من اكتشف الرقم Pi؟ تاريخ الحوسبة. ما هو الرقم "Pi" أو كيف يقسمه علماء الرياضيات؟ معنى باي في الفيزياء

عشاق الرياضيات في جميع أنحاء العالم يأكلون قطعة من الفطيرة كل عام في الرابع عشر من مارس - فهو يوم باي، الرقم غير النسبي الأكثر شهرة. يرتبط هذا التاريخ ارتباطًا مباشرًا بالرقم الذي تكون أرقامه الأولى 3.14. Pi هي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. وبما أنه غير نسبي، فمن المستحيل كتابته في صورة كسر. وهذا رقم طويل بلا حدود. تم اكتشافه منذ آلاف السنين وتمت دراسته باستمرار منذ ذلك الحين، ولكن هل لا يزال لدى باي أي أسرار؟ من الأصول القديمة إلى المستقبل غير المؤكد، إليك بعض الحقائق الأكثر إثارة للاهتمام حول باي.

حفظ بي

يعود الرقم القياسي لحفظ الأعداد العشرية إلى راجفير مينا من الهند، الذي تمكن من تذكر 70 ألف رقم - وقد سجل الرقم القياسي في 21 مارس 2015. في السابق، كان صاحب الرقم القياسي تشاو لو من الصين، الذي تمكن من تذكر 67890 رقما - تم تسجيل هذا الرقم القياسي في عام 2005. صاحب الرقم القياسي غير الرسمي هو أكيرا هاراغوتشي، الذي سجل نفسه على شريط فيديو وهو يكرر 100000 رقم في عام 2005 ونشر مؤخرًا مقطع فيديو تمكن فيه من تذكر 117000 رقم. ولن يصبح الرقم القياسي رسميا إلا إذا تم تسجيل هذا الفيديو بحضور ممثل عن موسوعة غينيس للأرقام القياسية، ومن دون تأكيد يبقى مجرد حقيقة مثيرة للإعجاب، لكنه لا يعتبر إنجازا. يحب عشاق الرياضيات حفظ الرقم Pi. يستخدم العديد من الأشخاص تقنيات تذكيرية مختلفة، على سبيل المثال الشعر، حيث يتطابق عدد الحروف في كل كلمة مع أرقام باي. تحتوي كل لغة على إصداراتها الخاصة من العبارات المتشابهة التي تساعدك على تذكر الأرقام القليلة الأولى والمائة بأكملها.

هناك لغة باي

اخترع علماء الرياضيات، الشغوفون بالأدب، لهجة يتوافق فيها عدد الحروف في جميع الكلمات مع أرقام Pi بالترتيب الدقيق. حتى أن الكاتب مايك كيث كتب كتابًا بعنوان Not a Wake، وهو مكتوب بالكامل باللغة Pi. المتحمسون لهذا الإبداع يكتبون أعمالهم بما يتوافق تمامًا مع عدد الحروف ومعنى الأرقام. وهذا ليس له تطبيق عملي، ولكنه ظاهرة شائعة إلى حد ما ومعروفة في دوائر العلماء المتحمسين.

النمو الأسي

باي هو عدد لا نهائي، لذلك بحكم التعريف لن يتمكن الناس أبدًا من تحديد الأرقام الدقيقة لهذا الرقم. ومع ذلك، فقد زاد عدد المنازل العشرية بشكل كبير منذ استخدام Pi لأول مرة. وقد استخدمه البابليون أيضًا، ولكن كان يكفيهم جزء من ثلاثة كاملة وثمن. لقد اقتصر الصينيون ومبدعو العهد القديم تمامًا على ثلاثة. بحلول عام 1665، كان السير إسحاق نيوتن قد قام بحساب الـ 16 رقمًا لـ Pi. بحلول عام 1719، كان عالم الرياضيات الفرنسي توم فانتي دي لاجني قد قام بحساب 127 رقمًا. لقد أدى ظهور أجهزة الكمبيوتر إلى تحسين المعرفة البشرية بـ Pi بشكل جذري. من عام 1949 إلى عام 1967، ارتفع عدد الأرقام المعروفة للإنسان من 2037 إلى 500000. ومنذ وقت ليس ببعيد، تمكن بيتر تروب، عالم من سويسرا، من حساب 2.24 تريليون رقم من باي! استغرق الأمر 105 يوما. وبطبيعة الحال، هذا ليس الحد الأقصى. من المحتمل أنه مع تطور التكنولوجيا، سيكون من الممكن إنشاء رقم أكثر دقة - نظرا لأن Pi لا حصر له، فلا يوجد حد للدقة، والميزات التقنية لتكنولوجيا الكمبيوتر فقط هي التي يمكن أن تحد منها.

حساب باي باليد

إذا كنت ترغب في العثور على الرقم بنفسك، يمكنك استخدام التقنية القديمة - ستحتاج إلى مسطرة وجرة وبعض الخيط، أو يمكنك استخدام منقلة وقلم رصاص. الجانب السلبي لاستخدام العلبة هو أنها يجب أن تكون مستديرة وسيتم تحديد الدقة من خلال مدى قدرة الشخص على لف الحبل حولها. يمكنك رسم دائرة باستخدام المنقلة، لكن هذا يتطلب أيضًا مهارة ودقة، لأن الدائرة غير المستوية يمكن أن تشوه قياساتك بشكل خطير. تتضمن الطريقة الأكثر دقة استخدام الهندسة. قسّم الدائرة إلى عدة أجزاء، مثل البيتزا إلى شرائح، ثم احسب طول الخط المستقيم الذي سيحول كل قطعة إلى مثلث متساوي الساقين. مجموع الجوانب سيعطي الرقم التقريبي Pi. كلما زاد عدد الشرائح التي تستخدمها، أصبح الرقم أكثر دقة. بالطبع، في حساباتك، لن تتمكن من الاقتراب من نتائج الكمبيوتر، ومع ذلك، تتيح لك هذه التجارب البسيطة أن تفهم بمزيد من التفصيل ما هو الرقم Pi وكيف يتم استخدامه في الرياضيات.

اكتشاف باي

عرف البابليون القدماء بوجود الرقم باي منذ أربعة آلاف سنة. الألواح البابلية تحسب باي بـ 3.125، وتظهر بردية رياضية مصرية الرقم 3.1605. في الكتاب المقدس، يُعطى Pi بالطول المتقادم للأذرع، واستخدم عالم الرياضيات اليوناني أرخميدس نظرية فيثاغورس، وهي علاقة هندسية بين أطوال أضلاع المثلث ومساحة الأشكال داخل الدوائر وخارجها، لوصف بي. وبالتالي، يمكننا أن نقول بثقة أن Pi هي واحدة من أقدم المفاهيم الرياضية، على الرغم من أن الاسم الدقيق لهذا الرقم ظهر مؤخرا نسبيا.

نظرة جديدة على باي

حتى قبل أن يبدأ ربط الرقم Pi بالدوائر، كان لدى علماء الرياضيات بالفعل طرق عديدة لتسمية هذا الرقم. على سبيل المثال، في كتب الرياضيات القديمة يمكن العثور على عبارة باللغة اللاتينية يمكن ترجمتها تقريبًا على أنها "الكمية التي توضح الطول عندما يتم ضرب القطر بها". أصبح العدد غير العقلاني مشهورًا عندما استخدمه العالم السويسري ليونارد أويلر في عمله في علم المثلثات عام 1737. ومع ذلك، فإن الرمز اليوناني لـ Pi لم يتم استخدامه بعد - وهذا حدث فقط في كتاب لعالم الرياضيات الأقل شهرة، ويليام جونز. لقد استخدمه بالفعل في عام 1706، لكنه ظل دون أن يلاحظه أحد لفترة طويلة. مع مرور الوقت، اعتمد العلماء هذا الاسم، والآن هو الإصدار الأكثر شهرة من الاسم، على الرغم من أنه كان يسمى سابقًا أيضًا رقم لودولف.

هل باي رقم عادي؟

من المؤكد أن Pi رقم غريب، ولكن إلى أي مدى يتبع القوانين الرياضية العادية؟ لقد نجح العلماء بالفعل في حل العديد من الأسئلة المتعلقة بهذا العدد غير العقلاني، لكن لا تزال هناك بعض الألغاز. على سبيل المثال، ليس من المعروف عدد المرات التي يتم فيها استخدام جميع الأرقام - يجب استخدام الأرقام من 0 إلى 9 بنسب متساوية. ومع ذلك، يمكن تتبع الإحصائيات من التريليونات الأولى من الأرقام، ولكن نظرًا لحقيقة أن العدد لا نهائي، فمن المستحيل إثبات أي شيء على وجه اليقين. وهناك مشاكل أخرى لا تزال بعيدة عن العلماء. من الممكن أن يساعد المزيد من تطوير العلوم في إلقاء الضوء عليها، ولكن في الوقت الحالي يظل الأمر خارج نطاق الذكاء البشري.

يبدو باي إلهيًا

لا يستطيع العلماء الإجابة على بعض الأسئلة حول الرقم Pi، ومع ذلك، كل عام يفهمون جوهره بشكل أفضل وأفضل. بالفعل في القرن الثامن عشر، تم إثبات عدم عقلانية هذا الرقم. وبالإضافة إلى ذلك، فقد ثبت أن العدد متسامٍ. هذا يعني أنه لا توجد صيغة محددة تسمح لك بحساب Pi باستخدام أرقام منطقية.

عدم الرضا عن الرقم Pi

العديد من علماء الرياضيات ببساطة يحبون Pi، ولكن هناك أيضًا من يعتقد أن هذه الأرقام ليست ذات أهمية خاصة. بالإضافة إلى ذلك، يزعمون أن Tau، الذي يبلغ حجمه ضعف حجم Pi، أكثر ملاءمة للاستخدام كرقم غير منطقي. يُظهر تاو العلاقة بين المحيط ونصف القطر، والتي يعتقد البعض أنها تمثل طريقة أكثر منطقية في الحساب. ومع ذلك، من المستحيل تحديد أي شيء بشكل لا لبس فيه في هذا الشأن، وسيكون لدى أحدهما والعدد الآخر دائمًا أنصار، وكلتا الطريقتين لهما الحق في الحياة، لذا فهذه مجرد حقيقة مثيرة للاهتمام، وليس سببًا للاعتقاد بأنه لا ينبغي عليك استخدم الرقم Pi.

دكتوراه في العلوم الجيولوجية والمعدنية، مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية B. GOROBETS.

الرسوم البيانية للوظائف y = arcsin x، الدالة العكسية y = sin x

رسم بياني للدالة y = arctan x، معكوس الدالة y = tan x.

دالة التوزيع الطبيعي (التوزيع الغوسي). يتوافق الحد الأقصى للرسم البياني الخاص به مع القيمة الأكثر احتمالية للمتغير العشوائي (على سبيل المثال، طول كائن يتم قياسه بمسطرة)، وتعتمد درجة "انتشار" المنحنى على المعلمات a وsigma.

حسب كهنة بابل القديمة أن القرص الشمسي يتناسب مع السماء 180 مرة من الفجر حتى غروب الشمس وقدموا وحدة قياس جديدة - درجة تساوي حجمه الزاوي.

ويزداد حجم التكوينات الطبيعية -الكثبان الرملية والتلال والجبال- مع كل خطوة بمعدل 3.14 مرة.

العلم والحياة // الرسوم التوضيحية

العلم والحياة // الرسوم التوضيحية

البندول، الذي يتأرجح دون احتكاك أو مقاومة، يحافظ على سعة اهتزاز ثابتة. ظهور المقاومة يؤدي إلى التوهين الأسي للتذبذبات.

في وسط شديد اللزوجة، يتحرك البندول المنحرف بشكل كبير نحو موضع توازنه.

يتم ترتيب قشور مخاريط الصنوبر وتجعيد أصداف العديد من الرخويات في شكل حلزوني لوغاريتمي.

العلم والحياة // الرسوم التوضيحية

العلم والحياة // الرسوم التوضيحية

دوامة لوغاريتمية تتقاطع مع جميع الأشعة الصادرة من النقطة O بنفس الزوايا.

من المحتمل أن يجيب أي متقدم أو طالب عندما يُسأل عن الأرقام و e: - هذا رقم يساوي نسبة المحيط إلى قطره، و e هو أساس اللوغاريتمات الطبيعية. إذا طُلب منك تحديد هذه الأرقام بشكل أكثر دقة وحسابها، فسيعطي الطلاب الصيغ:

ه = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...2.7183...

(تذكر أن المضروب n! =1 س 2س 3س… سن)؛

3(1+ 1/3س 2 3 + 1س 3/4س 5س 2 5 + .....) 3,14159…

(سلسلة نيوتن هي الأخيرة، وهناك متسلسلة أخرى).

كل هذا صحيح، ولكن، كما تعلم، يتم تضمين الأرقام وe في العديد من الصيغ في الرياضيات والفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء، وكذلك في الاقتصاد. وهذا يعني أنها تعكس بعض القوانين العامة للطبيعة. أي منها بالضبط؟ إن تعريفات هذه الأعداد من خلال المتسلسلات، رغم صحتها ودقتها، لا تزال تترك شعورا بعدم الرضا. إنها مجردة ولا تنقل ارتباط الأرقام المعنية بالعالم الخارجي من خلال التجربة اليومية. لا يمكن العثور على إجابات للسؤال المطروح في الأدبيات التربوية.

وفي الوقت نفسه، يمكن القول بأن الثابت e يرتبط ارتباطًا مباشرًا بتجانس المكان والزمان، وبتناظير المكان. وبالتالي، فهي تعكس قوانين الحفظ: الرقم الإلكتروني - الطاقة والزخم (الزخم)، والرقم - عزم الدوران (الزخم). عادةً ما تسبب مثل هذه التصريحات غير المتوقعة مفاجأة، على الرغم من أنه في الأساس، من وجهة نظر الفيزياء النظرية، لا يوجد شيء جديد فيها. يظل المعنى العميق لهذه الثوابت العالمية مجهولاً بالنسبة لأطفال المدارس والطلاب، وعلى ما يبدو، حتى بالنسبة لغالبية معلمي الرياضيات والفيزياء العامة، ناهيك عن مجالات أخرى من العلوم الطبيعية والاقتصاد.

في السنة الأولى من الجامعة يمكن أن يحير الطلاب، على سبيل المثال، سؤال: لماذا يظهر ظل قوسي عند تكامل الدوال من النوع 1/(x 2 +1)، والدوال المثلثية الدائرية من النوع أركسين، التي تعبر عن القدر من قوس الدائرة؟ بمعنى آخر، من أين "تأتي" الدوائر أثناء التكامل ومن أين تختفي بعد ذلك أثناء الإجراء العكسي - التمييز بين قوس الزاوية وقوس الجيب؟ ومن غير المرجح أن يجيب اشتقاق الصيغ المقابلة للتمايز والتكامل على السؤال المطروح في حد ذاته.

كما أنه في السنة الثانية من الجامعة، عند دراسة نظرية الاحتمالات، يظهر العدد في صيغة قانون التوزيع الطبيعي للمتغيرات العشوائية (انظر "العلم والحياة" رقم 2، 1995)؛ من خلاله يمكنك، على سبيل المثال، حساب احتمالية سقوط العملة على شعار النبالة في أي عدد من المرات، على سبيل المثال، 100 رمية. أين الدوائر هنا؟ هل شكل العملة مهم حقا؟ لا، صيغة الاحتمال هي نفسها بالنسبة للعملة المربعة. في الواقع، هذه ليست أسئلة سهلة.

لكن طبيعة الرقم e مفيدة لطلاب الكيمياء وعلوم المواد وعلماء الأحياء والاقتصاديين للتعرف عليها بشكل أعمق. سيساعدهم ذلك على فهم حركية اضمحلال العناصر المشعة، وتشبع المحاليل، وتآكل المواد وتدميرها، وتكاثر الميكروبات، وتأثيرات الإشارات على الحواس، وعمليات تراكم رأس المال، وما إلى ذلك - عدد لا حصر له من الظواهر في الطبيعة الحية وغير الحية والنشاط البشري.

العدد والتناظر الكروي للمساحة

أولاً، نقوم بصياغة الأطروحة الرئيسية الأولى، ثم نشرح معناها ونتائجها.

1. يعكس الرقم نظير خصائص المساحة الفارغة لكوننا، وتشابهها في أي اتجاه. يرتبط قانون الحفاظ على عزم الدوران مع نظائر الفضاء.

وهذا يؤدي إلى نتائج معروفة يتم دراستها في المدرسة الثانوية.

النتيجة الطبيعية 1. طول قوس الدائرة الذي يتناسب نصف قطرها مع القوس الطبيعي ووحدة الزاوية راديان.

هذه الوحدة بلا أبعاد. للعثور على عدد الراديان في قوس الدائرة، تحتاج إلى قياس طوله وتقسيمه على طول نصف قطر هذه الدائرة. وكما نعلم، على طول أي دائرة كاملة يبلغ نصف قطرها حوالي 6.28 مرة. بتعبير أدق، يبلغ طول القوس الكامل للدائرة 2 راديان، وبأي عدد من الأنظمة ووحدات الطول. وعندما اخترعت العجلة، تبين أنها واحدة عند هنود أمريكا، وبدو آسيا، وسود أفريقيا. فقط وحدات قياس القوس كانت مختلفة وتقليدية. وهكذا، تم تقديم درجاتنا الزاوية والقوسية من قبل الكهنة البابليين، الذين اعتبروا أن قرص الشمس، الواقع في ذروة تقريبا، يناسب السماء 180 مرة من الفجر إلى غروب الشمس. 1 درجة هي 0.0175 راد أو 1 راد هي 57.3 درجة. يمكن القول إن الحضارات الفضائية الافتراضية ستفهم بعضها البعض بسهولة من خلال تبادل رسالة تنقسم فيها الدائرة إلى ستة أجزاء "بذيل"؛ وهذا يعني أن «الشريك المفاوض» قد اجتاز بالفعل، على الأقل، مرحلة إعادة اختراع العجلة ويعرف ما هو الرقم.

النتيجة الطبيعية 2.الغرض من الدوال المثلثية هو التعبير عن العلاقة بين الأبعاد القوسية والخطية للكائنات، وكذلك بين المعلمات المكانية للعمليات التي تحدث في الفضاء المتماثل كرويًا.

يتضح مما سبق أن حجج الدوال المثلثية هي، من حيث المبدأ، بلا أبعاد، مثل تلك الخاصة بأنواع الدوال الأخرى، أي. هذه أرقام حقيقية - نقاط على محور الأعداد لا تحتاج إلى تدوين الدرجة.

تظهر التجربة أن تلاميذ المدارس وطلاب الكليات والجامعات يجدون صعوبة في التعود على الحجج بدون أبعاد للجيب والظل وما إلى ذلك. لن يتمكن كل متقدم من الإجابة على السؤال بدون آلة حاسبة ما هو cos1 (حوالي 0.5) أو arctg / 3. المثال الأخير محير بشكل خاص. كثيرا ما يقال أن هذا هراء: "القوس الذي يبلغ ظل قوسه 60 درجة". إذا قلنا هذا بالضبط، فسيكون الخطأ في التطبيق غير المصرح به لقياس الدرجة على وسيطة الدالة. والإجابة الصحيحة هي: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. لسوء الحظ، كثيرًا ما يقول المتقدمون والطلاب أن = 180 0، وبعد ذلك يتعين عليهم تصحيحها: في نظام الأرقام العشرية = 3.14…. لكن بالطبع يمكننا القول إن الراديان يساوي 180 0.

دعونا نتفحص موقفًا آخر غير تافه نواجهه في نظرية الاحتمالات. يتعلق الأمر بالصيغة المهمة لاحتمال الخطأ العشوائي (أو القانون الطبيعي لتوزيع الاحتمالات)، والتي تتضمن الرقم. باستخدام هذه الصيغة، يمكنك، على سبيل المثال، حساب احتمال سقوط عملة معدنية على شعار النبالة 50 مرة مع 100 رمية. إذن من أين أتى الرقم الموجود فيه؟ بعد كل شيء، لا يبدو أن هناك دوائر أو دوائر مرئية هناك. لكن النقطة المهمة هي أن العملة المعدنية تسقط بشكل عشوائي في مساحة متناظرة كرويًا، ويجب أن تؤخذ التقلبات العشوائية في الاعتبار بالتساوي في جميع الاتجاهات. يقوم علماء الرياضيات بذلك عن طريق التكامل على دائرة وحساب ما يسمى بتكامل بواسون، والذي يساوي صيغة الاحتمالية المحددة ويتضمنها. ومن الأمثلة الواضحة على هذه التقلبات مثال إطلاق النار على هدف في ظل ظروف ثابتة. تتوزع الثقوب الموجودة على الهدف في دائرة (!) ذات الكثافة الأعلى بالقرب من مركز الهدف، ويمكن حساب احتمالية الإصابة باستخدام نفس الصيغة التي تحتوي على الرقم .

هل العدد "متورط" في البنى الطبيعية؟

دعونا نحاول فهم الظواهر التي أسبابها ليست واضحة على الإطلاق، ولكن ربما لم تكن خالية من العدد.

قارن الجغرافي المحلي V. V. Piotrovsky متوسط ​​​​الأحجام المميزة للنقوش الطبيعية في السلسلة التالية: بندقية رملية على المياه الضحلة والكثبان الرملية والتلال والأنظمة الجبلية في القوقاز وجبال الهيمالايا وما إلى ذلك. وتبين أن متوسط ​​​​الزيادة في الحجم هو 3.14. ويبدو أن نمطًا مشابهًا قد تم اكتشافه مؤخرًا في تضاريس القمر والمريخ. يكتب بيوتروفسكي: "إن الأشكال البنيوية التكتونية التي تتشكل في القشرة الأرضية ويتم التعبير عنها على سطحها على شكل أشكال بارزة تتطور نتيجة لبعض العمليات العامة التي تحدث في جسم الأرض؛ فهي تتناسب مع حجم الأرض ". دعونا نوضح - أنها تتناسب مع نسبة أبعادها الخطية والقوسية.

قد يكون أساس هذه الظواهر هو ما يسمى بقانون توزيع الحد الأقصى للسلسلة العشوائية، أو "قانون الثلاثة توائم"، الذي صاغه إي إي سلوتسكي في عام 1927.

إحصائيا، وفقا لقانون الثلاثات، تتشكل الأمواج الساحلية للبحر، وهو ما عرفه الإغريق القدماء. كل موجة ثالثة تكون في المتوسط ​​أعلى قليلاً من جيرانها. وفي سلسلة هذه الحدود القصوى الثالثة، كل ثالث بدوره أعلى من جيرانه. هكذا تتشكل الموجة التاسعة الشهيرة. إنه ذروة "فترة المرتبة الثانية". يقترح بعض العلماء أنه وفقًا لقانون الثلاثة توائم، تحدث أيضًا تقلبات في أنشطة الطاقة الشمسية والمذنبات والنيازك. الفترات الفاصلة بين الحد الأقصى هي تسع إلى اثنتي عشرة سنة، أو ما يقرب من 3 2 . وفقا لدكتور العلوم البيولوجية ج. روزنبرغ، يمكننا الاستمرار في بناء التسلسل الزمني على النحو التالي. وتتوافق فترة الدرجة الثالثة 3 3 مع الفترة الفاصلة بين فترات الجفاف الشديدة، والتي يتراوح متوسطها بين 27 و36 سنة؛ الفترة 3 4 - دورة النشاط الشمسي العلماني (81-108 سنة)؛ الفترة 3 5 - دورات التجلد (243-324 سنة). وستصبح المصادفات أفضل إذا خرجنا عن قانون الثلاثية "الخالصة" وانتقلنا إلى قوى العدد. بالمناسبة، من السهل جدًا حسابها، نظرًا لأن 2 يساوي تقريبًا 10 (مرة واحدة في الهند تم تعريف الرقم على أنه جذر 10). يمكنك الاستمرار في ضبط دورات العصور والفترات والعصور الجيولوجية على قوى كاملة من ثلاثة (وهو ما يفعله ج. روزنبرغ، على وجه الخصوص، في مجموعة "يوريكا-88"، 1988) أو الأرقام 3.14. ويمكنك دائمًا أن تفكر بالتمني بدرجات متفاوتة من الدقة. (فيما يتعلق بالتعديلات، تتبادر إلى ذهني نكتة رياضية. دعونا نثبت أن الأعداد الفردية هي أعداد أولية. نأخذ: 1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، وما إلى ذلك، و9 هنا تجريبية خطأ.) ومع ذلك، يبدو أن فكرة الدور غير الواضح للرقم p في العديد من الظواهر الجيولوجية والبيولوجية ليست فارغة تمامًا، وربما ستظهر في المستقبل.

العدد e وتجانس الزمان والمكان

الآن دعنا ننتقل إلى الثابت العالمي الثاني الكبير - الرقم e. إن التحديد الرياضي الخالي من العيوب للرقم e باستخدام السلسلة المذكورة أعلاه، في جوهره، لا يوضح بأي شكل من الأشكال ارتباطه بالظواهر الفيزيائية أو غيرها من الظواهر الطبيعية. كيفية التعامل مع هذه المشكلة؟ السؤال ليس سهلا. ربما لنبدأ بالظاهرة القياسية لانتشار الموجات الكهرومغناطيسية في الفراغ. (علاوة على ذلك، سوف نفهم الفراغ باعتباره مساحة فارغة كلاسيكية، دون التطرق إلى الطبيعة الأكثر تعقيدًا للفراغ المادي.)

يعلم الجميع أنه يمكن وصف الموجة المستمرة عبر الزمن بموجة جيبية أو مجموع موجات الجيب وجيب التمام. في الرياضيات والفيزياء والهندسة الكهربائية، يتم وصف هذه الموجة (ذات سعة تساوي 1) بواسطة الدالة الأسية e iβt =cos βt + isin βt، حيث β هو تردد التذبذبات التوافقية. تمت كتابة إحدى أشهر الصيغ الرياضية هنا - صيغة أويلر. تكريمًا لليونارد أويلر العظيم (1707-1783) تم تسمية الرقم e على اسم الحرف الأول من اسمه الأخير.

وهذه الصيغة معروفة لدى الطلاب، لكنها تحتاج إلى شرح لطلبة المدارس غير الرياضية، لأن الأعداد المركبة مستبعدة من المناهج المدرسية العادية في عصرنا هذا. العدد المركب z = x+iy يتكون من حدين - العدد الحقيقي (x) والعدد التخيلي، وهو العدد الحقيقي y مضروبًا في الوحدة التخيلية. يتم حساب الأعداد الحقيقية على طول المحور الحقيقي O x، ويتم حساب الأعداد التخيلية على نفس المقياس على طول المحور التخيلي O y، ووحدته هي i، وطول قطعة الوحدة هذه هو المعامل | أنا | =1. ولذلك، فإن العدد المركب يتوافق مع نقطة على المستوى ذات الإحداثيات (x، y). لذا، فإن الشكل غير المعتاد للرقم e مع الأس الذي يحتوي على وحدات وهمية فقط i يعني وجود تذبذبات غير مخمدة فقط موصوفة بموجة جيب التمام والجيب.

من الواضح أن الموجة غير المخمدة تثبت الامتثال لقانون الحفاظ على الطاقة للموجة الكهرومغناطيسية في الفراغ. تحدث هذه الحالة أثناء التفاعل "المرن" للموجة مع وسط دون فقدان طاقتها. رسميا، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي: إذا قمت بتحريك النقطة المرجعية على طول المحور الزمني، فسيتم الحفاظ على طاقة الموجة، لأن الموجة التوافقية ستحتفظ بنفس السعة والتردد، أي وحدات الطاقة، وفقط لها ستتغير المرحلة، ذلك الجزء من الفترة البعيد عن النقطة المرجعية الجديدة. لكن الطور لا يؤثر على الطاقة على وجه التحديد بسبب تماثل الزمن عند إزاحة النقطة المرجعية. لذا، فإن النقل الموازي لنظام الإحداثيات (يسمى الترجمة) يعد قانونيًا بسبب تجانس الزمن t. الآن ربما يكون من الواضح من حيث المبدأ لماذا يؤدي التجانس في الزمن إلى قانون حفظ الطاقة.

بعد ذلك، دعونا نتخيل موجة ليس في الوقت المناسب، ولكن في الفضاء. وخير مثال على ذلك هو الموجة الدائمة (تذبذبات سلسلة ثابتة عند عدة عقد) أو تموجات الرمال الساحلية. رياضياً، ستتم كتابة هذه الموجة على طول محور O x بالشكل e ix = cos x + isin x. من الواضح أنه في هذه الحالة، لن تغير الترجمة على طول x جيب التمام أو الجيوب الأنفية إذا كان الفضاء متجانسًا على طول هذا المحور. مرة أخرى، فقط مرحلتهم سوف تتغير. ومن المعروف من الفيزياء النظرية أن تجانس الفضاء يؤدي إلى قانون حفظ الزخم (الزخم)، أي ضرب الكتلة في السرعة. دع الفضاء الآن يكون متجانسًا في الزمن (ويستوفي قانون الحفاظ على الطاقة)، ​​لكنه غير متجانس في التنسيق. ثم، في نقاط مختلفة من الفضاء غير المتجانس، ستكون السرعة مختلفة أيضًا، حيث أنه لكل وحدة زمنية متجانسة ستكون هناك قيم مختلفة لطول الأجزاء المغطاة في الثانية بواسطة جسيم ذي كتلة معينة (أو موجة ذات كتلة معينة) زخم معين).

ومن ثم يمكننا صياغة الأطروحة الرئيسية الثانية:

2. يعكس الرقم e كأساس لدالة متغير معقد قانونين أساسيين للحفظ: الطاقة - من خلال تجانس الزمن، والزخم - من خلال تجانس الفضاء.

ومع ذلك، لماذا تم تضمين الرقم e، وليس أي رقم آخر، في صيغة أويلر واتضح أنه يقع في قاعدة الدالة الموجية؟ البقاء في إطار الدورات المدرسية في الرياضيات والفيزياء، ليس من السهل الإجابة على هذا السؤال. ناقش المؤلف هذه المشكلة مع المنظر دكتور في العلوم الفيزيائية والرياضية V.D.Efros، وحاولنا شرح الوضع على النحو التالي.

تحتفظ فئة العمليات الأكثر أهمية - العمليات الخطية والخطية - بخطيتها على وجه التحديد بسبب تجانس المكان والزمان. رياضياً، توصف العملية الخطية بدالة تعمل كحل لمعادلة تفاضلية ذات معاملات ثابتة (يتم دراسة هذا النوع من المعادلات في السنتين الأولى والثانية من الجامعات والكليات). وجوهرها هو صيغة أويلر المذكورة أعلاه. إذًا يحتوي الحل على دالة معقدة ذات الأساس e، تمامًا مثل المعادلة الموجية. علاوة على ذلك، فهو e، وليس رقمًا آخر في قاعدة الدرجة! لأن الوظيفة ex فقط هي التي لا تتغير لأي عدد من التمايزات والتكاملات. وبالتالي، بعد التعويض في المعادلة الأصلية، فإن الحل ذو الأساس e هو وحده الذي سيعطي هوية، كما ينبغي أن يكون الحل الصحيح.

والآن لنكتب حل المعادلة التفاضلية ذات المعاملات الثابتة، والتي تصف انتشار الموجة التوافقية في وسط ما، مع مراعاة التفاعل غير المرن معها، مما يؤدي إلى تبدد الطاقة أو اكتساب الطاقة من مصادر خارجية:

f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).

نرى أن صيغة أويلر مضروبة في المتغير الحقيقي e αt، وهو سعة الموجة المتغيرة بمرور الوقت. أعلاه، ومن أجل التبسيط، افترضنا أنها ثابتة وتساوي 1. ويمكن القيام بذلك في حالة التذبذبات التوافقية غير المخمدة، مع α = 0. وفي الحالة العامة لأي موجة، يعتمد سلوك السعة على الإشارة للمعامل a مع المتغير t (الزمن): إذا كانت α > 0، فإن سعة التذبذبات تزداد إذا كانت α< 0, затухает по экспоненте.

ولعل الفقرة الأخيرة صعبة على خريجي العديد من المدارس العادية. ومع ذلك، ينبغي أن يكون مفهوما لطلاب الجامعات والكليات الذين يدرسون بدقة المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة.

الآن لنضع β = 0، أي أننا سوف ندمر عامل التذبذب بالرقم i في الحل الذي يحتوي على صيغة أويلر. من التذبذبات السابقة، لن يبقى سوى "السعة" التي تضمحل (أو تنمو) بشكل كبير.

لتوضيح كلتا الحالتين، تخيل البندول. في الفضاء الفارغ يتأرجح دون التخميد. في الفضاء مع وسط مقاوم، تحدث التذبذبات مع الاضمحلال الأسي في السعة. إذا قمت بتحريف بندول غير ضخم للغاية في وسيلة لزجة بما فيه الكفاية، فسوف يتحرك بسلاسة نحو موضع التوازن، مما يتباطأ بشكل متزايد.

ومن ثم يمكننا أن نستنتج من الطرح الثاني النتيجة الطبيعية التالية:

النتيجة الطبيعية 1.في غياب جزء وهمي محض من الدالة f(t)، عند β = 0 (أي عند تردد صفر)، يصف الجزء الحقيقي من الدالة الأسية العديد من العمليات الطبيعية التي تتم وفقًا للمبدأ الأساسي : الزيادة في القيمة تتناسب مع القيمة نفسها .

يبدو المبدأ المصاغ رياضيًا كما يلي: ∆I ~ I∆t، حيث، دعنا نقول، I عبارة عن إشارة، و∆t عبارة عن فاصل زمني صغير تزداد خلاله الإشارة ∆I. بقسمة طرفي المساواة على I والتكامل، نحصل على lnI ~ kt. أو: I ~ e kt - قانون الزيادة أو النقصان الأسي للإشارة (اعتمادًا على علامة k). وهكذا فإن قانون تناسب الزيادة في قيمة ما مع القيمة نفسها يؤدي إلى لوغاريتم طبيعي وبالتالي إلى العدد e (وهنا يظهر ذلك في شكل في متناول طلاب المدارس الثانوية الذين يعرفون عناصر التكامل).

تتم العديد من العمليات بشكل كبير مع حجة صحيحة، دون تردد، في الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والبيئة والاقتصاد، وما إلى ذلك. نلاحظ بشكل خاص القانون النفسي الفيزيائي العالمي لـ Weber-Fechner (لسبب ما تم تجاهله في البرامج التعليمية للمدارس والجامعات) . وجاء فيها: "إن قوة الإحساس تتناسب مع لوغاريتم قوة التحفيز".

تخضع الرؤية والسمع والشم واللمس والذوق والعواطف والذاكرة لهذا القانون (بطبيعة الحال، حتى تتحول العمليات الفسيولوجية فجأة إلى مرضية، عندما تخضع المستقبلات للتعديل أو التدمير). وفقا للقانون: 1) زيادة طفيفة في إشارة التهيج في أي فترة زمنية تتوافق مع زيادة خطية (مع زائد أو ناقص) في قوة الإحساس؛ 2) في منطقة إشارات التهيج الضعيفة تكون الزيادة في قوة الإحساس أكثر حدة بكثير منها في منطقة الإشارات القوية. لنأخذ الشاي كمثال: كوب من الشاي مع قطعتين من السكر يُنظر إليه على أنه حلو مرتين مثل الشاي مع قطعة واحدة من السكر؛ لكن من غير المرجح أن يبدو الشاي الذي يحتوي على 20 قطعة من السكر أكثر حلاوة بشكل ملحوظ من الشاي الذي يحتوي على 10 قطع. النطاق الديناميكي للمستقبلات البيولوجية هائل: يمكن أن تختلف قوة الإشارات التي تستقبلها العين بمقدار ~ 10 10 ، وبواسطة الأذن - بمقدار ~ 10 12 مرة. لقد تكيفت الحياة البرية مع مثل هذه النطاقات. فهو يحمي نفسه عن طريق أخذ لوغاريتم (عن طريق القيود البيولوجية) للمحفزات الواردة، وإلا فإن المستقبلات سوف تموت. يعتمد مقياس شدة الصوت اللوغاريتمي (الديسيبل) المستخدم على نطاق واسع على قانون Weber-Fechner، والذي بموجبه تعمل عناصر التحكم في مستوى الصوت في المعدات الصوتية: يتناسب إزاحتها مع مستوى الصوت المدرك، ولكن ليس مع شدة الصوت! (الإحساس يتناسب مع lg/ 0. عتبة إمكانية السمع هي p 0 = 10 -12 J/m 2 s. عند العتبة لدينا lg1 = 0. زيادة في قوة (ضغط) الصوت بمقدار 10 مرات تقابل تقريبًا الإحساس بالهمس، وهو 1 بيل فوق العتبة على مقياس لوغاريتمي.تضخيم الصوت مليون مرة من الهمس إلى الصراخ (حتى 10 -5 جول/م2 ثانية) على مقياس لوغاريتمي هي زيادة قدرها 6 أوامر من حيث الحجم أو 6 بل.)

ربما يكون هذا المبدأ اقتصاديًا على النحو الأمثل لتطوير العديد من الكائنات الحية. يمكن ملاحظة ذلك بوضوح في تكوين اللوالب اللوغاريتمية في أصداف الرخويات، وصفوف البذور في سلة عباد الشمس، والمقاييس في المخاريط. تزداد المسافة من المركز حسب القانون r = ae kj. وفي كل لحظة، يتناسب معدل النمو خطيًا مع هذه المسافة نفسها (وهو أمر يسهل رؤيته إذا أخذنا مشتقة الدالة المكتوبة). يتم تصنيع ملفات تعريف السكاكين والقواطع الدوارة في شكل حلزوني لوغاريتمي.

النتيجة الطبيعية 2.إن وجود الجزء التخيلي فقط من الدالة عند α = 0, β 0 في حل المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة يصف مجموعة متنوعة من العمليات الخطية والخطية التي تحدث فيها التذبذبات التوافقية غير المخمدة.

هذه النتيجة الطبيعية تعيدنا إلى النموذج الذي تمت مناقشته أعلاه.

النتيجة الطبيعية 3.عند تنفيذ النتيجة الطبيعية 2، هناك "إغلاق" في صيغة واحدة من الأرقام وe من خلال صيغة أويلر التاريخية في شكلها الأصلي e i = -1.

بهذا الشكل، نشر أويلر لأول مرة أسه مع أس وهمي. ليس من الصعب التعبير عنها من خلال جيب التمام والجيب على الجانب الأيسر. ثم النموذج الهندسي لهذه الصيغة سيكون الحركة في دائرة ذات سرعة ثابتة بقيمة مطلقة، وهي مجموع اهتزازتين توافقيتين. وفقًا للجوهر الفيزيائي، تعكس الصيغة ونموذجها جميع الخصائص الأساسية الثلاثة للزمكان - تجانسها وتباين الخواص، وبالتالي جميع قوانين الحفظ الثلاثة.

خاتمة

إن أطروحة ارتباط قوانين الحفظ بتجانس الزمان والمكان صحيحة بلا شك بالنسبة للفضاء الإقليدي في الفيزياء الكلاسيكية وللفضاء الإقليدي الزائف لفضاء مينكوفسكي في النظرية النسبية العامة (GR، حيث الزمن هو الإحداثي الرابع). لكن في إطار النسبية العامة، يطرح سؤال طبيعي: ما هو الوضع في مناطق مجالات الجاذبية الضخمة، بالقرب من المتفردات، على وجه الخصوص، بالقرب من الثقوب السوداء؟ لدى الفيزيائيين آراء مختلفة هنا: يعتقد معظمهم أن هذه المبادئ الأساسية تظل صحيحة في ظل هذه الظروف القاسية. ومع ذلك، هناك وجهات نظر أخرى للباحثين موثوقة. وكلاهما يعمل على خلق نظرية جديدة للجاذبية الكمومية.

لنتخيل بإيجاز المشاكل التي تنشأ هنا، نقتبس كلمات الفيزيائي النظري الأكاديمي أ. أ. لوغونوف: "إنها (مساحة مينكوفسكي. -" آلي.) يعكس الخصائص المشتركة لجميع أشكال المادة. وهذا يضمن وجود خصائص فيزيائية موحدة - الطاقة، الزخم، الزخم الزاوي، قوانين حفظ الطاقة، الزخم. لكن أينشتاين جادل بأن هذا ممكن فقط بشرط واحد - في غياب الجاذبية<...>. من بيان أينشتاين هذا، يترتب على ذلك أن الزمكان لا يصبح إقليديًا زائفًا، ولكنه أكثر تعقيدًا في هندسته - ريمانيان. هذا الأخير لم يعد متجانسا. يتغير من نقطة إلى أخرى. تظهر خاصية انحناء الفضاء. كما أن الصياغة الدقيقة لقوانين الحفظ، كما كانت مقبولة في الفيزياء الكلاسيكية، تختفي فيها أيضًا.<...>بالمعنى الدقيق للكلمة، في النسبية العامة، من حيث المبدأ، من المستحيل إدخال قوانين الحفاظ على زخم الطاقة؛ لا يمكن صياغتها" (انظر "العلم والحياة" رقم 2، 3، 1987).

إن الثوابت الأساسية لعالمنا، التي تحدثنا عنها، ليست معروفة للفيزيائيين فحسب، بل للشاعرين الغنائيين أيضًا. وهكذا فإن العدد غير النسبي الذي يساوي 3.14159265358979323846... ألهم الشاعر البولندي المتميز في القرن العشرين، الحائز على جائزة نوبل عام 1996 فيسوافا شيمبورسكا، أن يؤلّف قصيدة "باي" مع اقتباس ننهي منه هذه الملاحظات:

رقم يستحق الإعجاب:
ثلاثة فاصلة واحد أربعة واحد.
كل رقم يعطي شعورا
البداية - خمسة تسعة اثنان،
لأنك لن تصل إلى النهاية أبداً.
لا يمكنك فهم جميع الأرقام في لمحة -
ستة خمسة ثلاثة خمسة.
عمليات حسابية -
ثمانية تسعة -
لم يعد كافيا، ومن الصعب تصديق ذلك -
سبعة تسعة -
أنه لا يمكنك الإفلات من العقاب - ثلاثة اثنان ثلاثة
ثمانية -
ولا معادلة غير موجودة
ليست مقارنة مزحة -
لا يمكنك عدهم.
هيا ننتقل: أربعة ستة...
(الترجمة من البولندية - B. G.)

ما هو باي يساوي؟نحن نعرف ونتذكر من المدرسة. ويساوي 3.1415926 وهكذا... ويكفي للإنسان العادي أن يعلم أن هذا الرقم يتم الحصول عليه بقسمة محيط الدائرة على قطرها. لكن الكثير من الناس يعرفون أن الرقم Pi يظهر في مجالات غير متوقعة، ليس فقط في الرياضيات والهندسة، ولكن أيضًا في الفيزياء. حسنًا، إذا تعمقت في تفاصيل طبيعة هذا الرقم، فسوف تلاحظ الكثير من الأشياء المدهشة بين سلسلة الأرقام التي لا نهاية لها. هل من الممكن أن يكون باي يخفي أعمق أسرار الكون؟

عدد لا حصر له

يظهر الرقم Pi نفسه في عالمنا على شكل طول دائرة قطرها يساوي واحدًا. ولكن على الرغم من أن القطعة المساوية لـ Pi محدودة تمامًا، فإن الرقم Pi يبدأ بـ 3.1415926 ويمتد إلى ما لا نهاية في صفوف من الأرقام التي لا تتكرر أبدًا. الحقيقة الأولى المدهشة هي أن هذا العدد المستخدم في الهندسة لا يمكن التعبير عنه بكسر من الأعداد الصحيحة. بمعنى آخر، لا يمكنك كتابتها كنسبة بين رقمين أ/ب. بالإضافة إلى ذلك، فإن الرقم Pi متعالي. هذا يعني أنه لا توجد معادلة (متعددة الحدود) ذات معاملات صحيحة يكون حلها هو الرقم Pi.

تم إثبات حقيقة أن الرقم Pi متسامي في عام 1882 من قبل عالم الرياضيات الألماني فون ليندمان. كان هذا الدليل هو الجواب على سؤال ما إذا كان من الممكن باستخدام البوصلة والمسطرة رسم مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة. وتعرف هذه المشكلة بالبحث عن تربيع الدائرة، والتي كانت تقلق البشرية منذ القدم. يبدو أن هذه المشكلة لها حل بسيط وعلى وشك أن يتم حلها. لكن الخاصية غير المفهومة للرقم Pi هي التي أظهرت أنه لا يوجد حل لمشكلة تربيع الدائرة.

منذ ما لا يقل عن أربعة آلاف ونصف سنة، كانت البشرية تحاول الحصول على قيمة دقيقة بشكل متزايد لـ Pi. على سبيل المثال، في الكتاب المقدس في سفر الملوك الثالث (7: 23)، الرقم Pi هو 3.

يمكن العثور على قيمة باي ذات الدقة الملحوظة في أهرامات الجيزة: نسبة محيط الأهرامات وارتفاعها هي 22/7. يعطي هذا الكسر قيمة تقريبية لـ Pi تساوي 3.142... ما لم يحدد المصريون هذه النسبة عن طريق الصدفة بالطبع. تم الحصول على نفس القيمة بالفعل فيما يتعلق بحساب الرقم Pi في القرن الثالث قبل الميلاد بواسطة أرخميدس العظيم.

في بردية أحمس، وهو كتاب رياضيات مصري قديم يعود تاريخه إلى عام 1650 قبل الميلاد، تم حساب باي على أنه 3.160493827.

في النصوص الهندية القديمة حوالي القرن التاسع قبل الميلاد، تم التعبير عن القيمة الأكثر دقة بالرقم 339/108، والذي كان يساوي 3.1388...

لما يقرب من ألفي سنة بعد أرخميدس، حاول الناس إيجاد طرق لحساب باي. وكان من بينهم علماء رياضيات مشهورين وغير معروفين. على سبيل المثال، المهندس المعماري الروماني ماركوس فيتروفيوس بوليو، وعالم الفلك المصري كلوديوس بطليموس، وعالم الرياضيات الصيني ليو هوي، والحكيم الهندي أرياباتا، وعالم الرياضيات في العصور الوسطى ليوناردو البيزا المعروف باسم فيبوناتشي، والعالم العربي الخوارزمي الذي من اسمه كلمة ظهرت "الخوارزمية". كانوا جميعًا والعديد من الأشخاص الآخرين يبحثون عن الطرق الأكثر دقة لحساب Pi، ولكن حتى القرن الخامس عشر لم يحصلوا أبدًا على أكثر من 10 منازل عشرية بسبب تعقيد الحسابات.

أخيرًا، في عام 1400، قام عالم الرياضيات الهندي مادهافا من سانجاماجرام بحساب قيمة باي بدقة 13 رقمًا (على الرغم من أنه كان لا يزال مخطئًا في الرقمين الأخيرين).

عدد العلامات

في القرن السابع عشر، اكتشف لايبنتز ونيوتن تحليل الكميات المتناهية الصغر، مما جعل من الممكن حساب باي بشكل أكثر تقدمًا - من خلال متسلسلة القوى والتكاملات. قام نيوتن نفسه بحساب 16 منزلة عشرية، لكنه لم يذكر ذلك في كتبه - وقد أصبح هذا معروفا بعد وفاته. ادعى نيوتن أنه حسب باي بدافع الملل فقط.

في نفس الوقت تقريبًا، تقدم أيضًا علماء رياضيات أقل شهرة واقترحوا صيغًا جديدة لحساب الرقم Pi من خلال الدوال المثلثية.

على سبيل المثال، هذه هي الصيغة المستخدمة لحساب Pi من قبل مدرس علم الفلك جون ماشين في عام 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). باستخدام الأساليب التحليلية، اشتق ماشين الرقم Pi إلى مائة منزلة عشرية من هذه الصيغة.

بالمناسبة، في نفس عام 1706، حصل الرقم Pi على تسمية رسمية على شكل حرف يوناني: استخدمه ويليام جونز في عمله في الرياضيات، حيث أخذ الحرف الأول من الكلمة اليونانية "محيط"، والتي تعني "دائرة" ". قام ليونارد أويلر العظيم، المولود عام 1707، بتعميم هذه التسمية، المعروفة الآن لأي تلميذ.

قبل عصر الكمبيوتر، ركز علماء الرياضيات على حساب أكبر عدد ممكن من العلامات. في هذا الصدد، نشأت أشياء مضحكة في بعض الأحيان. قام عالم الرياضيات الهاوي دبليو شانكس بحساب 707 رقمًا للرقم Pi في عام 1875. تم تخليد هذه اللافتات السبعمائة على جدار قصر الاكتشافات في باريس عام 1937. ومع ذلك، بعد تسع سنوات، اكتشف علماء الرياضيات أن أول 527 حرفًا فقط هي التي تم حسابها بشكل صحيح. كان على المتحف أن يتكبد نفقات كبيرة لتصحيح الخطأ - والآن أصبحت جميع الأرقام صحيحة.

عندما ظهرت أجهزة الكمبيوتر، بدأ حساب عدد أرقام Pi بترتيب لا يمكن تصوره على الإطلاق.

أحد أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية الأولى، ENIAC، الذي تم إنشاؤه في عام 1946، كان هائل الحجم ويولد الكثير من الحرارة لدرجة أن الغرفة ارتفعت درجة حرارتها إلى 50 درجة مئوية، وحسبت أول 2037 رقمًا من Pi. استغرق هذا الحساب الآلة 70 ساعة.

ومع تحسن أجهزة الكمبيوتر، انتقلت معرفتنا بـ Pi إلى ما لا نهاية. وفي عام 1958، تم حساب 10 آلاف رقم من الرقم. في عام 1987، قام اليابانيون بحساب 10,013,395 حرفًا. وفي عام 2011، تجاوز الباحث الياباني شيجيرو هوندو علامة الـ 10 تريليون حرف.

في أي مكان آخر يمكنك مقابلة Pi؟

لذلك، غالبا ما تظل معرفتنا حول عدد Pi على مستوى المدرسة، ونحن نعلم بالتأكيد أن هذا الرقم لا يمكن استبداله في المقام الأول في الهندسة.

بالإضافة إلى صيغ طول ومساحة الدائرة، يتم استخدام الرقم Pi في صيغ القطع الناقص، والمجالات، والأقماع، والأسطوانات، والأشكال الناقصية، وما إلى ذلك: في بعض الأماكن، تكون الصيغ بسيطة وسهلة التذكر، ولكن وفي حالات أخرى تحتوي على تكاملات معقدة للغاية.

ثم يمكننا العثور على الرقم Pi في الصيغ الرياضية، حيث للوهلة الأولى، الهندسة غير مرئية. على سبيل المثال، التكامل غير المحدد لـ 1/(1-x^2) يساوي Pi.

غالبًا ما يستخدم Pi في تحليل السلسلة. على سبيل المثال، إليك سلسلة بسيطة تتقارب مع Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = بي/4

من بين هذه السلسلة، يظهر Pi بشكل غير متوقع في دالة زيتا لريمان الشهيرة. من المستحيل التحدث عن ذلك باختصار، دعنا نقول فقط أن الرقم Pi سيساعد يومًا ما في العثور على صيغة لحساب الأعداد الأولية.

ومن المثير للدهشة تمامًا أن Pi يظهر في اثنتين من أجمل الصيغ "الملكية" في الرياضيات - صيغة ستيرلنغ (التي تساعد في العثور على القيمة التقريبية لدالة المضروب وغاما) وصيغة أويلر (التي تربط ما يصل إلى خمسة ثوابت رياضية).

ومع ذلك، فإن الاكتشاف غير المتوقع كان ينتظر علماء الرياضيات في نظرية الاحتمالات. الرقم Pi موجود أيضًا.

على سبيل المثال، احتمال أن يكون رقمان أوليين نسبيًا هو 6/PI^2.

يظهر باي في مسألة رمي الإبرة لبوفون، والتي تمت صياغتها في القرن الثامن عشر: ما هو احتمال أن تتقاطع إبرة على قطعة من الورق المسطرة مع أحد الخطوط. إذا كان طول الإبرة L، والمسافة بين السطور هي L، و r > L، فيمكننا حساب قيمة Pi تقريبًا باستخدام صيغة الاحتمال 2L/rPI. فقط تخيل أنه يمكننا الحصول على Pi من أحداث عشوائية. وبالمناسبة، فإن Pi موجود في التوزيع الاحتمالي الطبيعي، ويظهر في معادلة المنحنى الغاوسي الشهير. هل هذا يعني أن Pi أكثر أهمية من مجرد نسبة المحيط إلى القطر؟

يمكننا أيضًا أن نلتقي بـ Pi في الفيزياء. ويظهر باي في قانون كولوم الذي يصف قوة التفاعل بين شحنتين، وفي قانون كبلر الثالث الذي يوضح فترة دوران الكوكب حول الشمس، بل ويظهر في ترتيب مدارات الإلكترون لذرة الهيدروجين. والأمر الأكثر إثارة للدهشة مرة أخرى هو أن الرقم Pi مخفي في صيغة مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ - القانون الأساسي لفيزياء الكم.

أسرار باي

في رواية "الاتصال" لكارل ساجان، والتي يستند إليها الفيلم الذي يحمل نفس الاسم، يخبر الفضائيون البطلة أن من بين علامات باي هناك رسالة سرية من الله. من موضع معين، تتوقف الأرقام الموجودة في الرقم عن أن تكون عشوائية وتمثل رمزًا يتم فيه كتابة جميع أسرار الكون.

في الواقع، عكست هذه الرواية لغزًا شغل أذهان علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم: هل Pi رقم عادي تتناثر فيه الأرقام بتردد متساوٍ، أم أن هناك خطأ ما في هذا الرقم؟ وعلى الرغم من أن العلماء يميلون إلى الخيار الأول (لكنهم لا يستطيعون إثبات ذلك)، فإن الرقم Pi يبدو غامضا للغاية. قام رجل ياباني ذات مرة بحساب عدد المرات التي تظهر فيها الأرقام من 0 إلى 9 في أول تريليون رقم من Pi. ورأيت أن الأرقام 2 و4 و8 كانت أكثر شيوعاً من غيرها. قد يكون هذا أحد التلميحات إلى أن Pi ليس طبيعيًا تمامًا، وأن الأرقام الموجودة فيه ليست عشوائية بالفعل.

دعونا نتذكر كل ما قرأناه أعلاه ونسأل أنفسنا، ما هو العدد غير العقلاني والمتجاوز الذي يوجد غالبًا في العالم الحقيقي؟

وهناك المزيد من الشذوذ في المتجر. على سبيل المثال، مجموع أول عشرين رقمًا من Pi هو 20، ومجموع أول 144 رقمًا يساوي "عدد الوحش" 666.

قال الشخصية الرئيسية في المسلسل التلفزيوني الأمريكي “المشتبه به”، البروفيسور فينش، للطلاب أنه نظرًا لانهاية الرقم Pi، يمكن العثور على أي مجموعة من الأرقام فيه، بدءًا من أرقام تاريخ ميلادك إلى أرقام أكثر تعقيدًا . على سبيل المثال، في الموضع 762 هناك سلسلة من ستة تسعات. يُطلق على هذا الموضع اسم نقطة فاينمان نسبة إلى الفيزيائي الشهير الذي لاحظ هذا المزيج المثير للاهتمام.

ونعلم أيضًا أن الرقم Pi يحتوي على التسلسل 0123456789، ولكنه يقع عند الرقم 17,387,594,880.

كل هذا يعني أنه في اللانهاية للرقم Pi، لا يمكنك العثور على مجموعات مثيرة للاهتمام من الأرقام فحسب، بل يمكنك أيضًا العثور على النص المشفر لـ "الحرب والسلام"، والكتاب المقدس، وحتى السر الرئيسي للكون، إذا كان موجودًا.

بالمناسبة، عن الكتاب المقدس. صرح مارتن جاردنر، الشهير في مجال الرياضيات، في عام 1966 أن الرقم المليون من Pi (في ذلك الوقت لا يزال غير معروف) سيكون الرقم 5. وأوضح حساباته بحقيقة أنه في النسخة الإنجليزية من الكتاب المقدس، في الثالث الكتاب الفصل الرابع عشر الآية 16 (3-14-16) الكلمة السابعة تحتوي على خمسة أحرف. وتم الوصول إلى الرقم المليون بعد ثماني سنوات. وكان الرقم خمسة.

هل يستحق التأكيد بعد ذلك على أن الرقم Pi عشوائي؟

لعدة قرون وحتى، بشكل غريب، آلاف السنين، فهم الناس أهمية وقيمة العلم لثابت رياضي يساوي نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. لا يزال الرقم Pi غير معروف، لكن أفضل علماء الرياضيات عبر تاريخنا شاركوا فيه. أراد معظمهم التعبير عنه كرقم نسبي.

1. قام الباحثون والمشجعون الحقيقيون للرقم Pi بتنظيم نادي، للانضمام إليه، تحتاج إلى معرفة عدد كبير إلى حد ما من علاماته عن ظهر قلب.

2. منذ عام 1988، يتم الاحتفال بـ "يوم باي"، والذي يصادف يوم 14 مارس. يقومون بإعداد السلطات والكعك والكعك والمعجنات التي تحمل صورته.

3. تم بالفعل ضبط الرقم Pi على الموسيقى، ويبدو جيدًا جدًا. حتى أنه تم نصب نصب تذكاري له في سياتل بأمريكا أمام متحف المدينة للفنون.

في ذلك الوقت البعيد، حاولوا حساب الرقم Pi باستخدام الهندسة. حقيقة أن هذا الرقم ثابت لمجموعة واسعة من الدوائر، كان معروفًا من قبل علماء الهندسة في مصر القديمة وبابل والهند واليونان القديمة، الذين ذكروا في أعمالهم أنه كان يزيد قليلاً عن ثلاثة.

يذكر في أحد الكتب المقدسة لليانية (ديانة هندية قديمة نشأت في القرن السادس قبل الميلاد) أن الرقم Pi كان يعتبر مساويًا للجذر التربيعي للعشرة، والذي يعطي في النهاية 3.162... .

قام علماء الرياضيات اليونانيون القدماء بقياس الدائرة عن طريق بناء قطعة، ولكن من أجل قياس الدائرة، كان عليهم إنشاء مربع مساوٍ لها، أي شكل مساوٍ لها في المساحة.

عندما لم تكن الكسور العشرية معروفة بعد، وجد أرخميدس العظيم قيمة باي بدقة تصل إلى 99.9%. اكتشف طريقة أصبحت أساسًا للعديد من الحسابات اللاحقة، حيث قام بتسجيل المضلعات المنتظمة في دائرة ووصفها حولها. ونتيجة لذلك، حسب أرخميدس قيمة Pi كنسبة 22/7 ≈ 3.142857142857143.

في الصين، عالم الرياضيات وعالم فلك البلاط زو تشونغزي في القرن الخامس قبل الميلاد. ه. حدد قيمة أكثر دقة لـ Pi، وحسابها إلى سبع منازل عشرية وحدد قيمتها بين الأرقام 3 و1415926 و3.1415927. لقد استغرق العلماء أكثر من 900 عام لمواصلة هذه السلسلة الرقمية.

العصور الوسطى

بدأ العالم الهندي الشهير مادهافا، الذي عاش في مطلع القرنين الرابع عشر والخامس عشر وأصبح مؤسس مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات، لأول مرة في التاريخ العمل على توسيع الدوال المثلثية إلى سلاسل. صحيح أن اثنين فقط من أعماله قد نجا، ولا يعرف الآخرون سوى المراجع والاقتباسات من طلابه. تنص الأطروحة العلمية "Mahajyanayana" المنسوبة إلى Madhava على أن الرقم Pi هو 3.14159265359. وفي رسالة "صدراتنامالا" تم تقديم رقم بمنازل عشرية أكثر دقة: 3.14159265358979324. في الأرقام المعطاة، لا تتوافق الأرقام الأخيرة مع القيمة الصحيحة.

في القرن الخامس عشر، قام عالم الرياضيات والفلكي السمرقندي الكاشي بحساب الرقم باي بستة عشر منزلة عشرية. واعتبرت نتيجته الأكثر دقة خلال الـ 250 عامًا القادمة.

كان دبليو جونسون، عالم الرياضيات من إنجلترا، من أوائل من أشاروا إلى نسبة محيط الدائرة إلى قطرها بالحرف π. Pi هو الحرف الأول من الكلمة اليونانية "περιφέρεια" - دائرة. لكن هذه التسمية لم تصبح مقبولة بشكل عام إلا بعد أن تم استخدامها في عام 1736 من قبل العالم الأكثر شهرة L. Euler.

خاتمة

يواصل العلماء المعاصرون العمل على حسابات إضافية لقيم Pi. وتستخدم أجهزة الكمبيوتر العملاقة بالفعل لهذا الغرض. في عام 2011، قام عالم من شيجيرو كوندو، بالتعاون مع الطالب الأمريكي ألكسندر يي، بحساب تسلسل مكون من 10 تريليون رقم بشكل صحيح. لكن لا يزال من غير الواضح من الذي اكتشف الرقم Pi، الذي فكر لأول مرة في هذه المشكلة وأجرى الحسابات الأولى لهذا الرقم الغامض حقًا.

دراسة أرقام باييبدأ في الصفوف الابتدائية عندما يتعلم الطلاب عن الدائرة والمحيط وقيمة Pi. وبما أن قيمة Pi ثابتة بمعنى نسبة طول الدائرة نفسها إلى طول قطر الدائرة المعطاة. على سبيل المثال، إذا أخذنا دائرة قطرها يساوي واحدًا، فإن طولها يساوي رقم باي. قيمة Pi هذه لا نهائية في الاستمرارية الرياضية، ولكن هناك أيضًا تسمية مقبولة بشكل عام. إنها تأتي من تهجئة مبسطة لقيمة Pi، فهي تبدو مثل 3.14.

الميلاد التاريخي لبي

من المفترض أن الرقم Pi له جذوره في مصر القديمة. حيث أن علماء المصريين القدماء قاموا بحساب مساحة الدائرة باستخدام القطر D، والذي أخذ القيمة D - D/92. وهو ما يتوافق مع 16/92، أو 256/81، مما يعني أن Pi يساوي 3.160.
كما تطرقت الهند في القرن السادس قبل الميلاد إلى الرقم Pi، ففي الديانة اليانية تم العثور على سجلات تفيد أن الرقم Pi يساوي 10 في الجذر التربيعي، وهو ما يعني 3.162.

قادته تعاليم أرخميدس حول قياس الدائرة في القرن الثالث قبل الميلاد إلى الاستنتاجات التالية:

وفي وقت لاحق، أثبت استنتاجاته من خلال سلسلة من الحسابات باستخدام أمثلة لأشكال متعددة الأضلاع منقوشة أو موصوفة بشكل صحيح مع مضاعفة عدد جوانب هذه الأشكال. وبحسابات دقيقة توصل أرخميدس إلى أن نسبة القطر إلى المحيط في الأعداد تتراوح بين 3*10/71 و3*1/7، وبالتالي فإن قيمة Pi هي 3.1419... وبما أننا سبق أن تحدثنا عن الشكل اللانهائي لهذه القيمة، يبدو مثل 3، 1415927... وهذا ليس الحد الأقصى، لأن عالم الرياضيات كاشي في القرن الخامس عشر حسب قيمة Pi كقيمة مكونة من ستة عشر رقمًا.
بدأ عالم الرياضيات الإنجليزي جونسون دبليو في عام 1706 في استخدام الرمز pi للرمز؟ (من اليونانية هو الحرف الأول في دائرة الكلمة).

معنى غامض.

قيمة Pi غير منطقية ولا يمكن التعبير عنها في شكل كسر لأن الكسور تستخدم قيمًا صحيحة. لا يمكن أن يكون جذرًا في المعادلة، ولهذا السبب يتبين أيضًا أنه متعالي، ويتم العثور عليه من خلال النظر في أي عمليات، ويتم تنقيحه بسبب العدد الكبير من الخطوات المدروسة لعملية معينة. كانت هناك العديد من المحاولات لحساب أكبر عدد من المنازل العشرية في باي، والتي أسفرت عن عشرات تريليونات من الأرقام ذات قيمة عشرية معينة.

حقيقة مثيرة للاهتمام: من الغريب أن قيمة Pi لها إجازتها الخاصة. ويسمى يوم باي الدولي. يتم الاحتفال به في 14 مارس. ظهر التاريخ بفضل قيمة Pi 3.14 (mm.yy) والفيزيائي لاري شو، الذي كان أول من احتفل بهذا العيد في عام 1987.

ملحوظة: المساعدة القانونية في الحصول على شهادة غياب (وجود) سجل جنائي لجميع مواطني الاتحاد الروسي. اتبع الرابط إلى شهادة خدمة الدولة بعدم وجود سجل جنائي (http://convictioncertificat.rf/) بشكل قانوني وبسرعة وبدون طوابير!