Instrukcijos

Jums skiriami trys taškai. Pažymime juos kaip (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Daroma prielaida, kad šie taškai yra kai kurių viršūnių trikampis. Užduotis yra sukurti jo kraštinių lygtis – tiksliau lygtis tų tiesių, ant kurių yra šios pusės. Šios lygtys turėtų atrodyti taip:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3, reikia rasti kampines vertes k1, k2, k3 ir poslinkius b1, b2, b3.

Raskite tiesę, einančią per taškus (x1, y1), (x2, y2). Jei x1 = x2, tai norima tiesė yra vertikali, o jos lygtis x = x1. Jei y1 = y2, tai tiesė yra horizontali, o jos lygtis yra y = y1. Apskritai šios koordinatės viena kitos neatitiks.

Į bendrąją tiesės lygtį pakeitus koordinates (x1, y1), (x2, y2), gaunama dviejų tiesinių lygčių sistema: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2 atimkite vieną lygtį iš kitos ir išspręskite gautą k1 lygtį: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, todėl k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Pakeisdami tai, ką radote, į bet kurią iš pradinių lygčių, raskite b1 išraišką:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1. Kadangi jau žinome, kad x2 ≠ x1, galime supaprastinti išraišką padauginę y1 iš (x2 - x1)/(x2 - x1). Tada b1 gausite tokią išraišką: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Patikrinkite, ar trečias iš nurodytų taškų yra rastoje eilutėje. Norėdami tai padaryti, pakeiskite (x3, y3) gautoje lygtyje ir pažiūrėkite, ar lygybė galioja. Jei tai pastebima, visi trys taškai yra toje pačioje tiesėje, o trikampis išsigimsta į atkarpą.

Tuo pačiu būdu, kaip aprašyta aukščiau, išveskite lygtis tiesėms, einančioms per taškus (x2, y2), (x3, y3) ir (x1, y1), (x3, y3).

Galutinė trikampio kraštinių lygčių, pateiktų viršūnių koordinatėmis, forma yra tokia: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 – y1)*x + (x1*y3 – x3*y1))/(x3 – x1).

Rasti lygtys vakarėliams trikampis, visų pirma reikia pabandyti išspręsti klausimą, kaip rasti tiesės lygtį plokštumoje, jei žinomas jos krypties vektorius s(m, n) ir tam tikras tiesei priklausantis taškas M0(x0, y0).

Instrukcijos

Paimkite savavališką (kintamąjį, slankųjį) tašką М(x, y) ir sukurkite vektorių М0M =(x-x0, y-y0) (taip pat parašykite М0M(x-x0, y-y0)), kuris akivaizdžiai bus kolinearinis. (lygiagretus ) pagal k s. Tada galime daryti išvadą, kad šių vektorių koordinatės yra proporcingos, todėl galime sukurti kanoninę tiesę: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Būtent šis santykis bus naudojamas sprendžiant problemą.

Visi tolesni veiksmai nustatomi pagal metodą .1 metodas. Trikampis nurodomas trijų jo viršūnių koordinatėmis, o mokyklos geometrijoje nurodomos jo trijų ilgiai vakarėliams(žr. 1 pav.). Tai reiškia, kad sąlygoje yra taškai M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Jie atitinka jų spindulio vektorius) OM1, 0M2 ir OM3 su tomis pačiomis koordinatėmis kaip ir taškai. Už gavimą lygtys vakarėliams s M1M2 reikalingas jo krypties vektorius M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) ir bet kuris iš taškų M1 arba M2 (čia imamas taškas su mažesniu indeksu).

Taigi už vakarėliams y M1M2 kanoninė tiesės lygtis (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Veikdami grynai indukciškai, galime rašyti lygtys likusieji vakarėliams.Dėl vakarėliams s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Dėl vakarėliams s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2-as metodas. Trikampis apibrėžiamas dviem taškais (tokiais pat kaip ir anksčiau M1(x1, y1) ir M2(x2, y2)), taip pat kitų dviejų krypčių vienetiniais vektoriais. vakarėliams. Dėl vakarėliams s М2М3: p^0(m1, n1). M1M3: q^0 (m2, n2). Todėl už vakarėliams s M1M2 bus toks pat kaip ir pirmajame metode: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Dėl vakarėliams s М2М3 kaip kanoninio taško (x0, y0). lygtys(x1, y1), o krypties vektorius yra p^0(m1, n1). Dėl vakarėliams s M1M3, (x2, y2) imamas tašku (x0, y0), krypties vektorius yra q^0(m2, n2). Taigi, M2M3: lygtis (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 M1M3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Video tema

3 patarimas: kaip rasti trikampio aukštį, jei nurodytos taškų koordinatės

Aukštis yra tiesi linija, jungianti figūros viršų su priešinga puse. Ši atkarpa turi būti statmena šonui, todėl iš kiekvienos viršūnės galima nubrėžti tik vieną aukščio. Kadangi šiame paveiksle yra trys viršūnės, aukščių skaičius yra toks pat. Jei trikampis nurodytas jo viršūnių koordinatėmis, kiekvieno aukščio ilgį galima apskaičiuoti, pavyzdžiui, naudojant ploto ir kraštinių ilgių apskaičiavimo formulę.

Instrukcijos

Pradėkite nuo šonų ilgio skaičiavimo trikampis. Paskirti koordinates tokie skaičiai: A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) ir C(X3,Y3,Z3). Tada galite apskaičiuoti kraštinės AB ilgį pagal formulę AB = √((X1-X₂)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z₂)²). Kitos dvi pusės atrodys taip: BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) ir AC = √((X1-X3)² + (Y₁ -Y₃)² + (Z1-Z₃)²). Pavyzdžiui, už trikampis su koordinatėmis A(3,5,7), B(16,14,19) ir C(1,2,13) ​​kraštinės AB ilgis bus √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Kraštinių BC ir AC ilgiai, apskaičiuoti tokiu pačiu būdu, bus √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 ir √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

Norint apskaičiuoti plotą, pakanka žinoti trijų kraštinių ilgius, gautus ankstesniame žingsnyje trikampis(S) pagal Herono formulę: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Pavyzdžiui, į šią formulę pakeičiant reikšmes, gautas iš koordinačių trikampis-pavyzdys iš ankstesnio veiksmo, tai duos reikšmę: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Remiantis plotu trikampis, apskaičiuotas ankstesniame žingsnyje, ir kraštinių ilgius, gautus antrajame žingsnyje, apskaičiuokite kiekvienos iš kraštų aukščius. Kadangi plotas lygus pusei aukščio ir kraštinės, į kurią jis nubrėžtas, ilgio sandaugos, norėdami rasti aukštį, plotą padalinkite du kartus iš norimos kraštinės ilgio: H = 2*S/a. Aukščiau pateiktame pavyzdyje aukštis, nuleistas į AB pusę, bus 2*68.815/16.09 ≈ 8.55, aukštis iki pusės BC bus 2*68.815/20.12 ≈ 6.84, o šonai AC ši vertė bus lygi 2 *68.815/7 ≈ 19.66.

Šaltiniai:

• duoti taškai raskite trikampio plotą

4 patarimas: kaip naudoti trikampio viršūnių koordinates, norint rasti jo kraštinių lygtis

Analitinėje geometrijoje trikampis plokštumoje gali būti apibrėžtas Dekarto koordinačių sistemoje. Žinodami viršūnių koordinates, galite sudaryti trikampio kraštinių lygtis. Tai bus trijų tiesių lygtys, kurios susikirsdamos sudaro figūrą.

Kaip išmokti spręsti analitinės geometrijos uždavinius?
Tipinė trikampio problema plokštumoje

Ši pamoka sukurta apie artėjimą prie pusiaujo tarp plokštumos geometrijos ir erdvės geometrijos. Šiuo metu reikia susisteminti sukauptą informaciją ir atsakyti į labai svarbų klausimą: kaip išmokti spręsti analitinės geometrijos uždavinius? Sunkumas yra tas, kad galite sugalvoti begalę geometrijos uždavinių ir jokiame vadovėlyje nebus daugybė ir įvairių pavyzdžių. Nėra funkcijos išvestinė su penkiomis diferenciacijos taisyklėmis, lentele ir keliomis technikomis...

Yra sprendimas! Garsiai nekalbėsiu apie tai, kad sukūriau kažkokią grandiozinę techniką, tačiau, mano nuomone, yra efektyvus požiūris į nagrinėjamą problemą, leidžiantis net ir visiškam manekenui pasiekti gerų ir puikių rezultatų. Bent jau mano galvoje labai aiškiai susiformavo bendras geometrinių uždavinių sprendimo algoritmas.

KĄ TURITE ŽINOTI IR GEBĖTI DARYTI
sėkmingai išspręsti geometrijos uždavinius?

Nuo to niekur nepabėgsi – kad atsitiktinai nekištum nosimi mygtukų, reikia įvaldyti analitinės geometrijos pagrindus. Todėl, jei ką tik pradėjote mokytis geometrijos arba visiškai ją pamiršote, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai. Be vektorių ir veiksmų su jais, turite žinoti pagrindines plokštumos geometrijos sąvokas, visų pirma, tiesės lygtis plokštumoje Ir . Erdvės geometrija pateikiama straipsniuose Plokštumos lygtis, Tiesės lygtys erdvėje, Pagrindiniai uždaviniai tiesėje ir plokštumoje bei kai kurios kitos pamokos. Lenktos linijos ir antrojo laipsnio erdviniai paviršiai šiek tiek išsiskiria, o specifinių problemų su jais nėra tiek daug.

Tarkime, kad studentas jau turi pagrindinių žinių ir įgūdžių sprendžiant paprasčiausius analitinės geometrijos uždavinius. Bet būna taip: skaitai problemos teiginį ir... norisi išvis uždaryti visą reikalą, mesti į tolimiausią kampą ir pamiršti, kaip blogą sapną. Be to, tai iš esmės nepriklauso nuo jūsų kvalifikacijos lygio, aš pats retkarčiais susiduriu su užduotimis, kurių sprendimas nėra akivaizdus. Ką daryti tokiais atvejais? Nereikia bijoti užduoties, kurios nesuprantate!

Pirmiausia, turėtų būti įdiegta - Ar tai „plokščia“ ar erdvinė problema? Pavyzdžiui, jei sąlyga apima vektorius su dviem koordinatėmis, tada, žinoma, tai yra plokštumos geometrija. O jei mokytojas dėkingam klausytojui užkrovė piramidę, tai aiškiai matosi erdvės geometrija. Pirmojo žingsnio rezultatai jau gana geri, nes mums pavyko atpjauti didžiulį šiai užduočiai nereikalingos informacijos kiekį!

Antra. Sąlyga paprastai bus susijusi su kokia nors geometrine figūra. Iš tiesų, eikite savo gimtojo universiteto koridoriais ir pamatysite daug susirūpinusių veidų.

„Plokščiuose“ uždaviniuose, jau nekalbant apie akivaizdžius taškus ir linijas, populiariausia figūra yra trikampis. Mes jį išanalizuosime labai išsamiai. Toliau seka lygiagretainis, o daug rečiau pasitaiko stačiakampio, kvadrato, rombo, apskritimo ir kitos formos.

Erdviniuose uždaviniuose gali skristi tos pačios plokščios figūros + pačios plokštumos ir bendros trikampės piramidės su gretasieniais.

Antras klausimas - Ar žinote viską apie šią figūrą? Tarkime, kad sąlyga kalba apie lygiašonį trikampį, o jūs labai miglotai prisimenate, koks tai trikampis. Atsiverčiame mokyklinį vadovėlį ir skaitome apie lygiašonį trikampį. Ką daryti...gydytojas pasakė rombas, vadinasi, rombas. Analitinė geometrija yra analitinė geometrija, bet problemą išspręs pačių figūrų geometrinės savybės, mums žinoma iš mokyklos programos. Jei nežinote, kokia yra trikampio kampų suma, galite ilgai kentėti.

Trečias. VISADA stenkitės vadovautis piešiniu(ant juodraščio / užbaigimo kopijos / mintyse), net jei to nereikalauja sąlyga. Esant „plokščiams“ problemoms, pats Euklidas liepė pasiimti liniuotę ir pieštuką - ir ne tik norėdamas suprasti būklę, bet ir savęs patikrinimo tikslu. Šiuo atveju patogiausia skalė yra 1 vienetas = 1 cm (2 bloknoto langeliai). Nekalbėkime apie neatsargius mokinius ir kapuose besisukančius matematikus – tokiuose uždaviniuose suklysti beveik neįmanoma. Erdvinėms užduotims atliekame scheminį brėžinį, kuris taip pat padės išanalizuoti būklę.

Brėžinys ar schematinis brėžinys dažnai leidžia iš karto pamatyti problemos sprendimo būdą. Žinoma, tam reikia žinoti geometrijos pagrindus ir suprasti geometrinių formų savybes (žr. ankstesnę pastraipą).

Ketvirta. Sprendimo algoritmo kūrimas. Daugelis geometrijos uždavinių yra daugiapakopiai, todėl sprendimą ir jo dizainą labai patogu skaidyti į taškus. Dažnai algoritmas iškart ateina į galvą perskaičius sąlygą arba užbaigus piešinį. Iškilus sunkumams pradedame nuo užduoties KLAUSIMO. Pavyzdžiui, pagal sąlygą „reikia nutiesti tiesią...“. Čia logiškiausias klausimas yra: „Ką pakanka žinoti, kad būtų sukurta ši tiesi linija? Tarkime, „mes žinome tašką, turime žinoti krypties vektorių“. Užduodame tokį klausimą: „Kaip rasti šį krypties vektorių? kur?" ir tt

Kartais yra „klaida“ - problema neišspręsta ir viskas. Sustojimo priežastys gali būti šios:

– Didelis pagrindinių žinių trūkumas. Kitaip tariant, jūs nežinote ir/arba nematote kažkokio labai paprasto dalyko.

– Geometrinių figūrų savybių nežinojimas.

– Užduotis buvo sunki. Taip, būna. Nėra prasmės valandų valandas garuoti ir rinkti ašaras nosinėje. Klauskite savo mokytojo, kolegų studentų patarimo arba užduokite klausimą forume. Be to, geriau konkretizuoti jo teiginį – apie tą sprendimo dalį, kurios jūs nesuprantate. Šauksmas „Kaip išspręsti problemą? neatrodo labai gerai... ir, svarbiausia, dėl savo reputacijos.

Penktas etapas. Nusprendžiame-patikriname, nusprendžiame-tikriname, nusprendžiame-tikriname-duodame atsakymą. Pravartu patikrinti kiekvieną užduoties tašką iš karto po jo pabaigos. Tai padės nedelsiant pastebėti klaidą. Natūralu, kad niekas nedraudžia greitai išspręsti visos problemos, tačiau kyla rizika viską perrašyti iš naujo (dažnai kelis puslapius).

Tai, ko gero, visi pagrindiniai svarstymai, kuriais reikėtų vadovautis sprendžiant problemas.

Praktinė pamokos dalis pateikiama plokštumos geometrija. Bus tik du pavyzdžiai, bet to nepakaks =)

Peržvelkime algoritmo giją, kurią ką tik pažiūrėjau savo mažame moksliniame darbe:

1 pavyzdys

Duotos trys lygiagretainio viršūnės. Raskite viršūnę.

Pradėkime suprasti:

Pirmas žingsnis: Akivaizdu, kad kalbame apie „plokščią“ problemą.

Antras žingsnis: uždavinys susijęs su lygiagretainiu. Ar visi prisimena šią lygiagretainio figūrą? Nereikia šypsotis, daugelis žmonių išsilavinimą įgyja būdami 30-40-50 ir daugiau metų, todėl net paprasti faktai gali išsitrinti iš atminties. Lygiagretainio apibrėžimas pateiktas pamokos pavyzdyje Nr Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas.

Trečias žingsnis: Padarykime piešinį, kuriame pažymime tris žinomas viršūnes. Smagu, kad nesunku iš karto sukonstruoti norimą tašką:

Jį konstruoti, žinoma, gerai, bet sprendimas turi būti suformuluotas analitiškai.

Ketvirtas žingsnis: Sprendimo algoritmo kūrimas. Pirmas dalykas, kuris ateina į galvą, yra tai, kad tašką galima rasti kaip linijų sankirtą. Mes nežinome jų lygčių, todėl turėsime išspręsti šią problemą:

1) Priešingos pusės yra lygiagrečios. Pagal taškus Raskime šių pusių krypties vektorių. Tai pati paprasčiausia problema, kuri buvo aptarta klasėje. Manekenų vektoriai.

Pastaba: teisingiau sakyti „tiesės, turinčios kraštinę, lygtis“, bet čia ir toliau trumpumui panaudosiu frazes „kraštinės lygtis“, „kraštinės krypties vektorius“ ir kt.

3) Priešingos pusės yra lygiagrečios. Naudodami taškus randame šių kraštinių krypties vektorių.

4) Sukurkime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių

1-2 ir 3-4 pastraipose tą pačią problemą, beje, sprendėme du kartus, apie tai buvo kalbama pamokos pavyzdyje Nr Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje. Buvo galima važiuoti ilgesniu maršrutu - pirmiausia susirasti tiesių lygtis ir tik tada iš jų „ištraukti“ krypties vektorius.

5) Dabar žinomos tiesių lygtys. Belieka tik sudaryti ir išspręsti atitinkamą tiesinių lygčių sistemą (žr. tos pačios pamokos pavyzdžius Nr. 4, 5 Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje).

Esmė rasta.

Problema gana paprasta ir jos sprendimas akivaizdus, ​​tačiau yra trumpesnis kelias!

Antras sprendimas:

Lygiagretainio įstrižainės dalinamos pusiau pagal jų susikirtimo tašką. Pažymėjau tašką, bet kad nebarstytų piešinys, pačių įstrižainių nebraižau.

Sudarykime šoninės lygtį taškas po taško :

Norėdami patikrinti, turėtumėte mintyse arba juodraštyje pakeisti kiekvieno taško koordinates gautoje lygtyje. Dabar suraskime nuolydį. Norėdami tai padaryti, perrašome bendrąją lygtį lygties su nuolydžio koeficientu forma:

Taigi nuolydis yra:

Panašiai randame kraštinių lygtis. Nematau prasmės aprašyti tą patį, todėl iš karto pateiksiu galutinį rezultatą:

2) Raskite kraštinės ilgį. Tai pati paprasčiausia klasėje nagrinėjama problema. Manekenų vektoriai. Už taškus mes naudojame formulę:

Naudojant tą pačią formulę lengva rasti kitų kraštinių ilgius. Patikrinti labai greitai galima su įprasta liniuote.

Mes naudojame formulę .

Raskime vektorius:

Taigi:

Beje, pakeliui radome ir šonų ilgius.

Kaip rezultatas:

Na, atrodo, kad tai tiesa, kad būtų įtikinama, prie kampo galite pritvirtinti transporterį.

Dėmesio! Nepainiokite trikampio kampo su kampu tarp tiesių. Trikampio kampas gali būti bukas, bet kampas tarp tiesių – ne (žr. paskutinę straipsnio pastraipą Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje). Tačiau norėdami rasti trikampio kampą, galite naudoti ir formules iš pirmiau pateiktos pamokos, tačiau šiurkštumas tas, kad tos formulės visada pateikia smailųjį kampą. Jų pagalba išsprendžiau šią problemą juodraštyje ir gavau rezultatą. Ir ant galutinio egzemplioriaus turėčiau užrašyti papildomų pasiteisinimų, kad .

4) Parašykite tiesės, einančios per tašką, lygiagrečią tiesei, lygtį.

Standartinė užduotis, išsamiai aptarta pamokos pavyzdyje Nr.2 Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje. Iš bendrosios tiesės lygties Išimkime kreipiamąjį vektorių. Sukurkime tiesės lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Kaip sužinoti trikampio aukštį?

5) Sukurkime aukščio lygtį ir raskime jos ilgį.

Nuo griežtų apibrėžimų nepabėgsi, todėl teks vogti iš mokyklinio vadovėlio:

Trikampio aukštis vadinamas statmenu, nubrėžtu iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga kraštinė.

Tai yra, reikia sukurti statmens, nubrėžto iš viršūnės į šoną, lygtį. Ši užduotis aptariama pamokos 6, 7 pavyzdžiuose Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje. Iš Eq. pašalinti normalų vektorių. Sudarykime aukščio lygtį naudodami tašką ir krypties vektorių:

Atkreipkite dėmesį, kad mes nežinome taško koordinačių.

Kartais aukščio lygtis randama iš statmenų tiesių kampinių koeficientų santykio: . Tokiu atveju: . Sudarykime aukščio lygtį naudodami tašką ir kampinį koeficientą (žr. pamokos pradžią Tiesės lygtis plokštumoje):

Aukščio ilgį galima rasti dviem būdais.

Yra žiedinis kelias:

a) rasti – aukščio ir kraštinės susikirtimo taškas;
b) Raskite atkarpos ilgį naudodami du žinomus taškus.

Bet klasėje Paprasčiausi uždaviniai su tiesia linija plokštumoje buvo svarstoma patogi atstumo nuo taško iki tiesės formulė. Taškas žinomas: , taip pat žinoma tiesės lygtis: , Taigi:

6) Apskaičiuokite trikampio plotą. Erdvėje trikampio plotas tradiciškai apskaičiuojamas naudojant vektorių sandauga, bet čia mums duotas trikampis plokštumoje. Mes naudojame mokyklos formulę:
– Trikampio plotas lygus pusei jo pagrindo ir aukščio sandaugos.

Tokiu atveju:

Kaip rasti trikampio medianą?

7) Sukurkime medianos lygtį.

Trikampio mediana vadinama atkarpa, jungiančia trikampio viršūnę su priešingos kraštinės viduriu.

a) Raskite tašką – kraštinės vidurį. Mes naudojame atkarpos vidurio taško koordinačių formulės. Žinomos atkarpos galų koordinatės: , tada vidurio koordinatės:

Taigi:

Sudarykime medianinę lygtį taškas po taško :

Norėdami patikrinti lygtį, turite į ją pakeisti taškų koordinates.

8) Raskite aukščio ir medianos susikirtimo tašką. Manau, visi jau išmoko, kaip atlikti šį dailiojo čiuožimo elementą nenukritus:

Kai kurių užduočių sprendimo pavyzdys iš standartinio darbo „Analitinė geometrija plokštumoje“

Viršūnės pateiktos,
,
trikampis ABC. Rasti:

Visų trikampio kraštinių lygtys;

Trikampį apibrėžiančių tiesinių nelygybių sistema ABC;

Trikampio, nubrėžto iš viršūnės, aukščio, medianos ir pusiausvyros lygtys A;

Trikampio aukščių susikirtimo taškas;

Trikampio medianų susikirtimo taškas;

Aukščio ilgis nuleistas į šoną AB;

Kampas A;

Padarykite piešinį.

Tegul trikampio viršūnės turi koordinates: A (1; 4), IN (5; 3), SU(3; 6). Iš karto nupieškime piešinį:

1. Norėdami užrašyti visų trikampio kraštinių lygtis, naudojame tiesės, einančios per du nurodytus taškus su koordinatėmis, lygtį ( x 0 , y 0 ) Ir ( x 1 , y 1 ):

=

Taigi, pakeičiant vietoj ( x 0 , y 0 ) taško koordinates A, o vietoj ( x 1 , y 1 ) taško koordinates IN, gauname tiesės lygtį AB:

Gauta lygtis bus tiesės lygtis AB, parašyta bendra forma. Panašiai randame tiesės lygtį AC:

Ir taip pat tiesės lygtis Saulė:

2. Atkreipkite dėmesį, kad trikampio taškų aibė ABC reiškia trijų pusiau plokštumų sankirtą, o kiekvieną pusplokštumą galima apibrėžti naudojant tiesinę nelygybę. Jeigu paimtume bet kurios pusės lygtį ∆ ABC, Pavyzdžiui AB, tada nelygybės

Ir

apibrėžti taškus, esančius priešingose ​​linijos pusėse AB. Turime pasirinkti pusę plokštumos, kurioje yra taškas C. Pakeiskime jo koordinates į abi nelygybes:

Antroji nelygybė bus teisinga, o tai reiškia, kad reikiamus taškus lemia nelygybė

.

Tą patį darome su tiese BC, jos lygtimi
. Kaip bandymo tašką naudojame tašką A (1, 1):

Tai reiškia, kad reikiama nelygybė turi tokią formą:

.

Jei patikrinsime tiesę AC (bandymo tašką B), gausime:

Tai reiškia, kad reikiama nelygybė turės formą

Galiausiai gauname nelygybių sistemą:

Ženklai „≤“, „≥“ reiškia, kad taškai, esantys trikampio šonuose, taip pat yra įtraukti į taškų, sudarančių trikampį, rinkinį. ABC.

3. a) Siekdami rasti iš viršūnės nukritusio aukščio lygtį Aį šoną Saulė, apsvarstykite pusės lygtį Saulė:
. Vektorius su koordinatėmis
statmenai šonui Saulė ir todėl lygiagrečiai aukščiui. Užrašykime tiesės, einančios per tašką, lygtį A lygiagrečiai vektoriui
:

Tai yra aukščio, praleisto iš t, lygtis. Aį šoną Saulė.

b) Raskite kraštinės vidurio koordinates Saulė pagal formules:

Čia
– tai koordinatės t. IN, A
– koordinatės t. SU. Pakeiskime ir gaukime:

Tiesi linija, einanti per šį tašką ir tašką A yra reikalinga mediana:

c) Bisektoriaus lygties ieškosime remdamiesi tuo, kad lygiašoniame trikampyje aukštis, mediana ir pusiaukraštis, nusileidę iš vienos viršūnės į trikampio pagrindą, yra lygūs. Raskime du vektorius
Ir
ir jų ilgiai:

Tada vektorius
turi tą pačią kryptį kaip ir vektorius
, ir jo ilgis
Taip pat vieneto vektorius
kryptis sutampa su vektoriumi
Vektorių suma

yra vektorius, kurio kryptis sutampa su kampo pusiausvyra A. Taigi, norimo bisektoriaus lygtis gali būti parašyta taip:

4) Mes jau sukonstravome vieno iš aukščių lygtį. Sukurkime lygtį kitam aukščiui, pavyzdžiui, iš viršūnės IN. Šoninė AC pateikta lygtimi
Taigi vektorius
statmenai AC, taigi lygiagrečiai norimam aukščiui. Tada tiesės, einančios per viršūnę, lygtis IN vektoriaus kryptimi
(t. y. statmenai AC), turi tokią formą:

Yra žinoma, kad trikampio aukščiai susikerta viename taške. Visų pirma šis taškas yra rastų aukščių sankirta, t.y. sprendžiant lygčių sistemą:

- šio taško koordinatės.

5. Vidurio AB turi koordinates
. Parašykime medianos lygtį į šoną AB.Ši linija eina per taškus, kurių koordinatės (3, 2) ir (3, 6), o tai reiškia, kad jos lygtis yra tokia:

Atkreipkite dėmesį, kad tiesės lygties trupmenos vardiklyje esantis nulis reiškia, kad ši linija eina lygiagrečiai ordinačių ašiai.

Norint rasti medianų susikirtimo tašką, pakanka išspręsti lygčių sistemą:

Trikampio medianų susikirtimo taškas turi koordinates
.

6. Aukščio ilgis nuleistas į šoną AB, lygus atstumui nuo taško SUį tiesią liniją AB su lygtimi
ir randama pagal formulę:

7. Kampo kosinusas A galima rasti naudojant kampo tarp vektorių kosinuso formulę Ir , kuris yra lygus šių vektorių skaliarinės sandaugos ir jų ilgių sandaugos santykiui:

.