கூட்டல் சூத்திரங்கள்: சான்று, எடுத்துக்காட்டுகள். முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கூட்டல் மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்

ஏமாற்று தாள்களை எழுத வேண்டாம் என்று நான் உங்களை நம்ப வைக்க முயற்சிக்க மாட்டேன். எழுது! டிரிகோனோமெட்ரியில் ஏமாற்றுத் தாள்கள் உட்பட. ஏமாற்றுத் தாள்கள் ஏன் தேவைப்படுகின்றன மற்றும் ஏமாற்றுத் தாள்கள் ஏன் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை பின்னர் விளக்க திட்டமிட்டுள்ளேன். எப்படிக் கற்றுக் கொள்ளக்கூடாது, ஆனால் சில முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்வது பற்றிய தகவல் இங்கே உள்ளது. எனவே - ஒரு ஏமாற்று தாளில் இல்லாத முக்கோணவியல் நாம் மனப்பாடம் செய்ய சங்கங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

1. கூட்டல் சூத்திரங்கள்:

கொசைன்கள் எப்போதும் "ஜோடியாக வரும்": கொசைன்-கொசைன், சைன்-சைன். மேலும் ஒரு விஷயம்: கொசைன்கள் "போதாது". அவர்களுக்கு "எல்லாம் சரியாக இல்லை", எனவே அவர்கள் அடையாளங்களை மாற்றுகிறார்கள்: "-" "+", மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

சைனஸ்கள் - "கலவை": sine-cosine, cosine-sine.

2. தொகை மற்றும் வேறுபாடு சூத்திரங்கள்:

கொசைன்கள் எப்போதும் "ஜோடியாக வரும்". இரண்டு கொசைன்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் - “கொலோபாக்ஸ்”, ஒரு ஜோடி கொசைன்களைப் பெறுகிறோம் - “கொலோபாக்ஸ்”. மற்றும் கழிப்பதன் மூலம், நாம் நிச்சயமாக எந்த கோலோபாக்களையும் பெற மாட்டோம். நாம் ஒரு ஜோடி சைன்களைப் பெறுகிறோம். மேலும் ஒரு மைனஸ் முன்னால் உள்ளது.

சைனஸ்கள் - "கலவை" :

3. ஒரு பொருளைத் தொகை மற்றும் வேறுபாடாக மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்கள்.

கொசைன் ஜோடி எப்போது கிடைக்கும்? நாம் கொசைன்களைச் சேர்க்கும்போது. அதனால் தான்

நாம் எப்போது ஒரு ஜோடி சைன்களைப் பெறுவோம்? கொசைன்களைக் கழிக்கும்போது. இங்கிருந்து:

சைன்களைக் கூட்டும்போதும் கழிக்கும்போதும் “கலவை” பெறப்படுகிறது. இன்னும் வேடிக்கை என்னவென்றால்: கூட்டல் அல்லது கழித்தல்? அது சரி, மடி. மேலும் சூத்திரத்திற்கு அவர்கள் கூடுதலாக எடுத்துக்கொள்கிறார்கள்:

முதல் மற்றும் மூன்றாவது சூத்திரங்களில், தொகை அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளது. விதிமுறைகளின் இடங்களை மறுசீரமைப்பது தொகையை மாற்றாது. இரண்டாவது சூத்திரத்திற்கு மட்டுமே வரிசை முக்கியமானது. ஆனால், குழப்பமடையாமல் இருக்க, எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ள, முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள மூன்று சூத்திரங்களிலும் வித்தியாசத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

மற்றும் இரண்டாவதாக - அளவு

உங்கள் பாக்கெட்டில் உள்ள ஏமாற்றுத் தாள்கள் உங்களுக்கு மன அமைதியைத் தரும்: நீங்கள் சூத்திரத்தை மறந்துவிட்டால், அதை நகலெடுக்கலாம். மேலும் அவை உங்களுக்கு நம்பிக்கையைத் தருகின்றன: நீங்கள் ஏமாற்று தாளைப் பயன்படுத்தத் தவறினால், நீங்கள் சூத்திரங்களை எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம்.

a மற்றும் b கோணங்களின் சைன்கள் மற்றும் கோசைன்கள், cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b) ஆகிய செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மூலம் வெளிப்படுத்த கூட்டல் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களுக்கான கூட்டல் சூத்திரங்கள்

தேற்றம்: எந்த a மற்றும் b க்கும், பின்வரும் சமத்துவம் உண்மை: cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

இந்த தேற்றத்தை நிரூபிப்போம். பின்வரும் உருவத்தைக் கவனியுங்கள்:

அதன் மீது, புள்ளிகள் Ma, M-b, M(a+b) ஆகியவை முறையே a, -b மற்றும் a+b என்ற கோணங்களில் Mo புள்ளியை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகின்றன. சைன் மற்றும் கொசைன் வரையறைகளில் இருந்து, இந்த புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் பின்வருமாறு இருக்கும்: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b); sin(a+b)). AngleMoOM(a+b) = angleM-bOMa, எனவே MoOM(a+b) மற்றும் M-bOMa முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும், மேலும் அவை ஐசோசெல்ஸ் ஆகும். இதன் பொருள் MoM(a-b) மற்றும் M-bMa அடிப்படைகள் சமம். எனவே, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) மற்றும் cos(-a) = cos(a). இந்த சூத்திரங்கள் மற்றும் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் வர்க்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு நமது சமத்துவத்தை மாற்றுவோம்:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

இப்போது நாம் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

ஒத்தவற்றைக் கொடுத்து -2 ஆல் குறைப்போம்:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). கே.இ.டி.

பின்வரும் சூத்திரங்களும் செல்லுபடியாகும்:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மேலே நிரூபிக்கப்பட்டவற்றிலிருந்து இந்த சூத்திரங்களைப் பெறலாம் மற்றும் b ஐ -b உடன் மாற்றலாம். தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களுக்கான கூட்டல் சூத்திரங்களும் உள்ளன, ஆனால் அவை எல்லா வாதங்களுக்கும் செல்லுபடியாகாது.

தொடுகோடுகள் மற்றும் கோடன்ஜென்ட்களைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்

a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n மற்றும் a+b =pi/2 +pi*m தவிர எந்த கோணங்களுக்கும் a,b, எந்த முழு எண்களுக்கும் k,n,m கீழ் வரும் உண்மை சூத்திரமாக இருங்கள்:

tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n மற்றும் a-b =pi/2 +pi*m தவிர எந்த கோணங்களுக்கும் a,b, k,n,m ஆகிய எந்த முழு எண்களுக்கும் பின்வரும் சூத்திரம் இருக்கும் செல்லுபடியாகும்:

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m தவிர எந்த கோணங்களுக்கும் a,b மற்றும் எந்த முழு எண்களுக்கும் k,n,m பின்வரும் சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

முக்கோணவியலில் அதிகம் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்கள் பற்றிய எங்கள் உரையாடலைத் தொடர்கிறோம். அவற்றில் முக்கியமானவை கூட்டல் சூத்திரங்கள்.

வரையறை 1

கூட்டல் சூத்திரங்கள் அந்த கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி இரண்டு கோணங்களின் வேறுபாடு அல்லது கூட்டுத்தொகையின் செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்த உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

தொடங்குவதற்கு, கூட்டல் சூத்திரங்களின் முழுமையான பட்டியலை நாங்கள் தருவோம், பின்னர் அவற்றை நிரூபிப்போம் மற்றும் பல எடுத்துக்காட்டு எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

முக்கோணவியலில் அடிப்படை கூட்டல் சூத்திரங்கள்

எட்டு அடிப்படை சூத்திரங்கள் உள்ளன: தொகையின் சைன் மற்றும் இரண்டு கோணங்களின் வேறுபாட்டின் சைன், கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் கோசைன்கள், முறையே தொகை மற்றும் வேறுபாட்டின் தொடுகோடுகள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்கள். அவற்றின் நிலையான சூத்திரங்கள் மற்றும் கணக்கீடுகள் கீழே உள்ளன.

1. இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் சைன் பின்வருமாறு பெறலாம்:

முதல் கோணத்தின் சைன் மற்றும் இரண்டாவது கோசைன் ஆகியவற்றின் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுகிறோம்;

முதல் கோணத்தின் கோசைனை முதல் கோணத்தால் பெருக்கவும்;

பெறப்பட்ட மதிப்புகளைச் சேர்க்கவும்.

சூத்திரத்தின் வரைகலை எழுத்து இது போல் தெரிகிறது: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. வித்தியாசத்தின் சைன் கிட்டத்தட்ட அதே வழியில் கணக்கிடப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளை மட்டுமே சேர்க்கக்கூடாது, ஆனால் ஒருவருக்கொருவர் கழிக்க வேண்டும். எனவே, முதல் கோணத்தின் சைனின் தயாரிப்புகளை இரண்டாவது கோசைன் மற்றும் முதல் கோணத்தின் கோசைன் இரண்டாவது சைன் மூலம் கணக்கிட்டு அவற்றின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிகிறோம். சூத்திரம் இப்படி எழுதப்பட்டுள்ளது: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. தொகையின் கொசைன். அதற்கு, முதல் கோணத்தின் கொசைனின் தயாரிப்புகளை இரண்டாவது கோசைன் மற்றும் முதல் கோணத்தின் சைன் முறையே இரண்டாவது சைன் மூலம் கண்டுபிடித்து, அவற்றின் வேறுபாட்டைக் காண்கிறோம்: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. வித்தியாசத்தின் கொசைன்: இந்த கோணங்களின் சைன்கள் மற்றும் கோசைன்களின் தயாரிப்புகளை முன்பு போலவே கணக்கிட்டு அவற்றைச் சேர்க்கவும். சூத்திரம்: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. தொகையின் தொடுகோடு. இந்த சூத்திரம் ஒரு பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, இதன் எண்ணிக்கையானது தேவையான கோணங்களின் தொடுகோடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் வகுத்தல் என்பது விரும்பிய கோணங்களின் தொடுகோடுகளின் பெருக்கத்தை கழிக்கப்படும் ஒரு அலகு ஆகும். அதன் வரைகலை குறிப்பிலிருந்து எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. வித்தியாசத்தின் தொடுகோடு. இந்த கோணங்களின் தொடுகோடுகளின் வேறுபாடு மற்றும் உற்பத்தியின் மதிப்புகளைக் கணக்கிட்டு, அதே வழியில் அவற்றைத் தொடர்கிறோம். வகுப்பில் நாம் ஒன்றைச் சேர்க்கிறோம், மாறாக அல்ல: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. தொகையின் கோட்டான்ஜென்ட். இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட, நமக்கு தயாரிப்பு மற்றும் இந்த கோணங்களின் கோட்டான்ஜென்ட்களின் கூட்டுத்தொகை தேவைப்படும், அவை பின்வருமாறு தொடரும்: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. வேறுபாட்டின் கோட்டான்ஜென்ட் . சூத்திரம் முந்தையதைப் போலவே உள்ளது, ஆனால் எண் மற்றும் வகுத்தல் கழித்தல், பிளஸ் c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

இந்த சூத்திரங்கள் ஜோடிகளில் ஒத்திருப்பதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம். ± (பிளஸ்-மைனஸ்) மற்றும் ∓ (மைனஸ்-பிளஸ்) குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி, பதிவு செய்வதற்கு எளிதாக அவற்றைக் குழுவாக்கலாம்:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± 1 t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

அதன்படி, ஒவ்வொரு மதிப்பின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான ஒரு பதிவு சூத்திரம் எங்களிடம் உள்ளது, ஒரு சந்தர்ப்பத்தில் நாம் மேல் குறிக்கு கவனம் செலுத்துகிறோம், மற்றொன்று - கீழ் ஒன்றுக்கு.

வரையறை 2

α மற்றும் β ஆகிய எந்த கோணங்களையும் நாம் எடுக்கலாம், மேலும் கொசைன் மற்றும் சைனுக்கான கூட்டல் சூத்திரங்கள் அவர்களுக்கு வேலை செய்யும். இந்த கோணங்களின் தொடுகோணங்கள் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்களின் மதிப்புகளை நாம் சரியாக தீர்மானிக்க முடிந்தால், தொடு மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான கூட்டல் சூத்திரங்களும் அவற்றிற்கு செல்லுபடியாகும்.

இயற்கணிதத்தில் உள்ள பெரும்பாலான கருத்துகளைப் போலவே, கூட்டல் சூத்திரங்களும் நிரூபிக்கப்படலாம். நாம் நிரூபிக்கும் முதல் ஃபார்முலா வேறுபாடு கொசைன் சூத்திரம். மீதமுள்ள ஆதாரங்களை அதிலிருந்து எளிதாகக் கண்டறிய முடியும்.

அடிப்படை கருத்துக்களை தெளிவுபடுத்துவோம். எங்களுக்கு ஒரு அலகு வட்டம் தேவைப்படும். நாம் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி A ஐ எடுத்து மையத்தைச் சுற்றி α மற்றும் β கோணங்களைச் சுழற்றினால் (புள்ளி O) அது செயல்படும். பின்னர் O A 1 → மற்றும் O A → 2 ஆகிய திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் (α - β) + 2 π · z அல்லது 2 π - (α - β) + 2 π · z (z என்பது ஏதேனும் முழு எண்) க்கு சமமாக இருக்கும். இதன் விளைவாக வரும் திசையன்கள் α - β அல்லது 2 π - (α - β) க்கு சமமான ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகின்றன அல்லது முழுப் புரட்சிகளின் முழு எண்ணால் இந்த மதிப்புகளிலிருந்து வேறுபடலாம். படத்தைப் பாருங்கள்:

நாங்கள் குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி பின்வரும் முடிவுகளைப் பெற்றோம்:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

முடிவு: O A 1 → மற்றும் O A 2 → திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் α - β கோணத்தின் கோசைனுக்கு சமம், எனவே, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

சைன் மற்றும் கொசைன் வரையறைகளை நினைவு கூர்வோம்: சைன் என்பது கோணத்தின் செயல்பாடாகும், எதிர் கோணத்தின் காலின் ஹைப்போடென்யூஸுக்கு சமமான விகிதத்திற்கு சமம், கொசைன் என்பது நிரப்பு கோணத்தின் சைன் ஆகும். எனவே, புள்ளிகள் A 1மற்றும் A 2ஆயத்தொலைவுகள் (cos α, sin α) மற்றும் (cos β, sin β).

பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

O A 1 → = (cos α, sin α) மற்றும் O A 2 → = (cos β, sin β)

இது தெளிவாக இல்லை என்றால், திசையன்களின் தொடக்கத்திலும் முடிவிலும் அமைந்துள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைப் பாருங்கள்.

திசையன்களின் நீளம் 1 க்கு சமம், ஏனெனில் எங்களிடம் ஒரு அலகு வட்டம் உள்ளது.

O A 1 → மற்றும் O A 2 → ஆகிய திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியை இப்போது பகுப்பாய்வு செய்வோம். ஒருங்கிணைப்புகளில் இது போல் தெரிகிறது:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

இதிலிருந்து நாம் சமத்துவத்தைப் பெறலாம்:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

இவ்வாறு, வேறுபாடு கொசைன் சூத்திரம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இப்போது நாம் பின்வரும் சூத்திரத்தை நிரூபிப்போம் - தொகையின் கொசைன். முந்தைய கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்துவதால் இது எளிதானது. α + β = α - (- β) பிரதிநிதித்துவத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். எங்களிடம் உள்ளது:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

இது கொசைன் தொகை சூத்திரத்தின் சான்று. கடைசி வரி எதிர் கோணங்களின் சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

ஒரு தொகையின் சைன் ஃபார்முலாவை வேறுபாட்டின் கோசைன் சூத்திரத்திலிருந்து பெறலாம். இதற்கான குறைப்பு சூத்திரத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்:

வடிவத்தின் பாவம் (α + β) = cos (π 2 (α + β)). அதனால்
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = காஸ் (π 2 - α) காஸ் β + பாவம் (π 2 - α) பாவம் β = = sin α cos β + cos α sin β

சைன் ஃபார்முலா வேறுபாட்டிற்கான ஆதாரம் இங்கே:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
கடைசிக் கணக்கீட்டில் எதிர் கோணங்களின் சைன் மற்றும் கொசைன் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதைக் கவனியுங்கள்.

அடுத்து, தொடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட்டுக்கான கூட்டல் சூத்திரங்களின் சான்றுகள் தேவை. அடிப்படை வரையறைகளை நினைவில் கொள்வோம் (தொடுகோடு என்பது கோசைனுக்கு சைனின் விகிதமாகும், மேலும் கோட்டான்ஜென்ட் நேர்மாறாகவும் இருக்கும்) மேலும் ஏற்கனவே பெறப்பட்ட சூத்திரங்களை முன்கூட்டியே எடுத்துக்கொள்வோம். சாதித்து விட்டோம்:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

எங்களிடம் ஒரு சிக்கலான பகுதி உள்ளது. அடுத்து, அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை cos α · cos β ஆல் வகுக்க வேண்டும், cos α ≠ 0 மற்றும் cos β ≠ 0 என்று கொடுக்கப்பட்டால், நாம் பெறுவது:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

இப்போது நாம் பின்னங்களைக் குறைத்து பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
எங்களுக்கு t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β கிடைத்தது. இது தொடுகோடு கூட்டல் சூத்திரத்தின் சான்று.

நாம் நிரூபிக்கும் அடுத்த சூத்திரம் வேறுபாடு சூத்திரத்தின் தொடுகோடு ஆகும். கணக்கீடுகளில் எல்லாம் தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

கோடேன்ஜென்ட்டுக்கான சூத்திரங்கள் இதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
மேலும்:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c - t g

அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள் - சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் - கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையே நிறைய தொடர்புகள் இருப்பதால், இது முக்கோணவியல் சூத்திரங்களின் மிகுதியை விளக்குகிறது. சில சூத்திரங்கள் ஒரே கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை இணைக்கின்றன, மற்றவை - பல கோணத்தின் செயல்பாடுகள், மற்றவை - பட்டத்தை குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கின்றன, நான்காவது - அரை கோணத்தின் தொடுகோடு மூலம் அனைத்து செயல்பாடுகளையும் வெளிப்படுத்துகின்றன.

இந்த கட்டுரையில், பெரும்பாலான முக்கோணவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்க போதுமான அனைத்து அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களையும் பட்டியலிடுவோம். மனப்பாடம் செய்வதற்கும் பயன்படுத்துவதற்கும் எளிதாக, நாங்கள் அவற்றை நோக்கத்தின் அடிப்படையில் தொகுத்து அட்டவணையில் உள்ளிடுவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்

அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள்ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவை வரையறுக்கவும். அவை சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறையிலிருந்தும், அதே போல் அலகு வட்டத்தின் கருத்தாக்கத்திலிருந்தும் பின்பற்றப்படுகின்றன. ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை மற்றவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த அவை உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள், அவற்றின் வழித்தோன்றல் மற்றும் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றிய விரிவான விளக்கத்திற்கு, கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.

குறைப்பு சூத்திரங்கள்

குறைப்பு சூத்திரங்கள்சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் பண்புகளைப் பின்பற்றவும், அதாவது, அவை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் கால இடைவெளியின் பண்பு, சமச்சீர் பண்பு மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தில் மாற்றத்தின் பண்பு ஆகியவற்றை பிரதிபலிக்கின்றன. இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் தன்னிச்சையான கோணங்களில் வேலை செய்வதிலிருந்து பூஜ்ஜியத்திலிருந்து 90 டிகிரி வரையிலான கோணங்களில் வேலை செய்ய உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

இந்த சூத்திரங்களுக்கான பகுத்தறிவு, அவற்றை மனப்பாடம் செய்வதற்கான நினைவூட்டல் விதி மற்றும் அவற்றின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளை கட்டுரையில் படிக்கலாம்.

கூட்டல் சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியல் கூட்டல் சூத்திரங்கள்இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அந்த கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் அடிப்படையில் எவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன. இந்த சூத்திரங்கள் பின்வரும் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பெறுவதற்கான அடிப்படையாக செயல்படுகின்றன.

இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றுக்கான சூத்திரங்கள். கோணம்

இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றுக்கான சூத்திரங்கள். கோணம் (அவை பல கோண சூத்திரங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன) இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் எப்படி என்பதைக் காட்டுகின்றன. கோணங்கள் () ஒற்றை கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றின் வழித்தோன்றல் கூட்டல் சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இரட்டை, மூன்று போன்றவற்றிற்கான கட்டுரை சூத்திரங்களில் மேலும் விரிவான தகவல்கள் சேகரிக்கப்பட்டுள்ளன. கோணம்

அரை கோண சூத்திரங்கள்

அரை கோண சூத்திரங்கள்அரைக் கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் முழுக் கோணத்தின் கோசைனின் அடிப்படையில் எவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைக் காட்டுகின்றன. இந்த முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள் இரட்டை கோண சூத்திரங்களிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன.

அவர்களின் முடிவு மற்றும் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகள் கட்டுரையில் காணலாம்.

பட்டம் குறைப்பு சூத்திரங்கள்

டிகிரிகளைக் குறைப்பதற்கான முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்முக்கோணவியல் சார்புகளின் இயற்கையான சக்திகளிலிருந்து சைன்கள் மற்றும் கொசைன்கள் முதல் பட்டத்தில், ஆனால் பல கோணங்களில் மாறுவதற்கு வசதியாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் சக்திகளை முதலில் குறைக்க அவை உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்

முக்கிய நோக்கம் முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரங்கள்முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கும் போது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புக்கு செல்ல வேண்டும். இந்த சூத்திரங்கள் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவை சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டைக் கணக்கிட அனுமதிக்கின்றன.

சைன்கள், கொசைன்கள் மற்றும் சைன் பை கொசைன் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கான சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கத்திலிருந்து ஒரு தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு மாறுவது சைன்கள், கொசைன்கள் மற்றும் சைன் பை கோசைன் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று

முக்கோணவியலின் அடிப்படை சூத்திரங்களின் மதிப்பாய்வை அரை கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் அடிப்படையில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்களுடன் நிறைவு செய்கிறோம். இந்த மாற்று என்று அழைக்கப்பட்டது உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று. அனைத்து முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளும் வேர்கள் இல்லாமல் பகுத்தறிவுடன் அரை கோணத்தின் தொடுகோணத்தின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதில் அதன் வசதி உள்ளது.

நூல் பட்டியல்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 9 ஆம் வகுப்புக்கு. சராசரி பள்ளி/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. சுவோரோவா; எட். S. A. Telyakovsky - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill - ISBN 5-09-002727-7
• பாஷ்மகோவ் எம். ஐ.இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பாடநூல். 10-11 தரங்களுக்கு. சராசரி பள்ளி - 3வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 1993. - 351 பக்.: நோய். - ISBN 5-09-004617-4.
• இயற்கணிதம்மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: Proc. 10-11 தரங்களுக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / A. N. Kolmogorov, A. M. அப்ரமோவ், யு. பி. டட்னிட்சின் மற்றும் பலர்; எட். A. N. Kolmogorov - 14th ed.: Education, 384 pp.: ill - ISBN 5-09-013651-3
• குசெவ் வி. ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு): Proc. கொடுப்பனவு.- எம்.; உயர்ந்தது பள்ளி, 1984.-351 ப., நோய்.

புத்திசாலி மாணவர்களின் பதிப்புரிமை

அனைத்து உரிமைகளும் பாதுகாக்கப்பட்டவை.
பதிப்புரிமைச் சட்டத்தால் பாதுகாக்கப்படுகிறது. உள் பொருட்கள் மற்றும் தோற்றம் உட்பட தளத்தின் எந்தப் பகுதியும், பதிப்புரிமைதாரரின் முன் எழுத்துப்பூர்வ அனுமதியின்றி, எந்த வடிவத்திலும் மீண்டும் உருவாக்கப்படக்கூடாது அல்லது பயன்படுத்தப்படக்கூடாது.