persamaan Laplace. Mengisolasi kontur tetesan cairan dalam masalah menentukan tegangan permukaan Mengisolasi kontur tetesan

EKSTRAKSI KONTUR TETESAN CAIR DALAM MASALAH PENENTUAN KETEGANGAN PERMUKAAN

Mizotin M.M. 1, Krylov A.S. 1, Protsenko P.V. 2

1 Universitas Negeri Moskow dinamai M.V. Lomonosov, Fakultas Matematika Komputasi dan Matematika

2 Universitas Negeri Moskow dinamai M.V. Lomonosov, Fakultas Kimia

Perkenalan

Tegangan permukaan adalah salah satu sifat cairan yang paling penting, dan pengukurannya yang akurat sangat penting untuk mempelajari berbagai fenomena dan mengembangkan proses teknologi. Ada beberapa cara untuk mengukur tegangan permukaan, namun di antara semuanya dapat dibedakan dengan metode sessile atau hanging drop. Keuntungan utama dari metode ini adalah penerapannya yang sangat luas - mulai dari cairan fluida ringan hingga logam cair, dan pengaturan eksperimental yang relatif sederhana dibandingkan dengan metode lain. Selain itu, berkat perkembangan komputasi digital dan teknologi fotografi, analisis dapat dilakukan hampir secara instan.

Inti dari metode ini adalah sebagai berikut: setetes ditempatkan pada substrat horizontal (metode berbaring) atau digantung pada tabung kapiler (metode gantung) dan kemudian dipelajari foto profilnya. Mengukur parameter geometri penurunan kesetimbangan, yang bentuknya ditentukan oleh hubungan antara massa jenis dan tegangan permukaan zat cair, memungkinkan untuk mengembalikan tegangan permukaan yang diinginkan. Diagram instalasi ditunjukkan pada Gambar. 1.

Beras. 1. 1 – sumber cahaya (lampu atau cermin mikroskop), 2 – jatuhkan pada substrat,

3 – mikroskop dengan kamera digital.

Meskipun teknik eksperimental sudah cukup berkembang, instalasi khusus yang mahal untuk menembakkan setetes air masih diperlukan. Makalah ini mengusulkan algoritma untuk pengaturan eksperimental yang dibuat dari komponen yang tersedia secara luas. Kerugian instalasi dibandingkan dengan peralatan laboratorium diimbangi dengan metode pemrosesan gambar yang diusulkan.

Metode penurunan sesil

Persamaan dasar metode sessile drop, persamaan Young-Laplace, menggambarkan permukaan tetesan dengan simetri rotasi pada substrat horizontal. Untuk mengatasi masalah ini, sebuah teknik yang efektif diusulkan, yang kemudian diperbaiki dan ditambah.

Teknik ini didasarkan pada diferensiasi numerik persamaan Young-Laplace. Untuk membedakan persamaan Young-Laplace, parameterisasi kurva diperkenalkan
, Di mana T– panjang busur kurva dari puncak jurang (Gbr. 2).

Beras. 2. Parameterisasi kontur tetesan.

Parameterisasi ini memenuhi kondisi
, dan mengarah ke sistem persamaan

(1)

dengan kondisi awal
,
,
,
dan syarat tambahan
. Dalam paket perangkat lunak yang dikembangkan, masalah Cauchy (1) diselesaikan dengan metode Runge-Kutta akurasi orde keempat.

Untuk mengembalikan parameter penurunan sesil, perlu diselesaikan masalah kebalikan dalam menentukan konstanta kapiler
, koordinat titik jatuhnya
dan jari-jari kelengkungannya sebagai fungsi dari jari-jari bagian horizontal tetesan dari ketinggian di atas substrat. Fungsi ini diukur dengan kesalahan dan, dalam beberapa kasus, pengukuran hanya sebagian dari kontur tetesan yang tersedia. Saat menyelesaikan soal invers ini, kesalahan (2) diminimalkan

antara titik percobaan
dan kurva yang diperoleh sebagai hasil penyelesaian numerik dari masalah (2). Selisih antara titik percobaan dan kurva didefinisikan sebagai akar jumlah kuadrat jarak setiap titik percobaan ke kurva.

Dalam hal ini, tugas pemrosesan gambar berikut muncul: secara otomatis mendapatkan garis besar tetesan, yang diperumit dengan adanya debu dan kotoran dalam gambar (yang terkait dengan penggunaan kamera konvensional dalam kondisi "domestik"), serta kondisi pencahayaan yang bervariasi.

Fungsi kesalahan

Salah satu bagian utama dari metode ini adalah perhitungan fungsi kesalahan (2). Hitung jarak antara titik dan kurva (3)

dalam hal ini sangat padat karya, karena tidak kita ketahui, dan mereka juga perlu ditemukan secara numerik menggunakan metode pencarian satu dimensi.

Untuk menghitung fungsi kesalahan secara efisien, algoritma berikut diusulkan. Pertama, semua titik percobaan perlu diurutkan agar jumlah titiknya semakin bertambah Saya parameter terkait juga meningkat. Kemudian, saat mencari parameter untuk setiap titik berikutnya, Anda dapat menggunakan nilai parameter sebagai perkiraan awal , dan untuk poin pertama perkiraan awalnya adalah
. Untuk informasi lebih lanjut tentang menggambar garis luar tetesan, lihat di bawah.

Kedua, perhitungan fungsi error dapat dilakukan secara langsung pada saat proses integrasi sistem (1) dengan menggunakan metode Runge-Kutta. Faktanya, pada setiap iterasi, nilainya tersedia bagi kita, dan jarak terkecil dari titik dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan (4)

metode Newton. Artinya, ketika mengintegrasikan sistem (1) secara numerik, Anda perlu memantau nilai fungsi (4) untuk setiap titik berikutnya, dan mengingat nilai kesalahan terkecil, jika perlu, mengurangi langkahnya sebanyak untuk meningkatkan akurasi hasil.

Memilih garis luar setetes

Seperti disebutkan di atas, untuk menghitung kesalahan secara efektif menggunakan rumus (4), perlu untuk mengekstrak kontur tetesan dari gambar sedemikian rupa sehingga dengan bertambahnya jumlah titik Saya parameter terkait juga meningkat. Operasi ini dilakukan dalam 2 tahap: pemilihan tepi secara langsung menggunakan detektor Canny dan pemilihan kumpulan titik berurutan terkait dari peta tepi biner yang dihasilkan.

Algoritma berikut dikembangkan untuk pelacakan tepi. Pertama, perlu dilakukan operasi penipisan tepi, karena detektor Canny tidak menjamin bahwa semua tepi yang dihasilkan akan memiliki ketebalan 1 piksel (situasi ini terutama terjadi pada sambungan), dan kondisi seperti itu diperlukan untuk pemrosesan lebih lanjut. Operasi penipisan tepi dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu teknik penipisan tepi yang dikenal. Dalam pekerjaan ini, algoritma digunakan.

Pemrosesan lebih lanjut didasarkan pada analisis lingkungan piksel 3x3 di sekitar piksel yang bersangkutan. Pada Gambar. Nilai 3 piksel di lingkungan tersebut diwakili oleh variabel , mengambil nilai 0 atau 1.

Beras. 3. Lingkungan 3x3 di sekitar piksel yang dimaksud ,
.

Skema umum algoritma untuk mengidentifikasi barisan titik-titik yang terhubung:

Jika
Dan
, maka piksel pusat berisi perpotongan kontur.

Jika
dan , maka ujung kontur terletak di piksel tengah.

Pada saat yang sama, pemeriksaan kondisi ini dapat dilakukan dengan cepat dan efisien menggunakan tabel pencarian, karena total nilai masukan yang mungkin adalah 512 = 2 9 .

Mulailah dari salah satu ujung kontur yang ditemukan.

Tambahkan piksel saat ini ke daftar piksel kontur di bawah nomor saat ini dan tandai piksel saat ini pada peta tepi dengan nomor kontur saat ini.

Temukan piksel dengan nilai 1 di antara tetangga piksel saat ini.

Jika tetangga yang ditemukan bukan merupakan ujung kontur atau persimpangan dan belum ditandai dengan angka apa pun pada peta tepi, maka pindahkan piksel saat ini ke posisi tetangga yang ditemukan dan lanjutkan ke langkah 3. Jika tidak, selesaikan pengisian piksel tersebut. kontur saat ini dan lanjutkan ke kontur berikutnya (langkah 2).

Kesimpulan

Studi eksperimental sistem minyak parafin/decane pada berbagai konsentrasi menggunakan algoritma yang diusulkan menunjukkan efektivitas pendekatan yang diusulkan.

Pekerjaan ini dilakukan dengan dukungan Program Target Federal “Personel ilmiah dan pedagogis ilmiah Rusia yang inovatif” untuk 2009–2013.

literatur

Labirin C., Burnet G. Metode Regresi Nonlinier untuk Menghitung Tegangan Permukaan dan Sudut Kontak dari Bentuk Tetesan Sessile // Berselancar. Sains. 1969.V.13.Hal.451.

Krylov A.S., Vvedensky A.V., Katsnelson A.M., Tugovikov A.E.. Paket perangkat lunak untuk penentuan tegangan permukaan logam cair // J. Non-Kristal.Padat. 1993.V.156-158. Hal.845.

O. I. del Río dan A. W. Neumann. Analisis Bentuk Tetesan Axisymmetric: Metode Komputasi untuk Pengukuran Sifat Antarmuka dari Bentuk dan Dimensi Liontin dan Tetesan Sessile // Jurnal Ilmu Koloid dan Antarmuka, Volume 196, Edisi 2, 15 Desember 1997, Halaman 136-147.

M. Hoorfar dan A. W. Neumann. Kemajuan terkini dalam Analisis Bentuk Tetesan Axisymmetric // Kemajuan dalam Ilmu Koloid dan Antarmuka, Volume 121, Edisi 1-3, 13 September 2006, Halaman 25-49.

Cerdik, J., Pendekatan Komputasi Untuk Deteksi Tepi // IEEE Trans. Analisis Pola dan Kecerdasan Mesin, 8(6):679–698, 1986

Lam L., Lee S.-W., Suen C.Y. Metodologi Penipisan - Survei Komprehensif // Transaksi IEEE pada Analisis Pola dan arsip Kecerdasan Mesin, Jilid 14 Edisi 9, September 1992.

Z. Guo dan RW Hall, “Penipisan paralel dengan algoritma dua subiterasi,” Comm. ACM, jilid. 32, tidak. 3, hal. 359-373, 1989.

DETEKSI TEPI DROPLET UNTUK PENENTUAN KETEGANGAN PERMUKAAN

Mizotin M.1, Krylov A.1, Protsenko P.2

1 Universitas Negeri Lomonosov Moskow, Fakultas Matematika Komputasi dan Sibernetika, Laboratorium Metode Matematika Pengolahan Gambar,

2 Universitas Negeri Lomonosov Moskow, Departemen Kimia

Tegangan permukaan merupakan salah satu sifat utama zat cair, oleh karena itu pengukurannya sangat penting untuk mempelajari berbagai fenomena seperti pembasahan dan perkembangan proses teknologi. Teknik sessile dan pendant drop adalah salah satu teknik yang paling sering digunakan karena universalitas dan kesederhanaan proses pengukurannya.

Metode ini didasarkan pada studi profil jatuhan axi-simetris. Keseimbangan gaya gravitasi dan tegangan permukaan membentuk bentuk profil yang berbeda, sehingga tegangan permukaan dapat dihitung dengan menyelesaikan permasalahan invers persamaan Young-Laplace.

Dalam makalah ini disajikan metode ekstraksi kontur tetesan untuk penentuan tegangan permukaan. Perbedaan utama dari metode yang diusulkan adalah orientasinya pada pengaturan eksperimental yang murah menggunakan komponen yang tersedia secara luas seperti mikroskop standar, kamera digital, dan penahan media. Teknik pemrosesan gambar yang diusulkan memungkinkan untuk menghindari sebagian besar masalah mengenai kualitas rendah dari gambar jatuh yang diperoleh dengan pengaturan murah yang mempertahankan akurasi pengukuran.

Pekerjaan ini didukung oleh program federal yang ditargetkan “Personel ilmiah dan ilmiah-pedagogis Rusia inovatif pada 2009-2013”.



PENERAPAN METODE AMOEBA MORFOLOGI UNTUK ISOLASI
DENGANKAPAL DALAM GAMBAR FUNDUS

Nasonov A.V. 1, Chernomorets A.A. 1, Krylov A.S. 1, Rodin A.S. 2

Universitas Negeri Moskow dinamai M.V. Lomonosov,

1 Fakultas Matematika Komputasi dan Sibernetika, Laboratorium Metode Matematika Pengolahan Citra /
2 Fakultas Kedokteran Dasar, Departemen Oftalmologi

Penelitian ini mengembangkan algoritma untuk mengidentifikasi pembuluh darah pada gambar fundus, berdasarkan penggunaan metode morfologi amuba. Penerapan algoritma pada masalah perluasan kapal dari sekumpulan titik yang diketahui sebagai titik kapal dipertimbangkan.

1. Perkenalan

Foto fundus digunakan untuk mendiagnosis penyakit retina. Segmentasi dan penilaian ukuran karakteristik pembuluh darah sistem peredaran darah retina sangat menarik dalam diagnosis dan pengobatan banyak penyakit mata.

Identifikasi pembuluh darah pada citra retina merupakan tugas yang agak sulit dalam pengolahan citra karena tingkat noise yang tinggi, pencahayaan yang tidak merata, dan adanya objek yang mirip dengan pembuluh darah. Di antara metode untuk mendeteksi pembuluh darah pada gambar fundus, kelas-kelas berikut dapat dibedakan:

Kelas metode yang menggunakan konvolusi gambar dengan filter arah dua dimensi dan deteksi puncak respons selanjutnya. Untuk mensegmentasi jaringan pembuluh darah, filter linier dua dimensi diusulkan, yang profilnya adalah Gaussian. Keuntungan dari pendekatan ini adalah identifikasi stabil bagian kapal yang lurus dan perhitungan lebarnya. Namun, metode ini tidak mendeteksi pembuluh darah yang tipis dan berliku-liku dengan baik; alarm palsu mungkin terjadi pada objek yang bukan pembuluh darah, misalnya eksudat.

Metode menggunakan deteksi ridge. Primitif ditemukan - segmen pendek yang terletak di tengah garis, kemudian, dengan menggunakan metode pembelajaran mesin, primitif dipilih yang sesuai dengan pembuluh di mana pohon vaskular dipulihkan.

Metode yang menggunakan pelacakan kapal, yang mencakup kapal penghubung pada sepasang titik dan kapal lanjutan. Keuntungan dari pendekatan ini termasuk akurasi tinggi dalam pengerjaan pembuluh darah tipis dan pemulihan pembuluh darah yang pecah. Kerugiannya adalah sulitnya mengolah kapal yang bercabang dan bersilangan.

Klasifikasi piksel demi piksel berdasarkan penerapan metode pembelajaran mesin. Di sini, untuk setiap piksel, vektor fitur dibuat, yang menjadi dasar penentuan apakah piksel tersebut merupakan bagian dari wadah atau bukan. Untuk melatih metode ini, digunakan gambar fundus dengan pembuluh darah yang ditandai oleh seorang ahli. Kerugian dari metode ini termasuk perbedaan pendapat para ahli yang besar.

Dalam karya ini, metode amuba morfologi digunakan untuk mengidentifikasi pembuluh darah - metode morfologi di mana elemen struktural dipilih secara adaptif untuk setiap piksel.

2. Amuba morfologi

Kami menggunakan metode morfologi amuba yang dijelaskan dalam, dengan fungsi jarak yang dimodifikasi.

Pertimbangkan gambar skala abu-abu
. Mari kita bayangkan dalam bentuk grafik di mana setiap piksel dihubungkan ke delapan piksel tetangganya melalui tepi dengan bobot tertentu (“biaya”). Kemudian untuk setiap piksel
Anda dapat menemukan himpunan semua titik
, yang biaya jalurnya dari ke
tidak melebihi T. Kumpulan yang dihasilkan akan menjadi elemen struktural untuk piksel.

Kami menggunakan fungsi jarak piksel berikut dan
:

Pengali
menetapkan biaya rendah untuk bergerak di area gelap dan biaya tinggi untuk area terang, sehingga mencegah amuba menyebar ke titik di luar wadah, dan istilah ini menghukum pergerakan antar piksel dengan intensitas yang sangat bervariasi. Parameter menjelaskan pentingnya hukuman untuk transisi ini.

Contoh menemukan amuba di
ditunjukkan pada Gambar. 1.

Beras. 1. Contoh bentuk morfologi amuba. Di sebelah kiri adalah gambar asli dengan titik-titik yang ditandai di mana amuba dihitung, di sebelah kanan - elemen struktural yang ditemukan ditandai dengan warna putih.

3. Identifikasi pembuluh darah menggunakan morfologi amuba

Untuk melacak pembuluh darah sistem peredaran darah pada gambar fundus, sebuah algoritma dikembangkan, yang terdiri dari langkah-langkah berikut:

4. Hasil

Contoh operasi algoritma ditunjukkan pada Gambar. 2.

Beras. 2. Hasil identifikasi pembuluh darah menggunakan morfologi amuba. Di sebelah kiri adalah gambar fundus (saluran hijau), di tengah adalah titik-titik yang jelas merupakan titik-titik pembuluh darah tempat amuba akan dibuat, di sebelah kanan adalah hasil identifikasi pembuluh darah dengan metode yang diusulkan.

Kesimpulan

Penerapan metode amuba morfologi untuk mengidentifikasi pembuluh darah pada gambar fundus dipertimbangkan.

Algoritma yang dikembangkan rencananya akan digunakan dalam sistem otomatis untuk mendeteksi penyakit retina.

Pekerjaan ini didukung oleh Program Target Federal “Staf Ilmiah dan Ilmiah-Pedagogis Rusia Inovatif” untuk 2009–2013 dan hibah Yayasan Penelitian Dasar Rusia 01-10-00535-a.

literatur

S. Chaudhuri, S. Chatterjee, N. Katz, M. Nelson, M. Goldbaum. Deteksi Pembuluh Darah pada Gambar Retina Menggunakan Filter Pencocokan Dua Dimensi // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 8, Tidak. 3, 1989, hal. 263–269.

J. Staal, M.D. Abramoff, M. Niemeijer, M.A. Viergever, B. Ginneken. Segmentasi Kapal Berbasis Punggungan dalam Gambar Berwarna Retina // Transaksi IEEE pada Pencitraan Medis, Vol. 23, Tidak. 4, 2004, hal. 504–509.

M.Patasius, V.Marozas, D.Jegelevieius, A.Lukosevieius. Algoritma Rekursif untuk Deteksi Pembuluh Darah pada Gambar Fundus Mata: Hasil Awal // Prosiding IFMBE, Vol. 25/11, 2009, hal. 212–215.

J. Soares, J. Leandro, R. Cesar Jr., H. Jelinek, M. Cree. Segmentasi Pembuluh Retina Menggunakan Gabor Wavelet 2-D dan Klasifikasi yang Diawasi // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 25, Tidak. 9, 2006, hal. 1214–1222.

APLIKASI METODE MORFOLOGI AMOEAUNTUK DETEKSI PEMBULUH DARAH PADA GAMBAR FUNDUS MATA

Nasonov A.1, Chernomorets A.1, Krylov A.1, Rodin A.2

Universitas Negeri Lomonosov Moskow,
1 Fakultas Matematika Komputasi dan Sibernetika, Laboratorium Metode Matematika Pengolahan Citra, /
2 Fakultas Kedokteran Dasar, Departemen Oftalmologi

Algoritma deteksi pembuluh darah pada gambar fundus mata telah dikembangkan. Segmentasi dan analisis pembuluh darah pada gambar fundus mata memberikan informasi terpenting untuk mendiagnosis penyakit retina.

Deteksi pembuluh darah pada gambar fundus mata merupakan masalah yang menantang. Gambar rusak karena pencahayaan dan noise yang tidak seragam. Selain itu, beberapa objek dapat salah dideteksi sebagai pembuluh darah.

Algoritma yang diusulkan didasarkan pada metode morfologi amuba. Amuba morfologi untuk piksel tertentu adalah sekumpulan piksel dengan jarak minimal ke piksel tertentu kurang dari ambang batas T. Kami menggunakan jumlah nilai intensitas rata-rata dikalikan dengan jarak Euclidean dan nilai absolut selisih antara nilai intensitas piksel untuk jarak tersebut. Dalam hal ini jaraknya akan kecil untuk pembuluh darah yang biasanya gelap dan besar untuk area dan tepi terang, dan amuba akan meluas sepanjang pembuluh darah tetapi tidak menembus dinding pembuluh darah.

Algoritma yang diusulkan untuk mendeteksi pembuluh darah terdiri dari langkah-langkah berikut:

Ekstrak saluran hijau sebagai yang paling informatif dan lakukan koreksi iluminasi menggunakan metode ini. Ini memungkinkan untuk menggunakan parameter amuba terpadu untuk gambar yang berbeda.

Temukan himpunan piksel ( P N) pada gambar yang diperoleh yang tentunya merupakan piksel pembuluh darah

Hitung amubanya A(P Saya) untuk setiap piksel, terapkan pemfilteran peringkat ke topeng amuba dengan jendela 3x3: hapus piksel dari topeng yang memiliki kurang dari 3 piksel tetangga di dalam topeng. Piksel yang tersisa ditandai sebagai piksel pembuluh darah.

Jika kita perlu memperluas pembuluh darah, langkah ketiga diulangi untuk semua piksel yang baru ditambahkan ke area pembuluh darah.

Kami berencana untuk menggunakan algoritma yang dikembangkan dalam sistem otomatis deteksi penyakit retina.

Pekerjaan ini didukung oleh program federal yang ditargetkan “Personil ilmiah dan ilmiah-pedagogis Rusia inovatif pada 2009-2013” ​​​​dan hibah RFBR 01-10-00535-a.

literatur

R. J. Winder, P. J. Morrow, I. N. McRitchie, J. R. Bailie, P. M. Hart. Algoritma untuk pemrosesan gambar digital pada retinopati diabetik // Pencitraan dan Grafik Medis Terkomputerisasi, Vol. 33, 2009, 608–622.

M. Welk, M. Breub, O. Vogel. Persamaan Diferensial Morfologi Amuba // Catatan Kuliah Ilmu Komputer, Vol. 5720/2009, 2009, hal. 104–114.

GD Joshi, J. Sivaswamy. Peningkatan Citra Retina Warna berdasarkan Pengetahuan Domain // Konferensi India Keenam tentang Visi Komputer, Grafik dan Pemrosesan Gambar (ICVGIP"08), 2008, hlm. 591–598.

gambar Menggunakan metode Tomografi dalam tulisan tangan ... adanya karakteristik kebisingan impuls

Persamaan tersebut juga dipertimbangkan dalam ruang dua dimensi dan satu dimensi. Dalam ruang dua dimensi, persamaan Laplace ditulis:

Juga di N ruang -dimensi. Dalam hal ini, jumlahnya sama dengan nol N turunan kedua.

• Catatan: semua hal di atas berlaku untuk koordinat Cartesian di ruang datar (berapapun dimensinya). Saat menggunakan koordinat lain, representasi operator Laplace berubah, dan karenanya, pencatatan persamaan Laplace juga berubah (misalnya, lihat di bawah). Persamaan ini juga disebut persamaan Laplace, tetapi untuk memperjelas terminologinya, indikasi sistem koordinat (dan, jika diinginkan kejelasan lengkap, dimensi) biasanya ditambahkan secara eksplisit, misalnya: “persamaan Laplace dua dimensi dalam koordinat kutub.”

Bentuk lain dari persamaan Laplace

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 ( \displaystyle (1 \over r^(2))(\partial \over \partial r)\left(r^(2)(\partial f \over \partial r)\right)+(1 \over r^( 2)\sin \theta )(\partial \over \partial \theta )\left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta )\right)+(1 \over r^(2)\sin ^(2)\theta )(\partial ^(2)f \over \partial \varphi ^(2))=0)

Poin khusus r = 0 , θ = 0 , θ = π (\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi ).

Poin khusus.

Poin tunggal r = 0 (\gaya tampilan r=0).

Penerapan persamaan Laplace

Persamaan Laplace muncul dalam banyak masalah fisika mekanika, konduktivitas termal, elektrostatika, dan hidrolika. Operator Laplace sangat penting dalam fisika kuantum, khususnya dalam persamaan Schrödinger.

Solusi persamaan Laplace

Meskipun persamaan Laplace adalah salah satu persamaan fisika matematika yang paling sederhana, penyelesaiannya menghadapi kesulitan. Penyelesaian numerik sangat sulit karena ketidakteraturan fungsi dan adanya singularitas.

Keputusan bersama

Ruang satu dimensi

Di mana C 1 , C 2 (\gaya tampilan C_(1),C_(2))- konstanta sewenang-wenang.

Ruang dua dimensi

Persamaan Laplace pada ruang dua dimensi dipenuhi oleh fungsi analitik. Fungsi analitik dipertimbangkan dalam teori fungsi variabel kompleks, dan kelas solusi persamaan Laplace dapat direduksi menjadi fungsi variabel kompleks.

Persamaan Laplace untuk dua variabel bebas dirumuskan sebagai berikut

Fungsi analitis

Jika z = X + iy, Dan

maka kondisi Cauchy-Riemann perlu dan cukup untuk fungsi tersebut F(z) bersifat analitis:

Bagian nyata dan imajiner dari fungsi analitik memenuhi persamaan Laplace. Setelah membedakan kondisinya

Dispersi– nilai kebalikan dari ukuran partikel linier (m -1):

Energi Permukaan G S

adalah energi permukaan total sistem.

Sedimentasi – Ini adalah pergerakan partikel di bawah pengaruh gravitasi.

Hukum Stokes:

- rumus dasar analisis sedimentasi

Difusi – Ini adalah proses yang bertujuan untuk menyamakan konsentrasi dalam lingkungan yang awalnya heterogen.

- hukum pertama Fick;

- Persamaan Einstein (koefisien difusi)

proyeksi pergeseran akar rata-rata kuadrat:

- persamaan untuk pergeseran akar rata-rata kuadrat

D ~ 10 -11 – 10 -14 m 2 /s, [D]=[m 2 /s]

Koefisien difusi adalah aliran materi yang dipindahkan melalui silinder dengan satuan luas penampang per satuan waktu.

Persamaan Gibbs-Duhem

- hukum hipsometri, rumus barometrik.

Osmosis adalah perpindahan suatu pelarut (media pendispersi) ke larutan koloid melalui membran semi permeabel.

persamaan van't Hoff:

Anisotropi gelombang cahaya:

hukum Rayleigh:
.

- Hukum Bouguer-Lambert-Beer

- kekeruhan sistem [m -1 ]

Kekeruhan adalah kebalikan dari jarak dimana intensitas cahaya datang dilemahkan dengan faktor e.

Tegangan permukaan adalah kerja pembentukan suatu satuan permukaan dalam kondisi isotermal yang dapat dibalik.

pengalaman Dupre:

Tegangan permukaan adalah gaya yang bekerja pada permukaan tangensial dan per satuan panjang keliling yang membatasi permukaan tersebut.

Persamaan umum hukum termodinamika I dan II:

- Persamaan Gibbs-Helmholtz

- persamaan Laplace .

- Rumus Jurin.

- Prinsip Curie-Gibbs

- Persamaan Thomsan-Kelvin (kondensasi kapiler) .

Metode Gibbs:

Metode Lapisan Permukaan:

Di belakang ketebalan lapisan ambil jarak di kedua sisi batas fase, di luar itu sifat permukaan tidak lagi berbeda dari sifat curah.

Membasahi - ini adalah fenomena interaksi cairan dengan benda padat atau cair dengan adanya antarmuka antara tiga fase.

- persamaan Young.

Menyebarkan pekerjaan - Ini adalah energi yang dilepaskan ketika suatu permukaan ditutupi dengan lapisan tipis cairan atau merupakan gaya yang bekerja pada permukaan sepanjang seluruh permukaan kontak.

- Karya Kagezia

Pekerjaan Adhesi

Kagesia adalah interaksi antara partikel-partikel yang sefasa. Ini adalah usaha yang harus dilakukan pada fase keruntuhan, per satuan permukaan keruntuhan.

Pekerjaan adhesi dihabiskan untuk pembentukan dua permukaan baru
Dan
dan manfaat dari hilangnya antarmuka padat-cair.

Panas pembasahan (N CM ) adalah jumlah energi yang dilepaskan ketika satu unit permukaan dibasahi.

Koefisien kekasaran – rasio permukaan sebenarnya dengan permukaan geometris.
,

Metode untuk mengukur tegangan permukaan.

Statis Metode yang didasarkan pada studi tentang keseimbangan statis Metode kenaikan kapiler Metode Wilhelmy

Semi-statis n 0 – jumlah tetes untuk cairan standar n X – untuk yang diukur 2. Metode Du-Nouy 3. Metode tekanan berlebihan.

Metode Dinamis : metode jet berosilasi.

ADSORPSI.

- Prinsip Curie

Adsorpsi adalah proses redistribusi suatu komponen antara fase curah dan lapisan permukaan.

A – adsorpsi lengkap adalah jumlah adsorbat pada lapisan permukaan per satuan massa atau luas adsorben. Dapat diukur dalam mol/m2, mol/kg, g/kg, dll.

G – “gamma” - adsorpsi berlebih (gipsum) adalah kelebihan adsorbat pada lapisan permukaan dibandingkan dengan volume fasa yang sama per satuan permukaan atau massa adsorben.

- Persamaan Lennard-Jones

- Persamaan adsorpsi Gibbs .

- perubahan integral energi Gibbs .

- perubahan entropi diferensial

- entalpi diferensial adsorpsi

- panas adsorpsi isosterik

- panas kondensasi

- panas bersih adsorpsi

Qa – panas adsorpsi integral,

Qra – panas bersih adsorpsi integral,

- persamaan Henry

- Persamaan Langmuir.

Adsorpsi campuran gas pada permukaan homogen

Adsorpsi campuran gas pada permukaan yang tidak seragam

teori BERTARUH

Poin-poin penting:

Ketika molekul adsorbat mengenai tempat yang ditempati, banyak himpunan terbentuk.

Saat kita semakin dekat P Ke P S jumlah situs adsorpsi bebas berkurang. Awalnya, jumlah tempat yang ditempati tunggal, ganda, dan sebagainya bertambah dan kemudian berkurang. dalam set.

Pada P =P S adsorpsi berubah menjadi kondensasi.

Tidak ada interaksi horizontal.

Untuk lapisan pertama isoterm Langmuir terpenuhi.

Kelemahan utama teori ini– mengabaikan interaksi horizontal dan mendukung interaksi vertikal.

Akuntansi untuk interaksi adsorbat-adsorbat.

A adsorbennya tidak polar.

Grafik 1 menunjukkan interaksi adsorbat-adsorbat lemah dan interaksi adsorbat-adsorben kuat.

Grafik 2 berhubungan dengan interaksi adsorbat-adsorbat kuat dan interaksi adsorbat-adsorben kuat.

Grafik 3 menunjukkan interaksi adsorbat-adsorbat kuat dan interaksi adsorbat-adsorben lemah.

- Persamaan Frunkin, Fowler, Guggenheim.

k– daya tarik konstan.

Teori potensi Polyany

Adsorpsi- Hal ini merupakan akibat daya tarik adsorbat terhadap permukaan adsorben akibat aksi potensial adsorpsi, yang tidak bergantung pada keberadaan molekul lain dan bergantung pada jarak antara permukaan dengan molekul adsorbat.

, - potensi adsorpsi.

Karena permukaannya tidak seragam, jarak digantikan oleh volume adsorpsi . Volume adsorpsi adalah volume yang tertutup antara permukaan dan titik yang bersesuaian dengan nilai tertentu .

Potensi adsorpsi adalah usaha memindahkan 1 mol adsorbat di luar volume adsorpsi tertentu ke titik tertentu pada volume adsorpsi (atau usaha memindahkan 1 mol uap jenuh suatu adsorbat yang berada dalam kesetimbangan dengan adsorbat cair tanpa adanya adsorben menjadi fase uap dalam kesetimbangan dengan adsorben).

Persamaan Thompson – Kelvin.

Adsorpsi pada antarmuka padat-cair

Persamaan isoterm adsorpsi dengan konstanta pertukaran

Aktivitas permukaan g adalah kemampuan zat untuk menurunkan tegangan permukaan suatu sistem.

- Aturan Traubo Duclos

- Persamaan Shishkovsky.

Misel– disebut agregat molekul surfaktan amfifilik, radikal hidrokarbon yang membentuk inti, dan gugus polar diubah menjadi fase air.

Massa misel – massa misel.

Jumlah molekul adalah bilangan agregasi.

Untuk deret homologi terdapat persamaan empiris:

A– energi pembubaran gugus fungsi.

B– peningkatan potensi adsorpsi, kerja adsorpsi per unit metilen.

Kehadiran inti hidrokarbon dalam misel menciptakan peluang bagi senyawa yang tidak larut dalam air untuk larut dalam larutan surfaktan berair; fenomena ini disebut pelarutan(Yang terlarut adalah zat pelarut, dan surfaktan adalah zat pelarut).

- tekanan dua dimensi.

Film yang dibatasi oleh fase-fase yang sama pada kedua sisinya disebut bilateral. Dalam film-film seperti itu, pergerakan konstan cairan induk diamati.

Film yang tebalnya kurang dari 5 nm disebut film hitam.

- analog dari persamaan Shishkovsky

Fenomena elektrokinetik. Lapisan ganda listrik (EDL).

Elektroosmosis adalah pergerakan medium pendispersi relatif terhadap fasa terdispersi diam di bawah pengaruh arus listrik.

Elektroforesis – ini adalah pergerakan partikel fase terdispersi relatif terhadap media pendispersi diam di bawah pengaruh arus listrik.

modulus geser

modulus gesekan viskos

- Persamaan Gelemholtz-Smalukowski

Persamaan Boltzmann

Kepadatan muatan volume

\

persamaan Poisson

- Ketebalan DEL adalah jarak penurunan potensial DEL e sekali.

- potensinya menurun secara eksponensial.

Kapasitas lapisan ganda

teori Stern. Struktur misel koloid.

Lapisan ganda listrik terdiri dari dua bagian: padat dan menyebar. Lapisan padat terbentuk sebagai hasil interaksi ion-ion pembentuk potensial dengan ion-ion yang teradsorpsi secara spesifik. Ion-ion ini biasanya mengalami dehidrasi sebagian atau seluruhnya dan dapat memiliki muatan yang sama atau berlawanan dengan ion penentu potensial. Itu tergantung pada rasio energi interaksi elektrostatik
dan potensi adsorpsi spesifik
. Ion-ion lapisan padat bersifat tetap. Bagian lain dari ion terletak di lapisan difus; ion-ion ini bebas dan dapat bergerak lebih dalam ke dalam larutan, yaitu. dari daerah dengan konsentrasi lebih tinggi ke daerah dengan konsentrasi lebih rendah. Kepadatan muatan total terdiri dari dua bagian.

- Muatan lapisan Helmholtz

- Muatan lapisan difus

, Di mana - fraksi mol ion lawan dalam larutan

Garis putus-putus disebut batas geser.

Potensial yang timbul pada batas slip akibat terpisahnya sebagian lapisan difus disebut potensi elektrokinetik(Potensi Zeta ).

Partikel fasa terdispersi yang dikelilingi lapisan ion lawan dan lapisan listrik ganda disebut misel.

Persamaan Gelemholtz-Smoluchowski

(untuk elektroosmosis).

Untuk potensi aliran:

- Persamaan Lippmann ke-1.

- Persamaan Lippmann ke-2.

- Persamaan Nernst

- persamaan kurva elektrokapiler (ECC).

Pembekuan adalah proses adhesi partikel, yang menyebabkan hilangnya stabilitas agregasi.

– Aturan Schulze-Hardy

Film- ini adalah bagian dari sistem yang terletak di antara dua permukaan antarmuka.

Tekanan yang terputus-putus terjadi ketika ketebalan film berkurang tajam akibat interaksi lapisan permukaan yang mendekat.

Teori stabilitas. DLFO (Deryagin, Landau, Fairway, Overbeck).

Menurut teori DLFO, tekanan disjoining memiliki dua komponen:

Elektrostatis P E (positif, disebabkan oleh gaya tolak-menolak elektrostatis). Sesuai dengan penurunan energi Gibbs dengan meningkatnya ketebalan film.

Molekuler P M (negatif, akibat aksi gaya tarik menarik). Hal ini disebabkan oleh kompresi film akibat gaya permukaan kimia, jari-jari kerja gaya adalah sepersepuluh nm dengan energi sekitar 400 kJ/mol.

Energi interaksi total:

- Persamaan Laplace

Untuk permukaan bermuatan lemah

Untuk permukaan bermuatan tinggi:

Komponen molekuler adalah interaksi dua atom:

~

Interaksi atom dengan permukaan:

Permukaan yang sedikit bermuatan:
,Untuk permukaan bermuatan tinggi

Teori koagulasi cepat Smoluchowski.

Ketergantungan laju koagulasi pada konsentrasi elektrolit.

I – tingkat koagulasi rendah,

II – laju koagulasi hampir sebanding dengan konsentrasi elektrolit.

III – wilayah koagulasi cepat, kecepatannya praktis tidak bergantung pada konsentrasi.

Ketentuan dasar:

Sol awalnya bersifat monodispersi, partikel serupa berbentuk bola.

Semua tumbukan partikel efektif.

Ketika dua partikel primer bertabrakan, partikel sekunder terbentuk. Sekunder + primer = tersier. Primer, sekunder, tersier – multiplisitas.

,
,
,

Sistem yang terbentuk secara spontan disebut liofilik, ditandai dengan nilai yang rendah
dan stabil.

Sistem liofobik tidak terbentuk secara spontan, t/d tidak stabil dan memerlukan stabilisasi tambahan, paling sering karena masuknya surfaktan ke dalam sistem.

Tahap pembentukan embrio ( )=Pembentukan pusat kristalisasi (I) + Tahap pengiriman zat ke pusat tersebut (U).

Tahap pertumbuhan embrio
= pembentukan pusat kondensasi dua dimensi (I’) + pengiriman zat ke pusat tersebut (U)

FISIKA TERMAL SUHU TINGGI, 2010, volume 48, no.2, hal. 193-197

SIFAT FISIK TERMAL ZAT

UDC 532.6:004.932

PENINGKATAN METODE SESSING DROP UNTUK MENENTUKAN KETEGANGAN PERMUKAAN CAIRAN

© 2010 L. B. Direktur, V. M. Zaichenko, I. L. Maikov

Institut Gabungan Suhu Tinggi RAS, Moskow Diterima pada 25/05/2009

Teknik yang lebih baik telah dikembangkan untuk memproses gambar bagian meridional tetesan cairan yang diperoleh dengan menerapkan metode sessile drop untuk menentukan tegangan permukaan cairan. Teknik ini menyediakan pemindaian gambar digital tetesan air, solusi numerik persamaan Young-Laplace, serta perhitungan tegangan permukaan, sudut kontak, dan volume tetesan.

PERKENALAN

Metode sessile (menggantung) atau stasioner drop dianggap sebagai metode statis yang paling dapat diandalkan untuk mempelajari tegangan permukaan lelehan logam, garam, polimer, dan cairan lainnya.

Metode statis didasarkan pada penyelesaian persamaan diferensial Young-Laplace. Perkiraan solusi persamaan ini telah diperoleh oleh banyak penulis, dan metode paling umum untuk menentukan koefisien tegangan permukaan didasarkan pada penggunaan tabel Bashforth dan Adams. Ketergantungan empiris yang ada pada dasarnya merupakan perkiraan dari tabel-tabel ini. Kerugian dari metode tersebut adalah akurasi yang rendah, serta keterbatasan yang terkait dengan ukuran tetesan. Parameter geometri tetesan ditentukan dengan mengukur gambar fotografisnya menggunakan mikroskop pengukur. Proses pengukurannya cukup memakan waktu dan hasilnya mengandung kesalahan yang terkait dengan karakteristik individu pengamat.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk membuat paket perangkat lunak berkecepatan tinggi yang memungkinkan Anda memproses gambar digital tetesan air dan melakukan prosedur optimasi untuk menentukan koefisien tegangan permukaan suatu cairan menggunakan metode sessile dan metode melepaskan setetes (jatuhan gantung). Metodologi ini didasarkan pada ideologi integrasi numerik persamaan Young-Laplace, yang disajikan dalam karya ini.

METODE PENGOLAHAN GAMBAR DROP

Informasi sumber adalah file grafik dalam format titik standar

BitMaP (BMP) mate, yang berisi gambar bagian meridional drop. Gambar memiliki palet hitam putih dengan skala abu-abu dari putih ke hitam (dalam notasi heksadesimal dari 000000 hingga FFFFFF) dalam warna RGB (Gbr. 1).

Menentukan batas pasti suatu gambar adalah tugas tersendiri. Ada algoritma yang cukup kompleks berdasarkan metode fungsi set level dan memerlukan penyelesaian persamaan diferensial parsial hiperbolik. Dalam karya ini, algoritma sederhana yang dijelaskan di bawah ini digunakan untuk menyederhanakan perhitungan numerik dan akurasinya dievaluasi.

Pada pengolahan tahap pertama, citra abu-abu diubah menjadi hitam putih monokrom dengan cara sebagai berikut. Nilai warna rata-rata dari palet warna dipilih (dalam heksadesimal, ini sesuai dengan warna 888888). Proses pengolahan selanjutnya terdiri dari

Beras. 1. Gambar tetesan pada media (format BMP).

memindai gambar pada setiap piksel. Semua piksel dengan nilai warna kurang dari batas mengubah nilainya menjadi putih, dan lebih dari batas - menjadi hitam, sebagai akibatnya batas warna putih dan hitam dan, dengan demikian, koordinat titik kontur gambar ditentukan (Gbr. 2).

Pemilihan warna batas saat mengonversi gambar dari abu-abu ke monokrom menimbulkan kesalahan tertentu pada hasil, yang diilustrasikan oleh kurva ketergantungan volume relatif standar (bola baja yang dikalibrasi) pada pilihan warna batas (Gbr. .3).

Saat memilih seperlima dari palet penuh (warna palet dari 666666 hingga LLLLLLA dalam representasi heksadesimal sesuai dengan warna dari 1 hingga 4 pada Gambar 3), kesalahan relatif dalam menentukan volume adalah 0,2%. Warna palet 888888 (tengah palet penuh) sesuai dengan nilai 3 pada sumbu x dan volume relatif 1.

Volume relatif 1,0010

batas pemisahan warna

Beras. 3. Ketergantungan volume relatif standar pada pilihan warna batas.

PROSEDUR NUMERIK UNTUK PENGOLAHAN GAMBAR DROP

Bentuk tetesan yang terletak di atas substrat (Gbr. 4) memenuhi persamaan Young-Laplace

(l + U "2)3/2 U (1 + U

Konstanta kapiler; st - bersama-

koefisien tegangan permukaan; H - tinggi jatuhkan; [x, y(x)] - koordinat batas bagian meridional tetesan (lihat Gambar 4); R0 adalah jari-jari kelengkungan pada titik puncak jatuh; Ap adalah perbedaan antara massa jenis zat cair dan gas di sekitarnya.

Untuk menyelesaikan persamaan (1) secara numerik, mari kita parametrikan persamaan tersebut dengan x = x(1),

Di sini I adalah panjang busur kurva dari puncak titik jatuh ke titik dengan koordinat x(1), y(1). Maka persamaan Young-Laplace dalam bentuk parametrik akan dituliskan sebagai

v ay Ro n - x + x + _2_

A y Roy dengan kondisi awal x(0) = H, y(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = -1.

Beras. 4. Bagian meridional dari penurunan sesil.

metode penurunan sesil yang lebih baik

Sistem dua persamaan diferensial orde kedua (2) dapat direpresentasikan sebagai sistem empat persamaan orde pertama

kamu = -v + ä + 2

"H - x, ü, 2 v = ü |-2--1---1--

dengan kondisi awal x(0) = H, y(0) = 0,

dan (0) = 0, v (0) = -1.

Untuk mengintegrasikan sistem persamaan diferensial biasa (3), digunakan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial kaku - metode multi-langkah linier dengan pemilihan langkah otomatis, diimplementasikan dalam algoritma DIFSUB.

Saat memproses data yang diperoleh dengan metode jatuh sessile (pemisahan jatuh), masalah kebalikan dari menentukan konstanta kapiler a2, tinggi jatuh H dan jari-jari kelengkungannya R diselesaikan dengan menggunakan ketergantungan jari-jari lingkaran pada bagian horizontal dari penurunan jarak bagian ini ke media.

Mari kita pertimbangkan fungsi yang mewakili jumlah deviasi kuadrat titik eksperimen dari kurva yang dihitung

L = K - X;)2 + (Ue1 - Y,)2),

dimana (xe, ye) adalah koordinat titik percobaan, (x, y) adalah koordinat titik perhitungan.

Titik terhitung (x;, y()) merupakan fungsi dari parameter a1 = a2, a2 ​​​​= H, a3 = R0:

xi - xi(t, a1 a2, a3),

kamu - kamu,(h, ai, a2, a3). Mari kita kembangkan (5) menjadi deret Taylor di sekitar titik tersebut

ki (a1, a2, a3)

xt = x (t , a°, a°, a°) + dXi Aa1 + dXt Aa2 + dXi Aa3,

yl = y,(ti, ai1, a°, a°) + ^ Aai + Aa2 + Aay

Untuk mencari fungsi minimum (4), syarat-syaratnya harus dipenuhi

Substitusikan (4) ke (6) dan bedakan, sistem persamaan (7) dapat dituliskan dalam bentuk

Xei - xi - dx- Aai - dx- Aa2 - dx- Aa3)) +

+ | ya - y, -dU Aai -f* Aa2 -f* Aa3))

öa1 öa2 öa3 jda1_

xei - x, - ^Дв1 -О*!.дa2 -§xlAa3- +

ya-y, -yU. Ya, - Da1 - & Daz -

da1 da2 da3)da2j

dx. 5x- 5x- 15x-xei - xi --LD^ --LDa2 --LDaz - +

ya- yt -dR Da1 -M Da2 -^U- Da3 -

dxt dxt + dyt dyt =1 dak da, dak da,

saya| (xei-xi)f + (yei - y, fi|, V da, da, 1

saya saya dxL dx± + dy_ dyj_

dak da, dak da,

k = 1| saya = 1 k 2 k 2.

saya| (xei-x,)f* + (yei - У,)f |,

saya saya dxj_ dxi + dy_ dy_

Dak da3 dak da3 k = 1V i = 1 k 3 k 3 U

saya| (xei- x, + (yei - Y,)f

Untuk menyelesaikan sistem persamaan (8) perlu

dimo menghitung turunan parsial dari bentuk

(6) Dimana I = 1-^, k = 1-3. Sejak analitis

ketergantungan (4) pada parameter a1 tidak diketahui, turunan parsial ditentukan secara numerik.

Nilai ak baru (di mana k = 1-3) dihitung menggunakan nilai Aak yang ditemukan menggunakan rumus

0 0 , . ak = ak + Aak

ALGORITMA SOLUSI

Untuk menyelesaikan sistem persamaan (8) secara numerik, algoritma berikut telah dikembangkan.

DIREKTUR, dll.

Beras. 5. Bentuk tetesan air dengan metode sessile drop: 1 - titik percobaan; 2 - perhitungan menggunakan prosedur optimasi.

1. Menetapkan perkiraan awal (a0, a0, a0) dengan asumsi bahwa bentuk jatuhnya kira-kira digambarkan oleh elips dengan sumbu setengah sama dengan tinggi jatuhnya dan jari-jari maksimum lingkaran bagian horizontal.

2. Menetapkan penyimpangan kecil (Aab Aa2, Aa3).

3. Penyelesaian sistem persamaan (3) menggunakan algoritma DIFSUB untuk nilai tertentu (a0, a0, a0). Memperoleh solusi numerik pertama. Penentuan ketergantungan fungsional xn dan yn menggunakan algoritma perhitungan parameter fungsi spline kubik SPLINE.

4. Menyelesaikan sistem persamaan (3) menggunakan algoritma DIFSUB untuk nilai tertentu (a0 + Aa1, a0, a0). Memperoleh solusi numerik ke-2. Penentuan ketergantungan fungsional xi2 dan yi2 menggunakan algoritma SPLINE. Menghitung turunan menggunakan solusi ke-1 dan ke-2

dh1 = Xg - xn dy1 = y2 - yn. da1 Aa1 da1 Aa1

5. Penyelesaian sistem persamaan (3) menggunakan algoritma DIFSUB untuk diberikan (a0, a0 +

Aa2, a0). Memperoleh solusi numerik ke-3. Penentuan ketergantungan fungsional xi3 dan yi3 menggunakan algoritma SPLINE. Menghitung turunan menggunakan solusi ke-1 dan ke-3

dX = Xз - x/1? d!± = Ua - U/1. da2 Aa2 da2 Aa2

6. Penyelesaian sistem persamaan (3) menggunakan

a3 + Aa3). Memperoleh solusi numerik ke-4. Penentuan ketergantungan fungsional xi4 dan yi4 menggunakan algoritma SPLINE. Menghitung turunan menggunakan solusi ke-1 dan ke-4

dX/ = X/4 - Xj 1 dyl = Y/4 - Y/1.

7. Perhitungan koefisien sistem (8) dan penyelesaiannya menggunakan algoritma penyelesaian sistem persamaan linear SOLVE. Menerima (Aab Aa2, Aa3).

8. Perhitungan nilai parameter baru menggunakan rumus (9)

menggunakan algoritma DIFSUB

Untuk membaca artikel lebih lanjut, Anda harus membeli teks lengkapnya

KASHEZHEV A.Z., KUTUEV R.A., PONEZHEV M.Kh., SOZAEV V.A., KHASANOV A.I. - 2012

Leonardo da Vinci dianggap sebagai penemu fenomena kapiler. Namun, pengamatan akurat pertama terhadap fenomena kapiler pada tabung dan pelat kaca dilakukan oleh Francis Hoxby pada tahun 1709).

Bahwa materi tidak dapat dibagi habis dan mempunyai struktur atom atau molekul telah menjadi hipotesis kerja bagi sebagian besar ilmuwan sejak abad ke-18. Menjelang akhir abad ke-19, ketika sekelompok fisikawan positivis menunjukkan betapa tidak langsungnya bukti keberadaan atom, hanya ada sedikit reaksi terhadap pernyataan mereka, dan akibatnya keberatan mereka tidak terbantahkan hingga awal abad ini. . Jika jika dipikir-pikir keraguan itu tampaknya tidak berdasar bagi kita, kita harus ingat bahwa hampir semua orang yang kemudian percaya akan keberadaan atom juga sangat yakin akan keberadaan material eter elektromagnetik, dan pada paruh pertama abad ke-19. - sering berkalori. Namun, para ilmuwan yang memberikan kontribusi terbesar pada teori gas dan cairan menggunakan asumsi (biasanya dalam bentuk eksplisit) tentang struktur materi yang terpisah. Partikel elementer suatu materi disebut atom, atau molekul (misalnya, Laplace), atau sederhananya partikel (Jung), tetapi kita akan mengikuti konsep modern dan menggunakan kata “molekul” untuk partikel elementer yang menyusun gas, cairan atau padat.

Pada awal abad ke-19. gaya yang mungkin ada antar molekul sama tidak jelasnya dengan partikel itu sendiri. Satu-satunya gaya yang tidak diragukan lagi adalah gravitasi Newton. Ia bekerja antara benda-benda langit dan, tentu saja, antara satu benda tersebut (Bumi) dan benda lain (misalnya, sebuah apel) bermassa laboratorium; Cavendish baru-baru ini menunjukkan bahwa ia juga bekerja di antara dua massa laboratorium, dan oleh karena itu diasumsikan bahwa ia juga bekerja di antara molekul. Pada penelitian awal mengenai zat cair, kita dapat menemukan massa molekul dan kepadatan massa yang masuk ke dalam persamaan dimana kita sekarang harus menuliskan jumlah molekul dan kepadatan jumlah molekul. Dalam cairan murni, semua molekul mempunyai massa yang sama, jadi perbedaan ini tidak menjadi masalah. Namun bahkan sebelum tahun 1800, sudah jelas bahwa konsep gaya gravitasi tidak cukup untuk menjelaskan fenomena kapiler dan sifat-sifat cairan lainnya. Naiknya cairan dalam tabung kaca tidak bergantung pada ketebalan kaca (menurut Hoxby, 1709), dan dengan demikian hanya gaya yang diberikan oleh molekul di lapisan permukaan kaca yang bekerja pada molekul dalam cairan. Gaya gravitasi hanya berbanding terbalik dengan kuadrat jarak dan, seperti diketahui, bekerja secara bebas melalui zat perantara.

Sifat gaya antarmolekul selain gaya gravitasi masih sangat tidak jelas, namun banyak spekulasi yang beredar. Pendeta Yesuit, Ruggero Giuseppe Boscovich, percaya bahwa molekul akan tolak-menolak pada jarak yang sangat dekat, tarik-menarik pada jarak yang sedikit lebih jauh, dan kemudian menunjukkan gaya tolak-menolak dan tarik-menarik secara bergantian yang besarnya semakin kecil seiring bertambahnya jarak. Ide-idenya mempengaruhi Faraday dan Kelvin pada abad berikutnya, namun terlalu rumit untuk dapat langsung digunakan oleh para ahli teori kapilaritas. Yang terakhir dengan bijak menerima hipotesis sederhana.

Quincke (G.H. Quincke) melakukan eksperimen untuk menentukan jarak terjauh di mana aksi gaya antarmolekul dapat terlihat. Ia menemukan bahwa untuk berbagai zat, jarak ini adalah ~ 1/20000 milimeter, yaitu. ~ 5 · 10 -6 cm (data diberikan sesuai) .

James Jurin menunjukkan bahwa ketinggian naiknya suatu zat cair ditentukan oleh bagian atas tabung, yang berada di atas zat cair, dan tidak bergantung pada bentuk bagian bawah tabung. Ia percaya bahwa naiknya zat cair terjadi karena gaya tarik-menarik dari permukaan silinder bagian dalam tabung, yang berbatasan dengan permukaan atas zat cair. Berdasarkan hal tersebut, ia menunjukkan bahwa kenaikan zat cair dalam tabung-tabung yang terbuat dari bahan yang sama berbanding terbalik dengan jari-jari dalamnya.

Clairaut adalah salah satu orang pertama yang menunjukkan perlunya memperhitungkan gaya tarik menarik antara partikel-partikel cairan itu sendiri untuk menjelaskan fenomena kapiler. Namun, dia tidak menyadari bahwa jarak aksi gaya-gaya ini sangatlah kecil.

Pada tahun 1751, von Segner memperkenalkan gagasan penting tentang tegangan permukaan dengan analogi tegangan mekanik suatu membran dalam teori elastisitas. Saat ini konsep tegangan permukaan sudah menjadi hal yang lumrah dan biasanya menjadi titik awal kajian gaya kapiler dan fenomena permukaan di lembaga pendidikan.

Ide ini menjadi kunci dalam pengembangan teori selanjutnya. Sebenarnya, ini adalah langkah pertama dalam mempelajari fenomena tersebut—sebuah konsep fenomenologis diperkenalkan yang menggambarkan perilaku makroskopis sistem. Langkah kedua adalah derivasi konsep fenomenologis dan perhitungan nilai besaran berdasarkan teori molekuler. Langkah ini sangat penting karena merupakan ujian terhadap kebenaran teori molekuler tertentu.

Pada tahun 1802, John Leslie memberikan penjelasan pertama yang benar tentang naiknya zat cair dalam tabung dengan mempertimbangkan gaya tarik-menarik antara benda padat dan lapisan tipis zat cair pada permukaannya. Dia, tidak seperti kebanyakan peneliti sebelumnya, tidak berasumsi bahwa gaya tarik-menarik ini diarahkan ke atas (langsung untuk mempertahankan cairan). Sebaliknya, ia menunjukkan bahwa gaya tarik menarik pada semua permukaan benda padat adalah normal.

Pengaruh langsung gaya tarik-menarik adalah meningkatkan tekanan pada lapisan zat cair yang bersentuhan dengan zat padat sehingga tekanan menjadi lebih tinggi dibandingkan tekanan di dalam zat cair. Akibat dari hal ini adalah lapisan tersebut cenderung “menyebar” ke seluruh permukaan benda padat, hanya terhenti oleh gaya gravitasi. Jadi, sebuah tabung kaca yang direndam dalam air dibasahi dengan air di mana pun ia “bisa merangkak”. Saat cairan naik, ia membentuk sebuah kolom, yang beratnya pada akhirnya menyeimbangkan gaya yang menyebabkan cairan menyebar.

Teori ini tidak ditulis dalam simbol matematika dan oleh karena itu tidak dapat menunjukkan hubungan kuantitatif antara gaya tarik-menarik partikel individu dan hasil akhirnya. Teori Leslie kemudian direvisi menggunakan metode matematika Laplace oleh James Ivory dalam sebuah artikel tentang aksi kapiler, di bawah “Fluids, Elevation of,” dalam lampiran Encyclopaedia Britannica edisi ke-4, yang diterbitkan pada tahun 1819.

2. Teori Jung dan Laplace

Pada tahun 1804, Thomas Young memperkuat teori fenomena kapiler berdasarkan prinsip tegangan permukaan. Dia juga mengamati keteguhan sudut kontak cairan pada permukaan padat (sudut kontak) dan menemukan hubungan kuantitatif yang menghubungkan sudut kontak dengan koefisien tegangan permukaan dari batas interfase yang sesuai. Dalam kesetimbangan, garis kontak tidak boleh bergerak di sepanjang permukaan benda padat, yang berarti, kata Hawksby, dia adalah seorang demonstran di Royal Society, dan eksperimennya memengaruhi isi esai yang sangat panjang tentang partikel primer materi dan partikel utama. kekuatan di antara mereka, yang dengannya Newton menyelesaikan penerbitan “Optik” miliknya pada tahun 1717. cm.

Di mana ssv,SSL,s LV koefisien tegangan permukaan batas interfase: padat - gas (uap), padat - cair, cair - gas, masing-masing, Q sudut tepi. Hubungan ini kini dikenal dengan rumus Young. Karya ini masih belum memberikan dampak yang sama terhadap perkembangan ilmu pengetahuan ke arah ini seperti artikel Laplace yang diterbitkan beberapa bulan kemudian. Hal ini tampaknya disebabkan oleh fakta bahwa Jung menghindari penggunaan notasi matematika dan mencoba menggambarkan segala sesuatu secara verbal, sehingga membuat karyanya tampak membingungkan dan tidak jelas. Namun demikian, saat ini ia dianggap sebagai salah satu pendiri teori kapilaritas kuantitatif.

Fenomena kohesi dan adhesi, kondensasi uap menjadi cairan, pembasahan benda padat oleh cairan dan banyak sifat sederhana materi lainnya - semuanya menunjukkan adanya gaya tarik menarik yang berkali-kali lebih kuat dari gravitasi, tetapi hanya bekerja pada jarak yang sangat kecil antara keduanya. molekul. Seperti yang dikatakan Laplace, satu-satunya syarat yang dikenakan pada gaya-gaya ini berdasarkan fenomena yang dapat diamati adalah bahwa gaya-gaya tersebut “tidak terlihat pada jarak yang dapat terlihat.”

Kekuatan tolak-menolak menciptakan lebih banyak masalah. Kehadiran mereka tidak dapat disangkal - mereka harus menyeimbangkan kekuatan tarik-menarik dan mencegah kehancuran materi sepenuhnya, namun sifatnya sama sekali tidak jelas. Pertanyaannya diperumit oleh dua pendapat keliru berikut ini. Pertama, sering diyakini bahwa gaya tolak aktif adalah panas (biasanya pendapat pendukung teori kalori), karena (inilah argumennya) suatu cairan, ketika dipanaskan, mula-mula memuai dan kemudian mendidih, sehingga molekul-molekulnya terpisah. dalam jarak yang jauh lebih jauh dibandingkan pada benda padat Kesalahpahaman kedua muncul dari gagasan, kembali ke Newton, bahwa tekanan gas yang teramati disebabkan oleh tolakan statis antar molekul, dan bukan karena tumbukan mereka dengan dinding wadah, seperti argumen Daniel Bernoulli yang sia-sia.

Dengan latar belakang ini, wajar jika upaya pertama untuk menjelaskan kapilaritas, atau kohesi cairan secara umum, didasarkan pada aspek statis materi. Mekanika adalah cabang ilmu teoretis yang dipahami dengan baik; termodinamika dan teori kinetik masih di masa depan. Dalam pertimbangan mekanis, asumsi utamanya adalah asumsi gaya tarik-menarik yang besar namun berjangka pendek. Cairan yang diam (baik di dalam pipa kapiler atau di luarnya) jelas berada dalam kesetimbangan, dan oleh karena itu gaya tarik-menarik ini harus diseimbangkan dengan gaya tolak-menolak. Karena tidak ada lagi yang bisa dikatakan mengenai hal-hal tersebut selain tentang gaya tarik-menarik, maka hal-hal tersebut sering diabaikan begitu saja, dan, dalam kata-kata Rayleigh, “kekuatan tarik-menarik dibiarkan melakukan trik yang tak terbayangkan untuk menyeimbangkan diri mereka sendiri.” Laplace adalah orang pertama yang memecahkan masalah ini dengan memuaskan, percaya bahwa gaya tolak menolak (termal, seperti yang dia akui) dapat digantikan oleh tekanan internal, yang bekerja di mana-mana dalam fluida yang tidak dapat dimampatkan. (Asumsi ini terkadang menimbulkan ketidakpastian dalam karya-karya abad ke-19 mengenai apa sebenarnya yang dimaksud dengan “tekanan dalam fluida”.) Mari kita berikan perhitungan tekanan internal Laplace. (Kesimpulan ini lebih dekat dengan kesimpulan Maxwell dan Rayleigh. Kesimpulan diberikan menurut.)

Pada tahun 1819 ia terlibat dalam diskusi rinci tentang gaya tolak antarmolekul, yang meskipun masih dikaitkan dengan panas atau kalori, memiliki sifat penting untuk berkurang seiring jarak lebih cepat daripada gaya tarik menarik.

Ia harus menyeimbangkan gaya kohesif dalam fluida, dan Laplace mengidentifikasi ini dengan gaya per satuan luas yang menahan pembagian benda fluida tak hingga menjadi dua benda semi tak hingga yang terpisah jauh dan dibatasi oleh permukaan datar. Derivasi di bawah ini lebih mirip dengan derivasi Maxwell dan Rayleigh dibandingkan dengan bentuk asli Laplace, namun tidak ada perbedaan signifikan dalam argumentasinya.

Mari kita perhatikan dua benda cair semi tak terbatas dengan permukaan datar, dipisahkan oleh lapisan (ketebalan aku) berpasangan dengan kepadatan yang sangat rendah (Gbr. 1), dan di masing-masingnya kami memilih elemen volume. Yang pertama adalah di tubuh bagian atas pada ketinggian R di atas permukaan datar tubuh bagian bawah; volumenya sama dxdydz. Yang kedua terletak di badan bagian bawah dan mempunyai volume yang titik asal koordinat kutubnya bertepatan dengan posisi volume dasar pertama. Membiarkan F(S) adalah gaya yang bekerja antara dua molekul yang dipisahkan oleh jarak S, A D- radius aksinya. Karena ini selalu merupakan kekuatan yang menarik, kita punya

Jika R adalah massa jenis jumlah molekul pada kedua benda, maka komponen vertikal gaya interaksi antara dua unsur volume sama dengan

Total gaya tarik menarik per satuan luas (nilai positif) adalah

Membiarkan kamu(S) adalah potensi gaya antarmolekul:

Mengintegrasikan lagi berdasarkan bagian, kita dapatkan

Tekanan internal Laplace K adalah gaya tarik menarik per satuan luas antara dua permukaan datar ketika keduanya bersentuhan, mis. F(0):

dimana adalah elemen volume, yang dapat ditulis sebagai . Karena kamu(R) dengan asumsi negatif atau sama dengan nol di semua tempat K secara positif. Laplace percaya itu K besar dibandingkan dengan tekanan atmosfer, namun perkiraan numerik realistis pertama dibuat oleh Young.

Kesimpulan di atas didasarkan pada asumsi implisit bahwa molekul-molekul terdistribusi secara merata dengan kepadatan R, yaitu. zat cair tidak mempunyai struktur yang terlihat pada skala ukuran yang sepadan dengan jari-jari kerja gaya-gaya tersebut D. Tanpa asumsi ini, mustahil untuk menuliskan ekspresi (2) dan (3) dalam bentuk yang sederhana, namun perlu diketahui bagaimana keberadaan suatu molekul pada unsur volume pertama mempengaruhi kemungkinan keberadaannya. sebuah molekul di detik.

Tegangan per satuan panjang sepanjang garis sembarang pada permukaan zat cair harus sama (dalam sistem satuan yang sesuai) dengan usaha yang dikeluarkan untuk menghasilkan satuan luas permukaan bebas. Ini mengikuti percobaan meregangkan film cair (Gbr. 2).

Nilai usaha ini dapat langsung diperoleh dari ekspresi (6) untuk F(aku). Jika kita mengambil dua benda semi tak terhingga yang bersentuhan dan memisahkannya hingga jarak yang melebihi jari-jari aksi gaya antarmolekul, maka usaha per satuan luas akan ditentukan sebagai

(8)

Selama pemisahan, dua permukaan bebas terbentuk, dan oleh karena itu usaha yang dikeluarkan dapat disamakan dengan dua kali energi permukaan per satuan luas, yang sama dengan tegangan permukaan:

(9)

Dengan demikian, K adalah integral dari potensial antarmolekul, atau momen nolnya, dan H— momen pertamanya. Ketika K tidak dapat diakses untuk eksperimen langsung, H dapat ditemukan jika kita dapat mengukur tegangan permukaan.

Misalkan adalah densitas energi kohesif pada titik tertentu dalam cairan atau gas, mis. sikap dU/dV Di mana d kamu— energi dalam dengan volume kecil V cairan atau gas yang mengandung titik ini. Untuk model molekuler kami terima

(10)

Di mana R— jarak dari titik yang dimaksud. Rayleigh mengidentifikasi Laplace K dengan beda potensial sebesar 2 antara suatu titik pada permukaan datar zat cair (nilai 2 S) dan sebuah titik di dalamnya (nilai 2 SAYA). Di permukaan, integrasi pada (10) terbatas pada radius belahan bumi D, dan di wilayah dalam dilakukan di seluruh lingkungan. Karena itu, S ada setengahnya SAYA, atau

(11)

Sekarang mari kita pertimbangkan setetes radius R. Perhitungan fI tidak berubah, tetapi setelah diterima f S integrasi sekarang dilakukan pada volume yang lebih terbatas karena kelengkungan permukaan. Jika adalah sudut antara vektor dan jari-jari tetap, maka

Maka tekanan internal pada drop tersebut adalah

Di mana H ditentukan oleh persamaan (9). Jika kita mengambil bukan setetes bola, tetapi sebagian cairan dengan permukaan yang ditentukan oleh dua jari-jari kelengkungan utama R 1 Dan R 2, maka kita akan mendapatkan tekanan internal dalam bentuk

(14)

Menurut teorema Euler, jumlahnya sama dengan jumlah kebalikan dari jari-jari kelengkungan permukaan sepanjang dua garis singgung ortogonal.

Karena K Dan H positif dan R positif untuk permukaan cembung, maka dari (13) dapat disimpulkan bahwa tekanan dalam pada tetesan lebih tinggi daripada pada cairan dengan permukaan datar. Sebaliknya, tekanan dalam pada fluida yang dibatasi oleh permukaan bola cekung lebih rendah dibandingkan pada fluida yang permukaannya datar, karena R dalam hal ini negatif.

Hasil ini menjadi dasar teori kapilaritas Laplace. Persamaan perbedaan tekanan (tekanan fluida di dalam radius penurunan bola R) dan (tekanan gas di luar) sekarang disebut persamaan Laplace:

Tiga gagasan sudah cukup - tegangan permukaan, tekanan internal dan sudut kontak, serta ekspresi (1) dan (15) untuk menyelesaikan semua masalah kapilaritas kesetimbangan biasa menggunakan metode statika klasik. Jadi, setelah karya Laplace dan Young, dasar-dasar teori kuantitatif kapilaritas diletakkan.

Hasil Young kemudian diperoleh Gauss dengan menggunakan metode variasional. Namun semua karya ini (oleh Young, Laplace, dan Gauss) memiliki satu kelemahan yang sama, yaitu cacat. Kelemahan ini akan dibahas nanti.

Saat menghitung tekanan di dalam permukaan cairan melengkung, potensial Rayleigh 2 (10) diperkenalkan; Hal itu juga dicatat secara sepintas SAYA adalah kepadatan energi kohesif. Konsep berguna ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1869 oleh Dupre, yang mendefinisikannya sebagai pekerjaan menghancurkan sepotong suatu zat menjadi molekul-molekul penyusunnya (la travail de désagré gation totale - pekerjaan disagregasi lengkap).

Gaya ke dalam yang bekerja pada molekul di kedalaman R< d , bertanda berlawanan dengan gaya luar yang akan timbul dari molekul-molekul dalam volume yang diarsir jika volume tersebut diisi secara seragam dengan massa jenis.

Ia mengutip kesimpulan rekannya F.J.D. Massier sebagai berikut. Gaya yang bekerja pada molekul di permukaan terhadap volume cairan berlawanan tanda dengan gaya yang timbul pada volume yang diarsir pada Gambar. 3, karena di dalam zat cair gaya tarik menarik dari volume bola yang berjari-jari adalah nol karena simetri. Jadi, gaya yang diarahkan ke dalam adalah

Kekuatan ini positif karena F(0 < S < D) < 0 и F(D) = 0 karena fungsi ganjil F(S). Tidak ada gaya yang bekerja pada suatu molekul kecuali molekul tersebut berada dalam jarak tertentu D di satu sisi atau sisi lain permukaan. Oleh karena itu, usaha yang dilakukan untuk menghilangkan satu molekul dari suatu cairan adalah

karena kamu(R) adalah fungsi genap. Usaha ini sama dengan minus dua kali energi yang dibutuhkan per molekul untuk menghancurkan cairan ( dua kali lipat, agar tidak menghitung molekul dua kali: sekali saat mengeluarkannya, lain kali sebagai bagian dari lingkungan):

(18)

Ini adalah ungkapan energi internal yang sederhana dan mudah dipahami kamu mengandung cairan N molekul. Oleh karena itu, kerapatan energi kohesif diberikan oleh ekspresi (10), atau

yang bertepatan dengan (11), jika kita menghilangkan indeksnya SAYA. Dupre sendiri memperoleh hasil yang sama secara tidak langsung. Dia sedang menghitung dU/dV melalui kerja melawan gaya antarmolekul selama pemuaian seragam kubus cairan. Itu memberinya

Karena K memiliki bentuk ((7) dan (11)), dimana konstanta A diberikan oleh ekspresi

(21)

kemudian integrasi (20) kembali mengarah ke (19).

Rayleigh mengkritik kesimpulan Dupre. Dia percaya bahwa pertimbangan kerja pemuaian seragam dari keadaan keseimbangan gaya kohesif dan gaya tolak menolak antarmolekul ketika hanya memperhitungkan gaya kohesif adalah tidak berdasar; Sebelum mengambil langkah seperti itu, seseorang harus memiliki pengetahuan yang lebih baik tentang jenis gaya tolak menolak.

Kita melihat bahwa dalam kesimpulan ini, seperti dalam kesimpulan Young, Laplace dan Gauss, asumsi perubahan mendadak dalam kepadatan jumlah molekul suatu zat pada antarmuka fase digunakan secara signifikan. Pada saat yang sama, agar argumen di atas dapat menggambarkan fenomena nyata dalam materi, perlu diasumsikan bahwa jari-jari aksi gaya antarmolekul dalam materi jauh lebih besar daripada jarak karakteristik antar partikel. Namun berdasarkan asumsi ini, antarmuka antara kedua fase tidak boleh tajam—profil kepadatan transisi yang berkesinambungan harus muncul, dengan kata lain, zona transisi.

Upaya telah dilakukan untuk menggeneralisasi temuan ini ke profil sementara yang berkelanjutan. Secara khusus, Poisson, yang mencoba mengikuti jalan ini, sampai pada kesimpulan yang salah bahwa dengan adanya profil transisi, tegangan permukaan akan hilang sama sekali. Maxwell kemudian menunjukkan kekeliruan kesimpulan ini.

Namun, asumsi bahwa jari-jari aksi gaya antarmolekul dalam suatu zat jauh lebih besar daripada jarak karakteristik antar partikel tidak sesuai dengan data eksperimen. Pada kenyataannya, jarak-jarak ini memiliki urutan yang sama. Oleh karena itu, pertimbangan mekanistik dalam semangat Laplace, dalam istilah modern, merupakan teori medan rata-rata. Hal serupa juga terjadi pada teori Vander Waals, yang tidak dijelaskan di sini, yang memberikan persamaan keadaan gas nyata yang terkenal. Dalam semua kasus ini, perhitungan yang akurat memerlukan memperhitungkan korelasi antara kepadatan jumlah partikel pada titik yang berbeda. Hal ini membuat tugas menjadi sangat sulit.

3. Teori kapilaritas Gibbs

Seperti yang sering terjadi, deskripsi termodinamika ternyata lebih sederhana dan umum, tidak dibatasi oleh kekurangan model tertentu.

Dengan cara inilah Gibbs mendeskripsikan kapilaritas pada tahun 1878, membangun teori termodinamika murni. Teori ini menjadi bagian integral dari termodinamika Gibbs. Teori kapilaritas Gibbs, tanpa bergantung langsung pada model mekanistik apa pun, tidak memiliki kekurangan teori Laplace; teori ini dapat dianggap sebagai teori termodinamika terperinci pertama tentang fenomena permukaan.

Tentang teori kapilaritas Gibbs kita dapat mengatakan bahwa teori ini sangat sederhana dan sangat kompleks. Sederhana karena Gibbs berhasil menemukan metode yang memungkinkan kita memperoleh hubungan termodinamika yang paling kompak dan elegan, yang dapat diterapkan secara merata pada permukaan datar dan melengkung. “Salah satu tugas utama penelitian teoretis dalam bidang pengetahuan apa pun,” tulis Gibbs, “adalah menetapkan sudut pandang yang dengannya objek kajian muncul dengan sangat sederhana.” Sudut pandang dalam teori kapilaritas Gibbs ini adalah gagasan tentang pemisahan permukaan. Penggunaan gambar geometris visual dari permukaan pemisah dan pengenalan besaran berlebihan memungkinkan untuk menggambarkan sifat-sifat permukaan sesederhana mungkin dan mengabaikan pertanyaan tentang struktur dan ketebalan lapisan permukaan, yang sama sekali belum dipelajari di zaman Gibbs dan masih belum terselesaikan sepenuhnya. Nilai kelebihan Gibbs (adsorpsi dan lainnya) bergantung pada posisi permukaan pemisah, dan yang terakhir juga dapat ditemukan karena alasan kesederhanaan dan kenyamanan maksimum.

Dalam setiap kasus, masuk akal untuk memilih permukaan pemisah sedemikian rupa sehingga selalu tegak lurus terhadap gradien kepadatan. Jika permukaan pemisah dipilih, maka setiap fase ( aku} (aku = A, B, G) sekarang sesuai dengan volume yang ditempatinya V{ aku) . Volume sistem penuh

Misalkan massa jenis jumlah molekul J dalam fase [massal] ( aku). Maka jumlah total molekul sejenisnya J dalam sistem yang dipertimbangkan adalah sama dengan

di mana adalah jumlah kelebihan permukaan molekul dari jenis tersebut J(indeks ( S) artinya permukaan – permukaan). Kelebihan besaran fisis ekstensif lainnya ditentukan dengan cara yang sama. Jelasnya, dalam kasus, misalnya, film datar, besarnya sebanding dengan luasnya A. Nilai yang didefinisikan sebagai kelebihan permukaan dalam jumlah molekul suatu jenis J per satuan luas permukaan penyebaran disebut adsorpsi molekul sejenis J di permukaan ini.

Gibbs menggunakan dua posisi utama permukaan pemisah: posisi di mana adsorpsi salah satu komponennya adalah nol (sekarang permukaan ini disebut ekuimolekular), dan posisi di mana ketergantungan energi permukaan pada kelengkungan permukaan menghilang. (posisi ini oleh Gibbs disebut permukaan tegangan). Gibbs menggunakan permukaan ekuimolekular untuk mempertimbangkan permukaan cair datar (dan permukaan benda padat), dan permukaan tegangan untuk mempertimbangkan permukaan melengkung. Untuk kedua posisi, jumlah variabel dikurangi dan kesederhanaan matematis maksimum tercapai.

Sekarang tentang kompleksitas teori Gibbs. Meskipun secara matematis sangat sederhana, namun masih sulit untuk dipahami; Hal ini terjadi karena beberapa alasan. Pertama, teori kapilaritas Gibbs tidak dapat dipahami secara terpisah dari keseluruhan termodinamika Gibbs, yang didasarkan pada metode deduktif yang sangat umum. Sifat umum suatu teori selalu memberinya keabstrakan, yang tentu saja mempengaruhi kemudahan persepsi. Kedua, teori kapilaritas Gibbs sendiri merupakan sistem yang luas namun kondisional yang memerlukan kesatuan persepsi tanpa abstraksi dari ketentuan individualnya. Pendekatan amatir dalam mempelajari Gibbs sangatlah mustahil. Terakhir, keadaan yang penting adalah bahwa semua karya Gibbs yang disebutkan ditulis dengan cara yang sangat ringkas dan dalam bahasa yang sangat sulit. Karya ini, menurut Rayleigh, “terlalu padat dan sulit tidak hanya bagi sebagian besar orang, tetapi, bisa dikatakan, bagi semua pembaca.” Menurut Guggenheim, "menggunakan rumus Gibbs jauh lebih mudah daripada memahaminya."

Tentu saja, penggunaan rumus Gibbs tanpa pemahaman yang sebenarnya menyebabkan banyak kesalahan dalam interpretasi dan penerapan ketentuan individu teori kapilaritas Gibbs. Banyak kesalahan yang disebabkan oleh kurangnya pemahaman tentang perlunya menentukan secara jelas posisi permukaan pemisah untuk mendapatkan hasil fisik yang benar. Kesalahan semacam ini sering dijumpai ketika menganalisis ketergantungan tegangan permukaan terhadap kelengkungan permukaan; Bahkan salah satu “pilar” teori kapilaritas, Bakker, pun tak luput darinya. Contoh kesalahan jenis lainnya adalah kesalahan interpretasi potensi kimia ketika mempertimbangkan fenomena permukaan dan medan eksternal.

Segera setelah teori kapilaritas Gibbs diterbitkan, keinginan diungkapkan untuk penjelasan yang lebih lengkap dan rinci dalam literatur ilmiah. Dalam surat kepada Gibbs yang dikutip di atas, Rayleigh menyarankan agar Gibbs sendiri yang mengerjakan pekerjaan ini. Namun, hal ini dilakukan jauh kemudian: Rice menyiapkan komentar atas keseluruhan teori Gibbs, dan beberapa ketentuannya dikomentari dalam karya Frumkin, Defay, Rehbinder, Guggenheim, Tolman, Buff, Semenchenko dan peneliti lainnya. Banyak ketentuan teori Gibbs menjadi lebih jelas, dan teknik logika yang lebih sederhana dan efektif ditemukan untuk membenarkannya.

Contoh tipikalnya adalah karya Kondo yang mengesankan, yang mengusulkan metode visual dan mudah dipahami untuk memperkenalkan permukaan tegangan dengan menggerakkan permukaan pemisah secara mental. Jika kita menulis ekspresi energi sistem dua fase yang setimbang A - B (A- dalaman dan B- fase eksternal) dengan permukaan rekahan berbentuk bola

kamu = TS - P A V A- P B V b+ sA +(22)

dan secara mental kita akan mengubah posisi permukaan pemisah, mis. mengubah radiusnya R, maka, tentu saja, ciri-ciri fisik seperti energi kamu, suhu T, entropi S, tekanan R, potensi kimia Saya komponen ke- M saya dan massanya saya, serta volume penuh sistem V sebuah+ V b tetap tidak berubah. Adapun volumenya V A = 4 /3pr 3 dan area A = 4pr 2 dan tegangan permukaan S, maka besaran-besaran ini akan bergantung pada posisi permukaan pemisah dan oleh karena itu pada proses perubahan mental yang ditentukan R kita dapatkan dari (22)

- hal dVA+ PB dVB + sdA + IklanS = 0 (23)

(24)

Persamaan (24) menentukan ketergantungan tegangan permukaan nonfisik (keadaan ini ditandai dengan tanda bintang) pada posisi permukaan pemisah. Ketergantungan ini ditandai dengan minimum tunggal S, yang sesuai dengan tegangan permukaan. Jadi, menurut Kondo, permukaan tegangan adalah permukaan pemisah yang tegangan permukaannya mempunyai nilai minimum.

Gibbs memperkenalkan tegangan permukaan dengan cara yang berbeda. Ia berangkat dari persamaan dasar teori kapilaritas

(batang di atas berarti kelebihan untuk permukaan pemisah sembarang dengan kelengkungan utama DENGAN 1 dan C 2) dan mempertimbangkan proses kelengkungan permukaan secara fisik (dan bukan mental murni) pada posisi tertentu dan kondisi eksternal tetap.

Menurut Gibbs, tegangan permukaan berhubungan dengan posisi permukaan pemisah di mana kelengkungan lapisan permukaan, dengan parameter eksternal konstan, tidak mempengaruhi energi permukaan dan juga sesuai dengan kondisi:

¶ S/¶ R =0 (26)

Guggenheim mengomentari bukti Gibbs: "Saya merasa diskusi Gibbs sulit, dan semakin cermat saya mempelajarinya, semakin tidak jelas bagi saya." Pengakuan ini menunjukkan bahwa memahami permukaan tegangan Gibbs sulit dilakukan bahkan bagi para ahli termodinamika.

Mengenai pendekatan Kondo, sekilas terlihat jelas. Namun, penting untuk memastikan bahwa permukaan tegangan Gibbs dan Kondo memadai. Hal ini dapat ditunjukkan, misalnya, dengan menggunakan penentuan tegangan permukaan hidrostatis

Young menyebutkan adanya gradien kepadatan pada lapisan dengan ketebalan terbatas, namun membuang efek ini, karena menganggapnya tidak signifikan.

Pt— nilai lokal komponen tangensial tensor tekanan;

R"— koordinat radial; jari-jari Ra Dan Rb membatasi lapisan permukaan.

Diferensiasi (27) dengan gerakan mental pada permukaan pemisah dan keteguhan keadaan fisik (pendekatan Kondo) mengarah pada persamaan (24). Diferensiasi dengan kelengkungan lapisan permukaan dan keteguhan keadaan fisik (pendekatan Gibbs, dalam hal ini Ra Dan Rb variabel) memberi

(28)

di mana hal itu diperhitungkan Pt(hal) = hal Dan Pt(hal) = hal.

Dari persamaan (28) dan (24) terlihat jelas bahwa kondisi (26) ekuivalen dengan kondisi ( d s/ dr) * = 0 dan, oleh karena itu, pendekatan Kondo yang lebih sederhana dan intuitif sudah memadai untuk pendekatan Gibbs.

Pengenalan konsep permukaan pemisah memungkinkan untuk secara matematis mendefinisikan secara ketat konsep batas fase yang sebelumnya murni intuitif dan, oleh karena itu, menggunakan besaran yang ditentukan secara tepat dalam persamaan. Pada prinsipnya, termodinamika permukaan Gibbs menggambarkan rentang fenomena yang sangat luas, dan oleh karena itu (selain realisasi, reformulasi, turunan dan pembuktian yang lebih elegan) sangat sedikit hal baru yang telah dilakukan dalam bidang ini sejak awal mulanya. Namun tetap saja, beberapa hasil, terutama yang berkaitan dengan isu-isu yang tidak dicakup oleh Gibbs, harus disebutkan.