خواص اللوغاريتمات وأمثلة على حلولها. الدليل الشامل (2019). الخصائص الأساسية للوغاريتمات 8 اللوغاريتمات خصائصها

ومع تطور المجتمع وزيادة تعقيد الإنتاج، تطورت الرياضيات أيضًا. الحركة من البسيط إلى المعقد. ومن المحاسبة العادية باستخدام أسلوب الجمع والطرح مع تكرارهما المتكرر، وصلنا إلى مفهوم الضرب والقسمة. أصبح تقليل عملية الضرب المتكررة هو مفهوم الأسي. تم تجميع الجداول الأولى لاعتماد الأرقام على القاعدة وعدد الأسي في القرن الثامن على يد عالم الرياضيات الهندي فاراسينا. منهم يمكنك حساب وقت حدوث اللوغاريتمات.

رسم تاريخي

كما حفز إحياء أوروبا في القرن السادس عشر تطور الميكانيكا. ت يتطلب كمية كبيرة من الحسابالمتعلقة بضرب وقسمة الأعداد ذات الأرقام المتعددة. كانت الطاولات القديمة ذات خدمة رائعة. لقد جعلوا من الممكن استبدال العمليات المعقدة بعمليات أبسط - الجمع والطرح. وكانت الخطوة الكبيرة إلى الأمام هي عمل عالم الرياضيات مايكل ستيفل، الذي نُشر عام 1544، والذي أدرك فيه فكرة العديد من علماء الرياضيات. هذا جعل من الممكن استخدام الجداول ليس فقط للقوى في شكل أعداد أولية، ولكن أيضًا للقوى العقلانية التعسفية.

في عام 1614، قام الاسكتلندي جون نابير، الذي طور هذه الأفكار، بتقديم المصطلح الجديد "لوغاريتم الرقم" لأول مرة. تم تجميع جداول معقدة جديدة لحساب لوغاريتمات الجيب وجيب التمام، وكذلك الظل. هذا قلل بشكل كبير من عمل علماء الفلك.

بدأت تظهر جداول جديدة استخدمها العلماء بنجاح لمدة ثلاثة قرون. مر وقت طويل قبل أن تكتسب العملية الجديدة في الجبر شكلها النهائي. وتم تعريف اللوغاريتم ودراسة خصائصه.

فقط في القرن العشرين، مع ظهور الآلة الحاسبة والكمبيوتر، تخلت البشرية عن الجداول القديمة التي عملت بنجاح طوال القرن الثالث عشر.

اليوم نسمي لوغاريتم b للأساس a الرقم x الذي يمثل قوة a لتكوين b. يتم كتابة هذا كصيغة: x = log a(b).

على سبيل المثال، سجل 3(9) سيكون مساويًا لـ 2. وهذا واضح إذا اتبعت التعريف. وإذا رفعنا 3 للقوة 2، نحصل على 9.

وبالتالي، فإن التعريف المصاغ يضع قيدًا واحدًا فقط: يجب أن يكون الرقمان a وb حقيقيين.

أنواع اللوغاريتمات

التعريف الكلاسيكي يسمى اللوغاريتم الحقيقي وهو في الواقع الحل للمعادلة a x = b. الخيار أ = 1 هو حدي ولا يهم. تنبيه: 1 إلى أي قوة يساوي 1.

القيمة الحقيقية للوغاريتميتم تعريفه فقط عندما يكون الأساس والوسيطة أكبر من 0، ويجب ألا يساوي الأساس 1.

مكان خاص في مجال الرياضياتلعب اللوغاريتمات، والتي سيتم تسميتها حسب حجم قاعدتها:

القواعد والقيود

الخاصية الأساسية للوغاريتمات هي القاعدة: لوغاريتم المنتج يساوي المجموع اللوغاريتمي. سجل أب = سجل أ (ب) + سجل أ (ع).

كبديل لهذه العبارة سيكون هناك: log c(b/p) = log c(b) - log c(p)، دالة حاصل القسمة تساوي الفرق بين الدوال.

من القاعدتين السابقتين من السهل أن نرى أن: log a(b p) = p * log a(b).

تشمل الخصائص الأخرى ما يلي:

تعليق. ليست هناك حاجة لارتكاب خطأ شائع - لوغاريتم المجموع لا يساوي مجموع اللوغاريتمات.

لعدة قرون، كانت عملية العثور على اللوغاريتم مهمة تستغرق وقتًا طويلاً إلى حد ما. استخدم علماء الرياضيات الصيغة المعروفة للنظرية اللوغاريتمية لتوسع كثيرات الحدود:

قانون الجنسية (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)، حيث n هو عدد طبيعي أكبر من 1، وهو ما يحدد دقة الحساب.

تم حساب اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى باستخدام نظرية الانتقال من قاعدة إلى أخرى وخاصية لوغاريتم المنتج.

نظرًا لأن هذه الطريقة تتطلب عمالة كثيفة جدًا و عند حل المشاكل العمليةمن الصعب تنفيذه، استخدمنا جداول اللوغاريتمات المعدة مسبقًا، مما أدى إلى تسريع العمل بشكل كبير.

في بعض الحالات، تم استخدام الرسوم البيانية اللوغاريتمية المصممة خصيصًا، مما أعطى دقة أقل، ولكنه أدى إلى تسريع عملية البحث عن القيمة المطلوبة بشكل كبير. يتيح لك منحنى الدالة y = log a(x)، المبني على عدة نقاط، استخدام مسطرة عادية للعثور على قيمة الدالة عند أي نقطة أخرى. لفترة طويلة، استخدم المهندسون ما يسمى بورق الرسم البياني لهذه الأغراض.

في القرن السابع عشر، ظهرت أول شروط الحوسبة التناظرية المساعدة، والتي اكتسبت شكلاً كاملاً بحلول القرن التاسع عشر. وكان الجهاز الأكثر نجاحا يسمى قاعدة الشريحة. على الرغم من بساطة الجهاز، إلا أن مظهره أدى إلى تسريع عملية جميع الحسابات الهندسية بشكل كبير، ومن الصعب المبالغة في تقدير ذلك. حاليا، عدد قليل من الناس على دراية بهذا الجهاز.

أدى ظهور الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر إلى جعل استخدام أي أجهزة أخرى بلا جدوى.

المعادلات والمتباينات

لحل المعادلات والمتباينات المختلفة باستخدام اللوغاريتمات، يتم استخدام الصيغ التالية:

• الانتقال من قاعدة إلى أخرى: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• نتيجة للخيار السابق: log a(b) = 1 / log b(a).

لحل عدم المساواة من المفيد معرفة:

• لن تكون قيمة اللوغاريتم موجبة إلا إذا كان الأساس والوسيطة أكبر أو أقل من واحد؛ إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل، ستكون قيمة اللوغاريتم سلبية.
• إذا تم تطبيق دالة اللوغاريتم على الجانبين الأيمن والأيسر للمتباينة، وكان أساس اللوغاريتم أكبر من واحد، فسيتم الحفاظ على علامة المتباينة؛ وإلا فإنه يتغير.

مشاكل العينة

دعونا نفكر في عدة خيارات لاستخدام اللوغاريتمات وخصائصها. أمثلة على حل المعادلات:

فكر في خيار وضع اللوغاريتم في قوة:

• المشكلة 3. احسب 25 ^ سجل 5 (3). الحل: في ظروف المشكلة، يكون الإدخال مشابهًا لما يلي (5^2)^log5(3) أو 5^(2 * log 5(3)). لنكتبها بشكل مختلف: 5^log 5(3*2)، أو يمكن كتابة مربع الرقم كوسيطة دالة كمربع الدالة نفسها (5^log 5(3))^2. باستخدام خصائص اللوغاريتمات، هذا التعبير يساوي 3^2. الجواب: نتيجة للحساب نحصل على 9.

الاستخدام العملي

كونها أداة رياضية بحتة، يبدو بعيدًا عن الحياة الواقعية أن اللوغاريتم اكتسب فجأة أهمية كبيرة لوصف الأشياء في العالم الحقيقي. من الصعب العثور على علم لا يتم استخدامه فيه. وهذا لا ينطبق تمامًا على مجالات المعرفة الطبيعية فحسب، بل أيضًا على مجالات المعرفة الإنسانية.

التبعيات اللوغاريتمية

فيما يلي بعض الأمثلة على التبعيات العددية:

الميكانيكا والفيزياء

تاريخيًا، تطورت الميكانيكا والفيزياء دائمًا باستخدام أساليب البحث الرياضي وفي نفس الوقت كانت بمثابة حافز لتطوير الرياضيات، بما في ذلك اللوغاريتمات. إن نظرية معظم قوانين الفيزياء مكتوبة بلغة الرياضيات. دعونا نعطي مثالين فقط لوصف القوانين الفيزيائية باستخدام اللوغاريتم.

يمكن حل مشكلة حساب كمية معقدة مثل سرعة الصاروخ باستخدام صيغة تسيولكوفسكي، التي وضعت الأساس لنظرية استكشاف الفضاء:

V = I * ln (M1/M2)، حيث

• V هي السرعة النهائية للطائرة.
• أنا - دفعة محددة للمحرك.
• م 1 – الكتلة الأولية للصاروخ.
• م2 – الكتلة النهائية .

مثال مهم آخر- يستخدم هذا في صيغة عالم عظيم آخر ماكس بلانك، والتي تعمل على تقييم حالة التوازن في الديناميكا الحرارية.

S = ك * قانون الجنسية (Ω)، حيث

• S - الخاصية الديناميكية الحرارية.
• ك – ثابت بولتزمان.
• Ω هو الوزن الإحصائي للحالات المختلفة.

كيمياء

الأقل وضوحًا هو استخدام الصيغ في الكيمياء التي تحتوي على نسبة اللوغاريتمات. دعونا نعطي مثالين فقط:

• معادلة نيرنست، حالة احتمالية الأكسدة والاختزال للوسط فيما يتعلق بنشاط المواد وثابت التوازن.
• لا يمكن أيضًا حساب ثوابت مثل مؤشر التحلل الذاتي وحموضة المحلول بدون وظيفتنا.

علم النفس والبيولوجيا

وليس من الواضح على الإطلاق ما علاقة علم النفس بالأمر. لقد اتضح أن قوة الإحساس يتم وصفها جيدًا من خلال هذه الوظيفة على أنها النسبة العكسية لقيمة شدة التحفيز إلى قيمة الشدة الأقل.

بعد الأمثلة المذكورة أعلاه، لم يعد من المستغرب أن موضوع اللوغاريتمات يستخدم على نطاق واسع في علم الأحياء. يمكن كتابة مجلدات كاملة عن الأشكال البيولوجية التي تتوافق مع اللوالب اللوغاريتمية.

مناطق أخرى

ويبدو أن وجود العالم مستحيل دون الارتباط بهذه الوظيفة، وهي التي تحكم جميع القوانين. خاصة عندما ترتبط قوانين الطبيعة بالتقدم الهندسي. يجدر بنا أن ننتقل إلى موقع MatProfi، وهناك العديد من هذه الأمثلة في مجالات النشاط التالية:

القائمة يمكن أن تكون لا نهاية لها. بعد أن أتقنت المبادئ الأساسية لهذه الوظيفة، يمكنك الانغماس في عالم الحكمة اللانهائية.

دعنا نبدء ب خصائص لوغاريتم واحد. وصياغتها هي كما يلي: لوغاريتم الوحدة يساوي صفراً، أي سجل 1=0لأي > 0، أ≠1. الإثبات ليس صعبًا: نظرًا لأن 0 =1 لأي ​​a يفي بالشروط المذكورة أعلاه a>0 وa≠1، فإن سجل المساواة a 1=0 الذي سيتم إثباته يتبع مباشرة تعريف اللوغاريتم.

دعونا نعطي أمثلة لتطبيق الخاصية المدروسة: log 3 1=0, log1=0 و .

دعنا ننتقل إلى الخاصية التالية: لوغاريتم رقم يساوي الأساس يساوي واحدًا، إنه، سجل أ = 1لـ >0، أ≠1. في الواقع، نظرًا لأن 1 =a لأي a، فمن خلال تعريف سجل اللوغاريتم a a=1.

من أمثلة استخدام خاصية اللوغاريتمات هذه سجل المساواة 5 5=1، سجل 5.6 5.6 وlne=1.

على سبيل المثال، سجل 2 2 7 =7، سجل 10 -4 = -4 و .

لوغاريتم منتج رقمين موجبين x و y يساوي منتج لوغاريتمات هذه الأرقام: سجل أ (س ص) = سجل س + سجل ص, أ>0 , أ≠1 . دعونا نثبت خاصية لوغاريتم المنتج. بسبب خصائص الدرجة سجل a x+log a y =a سجل a x ·a سجل a y، وبما أنه من خلال الهوية اللوغاريتمية الرئيسية سجل a x =x وlog a y =y، ثم سجل a x ·a log a y =x·y. وهكذا، سجل a x+log a y =x·y، ومنه، حسب تعريف اللوغاريتم، يتبع ذلك المساواة التي تم إثباتها.

لنعرض أمثلة على استخدام خاصية لوغاريتم المنتج: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 و .

يمكن تعميم خاصية لوغاريتم المنتج على منتج عدد محدود n من الأعداد الموجبة x 1 , x 2 , …, x n كـ سجل أ (x 1 ·x 2 ·…·x n)= سجل أ × 1 +سجل أ × 2 +…+سجل أ × ن . ويمكن إثبات هذه المساواة دون مشاكل.

على سبيل المثال، يمكن استبدال اللوغاريتم الطبيعي للمنتج بمجموع ثلاثة لوغاريتمات طبيعية للأرقام 4 وe و.

لوغاريتم حاصل ضرب رقمين موجبين x و y يساوي الفرق بين لوغاريتمات هذه الأرقام. تتوافق خاصية لوغاريتم حاصل القسمة مع صيغة النموذج، حيث a>0 وa≠1 وx وy هي بعض الأرقام الموجبة. تم إثبات صحة هذه الصيغة وكذلك صيغة لوغاريتم حاصل الضرب: منذ ، ثم حسب تعريف اللوغاريتم.

فيما يلي مثال على استخدام خاصية اللوغاريتم: .

دعنا ننتقل إلى خاصية لوغاريتم القوة. لوغاريتم الدرجة يساوي حاصل ضرب الأس ولوغاريتم معامل قاعدة هذه الدرجة. دعونا نكتب خاصية لوغاريتم القوة كصيغة: سجل أ ب ع =p·سجل أ |ب|، حيث a>0 وa≠1 وb وp هي أرقام بحيث تكون الدرجة b p منطقية وb p >0.

أولا نثبت هذه الخاصية لإيجابية ب. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b في صورة a log a b ، ثم b p =(a log a b) p ، والتعبير الناتج، بسبب خاصية القوة، يساوي a p·log a b . لذلك نصل إلى المساواة b p =a p·log a b، والتي منها، من خلال تعريف اللوغاريتم، نستنتج أن log a b p =p·log a b.

يبقى إثبات هذه الخاصية لسلبية b. نلاحظ هنا أن التعبير log a b p للسالب b منطقي فقط بالنسبة للأسس الزوجية p (نظرًا لأن قيمة الدرجة b p يجب أن تكون أكبر من الصفر، وإلا فلن يكون اللوغاريتم منطقيًا)، وفي هذه الحالة b p =|b| ص. ثم ب ع =|ب| p =(سجل a |b|) p =a p·log a |b|، من حيث سجل a b p =p·log a |b| .

على سبيل المثال، و ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

يتبع من الخاصية السابقة خاصية اللوغاريتم من الجذر: لوغاريتم الجذر n يساوي حاصل ضرب الكسر 1/n في لوغاريتم التعبير الجذري، أي ، حيث a>0، a≠1، n هو عدد طبيعي أكبر من واحد، b>0.

والبرهان مبني على المساواة (انظر) التي تصح لأي موجب ب، وخاصية لوغاريتم القوة: .

فيما يلي مثال لاستخدام هذه الخاصية: .

الآن دعونا نثبت صيغة للانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدةعطوف . للقيام بذلك، يكفي إثبات صحة سجل المساواة c b=log a b·log c a. تسمح لنا الهوية اللوغاريتمية الأساسية بتمثيل الرقم b كسجل a b ، ثم log c b=log c a log a b . يبقى استخدام خاصية لوغاريتم الدرجة: سجل ج سجل أ ب = سجل أ ب سجل ج أ. وهذا يثبت سجل المساواة c b=log a b ·log c a، وهو ما يعني أن صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم قد تم إثباتها أيضًا.

دعونا نعرض بعض الأمثلة لاستخدام خاصية اللوغاريتمات هذه: و .

تتيح لك صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة الانتقال إلى العمل باستخدام اللوغاريتمات التي لها قاعدة "ملائمة". على سبيل المثال، يمكن استخدامه للانتقال إلى اللوغاريتمات الطبيعية أو العشرية بحيث يمكنك حساب قيمة اللوغاريتم من جدول اللوغاريتمات. تسمح صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة أيضًا، في بعض الحالات، بإيجاد قيمة لوغاريتم معين عندما تكون قيم بعض اللوغاريتمات ذات أسس أخرى معروفة.

غالبًا ما يتم استخدام حالة خاصة من صيغة الانتقال إلى قاعدة لوغاريتمية جديدة لـ c=b للنموذج . يوضح هذا أن السجل a b و السجل b a - . على سبيل المثال، .

يتم استخدام الصيغة أيضًا في كثير من الأحيان ، وهو مناسب للعثور على قيم اللوغاريتمات. ولتأكيد كلامنا، سنبين كيف يمكن استخدامه لحساب قيمة لوغاريتم النموذج. لدينا . لإثبات الصيغة يكفي استخدام صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم a: .

يبقى إثبات خصائص مقارنة اللوغاريتمات.

دعونا نثبت أنه لأي أرقام موجبة ب 1 و ب 2، ب 1 log a b 2 و لـ a>1 – سجل عدم المساواة a b 1

أخيرًا، يبقى إثبات آخر خصائص اللوغاريتمات المذكورة. دعونا نقتصر على إثبات الجزء الأول منه، أي أننا سنثبت أنه إذا كان 1 > 1 و 2 > 1 و 1 1 صحيح سجل أ 1 ب>سجل أ 2 ب . تم إثبات العبارات المتبقية لخاصية اللوغاريتمات هذه وفقًا لمبدأ مماثل.

دعونا نستخدم الطريقة المعاكسة. لنفترض أنه بالنسبة لـ 1>1، و2>1، و1 1 صحيح سجل a 1 b≥log a 2 b . واستنادا إلى خصائص اللوغاريتمات، يمكن إعادة كتابة هذه المتباينات على النحو التالي: و على التوالي، ومنهم يتبع ذلك سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2 و سجل ب أ 1 ≥ سجل ب أ 2، على التوالي. بعد ذلك، وفقًا لخصائص القوى ذات الأساس نفسه، يجب أن تكون المعادلتان b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2، أي a 1 ≥a 2 . لذلك وصلنا إلى تناقض الشرط أ 1

فهرس.

• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. وغيرها الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 بمؤسسات التعليم العام.
• جوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج. الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية).

لوغاريتم الرقم ن مرتكز على أ يسمى الأس X ، الذي تحتاج إلى البناء عليه أ للحصول على الرقم ن

بشرط
,
,

من تعريف اللوغاريتم يتبع ذلك
، أي.
- هذه المساواة هي الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

اللوغاريتمات للأساس 10 تسمى اللوغاريتمات العشرية. بدلاً من
يكتب
.

اللوغاريتمات للقاعدة ه تسمى طبيعية ويتم تعيينها
.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

لوغاريتم الواحد يساوي صفرًا لأي قاعدة.

لوغاريتم المنتج يساوي مجموع لوغاريتمات العوامل.

3) لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين اللوغاريتمات

عامل
يسمى معامل الانتقال من اللوغاريتمات إلى القاعدة أ إلى اللوغاريتمات في القاعدة ب .

باستخدام الخصائص 2-5، غالبًا ما يكون من الممكن تقليل لوغاريتم التعبير المعقد إلى نتيجة عمليات حسابية بسيطة على اللوغاريتمات.

على سبيل المثال،

تسمى هذه التحولات للوغاريتم باللوغاريتمات. تسمى التحولات العكسية للوغاريتمات بالتقوية.

الفصل 2. عناصر الرياضيات العليا.

1. الحدود

حد الوظيفة
هو عدد محدود A إذا، كما سx 0 لكل محددة سلفا
، هناك مثل هذا العدد
أنه بمجرد
، الذي - التي
.

الدالة التي لها حد تختلف عنها بمقدار متناهي الصغر:
، حيث- b.m.v.، أي.
.

مثال. النظر في الوظيفة
.

عند السعي
، وظيفة ذ يميل إلى الصفر:

1.1. النظريات الأساسية حول الحدود.

نهاية القيمة الثابتة تساوي هذه القيمة الثابتة

.

نهاية مجموع (الفرق) لعدد محدود من الوظائف يساوي مجموع (الفرق) حدود هذه الوظائف.

نهاية منتج عدد محدود من الوظائف يساوي منتج حدود هذه الوظائف.

نهاية خارج قسمة دالتين يساوي خارج قسمة حدود هاتين الدالتين إذا كانت نهاية المقام ليست صفرًا.

حدود رائعة

,
، أين

1.2. أمثلة على حساب الحد

ومع ذلك، لا يتم حساب جميع الحدود بهذه السهولة. في كثير من الأحيان، يؤدي حساب الحد إلى الكشف عن عدم اليقين من النوع: أو .

.

2. مشتق من وظيفة

دعونا يكون لدينا وظيفة
، مستمر على الجزء
.

دعوى حصلت على بعض الزيادة
. ثم ستتلقى الوظيفة زيادة
.

قيمة الحجة يتوافق مع قيمة الوظيفة
.

قيمة الحجة
يتوافق مع قيمة الوظيفة.

لذلك، .

دعونا نجد الحد الأقصى لهذه النسبة عند
. إذا كانت هذه النهاية موجودة، فإنها تسمى مشتقة الدالة المعطاة.

التعريف 3 مشتق من وظيفة معينة
بالحجة يُسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، عندما تميل زيادة الوسيطة بشكل تعسفي إلى الصفر.

مشتق من وظيفة
يمكن تعيينها على النحو التالي:

; ; ; .

التعريف 4 تسمى عملية إيجاد مشتقة دالة التفاضل.

2.1. المعنى الميكانيكي للمشتقات.

دعونا ننظر في الحركة المستقيمة لبعض الجسم الصلب أو نقطة مادية.

اسمحوا في وقت ما نقطة متحركة
كان على مسافة من وضع البداية
.

بعد فترة من الزمن
لقد تحركت مسافة
. سلوك =- متوسط ​​سرعة نقطة مادية
. دعونا نوجد نهاية هذه النسبة، مع الأخذ في الاعتبار ذلك
.

وبالتالي، فإن تحديد السرعة اللحظية لحركة نقطة مادية يتلخص في إيجاد مشتقة المسار بالنسبة إلى الزمن.

2.2. القيمة الهندسية للمشتق

دعونا نحصل على وظيفة محددة بيانيا
.

أرز. 1. المعنى الهندسي للمشتق

لو
، ثم أشر
، سوف يتحرك على طول المنحنى، ويقترب من النقطة
.

لذلك
، أي. قيمة المشتقة لقيمة معينة من الوسيطة يساوي عددياً ظل الزاوية التي يشكلها المماس عند نقطة معينة مع الاتجاه الموجب للمحور
.

2.3. جدول صيغ التمايز الأساسية.

وظيفة الطاقة

الدالة الأسية

دالة لوغاريتمية

دالة مثلثية

دالة مثلثية معكوسة

2.4. قواعد التمايز.

مشتق من

مشتق من مجموع (الفرق) من الوظائف

مشتق من منتج وظيفتين

مشتق من حاصل وظيفتين

2.5. مشتق من وظيفة معقدة.

دع الوظيفة تعطى
بحيث يمكن تمثيله في النموذج

و
، حيث المتغير هي حجة وسيطة، ثم

مشتق دالة معقدة يساوي منتج مشتق الدالة المعطاة فيما يتعلق بالوسيطة الوسيطة ومشتق الوسيطة المتوسطة فيما يتعلق بـ x.

مثال 1.

مثال 2.

3. الوظيفة التفاضلية.

فليكن هناك
، قابلة للتمييز في بعض الفواصل الزمنية
دعها تذهب في هذه الوظيفة لها مشتق

,

ثم يمكننا أن نكتب

(1),

أين - كمية متناهية الصغر،

منذ متى

ضرب جميع شروط المساواة (1) ب
لدينا:

أين
- ب.م.ف. أعلى ترتيب.

ضخامة
يسمى تفاضل الدالة
ويتم تعيينه

.

3.1. القيمة الهندسية للفرق.

دع الوظيفة تعطى
.

الصورة 2. المعنى الهندسي للتفاضلية.

.

ومن الواضح أن التفاضلية وظيفة
يساوي زيادة إحداثي المماس عند نقطة معينة.

3.2. المشتقات والتفاضلات لمختلف الطلبات.

إن كان هناك
، ثم
ويسمى المشتق الأول.

مشتق المشتق الأول يسمى مشتق الدرجة الثانية وهو مكتوب
.

مشتق من الترتيب n للوظيفة
يُسمى مشتق الرتبة (n-1) ويُكتب:

.

يُطلق على تفاضل الدالة اسم التفاضل الثاني أو تفاضل الدرجة الثانية.

.

.

3.3 حل المشكلات البيولوجية باستخدام التمايز.

مهمة 1. وقد أظهرت الدراسات أن نمو مستعمرة من الكائنات الحية الدقيقة يطيع القانون
، أين ن – عدد الكائنات الحية الدقيقة (بالآلاف) ، ر - الوقت (أيام).

ب) هل سيزداد عدد سكان المستعمرة أم سينخفض ​​خلال هذه الفترة؟

إجابة. حجم المستعمرة سوف يزيد.

المهمة 2. يتم اختبار المياه في البحيرة بشكل دوري لمراقبة محتوى البكتيريا المسببة للأمراض. خلال ر بعد أيام من الاختبار، يتم تحديد تركيز البكتيريا بنسبة

.

متى سيكون لدى البحيرة الحد الأدنى من تركيز البكتيريا وهل سيكون من الممكن السباحة فيها؟

الحل: تصل الدالة إلى الحد الأقصى أو الأدنى عندما تكون مشتقتها صفرًا.

,

دعونا نحدد الحد الأقصى أو الأدنى خلال 6 أيام. للقيام بذلك، دعونا نأخذ المشتقة الثانية.

الإجابة: بعد 6 أيام سيكون هناك حد أدنى من تركيز البكتيريا.

اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فهناك قواعد تسمى هنا الخصائص الرئيسية.

تحتاج بالتأكيد إلى معرفة هذه القواعد - بدونها، لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية خطيرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: السجل أ سوسجل أ ذ. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

1. سجل أ س+ سجل أ ذ=log أ (س · ذ);
2. سجل أ س- سجل أ ذ=log أ (س : ذ).

إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي أسباب متطابقة. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى في حالة عدم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.

كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحويلات يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. وتستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم، يتم تقديم التعبيرات الشبيهة بالاختبار بكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) في امتحان الدولة الموحدة.

استخراج الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:

ومن السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع القاعدة الأولى والثانية. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من حجم العمليات الحسابية.

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: أ > 0, أ ≠ 1, س> 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا بالعكس، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه. وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

[تعليق على الصورة]

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:

[تعليق على الصورة]

أعتقد أن المثال الأخير يتطلب بعض التوضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم. لقد قدمنا ​​أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأزلنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى أساس جديد

عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع سجل اللوغاريتم يعطى أ س. ثم لأي رقم جمثل ذلك ج> 0 و ج≠ 1، المساواة صحيحة:

[تعليق على الصورة]

على وجه الخصوص، إذا وضعنا ج = س، نحن نحصل:

[تعليق على الصورة]

ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

[تعليق على الصورة]

وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

[تعليق على الصورة]

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

[تعليق على الصورة]

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة. في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:

في الحالة الأولى العدد نيصبح مؤشرا على درجة الوقوف في الحجة. رقم نيمكن أن تكون أي شيء على الإطلاق، لأنها مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يطلق عليه: الهوية اللوغاريتمية الأساسية.

في الواقع، ماذا سيحدث إذا كان العدد برفع إلى هذه القوة أن العدد بلهذه القوة يعطي الرقم أ؟ هذا صحيح: تحصل على نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

[تعليق على الصورة]

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:

[تعليق على الصورة]

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. سجل أ أ= 1 هي وحدة لوغاريتمية. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: اللوغاريتم لأي قاعدة أمن هذه القاعدة ذاتها يساوي واحدًا.
2. سجل أ 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. قاعدة أيمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كانت الوسيطة تحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفرًا! لأن أ 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.

هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.