Čia pateikiame išsamius trijų šių racionalių trupmenų integravimo pavyzdžių sprendimus:
, , .

1 pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:
.

Sprendimas

Čia po integralo ženklu yra racionali funkcija, nes integrandas yra daugianario dalis. Vardiklio daugianario laipsnis ( 3 ) yra mažesnis už skaitiklio daugianario laipsnį ( 4 ). Todėl pirmiausia reikia pasirinkti visą trupmenos dalį.

1. Pasirinkime visą trupmenos dalį. Padalinkite x 4 pagal x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Iš čia
.

2. Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti kubinę lygtį:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Pakeiskime x = 1 :
.

1 . Padalinti iš x - 1 :

Iš čia
.
Kvadratinės lygties sprendimas.
.
Lygties šaknys yra: , .
Tada
.

3. Išskaidykime trupmeną į paprasčiausią formą.

.

Taigi mes radome:
.
Integruosime.

Atsakymas

2 pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:
.

Sprendimas

Čia trupmenos skaitiklis yra nulinio laipsnio polinomas ( 1 = x 0). Vardiklis yra trečiojo laipsnio daugianario. Nes 0 < 3 , tada trupmena yra teisinga. Išskaidykime jį į paprastas trupmenas.

1. Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti trečiojo laipsnio lygtį:
.
Tarkime, kad jis turi bent vieną visą šaknį. Tada tai yra skaičiaus daliklis 3 (narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 3, -1, -3 .
Pakeiskime x = 1 :
.

Taigi, mes radome vieną šaknį x = 1 . Padalinkite x 3 + 2 x - 3 ant x - 1 :

Taigi,
.

Kvadratinės lygties sprendimas:
x 2 + x + 3 = 0.
Raskite diskriminantą: D = 1 2 - 4 3 = -11. Kadangi D< 0 , tada lygtis neturi realių šaknų. Taigi, mes gavome vardiklio faktorizaciją:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Pakeiskime x = 1 . Tada x - 1 = 0 ,
.

Pakeiskime (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Prilyginkime (2.1) koeficientai x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integruosime.
(2.2) .
Norėdami apskaičiuoti antrąjį integralą, skaitiklyje pasirenkame vardiklio išvestinę ir sumažiname vardiklį iki kvadratų sumos.

;
;
.

Apskaičiuokite I 2 .


.
Kadangi lygtis x 2 + x + 3 = 0 neturi tikrų šaknų, tada x 2 + x + 3 > 0. Todėl modulio ženklą galima praleisti.

Pristatome į (2.2) :
.

Atsakymas

3 pavyzdys

Apskaičiuokite integralą:
.

Sprendimas

Čia po integralo ženklu yra polinomų dalis. Todėl integrandas yra racionali funkcija. Dauginamo laipsnis skaitiklyje yra lygus 3 . Trupmenos vardiklio daugianario laipsnis lygus 4 . Nes 3 < 4 , tada trupmena yra teisinga. Todėl jį galima suskaidyti į paprastas trupmenas. Tačiau norint tai padaryti, vardiklį reikia padalyti faktoriais.

1. Išskaidykime trupmenos vardiklį. Norėdami tai padaryti, turite išspręsti ketvirtojo laipsnio lygtį:
.
Tarkime, kad jis turi bent vieną visą šaknį. Tada tai yra skaičiaus daliklis 2 (narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2 .
Pakeiskime x = -1 :
.

Taigi, mes radome vieną šaknį x = -1 . Padalinti iš x - (-1) = x + 1:


Taigi,
.

Dabar turime išspręsti trečiojo laipsnio lygtį:
.
Jei darysime prielaidą, kad ši lygtis turi sveikojo skaičiaus šaknį, tada ji yra skaičiaus daliklis 2 (narys be x). Tai yra, visa šaknis gali būti vienas iš skaičių:
1, 2, -1, -2 .
Pakeiskime x = -1 :
.

Taigi, mes radome kitą šaknį x = -1 . Galima būtų, kaip ir ankstesniu atveju, padalyti daugianarį iš , tačiau terminus sugrupuosime:
.

Kadangi lygtis x 2 + 2 = 0 neturi realių šaknų, tada gauname vardiklio faktorizaciją:
.

2. Išskaidykime trupmeną į paprasčiausią formą. Ieškome išplėtimo tokia forma:
.
Atsikratome trupmenos vardiklio, padauginame iš (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Pakeiskime x = -1 . Tada x + 1 = 0 ,
.

Atskirkime (3.1) :

;

.
Pakeiskime x = -1 ir atsižvelgti į tai, kad x + 1 = 0 :
;
; .

Pakeiskime (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Prilyginkime (3.1) koeficientai x 3 :
;
1 = B + C;
.

Taigi, mes radome skaidymą į paprastas trupmenas:
.

3. Integruosime.


.

Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas.
Neaiškių koeficientų metodas

Mes ir toliau dirbame integruodami trupmenas. Pamokoje jau apžvelgėme kai kurių tipų trupmenų integralus ir šią pamoką tam tikra prasme galima laikyti tęsiniu. Norint sėkmingai suprasti medžiagą, reikalingi pagrindiniai integravimo įgūdžiai, todėl jei ką tik pradėjote mokytis integralų, tai yra, esate pradedantysis, turite pradėti nuo straipsnio Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Kaip bebūtų keista, dabar mes užsiimsime ne tiek integralų paieška, kiek... tiesinių lygčių sistemų sprendimu. Šiuo atžvilgiu skubiai Rekomenduoju lankyti pamoką. Būtent, jūs turite gerai išmanyti pakeitimo metodus („mokyklos“ metodą ir sisteminių lygčių sudėties (atėmimo) metodą).

Kas yra trupmeninė racionali funkcija? Paprastais žodžiais tariant, trupmeninė-racionali funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario arba daugianario sandaugų. Be to, trupmenos yra sudėtingesnės nei aptariamos straipsnyje Kai kurių trupmenų integravimas.

Tinkamos trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas

Iškart pavyzdys ir tipinis trupmeninės-racionalios funkcijos integralo sprendimo algoritmas.

1 pavyzdys

1 žingsnis. Pirmas dalykas, kurį VISADA darome spręsdami trupmeninės racionalios funkcijos integralą, yra išsiaiškinti šį klausimą: ar trupmena tinkama?Šis veiksmas atliekamas žodžiu, o dabar paaiškinsiu, kaip:

Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis daugianario:

Pirmaujanti skaitiklio galia yra du.

Dabar žiūrime į vardiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis vardiklis. Akivaizdus būdas yra atidaryti skliaustus ir pateikti panašius terminus, bet galite tai padaryti paprasčiau kiekviena skliausteliuose raskite aukščiausią laipsnį

ir mintyse padauginkite: - taigi, didžiausias vardiklio laipsnis lygus trims. Visiškai akivaizdu, kad jei iš tikrųjų atidarysime skliaustus, negausime laipsnio didesnio nei trys.

Išvada: Pagrindinis skaitiklio laipsnis GRIEŽTAI yra mažesnė už didžiausią vardiklio laipsnį, o tai reiškia, kad trupmena yra tinkama.

Jei šiame pavyzdyje skaitiklyje yra daugianario 3, 4, 5 ir kt. laipsnių, tada trupmena būtų negerai.

Dabar nagrinėsime tik teisingas trupmenines racionalias funkcijas. Atvejis, kai skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui, bus aptartas pamokos pabaigoje.

2 žingsnis. Išskaidykime vardiklį faktoriais. Pažvelkime į mūsų vardiklį:

Paprastai tariant, tai jau yra veiksnių rezultatas, bet vis dėlto klausiame savęs: ar įmanoma dar ką nors išplėsti? Kankinimo objektas neabejotinai bus kvadratinis trikampis. Kvadratinės lygties sprendimas:

Diskriminantas yra didesnis už nulį, o tai reiškia, kad trinalį tikrai galima koeficientuoti:

Bendra taisyklė: VISKAS, kas yra vardiklyje, GALI būti faktoringa – faktoriuota

Pradėkime formuluoti sprendimą:

3 veiksmas. Naudodamiesi neapibrėžtųjų koeficientų metodu, integrandą išplečiame į paprastųjų (elementariųjų) trupmenų sumą. Dabar bus aiškiau.

Pažvelkime į mūsų integrando funkciją:

Ir, žinote, kažkaip intuityvi mintis iškyla, kad būtų neblogai mūsų didelę dalį paversti keliomis mažomis. Pavyzdžiui, taip:

Kyla klausimas, ar tai apskritai įmanoma padaryti? Atsikvėpkime, atitinkama matematinės analizės teorema teigia – GALIMA. Toks skilimas egzistuoja ir yra unikalus.

Yra tik vienas laimikis, šansai yra tokie Ate Mes nežinome, todėl pavadinimas - neapibrėžtų koeficientų metodas.

Kaip atspėjote, vėlesni kūno judesiai yra tokie, neskubėkite! bus siekiama tiesiog juos ATPAŽINTI – išsiaiškinti, kam jie prilygsta.

Būkite atsargūs, išsamiai paaiškinsiu tik vieną kartą!

Taigi, pradėkime šokti nuo:

Kairėje pusėje sumažiname išraišką iki bendro vardiklio:

Dabar galime saugiai atsikratyti vardiklių (nes jie yra vienodi):

Kairėje pusėje atidarome skliaustus, bet kol kas nelieskite nežinomų koeficientų:

Tuo pačiu kartojame mokyklinę daugianario daugybos taisyklę. Kai buvau mokytojas, išmokau ištarti šią taisyklę tiesiu veidu: Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario.

Aiškaus paaiškinimo požiūriu geriau koeficientus dėti skliausteliuose (nors aš asmeniškai niekada to nedarau, kad sutaupyčiau laiko):

Sudarome tiesinių lygčių sistemą.
Pirmiausia ieškome vyresniųjų laipsnių:

Ir mes įrašome atitinkamus koeficientus į pirmąją sistemos lygtį:

Gerai atsiminkite sekantį dalyką. Kas nutiktų, jei dešinėje pusėje iš viso nebūtų s? Tarkime, ar jis tiesiog pasirodytų be jokio kvadrato? Šiuo atveju sistemos lygtyje reikėtų dešinėje dėti nulį: . Kodėl nulis? Bet todėl, kad dešinėje pusėje visada galite priskirti tą patį kvadratą su nuliu: Jei dešinėje pusėje nėra kintamųjų ir (arba) laisvo nario, tada atitinkamų sistemos lygčių dešinėse pusėse dedame nulius.

Atitinkamus koeficientus įrašome į antrąją sistemos lygtį:

Ir galiausiai, mineralinis vanduo, atrenkame laisvus narius.

Ech, kažkaip pajuokavau. Anekdotus atmetus – matematika yra rimtas mokslas. Mūsų instituto grupėje niekas nesijuokė, kai docentė pasakė, kad išbarstys terminus išilgai skaičių tiesės ir išrinks didžiausius. Būkime rimti. Nors... kas gyvena iki šios pamokos pabaigos, vis tiek tyliai šypsosis.

Sistema paruošta:

Mes išsprendžiame sistemą:

(1) Iš pirmosios lygties ją išreiškiame ir pakeičiame 2 ir 3 sistemos lygtimis. Tiesą sakant, buvo galima išreikšti (ar kitą raidę) iš kitos lygties, tačiau šiuo atveju naudinga ją išreikšti iš 1-osios lygties, nes mažiausi šansai.

(2) Panašius terminus pateikiame 2-oje ir 3-ioje lygtyse.

(3) 2 ir 3 lygtis pridedame po termino, gaudami lygybę , iš kurios išplaukia, kad

(4) Mes pakeičiame į antrąją (arba trečiąją) lygtį, iš kur tai randame

(5) Pakeiskite ir į pirmąją lygtį, gaudami .

Jei kyla problemų dėl sistemos sprendimo būdų, praktikuokite juos klasėje. Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?

Išsprendus sistemą visada pravartu pasitikrinti – pakeisti rastas reikšmes kas sistemos lygtis, todėl viskas turėtų „susivesti“.

Beveik ten. Buvo rasti koeficientai ir:

Baigtas darbas turėtų atrodyti maždaug taip:

Kaip matote, pagrindinis užduoties sunkumas buvo sudaryti (teisingai!) ir išspręsti (teisingai!) tiesinių lygčių sistemą. Ir paskutiniame etape viskas nėra taip sunku: mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes ir integruojame. Atkreipkite dėmesį, kad pagal kiekvieną iš trijų integralų mes turime „nemokamą“ kompleksinę funkciją, apie jos integravimo ypatybes kalbėjau pamokoje Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Patikrinkite: išskirkite atsakymą:

Gauta pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
Tikrinimo metu turėjome sumažinti išraišką iki bendro vardiklio, ir tai neatsitiktinai. Neapibrėžtų koeficientų metodas ir išraiškos redukavimas į bendrą vardiklį yra abipusiai atvirkštiniai veiksmai.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio trupmenos: . Nesunku pastebėti, kad vardiklyje visi veiksniai yra SKIRTINGI. Kyla klausimas, ką daryti, jei, pavyzdžiui, pateikiama ši trupmena: ? Čia mes turime laipsnius vardiklyje arba, matematiškai, kartotiniai. Be to, yra kvadratinis trinaris, kurio negalima koeficientuoti (nesunku patikrinti, ar lygties diskriminantas yra neigiamas, todėl trinario negalima koeficientuoti). Ką daryti? Išplėtimas į elementariųjų trupmenų sumą atrodys maždaug taip su nežinomais koeficientais viršuje ar dar kažkas?

3 pavyzdys

Įveskite funkciją

1 žingsnis. Tikrinama, ar turime tinkamą trupmeną
Pagrindinis skaitiklis: 2
Aukščiausias vardiklio laipsnis: 8
, o tai reiškia, kad trupmena yra teisinga.

2 žingsnis. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Akivaizdu, kad ne, viskas jau išdėstyta. Dėl pirmiau nurodytų priežasčių kvadratinio trinalio negalima išplėsti į gaminį. Gaubtas. Mažiau darbo.

3 veiksmas.Įsivaizduokime trupmeninę-racionaliąją funkciją kaip elementariųjų trupmenų sumą.
Šiuo atveju išplėtimas turi tokią formą:

Pažvelkime į mūsų vardiklį:
Išskaidžius trupmeninę-racionaliąją funkciją į elementariųjų trupmenų sumą, galima išskirti tris pagrindinius dalykus:

1) Jei vardiklyje yra „vienišas“ pirmosios laipsnio koeficientas (mūsų atveju), tada viršuje (mūsų atveju) dedame neapibrėžtą koeficientą. 1, 2 pavyzdžiai susideda tik iš tokių „vienišų“ veiksnių.

2) Jei vardiklis turi daugkartinis daugiklis, tada jums reikia jį išskaidyti taip:
- tai yra, nuosekliai eikite per visus „X“ laipsnius nuo pirmojo iki n-ojo laipsnio. Mūsų pavyzdyje yra du keli veiksniai: ir , dar kartą pažvelkite į mano pateiktą išplėtimą ir įsitikinkite, kad jie yra išplėsti tiksliai pagal šią taisyklę.

3) Jei vardiklyje yra neskaidomas antrojo laipsnio polinomas (mūsų atveju), tada skaidant skaitiklyje reikia parašyti tiesinę funkciją su neapibrėžtais koeficientais (mūsų atveju su neapibrėžtais koeficientais ir ).

Tiesą sakant, yra dar vienas 4-asis atvejis, bet aš apie tai tylėsiu, nes praktikoje tai yra labai reta.

4 pavyzdys

Įveskite funkciją kaip elementariųjų trupmenų su nežinomais koeficientais suma.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Griežtai laikykitės algoritmo!

Jei suprantate principus, pagal kuriuos reikia išplėsti trupmeninę-racionaliąją funkciją į sumą, galite peržvelgti beveik bet kurį nagrinėjamo tipo integralą.

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

1 žingsnis. Akivaizdu, kad trupmena yra teisinga:

2 žingsnis. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Gali. Čia yra kubelių suma . Vardiklį koeficientuokite naudodami sutrumpintą daugybos formulę

3 veiksmas. Naudodami neapibrėžtų koeficientų metodą, integrandą išplečiame į elementariųjų trupmenų sumą:

Atkreipkite dėmesį, kad daugianario negalima koeficientuoti (patikrinkite, ar diskriminantas yra neigiamas), todėl viršuje pateikiame tiesinę funkciją su nežinomais koeficientais, o ne tik viena raide.

Sukeliame trupmeną į bendrą vardiklį:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

(1) Išreiškiame iš pirmosios lygties ir pakeičiame ją antrąja sistemos lygtimi (tai yra racionaliausias būdas).

(2) Panašius terminus pateikiame antroje lygtyje.

(3) Antrąją ir trečiąją sistemos lygtis sudedame po terminą.

Visi tolesni skaičiavimai iš esmės yra žodiniai, nes sistema yra paprasta.

(1) Užrašome trupmenų sumą pagal rastus koeficientus.

(2) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes. Kas atsitiko antrajame integrale? Su šiuo metodu galite susipažinti paskutinėje pamokos pastraipoje. Kai kurių trupmenų integravimas.

(3) Dar kartą naudojame tiesiškumo savybes. Trečiajame integralu pradedame atskirti visą kvadratą (priešpaskutinė pamokos pastraipa Kai kurių trupmenų integravimas).

(4) Imame antrą integralą, trečiuoju pasirenkame visą kvadratą.

(5) Paimkite trečiąjį integralą. Paruošta.

Šioje temoje pateikta medžiaga paremta temoje "Racionaliosios trupmenos. Racionaliųjų trupmenų skaidymas į elementariąsias (paprastąsias) trupmenas" pateikta informacija. Labai rekomenduoju bent jau perskaityti šią temą prieš pradedant skaityti šią medžiagą. Be to, mums reikės neapibrėžtų integralų lentelės.

Leiskite jums priminti keletą terminų. Jie buvo aptarti atitinkamoje temoje, todėl čia apsiribosiu trumpa formuluote.

Dviejų daugianarių $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ santykis vadinamas racionalia funkcija arba racionalia trupmena. Racionalioji trupmena vadinama teisinga, jei $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется negerai.

Elementariosios (paprastosios) racionalios trupmenos yra keturių tipų racionalios trupmenos:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Pastaba (pageidautina norint geriau suprasti tekstą): rodyti\slėpti

Kodėl reikalinga sąlyga $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Pavyzdžiui, išraiškai $x^2+5x+10$ gauname: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Kadangi $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Beje, šiam patikrinimui visai nebūtina, kad koeficientas prieš $x^2$ būtų lygus 1. Pavyzdžiui, $5x^2+7x-3=0$ gauname: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 USD. Kadangi $D > 0$, išraišką $5x^2+7x-3$ galima koeficientuoti.

Galima rasti racionaliųjų trupmenų (tinkamų ir netinkamų) pavyzdžių, taip pat racionaliosios trupmenos skaidymo į elementariąsias pavyzdžių. Čia mus domina tik jų integravimo klausimai. Pradėkime nuo elementariųjų trupmenų integravimo. Taigi kiekvieną iš keturių pirmiau minėtų elementariųjų trupmenų tipų lengva integruoti naudojant toliau pateiktas formules. Priminsiu, kad integruojant (2) ir (4) tipų trupmenas daroma prielaida, kad $n=2,3,4,\ldots$. Formulės (3) ir (4) reikalauja įvykdyti sąlygą $p^2-4q< 0$.

\begin(lygtis) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(lygtis) \begin(lygtis) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \pabaiga(lygtis) \begin (lygtis) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(lygtis)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ pakeičiamas $t=x+\frac(p)(2)$, po kurio gaunamas intervalas padalintas į dvi. Pirmasis bus apskaičiuojamas įvedant po diferencialo ženklu, o antrasis turės formą $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Šis integralas imamas naudojant pasikartojimo ryšį

\begin(lygtis) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\pabaiga(lygtis)

Tokio integralo skaičiavimas aptartas pavyzdyje Nr.7 (žr. trečią dalį).

Racionaliųjų funkcijų integralų (racionaliųjų trupmenų) skaičiavimo schema:

1. Jei integrandas yra elementarus, taikykite formules (1)-(4).
2. Jei integrandas nėra elementarus, pavaizduokite jį kaip elementariųjų trupmenų sumą ir integruokite naudodami formules (1)-(4).

Minėtas racionaliųjų trupmenų integravimo algoritmas turi neginčijamą pranašumą – jis yra universalus. Tie. naudodamiesi šiuo algoritmu galite integruoti bet koks racionalioji trupmena. Štai kodėl beveik visi neapibrėžtinio integralo kintamųjų pakeitimai (Euleris, Čebyševas, universalus trigonometrinis pakaitalas) atliekami taip, kad po šio pakeitimo gautume racionaliąją intervalo trupmeną. Ir tada pritaikykite jam algoritmą. Tiesioginį šio algoritmo taikymą analizuosime naudodami pavyzdžius, padarę nedidelę pastabą.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Iš esmės šį integralą lengva gauti be mechaninio formulės taikymo. Jei iš integralo ženklo išimsime konstantą $7$ ir atsižvelgsime į tai, kad $dx=d(x+9)$, gausime:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Norėdami gauti išsamesnės informacijos, rekomenduoju pažvelgti į temą. Jame išsamiai paaiškinama, kaip tokie integralai sprendžiami. Beje, formulę įrodo tos pačios transformacijos, kurios buvo taikomos šioje pastraipoje ją sprendžiant „rankiniu būdu“.

2) Vėlgi, yra du būdai: naudoti paruoštą formulę arba apsieiti be jos. Jei taikote formulę, turėtumėte atsižvelgti į tai, kad koeficientas prieš $x$ (skaičius 4) turės būti pašalintas. Norėdami tai padaryti, tiesiog išimkite šiuos keturis skliaustus:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Dabar laikas taikyti formulę:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Galite išsiversti nenaudodami formulės. Ir net neišimant pastovių 4 USD iš skliaustų. Jei atsižvelgsime į $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, gausime:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Išsamūs paaiškinimai, kaip rasti tokius integralus, pateikiami temoje „Integravimas pakeitimu (pakeitimas po diferencialiniu ženklu)“.

3) Turime integruoti trupmeną $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Šios trupmenos struktūra $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, kur $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Tačiau norint įsitikinti, kad tai tikrai elementari trečiojo tipo trupmena, reikia patikrinti, ar tenkinama sąlyga $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Išspręskime tą patį pavyzdį, bet nenaudodami paruoštos formulės. Pabandykime išskirti vardiklio išvestinę skaitiklyje. Ką tai reiškia? Žinome, kad $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Tai išraiška $2x+10$, kurią turime išskirti skaitiklyje. Kol kas skaitiklyje yra tik $4x+7$, bet tai truks neilgai. Taikykime tokią transformaciją skaitikliui:

$ 4x+7=2\ctaškas 2x+7=2\ctaškas (2x+10-10)+7=2\ctaškas(2x+10)-2\ctaškas 10+7=2\ctaškas(2x+10) -13. $$

Dabar skaitiklyje atsiranda reikalinga išraiška $2x+10$. Ir mūsų integralas gali būti perrašytas taip:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Padalinkime integrandą į dvi dalis. Na, ir, atitinkamai, pats integralas taip pat yra „dvišakis“:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34)\right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Pirmiausia pakalbėkime apie pirmąjį integralą, t.y. apie $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Kadangi $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, tada integrando skaitiklyje yra vardiklio diferencialas. Trumpai tariant, vietoj išraiškos $( 2x+10)dx$ rašome $d(x^2+10x+34)$.

Dabar pasakykime keletą žodžių apie antrąjį integralą. Vardiklyje pažymime visą kvadratą: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Be to, atsižvelgiame į $dx=d(x+5)$. Dabar anksčiau gautą integralų sumą galima perrašyti šiek tiek kitokia forma:

$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Jei pirmajame integrale pakeisime $u=x^2+10x+34$, jis bus formos $\int\frac(du)(u)$ ir jį galima gauti tiesiog pritaikius antrąją formulę iš . Kalbant apie antrąjį integralą, jam galimas pakeitimas $u=x+5$, po kurio jis įgaus formą $\int\frac(du)(u^2+9)$. Tai gryniausia vienuoliktoji formulė iš neapibrėžtų integralų lentelės. Taigi, grįždami prie integralų sumos, turime:

2 USD\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Gavome tą patį atsakymą, kaip ir taikant formulę, kas, griežtai žiūrint, nestebina. Apskritai formulė įrodoma tais pačiais metodais, kuriuos naudojome norėdami rasti šį integralą. Tikiu, kad dėmesingam skaitytojui čia gali kilti vienas klausimas, todėl jį suformuluosiu:

Klausimas Nr.1

Jei integralui $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ pritaikysime antrąją formulę iš neapibrėžtų integralų lentelės, gausime:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Kodėl sprendime nebuvo modulio?

Atsakymas į 1 klausimą

Klausimas visiškai natūralus. Modulio trūko tik todėl, kad bet kurio $x\in R$ išraiška $x^2+10x+34$ yra didesnė už nulį. Tai gana lengva parodyti keliais būdais. Pavyzdžiui, kadangi $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ir $(x+5)^2 ≥ 0$, tada $(x+5)^2+9 > 0$ . Galite galvoti kitaip, nepasirinkę viso kvadrato. Nuo $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ už bet kurį $x\in R$ (jei ši loginė grandinė stebina, patariu pažvelgti į grafinį kvadratinių nelygybių sprendimo metodą). Bet kuriuo atveju, kadangi $x^2+10x+34 > 0$, tai $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, t.y. Vietoj modulio galite naudoti įprastus skliaustus.

Visi pavyzdžio Nr.1 ​​punktai išspręsti, belieka surašyti atsakymą.

Atsakymas:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

2 pavyzdys

Raskite integralą $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Iš pirmo žvilgsnio integrandas $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ yra labai panašus į trečiojo tipo elementariąją trupmeną, t.y. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Atrodo, kad vienintelis skirtumas yra $3$ koeficientas prieš $x^2$, bet netrunka pašalinti koeficientą (išdėkite jį iš skliaustų). Tačiau šis panašumas yra akivaizdus. Trupmenai $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ sąlyga $p^2-4q yra privaloma< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Mūsų koeficientas prieš $x^2$ nėra lygus vienetui, todėl patikrinkite sąlygą $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, todėl išraiška $3x^2-5x-2$ gali būti faktorinuota. Tai reiškia, kad trupmena $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ nėra elementarioji trečiojo tipo trupmena ir taikoma $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) į integralo 5x-2)dx$ formulę neįmanoma.

Na, o jei duota racionalioji trupmena nėra elementarioji trupmena, tai ją reikia pavaizduoti kaip elementariųjų trupmenų sumą ir tada integruoti. Trumpai tariant, pasinaudokite taku. Išsamiai parašyta, kaip racionaliąją trupmeną išskaidyti į elementariąsias. Pradėkime nuo vardiklio faktoriaus:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin (sulygiuotas) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\pabaiga (sulygiuota)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Subinterkalinę frakciją pateikiame tokia forma:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Dabar išskaidykime trupmeną $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ į elementariąsias:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\dešinėje). $$

Koeficientams $A$ ir $B$ rasti yra du standartiniai būdai: neapibrėžtų koeficientų metodas ir dalinių reikšmių pakeitimo metodas. Taikykime dalinės vertės pakeitimo metodą, pakeisdami $x=2$, o tada $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Kadangi koeficientai buvo rasti, belieka užsirašyti baigtą plėtrą:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Iš esmės galite palikti šį įrašą, bet man patinka tikslesnis variantas:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Grįžtant prie pradinio integralo, į jį pakeičiame gautą išplėtimą. Tada integralą padalijame į du ir kiekvienam pritaikome formulę. Man labiau patinka konstantas iš karto sudėti už integralo ženklo:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Atsakymas: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

3 pavyzdys

Raskite integralą $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Turime integruoti trupmeną $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Skaitiklyje yra antrojo laipsnio daugianario, o vardiklyje yra trečiojo laipsnio daugianario. Kadangi daugianario laipsnis skaitiklyje yra mažesnis už daugianario laipsnį vardiklyje, t.y. 2 USD< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$

Tereikia duotą integralą padalinti į tris ir kiekvienam pritaikyti formulę. Man labiau patinka konstantas iš karto sudėti už integralo ženklo:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Atsakymas: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Šios temos pavyzdžių analizės tęsinys yra antroje dalyje.

„Matematikas, kaip ir menininkas ar poetas, kuria raštus. O jei jo raštai stabilesni, tai tik todėl, kad jie susideda iš idėjų... Matematiko raštai, kaip ir menininko ar poeto raštai, turi būti gražūs; Idėjos, kaip ir spalvos ar žodžiai, turi atitikti viena kitą. Grožis yra pirmasis reikalavimas: bjauriai matematikai nėra vietos pasaulyje».

G.H.Hardy

Pirmajame skyriuje buvo pažymėta, kad yra gana paprastų funkcijų, kurių nebegalima išreikšti elementariomis funkcijomis, antidariniai. Šiuo atžvilgiu didžiulę praktinę reikšmę įgyja tos funkcijų klasės, apie kurias galima tiksliai pasakyti, kad jų antidariniai yra elementarios funkcijos. Ši funkcijų klasė apima racionalios funkcijos, vaizduojantis dviejų algebrinių daugianarių santykį. Daugelis problemų lemia racionaliųjų trupmenų integravimą. Todėl labai svarbu mokėti integruoti tokias funkcijas.

2.1.1. Trupmeninės racionalios funkcijos

Racionalioji trupmena(arba trupmeninė racionali funkcija) vadinamas dviejų algebrinių daugianarių ryšiu:

kur ir yra daugianariai.

Prisiminkime tai daugianario (daugianario, visa racionali funkcija) nlaipsnis vadinama formos funkcija

Kur – realūs skaičiai. Pavyzdžiui,

– pirmojo laipsnio daugianario;

– ketvirtojo laipsnio daugianario ir kt.

Racionalioji trupmena (2.1.1) vadinama teisinga, jeigu laipsnis žemesnis už laipsnį , t.y. n<m, kitaip trupmena vadinama negerai.

Bet kuri neteisinga trupmena gali būti pavaizduota kaip daugianario (sveikosios dalies) ir tinkamos trupmenos (trupmeninės dalies) suma. Netinkamos trupmenos sveikos ir trupmeninės dalys gali būti atskirtos pagal daugianario padalijimo „kampu“ taisyklę.

2.1.1 pavyzdys. Nustatykite šių netinkamų racionalių trupmenų visas ir trupmenines dalis:

A) , b) .

Sprendimas . a) Naudodami "kampo" padalijimo algoritmą, gauname

Taigi, mes gauname

.

b) Čia taip pat naudojame „kampo“ padalijimo algoritmą:

Kaip rezultatas, mes gauname

.

Apibendrinkime. Bendruoju atveju neapibrėžtasis racionaliosios trupmenos integralas gali būti pavaizduotas kaip daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos integralų suma. Rasti polinomų antidarinius nėra sunku. Todėl toliau daugiausia svarstysime tinkamas racionaliąsias trupmenas.

2.1.2. Paprasčiausios racionalios trupmenos ir jų integravimas

Tarp tinkamų racionaliųjų trupmenų yra keturi tipai, kurie klasifikuojami kaip paprasčiausios (elementariosios) racionalios trupmenos:

kur yra sveikasis skaičius, , t.y. kvadratinis trinaris neturi tikrų šaknų.

1 ir 2 tipų paprastųjų trupmenų integravimas nesukelia didelių sunkumų:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Dabar panagrinėkime paprastųjų 3 tipo trupmenų integravimą, bet nenagrinėsime 4 tipo trupmenų.

Pradėkime nuo formos integralų

.

Šis integralas paprastai apskaičiuojamas išskiriant tobuląjį vardiklio kvadratą. Rezultatas yra šios formos lentelės integralas

arba .

2.1.2 pavyzdys. Raskite integralus:

A) , b) .

Sprendimas . a) Iš kvadratinio trinalio pasirinkite visą kvadratą:

Iš čia randame

b) Išskirdami visą kvadratą nuo kvadratinio trinalio, gauname:

Taigi,

.

Norėdami rasti integralą

Jūs galite išskirti vardiklio išvestinę skaitiklyje ir išplėsti integralą į dviejų integralų sumą: pirmasis iš jų pakeičiant priklauso nuo išvaizdos

,

o antrasis – į aukščiau aptartą.

2.1.3 pavyzdys. Raskite integralus:

.

Sprendimas . pastebėti, kad . Išskirkime vardiklio išvestinę skaitiklyje:

Pirmasis integralas apskaičiuojamas naudojant pakaitalą :

Antrajame integrale vardiklyje pasirenkame tobulą kvadratą

Pagaliau gauname

2.1.3. Tinkamas racionalus trupmenos plėtimas
paprastųjų trupmenų sumai

Bet kuri tinkama racionali trupmena gali būti pavaizduota unikaliu būdu kaip paprastųjų trupmenų suma. Norėdami tai padaryti, vardiklis turi būti koeficientas. Iš aukštesnės algebros žinoma, kad kiekvienas daugianomas su realiais koeficientais