių, apibrėžtą tipine 2 kintamųjų funkcijos lygtimi z=z(x, y). Sprendimas. Perrašykite šią lygtį į formą z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Taikant bet kurį prielinksnio metodą, paaiškėja, kad n(-дz/дx, -дz/дy, 1) yra norimas vektorius normalūs .

Bet koks vektorius leista išplėsti į kelių sumą vektorius ov, ir tokių variantų yra be galo daug. Užduotis – suskaidyti vektorius gali būti pateikta tiek geometrine forma, tiek formulių forma, ir nuo to priklausys problemos sprendimas.

Jums reikės

• – pradinis vektorius;
• – vektoriai, į kuriuos reikia jį išplėsti.

Instrukcijos

1. Jei reikia plėstis vektorius brėžinyje pasirinkite terminų kryptį. Skaičiavimų patogumui išskaidymas į vektorius a, lygiagrečiai koordinačių ašims, bet jūs tikrai galite pasirinkti bet kurią patogią kryptį.

2. Nubrėžkite vieną iš terminų vektorius ov; šiuo atveju jis turi būti iš to paties taško kaip ir pradinis (ilgį pasirenkate patys). Sujunkite pradinio ir gauto galus vektorius ir dar vienas vektorius ohm Atkreipkite dėmesį: gautos dvi vektorius ir galų gale jie turi nuvesti jus į tą patį tašką kaip ir pradžios taškas (jei sekate rodyklėmis).

3. Pervedimas gautas vektorius ir į vietą, kur bus patogu juos naudoti, išsaugant kryptį ir ilgį. Nepriklausomai nuo kur vektorius ir bus, iš viso jie bus lygūs pradiniam. Atkreipkite dėmesį, kad jei įdėsite gautą vektorius ir kad jie prasidėtų nuo to paties taško, kaip ir pradinis, ir sujungtų galus su punktyrine linija, gausite lygiagretainį, o pradinis vektorius sutampa su viena iš įstrižainių.

4. Jei reikia plėstis vektorius(x1,x2,x3) pagal pamatą, tai yra pagal duotąjį vektorius am (p1, p2, p3), (q1, q2, q3), (r1, r2, r3), elkitės taip. Pakeiskite koordinačių reikšmes į formulę x=?р+?q+?r.

5. Rezultate gausite 3 lygčių sistemą p1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=x2, p3?+q3?+r3?=x3. Išspręskite šią sistemą naudodami sudėjimo metodą arba matricas, suraskite eksponentus ?, ?, ?. Jei uždavinys pateiktas plokštumoje, sprendimas bus paprastesnis, nes vietoj 3 kintamųjų ir lygčių gausite tik du (jie atrodys taip p1?+q1?=x1, p2?+q2?=x2). Rezultatą parašykite forma x=?p+?q+?r.

6. Jei galiausiai rasite daug sprendimų, padarykite tokią išvadą vektorius s p, q, r yra toje pačioje plokštumoje su vektorius om x ir aiškiai neįmanoma jo išplėsti tam tikru būdu.

7. Jei sistema neturi sprendimų, drąsiai parašykite problemos rezultatą: vektorius s p, q, r yra toje pačioje plokštumoje ir vektorius x – kitoje, todėl negali būti išskaidomas duotuoju būdu.

Gali būti, kad yra specialus atstovavimas lėktuvas piramidės, bet autoriui tai nepažįstama. Kadangi piramidė priklauso erdviniam daugiakampiui, lėktuvas gali susidaryti tik briaunos piramidės. Tai yra tie, kurie bus svarstomi.

Instrukcijos

1. Pati primityviausia užduotis piramidės yra jo atvaizdavimas viršūnių taškų koordinatėmis. Taip pat galima naudoti kitas reprezentacijas, kurios gali būti lengvai išverstos tiek viena į kitą, tiek į siūlomą. Paprastumo dėlei apsvarstykite trikampę piramidę. Tada erdviniu atveju „bazės“ idėja tampa itin sąlygiška. Todėl jis neturėtų būti atskirtas nuo šoninių paviršių. Jei piramidė yra savavališka, jos šoniniai paviršiai vis dar yra trikampiai ir sudaryti lygtį lėktuvas pagrindo dar užtenka 3 balams.

2. Kiekvienas veidas yra trikampis piramidės yra visiškai nulemtas trijų atitinkamo trikampio viršūnių taškų. Tegul tai yra M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3). Norėdami rasti lygtį lėktuvas kuriame yra šis veidas, naudokite bendrąją lygtį lėktuvas forma A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Čia (x0,y0,z0) yra savavališkas taškas lėktuvas, kuriam naudokite vieną iš 3 šiuo metu nurodytų, tarkime, M1(x1,y1,z1). Rodikliai A, B, C sudaro normaliojo vektoriaus koordinates lėktuvas n = (A, B, C). Normalui aptikti galima naudoti vektoriaus koordinates, lygias vektorinei sandaugai [M1,M2] (žr. 1 pav.). Paimkite juos atitinkamai A, B C. Belieka rasti vektorių (n, M1M) skaliarinę sandaugą koordinačių pavidalu ir prilyginti nuliui. Čia M(x,y,z) yra savavališkas (dabartinis) taškas lėktuvas .

3. Gautas lygties sudarymo algoritmas lėktuvas jo trijuose taškuose galima padaryti jį patogesnį naudoti. Atkreipkite dėmesį, kad atrasta metodika apima vektorinės sandaugos, o po to skaliarinės sandaugos apskaičiavimą. Tai ne kas kita, kaip mišrus vektorių sandauga. Itin kompaktiška forma jis lygus determinantui, kurio tiesės susideda iš vektorių M1M=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1) koordinačių , z2-z1), M1M3=(x3- x1, y3-y1, z3-z1). Sulyginkite jį su nuliu ir gaukite lygtį lėktuvas determinanto pavidalu (žr. 2 pav.). Po jo atskleidimo jūs pateksite į universalią lygtį lėktuvas .

Video tema

Normalus vektorius

Plokščias paviršius su dviem normaliais

Diferencialinėje geometrijoje normalus- tai tiesi linija, statmena (statmena) tam tikros kreivės liestinės linijai arba kurio nors paviršiaus liestinės plokštumai. Jie taip pat kalba apie normali kryptis.

Normalus vektoriusį paviršių tam tikrame taške yra vienetinis vektorius, pritaikytas tam tikram taškui ir lygiagretus normaliajai krypčiai. Kiekvienam lygaus paviršiaus taškui galite nurodyti du įprastus vektorius, kurie skiriasi kryptimi. Jei paviršiuje galima apibrėžti ištisinį normaliųjų vektorių lauką, tada sakoma, kad šis laukas apibrėžia orientacija paviršius (tai yra, pasirenka vieną iš pusių). Jei to negalima padaryti, paviršius vadinamas nesiorientuojantis.

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „normalus vektorius“ kituose žodynuose:

normalus vektorius- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. normalus vektorius vok. Normalenvektor, m rus. normalusis vektorius, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Šį straipsnį ar skyrių reikia peržiūrėti. Prašau patobulinti straipsnį pagal straipsnių rašymo taisykles. Darboux vektorius yra momentinės sukimosi ašies krypties vektorius, aplink kurią lydintis kreivės trikampis sukasi ... ... Wikipedia

Nepertraukiamų laikmenų elektrodinamika Nepertraukiamų laikmenų elektrodinamika ... Wikipedia

Darboux vektorius yra momentinės sukimosi ašies, aplink kurią sukasi lydintis kreivės trikampis L, nukreipiantis vektorius, kai taškas M tolygiai juda išilgai kreivės L. Darbo vektorius yra kreivės L lyginamojoje plokštumoje ir išreiškiamas vieneto sąlygos ... ... Vikipedija

Gradientas (iš lot. gradiens, gender gradientis walking), vektorius, rodantis kokio nors dydžio sparčiausio kitimo kryptį, kurio reikšmė kinta iš vieno erdvės taško į kitą (žr. Lauko teorija). Jei kiekis išreikštas......

Momentinės sukimosi ašies krypties vektorius d, aplink kurį sukasi lydintis kreivės L trikampis tolygiai taškui M judant išilgai kreivės L.D. yra kreivės L lyginamojoje plokštumoje ir išreiškiama pagrindinės normaliosios vienetiniais vektoriais... Matematinė enciklopedija

Šį straipsnį ar skyrių reikia peržiūrėti. Prašau patobulinti straipsnį pagal straipsnių rašymo taisykles. Hipertopas... Vikipedija

Grafikos vamzdynas yra aparatinės ir programinės įrangos kompleksas, skirtas trimatei grafikai vizualizuoti. Turinys 1 Trimatės scenos elementai 1.1 Techninė įranga 1.2 Programinės įrangos sąsajos ... Vikipedija

Matematinė disciplina, kurioje tiriamos Euklido erdvės vektorių operacijų savybės. Be to, vektoriaus sąvoka yra matematinė dydžių abstrakcija, apibūdinama ne tik skaitine verte, bet ir... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Plokštumo užklausa nukreipiama čia. Šia tema reikia atskiro straipsnio... Vikipedija

Plokštumos normalusis vektorius yra vektorius, statmenas nurodytai plokštumai. Akivaizdu, kad bet kuri plokštuma turi be galo daug normaliųjų vektorių. Tačiau norint išspręsti problemas, mums reikės tik vieno.

Jei plokštuma duota pagal bendrąją lygtį , tada vektorius yra duotosios plokštumos normalusis vektorius. Tai tiesiog piktina. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai „pašalinti“ koeficientus iš plokštumos lygties.

Trys ekranai laukia žadėtojo, grįžkime prie pavyzdžio Nr.1 ​​ir patikrinkime. Leiskite jums priminti, kad ten reikėjo sudaryti plokštumos lygtį naudojant tašką ir du vektorius. Dėl sprendimo mes gavome lygtį. Mes tikriname:

Pirmiausia gautoje lygtyje pakeiskime taško koordinates:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad taškas tikrai yra šioje plokštumoje.

Antra, iš plokštumos lygties pašaliname normalųjį vektorių: . Kadangi vektoriai yra lygiagretūs plokštumai, o vektorius yra statmenas plokštumai, turi įvykti šie faktai: . Vektorių statmenumą galima lengvai patikrinti naudojant taškinis produktas:

Išvada: plokštumos lygtis buvo rasta teisingai.

Bandymo metu aš iš tikrųjų cituojau šį teorijos teiginį: vektorius lygiagrečiai plokštumai Jeigu, ir tik jeigu .

Išspręskime svarbią problemą, kuri taip pat aktuali pamokai:

5 pavyzdys

Raskite plokštumos vienetinį normalųjį vektorių .

Sprendimas: Vieneto vektorius yra vektorius, kurio ilgis yra vienas. Pažymėkime šį vektorių . Iš esmės kraštovaizdis atrodo taip:

Visiškai aišku, kad vektoriai yra kolineariniai.

Pirmiausia iš plokštumos lygties pašaliname normalųjį vektorių: .

Kaip rasti vieneto vektorių? Norėdami rasti vieneto vektorių , reikia kas vektoriaus koordinatė padalinti iš vektoriaus ilgio .

Perrašykime normalųjį vektorių į formą ir raskime jo ilgį:

Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau:

Atsakymas:

Patikrinimas: ką reikėjo patikrinti.

Skaitytojai, kurie atidžiai išstudijavo paskutinę pamokos pastraipą Taškinė vektorių sandauga, tikriausiai tai pastebėjote vieneto vektoriaus koordinates yra būtent vektoriaus krypties kosinusai :

Pailsėkime nuo šios problemos: kai jums duotas savavališkas nulinis vektorius, o pagal sąlygą reikia surasti jo krypties kosinusus (paskutinės pamokos užduotys Taškinė vektorių sandauga), tada jūs iš tikrųjų rasite vienetinį vektorių, kuris yra kolinerinis šiam vektoriui.

Tiesą sakant, dvi užduotys viename butelyje.

Poreikis rasti vienetinį normalųjį vektorių iškyla kai kuriose matematinės analizės problemose.

Mes supratome, kaip išgauti įprastą vektorių, dabar atsakykime į priešingą klausimą.

Norint naudoti koordinačių metodą, reikia gerai žinoti formules. Jų yra trys:

Iš pirmo žvilgsnio atrodo grėsmingai, tačiau tik šiek tiek pasipraktikavus viskas pavyks puikiai.

Užduotis. Raskite kampo tarp vektorių a = (4; 3; 0) ir b = (0; 12; 5) kosinusą.

Sprendimas. Kadangi vektorių koordinatės mums pateiktos, jas pakeičiame pirmąja formule:

Užduotis. Parašykite lygtį plokštumai, kertančiai taškus M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) ir K = (2; 1; 0), jei žinoma, kad ji nekerta kilmė.

Sprendimas. Bendroji plokštumos lygtis: Ax + By + Cz + D = 0, bet kadangi norima plokštuma neeina per koordinačių pradžią - tašką (0; 0; 0) - tada dedame D = 1. Kadangi tai plokštuma eina per taškus M, N ir K, tada šių taškų koordinatės turėtų paversti lygtį teisinga skaitine lygybe.

Pakeiskime taško M = (2; 0; 1) koordinates vietoj x, y ir z. Mes turime:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Panašiai taškams N = (0; 1; 1) ir K = (2; 1; 0) gauname tokias lygtis:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Taigi turime tris lygtis ir tris nežinomuosius. Sukurkime ir išspręskime lygčių sistemą:

Mes nustatėme, kad plokštumos lygtis yra tokia: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Užduotis. Plokštuma pateikiama lygtimi 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Raskite šiai plokštumai statmeno vektoriaus koordinates.

Sprendimas. Naudodami trečiąją formulę gauname n = (7; − 2; 4) – viskas!

Vektoriaus koordinačių skaičiavimas

Bet ką daryti, jei užduotyje nėra vektorių - yra tik taškai, esantys tiesiose linijose, ir jums reikia apskaičiuoti kampą tarp šių tiesių? Tai paprasta: žinodami taškų koordinates – vektoriaus pradžią ir pabaigą – galite apskaičiuoti paties vektoriaus koordinates.

Norėdami rasti vektoriaus koordinates, turite atimti pradžios koordinates iš jo pabaigos koordinačių.

Ši teorema vienodai gerai veikia tiek plokštumoje, tiek erdvėje. Posakis „atimti koordinates“ reiškia, kad kito taško x koordinatė atimama iš vieno taško x koordinatės, tada tą patį reikia padaryti su y ir z koordinatėmis. Štai keletas pavyzdžių:

Užduotis. Erdvėje yra trys taškai, apibrėžti jų koordinatėmis: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) ir C = (− 4; 3; − 2). Raskite vektorių AB, AC ir BC koordinates.

Apsvarstykite vektorių AB: jo pradžia yra taške A, o pabaiga taške B. Todėl norėdami rasti jo koordinates, turime atimti taško A koordinates iš taško B koordinačių:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Panašiai vektoriaus AC pradžia yra tas pats taškas A, o pabaiga yra taškas C. Todėl turime:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Galiausiai, norint rasti vektoriaus BC koordinates, reikia atimti taško B koordinates iš taško C koordinačių:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Atsakymas: AB = (2; − 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Atkreipkite dėmesį į paskutinio BC vektoriaus koordinačių skaičiavimą: daugelis žmonių klysta dirbdami su neigiamais skaičiais. Tai liečia kintamąjį y: taško B koordinatė y = − 1, o taško C koordinatė y = 3. Gauname tiksliai 3 − (− 1) = 4, o ne 3 − 1, kaip daugelis galvoja. Nedaryk tokių kvailų klaidų!

Tiesių linijų krypties vektorių skaičiavimas

Jei atidžiai perskaitysite užduotį C2, nustebsite pamatę, kad ten nėra vektorių. Yra tik tiesios linijos ir plokštumos.

Pirmiausia pažvelkime į tiesias linijas. Čia viskas paprasta: bet kurioje linijoje yra bent du skirtingi taškai ir, atvirkščiai, bet kurie du skirtingi taškai apibrėžia unikalią liniją...

Ar kas nors suprato, kas parašyta ankstesnėje pastraipoje? Aš pats to nesupratau, todėl paaiškinsiu paprasčiau: uždavinyje C2 tiesės visada apibrėžiamos taškų pora. Jei įvesime koordinačių sistemą ir atsižvelgsime į vektorių su pradžia ir pabaiga šiuose taškuose, gausime vadinamąjį linijos krypties vektorių:

Kodėl reikalingas šis vektorius? Faktas yra tas, kad kampas tarp dviejų tiesių yra kampas tarp jų krypties vektorių. Taigi nuo nesuprantamų tiesių pereiname prie konkrečių vektorių, kurių koordinates nesunku apskaičiuoti. Kaip tai lengva? Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nubrėžtos linijos AC ir BD 1. Raskite šių linijų krypties vektorių koordinates.

Kadangi kubo briaunų ilgis sąlygoje nenurodytas, nustatome AB = 1. Įvedame koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške A ir x, y, z ašys nukreiptos išilgai tiesių AB, AD ir AA 1, atitinkamai. Vieneto segmentas yra lygus AB = 1.

Dabar suraskime tiesės AC krypties vektoriaus koordinates. Mums reikia dviejų taškų: A = (0; 0; 0) ir C = (1; 1; 0). Iš čia gauname vektoriaus AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) koordinates – tai krypties vektorius.

Dabar pažvelkime į tiesią liniją BD 1. Jis taip pat turi du taškus: B = (1; 0; 0) ir D 1 = (0; 1; 1). Gauname krypties vektorių BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Atsakymas: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Užduotis. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 1, nubrėžtos tiesės AB 1 ir AC 1. Raskite šių linijų krypties vektorių koordinates.

Įveskime koordinačių sistemą: pradžia yra taške A, x ašis sutampa su AB, z ašis sutampa su AA 1, y ašis sudaro OXY plokštumą su x ašimi, kuri sutampa su ABC plokštuma.

Pirmiausia pažvelkime į tiesę AB 1. Čia viskas paprasta: turime taškus A = (0; 0; 0) ir B 1 = (1; 0; 1). Gauname krypties vektorių AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Dabar suraskime AC 1 krypties vektorių. Viskas yra tas pats – skirtumas tik tas, kad taškas C 1 turi neracionalias koordinates. Taigi A = (0; 0; 0), taigi turime:

Atsakymas: AB 1 = (1; 0; 1);

Maža, bet labai svarbi pastaba apie paskutinį pavyzdį. Jei vektoriaus pradžia sutampa su koordinačių pradžia, skaičiavimai labai supaprastinami: vektoriaus koordinatės tiesiog lygios pabaigos koordinatėms. Deja, tai galioja tik vektoriams. Pavyzdžiui, dirbant su plokštumomis, koordinačių pradžios buvimas jose tik apsunkina skaičiavimus.

Plokštumų normaliųjų vektorių skaičiavimas

Normalūs vektoriai nėra tie vektoriai, kurie yra gerai arba jaučiasi gerai. Pagal apibrėžimą normalus vektorius (normalus) plokštumai yra vektorius, statmenas duotai plokštumai.

Kitaip tariant, normalus yra vektorius, statmenas bet kuriam vektoriui tam tikroje plokštumoje. Jūs tikriausiai susidūrėte su šiuo apibrėžimu – tačiau vietoj vektorių kalbėjome apie tiesias linijas. Tačiau tiesiai aukščiau buvo parodyta, kad C2 uždavinyje galite dirbti su bet kokiu patogiu objektu - ar tai būtų tiesi linija, ar vektorius.

Dar kartą priminsiu, kad kiekviena plokštuma erdvėje apibrėžiama lygtimi Ax + By + Cz + D = 0, kur A, B, C ir D yra kai kurie koeficientai. Neprarasdami sprendinio bendrumo, galime daryti prielaidą, kad D = 1, jei plokštuma nekerta pradžios taško, arba D = 0, jei ji eina. Bet kuriuo atveju normalaus vektoriaus koordinatės šiai plokštumai yra n = (A; B; C).

Taigi, plokštumą taip pat galima sėkmingai pakeisti vektoriumi – tuo pačiu normaliu. Kiekviena plokštuma erdvėje apibrėžta trimis taškais. Kaip rasti plokštumos lygtį (taigi ir normaliąją), jau aptarėme pačioje straipsnio pradžioje. Tačiau šis procesas daugeliui sukelia problemų, todėl pateiksiu dar keletą pavyzdžių:

Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nubrėžta atkarpa A 1 BC 1. Raskite normalųjį vektorių šios atkarpos plokštumai, jei koordinačių pradžia yra taške A, o x, y ir z ašys sutampa atitinkamai su kraštinėmis AB, AD ir AA 1.

Kadangi plokštuma neperžengia pradžios taško, jos lygtis atrodo taip: Ax + By + Cz + 1 = 0, t.y. koeficientas D = 1. Kadangi ši plokštuma eina per taškus A 1, B ir C 1, šių taškų koordinatės plokštumos lygtį paverčia teisinga skaitine lygybe.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Panašiai taškams B = (1; 0; 0) ir C 1 = (1; 1; 1) gauname tokias lygtis:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Bet mes jau žinome koeficientus A = − 1 ir C = − 1, todėl belieka rasti koeficientą B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Gauname plokštumos lygtį: − A + B − C + 1 = 0. Todėl normaliojo vektoriaus koordinatės lygios n = (− 1; 1; − 1).

Užduotis. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 yra atkarpa AA 1 C 1 C. Raskite normalųjį vektorių šios atkarpos plokštumai, jei koordinačių pradžia yra taške A, o x, y ir z ašys sutampa su briaunos atitinkamai AB, AD ir AA 1.

Šiuo atveju plokštuma eina per pradinę vietą, todėl koeficientas D = 0, o plokštumos lygtis atrodo taip: Ax + By + Cz = 0. Kadangi plokštuma eina per taškus A 1 ir C, koordinatės šie taškai plokštumos lygtį paverčia teisinga skaitine lygybe.

Pakeiskime taško A koordinates 1 = (0; 0; 1), o ne x, y ir z. Mes turime:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Panašiai taškui C = (1; 1; 0) gauname lygtį:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Nustatykime B = 1. Tada A = − B = − 1, o visos plokštumos lygtis yra tokia: − A + B = 0. Todėl normaliojo vektoriaus koordinatės lygios n = (− 1 ; 1; 0).

Paprastai tariant, aukščiau pateiktuose uždaviniuose reikia sukurti lygčių sistemą ir ją išspręsti. Gausite tris lygtis ir tris kintamuosius, tačiau antruoju atveju vienas iš jų bus laisvas, t.y. imti savavališkas vertes. Štai kodėl mes turime teisę nustatyti B = 1 – nepažeidžiant sprendimo bendrumo ir atsakymo teisingumo.

Labai dažnai užduotyje C2 reikia dirbti su taškais, kurie dalija atkarpą. Tokių taškų koordinatės nesunkiai apskaičiuojamos, jei žinomos atkarpos galų koordinatės.

Taigi, atkarpą apibrėžkime jos galais – taškais A = (x a; y a; z a) ir B = (x b; y b; z b). Tada atkarpos vidurio koordinates – pažymėkime tai tašku H – galima rasti naudojant formulę:

Kitaip tariant, atkarpos vidurio koordinatės yra jos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Užduotis. Vienetinis kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dedamas į koordinačių sistemą taip, kad x, y ir z ašys būtų nukreiptos atitinkamai išilgai kraštinių AB, AD ir AA 1, o pradžia sutampa su tašku A. Taškas K yra briaunos vidurys A 1 B 1 . Raskite šio taško koordinates.

Kadangi taškas K yra atkarpos A 1 B 1 vidurys, tai jo koordinatės lygios galų koordinačių aritmetiniam vidurkiui. Užrašykime galų koordinates: A 1 = (0; 0; 1) ir B 1 = (1; 0; 1). Dabar suraskime taško K koordinates:

Užduotis. Vieneto kubas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 dedamas į koordinačių sistemą taip, kad x, y ir z ašys būtų nukreiptos atitinkamai išilgai kraštinių AB, AD ir AA 1, o pradžia sutampa su tašku A. Raskite taško L, kuriame jie kerta kvadrato A 1 B 1 C 1 D 1 įstrižaines, koordinates.

Iš planimetrijos kurso žinome, kad kvadrato įstrižainių susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo visų jo viršūnių. Visų pirma, A 1 L = C 1 L, t.y. taškas L yra atkarpos A 1 C 1 vidurys. Bet A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), taigi turime:

Atsakymas: L = (0,5; 0,5; 1)

Tirdami tiesės lygtis plokštumoje ir trimatėje erdvėje, remiamės vektorine algebra. Šiuo atveju ypatingą reikšmę turi tiesės krypties vektorius ir tiesės normalusis vektorius. Šiame straipsnyje mes atidžiau pažvelgsime į įprastos linijos vektorių. Pradėkime nuo normalaus linijos vektoriaus apibrėžimo ir pateiksime pavyzdžių bei grafinių iliustracijų. Toliau pereisime prie tiesės normaliojo vektoriaus koordinačių paieškos naudojant žinomas tiesės lygtis ir parodysime išsamius problemų sprendimus.

Puslapio naršymas.

Normalios linijos vektorius – apibrėžimas, pavyzdžiai, iliustracijos.

Norėdami suprasti medžiagą, turite aiškiai suprasti tiesią liniją, plokštumą, taip pat žinoti pagrindinius apibrėžimus, susijusius su vektoriais. Todėl rekomenduojame pirmiausia atnaujinti atmintį apie straipsniuose pateiktą medžiagą: tiesią liniją plokštumoje, tiesią erdvę erdvėje, plokštumos idėją ir.

Pateiksime normaliosios tiesės vektoriaus apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Normalios linijos vektorius yra bet koks nulinis vektorius, esantis ant bet kurios tiesės, statmenos duotajai.

Iš tiesės normaliojo vektoriaus apibrėžimo aišku, kad tam tikros tiesės normaliųjų vektorių yra begalinis skaičius.

Tiesės normaliojo vektoriaus apibrėžimas ir tiesės krypties vektoriaus apibrėžimas leidžia daryti išvadą, kad bet kuris tam tikros tiesės normalusis vektorius yra statmenas bet kuriam šios tiesės krypties vektoriui.

Pateiksime normalios linijos vektoriaus pavyzdį.

Tegul Oxy bus duotas lėktuve. Viena iš koordinačių linijos Ox normaliųjų vektorių aibių yra koordinačių vektorius. Iš tiesų, vektorius nėra lygus nuliui ir yra koordinačių tiesėje Oy, kuri yra statmena Ox ašiai. Visų koordinačių linijos Ox normaliųjų vektorių aibė stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy gali būti nurodyta kaip .

Stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje normalusis tiesės Oz vektorius yra vektorius . Koordinačių vektorius taip pat yra normalusis Oz linijos vektorius. Akivaizdu, kad bet koks nulinis vektorius, esantis bet kurioje Ozo ašiai statmenoje plokštumoje, bus normalus Oz linijos vektorius.

Normaliojo tiesės vektoriaus koordinatės – tiesės normaliojo vektoriaus koordinačių radimas naudojant žinomas šios tiesės lygtis.

Jei laikysime tiesę stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy, tada ji atitiks tiesės lygtį tam tikro tipo plokštumoje, o normalūs linijos vektoriai bus nustatyti pagal jų koordinates (žr. straipsnį). Tai kelia klausimą: „kaip rasti tiesės normaliojo vektoriaus koordinates, kai žinome šios tiesės lygtį“?

Raskime atsakymą į klausimą, pateiktą tiesėms, apibrėžtoms plokštumoje įvairių tipų lygtimis.

Jei tiesė plokštumoje nustatoma pagal formos bendrąją tiesės lygtį , tada koeficientai A ir B reiškia atitinkamas šios tiesės normaliojo vektoriaus koordinates.

Pavyzdys.

Raskite kurio nors normaliosios tiesės vektoriaus koordinates .

Sprendimas.

Kadangi tiesioji linija duota bendrine lygtimi, iš karto galime užrašyti jos normaliojo vektoriaus koordinates – tai yra atitinkami koeficientai prieš kintamuosius x ir y. Tai yra, normalus linijos vektorius turi koordinates.

Atsakymas:

Vienas iš skaičių A arba B bendrojoje linijos lygtyje gali būti lygus nuliui. Tai neturėtų jūsų jaudinti. Pažiūrėkime į pavyzdį.

Pavyzdys.

Nurodykite bet kurį normalios linijos vektorių.

Sprendimas.

Pateikiame nepilną bendrąją tiesės lygtį. Jį galima perrašyti į formą , iš kur iš karto matosi šios tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės: .

Atsakymas:

Tiesės lygtis formos atkarpose arba tiesės su kampiniu koeficientu lygtis gali būti nesunkiai redukuojama į bendrąją tiesės lygtį, iš kurios randamos šios tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės.

Pavyzdys.

Raskite tiesės normaliojo vektoriaus koordinates.

Sprendimas.

Labai lengva pereiti nuo linijos lygties atkarpomis prie bendrosios linijos lygties: . Vadinasi, normalusis šios linijos vektorius turi koordinates .

Atsakymas:

Jei tiesė nustatoma pagal kanoninę tiesės lygtį formos plokštumoje arba parametrines tiesės lygtis formos plokštumoje , tada normaliojo vektoriaus koordinates gauti yra šiek tiek sunkiau. Iš šių lygčių iš karto galima pamatyti tiesės krypties vektoriaus koordinates - . Ir leidžia rasti šios linijos normalaus vektoriaus koordinates.

Taip pat galite gauti linijos normaliojo vektoriaus koordinates, sumažindami kanoninę linijos lygtį arba linijos parametrines lygtis į bendrą lygtį. Norėdami tai padaryti, atlikite šiuos pakeitimus:

Jūs turite nuspręsti, kuris metodas jums labiau patinka.

Parodykime pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Raskite normalų linijos vektorių .

Sprendimas.

Nukreipimo vektorius yra tiesus yra vektorius. Normalios linijos vektorius yra statmenas vektoriui, tada jis lygus nuliui: . Iš šios lygybės, suteikę n x savavališką nulinę realiąją reikšmę, randame n y. Tada tegul n x =1 , todėl pradinės linijos normalusis vektorius turi koordinates .

Antras sprendimas.

Nuo kanoninės tiesės lygties pereikime prie bendrosios lygties: . Dabar tapo matomos šios tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės.

Atsakymas: