Laplaso lygtis. Skysčio lašo kontūro išskyrimas paviršiaus įtempimo nustatymo uždavinyje Lašo kontūro išskyrimas

SKYSČIO LAŠELIO KONTŪRO IŠKAVIMAS, NUSTATANT PAVIRŠIAUS ĮTAMPĮ

Mizotinas M.M. 1, Krylovas A.S. 1, Procenko P.V. 2

1 Maskvos valstybinis universitetas, pavadintas M. V. Lomonosovas, Kompiuterinės matematikos ir matematikos fakultetas

2 Maskvos valstybinis universitetas, pavadintas M. V. Lomonosovas, Chemijos fakultetas

Įvadas

Paviršiaus įtempis yra viena iš svarbiausių skysčių savybių, o tikslus jo matavimas būtinas tiriant įvairius reiškinius ir plėtojant technologinius procesus. Paviršiaus įtempimo matavimo būdų yra nemažai, tačiau tarp visų galima išskirti sėdimo arba kabančio lašo metodą. Pagrindiniai metodo privalumai yra labai platus pritaikymo spektras – nuo ​​lengvų skystų skysčių iki skystų metalų, ir santykinis eksperimentinės sąrankos paprastumas, palyginti su kitais metodais. Be to, dėl skaitmeninės kompiuterijos ir fotografijos technologijų plėtros atsirado galimybė analizę atlikti beveik akimirksniu.

Metodo esmė tokia: lašas dedamas ant horizontalaus pagrindo (gulimo lašo metodas) arba pakabinamas ant kapiliarinio vamzdelio (pakabinamo lašo metodas) ir tada tiriama jo profilio nuotrauka. Išmatuojant pusiausvyros lašo, kurio formą lemia skysčio tankio ir paviršiaus įtempimo santykis, geometrinius parametrus galima atkurti norimą paviršiaus įtempimą. Montavimo schema parodyta fig. 1.

Ryžiai. 1. 1 – šviesos šaltinis (lempa arba mikroskopo veidrodis), 2 – lašas ant pagrindo,

3 – mikroskopas su skaitmenine kamera.

Nepaisant gana gerai išvystytos eksperimentinės technikos, vis tiek reikalingas specialus brangus įrenginys, skirtas nušauti lašą. Šiame darbe siūlomas eksperimentinės sąrankos algoritmas, pagamintas iš plačiai prieinamų komponentų. Instaliacijos trūkumus, lyginant su laboratorine įranga, kompensuoja siūlomi vaizdo apdorojimo metodai.

Sėdimasis kritimo metodas

Pagrindinė sėdimojo kritimo metodo lygtis, Young-Laplace lygtis, apibūdina lašo paviršių su sukimosi simetrija ant horizontalaus pagrindo. Šiai problemai išspręsti buvo pasiūlyta efektyvi technika, vėliau patobulinta ir papildyta.

Šis metodas pagrįstas Young-Laplace lygties skaitine diferenciacija. Siekiant diferencijuoti Young-Laplace lygtį, įvedamas kreivės parametrizavimas
, Kur t– kreivės lanko ilgis nuo lašo viršaus (2 pav.).

Ryžiai. 2. Kritimo kontūro parametrizavimas.

Šis parametras atitinka sąlygą
, ir veda į lygčių sistemą

(1)

su pradinėmis sąlygomis
,
,
,
ir papildoma sąlyga
. Sukurtame programiniame pakete Koši problema (1) išspręsta ketvirtos eilės tikslumo metodu Runge-Kutta.

Norint atkurti sėdimojo lašo parametrus, reikia išspręsti atvirkštinę kapiliarinės konstantos nustatymo problemą
, kritimo viršūnės koordinatės
ir jo kreivio spindulys kaip lašelio horizontalios atkarpos spindulio nuo aukščio virš pagrindo funkcija. Ši funkcija matuojama su klaida, o kai kuriais atvejais galima išmatuoti tik dalį kritimo kontūro. Sprendžiant šią atvirkštinę problemą, paklaida (2) sumažinama iki minimumo

tarp eksperimentinių taškų
ir kreivė, gauta kaip skaitinio uždavinio (2) sprendimo rezultatas. Skirtumas tarp eksperimentinių taškų ir kreivės apibrėžiamas kaip atstumų nuo kiekvieno eksperimentinio taško iki kreivės kvadratų sumos šaknis.

Atsižvelgiant į tai, iškyla tokia vaizdo apdorojimo užduotis: automatiškai gauti lašo kontūrą, o tai apsunkina vaizduose esančios dulkės ir šiukšlės (tai siejama su įprasto fotoaparato naudojimu „buitinėmis“ sąlygomis), taip pat kintamos apšvietimo sąlygos.

Klaidos funkcija

Viena iš pagrindinių metodo dalių yra paklaidos funkcijos apskaičiavimas (2). Apskaičiuokite atstumą tarp taško ir kreivės (3)

šiuo atveju tai yra labai daug darbo jėgos, nes mums nežinomi, o juos taip pat reikia rasti skaitiniu būdu, naudojant vienmatės paieškos metodą.

Norint efektyviai apskaičiuoti klaidos funkciją, siūlomas toks algoritmas. Pirma, būtina surūšiuoti visus eksperimentinius taškus taip, kad didėjant taškų skaičiui i atitinkamas parametras taip pat padidėjo. Tada, ieškodami kiekvieno paskesnio taško parametro, galite naudoti parametro reikšmę kaip pradinį apytikslį apskaičiavimą , o pirmojo taško pradinė aproksimacija bus
. Daugiau informacijos apie lašo kontūro nubrėžimą rasite toliau.

Antra, klaidos funkcijos apskaičiavimas gali būti atliekamas tiesiogiai integruojant sistemą (1), naudojant Runge-Kutta metodą. Tiesą sakant, kiekvienoje iteracijoje reikšmės mums prieinamos, o mažiausią atstumą nuo taško galima rasti išsprendus (4) lygtį.

Niutono metodas. Tai yra, kai skaitmeniniu būdu integruojate sistemą (1), turite stebėti funkcijos (4) reikšmę kiekvienam paskesniam taškui ir prisiminti mažiausių klaidų reikšmes, jei reikia, sumažindami žingsnį padidinti rezultatų tikslumą.

Lašo kontūro pasirinkimas

Kaip minėta aukščiau, norint efektyviai apskaičiuoti klaidą naudojant (4) formulę, būtina iš vaizdo ištraukti lašo kontūrą taip, kad didėjant taško skaičiui i atitinkamas parametras taip pat padidėjo. Ši operacija atliekama 2 etapais: tiesioginis briaunų pasirinkimas naudojant Canny detektorių ir susijusių nuoseklių taškų rinkinių parinkimas iš gauto dvejetainio briaunų žemėlapio.

Kraštų sekimui buvo sukurtas toks algoritmas. Pirma, būtina atlikti kraštų retinimo operaciją, nes „Canny“ detektorius negarantuoja, kad visi susidarę kraštai bus 1 pikselio storio (ši situacija dažniausiai pasitaiko sankryžose), o tokia sąlyga yra būtina tolesniam apdorojimui. Kraštų retinimo operacija gali būti atliekama naudojant vieną iš žinomų kraštų retinimo būdų. Šiame darbe buvo naudojamas algoritmas.

Tolesnis apdorojimas pagrįstas 3 x 3 pikselių kaimynystės aplink atitinkamą pikselį analize. Fig. 3 pikselių reikšmės kaimynystėje yra vaizduojamos kintamaisiais , imant reikšmę 0 arba 1.

Ryžiai. 3. 3x3 kaimynystė aplink atitinkamą pikselį ,
.

Bendra sujungtų taškų sekų identifikavimo algoritmo schema:

Jeigu
Ir
, tada centriniame pikselyje yra kontūrų sankirta.

Jeigu
ir , tada kontūro galas yra centriniame pikselyje.

Tuo pačiu metu šias sąlygas galima greitai ir efektyviai patikrinti naudojant paieškos lenteles, nes visos galimos įvesties reikšmės yra 512 = 2 9 .

Pradėkite nuo vieno iš rastų kontūrų galų.

Pridėkite esamą pikselį į kontūro pikselių sąrašą po dabartiniu numeriu ir pažymėkite esamą pikselį krašto žemėlapyje esamo kontūro numeriu.

Raskite pikselį, kurio vertė 1, tarp dabartinio pikselio kaimynų.

Jei rastas kaimynas nėra kontūro ar sankryžos pabaiga ir kraštų žemėlapyje dar nepažymėtas jokiais skaičiais, perkelkite esamą pikselį į rasto kaimyno vietą ir pereikite prie 3 veiksmo. Priešingu atveju užbaikite užpildyti esamą kontūrą ir pereikite prie kito (2 veiksmas).

Išvada

Eksperimentiniai parafino aliejaus/dekano sistemos įvairios koncentracijos tyrimai naudojant siūlomą algoritmą parodė siūlomo metodo efektyvumą.

Darbas atliktas remiant federalinę tikslinę programą „Inovatyvios Rusijos mokslinis ir mokslinis-pedagoginis personalas“ 2009–2013 m.

Literatūra

Maze C., Burnet G. Netiesinės regresijos metodas paviršiaus įtempimui ir kontakto kampui apskaičiuoti pagal sėdinčio lašo formą // Surf. Sci. 1969. V. 13. P. 451.

Krylovas A. S., Vvedensky A. V., Katsnelson A. M., Tugovikov A. E.. Programinės įrangos paketas skystųjų metalų paviršiaus įtempimui nustatyti // J. Nekristalas.Kietosios medžiagos. 1993. V. 156-158. P. 845.

O. I. del Río ir A. W. Neumannas. Ašiesimetrinio kritimo formos analizė: Skaičiavimo metodai sąsajų savybėms išmatuoti pagal pakabukų ir sėdimųjų lašų formą ir matmenis // Koloidų ir sąsajų mokslo žurnalas, 196 tomas, 2 leidimas, 1997 m. gruodžio 15 d., 136–147 puslapiai.

M. Hoorfar ir A. W. Neumann. Naujausia ašiesimetrinės kritimo formos analizės pažanga // Koloidų ir sąsajų mokslo pažanga, 121 tomas, 1-3 numeriai, 2006 m. rugsėjo 13 d., 25-49 puslapiai.

Canny, J., Krašto aptikimo skaičiavimo metodas // IEEE Trans. Modelių analizė ir mašinos intelektas, 8(6):679–698, 1986

Lam L., Lee S.-W., Suen C.Y. Retinimo metodikos – visapusiška apklausa // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence archyvas, 14 tomas, 9 numeris, 1992 m. rugsėjo mėn.

Z. Guo ir R. W. Hall, „Lygiagretus retinimas naudojant dviejų subiteravimo algoritmus“, Comm. ACM, t. 32, Nr. 3, p. 359-373, 1989.

LAŠELĖS KRAŠTO APTIKRINIMAS PAVIRŠIAUS ĮTEMPIMAI NUSTATYTI

Mizotinas M. 1, Krylovas A. 1, Procenko P. 2

1 Maskvos valstybinis Lomonosovo universitetas, Kompiuterinės matematikos ir kibernetikos fakultetas, Vaizdo apdorojimo matematinių metodų laboratorija,

2 Lomonosovo Maskvos valstybinio universiteto Chemijos katedra

Paviršiaus įtempis yra viena iš pagrindinių skysčio savybių, todėl jo matavimas yra labai svarbus tiriant įvairius reiškinius, tokius kaip drėkinimas ir technologinių procesų raida. Ten sėdimo ir pakabinamo numetimo metodai yra vieni iš dažniausiai naudojamų dėl savo universalumo ir matavimo proceso paprastumo.

Metodas pagrįstas ašiesimetrinio kritimo profilio tyrimu. Gravitacijos jėgos ir paviršiaus įtempimo pusiausvyra sudaro skirtingą profilio formą, todėl paviršiaus įtempimą galima apskaičiuoti sprendžiant atvirkštinę Young-Laplace lygties problemą.

Šiame darbe pateikiamas lašelių kontūro ištraukimo metodas paviršiaus įtempimui nustatyti. Pagrindinis siūlomo metodo skirtumas yra jo orientacija į nebrangią eksperimentinę sąranką, naudojant plačiai prieinamus komponentus, tokius kaip standartinis mikroskopas, skaitmeninis fotoaparatas ir substrato laikiklis. Siūlomi vaizdo apdorojimo būdai leidžia išvengti daugumos problemų, susijusių su prastesnės kokybės kritimo vaizdų, gautų nebrangiu nustatymu, išlaikant matavimo tikslumą.

Darbą rėmė tikslinė federalinė programa „Mokslinis ir mokslinis-pedagoginis naujoviškos Rusijos personalas 2009–2013 m.“.



MORFOLOGINIŲ AMEBŲ IZSALIAVIMO METODO TAIKYMAS
SULAIVAI FUNDUS VAIZDUOSE

Nasonovas A.V. 1, Černomorecas A.A. 1, Krylovas A.S. 1, Rodin A.S. 2

Maskvos valstybinis universitetas, pavadintas M. V. Lomonosovas,

1 Kompiuterinės matematikos ir kibernetikos fakultetas, Vaizdo apdorojimo matematinių metodų laboratorija /
2 Fundamentalios medicinos fakultetas, Oftalmologijos katedra

Darbe buvo sukurtas kraujagyslių identifikavimo dugno vaizduose algoritmas, pagrįstas morfologinių amebų metodu. Nagrinėjamas algoritmo pritaikymas kraujagyslių išplėtimo iš taškų, kurie žinomi kaip kraujagyslių taškai, rinkinio problemai.

1. Įvadas

Tinklainės ligoms diagnozuoti naudojamos akių dugno nuotraukos. Tinklainės kraujotakos sistemos kraujagyslių būdingų dydžių segmentavimas ir įvertinimas yra labai svarbus diagnozuojant ir gydant daugelį akių ligų.

Kraujagyslių identifikavimas tinklainės vaizduose yra gana sudėtinga užduotis apdorojant vaizdą dėl didelio triukšmo lygio, netolygaus apšvietimo ir į kraujagysles panašių objektų. Tarp kraujagyslių aptikimo dugno vaizduose metodų galima išskirti šias klases:

Metodų klasė, kuri naudoja vaizdo konvoliuciją su dvimačiu kryptiniu filtru ir vėlesniu atsako smailių aptikimu. Siekiant segmentuoti kraujagyslių tinklą, siūlomas dvimatis tiesinis filtras, kurio profilis yra Gauso. Šio metodo pranašumas yra stabilus tiesių laivų atkarpų identifikavimas ir jų pločio apskaičiavimas. Tačiau metodas gerai aptinka plonus ir vingiuotus kraujagysles, galimi klaidingi aliarmai objektams, kurie nėra kraujagyslės, pavyzdžiui, eksudatams.

Metodai naudojant keteros aptikimą. Surandami primityvai - trumpi segmentai, esantys linijų viduryje, tada, naudojant mašininio mokymosi metodus, parenkami primityvai, atitinkantys kraujagysles, pagal kurias atkuriamas kraujagyslių medis.

Metodai, naudojant kraujagysles sekti, kuri apima kraujagyslių sujungimą poroje taškų ir besitęsiančius kraujagysles. Šio metodo privalumai yra didelis tikslumas dirbant su plonais indais ir plyšusių kraujagyslių atkūrimu. Trūkumas – sunku apdoroti išsišakojusius ir kertančius laivus.

Klasifikacija po pikselius, pagrįsta mašininio mokymosi metodų taikymu. Čia kiekvienam pikseliui konstruojamas požymių vektorius, kurio pagrindu nustatoma, ar pikselis yra kraujagyslės dalis, ar ne. Norint išmokyti metodą, naudojami dugno vaizdai su eksperto pažymėtais kraujagyslėmis. Metodo trūkumai apima didelį ekspertų nuomonių neatitikimą.

Šiame darbe kraujagyslėms identifikuoti naudojamas morfologinių amebų metodas – morfologinis metodas, kai kiekvienam pikseliui adaptyviai parenkamas struktūrinis elementas.

2. Morfologinės amebos

Mes naudojame morfologinį amebų metodą, aprašytą , su modifikuota atstumo funkcija.

Apsvarstykite pilkų tonų vaizdą
. Įsivaizduokime tai grafiko pavidalu, kuriame kiekvienas pikselis yra sujungtas su aštuoniais gretimais taškais briaunomis su tam tikrais svoriais („kaina“). Tada kiekvienam pikseliui
galite rasti visų taškų rinkinį
, už kurį kelio nuo iki kaina
neviršija t. Gautas rinkinys bus pikselio struktūrinis elementas.

Mes naudojame šią pikselių atstumo funkciją ir
:

Daugiklis
nustato mažą judėjimo tamsiose vietose ir dideles išlaidas šviesiose vietose, taip užkertant kelią amebai išplisti į taškus, esančius už kraujagyslės ribų, o terminas baudžia už judėjimą tarp pikselių, kurių intensyvumas labai skiriasi. Parametras nurodo nuobaudos reikšmę šiam perėjimui.

Amebų radimo pavyzdys
parodyta pav. 1.

Ryžiai. 1. Morfologinių amebų formų pavyzdžiai. Kairėje yra originalus vaizdas su pažymėtais taškais, kuriuose skaičiuojamos amebos, dešinėje - rasti konstrukciniai elementai pažymėti balta spalva.

3. Kraujagyslių identifikavimas naudojant morfologines amebas

Norint atsekti kraujotakos sistemos kraujagysles dugno vaizduose, buvo sukurtas algoritmas, susidedantis iš šių žingsnių:

4. Rezultatai

Algoritmo veikimo pavyzdys parodytas fig. 2.

Ryžiai. 2. Kraujagyslių identifikavimo naudojant morfologines amebas rezultatas. Kairėje yra dugno vaizdas (žalias kanalas), centre yra taškai, kurie akivaizdžiai yra indų, iš kurių bus statomos amebos, taškai, dešinėje - laivų identifikavimo taikant siūlomą metodą rezultatas.

Išvada

Svarstomas morfologinių amebų metodo taikymas kraujagyslėms identifikuoti dugno vaizduose.

Sukurtą algoritmą planuojama panaudoti automatizuotoje tinklainės ligų nustatymo sistemoje.

Darbą rėmė 2009–2013 m. federalinė tikslinė programa „Inovatyvios Rusijos mokslinis ir mokslinis-pedagoginis personalas“ ir Rusijos fundamentinių tyrimų fondo dotacija 10-01-00535-a.

Literatūra

S. Chaudhuri, S. Chatterjee, N. Katz, M. Nelson, M. Goldbaum. Kraujagyslių aptikimas tinklainės vaizduose naudojant dvimačius suderintus filtrus // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 8, Nr. 3, 1989, p. 263–269.

J. Staalas, M. D. Abramoffas, M. Niemeijeris, M. A. Viergeveris, B. Ginnekenas. Ridge-Based Vessel Segmentation in Color Images of the Retina // IEEE Transactions on Medical Imaging, Vol. 23, Nr. 4, 2004, p. 504–509.

M.Patašius, V.Marozas, D.Jegelevieius, A.Lukoševieius. Rekursyvus kraujagyslių aptikimo algoritmas akies dugno vaizduose: preliminarūs rezultatai // IFMBE Proceedings, Vol. 2009-11-25, p. 212–215.

J. Soares, J. Leandro, R. Cesar Jr., H. Jelinek, M. Cree. Tinklainės kraujagyslių segmentavimas naudojant 2-D Gaboro bangą ir prižiūrimą klasifikaciją // IEEE Transactions of Medical Imaging, Vol. 25, Nr. 9, 2006, p. 1214–1222 m.

MORFOLOGINIŲ AMOEAŲ METODO TAIKYMASKRaujagyslėms NUSTATYTI AKIŲ DIDINIO VAIZDUOSE

Nasonovas A. 1, Černomorecas A. 1, Krylovas A. 1, Rodinas A. 2

Lomonosovo Maskvos valstybinis universitetas,
1 Kompiuterinės matematikos ir kibernetikos fakultetas, Vaizdo apdorojimo matematinių metodų laboratorija, /
2 Fundamentalios medicinos fakultetas, Oftalmologijos katedra

Sukurtas kraujagyslių aptikimo akių dugno vaizduose algoritmas. Kraujagyslių segmentavimas ir analizė akies dugno vaizduose suteikia svarbiausią informaciją diagnozuojant tinklainės ligas.

Kraujagyslių aptikimas akies dugno vaizduose yra sudėtinga problema. Vaizdus gadina netolygus apšvietimas ir triukšmas. Taip pat kai kurie objektai gali būti neteisingai aptikti kaip kraujagyslės.

Siūlomas algoritmas paremtas morfologinių amebų metodu. Morfologinė ameba tam tikram pikseliui yra pikselių rinkinys, kurio minimalus atstumas iki nurodyto pikselio yra mažesnis nei slenkstis t. Mes naudojame vidutinės intensyvumo vertės sumą, padaugintą iš Euklido atstumo, ir absoliučios skirtumo tarp pikselių intensyvumo reikšmių atstumui. Šiuo atveju atstumas bus mažas kraujagyslėms, kurios paprastai yra tamsios, ir didelės šviesioms vietoms ir kraštams, o ameba bus išplėsta išilgai kraujagyslės, bet ne per kraujagyslių sieneles.

Siūlomas kraujagyslių aptikimo algoritmas susideda iš šių žingsnių:

Ištraukite žalią kanalą kaip informatyviausią ir atlikite apšvietimo korekciją naudodami šį metodą. Tai leidžia naudoti suvienodintus amebų parametrus skirtingiems vaizdams.

Raskite pikselių rinkinį ( p n) gautame vaizde, kurie tikrai yra kraujagyslių pikseliai

Apskaičiuokite amebą A(p i) kiekvienam pikseliui taikykite reitingo filtravimą amebos kaukei su 3x3 langu: pašalinkite iš kaukės pikselius, kurių kaukėje yra mažiau nei 3 kaimyniniai pikseliai. Likę pikseliai pažymėti kaip kraujagyslių pikseliai.

Jei reikia išplėsti kraujagysles, trečiasis veiksmas pakartojamas visiems naujai į kraujagyslių sritį įtrauktiems pikseliams.

Sukurtą algoritmą planuojame panaudoti automatinėje tinklainės ligų nustatymo sistemoje.

Darbą rėmė tikslinė federalinė programa „Mokslinis ir mokslinis-pedagoginis naujoviškos Rusijos personalas 2009–2013 m.“ ir RFBR dotacija 10-01-00535-a.

Literatūra

R. J. Winderis, P. J. Morrow, I. N. McRitchie, J. R. Bailie, P. M. Hartas. Diabetinės retinopatijos skaitmeninio vaizdo apdorojimo algoritmai // Computerized Medical Imaging and Graphics, Vol. 33, 2009, 608–622.

M. Welk, M. Breub, O. Vogel. Morfologinių amebų diferencialinės lygtys // Informatikos paskaitų užrašai, t. 5720/2009, 2009, p. 104–114.

G. D. Joshi, J. Sivaswamy. Spalvotas tinklainės vaizdo tobulinimas remiantis žiniomis apie domeną // Šeštoji Indijos konferencija dėl kompiuterinio matymo, grafikos ir vaizdo apdorojimo (ICVGIP"08), 2008, p. 591–598.

vaizdus Naudojant Tomografijos metodą ranka ... impulsinio triukšmo buvimas būdingas

Lygtis taip pat nagrinėjama dvimatėje ir vienmatėje erdvėje. Dvimatėje erdvėje Laplaso lygtis parašyta:

Taip pat į n- matmenų erdvė. Šiuo atveju suma lygi nuliui n antrieji dariniai.

• Pastaba: viskas, kas pasakyta aukščiau, taikoma Dekarto koordinatėms plokščioje erdvėje (nepriklausomai nuo jos matmenų). Naudojant kitas koordinates, kinta Laplaso operatoriaus atvaizdavimas ir atitinkamai keičiasi Laplaso lygties įrašymas (pavyzdžiui, žr. toliau). Šios lygtys taip pat vadinamos Laplaso lygtimi, tačiau norint išaiškinti terminiją, koordinačių sistemos (ir, jei norima visiško aiškumo, matmenų) nuoroda paprastai pridedama, pavyzdžiui: „dvimatė Laplaso lygtis polinėse koordinatėse“.

Kitos Laplaso lygties formos

1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ (sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ⁡ θ ∂ \displaystyle (1 \over r^(2))(\partial \over \partial r)\left(r^(2)(\partial f \over \partial r)\right)+(1 \over r^( 2)\sin \theta )(\partial \over \partial \theta )\left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta )\right)+(1 \over r^(2)\sin ^(2)\theta )(\partial ^(2)f \over \partial \varphi ^(2))=0)

Ypatingi taškai r = 0, θ = 0, θ = π (\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi).

Ypatingas taškas.

Vienetinis taškas r = 0 (\displaystyle r = 0).

Laplaso lygties taikymas

Laplaso lygtis kyla daugelyje fizinių mechanikos, šilumos laidumo, elektrostatikos ir hidraulikos problemų. Laplaso operatorius yra labai svarbus kvantinėje fizikoje, ypač Schrödingerio lygtyje.

Laplaso lygties sprendiniai

Nepaisant to, kad Laplaso lygtis yra viena iš paprasčiausių matematinės fizikos, jos sprendimas susiduria su sunkumais. Skaitmeninis sprendimas yra ypač sunkus dėl funkcijų netolygumo ir singuliarumo buvimo.

Bendras sprendimas

Vienmatė erdvė

Kur C 1 , C 2 (\displaystyle C_(1),C_(2))- savavališkos konstantos.

Dvimatė erdvė

Laplaso lygtį dvimatėje erdvėje tenkina analitinės funkcijos. Analitinės funkcijos yra nagrinėjamos sudėtingo kintamojo funkcijų teorijoje, o Laplaso lygties sprendinių klasė gali būti sumažinta iki sudėtingo kintamojo funkcijos.

Laplaso lygtis dviem nepriklausomiems kintamiesiems formuluojama taip

Analitinės funkcijos

Jeigu z = x + oi, Ir

tada funkcijai būtinos ir pakankamos Koši-Riemano sąlygos f(z) buvo analitinis:

Tiek tikroji, tiek įsivaizduojama analitinių funkcijų dalys atitinka Laplaso lygtį. Diferencijavęs sąlygas

Išsklaidymas– vertė, atvirkštinė linijiniam dalelių dydžiui (m -1):

Paviršiaus energija G S

yra bendra sistemos paviršiaus energija.

Sedimentacija - Tai dalelių judėjimas veikiant gravitacijai.

Stokso dėsnis:

- pagrindinė sedimentacijos analizės formulė

difuzija – Tai procesas, kurio tikslas – išlyginti koncentracijas iš pradžių nevienalytėje aplinkoje.

- 1-asis Ficko dėsnis;

- Einšteino lygtis (difuzijos koeficientas)

vidutinio kvadratinio poslinkio projekcija:

- vidutinio kvadratinio poslinkio lygtis

D ~ 10 -11 - 10 -14 m 2 /s, [D] = [m 2 /s]

Difuzijos koeficientas yra medžiagos srautas, pernešamas per vienetinio skerspjūvio ploto cilindrą per laiko vienetą.

Gibbso-Duhemo lygtis

- hipsometrinis dėsnis, barometrinė formulė.

Osmosas – tai tirpiklio (dispersinės terpės) judėjimas į koloidinį tirpalą per pusiau pralaidžią membraną.

van't Hoffo lygtis:

Šviesos bangų anizotropija:

Reilio dėsnis:
.

- Bouguer-Lambert-Beer įstatymas

- sistemos drumstumas [m -1 ]

Drumstumas yra atstumo, kuriam esant krintančios šviesos intensyvumas susilpnėja e koeficientu, atvirkštinė vertė.

Paviršiaus įtempimas yra vienetinio paviršiaus formavimo darbas grįžtamomis izoterminėmis sąlygomis.

Dupre patirtis:

Paviršiaus įtempimas yra jėga, veikianti tangentinį paviršių ir perimetro, ribojančio šį paviršių, ilgio vienetą.

Apibendrinta I ir II termodinamikos dėsnių lygtis:

- Gibbso-Helmholtzo lygtis

- Laplaso lygtis .

- Jurino formulė.

- Curie-Gibbso principas

- Thomsano-Kelvino lygtis (kapiliarinė kondensacija) .

Gibbso metodas:

Paviršiaus sluoksnio metodas:

Už nugaros sluoksnio storis paimkite atstumą abiejose fazės ribos pusėse, už kurį paviršiaus savybės nustoja skirtis nuo tūrinių savybių.

Drėkinimas - tai skysčio sąveikos su kietu arba skystu kūnu reiškinys, esant sąsajai tarp trijų fazių.

- Youngo lygtis.

Skleidžiamas darbas - Tai energija, kuri išsiskiria, kai paviršius yra padengtas plonu skysčio sluoksniu arba tai jėga, veikianti paviršių per visą kontaktinį paviršių.

- Kagezia darbas

Sukibimo darbas

Kagesia yra sąveika tarp tos pačios fazės dalelių. Tai darbas, kurį reikia skirti faziniam plyšimui, vienam plyšimo paviršiaus vienetui.

Sukibimo darbas skiriamas dviejų naujų paviršių formavimui
Ir
ir naudos iš kietojo skysčio sąsajos išnykimo.

Drėkinimo karštis (N CM ) yra energijos kiekis, kuris išsiskiria sudrėkinus paviršiaus vienetą.

Šiurkštumo koeficientas – tikrojo paviršiaus ir geometrinio paviršiaus santykis.
,

Paviršiaus įtempimo matavimo metodai.

Statinis Metodai, pagrįsti statinės pusiausvyros tyrimu Kapiliarinio pakilimo metodas Vilhelmo metodas

Pusiau statinis n 0 – standartinio skysčio lašų skaičius n X – išmatuotam 2. Du-Nouy metodas 3. Per didelio slėgio metodas.

Dinaminiai metodai : svyruojančios srovės metodas.

ADSORBCIJA.

- Curie principas

Adsorbcija yra komponento perskirstymo tarp tūrinės fazės ir paviršinio sluoksnio procesas.

A – visiška adsorbcija yra adsorbato kiekis paviršiaus sluoksnyje, tenkantis adsorbento masės arba ploto vienetui. Gali būti matuojamas mol/m2, mol/kg, g/kg ir kt.

G – „gama“ – perteklinė adsorbcija (gipsas) yra adsorbato perteklius paviršiniame sluoksnyje, palyginti su tuo pačiu fazės tūriu, tenkančiu adsorbento paviršiaus arba masės vienetui.

- Lennard-Jones lygtis

- Gibso adsorbcijos lygtis .

- neatskiriamas Gibso energijos pokytis .

- diferencialinis entropijos pokytis

- diferencinė adsorbcijos entalpija

- izosterinė adsorbcijos šiluma

- kondensacijos šiluma

- grynoji adsorbcijos šiluma

Qa – integralinė adsorbcijos šiluma,

Qra – integruota grynoji adsorbcijos šiluma,

- Henrio lygtis

- Langmuiro lygtis.

Dujų mišinio adsorbcija ant homogeninio paviršiaus

Dujų mišinio adsorbcija ant nevienodo paviršiaus

BET teorija

Pagrindiniai klausimai:

Kai adsorbato molekulė patenka į užimtą vietą, susidaro daugybinis rinkinys.

Kai artėjame pĮ p s mažėja laisvų adsorbcijos vietų skaičius. Iš pradžių vienviečių, dviviečių ir pan. užimamų vietų skaičius didėja, o vėliau mažėja. rinkiniuose.

At p =p s adsorbcija virsta kondensacija.

Horizontalios sąveikos nėra.

Pirmojo sluoksnio Langmuir izoterma yra įvykdyta.

Pagrindinis teorijos trūkumas– horizontalių sąveikų nepaisymas vertikalių sąveikų naudai.

Adsorbato ir adsorbato sąveikos apskaita.

A adsorbentas nėra polinis.

1 diagrama atitinka silpną adsorbato ir adsorbato sąveiką ir stiprią adsorbato ir adsorbento sąveiką.

2 diagrama atitinka stiprią adsorbato-adsorbato ir stiprią adsorbato-adsorbento sąveiką.

3 diagrama atitinka stiprią adsorbato ir adsorbato sąveiką ir silpną adsorbato ir adsorbento sąveiką.

- Frunkin, Fowler, Guggenheimo lygtis.

k– traukos konstanta.

Polianijos potencialo teorija

Adsorbcija- tai yra adsorbato pritraukimo prie adsorbento paviršiaus rezultatas dėl adsorbcijos potencialo veikimo, kuris nepriklauso nuo kitų molekulių buvimo ir priklauso nuo atstumo tarp paviršiaus ir adsorbato molekulės.

, - adsorbcijos potencialas.

Kadangi paviršius yra netolygus, atstumas pakeičiamas adsorbcijos tūriu . Adsorbcijos tūris yra tūris, esantis tarp paviršiaus ir taško, atitinkančio nurodytą vertę .

Adsorbcijos potencialas yra darbas, kai 1 molis adsorbato perkeliamas už tam tikro adsorbcijos tūrio ribų į tam tikrą adsorbcijos tūrio tašką (arba darbas, kai perkeliamas 1 molis sočiųjų adsorbato garų, kurie yra pusiausvyroje su skystu adsorbatu, kai adsorbento nėra į garų fazę pusiausvyroje su adsorbentu).

Thompsono – Kelvino lygtis.

Adsorbcija kieto ir skysčio sąsajoje

Adsorbcijos izotermos ir mainų konstantos lygtis

Paviršiaus aktyvumas g – medžiagų gebėjimas sumažinti paviršiaus įtempimą sistemoje.

- Traubo Duclos taisyklė

- Šiškovskio lygtis.

Micelė– vadinamas amfifilinių paviršinio aktyvumo medžiagų molekulių agregatu, kurio angliavandenilių radikalai sudaro šerdį, o polinės grupės paverčiamos vandenine faze.

Micelinė masė – micelinė masė.

Molekulių skaičius yra agregacijos skaičius.

Homologinei serijai yra empirinė lygtis:

a– funkcinės grupės tirpimo energija.

b– adsorbcijos potencialo padidėjimas, adsorbcijos darbas metileno vienetui.

Angliavandenilio šerdies buvimas micelėse sukuria galimybę vandenyje netirpiam junginiui ištirpti paviršinio aktyvumo medžiagų vandeniniuose tirpaluose; šis reiškinys vadinamas tirpinimas(tai, kas tirpsta, yra soliubilizatas, o paviršinio aktyvumo medžiaga yra tirpiklis).

- dvimatis slėgis.

Vadinama plėvelė, kurią iš abiejų pusių riboja vienodos fazės dvišalis. Tokiuose filmuose stebimas nuolatinis motininio skysčio judėjimas.

Plėvelės, kurių storis mažesnis nei 5 nm, vadinamos juodos plėvelės.

- Šiškovskio lygties analogas

Elektrokinetiniai reiškiniai. Elektrinis dvigubas sluoksnis (EDL).

Elektroosmozė yra dispersinės terpės judėjimas stacionarios išsklaidytos fazės atžvilgiu veikiant elektros srovei.

Elektroforezė – tai išsklaidytų fazių dalelių judėjimas stacionarios dispersinės terpės atžvilgiu veikiant elektros srovei.

šlyties modulis

klampios trinties modulis

- Gelemholtzo-Smalukovskio lygtis

Boltzmanno lygtis

Tūrinio krūvio tankis

\

Puasono lygtis

- DEL storis yra atstumas, kuriuo DEL potencialas sumažėja e kartą.

- potencialas mažėja eksponentiškai.

Dvigubo sluoksnio talpa

Sterno teorija. Koloidinės micelės sandara.

Elektrinis dvigubas sluoksnis susideda iš dviejų dalių: tankios ir difuzinės. Tankus sluoksnis susidaro dėl potencialą formuojančių jonų sąveikos su specialiai adsorbuotais. Šie jonai, kaip taisyklė, yra iš dalies arba visiškai dehidratuoti ir gali turėti tokį patį arba priešingą krūvį nei potencialą lemiantys jonai. Tai priklauso nuo elektrostatinės sąveikos energijos santykio
ir specifinis adsorbcijos potencialas
. Tankaus sluoksnio jonai yra fiksuoti. Kita jonų dalis yra difuziniame sluoksnyje, šie jonai yra laisvi ir gali judėti gilyn į tirpalą, t.y. iš didesnės koncentracijos srities į mažesnės koncentracijos sritį. Bendras krūvio tankis susideda iš dviejų dalių.

- Helmholtzo sluoksnio krūvis

- Difuzinis sluoksnio krūvis

, Kur - priešionų molinė dalis tirpale

Lūžio linija vadinama slenkanti riba.

Potencialas, atsirandantis ties slydimo riba, atsiskyrus daliai difuzinio sluoksnio, vadinamas elektrokinetinis potencialas(Zeta potencialas ).

Disperguotos fazės dalelė su aplinkiniu priešjonų sluoksniu ir dvigubu elektriniu sluoksniu vadinama micelė.

Gelemholtz-Smoluchowski lygtis

(dėl elektroosmoso).

Dėl srauto potencialo:

- 1-oji Lipmano lygtis.

- 2-oji Lipmano lygtis.

- Nernsto lygtis

- elektrokapiliarinės kreivės (ECC) lygtis.

Koaguliacija yra dalelių sukibimo procesas, dėl kurio prarandamas agregacijos stabilumas.

– Schulze-Hardy taisyklė

Filmas- tai sistemos dalis, esanti tarp dviejų sąsajų paviršių.

Atskiriamas spaudimas atsiranda, kai plėvelės storis smarkiai sumažėja dėl besiartinančių paviršinių sluoksnių sąveikos.

Stabilumo teorija. DLFO (Deryagin, Landau, Fairway, Overbeck).

Remiantis DLFO teorija, atskiriamasis slėgis susideda iš dviejų komponentų:

Elektrostatinis P E (teigiamas, tai yra dėl elektrostatinės atstūmimo jėgų). Atitinka Gibso energijos sumažėjimą didėjant plėvelės storiui.

Molekulinė P M (neigiamas, dėl traukos jėgų veikimo). Ją sukelia plėvelės suspaudimas dėl cheminių paviršiaus jėgų, jėgų veikimo spindulys yra dešimtosios nm su energija apie 400 kJ/mol.

Bendra sąveikos energija:

- Laplaso lygtis

Silpnai įkrautiems paviršiams

Labai įkrautiems paviršiams:

Molekulinis komponentas yra dviejų atomų sąveika:

~

Atomo sąveika su paviršiumi:

Šiek tiek įkrauti paviršiai:
,Tinka labai įkrautiems paviršiams

Smoluchovskio greito krešėjimo teorija.

Krešėjimo greičio priklausomybė nuo elektrolitų koncentracijos.

I – mažas krešėjimo greitis,

II – krešėjimo greitis beveik proporcingas elektrolito koncentracijai.

III – greito krešėjimo sritis, greitis praktiškai nepriklauso nuo koncentracijos.

Pagrindinės nuostatos:

Pradinis zolis yra monodispersinis, panašios dalelės yra sferinės formos.

Visi dalelių susidūrimai yra veiksmingi.

Kai susiduria dvi pirminės dalelės, susidaro antrinė dalelė. Antrinis + pirminis = tretinis. Pirminis, antrinis, tretinis – daugybiškumas.

,
,
,

Sistemos, kurios susidaro savaime, vadinamos liofilinis, pasižymi mažomis reikšmėmis
ir stabilus.

Sistemos liofobinis nesusidaro savaime, t/d yra nestabilūs ir reikalauja papildomo stabilizavimo, dažniausiai dėl paviršinio aktyvumo medžiagos patekimo į sistemą.

Embriono formavimosi stadija ( )=Kristalizacijos centrų susidarymas (I) + Medžiagos pristatymo į šiuos centrus etapas (U).

Embriono augimo stadija
= dvimačių kondensacijos centrų susidarymas (I’) + medžiagos tiekimas į šiuos centrus (U)

AUKŠTŲ TEMPERATŪRŲ TERMINĖ FIZIKA, 2010, 48 tomas, nr.2, p. 193-197

MEDŽIAGOS TERMINĖS FIZINĖS SAVYBĖS

UDC 532.6:004.932

PATOBULINTAS SKYSČIŲ PAVIRŠIAUS ĮTEMPIMO NUSTATYMO METODAS

© 2010 L. B. Direktorius, V. M. Zaichenko, I. L. Maikov

Jungtinis aukštų temperatūrų institutas RAS, Maskva Gauta 2009-05-25

Skysčio lašo dienovidinio pjūvio vaizdų, gautų taikant sėdimojo lašo metodą, apdorojimo metodika buvo sukurta patobulinta, siekiant nustatyti skysčio paviršiaus įtempimą. Ši technika nuskaito skaitmeninį lašo vaizdą, skaitinį Young-Laplace lygties sprendimą, taip pat paviršiaus įtempimo, kontaktinio kampo ir lašo tūrio apskaičiavimą.

ĮVADAS

Sėdimasis (pakabinamas) arba stacionarus lašo metodas laikomas patikimiausiu statiniu metalo lydalų, druskos, polimero ir kitų skysčių paviršiaus įtempimo tyrimo metodu.

Statiniai metodai yra pagrįsti Young-Laplace diferencialinės lygties sprendimu. Apytikslius šios lygties sprendimus gavo daugelis autorių, o dažniausiai naudojamas paviršiaus įtempimo koeficiento nustatymo metodas, pagrįstas Bashforth ir Adams lentelių naudojimu. Esamos empirinės priklausomybės iš esmės yra šių lentelių aproksimacijos. Tokių metodų trūkumai yra mažas tikslumas, taip pat apribojimai, susiję su lašelių dydžiu. Lašo geometriniai parametrai nustatomi matuojant jo fotografinį vaizdą matavimo mikroskopu. Matavimo procesas yra gana daug darbo reikalaujantis, o jo rezultatuose yra klaidų, susijusių su individualiomis stebėtojo savybėmis.

Šio darbo tikslas – sukurti didelės spartos programinės įrangos paketą, leidžiantį apdoroti skaitmeninį lašo vaizdą ir atlikti optimizavimo procedūrą, kad būtų nustatytas skysčio paviršiaus įtempimo koeficientas, naudojant tiek sėdimo metodą, tiek ir vandens įtempimo metodą. lašo atskyrimas (kabantis lašas). Metodika paremta darbe pateikta Young-Laplace lygties skaitmeninės integracijos ideologija.

NULEISKITE VAIZDO APDOROJIMO METODAS

Šaltinio informacija yra standartinio taško formato grafinis failas

BitMaP (BMP) mate, kuriame yra lašo dienovidinės dalies vaizdas. Vaizdas turi nespalvotą paletę su pilkos spalvos tonu nuo baltos iki juodos (šešioliktainiu žymėjimu nuo 000000 iki FFFFFF) RGB spalvos (1 pav.).

Tikslios vaizdo ribos nustatymas yra atskira užduotis. Yra gana sudėtingų algoritmų, pagrįstų lygių rinkinio funkcijų metodu ir reikalaujančių hiperbolinių dalinių diferencialinių lygčių sprendimo. Šiame darbe skaitiniams skaičiavimams supaprastinti naudojamas paprastas žemiau aprašytas algoritmas ir įvertinamas jo tikslumas.

Pirmajame apdorojimo etape pilkas vaizdas konvertuojamas į nespalvotą nespalvotą, kaip nurodyta toliau. Parenkama vidutinė spalvų reikšmė iš spalvų paletės (šešioliktaine, tai atitinka spalvą 888888). Tolesnis apdorojimo procesas susideda iš

Ryžiai. 1. Lašo ant pagrindo vaizdas (BMP formatas).

nuskaito vaizdą ties kiekvienu pikseliu. Visi pikseliai, kurių spalvos reikšmė mažesnė už ribą, pakeičia savo reikšmę į baltą, o daugiau nei ribą - į juodą, dėl ko nustatoma baltos ir juodos spalvų riba ir atitinkamai vaizdo kontūro taškų koordinatės. (2 pav.).

Ribinės spalvos pasirinkimas konvertuojant vaizdą iš pilkos į vienspalvį įveda rezultate tam tikrą paklaidą, kurią iliustruoja standartinio (kalibruoto plieno rutulio) santykinio tūrio priklausomybės nuo ribinės spalvos pasirinkimo kreivė (1 pav. . 3).

Renkantis penktadalį visos paletės (paletės spalvos nuo 666666 iki LLLLLLA šešioliktainėje vaizde atitinka spalvas nuo 1 iki 4 3 pav.), santykinė paklaida nustatant tūrį yra 0,2%. 888888 paletės spalva (visos paletės vidurys) atitinka reikšmę 3 x ašyje ir santykinį tūrį 1.

Santykinis tūris 1,0010

spalvų atskyrimo riba

Ryžiai. 3. Standarto santykinio tūrio priklausomybė nuo ribinės spalvos pasirinkimo.

SKAIČIUS NURODYTO VAIZDO APDOROJIMO PROCEDŪRA

Ant pagrindo gulinčio lašo forma (4 pav.) atitinka Young-Laplace lygtį

(l + U "2) 3/2 U (1 + U

Kapiliarinė konstanta; st - bendras

paviršiaus įtempimo koeficientas; H - kritimo aukštis; [x, y(x)] - lašo dienovidinio atkarpos ribos koordinatės (žr. 4 pav.); R0 yra kreivio spindulys viršutiniame kritimo taške; Ap yra skysčio ir aplinkinių dujų tankių skirtumas.

Norėdami skaitiniu būdu išspręsti (1) lygtį, parametruokime ją x = x(1),

Čia I yra kreivės lanko ilgis nuo kritimo viršaus iki taško, kurio koordinatės yra x(1), y(1). Tada Young-Laplace lygtis parametrine forma bus parašyta kaip

v a y Ro n - x + x + _2_

A y Roy su pradinėmis sąlygomis x(0) = H, y(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = -1.

Ryžiai. 4. Sėdimojo lašo dienovidinis pjūvis.

patobulintas sėdimojo kritimo metodas

Dviejų antros eilės diferencialinių lygčių sistema (2) gali būti pavaizduota kaip keturių pirmos eilės lygčių sistema

u = -v + ä + 2

"H – x, ü, 2 v = ü |-2--1---1--

su pradinėmis sąlygomis x(0) = H, y(0) = 0,

ir (0) = 0, v (0) = -1.

Paprastųjų diferencialinių lygčių sistemai (3) integruoti buvo naudojamas skaitmeninis standžiųjų diferencialinių lygčių sprendimo metodas - tiesinis daugiapakopis metodas su automatiniu žingsnių pasirinkimu, realizuotas DIFSUB algoritme.

Apdorojant duomenis, gautus taikant sėdimojo kritimo metodą (lašų atskyrimą), atvirkštinė kapiliarinės konstantos a2, kritimo aukščio H ir jo kreivio spindulio R nustatymo problema išspręsta naudojant horizontaliosios pjūvio apskritimo spindulio priklausomybę. atstumas nuo šios sekcijos iki pagrindo.

Panagrinėkime funkcinę funkciją, vaizduojančią eksperimentinių taškų kvadratinių nuokrypių nuo apskaičiuotos kreivės sumą

L = K - X;)2 + (Ue1 - Y,)2),

čia (xe, ye) yra eksperimentinių taškų koordinatės, (x, y) yra apskaičiuotų taškų koordinatės.

Apskaičiuoti taškai (x;, y()) yra parametrų a1 = a2, a2 ​​= H, a3 = R0 funkcijos:

xi - xi(t, a1 a2, a3),

yt - y,(h, ai, a2, a3). Išplėskime (5) į Teiloro eilutę šalia taško

ki (a1, a2, a3)

xt = x (t , a°, a°, a°) + dXi Aa1 + dXt Aa2 + dXi Aa3,

yl = y,(ti, ai1, a°, a°) + ^ Aai + Aa2 + Aay

Norint rasti funkcionalumo minimumą (4), turi būti įvykdytos sąlygos

Pakeitus (4) į (6) ir diferencijuojant, lygčių sistemą (7) galima parašyti forma

Xei - xi - dx - Aai - dx - Aa2 - dx - Aa3)) +

+ | yei - y, -dU Aai -f* Aa2 -f* Aa3))

öa1 öa2 öa3 jda1_

xei - x, - ^Дв1 -О*!.дa2 -§xlAa3- +

yi-y, -yU. Taip, - Da1 - ir Daz -

da1 da2 da3)da2j

dx. 5x- 5x- 15x-xei - xi -LD^ -LDa2 -LDaz - +

yei- yt -dR Da1 -M Da2 -^U- Da3 -

dxt dxt + dyt dyt = 1 dak da, dak da,

I| (xei-xi)f + (yei - y, fi|, V da, da, 1

I I dxL dx± + dy_ dyj_

dak da, dak da,

k = 1| i = 1 k 2 k 2.

I| (xei-x,)f* + (yei - У,)f |,

I I dxj_ dxi + dy_ dy_

Dak da3 dak da3 k = 1V i = 1 k 3 k 3 U

I| (xei- x, + (yei - Y,)f

Norint išspręsti (8) lygčių sistemą, būtina

dimo apskaičiuoja formos dalinius išvestinius

(6) kur I = 1-^, k = 1-3. Nuo analitinės

priklausomybės (4) nuo parametrų a1 nežinomos, dalinės išvestinės nustatomos skaitiniu būdu.

Naujos ak reikšmės (kur k = 1-3) apskaičiuojamos naudojant rastas Aak reikšmes naudojant formulę

00,. ak = ak + Aak

SPRENDIMO ALGORITMAS

Skaitmeniniam lygčių sistemos (8) sprendimui buvo sukurtas toks algoritmas.

DIREKTORIAUS ir kt.

Ryžiai. 5. Vandens lašo forma sėdimojo lašo metodu: 1 - eksperimentiniai taškai; 2 - skaičiavimas naudojant optimizavimo procedūrą.

1. Pradinės aproksimacijos (a0, a0, a0) nustatymas darant prielaidą, kad lašo formą apytiksliai apibūdina elipsė, kurios pusiau ašys yra lygios kritimo aukščiui ir didžiausiam horizontalios pjūvio apskritimo spinduliui.

2. Mažų nuokrypių nustatymas (Aab Aa2, Aa3).

3. Lygčių sistemos (3) sprendimas naudojant DIFSUB algoritmą duotoms reikšmėms (a0, a0, a0). 1-ojo skaitinio sprendinio gavimas. Funkcinių priklausomybių xn ir yn nustatymas naudojant kubinio splaino funkcijos SPLINE parametrų skaičiavimo algoritmą.

4. Duotų verčių (a0 + Aa1, a0, a0) lygčių sistemos (3) sprendimas naudojant DIFSUB algoritmą. 2-ojo skaitinio sprendinio gavimas. Funkcinių priklausomybių xi2 ir yi2 nustatymas naudojant SPLINE algoritmą. Išvestinių skaičiavimas naudojant 1 ir 2 sprendinius

dh1 = Xg - xn dy1 = y2 - yn. da1 Aa1 da1 Aa1

5. (3) lygčių sistemos sprendimas naudojant DIFSUB algoritmą duotam (a0, a0 +

Aa2, a0). 3-iojo skaitinio sprendinio gavimas. Funkcinių priklausomybių xi3 ir yi3 nustatymas naudojant SPLINE algoritmą. Išvestinių skaičiavimas naudojant 1 ir 3 sprendinius

dX = Xз – x/1? d!± = Ua - U/1. da2 Aa2 da2 Aa2

6. (3) lygčių sistemos sprendimas naudojant

a3 + Aa3). 4-ojo skaitinio sprendimo gavimas. Funkcinių priklausomybių xi4 ir yi4 nustatymas naudojant SPLINE algoritmą. Išvestinių skaičiavimas naudojant 1 ir 4 sprendinius

dX/ = X/4 – Xj 1 dyl = Y/4 – Y/1.

7. Sistemos (8) koeficientų apskaičiavimas ir jos sprendimas naudojant tiesinių lygčių sistemos sprendimo algoritmą SOLVE. Priėmimas (Aab Aa2, Aa3).

8. Naujų parametrų verčių apskaičiavimas pagal (9) formulę

naudojant DIFSUB algoritmą

Norėdami toliau skaityti straipsnį, turite įsigyti visą tekstą

KASHEZHEV A. Z., KUTUEV R. A., PONEZHEV M. Kh., SOZAEV V. A., KHASANOV A. I. – 2012 m.

Leonardo da Vinci laikomas kapiliarinių reiškinių atradėju. Tačiau pirmieji tikslūs kapiliarų reiškinių ant vamzdelių ir stiklo plokščių stebėjimai buvo atlikti Francis Hoxby 1709 m.).

Daugumos mokslininkų darbinė hipotezė nuo XVIII a. XIX amžiaus pabaigoje, kai grupė pozityvistinių fizikų pabrėžė, koks netiesioginis yra atomų egzistavimo įrodymas, į jų teiginį buvo mažai reaguojama, todėl jų prieštaravimai buvo paneigti tik šio amžiaus pradžioje. . Jei žvelgiant atgal, abejonės mums atrodo nepagrįstos, turime prisiminti, kad beveik visi, kurie tada tikėjo atomų egzistavimu, tvirtai tikėjo ir materialiu elektromagnetinio eterio egzistavimu, o XIX a. - dažnai kaloringas. Tačiau mokslininkai, kurie daugiausia prisidėjo prie dujų ir skysčių teorijos, naudojo prielaidą (dažniausiai aiškiai) apie diskrečią materijos struktūrą. Elementariosios medžiagos dalelės buvo vadinamos atomais arba molekulėmis (pavyzdžiui, Laplasas) arba tiesiog dalelėmis (Jung), tačiau mes vadovausimės šiuolaikinėmis sąvokomis ir vartosime žodį „molekulė“ elementarioms dalelėms, kurios sudaro dujas, skystį ar kietas.

pradžioje – XIX a. jėgos, galinčios egzistuoti tarp molekulių, buvo tokios pat neaiškios kaip ir pačios dalelės. Vienintelė jėga, dėl kurios nebuvo jokių abejonių, buvo Niutono gravitacija. Jis veikia tarp dangaus kūnų ir, aišku, tarp vieno tokio kūno (Žemės) ir kito (pavyzdžiui, obuolio) laboratorinės masės; Cavendish neseniai parodė, kad jis taip pat veikia tarp dviejų laboratorinių masių, todėl buvo manoma, kad jis taip pat veikia tarp molekulių. Ankstyvajame darbe su skysčiais randama molekulinės masės ir masės tankiai, patenkantys į lygtis, kuriose dabar turime užrašyti molekulių skaičių ir molekulių skaičiaus tankį. Gryname skystyje visos molekulės turi vienodą masę, todėl šis skirtumas neturi reikšmės. Tačiau dar iki 1800 metų buvo aišku, kad kapiliariniams reiškiniams ir kitoms skysčių savybėms paaiškinti gravitacinių jėgų sąvokos nepakanka. Skysčio kilimas stikliniame vamzdyje nepriklauso nuo stiklo storio (pagal Hoxby, 1709), todėl tik molekulių, esančių stiklo paviršiniame sluoksnyje, veikiančios jėgos veikia skystyje esančias molekules. Gravitacinės jėgos yra tik atvirkščiai proporcingos atstumo kvadratui ir, kaip buvo žinoma, laisvai veikia per tarpinę medžiagą.

Tarpmolekulinių jėgų, išskyrus gravitacijos jėgas, prigimtis buvo labai neaiški, tačiau spėliojimų netrūko. Jėzuitų kunigas Ruggero Giuseppe Boscovich tikėjo, kad molekulės atstumia labai mažais atstumais, traukia šiek tiek didesniais atstumais, o tada, didėjant atstumui, pasikeičia atstūmimas ir trauka. Jo idėjos paveikė ir Faradėjų, ir Kelviną kitame amžiuje, tačiau buvo per sudėtingos, kad būtų nedelsiant panaudotos kapiliarų teoretikams. Pastarieji išmintingai pasitenkino paprastomis hipotezėmis.

Quincke (G.H. Quincke) atliko eksperimentus, siekdamas nustatyti didžiausią atstumą, per kurį pastebimas tarpmolekulinių jėgų veikimas. Jis nustatė, kad įvairioms medžiagoms šie atstumai yra ~ 1/20000 milimetro, t.y. ~ 5 · 10 -6 cm (duomenys pateikti pagal) .

Jamesas Jurinas parodė, kad aukštį, iki kurio pakyla skystis, lemia vamzdelio viršus, esantis virš skysčio, ir nepriklauso nuo vamzdelio dugno formos. Jis manė, kad skysčio pakilimas atsiranda dėl traukos nuo vidinio cilindrinio vamzdžio paviršiaus, prie kurio ribojasi viršutinis skysčio paviršius. Tuo remdamasis jis parodė, kad skysčio kilimas tos pačios medžiagos vamzdeliuose yra atvirkščiai proporcingas jų vidiniam spinduliui.

Clairaut buvo vienas iš pirmųjų, parodęs, kad norint paaiškinti kapiliarinius reiškinius, reikia atsižvelgti į trauką tarp paties skysčio dalelių. Tačiau jis nepripažino, kad atstumai, kuriais šios jėgos veikia, yra nepastebimai maži.

1751 m. von Segneris pristatė svarbią paviršiaus įtempimo idėją pagal analogiją su mechaniniu membranos įtempimu elastingumo teorijoje. Šiandien paviršiaus įtempimo sąvoka yra įprasta, dažniausiai tai yra atspirties taškas kapiliarinėms jėgoms ir paviršiaus reiškiniams mokymo įstaigose tirti.

Ši idėja tapo pagrindine tolesnei teorijos plėtrai. Tiesą sakant, tai buvo pirmasis žingsnis tiriant reiškinį – buvo pristatyta fenomenologinė koncepcija, apibūdinanti makroskopinį sistemos elgesį. Antrasis žingsnis yra fenomenologinių sąvokų išvedimas ir dydžių verčių apskaičiavimas remiantis molekuline teorija. Šis žingsnis yra labai svarbus, nes tai yra tam tikros molekulinės teorijos teisingumo patikrinimas.

1802 m. Johnas Leslie pateikė pirmąjį teisingą skysčio kilimo vamzdyje paaiškinimą, atsižvelgdamas į trauką tarp kieto kūno ir plono skysčio sluoksnio ant jo paviršiaus. Jis, skirtingai nei dauguma ankstesnių tyrinėtojų, nemanė, kad šios traukos jėga yra nukreipta aukštyn (tiesiogiai skysčiui palaikyti). Priešingai, jis parodė, kad trauka visur yra normali kieto kūno paviršiui.

Tiesioginis traukos poveikis yra padidinti slėgį skysčio sluoksnyje, kuris liečiasi su kieta medžiaga, kad slėgis būtų didesnis nei skysčio viduje. Dėl to sluoksnis linkęs „plisti“ per kieto kūno paviršių, sustabdomą tik gravitacinių jėgų. Taigi, stiklinis vamzdis, panardintas į vandenį, sudrėkinamas vandeniu visur, kur jis „gali nuskaityti“. Kylant skysčiui susidaro kolonėlė, kurios svoris ilgainiui subalansuoja jėgą, dėl kurios skystis plinta.

Ši teorija nebuvo parašyta matematiniais simboliais, todėl negalėjo parodyti kiekybinio ryšio tarp atskirų dalelių traukos ir galutinio rezultato. Vėliau Leslie teoriją, naudodamas Laplaso matematinius metodus, peržiūrėjo Jamesas Ivory straipsnyje apie kapiliarinį veikimą, esančiame „Skysčiai, pakilimas“, esančiame 4-ojo enciklopedijos Britannica leidimo, paskelbto 1819 m., priede.

2. Jungo ir Laplaso teorijos

1804 metais Thomas Youngas pagrindė kapiliarinių reiškinių teoriją paviršiaus įtempimo principu. Jis taip pat stebėjo kieto paviršiaus kontaktinio skysčio kampo pastovumą (kontaktinio kampo) ir nustatė kiekybinį ryšį, jungiantį kontaktinį kampą su atitinkamų tarpfazių ribų paviršiaus įtempimo koeficientais. Esant pusiausvyrai kontaktinė linija neturėtų judėti išilgai kietojo kūno paviršiaus, o tai reiškia, sakė Hawksby, jis buvo demonstratorius Karališkojoje draugijoje, o jo eksperimentai turėjo įtakos labai ilgos esė apie pirmines materijos daleles ir pajėgos tarp jų, su kuriomis Niutonas baigė išleisti savo „Optiką“ 1717 m. cm.

Kur sSV,sSL,s LV tarpfazių ribų paviršiaus įtempimo koeficientai: kietas - dujos (garai), kietas - skystis, skystis - dujos, atitinkamai, q krašto kampas. Šie santykiai dabar žinomi kaip Youngo formulė. Šis darbas vis dar neturėjo tokios įtakos mokslo raidai šia kryptimi, kaip Laplaso straipsnis, paskelbtas po kelių mėnesių. Atrodo, kad taip yra dėl to, kad Jungas vengė naudoti matematinius užrašus ir bandė viską apibūdinti žodžiu, todėl jo darbas atrodė painus ir neaiškus. Nepaisant to, šiandien jis laikomas vienu iš kiekybinės kapiliarumo teorijos įkūrėjų.

Sanglaudos ir sukibimo reiškiniai, garų kondensacija į skystį, kietųjų kūnų drėkinimas skysčiais ir daugelis kitų paprastų materijos savybių – visa tai rodė patrauklių jėgų, daug kartų stipresnių už gravitaciją, buvimą, tačiau veikiančių tik labai nedideliais atstumais. molekules. Kaip sakė Laplasas, vienintelė šioms jėgoms keliama sąlyga, kylanti iš stebimų reiškinių, yra ta, kad jos yra „nepastebimos juntamais atstumais“.

Atstumiančios jėgos sukėlė daugiau rūpesčių. Jų buvimo negalima paneigti – jie turėtų subalansuoti traukos jėgas ir užkirsti kelią visiškam materijos sunaikinimui, tačiau jų prigimtis buvo visiškai neaiški. Klausimą apsunkino šios dvi klaidingos nuomonės. Pirma, dažnai buvo manoma, kad aktyvioji atstūmimo jėga yra šiluma (dažniausiai kalorijų teorijos šalininkų nuomonė), nes (tai buvo argumentas) skystis kaitinant pirmiausia plečiasi, o po to užverda, todėl molekulės yra atskirtos. daug didesniais atstumais nei kietame kūne Antrasis klaidingas supratimas kilo nuo Niutono idėjos, kad stebimas dujų slėgis atsiranda dėl statinio atstūmimo tarp molekulių, o ne dėl jų susidūrimo su konteinerio sienelėmis, kaip veltui įrodinėjo Danielis Bernoulli.

Atsižvelgiant į tai, buvo natūralu, kad pirmieji bandymai paaiškinti kapiliarumą arba apskritai skysčių sanglaudą buvo pagrįsti statiniais materijos aspektais. Mechanika buvo gerai suprantama teorinė mokslo šaka; termodinamika ir kinetinė teorija dar buvo ateityje. Kalbant apie mechaninius aspektus, pagrindinė prielaida buvo didelių, bet trumpo nuotolio patrauklių jėgų prielaida. Ramybės būsenos skysčiai (kapiliariniame vamzdelyje ar už jo ribų) akivaizdžiai yra pusiausvyroje, todėl šias patrauklias jėgas turi subalansuoti atstumiančios jėgos. Kadangi apie jas buvo galima pasakyti net mažiau nei apie traukos jėgas, jie dažnai buvo praleidžiami tylėdami ir, pasak Rayleigh, „traukos jėgoms buvo palikta atlikti neįsivaizduojamą pusiausvyros triuką“. Laplasas pirmasis patenkinamai išsprendė šią problemą, manydamas, kad atstumiančias jėgas (kaip jis pripažino, šilumines) galima pakeisti vidiniu slėgiu, kuris visur veikia nesuspaudžiamame skystyje. (Ši prielaida kartais sukelia netikrumą XIX a. darbuose dėl to, kas griežtai reiškia „slėgį skystyje“.) Pateiksime Laplaso vidinio slėgio skaičiavimus. (Ši išvada yra artimesnė Maxwell ir Rayleigh išvadoms. Išvada pateikta pagal.)

Iki 1819 m. jis pradėjo išsamiai aptarti tarpmolekulines atstumiančias jėgas, kurios, nors ir vis dar priskiriamos šilumai ar kalorijoms, turėjo esminę savybę mažėti atstumui greičiau nei patrauklios jėgos.

Jis turi subalansuoti skystyje esančias sanglaudos jėgas, o Laplasas tai sutapatino su jėga, tenkančia ploto vienetui, kuri priešinasi begalinio skysčio kūno padalijimui į du plačiai atskirtus pusiau begalinius kūnus, apribotus plokščiais paviršiais. Žemiau pateiktas darinys yra artimesnis Maxwell ir Rayleigh, nei pirminei Laplaso formai, tačiau argumentacijose nėra reikšmingo skirtumo.

Panagrinėkime du pusiau begalinius skystus kūnus griežtai plokščiais paviršiais, atskirtus sluoksniu (storis l) porą su nežymiai mažu tankiu (1 pav.), ir kiekviename iš jų pasirenkame po tūrio elementą. Pirmasis yra viršutinėje kūno dalyje aukštyje r virš plokščio apatinės kūno dalies; jo tūris lygus dxdydz. Antrasis yra apatinėje kūno dalyje ir turi tūrį, kuriame polinių koordinačių kilmė sutampa su pirmojo elementaraus tūrio padėtimi. Leisti f(s) yra jėga, veikianti tarp dviejų molekulių, atskirtų atstumu s, A d- jo veikimo spindulys. Kadangi tai visada yra patraukli jėga, turime

Jeigu r yra molekulių skaičiaus tankis abiejuose kūnuose, tada dviejų tūrio elementų sąveikos jėgos vertikalusis komponentas yra lygus

Bendra traukos jėga ploto vienetui (teigiama reikšmė) yra

Leisti u(s) yra tarpmolekulinės jėgos potencialas:

Vėl integruodami dalimis gauname

Vidinis Laplaso slėgis K yra traukos jėga, tenkanti ploto vienetui tarp dviejų plokščių paviršių, kai jie susiliečia, t.y. F(0):

kur yra tūrio elementas, kuris gali būti parašytas kaip . Nes u(r) pagal prielaidą visur yra neigiamas arba lygus nuliui, tada K teigiamai. Laplasas tuo tikėjo K yra didelis, palyginti su atmosferos slėgiu, tačiau pirmąjį realų skaitinį įvertinimą turėjo atlikti Youngas.

Aukščiau pateikta išvada grindžiama netiesiogine prielaida, kad molekulės yra tolygiai pasiskirstę tankiu r, t.y. skystis neturi pastebimos struktūros dydžio skalėje, atitinkančioje jėgų veikimo spindulį d. Be šios prielaidos (2) ir (3) išraiškų būtų neįmanoma parašyti tokia paprasta forma, tačiau reikėtų išsiaiškinti, kaip molekulės buvimas pirmame tūrio elemente įtakoja tikimybę, kad molekulė antroje.

Vieno ilgio vieneto įtempimas išilgai savavališkos linijos skysčio paviršiuje turi būti lygus (atitinkamoje vienetų sistemoje) darbui, skirtam laisvo paviršiaus ploto vienetui sukurti. Tai išplaukia iš skystos plėvelės tempimo eksperimento (2 pav.).

Šio darbo vertę galima iš karto gauti iš (6) for F(l). Jei paimsime du susiliečiančius pusiau begalinius kūnus ir atskirsime juos atstumu, viršijančiu tarpmolekulinių jėgų veikimo spindulį, darbas ploto vienetui bus nustatytas kaip

(8)

Atskyrimo metu susidaro du laisvi paviršiai, todėl sunaudotą darbą galima prilyginti dvigubai paviršiaus energijai ploto vienetui, kuri yra lygi paviršiaus įtempimui:

(9)

Taigi, K yra tarpmolekulinio potencialo integralas arba jo nulinis momentas ir H- jo pirmoji akimirka. Nors K neprieinamas tiesioginiam eksperimentui, H galima rasti, jei galime išmatuoti paviršiaus įtempimą.

Leisti būti sanglaudos energijos tankis tam tikrame skysčio ar dujų taške, t.y. požiūris dU/dV Kur dU— mažo tūrio vidinė energija V skystis ar dujos, kuriose yra šis taškas. Molekuliniam modeliui mes pritariame

(10)

Kur r— atstumas nuo aptariamo taško. Rayleigh nustatė Laplasą Kšio potencialo skirtumas lygus skysčio paviršiuje yra 2 (vertė 2 S) ir taškas viduje (2 reikšmė aš). Paviršiuje integracija į (10) apsiriboja spindulio pusrutuliu d, o vidinėje srityje jis vykdomas visoje sferoje. Vadinasi, S yra pusė aš, arba

(11)

Dabar panagrinėkime spindulio lašą R. Skaičiavimas fI nesikeičia, bet gavus f S integracija dabar atliekama ribotame tūryje dėl paviršiaus kreivumo. Jei yra kampas tarp vektoriaus ir fiksuoto spindulio, tada

Tada vidinis slėgis laše yra

Kur H nustatomas pagal (9) lygtį. Jei paimtume ne sferinį lašą, o skysčio dalį, kurios paviršių lemia du pagrindiniai kreivio spinduliai R 1 Ir R 2, tada gautume vidinį spaudimą formoje

(14)

Pagal Eilerio teoremą, suma lygi atvirkštinių paviršiaus kreivio spindulių sumai išilgai bet kurių dviejų stačiakampių liestinių.

Nes K Ir H teigiamas ir R yra teigiamas išgaubtam paviršiui, tada iš (13) išplaukia, kad vidinis slėgis laše yra didesnis nei skystyje plokščiu paviršiumi. Priešingai, vidinis slėgis skystyje, kurį riboja įgaubtas sferinis paviršius, yra mažesnis nei skystyje su plokščiu paviršiumi, nes Ršiuo atveju jis yra neigiamas.

Šie rezultatai sudaro Laplaso kapiliarumo teorijos pagrindą. Slėgio skirtumo lygtis (skysčio slėgis sferinio spindulio kritimo viduje R) ir (dujų slėgis išorėje) dabar vadinama Laplaso lygtimi:

Pakanka trijų idėjų - paviršiaus įtempimo, vidinio slėgio ir kontaktinio kampo, taip pat išraiškų (1) ir (15), kad būtų galima išspręsti visas įprasto pusiausvyros kapiliarumo problemas naudojant klasikinius statikos metodus. Taip po Laplaso ir Youngo darbų buvo padėti kiekybinės kapiliarumo teorijos pagrindai.

Youngo rezultatus vėliau gavo Gaussas, naudodamas variacinį metodą. Tačiau visi šie darbai (Young'o, Laplaso ir Gauso) turėjo vieną bendrą trūkumą, taip sakant, ydą. Šis trūkumas bus aptartas vėliau.

Skaičiuojant slėgį išlenkto skysčio paviršiaus viduje, buvo įvestas Rayleigh potencialas 2 (10); Taip pat buvo pažymėta, kad aš yra kohezinės energijos tankis. Šią naudingą koncepciją 1869 m. pirmą kartą pristatė Dupre, apibrėžęs ją kaip medžiagos gabalo susmulkinimą į ją sudarančias molekules (la travail de désagré gation totale – visiško išskaidymo darbas).

Vidinė jėga, veikianti molekulę gylyje r< d , yra priešinga į išorę nukreiptai jėgai, kuri atsirastų iš tamsesniame tūryje esančių molekulių, jei ji būtų vienodai užpildyta tankiu.

Savo kolegos F. J. D. Massier padarytą išvadą jis cituoja taip. Jėga, veikianti molekulę paviršiuje skysčio tūrio link, yra priešinga jėgai, atsirandančiai dėl tamsinto tūrio 1 pav. 3, nes skysčio viduje traukos jėga nuo sferinio spindulio tūrio yra lygi nuliui dėl simetrijos. Taigi į vidų nukreipta jėga yra

Ši jėga yra teigiama, nes f(0 < s < d) < 0 и F(d) = 0 dėl nelyginės funkcijos f(s). Jokia jėga neveikia molekulės, nebent ji yra per atstumą d vienoje ar kitoje paviršiaus pusėje. Todėl darbas, atliktas norint pašalinti vieną molekulę iš skysčio, yra

nes u(r) yra lygi funkcija. Šis darbas yra lygus minus dvigubai energijai vienai molekulei, reikalingai skysčiui suskaidyti ( padvigubėjo, kad nereikėtų skaičiuoti molekulių du kartus: vieną kartą jas pašalinant, kitą kartą kaip aplinkos dalį):

(18)

Tai paprasta ir suprantama vidinės energijos išraiška U turinčio skysčio N molekules. Iš to išplaukia, kad kohezinės energijos tankis pateikiamas išraiška (10), arba

kuris sutampa su (11), jei pašalinsime indeksą aš. Pats Dupre tą patį rezultatą gavo žiediniu keliu. Jis skaičiavo dU/dV per darbą prieš tarpmolekulines jėgas tolygiai plečiantis skysčio kubui. Tai jam davė

Nes K turi formą ((7) ir (11)), kur konstanta a pateikiama išraiška

(21)

tada integracija (20) vėl veda į (19).

Rayleigh kritikavo Dupre išvadą. Jis manė, kad svarstymas apie vienodą plėtimąsi iš sanglaudos ir atstumiančių tarpmolekulinių jėgų pusiausvyros būsenos, kai atsižvelgiama tik į sanglaudos jėgas, yra nepagrįstas; Prieš žengiant tokį žingsnį, reikėtų geriau išmanyti atstumiančių jėgų rūšį.

Matome, kad šioje išvadoje, kaip ir Youngo, Laplaso ir Gauso išvadose, reikšmingai panaudota prielaida apie staigų medžiagos molekulių skaičiaus tankio fazės sąsajoje pasikeitimą. Tuo pačiu, norint, kad aukščiau pateikti argumentai apibūdintų tikrus materijos reiškinius, reikia daryti prielaidą, kad tarpmolekulinių jėgų veikimo spindulys materijoje yra daug didesnis nei būdingas atstumas tarp dalelių. Tačiau remiantis šia prielaida, sąsaja tarp dviejų fazių negali būti ryški – turi atsirasti nuolatinis perėjimo tankio profilis, kitaip tariant, pereinamoji zona.

Šiuos duomenis buvo bandoma apibendrinti iki nuolatinio trumpalaikio profilio. Visų pirma Puasonas, bandydamas eiti šiuo keliu, priėjo prie klaidingos išvados, kad esant pereinamajam profiliui, paviršiaus įtempimas turėtų visiškai išnykti. Maxwellas vėliau parodė šios išvados klaidingumą.

Tačiau pati prielaida, kad tarpmolekulinių jėgų veikimo spindulys medžiagoje yra daug didesnis už būdingą atstumą tarp dalelių, neatitinka eksperimentinių duomenų. Tiesą sakant, šie atstumai yra tos pačios eilės. Todėl mechanistinis svarstymas Laplaso dvasia, šiuolaikiniais terminais, yra vidutinio lauko teorija. Ta pati čia neaprašyta Vanderio Waalso teorija, kuri pateikė garsiąją tikrų dujų būsenos lygtį. Visais šiais atvejais norint tiksliai apskaičiuoti reikia atsižvelgti į koreliacijas tarp dalelių skaičiaus tankio skirtinguose taškuose. Tai labai apsunkina užduotį.

3. Gibso kapiliarumo teorija

Kaip dažnai nutinka, termodinaminis aprašymas pasirodo paprastesnis ir bendresnis, jo neapriboja konkrečių modelių trūkumai.

Būtent tokiu būdu Gibbsas aprašė kapiliarumą 1878 m., sukurdamas grynai termodinamines teorijas. Ši teorija tapo neatsiejama Gibbso termodinamikos dalimi. Gibbso kapiliarumo teorija, tiesiogiai nesiremiant jokiais mechaniniais modeliais, neturi Laplaso teorijos trūkumų; ją pagrįstai galima laikyti pirmąja detalia paviršiaus reiškinių termodinamine teorija.

Apie Gibbso kapiliarumo teoriją galime pasakyti, kad ji labai paprasta ir labai sudėtinga. Paprasta, nes Gibbsui pavyko rasti metodą, leidžiantį gauti kompaktiškiausius ir elegantiškiausius termodinaminius santykius, vienodai taikomus plokštiems ir lenktiems paviršiams. „Viena iš pagrindinių bet kurios žinių srities teorinio tyrimo užduočių, – rašė Gibbsas, – yra nustatyti tą požiūrį, iš kurio tyrimo objektas atrodo kuo paprasčiau. Šis Gibbso kapiliarumo teorijos požiūris yra paviršių atskyrimo idėja. Naudojant vizualinį geometrinį skiriamojo paviršiaus vaizdą ir įvedus perteklinius dydžius, buvo galima kuo paprasčiau apibūdinti paviršių savybes ir apeiti paviršinio sluoksnio struktūros ir storio klausimą, kuris buvo visiškai netyrinėtas m. Gibbso laiku ir vis dar toli gražu nėra visiškai išspręstas. Gibso perteklius (adsorbcija ir kt.) priklauso nuo skiriamojo paviršiaus padėties, o pastarąjį taip pat galima rasti dėl maksimalaus paprastumo ir patogumo.

Tikslinga kiekvienu atveju pasirinkti skiriamąjį paviršių taip, kad jis visur būtų statmenas tankio gradientui. Jei pasirenkami skiriamieji paviršiai, tada kiekviena fazė ( l} (l = a, b, g) dabar atitinka jo užimamą tūrį V{ l). Visas sistemos tūris

Leisti būti veislės molekulių skaičiaus tankis j[masinėje] fazėje ( l). Tada bendras tokios rūšies molekulių skaičius j nagrinėjamoje sistemoje yra lygus

kur yra tokio tipo molekulių paviršiaus perteklius j(indeksas ( s) reiškia paviršius – paviršius). Panašiai nustatomi ir kitų ekstensyvių fizikinių dydžių pertekliai. Akivaizdu, kad, pavyzdžiui, plokščios plėvelės atveju, ji yra proporcinga jos plotui A. Vertė, apibrėžiama kaip paviršiaus perteklius pagal tipo molekulių skaičių j Plintamojo paviršiaus ploto vienetas vadinamas tokio tipo molekulių adsorbcija j ant šio paviršiaus.

Gibbsas naudojo dvi pagrindines skiriamojo paviršiaus padėtis: vieną, kurioje vieno iš komponentų adsorbcija yra lygi nuliui (dabar šis paviršius vadinamas ekvimolekuliniu), ir padėtį, kurioje išnyksta akivaizdi paviršiaus energijos priklausomybė nuo paviršiaus kreivumo. (šią padėtį Gibbsas pavadino įtempimo paviršiumi). Gibbsas naudojo ekvimolekulinį paviršių plokštiems skystiems paviršiams (ir kietųjų kūnų paviršiams) vertinti, o įtempimo paviršių – kreiviems paviršiams. Abiejose pozicijose sumažinamas kintamųjų skaičius ir pasiekiamas maksimalus matematinis paprastumas.

Dabar apie Gibbso teorijos sudėtingumą. Nors matematiškai labai paprasta, vis tiek sunku suprasti; Taip nutinka dėl kelių priežasčių. Pirma, Gibbso kapiliarumo teorija negali būti suprantama atskirai nuo visos Gibbso termodinamikos, kuri remiasi labai bendru, dedukciniu metodu. Didelis teorijos bendrumas visada suteikia jai abstraktumo, o tai, žinoma, turi įtakos suvokimo lengvumui. Antra, pati Gibbso kapiliarumo teorija yra plati, bet sąlyginė sistema, reikalaujanti suvokimo vienybės be abstrakcijos nuo atskirų jos nuostatų. Mėgėjiškas požiūris į Gibbso studijas yra tiesiog neįmanomas. Galiausiai, svarbi aplinkybė yra ta, kad visas minėtas Gibbso darbas parašytas labai glaustai ir labai sunkia kalba. Šis darbas, pasak Rayleigh, yra „pernelyg sutirštintas ir sunkus ne tik daugumai, bet, galima sakyti, ir visiems skaitytojams“. Anot Guggenheimo, „daug lengviau naudoti Gibbso formules, nei jas suprasti“.

Natūralu, kad Gibbso formulių naudojimas be tikro jų supratimo sukėlė daugybę klaidų aiškinant ir taikant atskiras Gibbso kapiliarumo teorijos nuostatas. Daugelis klaidų buvo susijusios su nesupratimu, kad norint gauti teisingą fizinį rezultatą reikia vienareikšmiškai nustatyti skiriamojo paviršiaus padėtį. Su tokio pobūdžio klaidomis dažnai susidurdavo analizuojant paviršiaus įtempimo priklausomybę nuo paviršiaus kreivumo; Jų neaplenkė net vienas iš kapiliarumo teorijos „stulpų“, Bakkeris. Kito tipo klaidų pavyzdys yra neteisingas cheminių potencialų aiškinimas, kai atsižvelgiama į paviršiaus reiškinius ir išorinius laukus.

Jau netrukus po Gibbso kapiliarumo teorijos paskelbimo buvo išreikšti pageidavimai išsamesnio ir išsamesnio jos paaiškinimo mokslinėje literatūroje. Aukščiau pacituotame laiške Gibbsui Rayleigh pasiūlė pačiam Gibbsui imtis šio darbo. Tačiau tai buvo padaryta daug vėliau: Rice'as parengė komentarą apie visą Gibbso teoriją, o kai kurios jos nuostatos buvo komentuotos Frumkino, Defay'aus, Rehbinderio, Guggenheimo, Tolmano, Buffo, Semenčenkos ir kitų tyrinėtojų darbuose. Daugelis Gibbso teorijos nuostatų tapo aiškesnės, buvo rasta paprastesnių ir veiksmingesnių loginių metodų joms pateisinti.

Tipiškas pavyzdys yra įspūdingas Kondo darbas, kuriame buvo pasiūlytas vaizdinis ir lengvai suprantamas įtempimo paviršiaus įvedimo metodas mintyse judinant skiriamąjį paviršių. Jeigu parašytume pusiausvyrinės dvifazės sistemos energijos išraišką a - b (a- vidinis ir b- išorinė fazė) su sferiniu lūžio paviršiumi

U = T.S. - P a V a- P b V b+ sA +(22)

ir mintyse pakeisime skiriamojo paviršiaus padėtį, t.y. pakeisti jo spindulį r, tada, aišku, tokios fizinės savybės kaip energija U, temperatūros T, entropija S, spaudimas R, cheminis potencialas i th komponentas m i ir jo masė m i, taip pat visą sistemos tūrį V a+ V b lieka nepakitęs. Kalbant apie garsumą V a = 4 /3pr 3 ir sritis A = 4pr 2 ir paviršiaus įtempimą s, tada šie dydžiai priklausys nuo skiriančio paviršiaus padėties ir todėl nurodytam psichiniam kitimo procesui r mes gauname iš (22)

- P a dVa+ Pb dVb + sdA + Reklamas = 0 (23)

(24)

(24) lygtis nustato nefizinę (ši aplinkybė pažymėta žvaigždute) paviršiaus įtempimo priklausomybę nuo skiriančio paviršiaus padėties. Šiai priklausomybei būdingas vienas minimumas s, kuris atitinka įtempimo paviršių. Taigi, anot Kondo, įtempiamasis paviršius yra skiriantis paviršius, kurio paviršiaus įtempis turi mažiausią reikšmę.

Gibbsas įtempimo paviršių pristatė kitaip. Jis rėmėsi pagrindine kapiliarumo teorijos lygtimi

(aukščiau esanti juosta reiškia savavališko skiriamojo paviršiaus su pagrindiniais kreivais perteklių SU 1 ir C 2) ir nagrinėjo fizinį (o ne grynai psichinį) paviršiaus kreivumo procesą tam tikroje padėtyje ir fiksuotas išorines sąlygas.

Anot Gibbso, įtempiamasis paviršius atitinka skiriamojo paviršiaus padėtį, kurioje paviršiaus sluoksnio kreivumas, esant pastoviems išoriniams parametrams, neturi įtakos paviršiaus energijai ir taip pat atitinka sąlygą:

¶ s/¶ r =0 (26)

Guggenheimas komentuoja Gibbso įrodymą: „Man pasirodė, kad Gibbso diskusija buvo sunki, ir kuo atidžiau ją studijavau, tuo man ji atrodė neaiškiau“. Šis pripažinimas rodo, kad suprasti Gibbso įtempimo paviršių buvo sunku net termodinamikams.

Kalbant apie Kondo požiūrį, tai aišku iš pirmo žvilgsnio. Tačiau būtina užtikrinti, kad Gibbs ir Kondo įtempimo paviršiai būtų tinkami. Tai galima įrodyti, pavyzdžiui, naudojant hidrostatinį paviršiaus įtempimo nustatymą

Youngas paminėjo tankio gradiento buvimą baigtinio storio sluoksnyje, tačiau atmetė šį efektą, laikydamas jį nereikšmingu.

Pt- slėgio tenzoriaus tangentinio komponento vietinė vertė;

r"— radialinė koordinatė; spinduliai R a Ir Rb apriboti paviršinį sluoksnį.

Diferencijavimas (27) su mentaliniu skiriančiojo paviršiaus judėjimu ir fizinės būsenos pastovumu (Kondo metodas) veda į (24) lygtį. Diferenciacija su paviršiaus sluoksnio kreivumu ir fizinės būsenos pastovumu (šiuo atveju Gibbso metodas R a Ir Rb kintamieji) suteikia

(28)

kur atsižvelgiama į tai P t(P a) = P a Ir P t(Pb) = Pb.

Iš (28) ir (24) lygčių aišku, kad sąlyga (26) yra lygiavertė sąlygai ( d s/ dr) * = 0, todėl paprastesnis ir intuityvesnis Kondo metodas yra tinkamas Gibbso metodui.

Skiriamojo paviršiaus sąvokos įvedimas leido matematiškai griežtai apibrėžti anksčiau grynai intuityvią fazės ribos sampratą ir todėl lygtyse naudoti tiksliai apibrėžtus dydžius. Iš esmės Gibso paviršiaus termodinamika aprašo labai platų reiškinių spektrą, todėl (neskaitant realizacijų, performulavimo, elegantiškesnių išvedžiojimų ir įrodymų) nuo pat jos atsiradimo šioje srityje buvo padaryta labai mažai naujovių. Tačiau vis tiek reikia paminėti kai kuriuos rezultatus, daugiausia susijusius su tais klausimais, kurių Gibbsas neapėmė.