Энд бид дараах рационал бутархайг нэгтгэх гурван жишээний нарийвчилсан шийдлүүдийг санал болгож байна.
, , .

Жишээ 1

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Энд интеграл тэмдгийн дор рационал функц байна, учир нь интеграл нь олон гишүүнтийн бутархай юм. хуваагч олон гишүүнт зэрэг ( 3 ) нь тоологч олон гишүүнтийн зэргээс бага ( 4 ). Тиймээс эхлээд та бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгох хэрэгтэй.

1. Бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгоцгооё. x хуваах 4 х 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Эндээс
.

2. Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та куб тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
x =-г орлуулъя 1 :
.

1 . x-д хуваах - 1 :

Эндээс
.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
.
Тэгшитгэлийн үндэс нь: , .
Дараа нь
.

3. Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задалцгаая.

.

Тиймээс бид олсон:
.
Интеграцид орцгооё.

Хариулах

Жишээ 2

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Энд бутархайн тоологч нь тэг зэрэгтэй олон гишүүнт ( 1 = x 0). Хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт юм. Учир нь 0 < 3 , тэгвэл бутархай зөв байна. Энгийн бутархай болгон задалъя.

1. Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Энэ нь ядаж нэг бүхэл үндэстэй гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм 3 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын аль нэг байж болно:
1, 3, -1, -3 .
x =-г орлуулъя 1 :
.

Тэгэхээр бид нэг язгуур х = оллоо 1 . x хуваах 3 + 2 x - 3 x дээр - 1 :

Тэгэхээр,
.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:
x 2 + x + 3 = 0.
Ялгаварлагчийг ол: D = 1 2 - 4 3 = -11. Түүнээс хойш Д< 0 , тэгвэл тэгшитгэл бодит үндэсгүй болно. Тиймээс бид хуваагчийн хүчин зүйлчлэлийг олж авлаа.
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
x =-г орлуулъя 1 . Дараа нь x - 1 = 0 ,
.

Орлуулж орцгооё (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

-тэй тэнцүүлье (2.1) x-ийн коэффициентүүд 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Интеграцид орцгооё.
(2.2) .
Хоёр дахь интегралыг тооцоолохын тулд бид хуваагчийн деривативыг тоологч хэсэгт тусгаарлаж, хуваагчийг квадратуудын нийлбэр болгон бууруулна.

;
;
.

Тооцоолох I 2 .


.
x тэгшитгэлээс хойш 2 + x + 3 = 0жинхэнэ үндэс байхгүй бол x 2 + x + 3 > 0. Тиймээс модулийн тэмдгийг орхиж болно.

Бид хүргэж өгнө (2.2) :
.

Хариулах

Жишээ 3

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Энд интеграл тэмдгийн дор олон гишүүнтийн хэсэг байна. Тиймээс интеграл нь рационал функц юм. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү байна 3 . Бутархайн хуваагчийн олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү байна 4 . Учир нь 3 < 4 , тэгвэл бутархай зөв байна. Тиймээс үүнийг энгийн бутархай хэсгүүдэд задалж болно. Гэхдээ үүнийг хийхийн тулд хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй.

1. Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Энэ нь ядаж нэг бүхэл үндэстэй гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм 2 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын аль нэг байж болно:
1, 2, -1, -2 .
x =-г орлуулъя -1 :
.

Тэгэхээр бид нэг язгуур х = оллоо -1 . x-д хуваах - (-1) = x + 1:


Тэгэхээр,
.

Одоо бид гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг бүхэл язгууртай гэж үзвэл энэ нь тооны хуваагч болно. 2 (х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын аль нэг байж болно:
1, 2, -1, -2 .
x =-г орлуулъя -1 :
.

Тиймээс бид өөр язгуур х = оллоо -1 . Өмнөх тохиолдлын адил олон гишүүнтийг хуваах боломжтой боловч бид нэр томъёог бүлэглэх болно.
.

x тэгшитгэлээс хойш 2 + 2 = 0 бодит үндэс байхгүй бол бид хуваагчийн үржвэрийг авна.
.

2. Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задалцгаая. Бид дараах хэлбэрээр өргөтгөл хайж байна:
.
Бид бутархайн хуваагчаас салж, үржүүлнэ (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
x =-г орлуулъя -1 . Дараа нь x + 1 = 0 ,
.

Ялгаж үзье (3.1) :

;

.
x =-г орлуулъя -1 мөн x + гэдгийг анхаарч үзээрэй 1 = 0 :
;
; .

Орлуулж орцгооё (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

-тэй тэнцүүлье (3.1) x-ийн коэффициентүүд 3 :
;
1 = B + C;
.

Тиймээс бид энгийн бутархай хэсгүүдэд задралыг олсон:
.

3. Интеграцид орцгооё.


.

Бутархай-рационал функцийн интеграл.
Тодорхой бус коэффициент арга

Бид бутархайг нэгтгэх ажлыг үргэлжлүүлж байна. Хичээл дээр бид зарим төрлийн бутархайн интегралуудыг аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд энэ хичээлийг ямар нэг байдлаар үргэлжлэл гэж үзэж болно. Материалыг амжилттай ойлгохын тулд үндсэн интеграцийн ур чадвар шаардагддаг тул хэрэв та интегралыг дөнгөж судалж эхэлсэн, өөрөөр хэлбэл та анхлан суралцагч бол нийтлэлээс эхлэх хэрэгтэй. Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ.

Хачирхалтай нь, одоо бид интеграл олох биш, харин ... шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд оролцох болно. Энэ талаар яаралтайБи хичээлд оролцохыг зөвлөж байна, тухайлбал, та орлуулах аргуудыг ("сургууль" арга ба системийн тэгшитгэлийг улирал бүрээр нэмэх (хасах) арга) эзэмшсэн байх хэрэгтэй.

Бутархай рационал функц гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, бутархай-рационал функц нь тоо болон хуваагч нь олон гишүүнт эсвэл олон гишүүнтийн үржвэрийг агуулсан бутархай юм. Түүнээс гадна, фракцууд нь нийтлэлд хэлэлцсэнээс илүү боловсронгуй байдаг Зарим бутархайг нэгтгэх.

Зөв бутархай-рационал функцийг нэгтгэх

Шууд жишээ ба бутархай-рационал функцийн интегралыг шийдэх ердийн алгоритм.

Жишээ 1

1-р алхам.Бутархай рационал функцийн интегралыг шийдэхдээ бидний ҮРГЭЛЖ хийдэг хамгийн эхний зүйл бол дараах асуултыг тодруулах явдал юм. бутархай зөв үү?Энэ алхамыг амаар гүйцэтгэдэг бөгөөд одоо би хэрхэн яаж тайлбарлах болно:

Эхлээд бид тоологчийг хараад олж мэдье ахлах зэрэголон гишүүнт:

Тоолуурын тэргүүлэх хүч нь хоёр юм.

Одоо бид хуваагчийг хараад олж мэдье ахлах зэрэгхуваагч. Мэдээжийн хэрэг бол хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог авчрах явдал юм, гэхдээ та үүнийг илүү хялбар болгож чадна тус бүрхаалт доторх хамгийн дээд зэргийг ол

ба оюун ухаанаар үржүүлбэл: - ингээд хуваагчийн дээд зэрэг нь гуравтай тэнцүү байна. Үнэхээр хаалтаа нээвэл гурваас дээш зэрэг авахгүй нь ойлгомжтой.

Дүгнэлт: Тоолуурын үндсэн зэрэг ХАТУУнь хувагчийн хамгийн дээд хүчнээс бага бөгөөд энэ нь бутархай зөв байна гэсэн үг.

Хэрэв энэ жишээнд тоологч олон гишүүнт 3, 4, 5 гэх мэтийг агуулж байсан бол. градус, дараа нь бутархай байх болно буруу.

Одоо бид зөвхөн зөв бутархай рационал функцуудыг авч үзэх болно. Хичээлийн төгсгөлд тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх тохиолдлыг авч үзэх болно.

Алхам 2.Хусагчийг үржвэр болгоё. Бидний хуваагчийг харцгаая:

Ерөнхийдөө энэ нь аль хэдийн хүчин зүйлийн үр дүн юм, гэхдээ бид өөрөөсөө өөр зүйлийг өргөжүүлэх боломжтой юу? Эрүү шүүлтийн объект нь дөрвөлжин гурвалжин байх нь дамжиггүй. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:

Ялгаварлан гадуурхах утга нь тэгээс их байгаа нь гурвалсан тоог үржвэрлэх боломжтой гэсэн үг юм.

Ерөнхий дүрэм: хуваагч дахь бүх зүйлийг хүчин зүйлээр ялгаж болно

Шийдлийг боловсруулж эхэлцгээе:

Алхам 3.Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид интегралыг энгийн (элементар) бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлдэг. Одоо илүү тодорхой болно.

Интеграл функцээ харцгаая:

Том фракцыг хэд хэдэн жижиг хэсэг болгон хувиргах нь сайхан байх болно гэсэн зөн совингийн бодол ямар нэгэн байдлаар гарч ирдэг. Жишээлбэл, иймэрхүү:

Асуулт гарч ирнэ, үүнийг хийх боломжтой юу? Математик анализын харгалзах теорем нь тайвширч амьсгаа авцгаая – БОЛОМЖТОЙ. Ийм задрал байдаг бөгөөд өвөрмөц юм.

Ганцхан барьдаг, магадлал өндөр БаяртайБид мэдэхгүй тул нэр нь тодорхойгүй коэффициентийн арга юм.

Таны таамаглаж байсанчлан биеийн дараачийн хөдөлгөөнүүд ийм байна, битгий хашгир! тэднийг зүгээр л таних - тэд юутай тэнцүү болохыг олж мэдэхэд чиглэгдэх болно.

Болгоомжтой байгаарай, би зөвхөн нэг удаа дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно!

Ингээд бүжиглэж эхэлцгээе:

Зүүн талд бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

Одоо бид хуваагчаас найдвартай салж чадна (учир нь тэдгээр нь адилхан):

Зүүн талд бид хаалтуудыг нээдэг, гэхдээ одоогоор үл мэдэгдэх коэффициентүүдэд хүрч болохгүй.

Үүний зэрэгцээ бид олон гишүүнтийг үржүүлэх сургуулийн дүрмийг давтана. Би багш байхдаа энэ дүрмийг шулуун царайгаар хэлж сурсан: Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлэх шаардлагатай..

Тодорхой тайлбарын үүднээс коэффициентүүдийг хаалтанд оруулах нь дээр (хэдийгээр би цаг хэмнэхийн тулд үүнийг хэзээ ч хийдэггүй).

Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
Эхлээд бид ахлах зэрэг хайж байна:

Мөн бид системийн эхний тэгшитгэлд холбогдох коэффициентүүдийг бичнэ.

Дараахь зүйлийг сайн санаарай. Баруун талд нь огт s байхгүй бол юу болох байсан бэ? Ямар ч дөрвөлжингүйгээр зүгээр л шоудах байсан гэж бодъё? Энэ тохиолдолд системийн тэгшитгэлийн баруун талд тэг тавих шаардлагатай болно: . Яагаад тэг гэж? Гэхдээ баруун талд та энэ квадратыг үргэлж тэгтэй оноож болно: Хэрэв баруун талд хувьсагч ба/эсвэл чөлөөт гишүүн байхгүй бол системийн харгалзах тэгшитгэлийн баруун талд тэг тавина.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид холбогдох коэффициентүүдийг бичнэ.

Эцэст нь, рашаан, бид чөлөөт гишүүдийг сонгодог.

Аа...яаа нэг юм тоглож байсан юм. Хошигнолоос гадна математик бол ноцтой шинжлэх ухаан юм. Манай хүрээлэнгийн бүлэгт туслах профессор гишүүн нэр томьёог тоон шугамын дагуу тарааж, томыг нь сонгоно гэж хэлэхэд хэн ч инээгээгүй. Нухацтай ярилцъя. Хэдийгээр... энэ хичээлийн төгсгөлийг харах хүртэл амьдарсан хүн чимээгүйхэн инээмсэглэх болно.

Систем бэлэн байна:

Бид системийг шийддэг:

(1) Эхний тэгшитгэлээс бид үүнийг илэрхийлж, системийн 2, 3-р тэгшитгэлд орлуулна. Үнэн хэрэгтээ өөр тэгшитгэлээс (эсвэл өөр үсэг) илэрхийлэх боломжтой байсан, гэхдээ энэ тохиолдолд 1-р тэгшитгэлээс үүнийг илэрхийлэх нь ашигтай байдаг. хамгийн бага магадлал.

(2) Бид 2 ба 3-р тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.

(3) Бид 2 ба 3-р тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмж, тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс дараахь зүйлийг гаргана.

(4) Бид үүнийг олж мэдсэн хоёр дахь (эсвэл гурав дахь) тэгшитгэлд орлуулдаг

(5) Орлуулж эхний тэгшитгэлд оруулаад .

Хэрэв танд системийг шийдвэрлэх арга барилд бэрхшээл тулгарвал ангид дадлага хий. Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Системийг шийдсэний дараа шалгах нь үргэлж хэрэгтэй байдаг - олсон утгыг орлуулах бүрсистемийн тэгшитгэлийн үр дүнд бүх зүйл "нийсэх" ёстой.

Бараг тэнд. Коэффициенттер олдсон ба:

Дууссан ажил нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Таны харж байгаагаар даалгаврын гол бэрхшээл нь шугаман тэгшитгэлийн системийг зохиох (зөв!) ба шийдвэрлэх (зөв!) байв. Эцсийн шатанд бүх зүйл тийм ч төвөгтэй биш юм: бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг ба интеграл. Гурван интеграл тус бүрийн дор бид "чөлөөт" цогц функц байгааг анхаарна уу, би хичээл дээр интеграцийн шинж чанаруудын талаар ярьсан Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга.

Шалгах: Хариултыг ялгана уу:

Анхны интеграл функцийг авсан нь интеграл зөв олдсон гэсэн үг.
Баталгаажуулах явцад бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай болсон бөгөөд энэ нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Тодорхойгүй коэффициентийн арга ба илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах арга нь харилцан урвуу үйлдэл юм.

Жишээ 2

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Эхний жишээнээс бутархай руу буцъя: . Хуваарьт бүх хүчин зүйлүүд ӨӨР БАЙДГИЙГ анзаарахад амархан. Жишээлбэл, дараах фракцыг өгвөл юу хийх вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. ? Энд бид хуваагчийн зэрэгтэй, эсвэл математикийн хувьд, олон тоо. Нэмж дурдахад хүчин зүйлээр ангилагдах боломжгүй квадрат гурвалж байна (тэгшитгэлийн ялгаварлагч гэдгийг шалгахад хялбар байдаг. сөрөг байна, тиймээс гурвалсан гишүүнийг үржүүлэх боломжгүй). Юу хийх вэ? Энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөтгөх нь иймэрхүү харагдах болно дээд талд нь үл мэдэгдэх коэффициенттэй эсвэл өөр зүйлтэй юу?

Жишээ 3

Функцийг танилцуулна уу

1-р алхам.Бидэнд тохирох бутархай байгаа эсэхийг шалгаж байна
Гол тоологч: 2
Хуваагчийн дээд зэрэг: 8
, энэ нь бутархай зөв гэсэн үг.

Алхам 2.Хуваарьт ямар нэг зүйлийг оруулах боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг биш, бүх зүйл аль хэдийн тавигдсан. Дээр дурдсан шалтгааны улмаас дөрвөлжин гурвалжинг бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлэх боломжгүй. Бүрээс. Ажил багатай.

Алхам 3.Бутархай-рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэр гэж төсөөлье.
Энэ тохиолдолд өргөтгөл нь дараах хэлбэртэй байна.

Бидний хуваагчийг харцгаая:
Бутархай-рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахдаа гурван үндсэн цэгийг ялгаж салгаж болно.

1) Хэрэв хуваагч нь эхний зэрэглэлд "ганцаардсан" хүчин зүйлийг агуулж байвал (бидний тохиолдолд) дээд талд нь тодорхойгүй коэффициент тавьдаг (манай тохиолдолд). 1, 2-р жишээнүүд нь зөвхөн ийм “ганцаардсан” хүчин зүйлсээс бүрдсэн байв.

2) Хэрэв хуваагч байгаа бол олонүржүүлэгч бол та үүнийг дараах байдлаар задлах хэрэгтэй.
- өөрөөр хэлбэл, "X"-ийн бүх зэрэглэлийг нэгдүгээр зэрэглэлээс n-р зэрэг хүртэл дараалан давна. Бидний жишээн дээр хоёр олон хүчин зүйл байна: мөн , миний өгсөн өргөтгөлийг дахин харж, тэдгээрийг яг энэ дүрмийн дагуу өргөжүүлсэн эсэхийг шалгаарай.

3) Хэрэв хуваагч нь 2-р зэргийн задрах боломжгүй олон гишүүнийг агуулж байвал (бидний тохиолдолд) тоологчийг задлахдаа тодорхойгүй коэффициент бүхий шугаман функцийг бичих хэрэгтэй (бидний тохиолдолд тодорхойгүй коэффициент ба ).

Үнэндээ өөр 4-р тохиолдол бий, гэхдээ практик дээр энэ нь маш ховор тохиолддог тул би энэ талаар чимээгүй байх болно.

Жишээ 4

Функцийг танилцуулна уу үл мэдэгдэх коэффициенттэй энгийн бутархайн нийлбэр.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.
Алгоритмыг чанд дагаж мөрдөөрэй!

Хэрэв та бутархай-рационал функцийг нийлбэр болгон өргөжүүлэх зарчмуудыг ойлгож байгаа бол авч үзэж буй төрлийн бараг бүх интегралыг зажилж болно.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол.

1-р алхам.Мэдээжийн хэрэг, бутархай зөв:

Алхам 2.Хуваарьт ямар нэг зүйлийг оруулах боломжтой юу? Чадах. Энд кубуудын нийлбэр байна . Товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хуваагчийг хүчин зүйлээр тооц

Алхам 3.Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ.

Олон гишүүнтийг үржүүлэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу (дискриминант сөрөг эсэхийг шалгана уу), тиймээс дээд талд нь зөвхөн нэг үсэг биш харин үл мэдэгдэх коэффициент бүхий шугаман функцийг тавьдаг.

Бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг:

Системийг зохиож, шийдье:

(1) Бид эхний тэгшитгэлээс илэрхийлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна (энэ бол хамгийн оновчтой арга юм).

(2) Бид хоёр дахь тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.

(3) Бид системийн гишүүний хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмдэг.

Систем нь энгийн тул цаашдын бүх тооцоо нь зарчмын хувьд аман байна.

(1) Бид олсон коэффициентүүдийн дагуу бутархайн нийлбэрийг бичнэ.

(2) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг. Хоёр дахь интегралд юу болсон бэ? Та хичээлийн сүүлийн догол мөрөнд энэ аргатай танилцаж болно. Зарим бутархайг нэгтгэх.

(3) Бид шугаман байдлын шинж чанарыг дахин ашигладаг. Гурав дахь интегралд бид бүтэн квадратыг тусгаарлаж эхэлдэг (хичээлийн төгсгөлийн догол мөр Зарим бутархайг нэгтгэх).

(4) Бид хоёр дахь интегралыг авч, гуравдугаарт бид бүтэн квадратыг сонгоно.

(5) Гурав дахь интегралыг ав. Бэлэн.

Энэ сэдвээр танилцуулсан материал нь "Рационал бутархай. Рационал бутархайг энгийн (энгийн) бутархай болгон задлах" сэдвийн мэдээлэлд үндэслэсэн болно. Энэ материалыг уншихаасаа өмнө ядаж энэ сэдвийг сайтар судалж үзэхийг танд зөвлөж байна. Үүнээс гадна бидэнд тодорхойгүй интегралын хүснэгт хэрэгтэй болно.

Хэд хэдэн нэр томъёог сануулъя. Тэдгээрийг холбогдох сэдвээр хэлэлцсэн тул энд би товч томъёололоор хязгаарлагдах болно.

$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ хоёр олон гишүүнтийн харьцааг рационал функц буюу рационал бутархай гэнэ. Рационал бутархай гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется буруу.

Энгийн (энгийн) рационал бутархай нь дөрвөн төрлийн рационал бутархай юм.

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Тэмдэглэл (текстийг илүү бүрэн ойлгоход тохиромжтой): show\hide

$p^2-4q нөхцөл яагаад хэрэгтэй вэ?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Жишээлбэл, $x^2+5x+10$ илэрхийллийн хувьд бид дараахийг авна: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 оноос хойш< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Дашрамд хэлэхэд, энэ шалгалтын хувьд $x^2$-ийн өмнөх коэффициент 1-тэй тэнцүү байх шаардлагагүй. Жишээлбэл, $5x^2+7x-3=0$-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 доллар. $D > 0$ тул $5x^2+7x-3$ илэрхийлэлийг үржвэрлэх боломжтой.

Рационал бутархайн (зөв ба буруу) жишээнүүд, түүнчлэн рационал бутархайг энгийн хэсэг болгон задлах жишээг олж болно. Энд бид зөвхөн тэдний нэгдмэл байдлын талаархи асуултуудыг сонирхох болно. Энгийн бутархайн интегралаас эхэлье. Тиймээс дээрх дөрвөн төрлийн энгийн бутархай бүрийг доорх томьёог ашиглан нэгтгэхэд хялбар байдаг. (2) ба (4) төрлийн бутархайг нэгтгэхдээ $n=2,3,4,\ldots$ гэж үздэгийг сануулъя. Томъёо (3) ба (4) нь $p^2-4q нөхцөлийг биелүүлэхийг шаарддаг< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int \frac(Mx+N)(x^2) +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \төгсгөл(тэгшитгэл)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ийн хувьд $t=x+\frac(p)(2)$ орлуулалт хийгдсэн бөгөөд үүний дараа үүссэн интервал нь байна. хоёр хуваасан. Эхнийх нь дифференциал тэмдгийн доор оруулах замаар тооцоолох ба хоёр дахь нь $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ хэлбэртэй байна. Энэ интегралыг давталтын хамаарлыг ашиглан авна

\эхлэх(тэгшитгэл) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; N\төгсгөлд(тэгшитгэл)

Ийм интегралын тооцоог жишээ No7-д авч үзсэн болно (гурав дахь хэсгийг үзнэ үү).

Рационал функцүүдийн интегралыг тооцоолох схем (рационал бутархай):

1. Хэрэв интеграл нь энгийн бол (1)-(4) томъёог хэрэглэнэ.
2. Хэрэв интеграл нь энгийн биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр төлөөлж, дараа нь (1)-(4) томъёог ашиглан интеграци хийнэ.

Рационал бутархайг нэгтгэх дээрх алгоритм нь маргаангүй давуу талтай - энэ нь бүх нийтийнх юм. Тэдгээр. Энэ алгоритмыг ашиглан та нэгтгэж болно ямар чрационал бутархай. Тийм ч учраас тодорхой бус интеграл дахь бараг бүх хувьсагчийн өөрчлөлтүүд (Эйлер, Чебышев, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт) нь ийм өөрчлөлтийн дараа интервалын дор рационал бутархайг авахаар хийгдсэн байдаг. Дараа нь алгоритмыг түүнд хэрэглэнэ. Бид жижиг тэмдэглэл хийснийхээ дараа жишээнүүдийг ашиглан энэ алгоритмын шууд хэрэглээг шинжлэх болно.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Зарчмын хувьд энэ интегралыг томъёоны механик хэрэглээгүйгээр олж авахад хялбар байдаг. Хэрэв бид интеграл тэмдгээс $7$ тогтмолыг аваад $dx=d(x+9)$ гэж тооцвол бид дараахийг авна.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Нарийвчилсан мэдээлэл авахын тулд би сэдвийг үзэхийг зөвлөж байна. Ийм интегралыг хэрхэн шийддэг талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Дашрамд хэлэхэд, томьёог "гараар" шийдвэрлэхдээ энэ догол мөрөнд ашигласан ижил өөрчлөлтүүдээр нотлогддог.

2) Дахин хэлэхэд хоёр арга бий: бэлэн томъёог ашиглах эсвэл түүнгүйгээр хийх. Хэрэв та томьёог хэрэглэвэл $ x $ (тоо 4) -ийн өмнөх коэффициентийг хасах шаардлагатай болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд энэ дөрвийг хаалтнаас гаргаж авъя:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\баруун)\баруун)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8). $$

Одоо томъёог хэрэглэх цаг болжээ:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \баруун )^7)+C. $$

Та томъёог ашиглахгүйгээр хийж болно. Тогтмол $4$-ыг хаалтнаас гаргаагүй ч гэсэн. Хэрэв бид $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ гэдгийг харгалзан үзвэл бид дараахыг авна.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Ийм интегралыг олох дэлгэрэнгүй тайлбарыг "Орлуулах замаар интеграл (дифференциал тэмдгийн дор орлуулах)" сэдвээр өгсөн болно.

3) Бид $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Энэ бутархай нь $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бүтэцтэй бөгөөд $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Гэхдээ энэ нь үнэхээр гурав дахь төрлийн энгийн бутархай мөн эсэхийг шалгахын тулд $p^2-4q нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ижил жишээг шийдье, гэхдээ бэлэн томъёо ашиглахгүйгээр. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлахыг оролдъё. Энэ юу гэсэн үг вэ? Бид $(x^2+10x+34)"=2x+10$ гэдгийг мэднэ. Энэ нь $2x+10$ илэрхийлэлийг тоологчдоо тусгаарлах ёстой. Одоогийн байдлаар тоологч зөвхөн $4x+7$-г агуулж байна. Гэхдээ энэ нь тийм ч удаан үргэлжлэхгүй. Дараах хувиргалтыг тоологч дээр хэрэгжүүлье.

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Одоо шаардлагатай $2x+10$ илэрхийлэл тоологч хэсэгт гарч ирнэ. Мөн бидний интегралыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Интегралыг хоёр хувааж үзье. За, үүний дагуу интеграл нь өөрөө "хоёр хуваагдсан":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \баруун)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Эхлээд эхний интегралын талаар ярилцъя, i.e. ойролцоогоор $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ тул интегралын хүртэгч нь хуваагчийн дифференциалыг агуулна. Товчхондоо оронд нь $( 2x+10)dx$ илэрхийллийн бид $d(x^2+10x+34)$ бичнэ.

Одоо хоёр дахь интегралын талаар хэдэн үг хэлье. Бүтэн квадратыг хуваагчаар сонгоцгооё: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Үүнээс гадна бид $dx=d(x+5)$-г харгалзан үздэг. Одоо бидний өмнө нь олж авсан интегралуудын нийлбэрийг арай өөр хэлбэрээр дахин бичиж болно.

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Хэрэв эхний интегралд $u=x^2+10x+34$ орлуулалтыг хийвэл $\int\frac(du)(u)$ хэлбэрийг авах ба дараахаас хоёр дахь томьёог хэрэглэснээр олж авч болно. . Хоёрдахь интегралын хувьд $u=x+5$ өөрчлөлт хийх боломжтой бөгөөд үүний дараа $\int\frac(du)(u^2+9)$ хэлбэрийг авна. Энэ бол тодорхойгүй интегралын хүснэгтээс хамгийн цэвэр арван нэг дэх томьёо юм. Тиймээс интегралуудын нийлбэр рүү буцаж ирэхэд бид дараах байдалтай байна.

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Бид томьёог хэрэглэхтэй ижил хариултыг авсан бөгөөд энэ нь хатуухан хэлэхэд гайхах зүйл биш юм. Ерөнхийдөө томьёо нь энэ интегралыг олоход ашигласан аргуудаар нотлогддог. Анхааралтай уншигч энд нэг асуулт гарч ирж магадгүй гэж би бодож байна, тиймээс би үүнийг томъёолох болно:

Асуулт №1

Хэрэв бид тодорхой бус интегралын хүснэгтээс $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ интегралд хоёрдахь томьёог хэрэглэвэл бид дараахийг авна.

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Яагаад шийдэлд модуль байхгүй байсан бэ?

№1 асуултын хариулт

Асуулт нь бүрэн байгалийн юм. R$ дахь дурын $x^2+10x+34$ илэрхийлэл тэгээс их байгаа тул модуль алга болсон. Үүнийг хэд хэдэн аргаар харуулахад маш хялбар байдаг. Жишээ нь, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ба $(x+5)^2 ≥ 0$, дараа нь $(x+5)^2+9 > 0$ . Бүрэн квадратыг сонгохгүйгээр та өөрөөр бодож болно. $10^2-4\cdot 34=-16 тул< 0$, то $x^2+10x+34 >Аливаа $x\in R$-д 0$ (хэрэв энэ логик хэлхээ нь гайхмаар байвал квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх график аргыг үзэхийг танд зөвлөж байна). Ямар ч байсан $x^2+10x+34 > 0$, дараа нь $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. Модулийн оронд та ердийн хаалт ашиглаж болно.

№1 жишээний бүх цэгүүд шийдэгдсэн тул хариултыг бичих л үлдлээ.

Хариулах:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Жишээ №2

$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ интегралыг ол.

Эхлээд харахад $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ интеграл бутархай нь гурав дахь төрлийн энгийн бутархайтай маш төстэй, өөрөөр хэлбэл. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Ганц ялгаа нь $x^2$-ын урд $3$-ын коэффициент байгаа юм шиг санагдаж байна, гэхдээ коэффициентийг арилгахад удаан хугацаа шаардагдахгүй (хаалтнаас гаргаж ав). Гэсэн хэдий ч энэ ижил төстэй байдал илт харагдаж байна. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бутархайн хувьд $p^2-4q нөхцөл заавал байх ёстой.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Бидний $x^2$-ын өмнөх коэффициент нэгтэй тэнцүү биш тул $p^2-4q нөхцөлийг шалгана уу< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, тиймээс $3x^2-5x-2$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж болно. Энэ нь $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ бутархай нь гурав дахь төрлийн элементийн бутархай биш бөгөөд $\int\frac(7x+12)(3x^2-) гэсэн үг юм. ) интеграл руу 5x-2)dx$ томьёо хийх боломжгүй.

За, хэрэв өгөгдсөн рационал бутархай нь энгийн бутархай биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр төлөөлж, дараа нь нэгтгэх хэрэгтэй. Товчхондоо, мөрийн давуу талыг ашигла. Рационал бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон задлах талаар дэлгэрэнгүй бичсэн болно. Хүсэгчийг хүчин зүйлээр ялгаж эхэлцгээе:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\баруун)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2). $$

Бид дэд интеркаль фракцыг дараах хэлбэрээр үзүүлэв.

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)). $$

Одоо $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ бутархайг энгийн хэсэг болгон задалъя:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун))(\зүүн(x+) \frac(1)(3)\баруун)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)( 3)\баруун). $$

$A$ ба $B$ коэффициентүүдийг олохын тулд тодорхойгүй коэффициентийн арга ба хэсэгчилсэн утгыг орлуулах гэсэн хоёр стандарт арга байдаг. $x=2$, дараа нь $x=-\frac(1)(3)$-ийг орлуулах хэсэгчилсэн утгыг орлуулах аргыг хэрэглэцгээе:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\зүүн(2+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \баруун)+4=A\зүүн(-\frac(1)(3)-2\баруун)+B\зүүн (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Коэффициент олдсон тул дууссан өргөтгөлийг бичихэд л үлддэг.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Зарчмын хувьд та энэ оруулгыг орхиж болно, гэхдээ надад илүү нарийвчлалтай сонголт таалагдаж байна:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Анхны интеграл руу буцаж очоод бид үүссэн өргөтгөлийг түүн рүү орлуулна. Дараа нь бид интегралыг хоёр хувааж, тус бүрт томъёог хэрэглэнэ. Би тогтмолуудыг интеграл тэмдгийн гадна шууд байрлуулахыг илүүд үздэг.

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\баруун)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Хариулах: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\баруун| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Жишээ №3

$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ интегралыг ол.

Бид $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Тоолуур нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт, хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнийг агуулна. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэрэгтэй харьцуулахад бага байдаг тул өөрөөр хэлбэл. 2 доллар< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$

Бидний хийх ёстой зүйл бол өгөгдсөн интегралыг гурав болгон хувааж, тус бүр дээр томъёог ашиглах явдал юм. Би тогтмолуудыг интеграл тэмдгийн гадна шууд байрлуулахыг илүүд үздэг.

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \баруун)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Хариулах: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Энэ сэдвийн жишээнүүдийн шинжилгээний үргэлжлэлийг хоёрдугаар хэсэгт байрлуулна.

“Математикч зураач, яруу найрагчийн нэгэн адил хэв маягийг бүтээдэг. Мөн түүний хээ нь илүү тогтвортой байвал санаанаас бүрдсэн учраас л... Зураач, яруу найрагчийн хээ шиг математикч хүний ​​хээ ч сайхан байх ёстой; Өнгө, үгийн нэгэн адил санаанууд бие биетэйгээ нийцэх ёстой. Гоо сайхан бол хамгийн эхний шаардлага: энэ дэлхийд муухай математикт газар байхгүй».

G.H.Hardy

Эхний бүлэгт энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй нэлээд энгийн функцүүдийн эсрэг деривативууд байгааг тэмдэглэв. Үүнтэй холбогдуулан тэдгээрийн эсрэг деривативууд нь анхан шатны функцууд гэж бид үнэн зөв хэлж чадах функцүүдийн ангиуд асар их практик ач холбогдолтой болж байна. Энэ ангиллын функцууд орно оновчтой функцууд, хоёр алгебрийн олон гишүүнтийн харьцааг илэрхийлдэг. Олон асуудал нь рационал бутархайг нэгтгэхэд хүргэдэг. Тиймээс ийм функцуудыг нэгтгэх чадвартай байх нь маш чухал юм.

2.1.1. Бутархай рационал функцууд

Рационал бутархай(эсвэл бутархай рационал функц) хоёр алгебрийн олон гишүүнтийн хамаарал гэж нэрлэгддэг:

хаана ба олон гишүүнт байна.

Үүнийг сануулъя олон гишүүнт (олон гишүүнт, бүхэл бүтэн оновчтой функц) n-р зэрэгхэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг

Хаана - бодит тоо. Жишээлбэл,

- нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт;

– дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт гэх мэт.

Рационал бутархай (2.1.1) гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв зэрэг нь зэргээс доогуур байвал, i.e. n<м, эс бөгөөс бутархайг дуудна буруу.

Аливаа буруу бутархайг олон гишүүнт (бүхэл хэсэг) ба зөв бутархай (бутархай хэсэг) нийлбэрээр илэрхийлж болно.Бутархай бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг салгахдаа олон гишүүнтийг "булангаар" хуваах дүрмийн дагуу хийж болно.

Жишээ 2.1.1.Дараах буруу рационал бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг ол.

A) , б) .

Шийдэл . a) "Булангийн" хуваах алгоритмыг ашиглан бид олж авна

Тиймээс бид авдаг

.

б) Энд бид мөн "булангийн" хуваах алгоритмыг ашигладаг.

Үүний үр дүнд бид авдаг

.

Дүгнэж хэлье. Ерөнхий тохиолдолд рационал бутархайн тодорхойгүй интегралыг олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн интегралын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Олон гишүүнтийн эсрэг деривативуудыг олох нь хэцүү биш юм. Тиймээс, дараагийн зүйлд бид зөв рационал бутархайг голчлон авч үзэх болно.

2.1.2. Хамгийн энгийн рационал бутархай ба тэдгээрийн интеграл

Зөв оновчтой бутархайн дотроос дөрвөн төрөл байдаг бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар ангилдаг хамгийн энгийн (анхны) рационал бутархай:

бүхэл тоо хаана байна, , өөрөөр хэлбэл квадрат гурвалжин жинхэнэ үндэс байхгүй.

1 ба 2 төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх нь тийм ч хэцүү биш юм.

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Одоо 3-р төрлийн энгийн бутархайн интеграцийг авч үзье, гэхдээ бид 4-р төрлийн бутархайг авч үзэхгүй.

Маягтын интегралаас эхэлье

.

Энэ интегралыг ихэвчлэн хуваагчийн төгс квадратыг тусгаарлах замаар тооцдог. Үр дүн нь дараах хэлбэрийн хүснэгтийн интеграл юм

эсвэл .

Жишээ 2.1.2.Интегралуудыг ол:

A) , б) .

Шийдэл . a) Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг сонгоно уу:

Эндээс бид олдог

б) Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг тусгаарласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс,

.

Интегралыг олохын тулд

та хуваагчийн деривативыг тоологч хэсэгт тусгаарлаж, интегралыг хоёр интегралын нийлбэр болгон өргөжүүлж болно: эхнийх нь орлуулах замаар гадаад үзэмж дээр ирдэг

,

ба хоёр дахь нь - дээр дурдсан.

Жишээ 2.1.3.Интегралуудыг ол:

.

Шийдэл . анзаараарай, тэр . Тоолуур дахь хуваарийн деривативыг салгая.

Эхний интегралыг орлуулах аргыг ашиглан тооцоолно :

Хоёр дахь интегралд бид хуваагч дахь төгс квадратыг сонгоно

Эцэст нь бид авдаг

2.1.3. Зөв оновчтой бутархай тэлэлт
энгийн бутархайн нийлбэрийн хувьд

Аливаа зөв рационал бутархай энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно. Үүнийг хийхийн тулд хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах шаардлагатай. Дээд алгебраас харахад олон гишүүнт бүр бодит коэффициенттэй байдаг