Formler för krafter och rötter. Examen och dess egenskaper. Bestämning av examen

Att upprätthålla din integritet är viktigt för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs igenom vår sekretesspraxis och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Nedan finns några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information samlar vi in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig med unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och kommunikationer.
• Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att genomföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande kampanj kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande av information till tredje part

Vi lämnar inte ut informationen från dig till tredje part.

Undantag:

• Om nödvändigt - i enlighet med lagen, rättsliga förfaranden, i rättsliga förfaranden och/eller på grundval av offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - att avslöja din personliga information. Vi kan också komma att avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhets-, brottsbekämpande eller andra offentliga ändamål.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra den personliga information vi samlar in till tillämplig efterträdande tredje part.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Respektera din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker kommunicerar vi sekretess- och säkerhetsstandarder till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

När talet multiplicerar sig själv till mig själv, arbete kallad grad.

Så 2,2 = 4, kvadrat eller andra potens av 2
2.2.2 = 8, kub eller tredje potens.
2.2.2.2 = 16, fjärde graden.

Dessutom, 10,10 = 100, andra potensen av 10.
10.10.10 = 1000, tredje graden.
10.10.10.10 = 10 000 fjärde potens.

Och a.a = aa, andra potens av a
a.a.a = aaa, tredje potens av a
a.a.a.a = aaaa, fjärde potens av a

Det ursprungliga numret kallas rot potenser av detta nummer eftersom det är numret från vilket krafterna skapades.

Det är dock inte helt bekvämt, särskilt när det gäller höga befogenheter, att skriva ner alla faktorer som utgör befogenheterna. Därför används en stenografisk notationsmetod. Roten till graden skrivs bara en gång, och till höger och lite högre nära den, men i ett lite mindre teckensnitt skrivs det hur många gånger roten fungerar som en faktor. Denna siffra eller bokstav kallas exponent eller grad tal. Så, a 2 är lika med a.a eller aa, eftersom roten a måste multipliceras med sig själv två gånger för att få potensen aa. Dessutom betyder en 3 aaa, det vill säga här upprepas a tre gånger som en multiplikator.

Exponenten för första graden är 1, men den skrivs vanligtvis inte ner. Så en 1 skrivs som en.

Du ska inte blanda ihop examina med koefficienter. Koefficienten visar hur ofta värdet tas som Del hela. Effekten visar hur ofta en kvantitet tas som faktor i arbetet.
Så, 4a = a + a + a + a. Men en 4 = a.a.a.a

Powernotationsschemat har den speciella fördelen att det tillåter oss att uttrycka okänd grad. För detta ändamål skrivs exponenten istället för ett tal brev. I processen att lösa ett problem kan vi få fram en kvantitet som vi vet är några grad av en annan storleksordning. Men än så länge vet vi inte om det är en kvadrat, en kub eller annan högre grad. Så i uttrycket a x betyder exponenten att detta uttryck har några grad, även om den är odefinierad vilken grad. Så b m och d n höjs till potenserna m och n. När exponenten hittas, siffra ersätts istället för en bokstav. Så, om m=3, då är b m = b3; men om m = 5, då är b m = b 5.

Metoden att skriva värden med hjälp av krafter är också en stor fördel vid användning uttryck. Således är (a + b + d) 3 (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), det vill säga trinomialets kub (a + b + d) . Men om vi skriver detta uttryck efter att ha höjt det till en kub kommer det att se ut
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Om vi ​​tar en serie potenser vars exponenter ökar eller minskar med 1, finner vi att produkten ökar med gemensam multiplikator eller minskar med gemensam divisor, och denna faktor eller divisor är det ursprungliga talet som höjs till en potens.

Så, i serien aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
eller a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
indikatorerna, om de räknas från höger till vänster, är 1, 2, 3, 4, 5; och skillnaden mellan deras värden är 1. Om vi ​​börjar till höger multiplicera av a kommer vi att få flera värden.

Så a.a = en 2 , andra term. Och en 3 .a = en 4:a
a 2 .a = a 3 , tredje term. a 4 .a = a 5 .

Om vi ​​börjar vänster dela upp till en,
vi får en 5:a = a 4 och en 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Men denna delningsprocess kan fortsättas och vi får en ny värdegrund.

Så, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Hela raden skulle vara: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Eller en 5, en 4, en 3, en 2, en, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Här är värdena till höger från en som finns omvänd värden till vänster om en. Därför kan dessa grader kallas omvända potenser a. Vi kan också säga att makterna till vänster är inverserna av makterna till höger.

Så, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Och 1:(1/a 3) = en 3.

Samma inspelningsplan kan tillämpas på polynom. Så för a + b får vi uppsättningen,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3 .

För enkelhetens skull används en annan form av ömsesidiga skrivkrafter.

Enligt denna form är 1/a eller 1/a 1 = a -1. Och 1/aaa eller 1/a 3 = a -3 .
1/aa eller 1/a2 = a -2. 1/aaaa eller 1/a 4 = a -4 .

Och för att göra en komplett serie med 1 som total skillnad med exponenter, betraktas a/a eller 1 som något som inte har examen och skrivs som 0 .

Sedan, med hänsyn till de direkta och omvända krafterna
istället för aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
du kan skriva en 4, en 3, en 2, en 1, en 0, en -1, en -2, en -3, en -4.
Eller a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

Och en serie med endast individuella grader kommer att se ut så här:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Roten till en grad kan uttryckas med mer än en bokstav.

Således är aa.aa eller (aa) 2 andra potensen av aa.
Och aa.aa.aa eller (aa) 3 är den tredje potensen av aa.

Alla potenser av siffran 1 är desamma: 1.1 eller 1.1.1. blir lika med 1.

Exponentiering är att hitta värdet av ett tal genom att multiplicera det talet med sig självt. Regel för exponentiering:

Multiplicera kvantiteten med sig själv så många gånger som anges i talets potens.

Denna regel är gemensam för alla exempel som kan uppstå under exponentieringsprocessen. Men det är rätt att ge en förklaring till hur det gäller i vissa fall.

Om bara en term höjs till en potens, så multipliceras den med sig själv så många gånger som exponenten visar.

Den fjärde potensen av a är en 4:a eller aaaa. (Art. 195.)
Den sjätte potensen av y är y 6 eller yyyyyy.
N:te potensen av x är x n eller xxx..... n gånger upprepas.

Om det är nödvändigt att höja ett uttryck av flera termer till en makt, principen att effekten av produkten av flera faktorer är lika med produkten av dessa faktorer upphöjda till en potens.

Så (ay) 2 = a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Men ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Så, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Därför, när vi hittar kraften i en produkt, kan vi antingen arbeta med hela produkten på en gång, eller så kan vi arbeta med varje faktor separat och sedan multiplicera deras värden med potenserna.

Exempel 1. Den fjärde potensen av dhy är (dhy) 4, eller d 4 h 4 y 4.

Exempel 2. Den tredje potensen är 4b, det finns (4b) 3, eller 4 3 b 3, eller 64b 3.

Exempel 3. N:te potensen av 6ad är (6ad) n eller 6 n a n d n.

Exempel 4. Den tredje potensen av 3m.2y är (3m.2y) 3, eller 27m 3 .8y 3.

Graden av ett binomial, som består av termer förbundna med + och -, beräknas genom att multiplicera dess termer. Ja,

(a + b) 1 = a + b, första graden.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, andra potens (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tredje potens.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, fjärde potens.

Kvadraten av a - b är a 2 - 2ab + b 2.

Kvadraten av a + b + h är a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Övning 1. Hitta kuben a + 2d + 3

Övning 2. Hitta fjärde potensen av b + 2.

Övning 3. Hitta femte potensen av x + 1.

Övning 4. Hitta den sjätte potensen 1 - b.

Summa kvadrater belopp Och skillnader binomial förekommer så ofta i algebra att det är nödvändigt att känna till dem mycket väl.

Om vi ​​multiplicerar a + h med sig själv eller a - h med sig själv,
vi får: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 också, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Detta visar att de första och sista termerna i varje fall är kvadraterna av a och h, och mellantermen är två gånger produkten av a och h. Härifrån kan kvadraten på summan och skillnaden av binomial hittas med hjälp av följande regel.

Kvadraten på ett binomial, vars båda termer är positiva, är lika med kvadraten på den första termen + två gånger produkten av båda termerna + kvadraten på den sista termen.

Fyrkant skillnader binomial är lika med kvadraten på den första termen minus två gånger produkten av båda termerna plus kvadraten på den andra termen.

Exempel 1. Ruta 2a + b, det finns 4a 2 + 4ab + b 2.

Exempel 2. Kvadrat ab + cd, det finns en 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Exempel 3. Ruta 3d - h, det finns 9d 2 + 6dh + h 2.

Exempel 4. Kvadraten a - 1 är en 2 - 2a + 1.

För en metod för att hitta högre potenser av binomialer, se följande avsnitt.

I många fall är det effektivt att skriva ner grader utan multiplikation.

Så kvadraten av a + b är (a + b) 2.
N:te potensen av bc + 8 + x är (bc + 8 + x) n

I sådana fall täcker parentesen Allt medlemmar under examen.

Men om gradens rot består av flera multiplikatorer, kan parentesen täcka hela uttrycket, eller kan appliceras separat på faktorerna beroende på bekvämlighet.

Således är kvadraten (a + b)(c + d) antingen [(a + b).(c + d)] 2 eller (a + b) 2 .(c + d) 2.

För det första av dessa uttryck är resultatet kvadraten av produkten av två faktorer, och för det andra är resultatet produkten av deras kvadrater. Men de är lika med varandra.

Kub a.(b + d), är 3, eller a 3.(b + d) 3.

Skylten framför de inblandade medlemmarna ska också beaktas. Det är mycket viktigt att komma ihåg att när roten till en examen är positiv, är alla dess positiva krafter också positiva. Men när roten är negativ, värdena med udda potenser är negativa, medan värdena även grader är positiva.

Den andra graden (- a) är +a 2
Den tredje graden (-a) är -a 3
Den fjärde potensen (-a) är +a 4
Den femte potensen (-a) är -a 5

Därav någon udda graden har samma tecken som siffran. Men även graden är positiv oavsett om talet har ett negativt eller positivt tecken.
Så, +a.+a = +a 2
Och -a.-a = +a 2

En kvantitet som redan har höjts till en potens höjs till en potens igen genom att multiplicera exponenterna.

Tredje potensen av en 2 är en 2,3 = en 6.

För a 2 = aa; kub aa är aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; vilket är den sjätte potensen av a, men den tredje potensen av en 2.

Den fjärde potensen av a 3 b 2 är a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Den tredje potensen av 4a 2 x är 64a 6 x 3.

Femte potensen av (a + b) 2 är (a + b) 10.

N:te potensen av en 3:a är en 3n

N:te potensen av (x - y) m är (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Regeln gäller lika för negativ grader.

Exempel 1. Den tredje potensen av en -2 är en -3,3 =a -6.

För a -2 = 1/aa, och tredje potensen av detta
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Den fjärde potensen av a 2 b -3 är a 8 b -12 eller en 8 /b 12.

Fyrkanten är b 3 x -1, det finns b 6 x -2.

N:te potensen av ax -m är x -mn eller 1/x.

Vi måste dock komma ihåg här att om tecknet tidigare grad är "-", då måste den ändras till "+" närhelst graden är ett jämnt tal.

Exempel 1. Kvadraten -a 3 är +a 6. Kvadraten på -a 3 är -a 3 .-a 3, vilket enligt reglerna för tecken i multiplikation är +a 6.

2. Men kuben -a 3 är -a 9. För -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N:te potensen -a 3 är en 3n.

Här kan resultatet bli positivt eller negativt beroende på om n är jämnt eller udda.

Om fraktion höjs till en potens, sedan höjs täljaren och nämnaren till en potens.

Kvadraten på a/b är a 2 /b 2 . Enligt regeln för att multiplicera bråk,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Andra, tredje och n:te potenserna av 1/a är 1/a 2, 1/a 3 och 1/a n.

Exempel binomialer, där en av termerna är en bråkdel.

1. Hitta kvadraten på x + 1/2 och x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2,x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadraten på a + 2/3 är a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Kvadraten på x - b/m är x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Det visades tidigare fraktionskoefficient kan flyttas från täljaren till nämnaren eller från nämnaren till täljaren. Att använda schemat för att skriva ömsesidiga befogenheter är det tydligt någon multiplikator kan också flyttas, om gradens tecken ändras.

Så i bråket ax -2 /y kan vi flytta x från täljaren till nämnaren.
Då ax -2/y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

I bråket a/by 3 kan vi flytta y från nämnaren till täljaren.
Sedan a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3/b.

På samma sätt kan vi flytta en faktor som har en positiv exponent till täljaren eller en faktor med negativ exponent till nämnaren.

Så, ax 3 /b = a/bx -3. För x 3 är inversen x -3 , vilket är x 3 = 1/x -3 .

Därför kan nämnaren för vilket bråk som helst tas bort helt, eller så kan täljaren reduceras till ett utan att betydelsen av uttrycket ändras.

Så, a/b = 1/ba -1 eller ab -1 .

På 500-talet f.Kr. formulerade den antika grekiske filosofen Zeno av Elea sina berömda aporier, varav den mest kända är "Akilles och sköldpaddan". Så här låter det:

Låt oss säga att Akilles springer tio gånger snabbare än sköldpaddan och är tusen steg bakom den. Under den tid det tar Achilles att springa denna sträcka kommer sköldpaddan att krypa hundra steg åt samma håll. När Akilles springer hundra steg, kryper sköldpaddan ytterligare tio steg, och så vidare. Processen kommer att fortsätta i det oändliga, Achilles kommer aldrig ikapp sköldpaddan.

Detta resonemang blev en logisk chock för alla efterföljande generationer. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... De betraktade alla Zenons aporia på ett eller annat sätt. Chocken var så stark att " ... diskussionerna fortsätter till denna dag, det vetenskapliga samfundet har ännu inte kunnat komma fram till en gemensam åsikt om paradoxernas väsen ... matematisk analys, mängdteori, nya fysiska och filosofiska tillvägagångssätt var involverade i studien av frågan ; ingen av dem blev en allmänt accepterad lösning på problemet..."[Wikipedia, "Zenos Aporia". Alla förstår att de blir lurade, men ingen förstår vad bedrägeriet består av.

Ur en matematisk synvinkel visade Zeno i sin aporia tydligt övergången från kvantitet till . Denna övergång innebär tillämpning istället för permanenta. Så vitt jag förstår har den matematiska apparaten för att använda variabla måttenheter antingen inte utvecklats ännu, eller så har den inte tillämpats på Zenos aporia. Att tillämpa vår vanliga logik leder oss in i en fälla. Vi, på grund av tänkandets tröghet, tillämpar konstanta tidsenheter på det ömsesidiga värdet. Ur fysisk synvinkel ser det ut som att tiden saktar ner tills den stannar helt i det ögonblick då Akilles kommer ikapp sköldpaddan. Om tiden stannar kan Achilles inte längre springa ur sköldpaddan.

Om vi ​​vänder på vår vanliga logik faller allt på plats. Akilles springer i konstant hastighet. Varje efterföljande segment av hans väg är tio gånger kortare än den föregående. Följaktligen är tiden för att övervinna det tio gånger mindre än den föregående. Om vi ​​tillämpar begreppet "oändlighet" i denna situation, skulle det vara korrekt att säga "Akilles kommer ikapp sköldpaddan oändligt snabbt."

Hur undviker man denna logiska fälla? Förbli i konstanta tidsenheter och byt inte till ömsesidiga enheter. På Zenos språk ser det ut så här:

Under den tid det tar Akilles att springa tusen steg kommer sköldpaddan att krypa hundra steg åt samma håll. Under nästa tidsintervall lika med det första kommer Akilles att springa ytterligare tusen steg, och sköldpaddan kommer att krypa hundra steg. Nu är Akilles åttahundra steg före sköldpaddan.

Detta tillvägagångssätt beskriver verkligheten adekvat utan några logiska paradoxer. Men detta är inte en fullständig lösning på problemet. Einsteins uttalande om ljushastighetens oemotståndlighet är mycket lik Zenons aporia "Akilles och sköldpaddan". Vi måste fortfarande studera, tänka om och lösa detta problem. Och lösningen måste sökas inte i oändligt stora antal, utan i måttenheter.

En annan intressant aporia av Zeno berättar om en flygande pil:

En flygande pil är orörlig, eftersom den vid varje tidpunkt är i vila, och eftersom den är i vila vid varje tidpunkt, är den alltid i vila.

I denna aporia övervinns den logiska paradoxen väldigt enkelt - det räcker för att klargöra att en flygande pil vid varje ögonblick vilar på olika punkter i rymden, vilket i själva verket är rörelse. En annan punkt måste noteras här. Från ett fotografi av en bil på vägen är det omöjligt att avgöra vare sig faktumet om dess rörelse eller avståndet till den. För att avgöra om en bil rör sig behöver du två fotografier tagna från samma punkt vid olika tidpunkter, men du kan inte bestämma avståndet från dem. För att bestämma avståndet till en bil behöver du två fotografier tagna från olika punkter i rymden vid en tidpunkt, men från dem kan du inte bestämma rörelsen (naturligtvis behöver du fortfarande ytterligare data för beräkningar, trigonometri hjälper dig ). Det jag särskilt vill uppmärksamma är att två punkter i tid och två punkter i rummet är olika saker som inte ska blandas ihop, eftersom de ger olika möjligheter till forskning.

Onsdagen den 4 juli 2018

Skillnaderna mellan set och multiset beskrivs mycket bra på Wikipedia. Låt oss se.

Som du kan se, "det kan inte finnas två identiska element i en uppsättning", men om det finns identiska element i en uppsättning kallas en sådan uppsättning en "multiset". Förnuftiga varelser kommer aldrig att förstå en sådan absurd logik. Detta är nivån av pratande papegojor och tränade apor, som inte har någon intelligens från ordet "helt". Matematiker fungerar som vanliga tränare och predikar för oss sina absurda idéer.

En gång i tiden var ingenjörerna som byggde bron i en båt under bron medan de testade bron. Om bron kollapsade, dog den mediokra ingenjören under spillrorna av sin skapelse. Om bron kunde stå emot belastningen byggde den begåvade ingenjören andra broar.

Oavsett hur matematiker gömmer sig bakom frasen "tänk på att jag är i huset", eller snarare, "matematiken studerar abstrakta begrepp", så finns det en navelsträng som oupplösligt förbinder dem med verkligheten. Den här navelsträngen är pengar. Låt oss tillämpa matematisk mängdlära på matematikerna själva.

Vi pluggade matematik väldigt bra och nu sitter vi i kassan och delar ut löner. Så en matematiker kommer till oss för sina pengar. Vi räknar ut hela beloppet till honom och lägger ut det på vårt bord i olika högar, i vilka vi lägger sedlar av samma valör. Sedan tar vi en sedel från varje hög och ger matematikern hans "matematiska löneuppsättning". Låt oss förklara för matematikern att han kommer att få de återstående sedlarna först när han bevisar att en mängd utan identiska element inte är lika med en mängd med identiska element. Det är här det roliga börjar.

Först och främst kommer deputeradenas logik att fungera: "Detta kan tillämpas på andra, men inte på mig!" Då kommer de att börja försäkra oss om att sedlar av samma valör har olika sedelnummer, vilket innebär att de inte kan betraktas som samma element. Okej, låt oss räkna löner i mynt – det finns inga siffror på mynten. Här kommer matematikern att frenetiskt börja minnas fysiken: olika mynt har olika mängd smuts, kristallstrukturen och arrangemanget av atomer är unikt för varje mynt...

Och nu har jag den mest intressanta frågan: var är linjen bortom vilken elementen i en multiset förvandlas till element i en uppsättning och vice versa? En sådan linje finns inte - allt bestäms av shamaner, vetenskapen är inte ens i närheten av att ljuga här.

Titta här. Vi väljer fotbollsarenor med samma planyta. Områdena i fälten är desamma - vilket betyder att vi har en multiset. Men om vi tittar på namnen på samma arenor får vi många, eftersom namnen är olika. Som du kan se är samma uppsättning element både en uppsättning och en multiuppsättning. Vilket är korrekt? Och här drar matematiker-shaman-skarpisten fram ett trumfess ur ärmen och börjar berätta antingen om en set eller en multiset. Han kommer i alla fall att övertyga oss om att han har rätt.

För att förstå hur moderna shamaner arbetar med mängdteori, knyter den till verkligheten, räcker det med att svara på en fråga: hur skiljer sig elementen i en uppsättning från elementen i en annan uppsättning? Jag ska visa dig, utan någon "tänkbar som inte en enda helhet" eller "inte tänkbar som en enda helhet."

Söndagen den 18 mars 2018

Summan av siffrorna i ett tal är en dans av shamaner med en tamburin, som inte har något med matematik att göra. Ja, i matematiklektioner lär vi oss att hitta summan av siffrorna i ett tal och använda den, men det är därför de är shamaner, för att lära sina ättlingar deras färdigheter och visdom, annars kommer shamaner helt enkelt att dö ut.

Behöver du bevis? Öppna Wikipedia och försök hitta sidan "Summan av siffror för ett tal." Hon finns inte. Det finns ingen formel i matematik som kan användas för att hitta summan av siffrorna i ett tal. När allt kommer omkring är siffror grafiska symboler som vi skriver siffror med, och på matematikens språk låter uppgiften så här: "Hitta summan av grafiska symboler som representerar vilket tal som helst." Matematiker kan inte lösa detta problem, men shamaner kan göra det lätt.

Låt oss ta reda på vad och hur vi gör för att hitta summan av siffrorna i ett givet tal. Och så, låt oss ha numret 12345. Vad behöver göras för att hitta summan av siffrorna i detta nummer? Låt oss överväga alla steg i ordning.

1. Skriv ner numret på ett papper. Vad har vi gjort? Vi har omvandlat talet till en grafisk siffersymbol. Detta är inte en matematisk operation.

2. Vi skär ut en bild i flera bilder som innehåller individuella nummer. Att klippa en bild är inte en matematisk operation.

3. Konvertera individuella grafiska symboler till siffror. Detta är inte en matematisk operation.

4. Lägg till de resulterande siffrorna. Nu är det här matematik.

Summan av siffrorna för numret 12345 är 15. Dessa är de "klipp- och sykurser" som lärs ut av shamaner som matematiker använder. Men det är inte allt.

Ur matematisk synvinkel spelar det ingen roll i vilket talsystem vi skriver ett tal. Så i olika talsystem kommer summan av siffrorna i samma tal att vara olika. I matematiken anges siffersystemet som en sänkning till höger om numret. Med det stora numret 12345 vill jag inte lura mitt huvud, låt oss överväga siffran 26 från artikeln om. Låt oss skriva detta tal i binära, oktala, decimala och hexadecimala talsystem. Vi kommer inte att titta på varje steg under ett mikroskop, vi har redan gjort det. Låt oss titta på resultatet.

Som du kan se är summan av siffrorna i samma nummer olika i olika talsystem. Detta resultat har ingenting med matematik att göra. Det är samma sak som om du bestämmer arean av en rektangel i meter och centimeter, du skulle få helt andra resultat.

Noll ser likadant ut i alla talsystem och har ingen summa av siffror. Detta är ytterligare ett argument för det faktum. Fråga till matematiker: hur betecknas något som inte är ett tal i matematik? Vadå, för matematiker finns ingenting utom siffror? Jag kan tillåta detta för shamaner, men inte för vetenskapsmän. Verkligheten handlar inte bara om siffror.

Det erhållna resultatet bör betraktas som ett bevis på att talsystem är måttenheter för tal. Vi kan trots allt inte jämföra siffror med olika måttenheter. Om samma åtgärder med olika måttenheter av samma kvantitet leder till olika resultat efter att ha jämfört dem, så har detta inget med matematik att göra.

Vad är riktig matematik? Detta är när resultatet av en matematisk operation inte beror på storleken på antalet, vilken måttenhet som används och på vem som utför denna åtgärd.

Skylt på dörren Han öppnar dörren och säger:

åh! Är inte det här damtoaletten?
- Ung kvinna! Detta är ett laboratorium för studiet av själars indefiliska helighet under deras uppstigning till himlen! Halo på toppen och pil upp. Vilken annan toalett?

Hona... Gloria på toppen och pilen ner är hane.

Om ett sådant designkonstverk blinkar framför dina ögon flera gånger om dagen,

Då är det inte förvånande att du plötsligt hittar en konstig ikon i din bil:

Själv anstränger jag mig för att se minus fyra grader hos en bajsande person (en bild) (en sammansättning av flera bilder: ett minustecken, siffran fyra, en beteckning på grader). Och jag tror inte att den här tjejen är en idiot som inte kan fysik. Hon har bara en stark stereotyp av att uppfatta grafiska bilder. Och matematiker lär oss detta hela tiden. Här är ett exempel.

1A är inte "minus fyra grader" eller "ett a". Det här är "bajsande man" eller siffran "tjugosex" i hexadecimal notation. De människor som ständigt arbetar i detta nummersystem uppfattar automatiskt en siffra och en bokstav som en grafisk symbol.

kan hittas med multiplikation. Till exempel: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ett sådant uttryck sägs vara att summan av lika termer viks till en produkt. Och vice versa, om vi läser denna likhet från höger till vänster, finner vi att vi har utökat summan av lika termer. På samma sätt kan du kollapsa produkten av flera lika faktorer 5x5x5x5x5x5=5 6.

Det vill säga, istället för att multiplicera sex identiska faktorer 5x5x5x5x5x5, skriver de 5 6 och säger "fem till sjätte potensen."

Uttrycket 5 6 är en potens av ett tal, där:

5 - gradbas;

6 - exponent.

Handlingar genom vilka produkten av lika faktorer reduceras till en potens kallas höja sig till en makt.

I allmänhet skrivs en grad med basen "a" och exponenten "n" enligt följande

Att höja talet a till potensen n innebär att hitta produkten av n faktorer, som var och en är lika med en

Om basen för graden "a" är lika med 1, kommer värdet på graden för ett naturligt tal n att vara lika med 1. Till exempel, 1 5 =1, 1 256 =1

Om du höjer siffran "a" till första graden, då får vi själva talet a: a 1 = a

Om du höjer något nummer till noll grad, då som ett resultat av beräkningar får vi en. a 0 = 1

Den andra och tredje potensen av ett tal anses vara speciella. De kom på namn för dem: den andra graden kallas kvadrat talet, tredje - kub detta nummer.

Vilket tal som helst kan höjas till en potens - positiv, negativ eller noll. I det här fallet gäller inte följande regler:

När man hittar styrkan av ett positivt tal blir resultatet ett positivt tal.

När vi beräknar noll till den naturliga kraften får vi noll.

x m · x n = x m + n

till exempel: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Till dela potenser med samma baser Vi ändrar inte basen utan subtraherar exponenterna:

x m / x n = x m - n , Var, m > n,

till exempel: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Vid beräkning höja en makt till en makt Vi ändrar inte basen, utan multiplicerar exponenterna med varandra.

(vid m ) n = å m n

till exempel: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · å m ,

till exempel:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Vid utförande av beräkningar enl höja en bråkdel till en makt vi höjer täljaren och nämnaren för bråket till en given potens

(x/y)n = x n / y n

till exempel: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Beräkningssekvensen när man arbetar med uttryck som innehåller en grad.

När de utför beräkningar av uttryck utan parentes, men som innehåller potenser, utför de först och främst exponentiering, sedan multiplikation och division, och först sedan addition och subtraktion.

Om du behöver beräkna ett uttryck som innehåller parenteser, gör först beräkningarna inom parentes i den ordning som anges ovan, och sedan de återstående åtgärderna i samma ordning från vänster till höger.

Mycket allmänt i praktiska beräkningar används färdiga tabeller över potenser för att förenkla beräkningar.

Vi kom på vad en potens av ett tal faktiskt är. Nu måste vi förstå hur man beräknar det korrekt, d.v.s. höja siffrorna till makter. I detta material kommer vi att analysera de grundläggande reglerna för beräkning av grader i fallet med heltal, naturliga, bråkdelar, rationella och irrationella exponenter. Alla definitioner kommer att illustreras med exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Begreppet exponentiering

Låt oss börja med att formulera grundläggande definitioner.

Definition 1

Exponentiering- detta är beräkningen av värdet av styrkan för ett visst tal.

Det vill säga orden "beräkna värdet av en makt" och "höja till en makt" betyder samma sak. Så om problemet säger "Höj talet 0, 5 till femte potensen", bör detta förstås som "beräkna värdet på potensen (0, 5) 5.

Nu presenterar vi de grundläggande reglerna som måste följas när man gör sådana beräkningar.

Låt oss komma ihåg vad en potens av ett tal med en naturlig exponent är. För en potens med basen a och exponenten n blir detta produkten av det n:te antalet faktorer, som var och en är lika med a. Detta kan skrivas så här:

För att beräkna värdet på en grad måste du utföra en multiplikationsåtgärd, det vill säga multiplicera baserna för graden det angivna antalet gånger. Själva konceptet med en grad med en naturlig exponent bygger på förmågan att snabbt multiplicera. Låt oss ge exempel.

Exempel 1

Skick: höj - 2 till makten 4.

Lösning

Med hjälp av definitionen ovan skriver vi: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Därefter behöver vi bara följa dessa steg och få 16.

Låt oss ta ett mer komplicerat exempel.

Exempel 2

Beräkna värdet 3 2 7 2

Lösning

Det här inlägget kan skrivas om till 3 2 7 · 3 2 7 . Tidigare har vi tittat på hur man korrekt multiplicerar de blandade talen som nämns i villkoret.

Låt oss utföra dessa steg och få svaret: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Om problemet indikerar behovet av att höja irrationella tal till en naturlig potens, måste vi först avrunda deras baser till den siffra som gör att vi kan få ett svar med den nödvändiga noggrannheten. Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 3

Utför kvadraten på π.

Lösning

Låt oss först avrunda det till hundradelar. Sedan π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Om π ≈ 3. 14159, då får vi ett mer exakt resultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Observera att behovet av att beräkna potenser av irrationella tal uppstår relativt sällan i praktiken. Vi kan sedan skriva svaret som potensen (ln 6) 3 själv, eller konvertera om möjligt: ​​5 7 = 125 5 .

Separat bör det anges vad den första potensen av ett tal är. Här kan du helt enkelt komma ihåg att alla tal som höjs till den första potensen kommer att förbli sig själv:

Detta framgår av inspelningen .

Det beror inte på examen.

Exempel 4

Så, (− 9) 1 = − 9, och 7 3 upphöjda till första potens kommer att förbli lika med 7 3.

För enkelhetens skull kommer vi att undersöka tre fall separat: om exponenten är ett positivt heltal, om det är noll och om det är ett negativt heltal.

I det första fallet är detta detsamma som att höja till en naturlig kraft: trots allt hör positiva heltal till mängden naturliga tal. Vi har redan pratat ovan om hur man arbetar med sådana examina.

Låt oss nu se hur man korrekt höjer till nolleffekten. För en annan bas än noll ger denna beräkning alltid 1. Vi har tidigare förklarat att 0:e potensen av a kan definieras för vilket reellt tal som helst som inte är lika med 0, och a 0 = 1.

Exempel 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - ej definierad.

Vi har bara fallet med en grad med en heltals negativ exponent. Vi har redan diskuterat att sådana grader kan skrivas som en bråkdel 1 a z, där a är vilket tal som helst och z är ett negativt heltal. Vi ser att nämnaren för detta bråk inte är något annat än en vanlig potens med en positiv heltalsexponent, och vi har redan lärt oss hur man beräknar den. Låt oss ge exempel på uppgifter.

Exempel 6

Höj 3 till makten - 2.

Lösning

Med hjälp av definitionen ovan skriver vi: 2 - 3 = 1 2 3

Låt oss räkna ut nämnaren för denna bråkdel och få 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Då är svaret: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exempel 7

Höj 1,43 till -2-effekten.

Lösning

Låt oss omformulera: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Vi beräknar kvadraten i nämnaren: 1,43·1,43. Decimaler kan multipliceras på detta sätt:

Som ett resultat fick vi (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Allt vi behöver göra är att skriva detta resultat i form av ett vanligt bråk, för vilket vi måste multiplicera det med 10 tusen (se materialet om att konvertera bråk).

Svar: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ett specialfall är att höja en siffra till minus första potens. Värdet på denna grad är lika med det reciproka av det ursprungliga värdet av basen: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Exempel 8

Exempel: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hur man höjer ett tal till en bråkpotens

För att utföra en sådan operation måste vi komma ihåg den grundläggande definitionen av en grad med en bråkdelsexponent: a m n = a m n för varje positivt a, heltal m och naturligt n.

Definition 2

Således måste beräkningen av en bråkpotens utföras i två steg: höjning till en heltalspotens och hitta roten till den n:te potensen.

Vi har likheten a m n = a m n , som med hänsyn till rötternas egenskaper vanligtvis används för att lösa problem i formen a m n = a n m . Det betyder att om vi höjer ett tal a till en bråkpotens m / n, så tar vi först den n:te roten av a, sedan höjer vi resultatet till en potens med en heltalsexponent m.

Låt oss illustrera med ett exempel.

Exempel 9

Beräkna 8 - 2 3 .

Lösning

Metod 1: Enligt den grundläggande definitionen kan vi representera detta som: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Låt oss nu beräkna graden under roten och extrahera den tredje roten från resultatet: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metod 2. Förvandla den grundläggande jämlikheten: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Efter detta extraherar vi roten 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 och kvadrerar resultatet: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vi ser att lösningarna är identiska. Du kan använda den hur du vill.

Det finns fall då graden har en indikator uttryckt som ett blandat tal eller ett decimaltal. För att förenkla beräkningar är det bättre att ersätta det med en vanlig bråkdel och beräkna enligt ovan.

Exempel 10

Höj 44, 89 till styrkan 2, 5.

Lösning

Låt oss omvandla värdet på indikatorn till en vanlig bråkdel - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Nu utför vi i ordning alla åtgärder som anges ovan: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 03001 = 51007 1 = 0 501, 25107

Svar: 13 501, 25107.

Om täljaren och nämnaren för en bråkdelsexponent innehåller stora tal, är det ett ganska svårt jobb att beräkna sådana exponenter med rationella exponenter. Det kräver vanligtvis datorteknik.

Låt oss separat uppehålla oss vid potenser med en nollbas och en bråkdelsexponent. Ett uttryck av formen 0 m n kan ges följande betydelse: om m n > 0, då 0 m n = 0 m n = 0; om m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hur man höjer ett nummer till en irrationell makt

Behovet av att beräkna värdet av en potens vars exponent är ett irrationellt tal uppstår inte så ofta. I praktiken är uppgiften vanligtvis begränsad till att beräkna ett ungefärligt värde (upp till ett visst antal decimaler). Detta beräknas vanligtvis på en dator på grund av komplexiteten i sådana beräkningar, så vi kommer inte att uppehålla oss i detalj, vi kommer bara att ange huvudbestämmelserna.

Om vi ​​behöver beräkna värdet av en potens a med en irrationell exponent a, så tar vi exponentens decimalapproximation och räknar från den. Resultatet blir ett ungefärligt svar. Ju mer exakt decimal approximationen är, desto mer exakt är svaret. Låt oss visa med ett exempel:

Exempel 11

Beräkna det ungefärliga värdet på 21, 174367....

Lösning

Låt oss begränsa oss till decimalapproximationen a n = 1, 17. Låt oss utföra beräkningar med detta nummer: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Om vi ​​till exempel tar approximationen a n = 1, 1743, så blir svaret lite mer exakt: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter