Зааварчилгаа

Танд гурван оноо өгсөн. Тэдгээрийг (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) гэж тэмдэглэе. Эдгээр цэгүүд нь заримын оройнууд гэж таамаглаж байна гурвалжин. Даалгавар бол түүний талуудын тэгшитгэлийг бий болгох явдал юм - илүү нарийвчлалтай, эдгээр талууд байрладаг шугамуудын тэгшитгэл. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь дараах байдлаар харагдах ёстой.
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 Тиймээс та k1, k2, k3 өнцгийн утгууд болон b1, b2, b3 шилжилтийг олох хэрэгтэй.

(x1, y1), (x2, y2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууныг ол. Хэрэв x1 = x2 бол хүссэн шугам босоо байх ба тэгшитгэл нь x = x1 байна. Хэрэв y1 = y2 бол шугам нь хэвтээ бөгөөд тэгшитгэл нь y = y1 байна. Ерөнхийдөө эдгээр координатууд хоорондоо таарахгүй.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд координатуудыг (x1, y1), (x2, y2) орлуулснаар хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем гарч ирнэ: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасаад үүссэн тэгшитгэлийг k1-ийн хувьд шийд: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, тиймээс k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Анхны тэгшитгэлийн аль нэгэнд олсон зүйлээ орлуулан b1 илэрхийллийг ол:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 x2 ≠ x1 гэдгийг бид аль хэдийн мэдэж байгаа тул y1-ийг (x2 - x1)/(x2 - x1) үржүүлэх замаар илэрхийллийг хялбарчилж болно. Дараа нь b1-ийн хувьд та дараах илэрхийллийг авах болно: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Өгөгдсөн цэгүүдийн гуравны нэг нь олсон шулуун дээр байгаа эсэхийг шалгана уу. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн тэгшитгэлд (x3, y3) орлуулж, тэгш байдал биелэх эсэхийг шалгана уу. Хэрэв энэ нь ажиглагдвал бүх гурван цэг нь нэг шулуун дээр байрладаг бөгөөд гурвалжин нь сегмент болж хувирдаг.

Дээр дурдсантай адил (x2, y2), (x3, y3) болон (x1, y1), (x3, y3) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуунуудын тэгшитгэлийг гарга.

Оройнуудын координатаар өгөгдсөн гурвалжны талуудын тэгшитгэлийн эцсийн хэлбэр нь: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1) );
(2) у = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Олох тэгшитгэл намууд гурвалжин, юуны өмнө хавтгай дээрх шулууны чиглэлийн вектор s(m, n) болон шулуунд хамаарах зарим M0(x0, y0) цэг нь мэдэгдэж байвал түүний тэгшитгэлийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг шийдэхийг оролдох ёстой.

Зааварчилгаа

М(х, у) дурын (хувьсах, хөвөгч) цэгийг аваад М0M =(x-x0, y-y0) векторыг байгуул (М0M(x-x0, y-y0) гэж бичнэ), энэ нь мэдээж коллинеар байх болно. (зэрэгцээ ) k s. Дараа нь бид эдгээр векторуудын координатууд пропорциональ байна гэж дүгнэж болно, тиймээс бид каноник шулуун шугам үүсгэж болно: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ харьцааг ашиглана.

Цаашдын бүх үйлдлийг арга дээр үндэслэн тодорхойлно .1-р арга. Гурвалжныг гурван оройнх нь координатаар, сургуулийн геометрт гурвын уртаар нь өгдөг. намууд(1-р зургийг үз). Өөрөөр хэлбэл, нөхцөл нь M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) цэгүүдийг агуулна. Тэдгээр нь тэдгээрийн радиус векторуудтай тохирч байна) OM1, 0M2 ба OM3 цэгүүдтэй ижил координаттай. Авахын тулд тэгшитгэл намууд s M1M2 нь өөрийн чиглэлийн векторыг M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) болон M1 эсвэл M2 цэгүүдийн аль нэгийг (энд доод индекстэй цэгийг авна) шаарддаг.

Тэгэхээр төлөө намууд y M1M2 шугамын каноник тэгшитгэл (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Цэвэр индуктив байдлаар бид бичиж чадна тэгшитгэлбусад намууд.For намууд s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Учир нь намууд s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2-р арга. Гурвалжин нь хоёр цэг (M1(x1, y1) ба M2(x2, y2)-ийн өмнөхтэй ижил), мөн нөгөө хоёрын чиглэлийн нэгж векторуудаар тодорхойлогддог. намууд. Учир нь намууд s M2M3: p^0(m1, n1). M1M3-ийн хувьд: q^0(м2, n2). Тиймээс төлөө намууд s M1M2 нь эхний аргынхтай адил байх болно: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Учир нь намууд s М2М3 нь каноникийн цэг (x0, y0). тэгшитгэл(x1, y1), чиглэлийн вектор нь p^0(m1, n1) байна. Учир нь намууд s M1M3, (x2, y2) цэгийг (x0, y0) авч, чиглэлийн вектор нь q^0(m2, n2). Тиймээс M2M3-ийн хувьд: тэгшитгэл (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 M1M3-ийн хувьд: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Сэдвийн талаархи видео

Зөвлөгөө 3: Хэрэв цэгүүдийн координат өгөгдсөн бол гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ

Өндөр нь зургийн дээд хэсгийг эсрэг талтай холбосон шулуун шугамын сегмент юм. Энэ сегмент нь хажуу талдаа перпендикуляр байх ёстой тул орой бүрээс зөвхөн нэгийг зурж болно өндөр. Энэ зурагт гурван орой байгаа тул ижил тооны өндөр байна. Хэрэв гурвалжинг оройнуудынх нь координатаар өгвөл өндрийн тус бүрийн уртыг жишээ нь талбайг олох, талуудын уртыг тооцоолох томъёогоор тооцоолж болно.

Зааварчилгаа

Хажуугийн уртыг тооцоолж эхэл гурвалжин. томилох координатууддараах байдалтай байна: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) болон C(X₃,Y₃,Z₃). Дараа нь AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) томъёог ашиглан AB талын уртыг тооцоолж болно. Нөгөө хоёр талын хувьд эдгээр нь дараах байдлаар харагдана: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) ба AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁) -Y₃ )² + (Z₁-Z₃)²). Жишээ нь, төлөө гурвалжин A(3,5,7), B(16,14,19) ба C(1,2,13) ​​координатуудтай бол AB талын урт нь √((3-16)² + (5-14) байх болно. )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19.85. Үүнтэй ижил аргаар тооцсон BC ба AC талуудын урт нь √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20.12 ба √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7 болно.

Өмнөх алхамд олж авсан гурван талын уртыг мэдэх нь талбайг тооцоолоход хангалттай гурвалжин(S) Хероны томъёогоор: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Жишээлбэл, координатаас олж авсан утгуудыг энэ томъёонд орлуулна гурвалжин-өмнөх алхамын дээж, энэ нь утгыг өгнө: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ≈ ¼*√75768.55 ≈ ¼*275.26 = 68.815 .

Талбай дээр үндэслэсэн гурвалжин, өмнөх алхамд тооцоолсон, хоёр дахь шатанд олж авсан талуудын уртыг талууд тус бүрийн өндрийг тооцоолно. Талбай нь өндрийн болон түүнийг татах талын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү тул өндрийг олохын тулд хоёр дахин нэмэгдсэн талбайг хүссэн талын уртаар хуваана: H = 2*S/a. Дээр ашигласан жишээний хувьд AB тал руу буулгасан өндөр нь 2*68.815/16.09 ≈ 8.55, ВС тал хүртэлх өндөр нь 2*68.815/20.12 ≈ 6.84 урттай байх ба AC талын хувьд энэ утга нь тэнцүү байх болно. 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

Эх сурвалжууд:

• Өгөгдсөн цэгүүд гурвалжны талбайг ол

Зөвлөгөө 4: Гурвалжны оройн координатыг ашиглан талуудын тэгшитгэлийг олох арга

Аналитик геометрийн хувьд хавтгай дээрх гурвалжинг декартын координатын системээр тодорхойлж болно. Оройнуудын координатыг мэдэхийн тулд та гурвалжны талуудын тэгшитгэлийг үүсгэж болно. Эдгээр нь огтлолцож дүрс үүсгэдэг гурван шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Аналитик геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж сурах вэ?
Хавтгай дээрх гурвалжинтай холбоотой ердийн асуудал

Энэ хичээлийг хавтгайн геометр ба сансар огторгуйн геометрийн хоорондох экватор руу ойртох талаар бий болгосон. Одоогийн байдлаар хуримтлагдсан мэдээллийг системчлэх, маш чухал асуултанд хариулах шаардлагатай байна. аналитик геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж сурах вэ?Хэцүү зүйл бол та геометрийн хязгааргүй олон тооны бодлого бодож олох боломжтой бөгөөд ямар ч сурах бичигт олон янзын жишээг багтаахгүй. Биш функцийн деривативялгах таван дүрэм, хүснэгт, хэд хэдэн арга техниктэй.

Шийдэл бий! Би ямар нэгэн гайхалтай техник боловсруулсан тухайгаа чанга ярихгүй, гэхдээ миний бодлоор хэлэлцэж буй асуудалд үр дүнтэй арга байдаг бөгөөд энэ нь бүрэн дамми хүртэл сайн, маш сайн үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Наад зах нь геометрийн бодлого бодох ерөнхий алгоритм миний толгойд маш тодорхой бий болсон.

ТА МЭДЭХ ХЭРЭГТЭЙ, ХИЙХ ЧАДВАРТАЙ БАЙХ
геометрийн асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд?

Үүнээс зугтах зүйл алга - хамараараа товчлуурыг санамсаргүй цохихгүйн тулд та аналитик геометрийн үндсийг эзэмших хэрэгтэй. Тиймээс хэрэв та геометрийн хичээлийг дөнгөж судалж эхэлсэн эсвэл бүр мартсан бол хичээлээ эхлүүлээрэй Дамми нарт зориулсан векторууд. Векторууд ба тэдгээртэй хийх үйлдлээс гадна та хавтгай геометрийн үндсэн ойлголтуудыг мэдэх хэрэгтэй. хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлМөн . Сансар огторгуйн геометрийг нийтлэлд үзүүлэв Хавтгай тэгшитгэл, Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл, Шулуун ба хавтгай дээрх үндсэн бодлого болон бусад хичээлүүд. Хоёрдахь эрэмбийн муруй шугамууд ба орон зайн гадаргуу нь бие биенээсээ бага зэрэг зайд байрладаг бөгөөд тэдгээрт тийм ч тодорхой асуудал байдаггүй.

Оюутан аналитик геометрийн хамгийн энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэх үндсэн мэдлэг, чадвартай болсон гэж үзье. Гэхдээ иймэрхүү зүйл тохиолддог: та асуудлын мэдэгдлийг уншиж, ... та бүх зүйлийг бүхэлд нь хааж, хамгийн хол буланд хаяж, муу зүүд шиг мартахыг хүсч байна. Түүнээс гадна, энэ нь үндсэндээ таны ур чадварын түвшнээс хамаардаггүй; би үе үе шийдэл нь тодорхойгүй ажлуудтай тулгардаг. Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Та ойлгохгүй байгаа ажлаас айх шаардлагагүй!

Нэгдүгээрт, суурилуулсан байх ёстой - Энэ "хавтгай" эсвэл орон зайн асуудал уу?Жишээлбэл, хэрэв нөхцөл нь хоёр координат бүхий векторуудыг багтаасан бол энэ нь мэдээжийн хэрэг, хавтгайн геометр юм. Хэрэв багш талархалтай сонсогчдод пирамид ачсан бол орон зайн геометр байгаа нь тодорхой юм. Эхний алхамын үр дүн аль хэдийн сайн байна, учир нь бид энэ даалгаварт шаардлагагүй асар их хэмжээний мэдээллийг хасаж чадсан!

Хоёрдугаарт. Нөхцөл байдал нь ихэвчлэн геометрийн дүрстэй холбоотой байх болно. Үнэхээр төрөлх их сургуулийнхаа коридороор алхаж, санаа зовсон олон царайг харах болно.

"Хавтгай" бодлогод тодорхой цэг, шугамыг дурдахгүй байхын тулд хамгийн алдартай дүрс бол гурвалжин юм. Бид үүнийг нарийвчлан шинжлэх болно. Дараа нь параллелограмм ирдэг бөгөөд тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, ромб, тойрог болон бусад хэлбэрүүд нь хамаагүй бага байдаг.

Орон зайн асуудалд ижил хавтгай дүрсүүд + онгоцнууд өөрсдөө болон параллелепипед бүхий нийтлэг гурвалжин пирамидууд нисч чаддаг.

Хоёр дахь асуулт - Та энэ зургийн талаар бүгдийг мэдэх үү?Нөхцөл нь ижил өнцөгт гурвалжны тухай ярьж байна гэж бодъё, мөн та энэ гурвалжин ямар хэлбэртэй болохыг маш бүдэг бадаг санаж байна. Бид сургуулийн сурах бичгийг нээж, тэгш өнцөгт гурвалжны тухай уншдаг. Яах вэ... эмч ромб гэж хэлсэн, ромбо гэсэн үг. Аналитик геометр бол аналитик геометр, гэхдээ Асуудлыг дүрсүүдийн геометрийн шинж чанараар шийдэх болно, сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс бидэнд мэдэгддэг. Хэрэв та гурвалжны өнцгийн нийлбэр хэд болохыг мэдэхгүй бол та удаан хугацаанд зовж шаналж болно.

Гуравдугаарт. Зургийг үргэлж дагаж мөрдөхийг хичээ(ноорог/дуусгасан хуулбар дээр/сэтгэцийн хувьд), энэ нь нөхцөлөөр шаардлагагүй байсан ч гэсэн. "Хавтгай" асуудалд Евклид өөрөө захирагч, харандаа авахыг тушаажээ - зөвхөн нөхцөл байдлыг ойлгохын тулд төдийгүй өөрийгөө шалгах зорилгоор. Энэ тохиолдолд хамгийн тохиромжтой масштаб нь 1 нэгж = 1 см (2 дэвтэр нүд) юм. хайхрамжгүй оюутнууд, математикчид булшиндаа эргэлдэж байгаа тухай ярихаа больё - ийм бодлогод алдаа гаргах нь бараг боломжгүй юм. Орон зайн даалгаврын хувьд бид схемийн зургийг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийхэд тусална.

Зураг эсвэл бүдүүвч зураг нь ихэвчлэн асуудлыг шийдэх арга замыг шууд харах боломжийг олгодог. Мэдээжийн хэрэг, үүний тулд та геометрийн үндэс суурийг мэдэж, геометрийн дүрсийн шинж чанарыг ойлгох хэрэгтэй (өмнөх догол мөрийг үзнэ үү).

Дөрөвдүгээрт. Шийдлийн алгоритм боловсруулах. Геометрийн олон асуудлууд нь олон үе шаттай байдаг тул шийдэл болон түүний загвар нь цэг болгон задлахад маш тохиромжтой. Ихэнх тохиолдолд алгоритм нь нөхцөлийг уншиж эсвэл зурж дуусгасны дараа шууд санаанд орж ирдэг. Хэцүү тохиолдолд бид даалгаврын АСУУЛТ-аас эхэлнэ. Жишээлбэл, "та шулуун шугам барих хэрэгтэй ..." гэсэн нөхцлийн дагуу. Энд хамгийн логик асуулт бол: "Энэ шулуун шугамыг барихад юу мэдэхэд хангалттай вэ?" "Бид цэгийг мэддэг, бид чиглэлийн векторыг мэдэх хэрэгтэй" гэж бодъё. Бид дараах асуултыг асууж байна: "Энэ чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ? Хаана?" гэх мэт.

Заримдаа "алдаа" байдаг - асуудал шийдэгдээгүй, тэгээд л болоо. Зогсоох шалтгаан нь дараахь байж болно.

– Суурь мэдлэгийн ноцтой зөрүү. Өөрөөр хэлбэл, та маш энгийн зүйлийг мэдэхгүй ба/эсвэл харахгүй байна.

– Геометрийн дүрсийн шинж чанарыг үл тоомсорлодог.

- Даалгавар хэцүү байсан. Тиймээ, тохиолддог. Олон цагаар ууранд жигнэж, алчууранд нулимс цуглуулах нь утгагүй юм. Багш, хамт суралцагч нараасаа зөвлөгөө авах эсвэл форум дээр асуулт асуугаарай. Түүгээр ч барахгүй шийдлийн таны ойлгохгүй байгаа хэсгийг тодорхой болгох нь дээр. "Асуудлыг хэрхэн шийдэх вэ?" тийм ч сайн харагдахгүй байна ..., хамгийн гол нь өөрийн нэр хүндийн төлөө.

Тавдугаар шат. Бид шийднэ-шалгана, шийднэ-шалгана, шийднэ-шалгана-хариулна. Даалгаврын цэг бүрийг шалгах нь ашигтай байдаг дууссаны дараа шууд. Энэ нь алдааг даруй илрүүлэхэд тусална. Мэдээжийн хэрэг, асуудлыг бүхэлд нь хурдан шийдвэрлэхийг хэн ч хориглодоггүй, гэхдээ бүгдийг дахин бичих эрсдэлтэй байдаг (ихэвчлэн хэд хэдэн хуудас).

Эдгээр нь магадгүй асуудлыг шийдвэрлэхдээ дагаж мөрдөх ёстой бүх гол зүйл юм.

Хичээлийн практик хэсгийг хавтгай геометрээр үзүүлэв. Зөвхөн хоёр жишээ байх болно, гэхдээ хангалттай биш юм шиг =)

Шинжлэх ухааны бяцхан ажил дээрээ саяхан үзсэн алгоритмын утгыг авч үзье.

Жишээ 1

Параллелограммын гурван орой өгөгдсөн. Дээд талыг ол.

Ингээд ойлгож эхэлцгээе:

Нэгдүгээр алхам: “Хавтгай” асуудал ярьж байгаа нь ойлгомжтой.

Хоёрдугаар алхам: Асуудал нь параллелограммыг авч үздэг. Энэ параллелограмм дүрсийг бүгд санаж байна уу? Инээмсэглэх шаардлагагүй, олон хүн 30-40-50 ба түүнээс дээш насанд боловсрол эзэмшдэг тул энгийн баримтуудыг ч ой санамжаас арилгадаг. Параллелограммын тодорхойлолтыг хичээлийн 3-р жишээнд үзүүлэв Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс.

Гуравдугаар алхам: Бид гурван мэдэгдэж буй оройг тэмдэглэсэн зураг зурцгаая. Хүссэн цэгээ шууд бий болгох нь тийм ч хэцүү биш нь инээдтэй юм.

Үүнийг бүтээх нь мэдээж сайн хэрэг, гэхдээ шийдлийг аналитик байдлаар томъёолох ёстой.

Дөрөвдүгээр алхам: Шийдлийн алгоритм боловсруулах. Хамгийн түрүүнд санаанд орж байгаа зүйл бол цэгийг шугамын огтлолцол гэж үзэж болно. Бид тэдний тэгшитгэлийг мэдэхгүй тул бид энэ асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно.

1) Эсрэг талууд параллель байна. Оноогоор Эдгээр талуудын чиглэлийн векторыг олъё. Энэ бол ангид яригдаж байсан хамгийн энгийн асуудал юм. Дамми нарт зориулсан векторууд.

Жич: "хажуу талыг агуулсан шулууны тэгшитгэл" гэж хэлэх нь илүү зөв боловч энд, цаашлаад би "талын тэгшитгэл", "талын чиглэлийн вектор" гэх мэт хэллэгүүдийг ашиглах болно.

3) Эсрэг талууд параллель байна. Цэгүүдийг ашиглан бид эдгээр талуудын чиглэлийн векторыг олно.

4) Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя

1-2 ба 3-4-т бид нэг асуудлыг хоёр удаа шийдсэн, энэ нь хичээлийн 3-р жишээн дээр яригдсан Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Илүү урт замыг сонгох боломжтой байсан - эхлээд шугамуудын тэгшитгэлийг олж, зөвхөн дараа нь тэдгээрээс чиглэлийн векторуудыг "сугалах" боломжтой.

5) Одоо шугамын тэгшитгэлүүд мэдэгдэж байна. Шугаман тэгшитгэлийн харгалзах системийг зохиож, шийдвэрлэх л үлдлээ (ижил хичээлийн 4, 5-р жишээг үзнэ үү). Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд).

Гол нь олдсон.

Даалгавар нь маш энгийн бөгөөд шийдэл нь ойлгомжтой, гэхдээ илүү богино арга зам бий!

Хоёр дахь шийдэл:

Параллелограммын диагональуудыг огтлолцох цэгээр нь хуваана. Би цэгийг тэмдэглэсэн боловч зургийг будлиулахгүйн тулд диагональуудыг өөрөө зураагүй.

Хажуугийн цэгийн тэгшитгэлийг цэгээр байгуулъя :

Шалгахын тулд та оюун ухаанаараа эсвэл ноорог дээр цэг бүрийн координатыг үүссэн тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй. Одоо налууг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид ерөнхий тэгшитгэлийг налуугийн коэффициент бүхий тэгшитгэл хэлбэрээр дахин бичнэ.

Тиймээс налуу нь:

Үүний нэгэн адил бид талуудын тэгшитгэлийг олдог. Би ижил зүйлийг тайлбарлах нь утгагүй юм, тиймээс би эцсийн үр дүнг шууд өгөх болно:

2) Хажуугийн уртыг ол. Энэ бол ангид хамгийн энгийн асуудал юм. Дамми нарт зориулсан векторууд. Онооны хувьд Бид томъёог ашигладаг:

Үүнтэй ижил томъёог ашиглан бусад талуудын уртыг олоход хялбар байдаг. Шалгалтыг ердийн захирагчаар маш хурдан хийж болно.

Бид томъёог ашигладаг .

Векторуудыг олцгооё:

Тиймээс:

Дашрамд хэлэхэд, бид хажуугийн уртыг олсон.

Үр дүнд нь:

За, үнэмшилтэй байх нь үнэн юм шиг санагдаж байна, та буланд шилжүүлэгчийг холбож болно.

Анхаар! Гурвалжны өнцгийг шулуун шугамын хоорондох өнцөгтэй андуурч болохгүй. Гурвалжны өнцөг нь мохоо байж болох ч шулуун шугамын хоорондох өнцөг боломжгүй (өгүүллийн сүүлийн догол мөрийг үзнэ үү). Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд). Гэхдээ гурвалжны өнцгийг олохын тулд дээрх хичээлийн томъёог ашиглаж болно, гэхдээ барзгар байдал нь тэдгээр томьёо нь үргэлж хурц өнцөг өгдөг. Тэдний тусламжтайгаар би энэ асуудлыг төсөл дээр шийдэж, үр дүнд хүрсэн. Эцсийн хуулбар дээр би нэмэлт шалтаг бичих хэрэгтэй болно.

4) Шугамтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич.

Хичээлийн 2-р жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн стандарт даалгавар Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс Хөтөч векторыг гаргаж авцгаая. Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Гурвалжны өндрийг хэрхэн олох вэ?

5) Өндөрт тэгшитгэл үүсгэж, уртыг нь олцгооё.

Хатуу тодорхойлолтоос зугтах арга байхгүй тул та сургуулийн сурах бичгээс хулгайлах хэрэгтэй болно.

Гурвалжингийн өндөр гурвалжны оройноос эсрэг талыг агуулсан шулуун руу татсан перпендикуляр гэнэ.

Өөрөөр хэлбэл оройгоос хажуу тийш зурсан перпендикулярын тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай. Энэ даалгаврыг хичээлийн 6, 7-р жишээн дээр авч үзсэн болно Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Eq-аас. хэвийн векторыг арилгах. Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан өндрийн тэгшитгэлийг байгуулъя.

Бид цэгийн координатыг мэдэхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Заримдаа перпендикуляр шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүдийн харьцаанаас өндрийн тэгшитгэл олддог: . Энэ тохиолдолд: . Цэг ба өнцгийн коэффициент ашиглан өндрийн тэгшитгэлийг зохиоё (хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү). Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл):

Өндөр уртыг хоёр аргаар олж болно.

Тойрог зам бий:

a) олох - өндөр ба хажуугийн огтлолцлын цэг;
б) мэдэгдэж буй хоёр цэгийг ашиглан хэрчмийн уртыг ол.

Гэхдээ ангид Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлуудцэгээс шулуун хүртэлх зайны тохиромжтой томьёог авч үзсэн. Цэг нь мэдэгдэж байна: , шугамын тэгшитгэл нь бас мэдэгдэж байна: , Тиймээс:

6) Гурвалжны талбайг тооцоол. Орон зайд гурвалжны талбайг уламжлалт байдлаар тооцоолдог векторуудын вектор үржвэр, гэхдээ энд бидэнд хавтгай дээрх гурвалжин өгөгдсөн. Бид сургуулийн томъёог ашигладаг:
- Гурвалжны талбай нь түүний суурь ба өндрийн үржвэрийн талтай тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд:

Гурвалжны медианыг хэрхэн олох вэ?

7) Медианд тэгшитгэл байгуулъя.

Гурвалжны медиан гурвалжны оройг эсрэг талын дунд хэсэгтэй холбосон хэрчмийг гэж нэрлэдэг.

a) Хажуугийн дунд цэгийг ол. Бидний хэрэглэдэг сегментийн дунд цэгийн координатын томъёо. Сегментийн төгсгөлийн координатууд нь мэдэгдэж байна: , дараа нь дунд хэсгийн координатууд:

Тиймээс:

Дундаж тэгшитгэлийг цэгээр байгуулъя :

Тэгшитгэлийг шалгахын тулд цэгүүдийн координатыг орлуулах хэрэгтэй.

8) Өндөр ба медиан огтлолцох цэгийг ол. Уран гулгалтын энэ элементийг унахгүйгээр хэрхэн хийхийг хүн бүр аль хэдийн сурсан гэж би бодож байна.

"Хавтгай дээрх аналитик геометр" стандарт ажлын зарим даалгаврыг шийдвэрлэх жишээ

Оройнуудыг өгсөн,
,
гурвалжин ABC. Олно:

Гурвалжны бүх талын тэгшитгэл;

Гурвалжинг тодорхойлох шугаман тэгш бус байдлын систем ABC;

Оройноос нь татсан гурвалжны өндөр, медиан ба биссектрисын тэгшитгэл А;

Гурвалжны өндрийн огтлолцлын цэг;

Гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэг;

Хажуу тал руу доошлуулсан өндрийн урт AB;

Булан А;

Зураг зурах.

Гурвалжны оройг координаттай болго: А (1; 4), IN (5; 3), ХАМТ(3; 6). Тэр даруй зураг зурцгаая:

1. Гурвалжны бүх талын тэгшитгэлийг бичихдээ координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглана. x 0 , y 0 ) ба ( x 1 , y 1 ):

=

Тиймээс (-ын оронд орлуулах) x 0 , y 0 ) цэгийн координат А, оронд нь ( x 1 , y 1 ) цэгийн координат IN, бид шугамын тэгшитгэлийг авна AB:

Үүссэн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэл болно AB, ерөнхий хэлбэрээр бичсэн. Үүний нэгэн адил бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг олно АС:

Мөн шулуун шугамын тэгшитгэл Нар:

2. Гурвалжны цэгүүдийн олонлог болохыг анхаарна уу ABCгурван хагас хавтгайн огтлолцлыг илэрхийлэх ба хагас хавтгай бүрийг шугаман тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхойлж болно. Хэрэв бид аль нэг талын тэгшитгэлийг авбал ∆ ABC, Жишээлбэл AB, дараа нь тэгш бус байдал

Тэгээд

Шугамын эсрэг талд байрлах цэгүүдийг тодорхойлох AB. Бид C цэг байрлах хагас хавтгайг сонгох хэрэгтэй, түүний координатыг хоёр тэгш бус байдалд орлъё.

Хоёр дахь тэгш бус байдал нь зөв байх бөгөөд энэ нь шаардлагатай цэгүүдийг тэгш бус байдлаар тодорхойлно гэсэн үг юм

.

Бид BC шулуун шугам, түүний тэгшитгэлтэй ижил зүйлийг хийдэг
. Бид A (1, 1) цэгийг туршилтын цэг болгон ашигладаг.

Энэ нь шаардлагатай тэгш бус байдал нь дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

.

Хэрэв бид AC шулуун шугамыг (туршилтын B цэг) шалгавал бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ нь шаардлагатай тэгш бус байдал нь хэлбэртэй байна гэсэн үг юм

Эцэст нь бид тэгш бус байдлын системийг олж авдаг.

"≤", "≥" тэмдгүүд нь гурвалжны хажуу талууд дээр байрлах цэгүүд нь гурвалжинг бүрдүүлдэг цэгүүдийн багцад багтана гэсэн үг юм. ABC.

3. а) Оройноос унасан өндрийн тэгшитгэлийг олохын тулд Атал руу Нар, талын тэгшитгэлийг авч үзье Нар:
. Координат бүхий вектор
хажуу тийш перпендикуляр Нартиймээс өндөртэй зэрэгцээ байна. Нэг цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичье Авектортой параллель
:

Энэ нь t-ээс хасагдсан өндрийн тэгшитгэл юм. Атал руу Нар.

б) Хажуугийн дунд хэсгийн координатыг ол Нартомъёоны дагуу:

Энд
– эдгээр нь t-ийн координатууд юм. IN, А
– координат t. ХАМТ. Орлуулж аваад авцгаая:

Энэ цэг ба цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам АХүссэн медиан нь:

в) Бид тэгш өнцөгт гурвалжинд гурвалжны суурь хүртэл нэг оройгоос буух өндөр, медиан ба биссектриса тэнцүү байна гэсэн үндэслэлээр биссектрисын тэгшитгэлийг хайх болно. Хоёр векторыг олъё
Тэгээд
ба тэдгээрийн урт:

Дараа нь вектор
вектортой ижил чиглэлтэй байна
, ба түүний урт
Үүний нэгэн адил нэгж вектор
вектортой чиглэлтэй давхцаж байна
Вектор нийлбэр

өнцгийн биссектрисатай чиглэлтэй давхцах вектор юм А. Тиймээс хүссэн биссектрисын тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

4) Бид аль нэг өндрийн тэгшитгэлийг бий болгосон. Өөр өндрийн тэгшитгэлийг жишээ нь оройноос нь байгуулъя IN. Хажуу тал АСтэгшитгэлээр өгөгдсөн
Тэгэхээр вектор
перпендикуляр АС, улмаар хүссэн өндөртэй зэрэгцээ байна. Дараа нь оройг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл INвекторын чиглэлд
(жишээ нь перпендикуляр АС), дараах хэлбэртэй байна:

Гурвалжны өндөр нь нэг цэг дээр огтлолцдог нь мэдэгдэж байна. Ялангуяа энэ цэг нь олсон өндрийн огтлолцол, i.e. тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх:

- энэ цэгийн координатууд.

5. Дунд ABкоординаттай
. Медианы тэгшитгэлийг хажуу тийш нь бичье AB.Энэ шугам нь координат (3, 2) ба (3, 6) цэгүүдийг дайран өнгөрдөг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

Шугамын тэгшитгэл дэх бутархайн хуваагч дахь тэг нь энэ шулуун ординатын тэнхлэгтэй зэрэгцээ гүйж байгааг анхаарна уу.

Медиануудын огтлолцлын цэгийг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хангалттай.

Гурвалжны медиануудын огтлолцох цэг нь координаттай байдаг
.

6. Хажуу тал руу доошлуулсан өндрийн урт AB,цэгээс зайтай тэнцүү байна ХАМТшулуун шугам руу ABтэгшитгэлтэй
ба томъёогоор олно:

7. Өнцгийн косинус Авектор хоорондын өнцгийн косинусын томъёог ашиглан олж болно Тэгээд , энэ нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэрийг тэдгээрийн уртын үржвэрт харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

.