Atlikite išsamų internetinio sprendimo funkcijų tyrimą. Funkcijų tyrinėjimas ir funkcijos grafikas naudojant išvestines

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Šiandien kviečiame kartu su mumis ištirti ir sudaryti funkcijos grafiką. Atidžiai išstudijavę šį straipsnį, jums nereikės ilgai prakaituoti, kad atliktumėte tokio tipo užduotį. Išstudijuoti ir sukonstruoti funkcijos grafiką nėra lengva, tai yra didelės apimties darbas, reikalaujantis maksimalaus atidumo ir skaičiavimų tikslumo. Kad medžiaga būtų lengviau suprantama, žingsnis po žingsnio išnagrinėsime tą pačią funkciją ir paaiškinsime visus savo veiksmus bei skaičiavimus. Sveiki atvykę į nuostabų ir žavų matematikos pasaulį! Pirmyn!

Domenas

Norėdami ištirti ir pavaizduoti funkciją, turite žinoti keletą apibrėžimų. Funkcija yra viena iš pagrindinių (pagrindinių) matematikos sąvokų. Tai atspindi priklausomybę tarp kelių kintamųjų (dviejų, trijų ar daugiau) pokyčių metu. Funkcija taip pat parodo aibių priklausomybę.

Įsivaizduokite, kad turime du kintamuosius, kurie turi tam tikrą pokyčių diapazoną. Taigi, y yra x funkcija, su sąlyga, kad kiekviena antrojo kintamojo reikšmė atitinka vieną antrojo reikšmę. Šiuo atveju kintamasis y yra priklausomas ir vadinamas funkcija. Įprasta sakyti, kad kintamieji x ir y yra. Kad ši priklausomybė būtų aiškesnė, sudaromas funkcijos grafikas. Kas yra funkcijos grafikas? Tai koordinačių plokštumos taškų rinkinys, kur kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę. Grafikai gali būti įvairūs – tiesi linija, hiperbolė, parabolė, sinusinė banga ir pan.

Neįmanoma nubrėžti funkcijos be tyrimo. Šiandien išmoksime atlikti tyrimus ir sudaryti funkcijos grafiką. Tyrimo metu labai svarbu užsirašyti. Taip bus daug lengviau susidoroti su užduotimi. Patogiausias tyrimo planas:

1. Domenas.
2. Tęstinumas.
3. Lyginis ar nelyginis.
4. Periodiškumas.
5. Asimptotės.
6. Nuliai.
7. Ženklo pastovumas.
8. Didėja ir mažėja.
9. Kraštutinumai.
10. Išgaubtumas ir įdubimas.

Pradėkime nuo pirmojo punkto. Raskime apibrėžimo sritį, tai yra, kokiais intervalais egzistuoja mūsų funkcija: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Mūsų atveju funkcija egzistuoja bet kurioms x reikšmėms, tai yra, apibrėžimo sritis yra lygi R. Tai galima parašyti taip xÎR.

Tęstinumas

Dabar išnagrinėsime nepertraukiamumo funkciją. Matematikoje terminas „tęstinumas“ atsirado dėl judėjimo dėsnių tyrimo. Kas yra begalinis? Erdvė, laikas, kai kurios priklausomybės (pavyzdys yra kintamųjų S ir t priklausomybė judėjimo uždaviniuose), įkaitinto objekto (vandens, keptuvės, termometro ir kt.) temperatūra, ištisinė linija (tai yra ta, kuri galima nupiešti nepakeliant nuo lapo pieštuko).

Grafas laikomas tęstiniu, jei jis tam tikru momentu nenutrūksta. Vienas iš ryškiausių tokio grafiko pavyzdžių yra sinusoidas, kurį galite pamatyti šio skyriaus paveikslėlyje. Funkcija yra ištisinė tam tikru momentu x0, jei tenkinamos kelios sąlygos:

• funkcija apibrėžta duotame taške;
• dešinės ir kairės ribos taške yra lygios;
• riba lygi funkcijos reikšmei taške x0.

Jei neįvykdoma bent viena sąlyga, sakoma, kad funkcija nepavyksta. O taškai, kuriuose funkcija nutrūksta, dažniausiai vadinami lūžio taškais. Funkcijos, kuri „nutrūks“, kai rodoma grafiškai, pavyzdys yra: y=(x+4)/(x-3). Be to, y neegzistuoja taške x = 3 (nes neįmanoma padalyti iš nulio).

Funkcijoje, kurią tiriame (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) viskas pasirodė paprasta, nes grafikas bus tolydis.

Lyginis, nelyginis

Dabar patikrinkite pariteto funkciją. Pirma, šiek tiek teorijos. Lyginė funkcija yra ta, kuri tenkina sąlygą f(-x)=f(x) bet kuriai kintamojo x reikšmei (iš reikšmių diapazono). Pavyzdžiai:

• modulis x (grafas atrodo kaip daw, pirmojo ir antrojo grafiko ketvirčių pusiausvyra);
• x kvadratas (parabolė);
• kosinusas x (kosinusas).

Atkreipkite dėmesį, kad visi šie grafikai yra simetriški, kai žiūrima y ašies atžvilgiu.

Kas tada vadinama nelygine funkcija? Tai yra tos funkcijos, kurios tenkina sąlygą: f(-x)=-f(x) bet kuriai kintamojo x reikšmei. Pavyzdžiai:

• hiperbolė;
• kubinė parabolė;
• sinusoidinė;
• tangentas ir pan.

Atkreipkite dėmesį, kad šios funkcijos yra simetriškos taško (0:0), ty pradžios, atžvilgiu. Remiantis tuo, kas buvo pasakyta šioje straipsnio dalyje, lyginė ir nelyginė funkcija turi turėti savybę: x priklauso apibrėžimų rinkiniui, o -x taip pat.

Panagrinėkime pariteto funkciją. Matome, kad ji neatitinka nė vieno apibūdinimo. Todėl mūsų funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Asimptotės

Pradėkime nuo apibrėžimo. Asimptotė yra kreivė, kuri yra kuo arčiau grafiko, tai yra, atstumas nuo tam tikro taško linkęs į nulį. Iš viso yra trys asimptotų tipai:

• vertikaliai, tai yra lygiagrečiai y ašiai;
• horizontali, tai yra lygiagreti x ašiai;
• linkęs.

Kalbant apie pirmąjį tipą, šių eilučių reikėtų ieškoti kai kuriuose taškuose:

• tarpas;
• apibrėžimo srities galai.

Mūsų atveju funkcija yra ištisinė, o apibrėžimo sritis lygi R. Vadinasi, vertikalių asimptočių nėra.

Funkcijos grafikas turi horizontalią asimptotę, kuri atitinka tokį reikalavimą: jei x linkęs į begalybę arba minus begalybę, o riba lygi tam tikram skaičiui (pavyzdžiui, a). Šiuo atveju y=a yra horizontalioji asimptotė. Mūsų tiriamoje funkcijoje nėra horizontalių asimptotų.

Įstrižinė asimptotė egzistuoja tik tada, kai tenkinamos dvi sąlygos:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada jį galima rasti naudojant formulę: y=kx+b. Vėlgi, mūsų atveju nėra įstrižų asimptotų.

Funkcijos nuliai

Kitas žingsnis yra išnagrinėti nulių funkcijos grafiką. Taip pat labai svarbu pažymėti, kad užduotis, susijusi su funkcijos nulių radimu, atsiranda ne tik studijuojant ir konstruojant funkcijos grafiką, bet ir kaip savarankiška užduotis bei kaip būdas spręsti nelygybes. Gali reikėti surasti funkcijos nulius grafike arba naudoti matematinį žymėjimą.

Šių reikšmių radimas padės tiksliau pavaizduoti funkciją. Paprastais žodžiais tariant, funkcijos nulis yra kintamojo x reikšmė, kai y = 0. Jei grafike ieškote funkcijos nulių, tuomet turėtumėte atkreipti dėmesį į taškus, kuriuose grafikas susikerta su x ašimi.

Norint rasti funkcijos nulius, reikia išspręsti šią lygtį: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Atlikę reikiamus skaičiavimus, gauname tokį atsakymą:

Ženklo pastovumas

Kitas funkcijos (grafiko) tyrimo ir konstravimo etapas – pastovaus ženklo intervalų radimas. Tai reiškia, kad turime nustatyti, kokiais intervalais funkcija įgauna teigiamą reikšmę, o kokiais intervalais – neigiamą reikšmę. Paskutiniame skyriuje rastos nulinės funkcijos padės mums tai padaryti. Taigi, turime sukurti tiesią liniją (atskirai nuo grafiko) ir paskirstyti funkcijos nulius išilgai jos teisinga tvarka nuo mažiausios iki didžiausios. Dabar reikia nustatyti, kuris iš gautų intervalų turi „+“ ženklą, o kuris – „-“.

Mūsų atveju funkcija intervalais įgauna teigiamą reikšmę:

• nuo 1 iki 4;
• nuo 9 iki begalybės.

Neigiama reikšmė:

• nuo minus begalybės iki 1;
• nuo 4 iki 9.

Tai gana lengva nustatyti. Pakeiskite bet kurį skaičių iš intervalo į funkciją ir pažiūrėkite, kokį ženklą turi atsakymas (minusas ar pliusas).

Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas

Norėdami ištirti ir sukurti funkciją, turime žinoti, kur grafikas padidės (kils aukštyn išilgai Oy ašies) ir kur kris (nuskaitys žemyn išilgai y ašies).

Funkcija didėja tik tada, kai didesnė kintamojo x reikšmė atitinka didesnę y reikšmę. Tai reiškia, kad x2 yra didesnis nei x1, o f(x2) yra didesnis nei f(x1). Ir mes stebime visiškai priešingą reiškinį su mažėjančia funkcija (kuo daugiau x, tuo mažiau y). Norėdami nustatyti didėjimo ir mažėjimo intervalus, turite rasti:

• apibrėžimo sritis (jau turime);
• išvestinė (mūsų atveju: 1/3(3x^2-28x+49);
• išspręskite lygtį 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Po skaičiavimų gauname rezultatą:

Gauname: funkcija didėja intervalais nuo minus begalybės iki 7/3 ir nuo 7 iki begalybės, o mažėja intervalais nuo 7/3 iki 7.

Kraštutinumai

Tiriama funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) yra ištisinė ir egzistuoja bet kuriai kintamojo x reikšmei. Ekstremalumo taškas rodo tam tikros funkcijos maksimumą ir minimumą. Mūsų atveju jų nėra, o tai labai supaprastina statybos užduotį. Kitu atveju juos taip pat galima rasti naudojant išvestinę funkciją. Suradę nepamirškite jų pažymėti diagramoje.

Išgaubtumas ir įdubimas

Toliau tiriame funkciją y (x). Dabar turime patikrinti, ar jis yra išgaubtas ir įgaubtas. Šių sąvokų apibrėžimai yra gana sunkiai suvokiami, geriau viską išanalizuoti naudojant pavyzdžius. Bandymui: funkcija yra išgaubta, jei ji yra nemažėjanti funkcija. Sutikite, tai nesuprantama!

Turime rasti antros eilės funkcijos išvestinę. Gauname: y=1/3(6x-28). Dabar prilyginkime dešiniąją pusę nuliui ir išspręskime lygtį. Atsakymas: x=14/3. Mes radome vingio tašką, tai yra vietą, kur grafikas keičiasi iš išgaubto į įgaubtą arba atvirkščiai. Intervale nuo minus begalybės iki 14/3 funkcija yra išgaubta, o nuo 14/3 iki plius begalybės – įgaubta. Taip pat labai svarbu atkreipti dėmesį, kad posūkio taškas grafike būtų lygus ir minkštas, neturėtų būti aštrių kampų.

Papildomų taškų apibrėžimas

Mūsų užduotis yra ištirti ir sudaryti funkcijos grafiką. Mes baigėme tyrimą; dabar nėra sunku sudaryti funkcijos grafiką. Norėdami tiksliau ir detaliau atkurti kreivę arba tiesę koordinačių plokštumoje, galite rasti keletą pagalbinių taškų. Juos gana lengva apskaičiuoti. Pavyzdžiui, imame x=3, išsprendžiame gautą lygtį ir randame y=4. Arba x=5, y=-5 ir pan. Galite paimti tiek papildomų taškų, kiek jums reikia statybai. Jų randama bent 3-5.

Grafiko braižymas

Mums reikėjo ištirti funkciją (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Koordinačių plokštumoje buvo padaryti visi skaičiavimų metu reikalingi ženklai. Belieka tik sukurti grafiką, tai yra sujungti visus taškus. Taškų sujungimas turėtų būti sklandus ir tikslus, tai yra įgūdžių reikalas – šiek tiek pasipraktikuokite ir jūsų tvarkaraštis bus tobulas.

Išnagrinėkime funkciją \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ir sukurkime jos grafiką.

1. Apibrėžimo sritis.
Racionalios funkcijos (trupmenos) apibrėžimo sritis bus: vardiklis nelygus nuliui, t.y. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domenas $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Funkcijų lūžio taškai ir jų klasifikacija.
Funkcija turi vieną lūžio tašką x = 1
Panagrinėkime tašką x= 1. Raskime funkcijos ribą, esančios dešinėje ir kairėje nuo nutrūkimo taško, dešinėje $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1 -x)) = -\infty $$ ir taško $$ kairėje \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ Tai yra antrojo tipo nutrūkimo taškas, nes vienpusės ribos yra lygios \(\infty\).

Tiesi linija \(x = 1\) yra vertikali asimptotė.

3. Funkcijų paritetas.
Patikriname paritetą \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

4. Funkcijos nuliai (susikirtimo su Ox ašimi taškai). Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
Funkcijos nuliai ( susikirtimo taškas su jaučio ašimi): prilygstame \(y=0\), gauname \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kreivė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi su koordinatėmis \((0;0)\).

Funkcijos pastovaus ženklo intervalai.
Nagrinėjamuose intervaluose \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) kreivė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi, todėl apibrėžimo sritį nagrinėsime trimis intervalais.

Nustatykime funkcijos ženklą apibrėžimo srities intervaluose:
intervalas \((-\infty; 0) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervale \((0; 1) \) funkcijos reikšmę randame bet kuriame taške \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), šiame intervale funkcija yra teigiamas \(f(x ) > 0 \), t.y. yra virš Jaučio ašies.
intervalas \((1;+\infty) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Susikirtimo taškai su Oy ašimi: prilygstame \(x=0\), gauname \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Susikirtimo taško su Oy ašimi koordinatės \((0; 0)\)

6. Monotonijos intervalai. Funkcijos kraštutinumas.
Raskime kritinius (stacionarius) taškus, tam randame pirmąją išvestinę ir prilyginsime ją nuliui $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ lygus 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Raskime funkcijos reikšmę šiame taške \( f(0) = 0\) ir \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Gavome du kritinius taškus su koordinatėmis \((0;0)\) ir \((1.5;-6.75)\)

Monotonijos intervalai.
Funkcija turi du kritinius taškus (galimus kraštutinumus), todėl monotoniškumą nagrinėsime keturiais intervalais:
intervalas \((-\infty; 0) \) raskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
intervalas \((0;1)\) randame pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcija didėja per šį intervalą.
intervalas \((1;1.5)\) randame pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0\) , funkcija didėja per šį intervalą.
intervalas \((1,5; +\infty)\) suraskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))((1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funkcijos kraštutinumas.

Tirdami funkciją, gavome du kritinius (stacionarius) apibrėžimo srities intervalo taškus. Išsiaiškinkime, ar tai kraštutinumai. Panagrinėkime išvestinės ženklo pokytį einant per kritinius taškus:

taškas \(x = 0\) išvestinė keičia ženklą su \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - taškas nėra ekstremumas.
taškas \(x = 1,5\) išvestinė keičia ženklą su \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - taškas yra maksimalus taškas.

7. Išgaubimo ir įgaubimo intervalai. Posūkio taškai.

Norėdami rasti išgaubto ir įgaubto intervalus, randame antrąją funkcijos išvestinę ir prilygstame nuliui $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Prilygsta nuliui $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1) -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija turi vieną kritinį antrojo tipo tašką su koordinatėmis \((0;0)\) .
Apibrėžkime apibrėžimo srities intervalų išgaubimą, atsižvelgdami į antrosios rūšies kritinį tašką (galimo vingio tašką).

intervalas \((-\infty; 0)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervalas \((0; 1)\) randame antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), šiame intervale antroji funkcijos išvestinė yra teigiama \(f""(x) > 0 \) funkcija yra išgaubta žemyn (išgaubta).
intervalas \((1; \infty)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Posūkio taškai.

Panagrinėkime antrosios išvestinės ženklo pokytį, einant per antrojo tipo kritinį tašką:
Taške \(x =0\), antroji išvestinė keičia ženklą su \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), funkcijos grafikas keičia išgaubtą, t.y. tai vingio taškas su koordinatėmis \((0;0)\).

8. Asimptotės.

Vertikali asimptotė. Funkcijos grafikas turi vieną vertikalią asimptotę \(x =1\) (žr. 2 pastraipą).
Įstrižas asimptotas.
Kad funkcijos \(y= \frac(x^3)(1-x) \) grafikas \(x \to \infty\) turėtų pasvirusią asimptotę \(y = kx+b\) , būtina ir pakanka , kad būtų dvi ribos $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$rasime $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ir antra riba $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, nes \(k = \infty\) – įstrižos asimptotės nėra.

Horizontali asimptota: kad egzistuotų horizontali asimptotė, būtina, kad būtų riba $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ rasime ją $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty $$
Horizontalios asimptotės nėra.

9. Funkcijų grafikas.

Norint visiškai ištirti funkciją ir nubraižyti jos grafiką, rekomenduojama tokia schema:
A) rasti apibrėžimo sritį, lūžio taškus; ištirti funkcijos elgseną šalia nenutrūkstamų taškų (šiuose taškuose suraskite funkcijos ribas kairėje ir dešinėje). Nurodykite vertikalias asimptotes.
B) nustatyti, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, ir padaryti išvadą, kad yra simetrija. Jei , tai funkcija lygi ir simetriška OY ašiai; kai funkcija nelyginė, simetriška kilmei; o jei yra bendrosios formos funkcija.
C) rasti funkcijos susikirtimo taškus su koordinačių ašimis OY ir OX (jei įmanoma), nustatyti funkcijos pastovaus ženklo intervalus. Funkcijos pastovaus ženklo intervalų ribos nustatomos taškais, kuriuose funkcija lygi nuliui (funkcijos nuliai) arba jos nėra, ir šios funkcijos apibrėžimo srities ribos. Intervalais, kur funkcijos grafikas yra virš OX ašies, o kur - žemiau šios ašies.
D) rasti pirmąją funkcijos išvestinę, nustatyti jos nulius ir pastovaus ženklo intervalus. Intervalais, kur funkcija didėja, o kur mažėja. Padarykite išvadą apie ekstremalių buvimą (taškus, kuriuose egzistuoja funkcija ir išvestinė ir per kuriuos pereinant keičia ženklą. Jei ženklas keičiasi iš pliuso į minusą, tai šioje vietoje funkcija turi maksimumą, o jei iš minuso į pliusą , tada mažiausiai). Raskite funkcijos reikšmes ekstremaliuose taškuose.
D) raskite antrąją išvestinę, jos nulius ir pastovaus ženklo intervalus. Intervalais kur< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) rasti pasvirusias (horizontalias) asimptotes, kurių lygtys turi formą ; Kur
.
At funkcijos grafikas turės dvi pasvirusias asimptotes, o kiekviena x reikšmė at ir taip pat gali atitikti dvi b reikšmes.
G) suraskite papildomų taškų grafui patikslinti (jei reikia) ir sukurkite grafiką.

1 pavyzdys Ištirkite funkciją ir sukurkite jos grafiką. Sprendimas: A) apibrėžimo sritis ; funkcija yra tęstinė savo apibrėžimo srityje; – lūžio taškas, nes ;. Tada – vertikali asimptotė.
B)
tie. y(x) yra bendrosios formos funkcija.
C) Raskite grafiko susikirtimo taškus su OY ašimi: nustatykite x=0; tada y(0)=–1, t.y. funkcijos grafikas kerta ašį taške (0;-1). Funkcijos nuliai (grafiko susikirtimo taškai su OX ašimi): nustatykite y=0; Tada
.
Kvadratinės lygties diskriminantas yra mažesnis už nulį, o tai reiškia, kad nulių nėra. Tada pastovaus ženklo intervalų riba yra taškas x=1, kuriame funkcijos nėra.
Funkcijos ženklas kiekviename intervale nustatomas dalinių reikšmių metodu:

Iš diagramos matyti, kad intervale funkcijos grafikas yra po OX ašimi, o intervale – virš OX ašies.
D) Išsiaiškiname kritinių taškų buvimą.
.
Mes randame kritinius taškus (kur neegzistuoja) iš lygybių ir .

Gauname: x1=1, x2=0, x3=2. Sukurkime pagalbinę lentelę

1 lentelė

(Pirmoje eilutėje yra kritiniai taškai ir intervalai, į kuriuos šie taškai yra padalinti pagal OX ašį; antroje eilutėje nurodomos išvestinės reikšmės kritiniuose taškuose ir ženklai ant intervalų. Ženklai nustatomi pagal dalinę reikšmę Trečioji eilutė nurodo funkcijos y(x) reikšmes kritiniuose taškuose ir rodo funkcijos elgesį - didėjant arba mažinant atitinkamais skaitinės ašies intervalais nurodytas.
D) Raskite funkcijos išgaubimo ir įgaubimo intervalus.
; pastatyti lentelę, kaip nurodyta D punkte); Tik antroje eilutėje užrašome ženklus, o trečioje nurodome išgaubimo tipą. Nes ; tada kritinis taškas yra vienas x=1.
2 lentelė

Taškas x=1 yra vingio taškas.
E) Raskite pasvirusias ir horizontalias asimptotes

Tada y=x yra įstrižinė asimptotė.
G) Remdamiesi gautais duomenimis, sudarome funkcijos grafiką

1). Funkcijos apimtis.
Akivaizdu, kad ši funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus taškus „“ ir „“, nes šiuose taškuose vardiklis lygus nuliui, todėl funkcija neegzistuoja, o tiesės ir yra vertikalios asimptotės.

2). Funkcijos, kaip argumento, elgesys linkęs į begalybę, nenutrūkstamų taškų buvimas ir patikrinimas, ar nėra įstrižų asimptotų.
Pirmiausia patikrinkime, kaip funkcija elgiasi artėjant prie begalybės į kairę ir į dešinę.

Taigi, kai funkcija linkusi į 1, t.y. – horizontalioji asimptote.
Netoli nutrūkimo taškų funkcijos veikimas nustatomas taip:


Tie. Artėjant prie nenutrūkstamų taškų kairėje, funkcija be galo mažėja, o dešinėje – be galo didėja.
Įstrižos asimptotės buvimą nustatome atsižvelgdami į lygybę:

Įstrižų asimptotų nėra.

3). Sankirtos taškai su koordinačių ašimis.
Čia reikia atsižvelgti į dvi situacijas: rasti susikirtimo tašką su Ox ašimi ir Oy ašimi. Susikirtimo su Ox ašimi ženklas yra funkcijos nulinė reikšmė, t.y. būtina išspręsti lygtį:

Ši lygtis neturi šaknų, todėl šios funkcijos grafikas neturi susikirtimo su Ox ašimi taškų.
Susikirtimo su Oy ašimi ženklas yra reikšmė x = 0. Šiuo atveju
,
tie. – funkcijos grafiko susikirtimo taškas su Oy ašimi.

4).Ekstremalių taškų ir didėjimo bei mažėjimo intervalų nustatymas.
Norėdami ištirti šią problemą, apibrėžiame pirmąją išvestinę:
.
Pirmosios išvestinės reikšmę prilyginkime nuliui.
.
Trupmena lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, t.y. .
Nustatykime funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus.

Taigi funkcija turi vieną ekstremumo tašką ir neegzistuoja dviejuose taškuose.
Taigi funkcija didėja intervalais ir mažėja intervalais ir .

5). Posūkio taškai ir išgaubimo bei įdubimo sritys.
Ši funkcijos elgsenos charakteristika nustatoma naudojant antrąją išvestinę. Pirmiausia nustatykime, ar yra vingio taškų. Antroji funkcijos išvestinė lygi

Kada ir funkcija yra įgaubta;

kai ir funkcija yra išgaubta.

6). Funkcijos grafikas.
Naudodami rastas reikšmes taškuose, schematiškai sudarysime funkcijos grafiką:

Sprendimas
Pateikta funkcija yra bendrosios formos neperiodinė funkcija. Jo grafikas eina per koordinačių pradžią, nes .
Tam tikros funkcijos apibrėžimo sritis yra visos kintamojo reikšmės, išskyrus ir kurių trupmenos vardiklis tampa nuliu.
Vadinasi, taškai yra funkcijos nepertraukiamumo taškai.
Nes ,

Nes ,
, tada taškas yra antrojo tipo nutrūkimo taškas.
Tiesios linijos yra vertikalios funkcijos grafiko asimptotės.
Įstrižųjų asimptotų lygtys, kur .
At ,
.
Taigi už ir funkcijos grafikas turi vieną asimptotę.
Raskime funkcijos ir ekstremalių taškų didėjimo ir mažėjimo intervalus.
.
Pirmoji funkcijos at ir todėl at ir funkcija išvestinė didėja.
Kada , taigi, kada , funkcija sumažėja.
neegzistuoja , .
, todėl kai Funkcijos grafikas yra įgaubtas.
At , todėl kai Funkcijos grafikas yra išgaubtas.

Važiuojant per taškus , , keičia ženklą. Kai , funkcija neapibrėžta, todėl funkcijos grafikas turi vieną vingio tašką.
Sukurkime funkcijos grafiką.