3 முதல் மாறுபட்ட அளவுகள். விரிவடைதல். டிகிரி கொண்ட செயல்பாடுகள்

அனைத்து புதிய வீடியோ பாடங்களையும் உடனுக்குடன் தெரிந்துகொள்ள எங்கள் இணையதளத்தின் youtube சேனலுக்குச் செல்லவும்.

முதலில், அதிகாரங்களின் அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளை நினைவில் கொள்வோம்.

எண்ணின் தயாரிப்பு அ n முறை தானாகவே நிகழ்கிறது, இந்த வெளிப்பாட்டை a … a=a n என்று எழுதலாம்

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

சக்தி அல்லது அதிவேக சமன்பாடுகள்- இவை சமன்பாடுகள், இதில் மாறிகள் சக்திகளில் (அல்லது அடுக்குகள்) உள்ளன, மேலும் அடிப்படை ஒரு எண்ணாகும்.

அதிவேக சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், எண் 6 அடிப்படை; அது எப்போதும் கீழே உள்ளது, மற்றும் மாறி எக்ஸ்பட்டம் அல்லது காட்டி.

அதிவேக சமன்பாடுகளுக்கு இன்னும் பல உதாரணங்களை தருவோம்.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

இப்போது அதிவேக சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்?

ஒரு எளிய சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்:

2 x = 2 3

இந்த உதாரணத்தை உங்கள் தலையில் கூட தீர்க்க முடியும். x=3 என்பதைக் காணலாம். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இடது மற்றும் வலது பக்கங்கள் சமமாக இருக்க, நீங்கள் x க்கு பதிலாக எண் 3 ஐ வைக்க வேண்டும்.
இந்த முடிவை எவ்வாறு முறைப்படுத்துவது என்பதை இப்போது பார்க்கலாம்:

2 x = 2 3
x = 3

அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நாங்கள் அகற்றினோம் ஒரே மாதிரியான மைதானங்கள்(அதாவது, இரண்டு) மற்றும் எஞ்சியதை எழுதினார், இவை பட்டங்கள். நாங்கள் தேடிய விடை கிடைத்தது.

இப்போது எங்கள் முடிவை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

அதிவேக சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்:
1. சரிபார்க்க வேண்டும் அதேசமன்பாட்டிற்கு வலது மற்றும் இடது அடிப்படைகள் உள்ளதா. காரணங்கள் ஒரே மாதிரியாக இல்லாவிட்டால், இந்த உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதற்கான விருப்பங்களை நாங்கள் தேடுகிறோம்.
2. அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியான பிறகு, சமன்டிகிரி மற்றும் விளைவாக புதிய சமன்பாடு தீர்க்க.

இப்போது சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்குவோம்.

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் உள்ள தளங்கள் எண் 2 க்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது நாம் அடித்தளத்தை நிராகரித்து அவற்றின் டிகிரிகளை சமன் செய்யலாம்.

x+2=4 எளிமையான சமன்பாடு பெறப்படுகிறது.
x=4 - 2
x=2
பதில்: x=2

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், அடிப்படைகள் வேறுபட்டவை என்பதை நீங்கள் காணலாம்: 3 மற்றும் 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

முதலில், ஒன்பதை வலது பக்கமாக நகர்த்தவும், நாம் பெறுகிறோம்:

இப்போது நீங்கள் அதே தளங்களை உருவாக்க வேண்டும். 9=3 2 என்று நமக்குத் தெரியும். சக்தி சூத்திரம் (a n) m = a nm ஐப் பயன்படுத்துவோம்.

3 3x = (3 2) x+8

நமக்கு 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 கிடைக்கும்

3 3x = 3 2x+16 இப்போது இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியாகவும் மூன்றிற்கு சமமாகவும் இருப்பது தெளிவாகிறது, அதாவது நாம் அவற்றை நிராகரித்து டிகிரிகளை சமன் செய்யலாம்.

3x=2x+16 எளிமையான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
3x - 2x=16
x=16
பதில்: x=16.

பின்வரும் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

முதலில், அடிப்படைகள், இரண்டு மற்றும் நான்கு அடிப்படைகளைப் பார்க்கிறோம். மேலும் அவை ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். (a n) m = a nm என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நான்கை மாற்றுகிறோம்.

4 x = (2 2) x = 2 2x

மேலும் நாங்கள் ஒரு சூத்திரத்தை a n a m = a n + m ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

சமன்பாட்டில் சேர்க்கவும்:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

அதே காரணங்களுக்காக நாங்கள் ஒரு உதாரணம் கொடுத்தோம். ஆனால் மற்ற எண்கள் 10 மற்றும் 24 நம்மை தொந்தரவு செய்கின்றன, அவற்றை என்ன செய்வது? நீங்கள் உற்று நோக்கினால், இடது பக்கத்தில் 2 2x திரும்பத் திரும்ப இருப்பதைக் காணலாம், இங்கே பதில் உள்ளது - அடைப்புக்குறிக்குள் 2 2x ஐ வைக்கலாம்:

2 2x (2 4 - 10) = 24

அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

முழு சமன்பாட்டையும் 6 ஆல் வகுக்கிறோம்:

4=2 2 என்று கற்பனை செய்வோம்:

2 2x = 2 2 அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, அவற்றை நிராகரித்து டிகிரிகளை சமன் செய்கிறோம்.
2x = 2 எளிய சமன்பாடு. அதை 2 ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும்
x = 1
பதில்: x = 1.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

9 x – 12*3 x +27= 0

மாற்றுவோம்:
9 x = (3 2) x = 3 2x

நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

எங்கள் அடிப்படைகள் ஒரே மாதிரியானவை, மூன்றுக்கு சமம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், முதல் மூன்றும் இரண்டாவது (வெறும் x) விட இரண்டு மடங்கு (2x) பட்டம் பெற்றிருப்பதைக் காணலாம். இந்த வழக்கில், நீங்கள் தீர்க்க முடியும் மாற்று முறை. எண்ணை சிறிய பட்டத்துடன் மாற்றுகிறோம்:

பிறகு 3 2x = (3 x) 2 = t 2

சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து x சக்திகளையும் t உடன் மாற்றுகிறோம்:

t 2 - 12t+27 = 0
நாம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். பாகுபாடு மூலம் தீர்ப்பது, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

மாறிக்கு திரும்புகிறது எக்ஸ்.

டி 1 ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:
t 1 = 9 = 3 x

அது,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ஒரு வேர் கிடைத்தது. t 2 இலிருந்து இரண்டாவது ஒன்றைத் தேடுகிறோம்:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
பதில்: x 1 = 2; x 2 = 1.

இணையதளத்தில், உதவி முடிவு பிரிவில் ஆர்வமுள்ள கேள்விகளைக் கேட்கலாம், நாங்கள் உங்களுக்கு நிச்சயமாக பதிலளிப்போம்.

குழுவில் சேரவும்

எண் மற்றும் பட்டத்தை உள்ளிட்டு, = அழுத்தவும்.

டிகிரி அட்டவணை

பட்டத்தின் பண்புகள் - 2 பாகங்கள்

இயற்கணிதத்தில் உள்ள முக்கிய பட்டங்களின் அட்டவணை ஒரு சிறிய வடிவத்தில் (படம், அச்சிடுவதற்கு வசதியானது), எண்ணின் மேல், பட்டத்தின் பக்கத்தில்.

7-11 வகுப்புகளுக்கான அல்ஜீப்ரா பற்றிய குறிப்புப் பொருள்.

அன்பான பெற்றோர்கள்!உங்கள் குழந்தைக்கு கணித ஆசிரியரை நீங்கள் தேடுகிறீர்கள் என்றால், இந்த விளம்பரம் உங்களுக்கானது. நான் ஸ்கைப் பயிற்சியை வழங்குகிறேன்: ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு, ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு, அறிவு இடைவெளிகளை மூடுதல். உங்கள் நன்மைகள் வெளிப்படையானவை:

1) உங்கள் பிள்ளை வீட்டில் இருக்கிறார், நீங்கள் அவரைப் பற்றி அமைதியாக இருக்கலாம்;

2) குழந்தைக்கு வசதியான நேரத்தில் வகுப்புகள் நடத்தப்படுகின்றன, மேலும் நீங்கள் இந்த வகுப்புகளில் கூட கலந்து கொள்ளலாம். வழக்கமான பள்ளிக் குழுவில் எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் விளக்குகிறேன்.

3) ஸ்கைப் பாடங்களின் மற்ற முக்கிய நன்மைகளைப் பற்றி நீங்களே சிந்திக்கலாம்!

• வேலை nகாரணிகள், ஒவ்வொன்றும் சமம் ஏஅழைக்கப்பட்டது n- எண்ணின் சக்தி ஏமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது ஏn.
• பல சமமான காரணிகளின் விளைபொருளைக் கண்டறியும் செயல் அதிவேகத்தன்மை எனப்படும். ஒரு சக்தியாக உயர்த்தப்படும் எண் சக்தியின் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அடித்தளம் எந்த சக்திக்கு உயர்த்தப்படுகிறது என்பதைக் காட்டும் எண் அடுக்கு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதனால், ஏn- பட்டம், ஏ- பட்டத்தின் அடிப்படை, n- அடுக்கு.
• மற்றும் 0 =1
• a 1 = a
• நான்∙ ஒரு= நான் + n
• நான்: ஒரு= நான் — n
• (நான்) n= ஒரு மி
• (a∙b) n =a n ∙b n
• (அ/ பி) n= ஒரு/ b nஒரு பின்னத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் போது, ​​பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகு இரண்டும் அந்த சக்திக்கு உயர்த்தப்படும்.

• (- n) வது சக்தி (n - இயற்கை) எண் ஏ, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, தலைகீழ் எண் கருதப்படுகிறது n- எண்ணின் சக்தி ஏ, அதாவது . அ — n=1/ ஒரு. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
• (அ/ பி) — n=(பி/ அ) n
• இயற்கையான அடுக்குடன் கூடிய பட்டத்தின் பண்புகள் எந்த அடுக்குடன் கூடிய டிகிரிகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்.

மிகப் பெரிய மற்றும் மிகச் சிறிய எண்கள் பொதுவாக நிலையான வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றன: அ∙10 n, எங்கே 1≤a<10 மற்றும் n(இயற்கை அல்லது முழு எண்) - நிலையான வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட எண்ணின் வரிசை.

• பெருக்கல் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி எண்கள், மாறிகள் மற்றும் அவற்றின் சக்திகளால் உருவாக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகள் மோனோமியல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
• இந்த வகை மோனோமியல், முதலில் எண் காரணி (குணக்கம்) வரும்போது, ​​மாறிகள் அவற்றின் சக்திகளுடன் வரும்போது, ​​நிலையான வகை மோனோமியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு மோனோமியலில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அனைத்து மாறிகளின் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை மோனோமியலின் அளவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
• ஒரே எழுத்தின் பகுதியைக் கொண்ட மோனோமியல்கள் ஒத்த மோனோமியல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

• மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகை பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும். பல்லுறுப்புக்கோவையை உருவாக்கும் மோனோமியல்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் சொற்கள் எனப்படும்.
• இருசொற்கள் என்பது இரண்டு சொற்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும் (monomials).
• டிரினோமியல் என்பது மூன்று சொற்களைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும் (மோனோமியல்கள்).
• ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு அதன் தொகுதி மோனோமியல்களின் டிகிரிகளில் மிக உயர்ந்ததாகும்.
• நிலையான வடிவத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒத்த சொற்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் அதன் விதிமுறைகளின் அளவுகளின் இறங்கு வரிசையில் எழுதப்பட்டுள்ளது.

• ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் ஒரு மோனோமியலைப் பெருக்க, இந்த மோனோமியலின் மூலம் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொல்லையும் பெருக்கி அதன் விளைவாக வரும் பொருட்களைச் சேர்க்க வேண்டும்.
• ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடுவது பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்குதல் எனப்படும்.
• பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுத்துக்கொள்வது பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவதற்கான எளிய வழியாகும்.
• ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் பெருக்க, நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு சொல்லால் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளை மோனோமியல்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுத வேண்டும். தேவைப்பட்டால், இதே போன்ற சொற்களைச் சேர்க்கவும்.

• (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் சதுரம்முதல் வெளிப்பாட்டின் வர்க்கம் மற்றும் முதல் வெளிப்பாட்டின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கல் மற்றும் இரண்டாவது கூட்டல் இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் வர்க்கம்.
• (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் வித்தியாசத்தின் சதுரம்முதல் வெளிப்பாட்டின் வர்க்கத்திற்குச் சமமானது, முதல் வெளிப்பாட்டின் பலனைக் கழித்தல் மற்றும் இரண்டாவது கூட்டல் இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் வர்க்கம்.
• a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களின் வேறுபாடுவெளிப்பாடுகளுக்கும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.
• (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் கனசதுரம்முதல் வெளிப்பாட்டின் கனசதுரத்திற்கு சமம் மற்றும் முதல் வெளிப்பாட்டின் வர்க்கத்தின் மூன்று மடங்கு பெருக்கல் மற்றும் இரண்டாவது கூட்டல் முதல் வெளிப்பாட்டின் பெருக்கத்தின் மூன்று மடங்கு மற்றும் இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் சதுரம் மற்றும் இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் சதுரம்.
• (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் வேறுபாடு கனசதுரம்முதல் வெளிப்பாட்டின் கனசதுரத்தின் கனசதுரத்திற்குச் சமமானது, முதல் வெளிப்பாட்டின் சதுரத்தின் பெருக்கத்தின் மூன்று மடங்குகளைக் கழித்தல் மற்றும் இரண்டாவது கூட்டல் முதல் வெளிப்பாட்டின் பெருக்கத்தின் மூன்று மடங்கு மற்றும் இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் கனசதுரத்தைக் கழித்தல்.
• a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் கனசதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைவெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றின் வேறுபாட்டின் முழுமையற்ற சதுரத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.
• a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் கனசதுரங்களின் வேறுபாடுவெளிப்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகையின் பகுதி சதுரத்திற்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.
• (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc மூன்று வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் சதுரம்இந்த வெளிப்பாடுகளின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வெளிப்பாடுகளின் அனைத்து இரட்டை ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளுக்கும் சமம்.
• குறிப்பு. இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் சரியான சதுரம்: a 2 + 2ab + b 2

இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் பகுதி சதுரம்: a 2 + ab + b 2

படிவத்தின் செயல்பாடு y=x2சதுர செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் என்பது அதன் உச்சியை தோற்றத்தில் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும். பரவளைய கிளைகள் y=x²மேல்நோக்கி இயக்கப்பட்டது.

படிவத்தின் செயல்பாடு y=x 3கன செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு கனச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் என்பது தோற்றம் வழியாக செல்லும் ஒரு கன பரவளையமாகும். ஒரு கன பரவளையத்தின் கிளைகள் y=x³ 1 மற்றும் 3 வது காலாண்டுகளில் அமைந்துள்ளது.

செயல்பாடு கூட.

செயல்பாடு fமாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்பும் ஒன்றாக இருந்தாலும் கூட அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ் -எக்ஸ் f(- எக்ஸ்)= f(எக்ஸ்). சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம், ஆர்டினேட் அச்சில் (ஓய்) சமச்சீராக இருக்கும். y=x 2 சார்பு சமமானது.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடு.

செயல்பாடு fமாறியின் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் சேர்த்து ஒற்றைப்படை என அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்செயல்பாட்டு மதிப்பின் டொமைனில் இருந்து ( -எக்ஸ்) இந்த செயல்பாட்டின் நோக்கத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் சமத்துவம் திருப்தி அளிக்கிறது: f(- எக்ஸ்)=- f(எக்ஸ்) . ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது. y=x 3 சார்பு ஒற்றைப்படை.

இருபடி சமன்பாடு.

வரையறை. படிவத்தின் சமன்பாடு கோடாரி 2 +bx+c=0, எங்கே a, bமற்றும் c- ஏதேனும் உண்மையான எண்கள், மற்றும் a≠0, x- மாறி, இருபடி சமன்பாடு எனப்படும்.

அ- முதல் குணகம், பி- இரண்டாவது குணகம், c- இலவச உறுப்பினர்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

• கோடாரி 2 =0 – முழுமையற்றது இருபடி சமன்பாடு (b=0, c=0 ) தீர்வு: x=0. பதில்: 0.
• கோடாரி 2 +bx=0 –முழுமையற்றது இருபடி சமன்பாடு (c=0 ) தீர்வு: x (ax+b)=0 → x 1 =0 அல்லது ax+b=0 → x 2 =-b/a. பதில்: 0; -b/a.
• கோடாரி 2 +c=0 –முழுமையற்றது இருபடி சமன்பாடு (b=0 ); தீர்வு: கோடாரி 2 =-c → x 2 =-c/a.

என்றால் (-c/a)<0 , பின்னர் உண்மையான வேர்கள் இல்லை. என்றால் (-с/а)>0

• கோடாரி 2 +bx+c=0- இருபடி சமன்பாடுபொதுவான பார்வை

பாகுபாடு காட்டுபவர் D=b 2 - 4ac.

என்றால் D>0, எங்களுக்கு இரண்டு உண்மையான வேர்கள் உள்ளன:

என்றால் D=0, எங்களிடம் ஒரு ஒற்றை வேர் உள்ளது (அல்லது இரண்டு சம வேர்கள்) x=-b/(2a).

டி என்றால்<0, то действительных корней нет.

• கோடாரி 2 +bx+c=0 – இருபடி சமன்பாடு வினாடிக்கு கூட தனிப்பட்ட வடிவம்

குணகம் பி

• கோடாரி 2 +bx+c=0 – இருபடி சமன்பாடு தனிப்பட்ட வகை வழங்கப்படுகிறது : a-b+c=0.

முதல் ரூட் எப்பொழுதும் கழித்தல் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும், இரண்டாவது ரூட் எப்பொழுதும் மைனஸுக்கு சமமாக இருக்கும் உடன், வகுக்க ஏ:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

• கோடாரி 2 +bx+c=0 – இருபடி சமன்பாடு தனிப்பட்ட வகை வழங்கப்படுகிறது: a+b+c=0 .

முதல் வேர் எப்போதும் ஒன்றுக்கு சமம், இரண்டாவது வேர் சமம் உடன், வகுக்க ஏ:

x 1 =1, x 2 =c/a.

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

• x 2 +px+q=0 – குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு (முதல் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம்).

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +px+q=0எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), எங்கே x 1, x 2- இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் கோடாரி 2 +bx+c=0.

இயற்கை வாதத்தின் செயல்பாடு எண் வரிசை என்றும், வரிசையை உருவாக்கும் எண்கள் வரிசையின் சொற்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

எண் வரிசையை பின்வரும் வழிகளில் குறிப்பிடலாம்: வாய்மொழி, பகுப்பாய்வு, மீண்டும் மீண்டும், வரைகலை.

ஒரு எண் வரிசை, அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, கொடுக்கப்பட்ட வரிசைக்கு அதே எண்ணில் சேர்க்கப்பட்ட முந்தையதற்குச் சமம் ஈ, ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண் ஈஎண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் (ஒரு), அதாவது விதிமுறைகளுடன் கூடிய எண்கணித முன்னேற்றத்தில்: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... வரையறையின்படி: a 2 =a 1 + ஈ; a 3 =a 2 + ஈ; a 4 =a 3 + ஈ; a 5 =a 4 + ஈ; ...; a n =a n-1 + ஈ; …

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்.

a n =a 1 +(n-1) d.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பண்புகள்.

• ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு சொல்லும், இரண்டாவது தொடங்கி, அதன் அண்டை சொற்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்:

a n =(a n-1 +a n+1):2;

• ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு காலமும், இரண்டாவதிலிருந்து தொடங்கி, அதிலிருந்து சமமான இடைவெளியில் உள்ள சொற்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்:

a n =(a n-k +a n+k):2.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரங்கள்.

1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2

வடிவியல் முன்னேற்றம்.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வரையறை.

ஒரு எண் வரிசை, அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய ஒன்றிற்கு சமம், கொடுக்கப்பட்ட வரிசைக்கு அதே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது. கே, வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண் கேவடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் (b n), அதாவது வடிவியல் முன்னேற்றத்தில் b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... வரையறையின்படி: b 2 = b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; ... ; b n =b n -1 ∙q.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் nவது காலத்திற்கான சூத்திரம்.

b n =b 1 ∙q n -1.

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் பண்புகள்.

முதல் தொகைக்கான சூத்திரம்n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் விதிமுறைகள்.

முடிவில்லாத குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகை.

ஒரு எல்லையற்ற கால தசமமானது ஒரு பொதுவான பின்னத்திற்கு சமம், தசம புள்ளிக்குப் பிறகு முழு எண்ணுக்கும் பின்னத்தின் காலத்திற்கு முந்தைய தசமப் புள்ளிக்குப் பின் உள்ள எண்ணுக்கும் உள்ள வித்தியாசம், மற்றும் வகுப்பில் "ஒன்பதுகள்" மற்றும் "பூஜ்ஜியங்கள்" உள்ளன, மேலும் பல " ஒன்பதுகள்” காலத்தில் இலக்கங்கள் உள்ளன, மேலும் பல “பூஜ்ஜியங்கள்” பின்னம் காலத்திற்கு முன் தசம புள்ளிக்குப் பின் உள்ள இலக்கங்கள். உதாரணமாக:

செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட்.

(α+β=90°)

எங்களிடம் உள்ளது: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. β=90°-α என்பதால், பிறகு

பாவம்(90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;

tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.

90° வரை ஒருவருக்கொருவர் பூர்த்தி செய்யும் கோணங்களின் கூட்டுச் செயல்பாடுகள் சமம்.

கூட்டல் சூத்திரங்கள்.

9) பாவம் (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;

10) பாவம் (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;

11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;

12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;

இரட்டை மற்றும் மூன்று வாதங்களுக்கான சூத்திரங்கள்.

17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;

19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α

21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;

ஒரு தொகையை (வேறுபாடு) தயாரிப்பாக மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்கள்.

ஒரு பொருளைத் தொகையாக மாற்றுவதற்கான சூத்திரங்கள் (வேறுபாடு).

அரை வாத சூத்திரங்கள்.

எந்த கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன்.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் சமநிலை (விநோதம்).

முக்கோணவியல் சார்புகளில் ஒன்று மட்டுமே சமமானது: y=cosx, மற்ற மூன்று ஒற்றைப்படை, அதாவது cos (-α)=cosα;

பாவம் (-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.

ஆய காலாண்டுகளால் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அறிகுறிகள்.

சில கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள்.

ரேடியன்கள்.

1) 1 ரேடியன் என்பது கொடுக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு வளைவின் அடிப்படையில் மையக் கோணத்தின் மதிப்பாகும். 1 ரேட்.≈57°.

2) ஒரு கோணத்தின் டிகிரி அளவை ரேடியன் அளவாக மாற்றுகிறது.

3) ரேடியன் கோண அளவை டிகிரி அளவாக மாற்றுகிறது.

குறைப்பு சூத்திரங்கள்.

நினைவாற்றல் விதி:

1. குறைக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு முன், குறைக்கக்கூடிய அடையாளத்தை வைக்கவும்.

2. வாதம் π/2 (90°) ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் எழுதப்பட்டால், செயல்பாடு இணைச் செயல்பாட்டிற்கு மாற்றப்படும்.

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.

ஒரு எண்ணின் ஆர்க்சின் (arcsin a) என்பது இடைவெளியில் இருந்து ஒரு கோணம் [-π/2; π/2 ], அதன் சைன் சமம் a.

ஆர்க்சின்(- அ)=- ஆர்க்சின்அ.

ஒரு எண்ணின் ஆர்க்கோசின் (arccos a) என்பது கோசைன் a க்கு சமமாக இருக்கும் இடைவெளியில் இருந்து ஒரு கோணமாகும்.

arccos(-a)=π - ஆர்க்கோசா.

ஒரு எண்ணின் ஆர்க்டஜென்ட் (arctg a) என்பது இடைவெளியில் இருந்து ஒரு கோணம் (-π/2; π/2), இதன் தொடுகோடு a க்கு சமம்.

arctg(- அ)=- arctgஅ.

ஒரு எண்ணின் ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் (arcctg a) என்பது இடைவெளியில் இருந்து ஒரு கோணம் (0; π), இதன் கோட்டான்ஜென்ட் a க்கு சமம்.

arcctg(-a)=π – arcctg ஏ.

எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

பொது சூத்திரங்கள்.

1) sin t=a, 0

2) பாவம் t = - a, 0

3) cos t=a, 0

4) விலை t =-a, 0

5) tg t =a, a>0, பின்னர் t=arctg a + πn, nϵZ;

6) tg t =-a, a>0, பின்னர் t= - arctg a + πn, nϵZ;

7) ctg t=a, a>0, பின்னர் t=arcctg a + πn, nϵZ;

8) ctg t= -a, a>0, பின்னர் t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

குறிப்பிட்ட சூத்திரங்கள்.

1) sin t =0, பின்னர் t=πn, nϵZ;

2) sin t=1, பின்னர் t= π/2 +2πn, nϵZ;

3) sin t= -1, பின்னர் t= — π/2 +2πn, nϵZ;

4) cos t=0, பின்னர் t= π/2+ πn, nϵZ;

5) cos t=1, பின்னர் t=2πn, nϵZ;

6) cos t=1, பின்னர் t=π +2πn, nϵZ;

7) tg t =0, பின்னர் t = πn, nϵZ;

8) cot t=0, பின்னர் t = π/2+πn, nϵZ.

எளிய முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பது.

1) பாவம்

2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn

3) செலவு

4) செலவு>a (|a|<1), -arccosa+2πn

5) tgt

6) tgt>a, arctga+πn

7) ctgt

8) ctgt>a, πn

நேராக விமானத்தில்.