Онлайн шийдлийн онцлог шинж чанаруудын талаар бүрэн судалгаа хийх. Функцуудыг судлах, дериватив ашиглан функцийн график зурах

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Бидэнтэй холбогдох үед та ямар ч үед хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
• Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Өнөөдөр бид таныг функцийн графикийг судалж, бүтээхийг урьж байна. Энэ өгүүллийг сайтар судалсны дараа та ийм төрлийн ажлыг гүйцэтгэхийн тулд удаан хугацаанд хөлрөх шаардлагагүй болно. Функцийн графикийг судалж, бүтээх нь тийм ч хялбар биш бөгөөд энэ нь хамгийн их анхаарал, тооцоолол шаарддаг асар том ажил юм. Материалыг ойлгоход хялбар болгохын тулд бид ижил функцийг алхам алхмаар судалж, бүх үйлдэл, тооцоогоо тайлбарлах болно. Математикийн гайхалтай, сэтгэл татам ертөнцөд тавтай морил! Яв!

Домэйн

Функцийг судалж, график зурахын тулд та хэд хэдэн тодорхойлолтыг мэдэх хэрэгтэй. Функц нь математикийн үндсэн (үндсэн) ойлголтуудын нэг юм. Энэ нь өөрчлөлтийн үед хэд хэдэн хувьсагчийн (хоёр, гурав ба түүнээс дээш) хоорондын хамаарлыг тусгадаг. Мөн функц нь олонлогуудын хамаарлыг харуулдаг.

Бидэнд тодорхой хэлбэлзэлтэй хоёр хувьсагч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэгэхээр хоёр дахь хувьсагчийн утга тус бүр хоёр дахь хувьсагчийн нэг утгатай тохирч байвал у нь х-ийн функц юм. Энэ тохиолдолд y хувьсагч хамааралтай байх ба үүнийг функц гэж нэрлэдэг. Энэ хамаарлыг илүү тодорхой болгохын тулд x ба y хувьсагчид байдаг гэж хэлэх нь заншилтай байдаг. Функцийн график гэж юу вэ? Энэ нь координатын хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд x утга тус бүр нэг у утгатай тохирч байна. График нь өөр байж болно - шулуун шугам, гипербол, парабол, синус долгион гэх мэт.

Судалгаагүйгээр функцийг графикаар зурах боломжгүй. Өнөөдөр бид судалгаа хийж, функцийн графикийг хэрхэн бүтээх талаар сурах болно. Судалгааны явцад тэмдэглэл хөтлөх нь маш чухал юм. Энэ нь даалгаврыг даван туулахад илүү хялбар болгоно. Хамгийн тохиромжтой судалгааны төлөвлөгөө:

1. Домэйн.
2. Тасралтгүй байдал.
3. Тэгш эсвэл сондгой.
4. Үе үе.
5. Асимптотууд.
6. Тэг.
7. Тогтмол шинж тэмдэг.
8. Өсч, буурч байна.
9. Хэт их.
10. Гүдгэр ба хотгор.

Эхний цэгээс эхэлье. Тодорхойлолтын мужийг олъё, өөрөөр хэлбэл бидний функц ямар интервалд оршиж байгааг олъё: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Манай тохиолдолд функц нь x-ийн дурын утгын хувьд байдаг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын муж нь R-тэй тэнцүү байна. Үүнийг xÎR гэж дараах байдлаар бичиж болно.

Тасралтгүй байдал

Одоо бид тасалдлын функцийг судлах болно. Математикт "тасралтгүй байдал" гэсэн нэр томъёо нь хөдөлгөөний хуулиудыг судалсны үр дүнд бий болсон. Хязгааргүй гэж юу вэ? Орон зай, цаг хугацаа, зарим хамаарал (жишээ нь хөдөлгөөний бодлогод S ба t хувьсагчийн хамаарал), халсан объектын температур (ус, хайруулын таваг, термометр гэх мэт), тасралтгүй шугам (өөрөөр хэлбэл, хуудасны харандаанаас өргөхгүйгээр зурж болно).

График хэзээ нэгэн цагт тасрахгүй бол тасралтгүй гэж тооцогддог. Ийм графикийн хамгийн тод жишээнүүдийн нэг бол синусоид бөгөөд та үүнийг энэ хэсгийн зурган дээрээс харж болно. Хэд хэдэн нөхцөл хангагдсан тохиолдолд функц x0 цэг дээр тасралтгүй байна.

• өгөгдсөн цэг дээр функц тодорхойлогдсон;
• цэг дээрх баруун ба зүүн хязгаарууд тэнцүү байна;
• хязгаар нь х0 цэг дээрх функцын утгатай тэнцүү байна.

Хэрэв ядаж нэг нөхцөл хангагдаагүй бол функц амжилтгүй болно гэж хэлнэ. Мөн функцийн эвдэрсэн цэгүүдийг ихэвчлэн таслах цэг гэж нэрлэдэг. Графикаар харуулах үед “эвдрэх” функцийн жишээ нь: y=(x+4)/(x-3). Түүгээр ч барахгүй x = 3 цэгт y байхгүй (учир нь тэгээр хуваах боломжгүй).

Бидний судалж буй функцэд (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) график тасралтгүй байх тул бүх зүйл энгийн болсон.

Тэгш, хачин

Одоо функцийг паритын хувьд шалгана уу. Нэгдүгээрт, бага зэрэг онол. x хувьсагчийн дурын утгын (утгын мужаас) f(-x)=f(x) нөхцөлийг хангасан функцийг тэгш функц гэнэ. Жишээ нь:

• модуль x (график нь үүр шиг харагдаж байна, графикийн эхний болон хоёрдугаар улирлын биссектрис);
• x квадрат (парабол);
• косинус x (косинус).

Эдгээр бүх графикууд нь y тэнхлэгтэй (өөрөөр хэлбэл y тэнхлэгтэй) харьцуулахад тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу.

Тэгвэл сондгой функцийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Эдгээр нь x хувьсагчийн дурын утгын хувьд f(-x)=-f(x) гэсэн нөхцөлийг хангасан функцууд юм. Жишээ нь:

• гипербола;
• куб парабол;
• синусоид;
• шүргэгч гэх мэт.

Эдгээр функцууд нь цэг (0:0), өөрөөр хэлбэл гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу. Өгүүллийн энэ хэсэгт хэлсэн зүйл дээр үндэслэн тэгш, сондгой функц нь шинж чанартай байх ёстой: x нь тодорхойлолтын олонлогт хамаарах ба -x мөн.

Функцийг паритетийн хувьд авч үзье. Тэр ямар ч тайлбарт тохирохгүй байгааг бид харж байна. Тиймээс бидний функц тэгш, сондгой ч биш.

Асимптотууд

Тодорхойлолтоор эхэлье. Асимптот гэдэг нь графикт аль болох ойртсон муруй, өөрөөр хэлбэл тодорхой цэгээс зай нь тэг рүү чиглэдэг. Нийтдээ гурван төрлийн асимптот байдаг:

• босоо, өөрөөр хэлбэл y тэнхлэгтэй параллель;
• хэвтээ, өөрөөр хэлбэл x тэнхлэгтэй параллель;
• налуу.

Эхний төрлийн хувьд эдгээр мөрүүдийг зарим цэгээс хайх хэрэгтэй.

• цоорхой;
• тодорхойлолтын хүрээний төгсгөлүүд.

Манай тохиолдолд функц тасралтгүй, тодорхойлолтын муж нь R-тэй тэнцүү байна. Тиймээс босоо асимптот байхгүй.

Функцийн график нь дараах шаардлагыг хангасан хэвтээ асимптоттой байна: хэрэв х нь хязгааргүй эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай бол хязгаар нь тодорхой тоотой тэнцүү (жишээлбэл, a). Энэ тохиолдолд y=a нь хэвтээ асимптот болно. Бидний судалж буй функцэд хэвтээ асимптот байхгүй.

Ташуу асимптот нь зөвхөн хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд л бий болно.

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Дараа нь y=kx+b томъёог ашиглан олж болно. Дахин хэлэхэд, манай тохиолдолд ташуу асимптот байхгүй.

Функцийн тэг

Дараагийн алхам бол функцийн графикийг тэгээр шалгах явдал юм. Функцийн тэгийг олохтой холбоотой даалгавар нь зөвхөн функцийн графикийг судалж, байгуулахад төдийгүй бие даасан даалгавар, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга хэлбэрээр явагддаг гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм. График дээрх функцийн тэгийг олох эсвэл математик тэмдэглэгээг ашиглах шаардлагатай байж болно.

Эдгээр утгыг олох нь функцийн графикийг илүү нарийвчлалтай гаргахад тусална. Энгийнээр хэлбэл, функцийн тэг нь у = 0 байх х хувьсагчийн утга юм. Хэрэв та график дээрх функцийн тэгийг хайж байгаа бол график нь х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.

Функцийн тэгийг олохын тулд дараах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Шаардлагатай тооцоог хийсний дараа бид дараах хариултыг авна.

Тогтмол шинж тэмдэг

Функцийг (график) судлах, бүтээх дараагийн үе шат бол тогтмол тэмдгийн интервалыг олох явдал юм. Энэ нь функц аль интервалд эерэг утгатай, аль интервалд сөрөг утгатай болохыг тодорхойлох ёстой гэсэн үг юм. Өмнөх хэсэгт олсон тэг функцүүд үүнийг хийхэд тусална. Тиймээс, бид шулуун шугамыг (графикаас тусад нь) барьж, түүний дагуу функцийн тэгүүдийг хамгийн баганаас том хүртэл зөв дарааллаар хуваарилах хэрэгтэй. Одоо та үүссэн интервалуудын аль нь "+" тэмдэгтэй, аль нь "-" тэмдэгтэй байгааг тодорхойлох хэрэгтэй.

Манай тохиолдолд функц нь интервал дээр эерэг утгыг авдаг:

• 1-ээс 4 хүртэл;
• 9-ээс хязгааргүй хүртэл.

Сөрөг утга:

• хасах хязгаараас 1 хүртэл;
• 4-өөс 9 хүртэл.

Үүнийг тодорхойлоход маш хялбар байдаг. Функцийн интервалаас дурын тоог орлуулж, хариулт нь ямар тэмдэгтэй болохыг хараарай (хасах эсвэл нэмэх).

Өсөх, багасгах функцууд

Функцийг судалж, бүтээхийн тулд бид график хаана өсөх (Ой тэнхлэгийн дагуу дээшлэх), хаана унах (у тэнхлэгийн дагуу доош мөлхөх) болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Х хувьсагчийн том утга нь y-ийн том утгатай тохирч байвал функц нэмэгдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, x2 нь x1-ээс их, f(x2) нь f(x1)-ээс их байна. Мөн бид буурах функцтэй (х их байх тусам у бага) эсрэг тэсрэг үзэгдлийг ажиглаж байна. Өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд та дараахь зүйлийг олох хэрэгтэй.

• тодорхойлолтын домэйн (бидэнд аль хэдийн байгаа);
• дериватив (бидний тохиолдолд: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 тэгшитгэлийг шийд.

Тооцооллын дараа бид дараах үр дүнг авна.

Бид дараахийг авна: функц нь хасах хязгаараас 7/3 хүртэл, 7-оос хязгааргүй хүртэлх интервал дээр нэмэгдэж, 7/3-аас 7 хүртэлх интервал дээр буурдаг.

Хэт их

Судалгаанд хамрагдаж буй y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) функц нь тасралтгүй бөгөөд x хувьсагчийн дурын утгад оршино. Экстремум цэг нь өгөгдсөн функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг харуулдаг. Манай тохиолдолд эдгээр нь байдаггүй бөгөөд энэ нь барилгын ажлыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Үгүй бол тэдгээрийг дериватив функцийг ашиглан олж болно. Олсны дараа тэдгээрийг график дээр тэмдэглэхээ бүү мартаарай.

Гүдгэр ба хотгор

Бид y(x) функцийг үргэлжлүүлэн судлах болно. Одоо бид гүдгэр, гүдгэр эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Эдгээр ойлголтуудын тодорхойлолтыг ойлгоход хэцүү байдаг; жишээн дээр бүх зүйлийг шинжлэх нь дээр. Туршилтын хувьд: Хэрэв функц нь буурахгүй бол гүдгэр байна. Зөвшөөрч байна, энэ нь ойлгомжгүй юм!

Хоёрдахь эрэмбийн функцийн деривативыг олох хэрэгтэй. Бид авна: y=1/3(6x-28). Одоо баруун талыг тэгтэй тэнцүүлээд тэгшитгэлээ шийдье. Хариулт: x=14/3. Бид гулзайлтын цэгийг, өөрөөр хэлбэл график нь гүдгэрээс хотгор руу эсвэл эсрэгээр өөрчлөгдөх газрыг олсон. Хасах хязгаараас 14/3 хүртэлх зайд функц нь гүдгэр, 14/3-аас нэмэх хязгаар хүртэл хонхор байна. График дээрх гулзайлтын цэг нь гөлгөр, зөөлөн байх ёстой, хурц өнцөггүй байх ёстой гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм.

Нэмэлт цэгүүдийг тодорхойлох

Бидний даалгавар бол функцийн графикийг судалж, байгуулах явдал юм. Бид судалгаагаа дуусгасан бөгөөд функцийн графикийг бүтээх нь тийм ч хэцүү биш юм. Координатын хавтгай дээрх муруй эсвэл шулуун шугамыг илүү нарийвчлалтай, нарийвчилсан хуулбарлахын тулд та хэд хэдэн туслах цэгүүдийг олох боломжтой. Тэдгээрийг тооцоолоход маш хялбар байдаг. Жишээлбэл, бид x=3-ыг авч, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, y=4-ийг олно. Эсвэл x=5, мөн у=-5 гэх мэт. Та барилгын ажилд шаардлагатай олон оноо авах боломжтой. Хамгийн багадаа 3-5 нь олддог.

График зурах

Бид (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y функцийг судлах шаардлагатай болсон. Тооцооллын явцад шаардлагатай бүх тэмдэглэгээг координатын хавтгайд хийсэн. График байгуулах, өөрөөр хэлбэл бүх цэгүүдийг холбох л үлдлээ. Цэгүүдийг холбох нь гөлгөр бөгөөд үнэн зөв байх ёстой, энэ бол ур чадварын асуудал юм - бага зэрэг дасгал хийвэл таны хуваарь төгс болно.

\(y= \frac(x^3)(1-x) \) функцийг судалж графикийг нь байгуулъя.

1. Тодорхойлолтын хамрах хүрээ.
Рационал функцийг (бутархай) тодорхойлох талбар нь: хуваагч нь тэгтэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Домэйн $$D_f= (-\infty; 1) \аяга (1;+\infty)$$

2. Функцийн тасрах цэг ба тэдгээрийн ангилал.
Функц нь нэг таслах цэгтэй байна x = 1
x= 1 цэгийг шалгая. Тасралтгүй цэгийн баруун ба зүүн талд байрлах функцийн хязгаарыг $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) гэж олъё. -x)) = -\infty $$ ба цэгийн зүүн талд $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Энэ учир нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг юм нэг талын хязгаар нь \(\infty\)-тэй тэнцүү байна.

Шулуун шугам \(x = 1\) нь босоо асимптот юм.

3. Функцийн паритет.
Функц тэгш ч биш сондгой ч биш \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) тэнцүү эсэхийг шалгана.

4. Функцийн тэг (Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд). Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.
Функцийн тэг ( Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэг): бид \(y=0\) тэнцүүлж, \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) авна. Муруй нь координаттай \((0;0)\) Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй байна.

Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.
Үзэж буй интервалууд дээр \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) муруй нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй тул бид гурван интервалаар тодорхойлолтын мужийг авч үзэх болно.

Тодорхойлолтын домайн интервал дээр функцийн тэмдгийг тодорхойлъё.
интервал \((-\infty; 0) \) дурын цэг дэх функцийн утгыг олох \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; 1) \) аль ч цэг дэх функцийн утгыг олно \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), энэ интервал дээр функц нь байна. эерэг \(f(x) > 0 \), i.e. Үхрийн тэнхлэгээс дээш байрладаг.
интервал \((1;+\infty) \) дурын цэг дэх функцийн утгыг олох \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: бид \(x=0\) тэнцүүлж, \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) авна. Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат \((0; 0)\)

6. Нэг хэвийн байдлын интервалууд. Функцийн экстремум.
Критик (хөдөлгөөнгүй) цэгүүдийг олцгооё, үүний тулд бид эхний деривативыг олж, тэгтэй тэнцүү $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ нь 0-тэй тэнцүү $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Энэ цэг дэх функцийн утгыг олъё \( f(0) = 0\) ба \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). Бид \((0;0)\) ба \((1.5;-6.75)\) координаттай хоёр чухал цэгийг авсан.

Нэг хэвийн байдлын интервалууд.
Функц нь хоёр чухал цэгтэй (боломжтой экстремум цэгүүд) тул бид дөрвөн интервалаар монотон байдлыг авч үзэх болно.
интервал \((-\infty; 0) \) интервалын дурын цэг дэх эхний деривативын утгыг олох \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
интервал \((0;1)\) бид \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ интервалын аль ч цэгээс эхний деривативын утгыг олно. 2) > 0\) , функц энэ интервалд нэмэгдэнэ.
интервал \((1;1.5)\) бид \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ интервалын аль ч цэгээс эхний деривативын утгыг олно. 2) > 0\) , функц энэ интервалд нэмэгдэнэ.
интервал \((1.5; +\infty)\) \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) интервалын дурын цэг дэх эхний деривативын утгыг ол. ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Функцийн экстремум.

Функцийг судлахдаа бид тодорхойлолтын домэйны интервал дээр хоёр чухал (хөдөлгөөнгүй) цэгийг олж авсан. Тэд туйлширсан эсэхийг тодорхойлъё. Чухал цэгүүдээр дамжин өнгөрөх үед деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг авч үзье.

цэг \(x = 0\) дериватив тэмдэг нь \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) -ээр өөрчлөгддөг - цэг нь экстремум биш юм.
цэг \(x = 1.5\) дериватив тэмдэг нь \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) -ээр өөрчлөгддөг - цэг нь хамгийн их цэг юм.

7. Гүдгэр ба гүдгэр хоорондын зай. Гулзайлтын цэгүүд.

Гүдгэр ба хотгорын интервалыг олохын тулд функцийн хоёр дахь деривативыг олж, тэгтэй тэнцүү $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Тэгтэй тэнцүү $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1) -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Функц нь координаттай хоёр дахь төрлийн нэг чухал цэгтэй байна \((0;0)\) .
Хоёрдахь төрлийн эгзэгтэй цэгийг (боломжтой гулзайлтын цэг) харгалзан тодорхойлолтын хүрээний интервал дээр гүдгэрийг тодорхойлъё.

интервал \((-\infty; 0)\) аль ч цэг дэх хоёр дахь деривативын утгыг олох \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-) x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 1)\) бид хоёр дахь деривативын утгыг дурын цэгээс олно \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), энэ интервал дээр функцийн хоёр дахь дериватив эерэг байна \(f""(x) > 0 \) функц нь доошоо гүдгэр (гүдгэр).
интервал \((1; \infty)\) аль ч цэг дэх хоёр дахь деривативын утгыг олох \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Гулзайлтын цэгүүд.

Хоёр дахь төрлийн эгзэгтэй цэгээр дамжин өнгөрөх үед хоёр дахь деривативын тэмдгийн өөрчлөлтийг авч үзье.
\(x =0\) цэг дээр хоёр дахь дериватив нь \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\) тэмдэгтэй өөрчлөгдөнө, функцийн график нь гүдгэр байдлыг өөрчилнө, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь координаттай гулзайлтын цэг юм \((0;0)\).

8. Асимптотууд.

Босоо асимптот. Функцийн график нь нэг босоо асимптоттой \(x =1\) (2-р догол мөрийг үзнэ үү).
Ташуу асимптот.
\(x \to \infty\) дахь \(y= \frac(x^3)(1-x) \) функцийн график нь налуу асимптоттой байхын тулд \(y = kx+b\) , энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай бөгөөд ингэснээр $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$бид $$ \lim_(x) гэсэн хоёр хязгаарлалттай байх болно. \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ба хоёр дахь хязгаар $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, учир нь \(k = \infty\) - ташуу асимптот байхгүй.

Хэвтээ асимптот:хэвтээ асимптот байхын тулд $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ гэсэн хязгаар байх шаардлагатай $$ \lim_(x \to +\infty) олъё. )(\frac(x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
Хэвтээ асимптот байхгүй.

9. Функцийн график.

Функцийг бүрэн судалж, түүний графикийг зурахын тулд дараахь схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.
A) тодорхойлолтын домэйн, таслах цэгийг олох; Тасралтгүй цэгүүдийн ойролцоох функцийн үйлдлийг судлах (эдгээр цэгүүдийн зүүн ба баруун талд байгаа функцийн хязгаарыг ол). Босоо асимптотуудыг заана уу.
B) функц тэгш эсвэл сондгой эсэхийг тодорхойлж, тэгш хэм байна гэж дүгнэ. Хэрэв , тэгвэл функц нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна; функц нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй, сондгой үед; мөн if нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм.
C) OY ба OX координатын тэнхлэгүүдтэй функцийн огтлолцох цэгүүдийг олох (боломжтой бол), функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг тодорхойлох. Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудын хилийг функц нь тэгтэй тэнцүү (функцийн тэг) эсвэл байхгүй цэгүүд болон энэ функцийг тодорхойлох мужын хил хязгаараар тодорхойлно. Функцийн график нь OX тэнхлэгээс дээш, харин энэ тэнхлэгийн доор байрлах интервалд.
D) функцийн эхний деривативыг олох, түүний тэг ба тогтмол тэмдгийн интервалыг тодорхойлох. Функц нэмэгдэж, буурч байгаа интервалд. Экстремум байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга (функц ба дериватив байдаг ба дамжин өнгөрөх үед тэмдэг өөрчлөгддөг цэгүүд. Хэрэв тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилждэг бол энэ үед функц хамгийн их, хасахаас нэмэх бол функц хамгийн их байна. , дараа нь хамгийн бага). Функцийн утгыг экстремум цэгүүдэд ол.
D) хоёр дахь дериватив, түүний тэг ба тогтмол тэмдгийн интервалыг ол. Хаана интервалаар< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) тэгшитгэл нь хэлбэртэй налуу (хэвтээ) асимптотуудыг ол. ; Хаана
.
At Функцийн график нь хоёр ташуу асимптоттой байх ба x-ийн утга бүр нь b-ийн хоёр утгатай тохирч болно.
G) графикийг тодруулах нэмэлт цэгүүдийг олж (шаардлагатай бол) графикийг байгуулна.

Жишээ 1 Функцийг судалж, графикийг нь байгуул. Шийдэл: A) тодорхойлолтын домэйн ; функц нь өөрийн тодорхойлолтын хүрээнд тасралтгүй байдаг; – таслах цэг, учир нь ;. Дараа нь - босоо асимптот.
B)
тэдгээр. y(x) нь ерөнхий хэлбэрийн функц юм.
C) Графикийн OY тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг ол: x=0 тогтоо; дараа нь y(0)=–1, өөрөөр хэлбэл. функцийн график нь (0;-1) цэг дээр тэнхлэгийг огтолж байна. Функцийн тэг (графын OX тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд): y=0 тохируулна; Дараа нь
.
Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь тэгээс бага бөгөөд тэг байхгүй гэсэн үг. Тэгвэл тогтмол тэмдгийн интервалуудын хил нь функц байхгүй x=1 цэг болно.
Интервал тус бүрийн функцийн тэмдгийг хэсэгчилсэн утгын аргаар тодорхойлно.

Диаграмаас харахад интервалд функцийн график нь OX тэнхлэгийн доор, интервалд OX тэнхлэгийн дээгүүр байрлаж байгаа нь тодорхой байна.
D) Бид эгзэгтэй цэгүүд байгаа эсэхийг олж мэдэв.
.
Бид эгзэгтэй цэгүүдийг (хаана эсвэл байхгүй) тэнцүү ба .

Бид дараахийг авна: x1=1, x2=0, x3=2. Туслах хүснэгт үүсгэцгээе

Хүснэгт 1

(Эхний мөрөнд эгзэгтэй цэгүүд болон эдгээр цэгүүдийг OX тэнхлэгт хуваасан интервалууд багтана; хоёр дахь мөрөнд чухал цэгүүд дэх деривативын утгууд ба интервал дээрх тэмдгүүдийг заана. Тэмдгийг хэсэгчилсэн утгаараа тодорхойлно. Гурав дахь мөрөнд y(x) функцийн утгыг эгзэгтэй цэгүүдээр зааж өгөх ба функцийн үйлдлийг харуулсан - тоон тэнхлэгийн харгалзах интервалаар нэмэгдэж, эсвэл буурч байна заасан.
D) Функцийн гүдгэр ба хотгорын интервалыг ол.
; D цэгийн дагуу хүснэгтийг барих); Зөвхөн хоёр дахь мөрөнд бид тэмдгүүдийг бичиж, гуравдугаарт бид гүдгэрийн төрлийг зааж өгдөг. Учир нь ; тэгвэл критик цэг нь нэг x=1 байна.
хүснэгт 2

x=1 цэг нь гулзайлтын цэг юм.
E) Ташуу ба хэвтээ асимптотуудыг ол

Тэгвэл y=x нь ташуу асимптот болно.
G) Хүлээн авсан өгөгдөл дээр үндэслэн бид функцийн графикийг байгуулна

1). Функцийн хамрах хүрээ.
Энэ функц нь "" ба "" цэгүүдээс бусад бүх тооны мөрөнд тодорхойлогдсон нь ойлгомжтой Эдгээр цэгүүдэд хуваагч нь тэгтэй тэнцүү тул функц байхгүй, шулуун шугамууд нь босоо асимптотууд юм.

2). Аргумент болгон функцийн зан төлөв нь хязгааргүй, тасалдалтай цэгүүд, ташуу асимптот байгаа эсэхийг шалгах хандлагатай байдаг.
Юуны өмнө зүүн болон баруун тийш хязгааргүйд ойртох үед функц хэрхэн ажиллаж байгааг шалгая.

Тиймээс, функц нь 1 рүү чиглэх үед, i.e. - хэвтээ асимптот.
Тасралтгүй цэгүүдийн ойролцоо функцийн үйл ажиллагааг дараах байдлаар тодорхойлно.


Тэдгээр. Зүүн талын тасалдалтай цэгүүдэд ойртох үед функц нь хязгааргүй буурч, баруун талд нь хязгааргүй нэмэгддэг.
Бид тэгш байдлыг харгалзан ташуу асимптот байгаа эсэхийг тодорхойлно.

Ташуу асимптот байхгүй.

3). Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд.
Энд хоёр нөхцөл байдлыг авч үзэх шаардлагатай: Ox тэнхлэг ба Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол. Ox тэнхлэгтэй огтлолцох тэмдэг нь функцийн тэг утга, i.e. тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай:

Энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул энэ функцийн график нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэггүй болно.
Ой тэнхлэгтэй огтлолцох тэмдэг нь x = 0. Энэ тохиолдолд
,
тэдгээр. – функцийн графикийн Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэг.

4).Экстремумын цэг ба өсөлт буурах интервалыг тодорхойлох.
Энэ асуудлыг судлахын тулд бид эхний деривативыг тодорхойлно.
.
Эхний деривативын утгыг тэгтэй тэнцүүлье.
.
Бутархай нь 0-тэй тэнцүү байх үед түүний тоологч нь тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. .
Функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлъё.

Тиймээс функц нь нэг экстремум цэгтэй бөгөөд хоёр цэг дээр байдаггүй.
Иймд функц нь интервалууд дээр нэмэгдэж, интервалууд дээр буурдаг.

5). Гулзайлтын цэгүүд ба гүдгэр ба хотгорын хэсгүүд.
Функцийн үйл ажиллагааны энэ шинж чанарыг хоёр дахь дериватив ашиглан тодорхойлно. Эхлээд гулзайлтын цэг байгаа эсэхийг тодорхойлъё. Функцийн хоёр дахь дериватив нь тэнцүү байна

Хэзээ ба функц нь хотгор;

хэзээ ба функц нь гүдгэр байна.

6). Функцийн график дүрслэх.
Олсон утгыг цэгээр ашигласнаар бид функцийн графикийг схемийн дагуу байгуулна.

Шийдэл
Өгөгдсөн функц нь ерөнхий хэлбэрийн үечилсэн бус функц юм. Түүний график нь координатын гарал үүслээр дамждаг тул .
Өгөгдсөн функцийг тодорхойлох талбар нь бутархайн хуваагч тэг болохоос бусад хувьсагчийн бүх утгууд юм.
Үүний үр дүнд цэгүүд нь функцийн тасалдлын цэгүүд юм.
Учир нь ,

Учир нь ,
, тэгвэл цэг нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг болно.
Шулуун шугамууд нь функцийн графикийн босоо асимптотууд юм.
Ташуу асимптотуудын тэгшитгэл, энд, .
At ,
.
Тиймээс функцийн график нь нэг асимптоттой байна.
Функцийн өсөлт ба бууралтын интервал ба экстремум цэгүүдийг олъё.
.
Функцийн эхний дериватив at ба, тиймийн тул, at ба функц нэмэгдэнэ.
Хэзээ, тиймээс, үед функц буурна.
хувьд байхгүй , .
, тиймээс, хэзээ Функцийн график нь хотгор байна.
At , тиймээс, хэзээ Функцийн график нь гүдгэр байна.

Цэгүүдээр дамжин өнгөрөхдөө , , тэмдгийг өөрчилдөг. Үед функц тодорхойлогдоогүй тул функцийн график нэг нугалах цэгтэй байна.
Функцийн графикийг байгуулъя.