Seria Fourier. Extinderea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare Inegalitate Bessel egalitate parseval Exemple de soluții de complexitate crescută din seria Fourier

Seria Fourier este o reprezentare a unei funcții luate în mod arbitrar cu o anumită perioadă ca serie. În termeni generali, această soluție se numește descompunerea unui element pe bază ortogonală. Extinderea funcțiilor într-o serie Fourier este un instrument destul de puternic pentru rezolvarea diferitelor probleme datorită proprietăților acestei transformări la integrarea, diferențierea, precum și schimbarea unei expresii într-un argument și convoluție.

O persoană care nu este familiarizată cu matematica superioară, precum și cu lucrările omului de știință francez Fourier, cel mai probabil nu va înțelege ce sunt aceste „serii” și pentru ce sunt. Între timp, această transformare a devenit destul de densă în viața noastră. Este folosit nu numai de matematicieni, ci și de fizicieni, chimiști, medici, astronomi, seismologi, oceanografi și mulți alții. Să aruncăm o privire mai atentă și asupra lucrărilor marelui om de știință francez, care a făcut o descoperire înaintea timpului său.

Omul și transformata Fourier

Seria Fourier este una dintre metode (împreună cu analiză și altele) Acest proces are loc de fiecare dată când o persoană aude orice sunet. Urechea noastră transformă automat particulele elementare într-un mediu elastic, ele sunt descompuse în rânduri (de-a lungul spectrului) de valori succesive ale nivelului de volum pentru tonuri de diferite înălțimi. Apoi, creierul transformă aceste date în sunete familiare nouă. Toate acestea se întâmplă pe lângă dorința sau conștiința noastră, de la sine, dar pentru a înțelege aceste procese, va fi nevoie de câțiva ani pentru a studia matematica superioară.

Mai multe despre transformata Fourier

Transformarea Fourier poate fi efectuată prin metode analitice, numerice și alte metode. Seria Fourier se referă la modul numeric de descompunere a oricăror procese oscilatorii - de la maree oceanice și unde luminoase la cicluri de activitate solară (și alte obiecte astronomice). Folosind aceste tehnici matematice, este posibilă analizarea funcțiilor, reprezentând orice procese oscilatorii ca o serie de componente sinusoidale care merg de la minim la maxim și invers. Transformata Fourier este o funcție care descrie faza și amplitudinea sinusoidelor corespunzătoare unei anumite frecvențe. Acest proces poate fi folosit pentru a rezolva ecuații foarte complexe care descriu procese dinamice care au loc sub influența energiei termice, luminoase sau electrice. De asemenea, seriile Fourier fac posibilă izolarea componentelor constante în semnale oscilatorii complexe, ceea ce a făcut posibilă interpretarea corectă a observațiilor experimentale obținute în medicină, chimie și astronomie.

Referință istorică

Părintele fondator al acestei teorii este matematicianul francez Jean Baptiste Joseph Fourier. Această transformare a fost ulterior numită după el. Inițial, omul de știință și-a aplicat metoda pentru a studia și explica mecanismele conducției căldurii - răspândirea căldurii în solide. Fourier a sugerat că distribuția neregulată inițială poate fi descompusă în cele mai simple sinusoide, fiecare dintre acestea având propria temperatură minimă și maximă, precum și propria sa fază. În acest caz, fiecare astfel de componentă va fi măsurată de la minim la maxim și invers. Funcția matematică care descrie vârfurile superioare și inferioare ale curbei, precum și faza fiecăreia dintre armonici, se numește transformată Fourier a expresiei distribuției temperaturii. Autorul teoriei a redus funcția de distribuție generală, care este dificil de descris matematic, la o serie foarte convenabilă de cosinus și sinus, care se însumează pentru a da distribuția originală.

Principiul transformării și punctele de vedere ale contemporanilor

Contemporanii savantului - matematicienii de seamă de la începutul secolului al XIX-lea - nu au acceptat această teorie. Principala obiecție a fost afirmația lui Fourier că o funcție discontinuă care descrie o linie dreaptă sau o curbă discontinuă poate fi reprezentată ca o sumă de expresii sinusoidale care sunt continue. Ca exemplu, luați în considerare „pasul” lui Heaviside: valoarea sa este zero la stânga decalajului și unu la dreapta. Această funcție descrie dependența curentului electric de variabila de timp când circuitul este închis. Contemporanii teoriei de la acea vreme nu au întâlnit niciodată o astfel de situație, când o expresie discontinuă ar fi descrisă printr-o combinație de funcții continue, obișnuite, cum ar fi o exponențială, sinusoidă, liniară sau pătratică.

Ce i-a derutat pe matematicienii francezi în teoria lui Fourier?

La urma urmei, dacă matematicianul a avut dreptate în afirmațiile sale, atunci prin însumarea seriei infinite de Fourier trigonometrice, se poate obține o reprezentare exactă a expresiei în trepte chiar dacă are mulți pași similari. La începutul secolului al XIX-lea, o astfel de afirmație părea absurdă. Dar, în ciuda tuturor îndoielilor, mulți matematicieni au extins sfera studiului acestui fenomen, ducându-l dincolo de sfera studiilor de conductivitate termică. Cu toate acestea, majoritatea oamenilor de știință au continuat să fie chinuiți de întrebarea: „Poate converge suma seriei sinusoidale către valoarea exactă a funcției discontinue?”

Convergența seriei Fourier: un exemplu

Problema convergenței se pune ori de câte ori este necesară însumarea unor serii infinite de numere. Pentru a înțelege acest fenomen, luați în considerare un exemplu clasic. Poți ajunge vreodată la perete dacă fiecare pas succesiv este jumătate din dimensiunea celui precedent? Să presupunem că ești la doi metri de poartă, primul pas te apropie de jumătatea drumului, următorul de marcajul trei sferturi, iar după al cincilea pas vei parcurge aproape 97 la sută din drum. Cu toate acestea, indiferent de câți pași ai face, nu vei atinge scopul propus în sens strict matematic. Folosind calcule numerice, se poate demonstra că în final este posibil să se apropie de o distanță dată arbitrar de mică. Această dovadă este echivalentă cu demonstrarea că valoarea totală a unei jumătăți, a unui sfert etc. va tinde spre unu.

O chestiune de convergență: a doua venire sau aparatul lordului Kelvin

Această întrebare a fost ridicată din nou la sfârșitul secolului al XIX-lea, când s-a încercat să fie folosite seriile Fourier pentru a prezice intensitatea fluxului și refluxului. În acest moment, Lord Kelvin a inventat un dispozitiv, care este un dispozitiv de calcul analogic care a permis marinarilor din flota militară și comercială să urmărească acest fenomen natural. Acest mecanism a determinat seturile de faze și amplitudini dintr-un tabel de înălțimi ale mareelor ​​și momentele lor de timp corespunzătoare, măsurate cu atenție într-un anumit port în timpul anului. Fiecare parametru a fost o componentă sinusoidală a expresiei înălțimii mareei și a fost una dintre componentele obișnuite. Rezultatele măsurătorilor au fost introduse în calculatorul lui Lord Kelvin, care a sintetizat o curbă care a prezis înălțimea apei în funcție de timp pentru anul următor. Foarte curând au fost trasate curbe similare pentru toate porturile lumii.

Și dacă procesul este întrerupt de o funcție discontinuă?

La acea vreme, părea evident că un predictor de undă mare cu un număr mare de elemente de numărare ar putea calcula un număr mare de faze și amplitudini și astfel să ofere predicții mai precise. Cu toate acestea, s-a dovedit că această regularitate nu este observată în acele cazuri în care expresia mareelor, care ar trebui sintetizată, conținea un salt brusc, adică era discontinuă. În cazul în care datele sunt introduse în dispozitiv din tabelul momentelor de timp, atunci acesta calculează mai mulți coeficienți Fourier. Funcția inițială este restabilită datorită componentelor sinusoidale (după coeficienții aflați). Discrepanța dintre expresia originală și cea restaurată poate fi măsurată în orice punct. Când se efectuează calcule și comparații repetate, se poate observa că valoarea celei mai mari erori nu scade. Cu toate acestea, ele sunt localizate în regiunea corespunzătoare punctului de discontinuitate și tind la zero în orice alt punct. În 1899, acest rezultat a fost confirmat teoretic de Joshua Willard Gibbs de la Universitatea Yale.

Convergența seriilor Fourier și dezvoltarea matematicii în general

Analiza Fourier nu este aplicabilă expresiilor care conțin un număr infinit de rafale într-un anumit interval. În general, seria Fourier, dacă funcția inițială este rezultatul unei măsurători fizice reale, converg întotdeauna. Întrebările legate de convergența acestui proces pentru clase specifice de funcții au condus la apariția de noi secțiuni în matematică, de exemplu, teoria funcțiilor generalizate. Este asociat cu nume precum L. Schwartz, J. Mikusinsky și J. Temple. În cadrul acestei teorii, a fost creată o bază teoretică clară și precisă pentru expresii precum funcția deltei Dirac (descrie o zonă dintr-o singură zonă concentrată într-o vecinătate infinit de mică a unui punct) și Heaviside " Etapa". Datorită acestei lucrări, seria Fourier a devenit aplicabilă pentru rezolvarea ecuațiilor și a problemelor în care apar concepte intuitive: o sarcină punctiformă, o masă punctuală, dipoli magnetici și, de asemenea, o sarcină concentrată pe un fascicul.

Metoda Fourier

Seria Fourier, în conformitate cu principiile interferenței, încep cu descompunerea formelor complexe în altele mai simple. De exemplu, o modificare a fluxului de căldură se explică prin trecerea acestuia prin diferite obstacole din material termoizolant de formă neregulată sau printr-o modificare a suprafeței pământului - un cutremur, o schimbare a orbitei unui corp ceresc - prin influența planetelor. De regulă, ecuații similare care descriu sisteme clasice simple sunt rezolvate elementar pentru fiecare undă individuală. Fourier a arătat că soluțiile simple pot fi, de asemenea, însumate pentru a da soluții la probleme mai complexe. Exprimată în limbajul matematicii, seria Fourier este o tehnică de reprezentare a unei expresii ca sumă de armonici - cosinus și sinusoide. Prin urmare, această analiză este cunoscută și sub denumirea de „analiza armonică”.

Seria Fourier - tehnica ideală înainte de „era computerului”

Înainte de crearea tehnologiei informatice, tehnica Fourier era cea mai bună armă din arsenalul oamenilor de știință atunci când lucrau cu natura ondulată a lumii noastre. Seria Fourier într-o formă complexă permite rezolvarea nu numai a unor probleme simple care pot fi aplicate direct legile mecanicii lui Newton, ci și a ecuațiilor fundamentale. Majoritatea descoperirilor științei newtoniene din secolul al XIX-lea au fost posibile doar prin tehnica lui Fourier.

Seria Fourier azi

Odată cu dezvoltarea computerelor, transformatele Fourier s-au ridicat la un nivel calitativ nou. Această tehnică este ferm înrădăcinată în aproape toate domeniile științei și tehnologiei. Un exemplu este un semnal audio și video digital. Realizarea lui a devenit posibilă doar datorită teoriei dezvoltate de un matematician francez la începutul secolului al XIX-lea. Astfel, seria Fourier într-o formă complexă a făcut posibilă realizarea unei descoperiri în studiul spațiului cosmic. În plus, acest lucru a influențat studiul fizicii materialelor semiconductoare și a plasmei, acustica microundelor, oceanografie, radar și seismologie.

Seria Fourier trigonometrică

În matematică, o serie Fourier este o modalitate de a reprezenta funcții complexe arbitrare ca o sumă a celor mai simple. În cazuri generale, numărul de astfel de expresii poate fi infinit. Mai mult, cu cât numărul lor este luat în considerare în calcul, cu atât rezultatul final este mai precis. Cel mai adesea, funcțiile trigonometrice cosinus sau sinus sunt folosite ca cele mai simple. În acest caz, seriile Fourier se numesc trigonometrice, iar soluția unor astfel de expresii se numește expansiunea armonicii. Această metodă joacă un rol important în matematică. În primul rând, seria trigonometrică oferă un mijloc pentru imagine, precum și studiul funcțiilor, este principalul aparat al teoriei. În plus, permite rezolvarea unui număr de probleme de fizică matematică. În cele din urmă, această teorie a contribuit la dezvoltarea și a adus la viață o serie de secțiuni foarte importante ale științei matematice (teoria integralelor, teoria funcțiilor periodice). În plus, a servit ca punct de plecare pentru dezvoltarea următoarelor funcții ale unei variabile reale și a marcat, de asemenea, începutul analizei armonice.

transcriere

1 MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL FEDERĂȚIA RUSĂ UNIVERSITATEA DE STAT NOVOSIBIRSK FACULTATEA DE FIZICĂ R. K. Belkheeva SERIA FOURIER ÎN EXEMPLE ȘI SARCINI Tutorial Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Seria Fourier în exemple și probleme: Manual / Novosib. stat. un-t. Novosibirsk, s. ISBN Tutorialul oferă informații de bază despre seria Fourier, oferă exemple pentru fiecare subiect studiat. Un exemplu de aplicare a metodei Fourier pentru rezolvarea problemei vibrațiilor transversale ale unei coarde este analizat în detaliu. Se oferă material ilustrativ. Există sarcini pentru soluții independente. Este destinat studenților și profesorilor Facultății de Fizică a Universității de Stat din Novosibirsk. Publicat conform hotărârii Comisiei Metodologice a Facultății de Fizică a NSU. Referent Dr. fiz.-matematică. Științe. V. A. Aleksandrov ISBN c Universitatea de Stat din Novosibirsk, 211 c Belkheeva R. K., 211

3 1. Expansiunea în serie Fourier a unei funcții 2π-periodice Definiție. Seria Fourier a funcției f(x) este seria funcțională a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) unde coeficienții a n, b n sunt calculați prin formulele: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Formulele (2) (3) se numesc formule Euler Fourier . Faptul că funcția f(x) corespunde seriei Fourier (1) se scrie ca o formulă f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) și se spune că partea dreaptă a formulei ( 4) este o serie formală de funcții Fourier f(x). Cu alte cuvinte, formula (4) înseamnă doar că coeficienții a n, b n se găsesc prin formulele (2), (3). 3

4 Definiție. O funcție 2π-periodică f(x) se numește netedă pe bucăți dacă intervalul [, π] conține un număr finit de puncte = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Fig. 1. Graficul funcției f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, pentru impar n, pentru n par, f(x ) sin nxdx = deoarece funcția f(x) este pară. Scriem seria formală Fourier pentru funcția f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Aflați dacă funcția f(x) este netedă pe bucăți. Deoarece este continuă, calculăm doar limitele (6) la punctele de capăt ale intervalului x = ±π și la punctul de rupere x = : și f(π h) f(π) π h π lim = lim h + h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Limitele există și sunt finite, deci funcția este netedă pe bucăți. Prin teorema convergenței punctuale, seria sa Fourier converge către numărul f(x) în fiecare punct, adică f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) Figurile 2 și 3 arată natura aproximării sumelor parțiale ale seriei Fourier S n (x), unde S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, la funcția f(x) în intervalul [, π] . 6

7 Fig. Fig. 2. Graficul funcției f(x) cu grafice suprapuse ale sumelor parțiale S (x) = a 2 și S 1(x) = a 2 + a 1 cos x 3. Graficul funcției f (x) cu un grafic cu sumă parțială suprapus S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Inlocuind in (7) x = se obtine: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, de unde se afla suma seriei de numere: = π2 8. Cunoscand suma acestei serii, este ușor de găsit următoarea sumă Avem: S = ( ) S = ()= π S, deci S = π2 6, adică 1 n = π Suma acestei celebre serii a fost găsită pentru prima dată de Leonhard Euler. Se găsește adesea în analiza matematică și în aplicațiile sale. EXEMPLU 2. Desenați un grafic, găsiți seria Fourier a funcției date de formula f(x) = x pentru x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Fig. 4. Graficul funcției f(x) Funcția f(x) este diferențiabilă continuu pe intervalul (, π). În punctele x = ±π, are limite finite (5): f() =, f(π) = π. În plus, există limite finite (6): f(+ h) f(+) lim = 1 și h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Prin urmare, f(x) este funcție lină pe bucăți. Deoarece funcția f(x) este impară, atunci a n =. Coeficienții b n se găsesc prin integrare pe părți: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1 )n+ unu. n Să compunem seria Fourier formală a funcției 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Conform teoremei de convergență punctuală pentru o funcție periodică 2π netedă pe bucăți, seria Fourier a funcției f(x) converge către suma: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x dacă π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Fig. Fig. 6. Graficul funcției f(x) cu graficul sumei parțiale S 2 (x) suprapusă. 7. Graficul funcției f(x) cu graficul sumei parțiale S 3 (x) 11 suprapus

12 Fig. Fig. 8. Graficul funcției f(x) cu suprapusul grafic al sumei parțiale S 99 (x) Folosim seria Fourier obținută pentru a găsi sumele a două serii numerice. Punem (8) x = π/2. Atunci 2 () +... = π 2, sau = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Am găsit cu ușurință suma binecunoscutei serii Leibniz. Punând x = π/3 în (8), găsim () +... = π 2 3, sau (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 EXEMPLU 3. Desenați un grafic, găsiți seria Fourier a funcției f(x) = sin x, presupunând că are o perioadă de 2π și 1 calculați suma seriei de numere 4n 2 1. Rezolvare. Graficul funcției f(x) este prezentat în fig. 9. Evident, f(x) = sin x este o funcție pară continuă cu perioada π. Dar 2π este și perioada funcției f(x). Orez. 9. Graficul funcției f(x) Să calculăm coeficienții Fourier. Toate b n = deoarece funcția este pară. Folosind formule trigonometrice, calculăm a n pentru n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1 dacă n = 2k, = π n 2 1 dacă n = 2k

14 Acest calcul nu ne permite să găsim coeficientul a 1 deoarece la n = 1 numitorul ajunge la zero. Prin urmare, calculăm direct coeficientul a 1: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Deoarece f(x) este diferențiabilă continuu pe (,) și (, π) și în punctele kπ, (k este un număr întreg), există limite finite (5) și (6), seria Fourier a funcției converge către ea în fiecare punct: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Graficul funcției f(x) cu graficul sumei parțiale S(x) suprapuse 14

15 Fig. Fig. 11. Graficul funcției f(x) cu graficul sumei parțiale S 1 (x) suprapusă. Fig. 12. Graficul funcției f(x) cu graficul sumei parțiale S 2 (x) suprapusă. 13. Graficul funcției f(x) cu graficul sumei parțiale S 99 (x) 15 suprapus

16 1 Calculați suma seriei de numere. Pentru a face acest lucru, punem 4n 2 1 în (9) x =. Atunci cosnx = 1 pentru toți n = 1, 2,... și Prin urmare, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. EXEMPLU 4. Să demonstrăm că, dacă o funcție continuă netedă pe bucăți f(x) satisface condiția f(x π) = f(x) pentru tot x (adică este π-periodic) , atunci a 2n 1 = b 2n 1 = pentru toți n 1 și invers, dacă a 2n 1 = b 2n 1 = pentru toți n 1, atunci f(x) este π-periodic. Soluţie. Fie funcția f(x) π-periodică. Să calculăm coeficienții lui Fourier a 2n 1 și b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) ) cos (2n 1)xdx. În prima integrală facem schimbarea variabilei x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Folosind faptul că cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t și f(t π) = f(t), obținem: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Se demonstrează în mod similar că b 2n 1 =. Invers, fie a 2n 1 = b 2n 1 =. Deoarece funcția f(x) este continuă, atunci prin teorema privind reprezentabilitatea unei funcții într-un punct prin seria sa Fourier, avem Atunci f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), ceea ce înseamnă că f(x) este o funcție π-periodică. EXEMPLU 5. Să demonstrăm că dacă o funcție netedă pe bucăți f(x) satisface condiția f(x) = f(x) pentru tot x, atunci a = și a 2n = b 2n = pentru tot n 1 și invers , dacă a = a 2n = b 2n =, atunci f(x π) = f(x) pentru tot x. Soluţie. Fie funcția f(x) să satisfacă condiția f(x π) = f(x). Să calculăm coeficienții lui Fourier: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. În prima integrală facem schimbarea variabilei x = t π. Atunci f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Folosind faptul că cos n(t π) = (1) n cosnt și f(t π) = f(t), obținem: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt = dacă n par, = 2 π f(t) cos nt dt, dacă n este impar. π Se demonstrează în mod similar că b 2n =. Invers, fie a = a 2n = b 2n =, pentru tot n 1. Deoarece functia f(x) este continua, atunci, prin teorema privind reprezentabilitatea unei functii intr-un punct, seria sa Fourier satisface egalitatea f( x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). optsprezece

19 Atunci = f(x π) = = = f(x). EXEMPLU 6. Să studiem cum să extindem funcția f(x) integrabilă pe intervalul [, π/2] la intervalul [, π], astfel încât seria sa Fourier să aibă forma: a 2n 1 cos(2n 1) X. (1) Soluție. Fie că graficul funcției are forma prezentată în fig. 14. Deoarece în seria (1) a = a 2n = b 2n = pentru tot n, rezultă din Exemplul 5 că funcția f(x) trebuie să satisfacă egalitatea f(x π) = f(x) pentru tot x. Această observație oferă o modalitate de a extinde funcția f(x) la intervalul [, /2] : f(x) = f(x+π), fig. 15. Din faptul că seria (1) conține numai cosinus, concluzionăm că funcția continuă f (x) trebuie să fie pară (adică, graficul său trebuie să fie simetric față de axa Oy), Fig.

20 Fig. 14. Graficul funcției f(x) 15. Graficul continuării funcției f(x) pe intervalul [, /2] 2

21 Deci, funcția dorită are forma prezentată în fig. 16. Fig. 16. Graficul continuării funcției f(x) pe intervalul [, π] Rezumând, concluzionăm că funcția trebuie continuată astfel: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), adică intervalul [π/2, π], graficul funcției f(x) este simetric central față de punctul (π/2,), iar pe intervalul [, π], graficul său este simetric față de axa Oy. 21

22 GENERALIZAREA EXEMPLELOR 3 6 Fie l >. Se consideră două condiții: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. Din punct de vedere geometric, condiția (a) înseamnă că graficul funcției f(x) este simetric față de dreapta verticală x = l/2, iar condiția (b) că graficul f(x) este simetric central față de punctul (l/2;) de pe abscisa axei. Atunci următoarele afirmații sunt adevărate: 1) dacă funcția f(x) este pară și condiția (a) este îndeplinită, atunci b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) dacă funcția f(x) este pară și condiția (b) este îndeplinită, atunci b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) dacă funcția f(x) este impară și condiția (a) este îndeplinită, atunci a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) dacă funcția f(x) este impară și condiția (b) este îndeplinită, atunci a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. PROBLEME În problemele 1 7 desenați grafice și găsiți seria Fourier pentru funcții, (presupunând că au o perioadă de 2π: dacă< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 dacă /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Expansiunea unei funcţii dată în intervalul [, π] numai în termeni de sinusuri sau numai în termeni de cosinus Fie dată o funcţie f în intervalul [, π]. Pentru a-l extinde în acest interval într-o serie Fourier, extindem mai întâi f în intervalul [, π] într-un mod arbitrar, apoi folosim formulele Euler Fourier. Arbitrarul în continuarea unei funcții duce la faptul că pentru aceeași funcție f: [, π] R putem obține serii Fourier diferite. Dar este posibil să se folosească acest arbitrar în așa fel încât să se obțină o expansiune numai în sinusuri sau numai în cosinus: în primul caz, este suficient să continui f într-un mod ciudat, iar în al doilea, în mod par. Algoritm de soluție 1. Continuați funcția într-un mod impar (par) pe (,), apoi periodic cu o perioadă de 2π continuați funcția pe întreaga axă. 2. Calculați coeficienții Fourier. 3. Compuneți seria Fourier a funcției f(x). 4. Verificați condițiile de convergență a seriei. 5. Specificați funcția către care va converge această serie. EXEMPLU 7. Extindeți funcția f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Fig. 17. Graficul funcției continuate În mod evident, funcția f (x) este netedă pe bucăți. Să calculăm coeficienții Fourier: a n = pentru tot n deoarece funcția f (x) este impară. Dacă n 1, atunci b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1 dacă n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n dacă n = 2k. π n 2 1 Pentru n = 1 în calculele anterioare, numitorul dispare, deci coeficientul b 1 poate fi calculat direct.

26 În esență: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Alcătuiți seria Fourier a funcției f (x) : f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Deoarece funcția f (x) este netedă pe bucăți, atunci, după teorema de convergență punctuală, seria Fourier a funcției f (x) converge către suma cosx dacă π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Fig. Fig. 18. Graficul funcției f (x) cu graficul sumei parțiale S 1 (x) suprapusă. 19. Graficul funcției f(x) cu graficul sumei parțiale S 2 (x) suprapusă 27

28 Fig. Fig. 2. Graficul funcției f (x) cu graficul sumei parțiale S 3 (x) suprapusă. 21 prezintă grafice ale funcției f (x) și suma ei parțială S 99 (x). Orez. 21. Graficul funcției f (x) cu un grafic al sumei parțiale S 99 (x) 28 suprapus

29 EXEMPLU 8. Să extindem funcția f(x) = e ax, a >, x [, π], într-o serie Fourier numai în cosinus. Soluţie. Continuăm funcția într-un mod uniform până la (,) (adică, astfel încât egalitatea f(x) = f(x) să fie valabilă pentru tot x (, π)), și apoi periodic cu o perioadă de 2π la întregul real axă. Obținem funcția f (x), al cărei grafic este prezentat în Fig. 22. Funcția f (x) în puncte 22. Graficul funcției continuate f (x) x = kπ, k este un număr întreg, are îndoituri. Să calculăm coeficienții Fourier: b n =, deoarece f (x) este par. Integrarea pe părți, obținem 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxdx = 2 π a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Prin urmare, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Deoarece f (x) este continuă, conform teoremei de convergență punctual, seria sa Fourier converge către f (x). Prin urmare, pentru tot x [, π] avem f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Figurile demonstrează aproximarea treptată a sumelor parțiale ale seriei Fourier la o funcție discontinuă dată. 3

31 Fig. 23. Grafice ale funcțiilor f (x) și S (x) 24. Grafice ale funcțiilor f (x) și S 1 (x) 25. Grafice ale funcțiilor f (x) și S 2 (x) 26. Grafice ale funcțiilor f (x) și S 3 (x) 31

32 Fig. 27. Grafice ale funcțiilor f (x) și S 4 (x) 28. Grafice ale funcțiilor f (x) și S 99 (x) PROBLEMA 9. Extindeți funcția f (x) = cos x, x π, într-o serie Fourier numai în cosinus. 1. Extindeți funcția f (x) \u003d e ax, a >, x π, într-o serie Fourier numai în termeni de sinusuri. 11. Extindeți funcția f (x) \u003d x 2, x π, într-o serie Fourier numai în sinusuri. 12. Extindeți funcția f (x) \u003d sin ax, x π, într-o serie Fourier numai în termeni de cosinus. 13. Extindeți funcția f (x) \u003d x sin x, x π, într-o serie Fourier numai în sinusuri. Răspunsuri 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Dacă a nu este un număr întreg, atunci sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; dacă a = 2m este un număr par, atunci sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; dacă a = 2m 1 este un număr impar pozitiv, atunci sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Seria Fourier a unei funcții cu perioadă arbitrară Să presupunem că funcția f(x) este definită în intervalul [ l, l], l >. Prin substituirea x = ly, y π, se obține funcția g(y) = f(ly/π) definită în intervalul π [, π]. Această funcție g(y) corespunde seriei (formale) Fourier () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny), ai cărei coeficienți se găsesc prin formulele Euler Fourier: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, se obține o serie trigonometrică ușor modificată pentru funcția f(x): unde f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2 ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Formulele (11) (13) definesc expansiunea într-o serie Fourier a unei funcții cu o perioadă arbitrară. EXEMPLU 9. Aflați seria Fourier a funcției date în intervalul (l, l) prin expresia ( A dacă l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos πnx l = A + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = dacă n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1 cosπn). πn Compuneți seria Fourier a funcției f (x) : f(x) A + B π (B A Deoarece cosπn = (1) n, atunci n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l pentru n = 2k obținem b n = b 2k =, pentru n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Prin urmare f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Conform teoremei de convergență punctual, seria Fourier a funcției f(x) converge spre suma A, dacă l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Fig. 29. Graficul funcției f (x) cu grafice suprapuse ale armonicilor S (x) = a 2 și S 1 (x) = b 1 sinx. Pentru claritate, graficele celor trei armonici superioare S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l și S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx sunt deplasate vertical sus l 37

38 Fig. Fig. 3. Graficul funcției f(x) cu graficul sumei parțiale S 99 (x) suprapusă. 31. Fragment din fig. 3 la o altă scară 38

39 PROBLEME În probleme, extindeți funcțiile specificate în seria Fourier în intervale date. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1). 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 dacă 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) 2 l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Forma complexă a seriei Fourier Descompunerea f(x) = c n e inx, unde c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., se numește forma complexă a seriei Fourier. Funcția se extinde într-o serie Fourier complexă în aceleași condiții în care se extinde într-o serie Fourier reală. patru

41 EXEMPLU 1. Găsiți seria Fourier în forma complexă a funcției dată de formula f(x) = e ax în intervalul [, π), unde a este un număr real. Soluţie. Să calculăm coeficienții: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Seria complexă Fourier a funcției f are forma f(x) sh aπ π n= (1) n a în einx. Să verificăm că funcția f(x) este netedă pe bucăți: în intervalul (, π) este diferențiabilă continuu, iar în punctele x = ±π există limite finite (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Prin urmare, funcția f(x) poate fi reprezentată printr-o serie Fourier sh aπ π n= (1) n a în einx, care converge către suma: ( e S(x) = ax dacă π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 EXEMPLU 11. Aflați seria Fourier în forma complexă și reală a funcției date de formula f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, unde a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Amintiți-vă că suma unei progresii geometrice infinite cu numitorul q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Acum să găsim seria Fourier în formă reală. Pentru a face acest lucru, grupăm termenii cu numere n și n pentru n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Deoarece c = 1, atunci 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Aceasta este o serie Fourier în forma reală a funcției f(x). Astfel, fără a calcula o singură integrală, am găsit seria Fourier a funcției. Procedând astfel, am calculat o integrală dură în funcție de parametrul cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Extindem fiecare dintre fracțiile simple după formula de progresie geometrică: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Acest lucru este posibil deoarece az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, sau, mai pe scurt, c n = 1 2i a n sgnn. Astfel, se găsește seria Fourier în formă complexă. Grupând termeni cu numere n și n, obținem seria Fourier a funcției în formă reală: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Din nou, am reușit să calculăm următoarea integrală complexă: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 PROBLEMA 24. Folosind (15), calculați integrala cos nxdx 1 2a cosx + a 2 pentru real a, a > Folosind (16), calculați integrala sin x sin nxdx pentru real a, a > a cosx + a2 În probleme , găsiți seria Fourier în formă complexă pentru funcții. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorema egalității lui Lyapunov (egalitatea lui Lyapunov). Fie o funcție f: [, π] R astfel încât f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Prin urmare, egalitatea Lyapunov pentru funcția f(x) ia forma: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Din ultima egalitate pentru a π găsim sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Presupunând a = π 2, obținem sin2 na = 1 pentru n = 2k 1 și sin 2 na = pentru n = 2k. Prin urmare, k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. EXEMPLU 14. Să scriem egalitatea lui Lyapunov pentru funcția f(x) = x cosx, x [, π] și să o folosim pentru a găsi suma numărului serie (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Soluție. Calculele directe dau = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Deoarece f(x) este o funcție pară, atunci pentru tot n avem b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 dacă n = 2k, 2 dacă n = 2k + 1. Coeficientul a 1 trebuie calculat separat, deoarece în formula generală pentru n = 1 numitorul fracției dispare . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Astfel, egalitatea lui Lyapunov pentru funcția f(x) are forma: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π PROBLEMA 32. Scrieți egalitatea Lyapunov pentru funcția ( x f(x) = 2 πx dacă x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Răspunsuri + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, unde c n este coeficientul Fourier 2π al lui f(x) și d n este funcțiile coeficientului Fourier g(x). 6. Diferențierea seriei Fourier Fie f: R R o funcție 2π-periodică continuu derivabilă. Seria lui Fourier are forma: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Derivata f (x) a acestei functii va fi o functie continua si 2π-periodica, pentru care se poate scrie o serie Fourier formala: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), unde a, a n , b n, n = 1 , 2,... Coeficienții Fourier ai funcției f (x). 51

52 Teoremă (cu privire la diferențierea termen cu termen a seriei Fourier). Conform ipotezelor de mai sus, sunt adevărate egalitățile a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. EXEMPLU 15. Fie o funcție netedă pe bucăți f(x) să fie continuă în intervalul [, π]. Să demonstrăm că atunci când condiția f(x)dx = este îndeplinită, inegalitatea 2 dx 2 dx, numită inegalitatea lui Steklov, este valabilă și verificăm că egalitatea în ea se realizează numai pentru funcțiile de forma f(x) = A cosx. Cu alte cuvinte, inegalitatea lui Steklov dă condiții în care micimea derivatei (în rms) implică micimea funcției (în rms). Soluţie. Să extindem funcția f(x) la intervalul [, ] uniform. Notați funcția extinsă prin același simbol f(x). Apoi funcția continuă va fi continuă și netedă pe bucăți pe intervalul [, π]. Deoarece funcția f(x) este continuă, atunci f 2 (x) este continuă pe interval și 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Deoarece funcția continuă este pară, atunci b n =, a = prin condiție. În consecință, egalitatea Lyapunov ia forma 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Să ne asigurăm că f (x) satisface concluzia teoremei privind diferențierea termen cu termen a seriei Fourier, adică a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Fie derivata f (x) să sufere întreruperi în punctele x 1, x 2,..., x N în intervalul [, π]. Notați x =, x N+1 = π. Să împărțim intervalul de integrare [, π] în N +1 intervale (x, x 1),..., (x N, x N+1), pe fiecare dintre care f(x) este continuu derivabil. Apoi, folosind proprietatea de aditivitate a integralei și apoi integrând pe părți, obținem: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= În mod similar, obținem un n = nb n. Am arătat că teorema privind diferențierea termen cu termen a seriei Fourier pentru o funcție 2π-periodă continuă, netedă în bucăți, a cărei derivată în intervalul [, π] suferă discontinuități de primul fel este adevărată. Deci f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, deoarece a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Deoarece 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Deoarece fiecare termen al seriei din (18) este mai mare sau egal cu termenul corespunzător al seriei din (17), atunci 2 dx 2 dx. Reamintind că f(x) este o continuare uniformă a funcției originale, avem 2 dx 2 dx. Ceea ce demonstrează egalitatea Steklov. Acum să examinăm pentru ce funcții este valabilă egalitatea în inegalitatea lui Steklov. Dacă pentru cel puțin un n 2, coeficientul a n este diferit de zero, atunci a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 PROBLEME 37. Fie o funcție netedă pe bucăți f(x) să fie continuă pe intervalul [, π]. Demonstrați că în condiția f() = f(π) = inegalitatea 2 dx 2 dx, numită și inegalitatea lui Steklov, este valabilă și asigurați-vă că egalitatea în ea este valabilă numai pentru funcțiile de forma f(x) = B sin x . 38. Fie o funcție f continuă în intervalul [, π] și să aibă în ea (cu excepția posibilă doar a unui număr finit de puncte) o derivată pătrat-integrabilă f(x). Demonstrați că dacă condițiile f() = f(π) și f(x) dx = sunt îndeplinite, atunci inegalitatea 2 dx 2 dx, numită inegalitatea Wirtinger, este valabilă, iar egalitatea în ea are loc numai pentru funcțiile lui forma f(x ) = A cosx + B sinx. 56

57 7. Aplicarea seriilor Fourier pentru rezolvarea ecuațiilor cu diferențe parțiale La studierea unui obiect real (fenomene naturale, proces de producție, sistem de control etc.), doi factori se dovedesc a fi semnificativi: nivelul de cunoștințe acumulate despre obiectul studiat și gradul de dezvoltare al aparatului matematic. În stadiul actual al cercetării științifice s-a dezvoltat următorul lanț: un fenomen un model fizic un model matematic. Formularea fizică (modelul) problemei este următoarea: se identifică condiţiile de desfăşurare a procesului şi principalii factori care îl influenţează. Formularea (modelul) matematică constă în descrierea factorilor și condițiilor alese în formularea fizică sub forma unui sistem de ecuații (algebric, diferențial, integral etc.). Se spune că o problemă este bine pusă dacă, într-un anumit spațiu funcțional, soluția problemei există, depinde în mod unic și continuu de condițiile inițiale și la limită. Modelul matematic nu este identic cu obiectul luat în considerare, ci este descrierea lui aproximativă. Derivarea ecuației micilor vibrații transversale libere ale coardei Vom urma manualul. Lăsați capetele șirului să fie fixate, iar sfoara în sine să fie întinsă. Dacă sfoara este scoasă din echilibru (de exemplu, trăgând sau lovindu-l), atunci sfoara va începe 57

58 ezită. Vom presupune că toate punctele corzii se mișcă perpendicular pe poziția sa de echilibru (vibrații transversale), iar în fiecare moment de timp coarda se află în același plan. Să luăm un sistem de coordonate dreptunghiulare xou în acest plan. Atunci, dacă la momentul inițial t = șirul era situat de-a lungul axei Ox, atunci u va însemna abaterea șirului de la poziția de echilibru, adică poziția punctului șirului cu abscisa x la un timp arbitrar t corespunde valorii funcției u(x, t). Pentru fiecare valoare fixă ​​a lui t, graficul funcției u(x, t) reprezintă forma corzii care vibrează la momentul t (Fig. 32). La o valoare constantă a lui x, funcția u(x, t) dă legea de mișcare a unui punct cu abscisa x de-a lungul unei drepte paralele cu axa Ou, derivata u t este viteza acestei mișcări, iar a doua derivata 2 u t 2 este accelerația. Orez. 32. Forțe aplicate unei secțiuni infinit de mici a unui șir Să scriem o ecuație pe care trebuie să o îndeplinească funcția u(x, t). Pentru a face acest lucru, facem câteva ipoteze mai simplificatoare. Vom presupune că șirul este absolut flexibil.

59 coy, adică vom presupune că sfoara nu rezistă la îndoire; aceasta înseamnă că tensiunile care apar în șir sunt întotdeauna direcționate tangențial la profilul său instantaneu. Se presupune că sfoara este elastică și supusă legii lui Hooke; aceasta înseamnă că modificarea mărimii forței de tensiune este proporțională cu modificarea lungimii coardei. Să presupunem că șirul este omogen; aceasta înseamnă că densitatea sa liniară ρ este constantă. Neglijăm forțele externe. Aceasta înseamnă că luăm în considerare oscilațiile libere. Vom studia doar mici vibrații ale unei coarde. Dacă notăm cu ϕ(x, t) unghiul dintre axa absciselor și tangenta la șir în punctul cu abscisa x la momentul t, atunci condiția pentru micimea oscilațiilor este ca valoarea lui ϕ 2 (x , t) poate fi neglijat în comparație cu ϕ (x, t), adică ϕ 2. Deoarece unghiul ϕ este mic, atunci cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, prin urmare, valoarea (u x x,) 2 poate fi de asemenea neglijat. De aici rezultă imediat că în procesul de oscilație putem neglija modificarea lungimii oricărei secțiuni a coardei. Într-adevăr, lungimea unei bucăți de sfoară M 1 M 2 proiectată în intervalul axei x, unde x 2 = x 1 + x, este egală cu l = x 2 x () 2 u dx x. x Să arătăm că, în ipotezele noastre, valoarea forței de tensiune T va fi constantă de-a lungul întregului șir. Pentru a face acest lucru, luăm o parte din șirul M 1 M 2 (Fig. 32) la momentul t și înlocuim acțiunea părților aruncate.

60 kov de forțele de tensiune T 1 și T 2. Deoarece, conform condiției, toate punctele corzii se deplasează paralel cu axa Ou și nu există forțe externe, suma proiecțiilor forțelor de tensiune pe axa Ox trebuie să fie egal cu zero: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Prin urmare, datorită micii unghiurilor ϕ 1 = ϕ(x 1, t) și ϕ 2 = ϕ(x 2, t), concluzionăm că T 1 = T 2. Notăm valoarea generală a lui T 1 = T 2 de T. Acum calculăm suma proiecțiilor F u ale acelorași forțe pe axa Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Deoarece pentru unghiuri mici sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t) și tg ϕ(x, t) u(x, t)/ x, ecuația (2) poate fi rescrisă ca F u T (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Deoarece punctul x 1 este ales arbitrar, atunci F u T 2 u x2(x, t) x. După ce s-au găsit toate forțele care acționează asupra secțiunii M 1 M 2, îi aplicăm a doua lege a lui Newton, conform căreia produsul dintre masă și accelerație este egal cu suma tuturor forțelor care acționează. Masa unei bucăți de sfoară M 1 M 2 este egală cu m = ρ l ρ x, iar accelerația este egală cu 2 u(x, t). Ecuația t 2 a lui Newton ia forma: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, unde α 2 = T ρ este un număr pozitiv constant. 6

61 Reducând cu x, obținem 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Ca rezultat, am obținut o ecuație diferențială parțială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Se numește ecuația de vibrație a corzilor sau ecuația de undă unidimensională. Ecuația (21) este în esență o reformulare a legii lui Newton și descrie mișcarea unei șiruri. Dar în formularea fizică a problemei, au existat cerințe ca capetele șirului să fie fixe și poziția șirului la un moment dat să fie cunoscută. Vom scrie aceste condiții în ecuații astfel: a) vom presupune că capetele șirului sunt fixate în punctele x = și x = l, adică vom presupune că pentru tot t relațiile u(, t) = , u(l, t ) = ; (22) b) vom presupune că în momentul t = poziția șirului coincide cu graficul funcției f(x), adică vom presupune că pentru tot x [, l] egalitatea u(x, ) = f( x); (23) c) vom presupune că în momentul t = punctul șirului cu abscisa x are viteza g(x), adică vom presupune că u (x,) = g(x). (24) t Relațiile (22) se numesc condiții la limită, iar relațiile (23) și (24) se numesc condiții inițiale. Modelul matematic al transversalei mici libere 61

62 de vibrații ale corzilor este că este necesar să se rezolve ecuația (21) cu condițiile la limită (22) și condițiile inițiale (23) și (24) Rezolvarea ecuației micilor vibrații transversale libere ale coardei prin metoda Fourier< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Înlocuind (25) în (21), obținem: X T = α 2 X T, (26) sau T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Se spune că a existat o separare a variabilelor. Deoarece x și t nu depind unul de celălalt, partea stângă din (27) nu depinde de x, dar partea dreaptă nu depinde de t, iar valoarea totală a acestor rapoarte este 62

63 trebuie să fie constant, pe care îl notăm cu λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Prin urmare, obținem două ecuații diferențiale obișnuite: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) În acest caz, condițiile la limită (22) iau forma X()T(t) = și X(l)T(t) =. Deoarece ele trebuie îndeplinite pentru tot t, t >, atunci X() = X(l) =. (3) Să găsim soluții pentru ecuația (28) care să satisfacă condițiile la limită (3). Să luăm în considerare trei cazuri. Cazul 1: λ >. Notăm λ = β 2. Ecuația (28) ia forma X (x) β 2 X(x) =. Ecuația sa caracteristică k 2 β 2 = are rădăcini k = ±β. Prin urmare, soluția generală a ecuației (28) are forma X(x) = C e βx + De βx. Trebuie să alegem constantele C și D astfel încât să fie îndeplinite condițiile la limită (3), adică X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Deoarece β, atunci acest sistem de ecuații are o soluție unică C = D =. Prin urmare, X(x) și 63

64 u(x, t). Astfel, în cazul 1 am obținut o soluție banală, pe care nu o vom lua în considerare în continuare. Cazul 2: λ =. Atunci ecuația (28) ia forma X (x) = și soluția ei este dată în mod evident de formula: X(x) = C x+d. Substituind această soluție în condițiile la limită (3), obținem X() = D = și X(l) = Cl =, deci C = D =. Prin urmare, X(x) și u(x, t) și avem din nou o soluție trivială. Cazul 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 În cele ce urmează, vom atribui lui n numai valori pozitive n = 1, 2,..., deoarece pentru n negativ se vor obține soluții de aceeași formă (nπ).Valorile λ n = sunt numite valori proprii, iar funcțiile X n (x) = C n sin πnx funcții proprii ale ecuației diferențiale (28) cu condiții la limită (3). Acum să rezolvăm ecuația (29). Pentru el, ecuația caracteristică are forma k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Deoarece am aflat mai sus că soluțiile netriviale X(x) ale ecuației (28) există numai pentru λ negativ egal cu λ = n2 π 2, pe aceștia λ le vom lua în considerare mai jos. Rădăcinile ecuației (32) sunt k = ±iα λ, iar soluțiile ecuației (29) au forma: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l unde A n și B n sunt constante arbitrare. Înlocuind formulele (31) și (33) în (25), găsim soluții particulare ale ecuației (21) care îndeplinesc condițiile la limită (22): (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l Introducând factorul C n între paranteze și introducând notația C n A n = b n și B n C n = a n, scriem u n (X, T) ca (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) sin pnx. (34) l l l 65

66 Vibrațiile coardei corespunzătoare soluțiilor u n (x, t) se numesc vibrații naturale ale coardei. Deoarece ecuația (21) și condițiile la limită (22) sunt liniare și omogene, atunci o combinație liniară de soluții (34) (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l va fi a soluție a ecuației (21 ) care satisface condițiile la limită (22) cu o alegere specială a coeficienților a n și b n, care asigură convergența uniformă a seriei. Acum alegem coeficienții a n și b n ai soluției (35) astfel încât să satisfacă nu numai condițiile la limită, ci și condițiile inițiale (23) și (24), unde f(x), g(x) sunt date funcții ( mai mult, f() = f (l) = g() = g(l) =). Presupunem că funcțiile f(x) și g(x) satisfac condițiile de expansiune Fourier. Înlocuind valoarea t = în (35), obținem u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Diferențiând seria (35) față de t și substituind t =, obținem u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), iar aceasta este expansiunea funcțiilor f(x) și g(x) în seria Fourier. Prin urmare, a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Înlocuind expresiile pentru coeficienții a n și b n în seria (35), obținem o soluție a ecuației (21) care satisface condițiile la limită (22) și condițiile inițiale (23) și (24). Astfel, am rezolvat problema micilor vibrații transversale libere ale unei coarde. Să clarificăm semnificația fizică a funcțiilor proprii u n (x, t) ale problemei vibrațiilor libere ale unei coarde, definită prin formula (34). Să o rescriem ca unde u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n Formula (37) arată că toate punctele șirului efectuează oscilații armonice cu aceeași frecvență ω n = πnα și fază πnα δ n. Amplitudinea oscilației depinde de l l abscisa x a punctului șirului și este egală cu α n sin πnx. Cu o astfel de oscilație, toate punctele șirului ating simultan deviația lor maximă l într-o direcție sau alta și trec simultan de poziția de echilibru. Astfel de oscilații se numesc unde staționare. O undă staționară va avea n + 1 puncte fixe date de rădăcinile ecuației sin πnx = în intervalul [, l]. Punctele fixe se numesc nodurile undei staţionare. În mijlocul dintre noduri - l mi sunt punctele în care abaterile ating un maxim; astfel de puncte se numesc antinoduri. Fiecare șir poate avea propriile oscilații de frecvențe strict definite ω n = πnα, n = 1, 2,.... Aceste frecvențe se numesc frecvențe naturale ale șirului. Cel mai mic ton l pe care îl poate produce o șiră este determinat de el însuși 67

68 frecvență naturală joasă ω 1 = π T și se numește tonul fundamental al coardei. Tonurile rămase corespunzătoare l ρ frecvențe ω n, n = 2, 3,..., se numesc harmonice sau armonice. Pentru claritate, vom descrie profilurile tipice ale unei coarde care emite tonul fundamental (Fig. 33), primul ton (Fig. 34) și al doilea (Fig. 35). Orez. Fig. 33. Profilul coardei care emite tonul fundamental. Fig. 34. Profilul unei coarde care emite primul ton. Fig. 35. Profilul unei coarde care emite un al doilea ton Dacă coarda efectuează vibrații libere determinate de condițiile inițiale, atunci funcția u(x, t) este reprezentată, după cum se vede din formula (35), ca o sumă a armonici individuale. Astfel, oscilație arbitrară 68

Al 69-lea șir este o suprapunere de unde staționare. În acest caz, natura sunetului coardei (ton, puterea sunetului, timbrul) va depinde de raportul dintre amplitudinile armonicilor individuale.Forța, înălțimea și timbrul sunetului O coardă care vibrează excită vibrațiile aerului percepute de om. urechea ca un sunet emis de o sfoară. Puterea sunetului se caracterizează prin energia sau amplitudinea vibrațiilor: cu cât energia este mai mare, cu atât puterea sunetului este mai mare. Înălțimea unui sunet este determinată de frecvența sau perioada de oscilație a acestuia: cu cât frecvența este mai mare, cu atât sunetul este mai mare. Timbrul sunetului este determinat de prezența tonurilor, de distribuția energiei peste armonici, adică de metoda de excitare a oscilațiilor. Amplitudinile tonurilor sunt, în general, mai mici decât amplitudinea fundamentalei, iar fazele tonurilor pot fi arbitrare. Urechea noastră nu este sensibilă la faza de oscilații. Comparați, de exemplu, cele două curbe din fig. 36, împrumutat de la . Aceasta este o înregistrare a sunetului cu același ton fundamental, extras din clarinet (a) și pian (b). Ambele sunete nu sunt simple oscilații sinusoidale. Frecvența fundamentală a sunetului în ambele cazuri este aceeași și acest lucru creează același ton. Dar modelele curbelor sunt diferite, deoarece tonului fundamental sunt suprapuse diferite tonuri. Într-un fel, aceste desene arată ce este timbrul. 69

Ecuații de tip hiperbolic. Vibrațiile unui șir infinit și semi-infinit. Metoda Fourier Metoda Fourier Unde stationare 4 Cursul 4.1 Ecuații de tip hiperbolic. Fluctuațiile infinitului și semi-infinitului

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT DE AVIIAȚIE CIVILĂ MOSCOVA V.M. Lyubimov, E.A. Jukova, V.A. Uhova, Yu.A. Şurinov

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL RUSIEI Instituția de învățământ de la bugetul de stat federal de învățământ profesional superior MATI Universitatea tehnologică de stat rusă numită după K. E. Tsiolkovsky

Ministerul Educației al Republicii Belarus Subiectul Universității Tehnologice de Stat din Vitebsk. „Rânduri” Catedra de Matematică Teoretică și Aplicată. dezvoltat de Conf. univ. E.B. Dunina. Principal

Agenția Federală pentru Educație Instituția de învățământ de stat federal de învățământ profesional superior UNIVERSITATEA FEDERALĂ DE SUD R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodică

Tema Seria Fourier Lecție practică Seria Fourier în sisteme ortogonale de funcții Spațiul funcțiilor continue pe bucăți Seria Fourier generalizată 3 Inegalitatea Bessel și convergența seriei Fourier Spațiul

TEORIA SERIELOR Teoria seriilor este cea mai importantă componentă a analizei matematice și găsește atât aplicații teoretice, cât și numeroase aplicații practice. Distinge între serii numerice și funcționale.

CUPRINS Seria Fourier 4 Conceptul de funcție periodică 4 Polinom trigonometric 6 3 Sisteme ortogonale de funcții 4 Seria Fourier trigonometrică 3 5 Seria Fourier pentru funcții pare și impare 6 6 Descompunere

Agenția Federală pentru Educație Universitatea de Stat de Geodezie și Cartografie din Moscova (MIIGAiK) INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE ȘI SARCINI PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ la cursul MATEMATICĂ SUPERIORĂ

Curs 4. Analiza armonică. Seria Fourier Funcții periodice. Analiza armonică În știință și tehnologie, de multe ori trebuie să ne confruntăm cu fenomene periodice, adică cele care se repetă prin

TEMA V SERIA FOURIER PRELEȚIA 6 Extinderea unei funcții periodice într-o serie Fourier Multe procese care apar în natură și tehnologie au proprietățile de a se repeta la anumite intervale.

INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU SARCINI DE CALCUL LA CURSUL DE MATEMATICĂ SUPERIOR „SERIA DE ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARE INTEGRALE DUBLE” PARTEA III SERIE TEMATICĂ Cuprins Serie Seria numerică Convergență și divergență

6 Seria Fourier 6 Sisteme ortogonale de funcții Seria Fourier în termenii unui sistem ortogonal de funcții Funcțiile ϕ () și ψ (), definite și integrabile pe segmentul [, ], se numesc ortogonale pe acest segment dacă

INTEGRALA DEFINITA. Sume integrale și integrală definită Fie o funcție y = f () definită pe segmentul [, b ], unde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

5 Seria de puteri 5 Seria de puteri: definiție, domeniul de convergență Seria de funcții de forma (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) numerele se numesc serii de puteri Numere

UNIVERSITATEA DE STAT BELARUSIA FACULTATEA DE MATEMATICĂ APLICATĂ ȘI ȘTIINȚA INFORMAȚIEI Departamentul de Matematică Superioară Ajutor didactic pentru studenții Facultății de Matematică Aplicată și Informatică

Să ne uităm la câteva exemple. Exemplu. Să aflăm suma unei progresii geometrice infinite Formula pentru termenul comun al acestei serii este a+aq+...+aq n +... (a). a n = aq n. Să calculăm sumele sale parțiale. Dacă q =, atunci

Sarcina 1.1. Găsiți soluții y = y(x) ale ecuației diferențiale care nu sunt identic zero în aria indicată și satisfac condițiile la limită date (problema Sturm-Liouville) Soluție: Se consideră

Analiză matematică Tema: Integrală definită Integrale improprii Lector Pakhomova E.G. 2017 CAPITOLUL II. Integrală definită și aplicațiile sale 1. Integrală definită și proprietățile sale 1. Sarcini,

Cursul 8 4 Problema Sturm-Liouville

Explicații la text: semnul se citește ca „echivalent” și înseamnă că ecuațiile din dreapta semnului și din stânga semnului au același set de soluții, semnul IR denotă mulțimea numerelor reale, semnul ÎN

82 4. Secțiunea 4. Serii funcționale și de putere 4.2. Lecția 3 4.2. Lecția 3 4.2.. Expansiunea Taylor a unei funcții DEFINIȚIA 4.2.. Fie funcția y = f(x) diferențiabilă la infinit într-o vecinătate

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI AL RUSIEI BUGETARE DE STAT FEDERALĂ INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT PROFESIONAL SUPERIOR „UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT SAMARA” Departamentul de Matematică Aplicată

Agenția Federală pentru Transportul Feroviar Universitatea de Stat din Ural Departamentul de transport feroviar „Matematică superioară și aplicată” N. P. Chuev Elemente de analiză armonică Metodică

Cursul 3 Seria Taylor și Maclaurin Aplicarea serii de puteri Extinderea funcțiilor în serii de puteri Seria Taylor și Maclaurin Pentru aplicații, este important să puteți extinde o funcție dată într-o serie de puteri, acele funcții

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Prelegere Transformată Fourier Conceptul transformării integrale Metoda transformărilor integrale este una dintre metodele puternice ale fizicii matematice și este o soluție puternică

Integrabilitatea unei funcții (după Riemann) și a unei integrale definite Exemple de rezolvare a problemelor 1. Funcția constantă f(x) = C este integrabilă pe , deoarece pentru orice partiții și orice alegere de puncte ξ i integrala

Desigur, sarcină. Demonstrați că funcția Riemann, dacă 0, m m R(), dacă, m, m 0, iar fracția este ireductibilă, 0, dacă este irațională, este discontinuă în fiecare punct rațional și continuă în fiecare punct irațional. Soluţie.

1 2 Cuprins 1 Seria Fourier 5 1.1 Seria Fourier trigonometrică .................. 5 1.2 Numai sin și cos ............. ............ 7 1.3 Seria Fourier în formă complexă............. 11 1.4 f(x) = c k?......... ......

ECUAȚII DE FIZICĂ MATEMATICĂ 1. Ecuații cu diferențe parțiale

Curs 4. Ecuațiile undelor 1. Derivarea ecuației vibrațiilor corzilor 2. Ecuația vibrațiilor longitudinale ale unei tije 3. Condiții inițiale, condiții la limită 4. Enunțarea problemei 1. Derivarea ecuației vibrațiilor corzilor

1. Electrostatică 1 1. Electrostatică Lecția 6 Separarea variabilelor în coordonate carteziene 1.1. (Problema 1.49) Planul z = este încărcat cu densitatea σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), unde σ, α, β sunt constante.

Modul Subiect Secvențe de funcții și serii Proprietăți de convergență uniformă a secvențelor și a seriilor Serii de putere Curs Definiții de secvențe de funcții și serii uniform

Ecuații de tip parabolic. Metoda de separare a variabilelor Problema valorii la limită omogenă Funcția sursă Ecuația căldurii neomogene 7 Cursul 7.1 Ecuații de tip parabolic. Metoda de separare

Prelegere Seria numerică Semne de convergență Seria de numere Semne de convergență O expresie infinită a unei secvențe numerice + + + +, compusă din membri ai unuia infinit, se numește serie numerică

35 7 Seria Fourier trigonometrică Seria Fourier pentru funcții periodice cu perioada T. Fie f(x) o funcție periodică continuă pe bucăți cu perioada T. Să considerăm sistemul trigonometric de bază

Facultatea de Metalurgie Departamentul de Matematică Superioară

Departamentul de Matematică și Informatică Elemente de Matematică Superioară Complex educațional și metodologic pentru studenții din învățământul secundar profesional care învață folosind tehnologii la distanță Modulul Calcul diferențial Alcătuit de:

9. Integrală antiderivată și nedefinită 9.. Fie dată funcția f() pe intervalul I R. Funcția F () se numește funcție antiderivată f() pe intervalul I, dacă F () = f() pentru orice I și antiderivată

DIFERENȚIAREA FUNCȚILOR UNEI VARIABILE Conceptul de derivată, semnificația ei geometrică și fizică Probleme care duc la conceptul de derivată Definiția Tangentei S la dreapta y f (x) în punctul A x ; f(

Ecuații de tip hiperbolic. Vibrațiile unui șir infinit și semi-infinit. metoda lui d'Alembert Şir infinit. Formula d'Alembert Șir semi-infinit 3 Curs 3.1 Ecuații de tip hiperbolic.

Titlu Introducere. Concepte de bază.... 4 1. Ecuații integrale Volterra... 5 Opțiuni pentru teme.... 8 2. Rezolvantul ecuației integrale Volterra. 10 opțiuni pentru teme.... 11

RÂNDURI. Liniile numerice. Definiții de bază Să se dea o succesiune infinită de numere Expresia (suma infinită) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= se numește a serie de numere. Numerele

8. Seria de puteri 8.. O serie funcțională de forma c n (z) n, (8.) n= unde c n este o succesiune numerică, R este un număr fix și z R se numește o serie de puteri cu coeficienți c n . Prin schimbarea variabilelor

~ ~ Integrale nedefinite și definite Conceptul de integrală antiderivată și nedefinită. Definiție: O funcție F se numește antiderivată față de o funcție f dacă aceste funcții sunt legate după cum urmează

3724 SERIE DE INTEGRALE MULTIPLE ȘI CURVILINEARE 1 PROGRAM DE LUCRU AL SECȚIUNILOR „SERII DE INTEGRALE MULTIPLE ȘI CURVILINEARE” 11 Seria de numere Conceptul de serie de numere Proprietățile seriei de numere Un criteriu necesar pentru convergență

MÂNCA. ANALIZA MATEMATICĂ MEREURILOR. SERIA NUMERICA SI FUNCTIONALA NOVOSIBIRSK 200 2 MINISTERUL EDUCATIEI SI TIINTEI DIN RUS SEI HPE "UNIVERSITATEA PEDAGOGICA DE STAT NOVOSIBIRSK" E.M. Rudoy ANALIZA MATEMATICĂ.

PRELARE N 7 .Puterea

ECUAȚII CADRATICE

SECȚIUNEA SARCINILOR CU PARAMETRI Comentariu Sarcinile cu parametri sunt în mod tradițional sarcini complexe în structura USE, solicitând solicitantului nu numai să stăpânească toate metodele și tehnicile de rezolvare a diverselor

Calcul diferenţial Introducere în analiza matematică Limită de secvenţă şi funcţie. Dezvăluirea incertitudinilor din interior. Derivată de funcție. Reguli de diferențiere. Aplicarea derivatului

Seria Fourier Sisteme ortogonale de funcții Din punct de vedere al algebrei, egalitatea în care sunt funcții ale unei clase date și sunt coeficienți din R sau C înseamnă pur și simplu că vectorul este o combinație liniară de vectori B

1. Integrală definită 1.1. Fie f o funcție mărginită definită pe segmentul [, b] R. O partiție a segmentului [, b] este o mulțime de puncte τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] astfel încât = x< x 1 < < x n 1

Ch Seria de puteri a a a A seria de forma a a a a a () se numește serie de puteri, unde, a, sunt constante, numite coeficienți ai seriei. Uneori se consideră o serie de puteri de o formă mai generală: a a (a) a ( a) a (a) (), unde

2. Determinarea coeficienților seriei prin formulele Fourier.

Fie o funcție periodică ƒ(x) cu o perioadă de 2π astfel încât să fie reprezentată printr-o serie trigonometrică convergentă către o funcție dată în intervalul (-π, π), adică este suma acestei serii:

Să presupunem că integrala funcției din partea stângă a acestei egalități este egală cu suma integralelor termenilor acestei serii. Acest lucru va fi adevărat dacă presupunem că seria numerică compusă din coeficienții seriei trigonometrice date converge absolut, adică seria numerică pozitivă converge

Seria (1) este majorizată și poate fi integrată termen cu termen în intervalul (-π, π). Integram ambele părți ale egalității (2):

Calculăm separat fiecare integrală care apare pe partea dreaptă:

,

,

În acest fel, , Unde

. (4)

Estimarea coeficienților Fourier. (Bugrov)

Teorema 1. Fie ca o funcție ƒ(x) de perioada 2π să aibă o derivată continuă ƒ (s) (x) de ordinul s care satisface inegalitatea pe întreaga axă reală:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

atunci coeficienții Fourier ai funcției ƒ satisfac inegalitatea

Dovada. Integrarea pe părți și ținând cont de faptul că

ƒ(-π) = ƒ(π), avem

Integrând secvențial partea dreaptă a lui (7), ținând cont de faptul că derivatele ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) sunt continue și iau aceleași valori în punctele t = -π și t = π, de asemenea ca estimare (5), obținem prima estimare (6).

A doua estimare (6) se obține într-un mod similar.

Teorema 2. Coeficienții Fourier ƒ(x) satisfac inegalitatea

(8)

Dovada. Avem

(9)

Introducând o schimbare de variabilă în acest caz și ținând cont că ƒ(x) este o funcție periodică, obținem

Adăugând (9) și (10), obținem

Efectuăm demonstrația pentru b k într-un mod similar.

Consecinţă. Dacă funcția ƒ(x) este continuă, atunci coeficienții ei Fourier tind spre zero: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Spațiul funcțiilor cu produs scalar.

O funcție ƒ(x) se numește continuă pe bucăți pe un segment dacă este continuă pe acest segment, cu excepția poate pentru un număr finit de puncte în care are discontinuități de primul fel. Astfel de puncte pot fi adunate și înmulțite cu numere reale și, ca rezultat, se pot obține din nou funcții continue pe bucăți pe un segment.

Produsul scalar a două bucăți continuu pe (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Evident, pentru orice funcții continue pe bucăți ƒ , φ , ψ sunt valabile următoarele proprietăți:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) iar din egalitatea (ƒ , ƒ) = 0 rezultă că ƒ(x) =0 pe , excluzând, poate, un număr finit de puncte x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

unde α, β sunt numere reale arbitrare.

Mulțimea tuturor funcțiilor continue pe bucăți definite pe intervalul , pentru care produsul scalar este introdus conform formulei (11), vom nota, și spațiu de apel

Observația 1.

În matematică, un spațiu = (a, b) este o mulțime de funcții ƒ(x) care sunt integrabile în sensul Lebesgue împreună cu pătratele lor, pentru care produsul scalar este introdus prin formula (11). Spațiul în cauză face parte din . Spațiul are multe dintre proprietățile spațiului, dar nu toate.

Proprietățile 1), 2), 3) implică importanta inegalitate Bunyakovskii | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , care în limbajul integralelor arată astfel:

Valoare

se numeste norma functiei f.

Norma are următoarele proprietăți:

1) || f || ≥ 0, în timp ce egalitatea poate fi doar pentru funcția zero f = 0, adică funcția egală cu zero, cu excepția, poate, pentru un număr finit de puncte;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

unde α este un număr real.

A doua proprietate în limbajul integralelor arată astfel:

și se numește inegalitatea Minkowski.

Se spune că o succesiune de funcții ( f n ), aparține lui , converge către o funcție aparține în sensul pătratului mediu pe (sau altfel în normă ), dacă

Rețineți că dacă șirul de funcții ƒ n (x) converge uniform către funcția ƒ(x) pe segmentul , atunci pentru n suficient de mare diferența ƒ(x) - ƒ n (x) în valoare absolută trebuie să fie mică pentru toate x din segmentul .

În cazul în care ƒ n (x) tinde spre ƒ(x) în sensul pătratului mediu pe segmentul , atunci diferența indicată poate să nu fie mică pentru n mare peste tot pe . În unele locuri ale segmentului, această diferență poate fi mare, dar este important doar ca integrala pătratului său peste segment să fie mică pentru n mare.

Exemplu. Fie pe o funcție liniară continuă pe bucăți dată ƒ n (x) (n = 1, 2,...) prezentată în figură și

(Bugrov, p. 281, fig. 120)

Pentru orice n natural

și, în consecință, această succesiune de funcții, deși converge la zero ca n → ∞, nu este uniformă. Între timp

adică succesiunea de funcții (f n (x)) tinde spre zero în sensul pătratului mediu pe .

Din elementele unei secvențe de funcții ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (aparținând lui ) construim o serie

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +... (12)

Suma primilor n membri ai săi

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

există o funcţie care aparţine lui . Dacă se întâmplă ca în să existe o funcţie ƒ astfel încât

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

atunci spunem că seria (12) converge către funcția ƒ în sens pătrat mediu și scriem

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +...

Observația 2.

Se poate considera spațiul = (a, b) al funcțiilor cu valori complexe ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), unde ƒ 1 (x) și ƒ 2 (x) sunt funcții continue reale pe bucăți . În acest spațiu, funcțiile sunt înmulțite cu numere complexe și produsul scalar al funcțiilor ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) și φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) este definită după cum urmează:

iar norma ƒ este definită ca valoare

Seria Fourier- un mod de a reprezenta o funcție complexă ca o sumă a celor mai simple, cunoscute.
Sinusul și cosinusul sunt funcții periodice. Ele formează, de asemenea, o bază ortogonală. Această proprietate poate fi explicată prin analogie cu axele X X Xși YY Y pe planul de coordonate. În același mod în care putem descrie coordonatele unui punct în raport cu axele, putem descrie orice funcție în raport cu sinusurile și cosinusurile. Funcțiile trigonometrice sunt bine înțelese și ușor de aplicat în matematică.

Puteți reprezenta sinusurile și cosinusurile sub forma unor astfel de unde:

Albastrul sunt cosinus, roșu sunt sinusuri. Aceste unde sunt numite și armonice. Cosinusurile sunt pare, sinusurile sunt impare. Termenul de armonică provine din antichitate și este asociat cu observații despre relația tonurilor în muzică.

Ce este o serie Fourier

O astfel de serie, în care funcțiile sinus și cosinus sunt utilizate ca fiind cele mai simple, se numește trigonometrice. Este numit după inventatorul său Jean Baptiste Joseph Fourier, la sfârșitul secolului al XVIII-lea – începutul secolului al XIX-lea. care a demonstrat că orice funcţie poate fi reprezentată ca o combinaţie de astfel de armonici. Și cu cât luați mai multe, cu atât această reprezentare va fi mai precisă. De exemplu, imaginea de mai jos: puteți vedea că cu un număr mare de armonici, adică membri ai seriei Fourier, graficul roșu se apropie de cel albastru - funcția originală.

Aplicație practică în lumea modernă

Chiar sunt necesare aceste rânduri acum? Unde pot fi aplicate în practică și le folosește altcineva în afară de teoreticieni? Se dovedește că Fourier este faimos în întreaga lume, deoarece utilizarea practică a seriei sale este literalmente incalculabilă. Este convenabil să le folosiți acolo unde există vibrații sau unde: acustică, astronomie, inginerie radio etc. Cel mai simplu exemplu de utilizare este mecanismul camerei sau camerei video. Pe scurt, aceste dispozitive înregistrează nu doar imagini, ci și coeficienții seriei Fourier. Și funcționează peste tot - când vizionați imagini pe Internet, un film sau ascultați muzică. Datorită seriei Fourier, puteți citi acest articol de pe telefonul mobil. Fără transformarea Fourier, nu am avea suficientă lățime de bandă a conexiunilor la Internet pentru a viziona pur și simplu un videoclip YouTube, chiar și la calitate standard.

În această diagramă, transformata Fourier bidimensională, care este utilizată pentru a descompune imaginea în armonici, adică componente de bază. În această diagramă, valoarea -1 este codificată în negru, 1 în alb. În dreapta și în jos, frecvența crește.

Expansiunea Fourier

Probabil, te-ai săturat deja de citit, așa că hai să trecem la formule.
Pentru o astfel de tehnică matematică precum extinderea funcțiilor într-o serie Fourier, va trebui să luăm integrale. O mulțime de integrale. În general, seria Fourier este scrisă ca o sumă infinită:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (A n​ cos(nx) +b n​ sin (n x ) )
Unde
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxA n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)sin(nx)dx

Dacă putem să numărăm cumva un număr infinit de a n a_n A n​ și b n b_n b n​ (se numesc coeficienți ai expansiunii Fourier, A A A este doar o constantă a acestei expansiuni), atunci seria rezultată va coincide 100% cu funcția inițială f(x)f(x) f(x) pe segmentul de la − π -\pi − π inainte de π\pi π . Un astfel de segment se datorează proprietăților de integrare ale sinusului și cosinusului. Cu atât mai mult n n n, pentru care calculăm coeficienții de extindere a funcției într-o serie, cu atât această expansiune va fi mai precisă.

Exemplu

Să luăm o funcție simplă y=5xy=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 π1 ​ − π ∫ π ​ f(x) dx =2 π1 ​ − π ∫ π ​ 5xdx=0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0A 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x)sin(x)dx=π 1 ​ − π ∫ π ​ 5xsin(x)dx=1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ stil de afișare\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0A 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(X) păcat(2 X) dX= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 Xpăcat(2 X) dX= − 5

Si asa mai departe. În cazul unei astfel de funcții, putem spune imediat că toate a n = 0 a_n=0An​ = 0 , coeficienți b n b_nbn​ va trebui calculată. Dacă luăm primii patru termeni ai expansiunii seriei Fourier pentru funcție y=5xy=5xy= 5 X, primim:

$5X\approx 10\cdot \mathrm{păcat}(X)-5\cdot \mathrm{păcat}(2\cdot X)+310\cdot \mathrm{păcat}(3\cdot X)-25\cdot \mathrm{păcat}(4\cdot X)$

Graficul funcției rezultate va arăta astfel:

Expansiunea Fourier rezultată se apropie de funcția noastră originală. Dacă luăm un număr mai mare de termeni din serie, de exemplu, 15, vom vedea deja următoarele:

Cu cât mai mulți termeni de expansiune într-o serie, cu atât este mai mare acuratețea.
Dacă scalam puțin graficul, putem observa o altă caracteristică a transformării: seria Fourier este o funcție periodică cu o perioadă. 2 π 2\pi2 π .

Astfel, este posibil să se reprezinte orice funcție care este continuă pe interval [ − π ; pi ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Toate acestea sunt necesare pentru a facilita analiza unor fenomene care sunt descrise prin funcții complexe. Nu este întotdeauna posibil să se calculeze derivata analitic (adică, prin formulă), iar în cazul unui set de sinusuri și cosinusuri, o astfel de problemă nu va apărea. Extinderea în sine într-o serie Fourier arată că problemele pot fi adesea rezolvate analitic pe modele simplificate, dintre care un exemplu este seria Fourier.

Serii Fourier de funcții periodice cu perioada 2π.

Seria Fourier vă permite să studiați funcțiile periodice prin descompunerea lor în componente. Curenții și tensiunile alternative, deplasările, viteza și accelerația mecanismelor de manivelă și undele acustice sunt aplicații practice tipice ale funcțiilor periodice în calculele inginerești.

Expansiunea seriei Fourier se bazează pe presupunerea că toate funcțiile de importanță practică din intervalul -π ≤ x ≤ π pot fi exprimate ca serii trigonometrice convergente (o serie este considerată convergentă dacă șirul sumelor parțiale formate din membrii săi converge) :

Notație standard (=obișnuită) prin suma lui sinx și cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

unde a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. sunt constante reale, i.e.

Unde, pentru intervalul de la -π la π, coeficienții seriei Fourier sunt calculați prin formulele:

Se numesc coeficienții a o ,a n și b n Coeficienții Fourier, iar dacă pot fi găsite, atunci se numește seria (1). lângă Fourier, corespunzător funcţiei f(x). Pentru seria (1), termenul (a 1 cosx+b 1 sinx) se numește primul sau armonică principală,

O altă modalitate de a scrie o serie este să utilizați relația acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Unde a o este o constantă, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 sunt amplitudinile diferitelor componente și este egal cu a n \ u003d arctg a n /b n.

Pentru seria (1), termenul (a 1 cosx + b 1 sinx) sau c 1 sin (x + α 1) se numește primul sau armonică principală,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) sau c 2 sin(2x+α 2) se numește a doua armonică si asa mai departe.

Pentru a reprezenta cu acuratețe un semnal complex, de obicei este necesar un număr infinit de termeni. Cu toate acestea, în multe probleme practice este suficient să luăm în considerare doar primii termeni.

Serii Fourier de funcții neperiodice cu perioada 2π.

Extinderea funcțiilor neperiodice într-o serie Fourier.

Dacă funcția f(x) este neperiodică, atunci nu poate fi extinsă într-o serie Fourier pentru toate valorile lui x. Cu toate acestea, este posibil să se definească o serie Fourier reprezentând o funcție pe orice interval de lățime 2π.

Având în vedere o funcție neperiodică, se poate compune o nouă funcție alegând valori f(x) într-un anumit interval și repetându-le în afara acestui interval la intervale de 2π. Deoarece noua funcție este periodică cu o perioadă de 2π, ea poate fi extinsă într-o serie Fourier pentru toate valorile lui x. De exemplu, funcția f(x)=x nu este periodică. Cu toate acestea, dacă este necesar să o extindem într-o serie Fourier pe intervalul de la 0 la 2π, atunci o funcție periodică cu o perioadă de 2π este construită în afara acestui interval (după cum se arată în figura de mai jos).

Pentru funcțiile neperiodice, cum ar fi f(x)=x, suma seriei Fourier este egală cu valoarea lui f(x) în toate punctele din intervalul dat, dar nu este egală cu f(x) pentru puncte. în afara intervalului. Pentru a găsi seria Fourier a unei funcții neperiodice în intervalul 2π, se folosește aceeași formulă a coeficienților Fourier.

Funcții pare și impare.

Ei spun că funcția y=f(x) chiar dacă f(-x)=f(x) pentru toate valorile lui x. Graficele funcțiilor pare sunt întotdeauna simetrice față de axa y (adică sunt oglindite). Două exemple de funcții pare: y=x 2 și y=cosx.

Ei spun că funcția y=f(x) ciudat, dacă f(-x)=-f(x) pentru toate valorile lui x. Graficele funcțiilor impare sunt întotdeauna simetrice față de origine.

Multe funcții nu sunt nici pare, nici impare.

Expansiunea seriei Fourier în cosinus.

Seria Fourier a unei funcții periodice par f(x) cu perioada 2π conține numai termeni cosinus (adică nu conține termeni sinus) și poate include un termen constant. Prin urmare,

unde sunt coeficienții seriei Fourier,

Seria Fourier a unei funcții periodice impare f(x) cu perioada 2π conține numai termeni cu sinusuri (adică nu conține termeni cu cosinus).

Prin urmare,

unde sunt coeficienții seriei Fourier,

Seria Fourier pe jumătate de ciclu.

Dacă o funcție este definită pentru un interval, să spunem de la 0 la π, și nu doar de la 0 la 2π, ea poate fi extinsă într-o serie numai în termeni de sinusuri sau numai în termeni de cosinus. Seria Fourier rezultată se numește lângă Fourier pe o jumătate de ciclu.

Dacă vrei să obții o descompunere Fourier pe un semiciclu în cosinus funcțiile f(x) în intervalul de la 0 la π, atunci este necesar să se compună o funcție periodică pară. Pe fig. mai jos este funcția f(x)=x construită pe intervalul de la x=0 la x=π. Deoarece funcția pară este simetrică față de axa f(x), desenăm linia AB, așa cum se arată în Fig. de mai jos. Dacă presupunem că în afara intervalului considerat, forma triunghiulară rezultată este periodică cu o perioadă de 2π, atunci graficul final are forma display. în fig. de mai jos. Deoarece este necesar să obținem expansiunea Fourier în cosinus, ca și mai înainte, calculăm coeficienții Fourier a o și a n

Dacă doriți să obțineți funcții f (x) în intervalul de la 0 la π, atunci trebuie să compuneți o funcție periodică impară. Pe fig. mai jos este funcția f(x)=x construită pe intervalul de la x=0 la x=π. Deoarece funcția impară este simetrică față de origine, construim linia CD, așa cum se arată în Fig. Dacă presupunem că în afara intervalului considerat, semnalul dinte de ferăstrău primit este periodic cu o perioadă de 2π, atunci graficul final are forma prezentată în Fig. Deoarece este necesar să se obțină expansiunea Fourier pe semiciclu în termeni de sinusuri, ca și mai înainte, calculăm coeficientul Fourier. b

Serii Fourier pentru un interval arbitrar.

Expansiunea unei funcții periodice cu perioada L.

Funcția periodică f(x) se repetă pe măsură ce x crește cu L, adică. f(x+L)=f(x). Trecerea de la funcțiile considerate anterior cu perioada 2π la funcțiile cu perioada L este destul de simplă, deoarece se poate face folosind o schimbare de variabilă.

Pentru a găsi seria Fourier a funcției f(x) în intervalul -L/2≤x≤L/2, introducem o nouă variabilă u astfel încât funcția f(x) să aibă o perioadă de 2π față de u. Dacă u=2πx/L, atunci x=-L/2 pentru u=-π și x=L/2 pentru u=π. De asemenea, fie f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Seria Fourier F(u) are forma

Unde sunt coeficienții seriei Fourier,

Mai des, însă, formula de mai sus duce la dependență de x. Deoarece u=2πх/L, atunci du=(2π/L)dx, iar limitele de integrare sunt de la -L/2 la L/2 în loc de -π la π. Prin urmare, seria Fourier pentru dependența de x are forma

unde în intervalul de la -L/2 la L/2 sunt coeficienții seriei Fourier,

(Limitele de integrare pot fi înlocuite cu orice interval de lungime L, de exemplu, de la 0 la L)

Serii Fourier pe un semiciclu pentru funcții date în intervalul L≠2π.

Pentru substituția u=πx/L, intervalul de la x=0 la x=L corespunde intervalului de la u=0 la u=π. Prin urmare, funcția poate fi extinsă într-o serie numai în termeni de cosinus sau numai în termeni de sinusuri, i.e. în Seria Fourier pe jumătate de ciclu.

Expansiunea în cosinus în intervalul de la 0 la L are forma