المعادلات الخطية. أنواع المعادلات الخطية. المعادلات الخطية بمتغير واحد ومتغيرين، المتباينات الخطية كيفية فهم معادلة خطية بمتغيرين

ملخص الدرس

الدرجة: 7

UMK: الجبر الصف السابع: كتاب مدرسي. للتعليم العام المنظمات / [يو. ن.ماكاريتشيف، ن.ج. مينديوك وآخرون.]؛ حررت بواسطة S. A. تيلياكوفسكي. – الطبعة الثانية. – م: التربية، 2014

موضوع: المعادلات الخطية في متغيرين

الأهداف: تعريف الطلاب بمفاهيم المعادلة الخطية ذات المتغيرين وحلها، وتعليم كيفية التعبير من المعادلةX خلالفي أوفي خلالX .

UUD المشكلة:

ذهني: طرح الفرضيات وتبريرها، واقتراح طرق لاختبارها

التنظيمية: مقارنة طريقة ونتائج أفعال الفرد بمعيار معين، واكتشاف الانحرافات والاختلافات عن المعيار؛ وضع خطة وتسلسل الإجراءات.

اتصالي: إقامة علاقات عمل؛ التعاون بفعالية وتعزيز التعاون المثمر.

شخصي: Fتطوير المهارات اللازمة لتنظيم تحليل الأنشطة

معدات:الكمبيوتر، جهاز عرض الوسائط المتعددة، الشاشة

خلال الفصول الدراسية:

أنا تنظيم الوقت

استمع إلى القصة الخيالية عن الجد على قدم المساواة وخمن ما سنتحدث عنه اليوم

حكاية خرافية "الجد يساوي"

كان الجد الملقب رافنيالو يعيش في كوخ على حافة الغابة. كان يحب المزاح بالأرقام. سيأخذ الجد الأرقام الموجودة على جانبي نفسه، ويربطها بالعلامات، ويضع الأسرع بين قوسين، ولكن تأكد من أن الجزء الواحد يساوي الآخر. وبعد ذلك سيخفي رقمًا ما تحت قناع "X" ويطلب من حفيده، رافنيالكا الصغير، العثور عليه. على الرغم من أن Ravnyalka صغير، إلا أنه يعرف أشياءه: سينقل جميع الأرقام بسرعة باستثناء "X" إلى الجانب الآخر ولن ينسى تغيير إشاراتها إلى العكس. والأرقام تطيعه، وتنفذ جميع الإجراءات بناء على أوامره بسرعة، و"X" معروف. ينظر الجد إلى مدى ذكاء حفيدته في فعل كل شيء ويفرح: فالبديل الجيد له يكبر.

إذن، ما هي هذه الحكاية؟(حول المعادلات)

ثانيا . دعونا نتذكر كل ما نعرفه عن المعادلات الخطية ونحاول رسم التوازي بين المادة التي نعرفها والمادة الجديدة.

ما نوع المعادلة التي نعرفها؟(معادلة خطية بمتغير واحد)

لنتذكر تعريف المعادلة الخطية ذات المتغير الواحد.

ما هو جذر المعادلة الخطية في متغير واحد؟

دعونا نصيغ جميع خصائص المعادلة الخطية بمتغير واحد.

تم ملء جزء واحد من الجدول

ax = b، حيث x متغير، a، b أرقام.

مثال: 3س = 6

قيمة x التي تصبح عندها المعادلة صحيحة

1) نقل الحدود من جزء من المعادلة إلى آخر وتغيير إشارتها إلى العكس.

2) ضرب أو قسمة طرفي المعادلة على نفس العدد، لا يساوي صفراً.

معادلة خطية بمتغيرين.

ax + vy = c، حيث x وy متغيرات وa وb.c أرقام.

مثال:

س - ص = 5

س + ص = 56

2س + 6ص =68

قيم x,y التي تجعل المعادلة صحيحة.

س=8; ص = 3 (8؛3)

س=60; ص = - 4 (60;-4)

الخصائص 1 و 2 صحيحة.

3) المعادلات المكافئة:

س-ص=5 و ص=س-5

(8;3) (8;3)

بعد أن نملأ الجزء الأول من الجدول، على أساس القياس، نبدأ في ملء الصف الثاني من الجدول، وبالتالي تعلم مواد جديدة.

ثالثا . دعنا نعود إلى الموضوع:المعادلة الخطية في متغيرين . يشير عنوان الموضوع ذاته إلى أنك بحاجة إلى إدخال متغير جديد، على سبيل المثال y.

هناك رقمان x و y أحدهما أكبر من الآخر بـ 5. كيف تكتب العلاقة بينهما؟ (س – ص = 5)هذه معادلة خطية ذات متغيرين. دعونا نصيغ، بالقياس على تعريف المعادلة الخطية بمتغير واحد، تعريف المعادلة الخطية ذات المتغيرين (المعادلة الخطية في متغيرين هي معادلة من الشكلفأس + بواسطة = ج ، أينأ، ب وج - بعض الأرقام، وس وذ -المتغيرات).

المعادلة س – ذ= 5 مع x = 8، y = 3 يتحول إلى المساواة الصحيحة 8 – 3 = 5. يقولون أن زوج قيم المتغيرات x = 8، y = 3 هو حل لهذه المعادلة.

صياغة تعريف حل معادلة ذات متغيرين (حل معادلة ذات متغيرين هو زوج من قيم المتغيرات الذي يحول هذه المعادلة إلى مساواة حقيقية)

أحيانًا يتم كتابة أزواج القيم المتغيرة بشكل أقصر: (8;3). في مثل هذا التدوين، يتم كتابة القيمة x في المقام الأول والقيمة y في الثانية.

تسمى المعادلات التي تحتوي على متغيرين لهما نفس الحلول (أو لا توجد حلول) مكافئة.

المعادلات ذات المتغيرين لها نفس خصائص المعادلات ذات المتغير الواحد:

إذا قمت بنقل أي حد في المعادلة من جزء إلى آخر، مع تغيير إشارته، فسوف تحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

إذا تم ضرب طرفي المعادلة أو قسمتهما على نفس الرقم (لا يساوي الصفر)، فستحصل على معادلة مكافئة للمعادلة المعطاة.

مثال 1.خذ بعين الاعتبار المعادلة 10x + 5y = 15. باستخدام خصائص المعادلات، نعبر عن متغير واحد بدلالة متغير آخر.

للقيام بذلك، قم أولاً بتحريك 10x من الجانب الأيسر إلى اليمين، مع تغيير علامته. نحصل على المعادلة المكافئة 5y = 15 - 10x.

بقسمة كل جزء من هذه المعادلة على الرقم 5، نحصل على المعادلة المكافئة

ص = 3 - 2س. وهكذا، عبرنا عن متغير واحد بدلالة آخر. باستخدام هذه المساواة، لكل قيمة x يمكننا حساب قيمة y.

إذا كانت x = 2، فإن y = 3 - 2 2 = -1.

إذا كانت x = -2، فإن y = 3 - 2 · (-2) = 7. أزواج الأرقام (2؛ -1)، (-2؛ 7) هي حلول لهذه المعادلة. وبالتالي فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول.

من التاريخ.تمت مناقشة مشكلة حل المعادلات بالأعداد الطبيعية بالتفصيل في أعمال عالم الرياضيات اليوناني الشهير ديوفانتوس (القرن الثالث). تحتوي أطروحته "الحساب" على حلول بارعة في الأعداد الطبيعية لمجموعة واسعة من المعادلات. وفي هذا الصدد، تسمى المعادلات ذات المتغيرات المتعددة التي تتطلب حلولاً بالأعداد الطبيعية أو الأعداد الصحيحة معادلات ديوفانتاين.

مثال 2.يتم تعبئة الدقيق في أكياس 3 كجم و 2 كجم. ما عدد الأكياس من كل نوع التي يجب أن تأخذها لصنع 20 كجم من الدقيق؟

لنفترض أننا بحاجة إلى أخذ أكياس x بوزن 3 كجم وأكياس بوزن 2 كجم. ثم 3x + 2y = 20. ويلزم إيجاد جميع أزواج القيم الطبيعية للمتغيرين x وy التي تحقق هذه المعادلة. نحن نحصل:

2ص = 20 - 3س

ص =

بالتعويض في هذه المساواة بدلاً من x على التوالي جميع الأرقام 1،2،3، وما إلى ذلك، نجد أن قيم x، وقيم y هي أرقام طبيعية.

نحصل على: (2؛7)، (4؛4)، (6؛1). لا توجد أزواج أخرى تحقق هذه المعادلة. هذا يعني أنك بحاجة إلى أخذ حزمتين و7، أو 4 و4، أو 6 و1، على التوالي.

رابعا . العمل من الكتاب المدرسي (شفهيا) رقم 1025 رقم 1027 (أ)

العمل المستقل مع الاختبار في الفصل.

1. اكتب معادلة خطية بمتغيرين.

أ) 3س + 6ص = 5 ج) ص ص = 11 ب) س – 2ص = 5

2. هل زوج من الأرقام هو حل للمعادلة؟

2x + y = -5 (-4;3)، (-1;-3)، (0;5).

3. التعبير عن المعادلة الخطية

4x - 3y = 12 أ) x إلى y b) y إلى x

4. أوجد ثلاثة حلول للمعادلة.

س + ص = 27

الخامس . لذلك، لتلخيص:

تعريف معادلة خطية بمتغيرين.

ما يسمى بحل (جذر) معادلة خطية ذات متغيرين.

اذكر خصائص المعادلة الخطية ذات المتغيرين.

وضع العلامات.

الواجب: الفقرة 40، رقم 1028، رقم 1032

كثيرًا ما صادفنا معادلات على الصورة ax + b = 0، حيث a، b عبارة عن أرقام، وx متغير. على سبيل المثال، bx - 8 = 0، x + 4 = O، - 7x - 11 = 0، إلخ. يمكن أن تكون الأرقام a، b (معاملات المعادلة) موجودة، باستثناء الحالة التي تكون فيها a = 0.

المعادلة ax + b = 0، حيث a، تسمى معادلة خطية بمتغير واحد x (أو معادلة خطية بمتغير x مجهول). يمكننا حلها، أي التعبير عن x من خلال a وb:

وقد أشرنا في وقت سابق إلى ذلك في كثير من الأحيان نموذج رياضيالوضع الحقيقي هو معادلة خطية بمتغير واحد أو معادلة يتم اختزالها بعد التحويلات إلى معادلة خطية. الآن دعونا نلقي نظرة على هذا الوضع الحقيقي.

ومن المدينتين (أ) و(ب) التي تبلغ المسافة بينهما 500 كيلومتر، انطلق قطاران باتجاه بعضهما البعض، ولكل منهما سرعته الثابتة. ومن المعروف أن القطار الأول غادر قبل ساعتين من الثاني. وبعد 3 ساعات من مغادرة القطار الثاني، التقيا. ما هي سرعات القطار؟

دعونا ننشئ نموذجًا رياضيًا للمشكلة. اجعل x km/h هي سرعة القطار الأول، و y km/h هي سرعة القطار الثاني. الأول كان على الطريق لمدة 5 ساعات، وبالتالي قطع مسافة bx km. القطار الثاني كان في الطريق لمدة 3 ساعات أي. مشى مسافة 3 كم.

تم اجتماعهم عند النقطة C. ويوضح الشكل 31 نموذجًا هندسيًا للوضع. وفي اللغة الجبرية يمكن وصفها على النحو التالي:

5x + زو = 500

أو
5x + زو - 500 = 0.

يُسمى هذا النموذج الرياضي بمعادلة خطية ذات متغيرين x، y.
على الاطلاق،

الفأس + بواسطة + ج = 0،

حيث a، b، c أرقام، و ، خطية المعادلةمع متغيرين x وy (أو مع مجهولين x وy).

لنعد إلى المعادلة 5x + 3 = 500. نلاحظ أنه إذا كانت x = 40، y = 100، فإن 5 40 + 3 100 = 500 هي مساواة صحيحة. هذا يعني أن إجابة سؤال المشكلة يمكن أن تكون كما يلي: سرعة القطار الأول 40 كم/ساعة، وسرعة القطار الثاني 100 كم/ساعة. زوج من الأرقام x = 40، y = 100 يسمى حلاً للمعادلة 5x + 3 = 500. ويقال أيضًا أن هذا الزوج من القيم (x؛ y) يحقق المعادلة 5x + 3 = 500.

وللأسف، هذا الحل ليس الوحيد (كلنا نحب اليقين وعدم الغموض). في الواقع، الخيار التالي ممكن أيضًا: x = 64, y = 60; في الواقع، 5 64 + 3 60 = 500 هي مساواة صحيحة. وهذا: x = 70، y = 50 (بما أن 5 70 + 3 50 = 500 هي مساواة حقيقية).

ولكن، على سبيل المثال، زوج من الأرقام x = 80، y = 60 ليس حلاً للمعادلة، لأنه مع هذه القيم لا تعمل المساواة الحقيقية:

بشكل عام حل المعادلة ax + by + c = 0 هو أي زوج من الأرقام (x; y) يحقق هذه المعادلة، أي يحول المساواة مع المتغيرات ax + by + c = 0 إلى عدد صحيح المساواة. هناك عدد لا نهائي من هذه الحلول.

تعليق. دعونا نعود مرة أخرى إلى المعادلة 5x + 3 = 500، التي تم الحصول عليها في المشكلة التي نوقشت أعلاه. ومن بين العدد اللانهائي من حلولها هناك، على سبيل المثال، ما يلي: x = 100، y = 0 (في الواقع، 5100 + 30 = 500 هي مساواة عددية صحيحة)؛ س = 118، ص = - 30 (بما أن 5,118 + 3 (-30) = 500 هي مساواة عددية صحيحة). ومع ذلك، يجري حلول المعادلة، لا يمكن لهذه الأزواج أن تكون بمثابة حلول لهذه المشكلة، لأن سرعة القطار لا يمكن أن تساوي الصفر (فهو لا يتحرك، ولكنه يقف ساكناً)؛ علاوة على ذلك، لا يمكن أن تكون سرعة القطار سالبة (أي أنه لا يتجه نحو قطار آخر، كما جاء في بيان المشكلة، بل في الاتجاه المعاكس).

مثال 1.ارسم حلولاً لمعادلة خطية ذات متغيرين x + y - 3 = 0 بالنقاط في المستوى الإحداثي xOy.

حل. دعونا نختار عدة حلول لمعادلة معينة، أي عدة أزواج من الأرقام التي تحقق المعادلة: (3؛ 0)، (2؛ 1)، (1؛ 2) (0؛ 3)، (- 2؛ 5) .

A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية

محتوى الدرس ملاحظات الدرسدعم إطار عرض الدرس وأساليب تسريع التقنيات التفاعلية يمارس المهام والتمارين ورش عمل الاختبار الذاتي، والتدريبات، والحالات، والمهام، والواجبات المنزلية، وأسئلة المناقشة، والأسئلة البلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية الصوت ومقاطع الفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية، صور، رسومات، جداول، رسوم بيانية، فكاهة، نوادر، نكت، كاريكاتير، أمثال، أقوال، كلمات متقاطعة، اقتباسات الإضافات الملخصاتالمقالات والحيل لأسرّة الأطفال الفضوليين والكتب المدرسية الأساسية والإضافية للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء من الكتاب المدرسي، وعناصر الابتكار في الدرس، واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةالخطة التقويمية للسنة، التوصيات المنهجية، برامج المناقشة دروس متكاملة

§ 1 اختيار جذور المعادلة في المواقف الحقيقية

دعونا نفكر في هذا الوضع الحقيقي:

قام السيد والمتدرب معًا بصنع 400 قطعة مخصصة. علاوة على ذلك، عمل السيد لمدة 3 أيام، والطالب لمدة يومين. كم عدد الأجزاء التي صنعها كل شخص؟

دعونا ننشئ نموذجًا جبريًا لهذا الموقف. دع السيد ينتج الأجزاء في يوم واحد. والطالب عند التفاصيل. ثم سيقوم المعلم بعمل 3 أجزاء في 3 أيام، وسيقوم الطالب بعمل جزأين في يومين. معًا سينتجون 3 + 2 أجزاء. وبما أنه تم تصنيع إجمالي 400 قطعة وفقًا للشرط، فإننا نحصل على المعادلة:

تسمى المعادلة الناتجة معادلة خطية في متغيرين. نحن هنا بحاجة إلى العثور على زوج من الأرقام x و y حيث ستأخذ المعادلة شكل مساواة عددية حقيقية. لاحظ أنه إذا كانت x = 90، y = 65، فإننا نحصل على المساواة:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

وبما أنه تم الحصول على المساواة العددية الصحيحة، فإن زوج الأرقام 90 و 65 سيكون حلاً لهذه المعادلة. لكن الحل الذي تم التوصل إليه ليس هو الحل الوحيد. إذا كانت x = 96 و y = 56، فإننا نحصل على المساواة:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

وهذه أيضًا مساواة عددية حقيقية، مما يعني أن زوج الأرقام 96 و56 هو أيضًا حل لهذه المعادلة. لكن زوج من الأرقام x = 73 و y = 23 لن يكون حلاً لهذه المعادلة. في الواقع، 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 سيعطينا المساواة العددية غير الصحيحة 265 = 400. تجدر الإشارة إلى أننا إذا نظرنا إلى المعادلة فيما يتعلق بهذا الوضع الحقيقي، فسيكون هناك أزواج من الأرقام، فحل هذه المعادلة لن يكون حلاً للمشكلة. على سبيل المثال، بضعة أرقام:

س = 200 و ص = -100

هو حل للمعادلة، لكن الطالب لا يستطيع تكوين -100 جزء، وبالتالي لا يمكن أن يكون هذا الزوج من الأرقام هو الحل لسؤال المشكلة. وبالتالي، في كل موقف حقيقي محدد، من الضروري اتباع نهج معقول لاختيار جذور المعادلة.

دعونا نلخص النتائج الأولى:

المعادلة من الشكل ax + bу + c = 0، حيث a، b، c هي أي أرقام، تسمى معادلة خطية ذات متغيرين.

حل معادلة خطية في متغيرين هو زوج من الأرقام المقابلة لـ x و y، حيث تتحول المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية.

§ 2 الرسم البياني للمعادلة الخطية

إن تسجيل الزوج (x;y) يقودنا إلى التفكير في إمكانية تصويره كنقطة ذات إحداثيات xy y على المستوى. وهذا يعني أنه يمكننا الحصول على نموذج هندسي لحالة معينة. على سبيل المثال، النظر في المعادلة:

2س + ص - 4 = 0

دعونا نختار عدة أزواج من الأرقام التي ستكون حلولاً لهذه المعادلة ونبني نقاطًا بالإحداثيات الموجودة. ولتكن هذه النقاط:

أ(0؛ 4)، ب(2؛ 0)، ج(1؛ 2)، د(-2؛ 8)، ه(- 1؛ 6).

لاحظ أن جميع النقاط تقع على نفس الخط. يسمى هذا الخط الرسم البياني للمعادلة الخطية في متغيرين. إنه نموذج رسومي (أو هندسي) لمعادلة معينة.

إذا كان زوج من الأرقام (x;y) هو حل للمعادلة

ax + vy + c = 0، فإن النقطة M(x;y) تنتمي إلى الرسم البياني للمعادلة. يمكننا أن نقول العكس: إذا كانت النقطة M(x;y) تنتمي إلى الرسم البياني للمعادلة ax + y + c = 0، فإن زوج الأرقام (x;y) هو حل لهذه المعادلة.

من مقرر الهندسة نعرف:

لإنشاء خط مستقيم، تحتاج إلى نقطتين، لذا لرسم رسم بياني لمعادلة خطية بمتغيرين، يكفي معرفة زوجين فقط من الحلول. لكن تخمين الجذور ليس دائمًا إجراءً مناسبًا أو عقلانيًا. يمكنك التصرف وفقًا لقاعدة أخرى. بما أن الإحداثيات الإحداثية للنقطة (المتغير x) هي متغير مستقل، فيمكنك إعطاؤها أي قيمة مناسبة. وبالتعويض بهذا الرقم في المعادلة نجد قيمة المتغير y.

على سبيل المثال، دعونا نعطي المعادلة:

لنفترض أن x = 0، نحصل على 0 - y + 1 = 0 أو y = 1. هذا يعني أنه إذا كانت x = 0، فإن y = 1. زوج من الأرقام (0;1) هو الحل لهذه المعادلة. لنضع قيمة أخرى للمتغير x: x = 2. ثم نحصل على 2 - y + 1 = 0 أو y = 3. زوج الأرقام (2;3) هو أيضًا حل لهذه المعادلة. باستخدام النقطتين الموجودتين، أصبح من الممكن بالفعل إنشاء رسم بياني للمعادلة x - y + 1 = 0.

يمكنك القيام بذلك: قم أولاً بتعيين قيمة محددة للمتغير y، وبعد ذلك فقط قم بحساب قيمة x.

§ 3 نظام المعادلات

أوجد عددين طبيعيين مجموعهما 11 والفرق بينهما 1.

لحل هذه المشكلة، نقوم أولاً بإنشاء نموذج رياضي (أي نموذج جبري). ليكن الرقم الأول x والرقم الثاني y. ثم مجموع الأعداد x + y = 11 والفرق بين الأعداد x - y = 1. وبما أن المعادلتين تتعاملان مع نفس الأرقام، فيجب استيفاء هذين الشرطين في وقت واحد. عادة في مثل هذه الحالات يتم استخدام سجل خاص. تتم كتابة المعادلات الواحدة تحت الأخرى ويتم دمجها بقوس متعرج.

يسمى هذا السجل بنظام المعادلات.

الآن دعونا نبني مجموعات من الحلول لكل معادلة، أي: الرسوم البيانية لكل من المعادلات. لنأخذ المعادلة الأولى:

إذا كانت x = 4، فإن y = 7. وإذا كانت x = 9، فإن y = 2.

لنرسم خطًا مستقيمًا عبر النقطتين (4;7) و(9;2).

لنأخذ المعادلة الثانية x - y = 1. إذا كانت x = 5، فإن y = 4. وإذا كانت x = 7، فإن y = 6. ونرسم أيضًا خطًا مستقيمًا عبر النقاط (5;4) و(7;6) ). لقد حصلنا على نموذج هندسي للمشكلة. يجب أن يكون زوج الأرقام الذي يهمنا (x;y) حلاً لكلا المعادلتين. نرى في الشكل نقطة واحدة تقع على كلا الخطين، وهي نقطة تقاطع الخطين.

إحداثياتها هي (6؛5). ولذلك فإن حل المشكلة سيكون: الرقم المطلوب الأول هو 6، والثاني هو 5.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. موردكوفيتش أ.ج.، الجبر للصف السابع في جزأين، الجزء الأول، كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / أ.ج. موردكوفيتش. – الطبعة العاشرة، المنقحة – موسكو، “منيموسين”، 2007
2. Mordkovich A.G.، الجبر الصف السابع في جزأين، الجزء 2، كتاب المشكلات للمؤسسات التعليمية / [A.G. موردكوفيتش وآخرون]؛ تم تحريره بواسطة أ.ج. موردكوفيتش - الطبعة العاشرة، المنقحة - موسكو، "منيموسين"، 2007
3. ها. تولشينسكايا، الجبر الصف السابع. المسح الخاطف: دليل لطلبة مؤسسات التعليم العام، الطبعة الرابعة، منقحة وموسعة، موسكو، "منيموسين"، 2008.
4. ألكساندروفا لوس أنجلوس، الجبر الصف السابع. أوراق اختبار موضوعية بشكل جديد لطلاب مؤسسات التعليم العام، حرره أ.ج. موردكوفيتش، موسكو، "منيموسين"، 2011
5. ألكسندروفا إل. الجبر الصف السابع. أعمال مستقلة لطلاب مؤسسات التعليم العام، حرره أ.ج. موردكوفيتش - الطبعة السادسة، النمطية، موسكو، "منيموسين"، 2010

يبدأ أي تلميذ بدراسة هذا الموضوع في الصفوف الابتدائية عندما يمر بعلامات "أكبر من" و"أقل من" و"يساوي". يعد هذا النوع من المتباينات والمعادلات من أبسط أنواع المتباينات والمعادلات في المنهج بأكمله طوال فترة دراسة الطالب والطالب. الحل لأي معادلة أو متباينة هو تبسيطها إلى صورة خطية. كيف تبدو المعادلات الخطية والمتباينات؟

في مثل هذه المعادلة، يكون المجهول من الدرجة الأولى، مما يسمح لك بفصل المتغيرات عن الثوابت ببساطة وبسرعة عن طريق وضعها على طرفي نقيض من علامة القسمة (المساواة أو عدم المساواة). كيف تبدو الطريقة التي ستساعدك على حل أي معادلة خطية بسهولة وبساطة؟

لنفترض أن هناك معادلة 3س - 89 = (5س - 32)/2. أول شيء يجب فعله هو تبسيط الجزء الكسري عن طريق ضرب المعادلة بأكملها في 2. ستكون النتيجة 6س - 178 = 5س - 32. في الواقع، هذه معادلة خطية بالفعل. والآن علينا تبسيطها عن طريق تحريك جميع المتغيرات إلى الجانب الأيسر والثوابت إلى اليمين. والنتيجة هي أن x = 146. وإذا كان عامل المتغير أكبر من الواحد، فيجب قسمة المعادلة الخطية بأكملها عليه، وفي هذه الحالة سيتم الحصول على الإجابة المطلوبة.

وينطبق الشيء نفسه على عدم المساواة. أولًا، عليك تبسيط المتباينة الخطية، ثم نقل المتغيرات إلى جانبها الأيسر، والثوابت إلى جانبها الأيمن. بعد ذلك، يتم تبسيط المتباينة الخطية مرة أخرى بحيث يكون معامل المتغير يساوي واحدًا. يتم الحصول على إجابة المتباينة تلقائيًا، وبعد ذلك تحتاج فقط إلى تدوينها بالشكل المطلوب (في شكل متباينة أو فاصل زمني أو فجوة على المحور).

كما يمكنك أن تفهم مما سبق، فإن المعادلات الخطية والمتباينات بسيطة جدًا حتى بالنسبة لأطفال المدارس الابتدائية. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذا النوع من المعادلات له اختلافات.

يوجد نوع منها كمعادلات خطية ذات متغيرين. كيفية حلها؟ هذه عملية كثيفة العمالة إلى حد ما. في المدرسة، تبدأ مواجهة مثل هذه الحالات، لذلك يمكن تصنيف المعادلات الخطية ذات المتغيرين على أنها مواضيع أكثر تعقيدًا.

لنفترض أن هناك معادلة 2x + y = 3x + 17. أول شيء يجب فعله هو التعبير عن كمية مجهولة بدلالة كمية أخرى. ويتم ذلك بكل بساطة: يتم نقل متغير واحد إلى اليسار، ويتم نقل جميع المتغيرات والأرقام الأخرى إلى اليمين؛ يتم حل جميع المعادلات الخطية ذات المتغيرين بهذه الطريقة. ونتيجة لذلك، سوف تتلقى معادلة من النموذج y = x + 17. يتم التعبير عن الإجابة عن طريق رسم هذه الدالة في نظام إحداثي ولها شكل خط مستقيم. هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات الخطية ذات المتغيرين.

ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه بالإضافة إلى المعادلات ذات المتغيرين، هناك متباينات مماثلة. على عكس المعادلات التي تكون الإجابة فيها عبارة عن رسم بياني للدالة، فإن المتباينة تحتوي على إجابتها في المستوى المحدد بهذا الرسم البياني. يجدر النظر: إذا كانت عدم المساواة صارمة، فلن يتم تضمين الرسم البياني في الإجابة!

الآن لديك فكرة عن كيفية حل المعادلات الخطية والمتباينات. على الرغم من أن هذا الموضوع بسيط للغاية للدراسة، إلا أنه يستحق الاهتمام به، لأن بعض التفاصيل الدقيقة قد لا تكون واضحة للغاية، مما قد يؤدي إلى أخطاء غير سارة في اختبار التحكم وانخفاض الدرجات النهائية. معادلة خط مستقيم - الأمر بسيط، الشيء الرئيسي - الالتزام بالقواعد الرياضية اللازمة، مثل قسمة أو ضرب المعادلة بأكملها بأي قيمة، ونقل عناصر الدالة إلى ما بعد علامة التساوي، وإنشاء الرسوم البيانية بشكل صحيح، وكتابة الإجابة بشكل صحيح.

إن معرفة كيفية كتابة المعادلات الخطية والمتباينات وحلها بشكل صحيح ستساعدك على فهم الأنواع الأكثر تعقيدًا من المعادلات والمتباينات. هذا هو السبب في أن هذا الموضوع يعتبر مهما للغاية - تقريبا حجر الزاوية في الرياضيات، لأن مبادئ حل مثل هذه الأمثلة تكمن وراء حل حصة الأسد من المعادلات الأخرى، وعدم المساواة والمشاكل.