Variabilă aleatoare distribuită uniform. Distribuție continuă uniformă în EXCEL. Caracteristici de distribuție uniformă

În practică, există variabile aleatoare despre care se știe dinainte că pot lua orice valoare în limite strict definite, iar în cadrul acestor limite toate valorile variabilei aleatoare au aceeași probabilitate (au aceeași densitate de probabilitate).

De exemplu, dacă un ceas se defectează, acul minutelor oprit va arăta cu probabilitate egală (densitatea probabilității) timpul scurs de la începutul orei date până la spargerea ceasului. Acest timp este o variabilă aleatorie care ia valori cu aceeași densitate de probabilitate care nu depășesc limitele definite de durata de o oră. Eroarea de rotunjire aparține și unor astfel de variabile aleatoare. Se spune că astfel de cantități sunt distribuite uniform, adică au o distribuție uniformă.

Definiție. O variabilă aleatoare continuă X are o distribuție uniformă pe interval[a, în], dacă pe acest segment densitatea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare este constantă, adică dacă funcția de distribuție diferențială f(x) are următoarea formă:

Această distribuție este uneori numită legea densității uniforme. Despre o cantitate care are o distribuție uniformă pe un anumit segment, vom spune că este distribuită uniform pe acest segment.

Aflați valoarea constantei c. Deoarece aria mărginită de curba de distribuţie şi de axă Oh, este egal cu 1, atunci

Unde Cu=1/(b-A).

Acum funcția f(x)poate fi reprezentat ca

Să construim funcția de distribuție F(x ), pentru care găsim expresia F (x ) pe intervalul [ a, b]:

Graficele funcțiilor f (x) și F (x) arată astfel:

Să găsim caracteristici numerice.

Folosind formula de calcul a așteptărilor matematice ale NSW, avem:

Astfel, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuită uniform pe intervalul [a, b] coincide cu mijlocul acestui segment.

Găsiți varianța unei variabile aleatoare distribuite uniform:

din care rezultă imediat că abaterea standard:

Să găsim acum probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare cu o distribuție uniformă să cadă în interval(a, b), aparținând în întregime segmentului [A,b ]:

Serviciu online:

După cum am menționat mai devreme, exemple de distribuții de probabilitate variabilă aleatoare continuă X sunt:

• distribuția uniformă de probabilitate a unei variabile aleatoare continue;
• distribuția exponențială de probabilitate a unei variabile aleatoare continue;
• distributie normala probabilitățile unei variabile aleatoare continue.

Să dăm conceptul de legi de distribuție uniformă și exponențială, formule de probabilitate și caracteristici numerice ale funcțiilor considerate.

Index	Legea distribuției aleatorii	Legea exponențială a distribuției
Definiție	Uniformă se numește distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, a cărei densitate rămâne constantă pe interval și are forma	Se numește un exponențial (exponențial). distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care este descrisă de o densitate care are forma
		unde λ este o valoare pozitivă constantă
funcția de distribuție
Probabilitate lovind intervalul
Valorea estimata
Dispersia
Deviație standard

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legi uniforme și exponențiale ale distribuției”

Sarcina 1.

Autobuzele circulă strict conform programului. Interval de mișcare 7 min. Găsiți: (a) probabilitatea ca un pasager care sosește la o oprire să aștepte următorul autobuz mai puțin de două minute; b) probabilitatea ca un pasager care se oprește să aștepte următorul autobuz timp de cel puțin trei minute; c) așteptarea matematică și abaterea standard a variabilei aleatoare X - timpul de așteptare al pasagerului.

Soluţie. 1. După starea problemei, o variabilă aleatoare continuă X=(timpul de așteptare al pasagerului) distribuite uniform între sosirea a două autobuze. Lungimea intervalului de distribuție a variabilei aleatoare X este egală cu b-a=7, unde a=0, b=7.

2. Timpul de așteptare va fi mai mic de două minute dacă valoarea aleatoare X se încadrează în intervalul (5;7). Probabilitatea de a cădea într-un interval dat se găsește prin formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Timpul de așteptare va fi de cel puțin trei minute (adică de la trei la șapte minute) dacă valoarea aleatoare X se încadrează în intervalul (0; 4). Probabilitatea de a cădea într-un interval dat se găsește prin formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X continue, uniform distribuită - timpul de așteptare al pasagerului, găsim prin formula: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.

5. Abaterea standard a unei variabile aleatoare continue, uniform distribuite X - timpul de așteptare al pasagerului, găsim prin formula: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Sarcina 2.

Distribuția exponențială este dată pentru x ≥ 0 de densitatea f(x) = 5e – 5x. Obligatoriu: a) scrieți o expresie pentru funcția de distribuție; b) aflaţi probabilitatea ca, în urma testului, X să se încadreze în intervalul (1; 4); c) să se afle probabilitatea ca în urma testului X ≥ 2; d) se calculează M(X), D(X), σ(X).

Soluţie. 1. Întrucât, prin condiție, distribuție exponențială , apoi din formula pentru densitatea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X obținem λ = 5. Atunci funcția de distribuție va arăta astfel:

2. Probabilitatea ca în urma testului X să se încadreze în intervalul (1; 4) se va găsi prin formula:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Probabilitatea ca în rezultatul testului X ≥ 2 să fie găsită prin formula: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Găsim pentru distribuția exponențială:

• așteptarea matematică după formula M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
• dispersie conform formulei D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
• abaterea standard conform formulei σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Amintiți-vă definiția densității de probabilitate.

Introducem acum conceptul de distribuție uniformă de probabilitate:

Definiția 2

O distribuție se numește uniformă dacă, pe un interval care conține toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare, densitatea distribuției este constantă, adică:

Poza 1.

Găsiți valoarea constantei $\ C$ folosind următoarea proprietate a densității distribuției: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Astfel, funcția de densitate de distribuție uniformă are forma:

Figura 2.

Graficul are următoarea formă (Fig. 1):

Figura 3. Densitatea distribuției uniforme de probabilitate

Funcția uniformă de distribuție a probabilității

Să găsim acum funcția de distribuție pentru o distribuție uniformă.

Pentru a face acest lucru, vom folosi următoarea formulă: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Pentru $x ≤ a$, conform formulei, obținem:

1. Pentru $a

1. Pentru $x> 2$, conform formulei, obținem:

Astfel, funcția de distribuție are forma:

Figura 4

Graficul are următoarea formă (Fig. 2):

Figura 5. Funcția uniformă de distribuție a probabilității.

Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ sub o distribuție uniformă de probabilitate

Pentru a afla probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul $(\alpha ,\beta)$ cu o distribuție uniformă de probabilitate, vom folosi următoarea formulă:

Valorea estimata:

Deviație standard:

Exemple de rezolvare a problemei pentru o distribuție uniformă a probabilităților

Exemplul 1

Intervalul dintre troleibuze este de 9 minute.

Compilați funcția de distribuție și densitatea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ care așteaptă pasagerii troleibuzului.

Găsiți probabilitatea ca pasagerul să aștepte troleibuzul în mai puțin de trei minute.

Găsiți probabilitatea ca pasagerul să aștepte troleibuzul în cel puțin 4 minute.

Găsiți așteptările matematice, varianța și abaterea standard

1. Deoarece variabila aleatoare continuă $X$ a așteptării troleibuzului este distribuită uniform, atunci $a=0,\ b=9$.

Astfel, densitatea distribuției, conform formulei funcției de densitate a distribuției uniforme de probabilitate, are forma:

Figura 6

Conform formulei funcției de distribuție uniformă a probabilității, în cazul nostru, funcția de distribuție are forma:

Figura 7

1. Această întrebare poate fi reformulată astfel: găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare a unei distribuții uniforme să se încadreze în intervalul $\left(6,9\right).$

Primim:

\}