Reiškių konvertavimas naudojant logaritmų savybes, pavyzdžius, sprendimus. Identiškos eksponentinių ir logaritminių išraiškų transformacijos B4 identiškos logaritminių išraiškų transformacijos

ATVIRA ALGEBROS PAMOKA 11 KLASĖJE

PAMOKOS TEMA

KONVERTINGOS IŠRAIKOS,

YRA LOGARITMŲ"

Pamokos tikslai:

kartoti skaičiaus logaritmo apibrėžimą, pagrindinį logaritminį tapatumą;

įtvirtinti pagrindines logaritmų savybes;

stiprinti praktinę šios temos orientaciją kokybiškam pasirengimui UNT;

skatinti stiprią medžiagos asimiliaciją;

skatinti mokinių savikontrolės įgūdžių ugdymą.

Pamokos tipas: derinamas naudojant interaktyvų testą.

Įranga: projektorius, ekranas, plakatai su užduotimis, atsakymų lapas.

Pamokos planas:

Laiko organizavimas.

Žinių atnaujinimas.

Interaktyvus testas.

„Turnyras su logaritmais“

Užduočių sprendimas pagal vadovėlį.

Apibendrinant. Atsakymų lapo pildymas.

Įvertinimas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

2. Pamokos tikslų nustatymas.

Sveiki bičiuliai! Šiandien turime neįprastą pamoką, pamoką - žaidimą, kurį vesime turnyro su logaritmais forma.

Pamoką pradėkime nuo interaktyvaus testo.

3. Interaktyvus testas:

4. Turnyras su logaritmais:

Logaritmo apibrėžimas.

Logaritminės tapatybės:

Supaprastinti:

Raskite posakio prasmę:

Logaritmų savybės .

Konversija:

Darbas su vadovėliu.

Apibendrinant.

Mokiniai užpildo savo atsakymų lapą.

Už kiekvieną atsakymą skirkite balus.

Įvertinimas. Namų darbai. 1 priedas.

Šiandien jūs panirę į logaritmus,

Jie turi būti tiksliai apskaičiuoti.

Žinoma, jūs sutiksite juos per egzaminą,

Galime tik palinkėti sėkmės!

aš variantas

a) 9 ½ =3; b) 7 0 =1.

A)žurnalas8=6; b)žurnalas9=-2.

a) 1.7 žurnalas 1,7 2 ; b) 2 žurnalas 2 5 .

4. Apskaičiuokite:

A) lg8+lg125;

b) žurnalas 2 7 rąstų 2 7/16

V)žurnalas 3 16/log 3 4.

II variantas

1. Raskite logaritmą, pagrįstą skaičiaus a laipsniu su baze a:

a) 32 1/5 =2; b) 3 -1 =1/3.

2. Patikrinkite lygybės galiojimą:

A)žurnalas27=-6; b)žurnalas 0,5 4=-2.

3. Supaprastinkite išraišką naudodami pagrindines logaritmines tapatybes:

a) 5 1+ žurnalas 5 3 ; b) 10 1- lg 2

4. Apskaičiuokite:

A) žurnalas 12 4+rąstai 12 36;

b) lg13-lg130;

V) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III variantas

1. Raskite logaritmą, pagrįstą skaičiaus a laipsniu su baze a:

a) 27 2/3 =9; b) 32 3/5 =8.

2. Patikrinkite lygybės galiojimą:

A)žurnalas 2 128=;

b)žurnalas 0,2 0,008=3.

3. Supaprastinkite išraišką naudodami pagrindines logaritmines tapatybes:

a) 4 2 žurnalas 4 3 ;

b) 5 -3 žurnalas 5 1/2 .

4. Apskaičiuokite:

A) žurnalas 6 12+log 6 18;

b) žurnalas 7 14 rąstų 7 6+rąstai 7 21;

V) (žurnalas 7 3/ žurnalas 7 13)∙ žurnalas 3 169.

IV variantas

1. Raskite logaritmą, pagrįstą skaičiaus a laipsniu su baze a:

a) 81 3/4 =27; b) 125 2/3 =25.

2. Patikrinkite lygybės galiojimą:

A)žurnalas √5 0,2=-2;

b)žurnalas 0,2 125=-3.

3. Supaprastinkite išraišką naudodami pagrindines logaritmines tapatybes:

a) (1/2) 4 žurnalas 1/2 3 ;

b) 6 -2 žurnalas 6 5 .

4. Apskaičiuokite:

A) žurnalas 14 42 rąstų 14 3;

b) žurnalas 2 20 rąstų 2 25+rąstai 2 80;

V) žurnalas 7 48/ žurnalas 7 4- 0,5 žurnalas 2 3.

Padniestrės valstybinis universitetas

juos. T.G. Ševčenka

Fizikos ir matematikos fakultetas

Matematinės analizės katedra

ir matematikos mokymo metodus

KURSINIS DARBAS

„Tapatybės transformacijos

eksponentinis ir logaritminis

išraiškos"

Darbai baigti:

_______ grupės mokinys

Fizikos ir matematikos fakultetas

_________________________

Patikrinau darbus:

_________________________

Tiraspolis, 2003 m

Įvadas………………………………………………………………………………2

1 skyrius. Identiškos transformacijos ir mokymo metodai mokykliniame algebros kurse ir analizės pradžia……………………………………..4

§1. Konkrečių tipų transformacijų taikymo įgūdžių formavimas…………………………………………………………………………………………….4

§2. Žinių sistemos organizavimo ypatumai tiriant tapatybės transformacijas.………………………………………………..………….5

§3. Matematikos programa……………………………………………………….11

2 skyrius. Identiškos transformacijos ir eksponentinių bei logaritminių išraiškų skaičiavimai……………………………...…………………13

§1. Laipsnio sampratos apibendrinimas………………………………………..13

§2. Eksponentinė funkcija………………………………………………………..15

§3. Logaritminė funkcija…………………………………….16

3 skyrius. Identiškos eksponentinių ir logaritminių išraiškų transformacijos praktikoje..........................................................................19

Išvada………………………………………………………………..24

Literatūros sąrašas…………………………………………………………….25
Įvadas

Šiame kursiniame darbe bus nagrinėjamos identiškos eksponentinių ir logaritminių funkcijų transformacijos, jų dėstymo mokykliniame algebros kurse metodika ir analizės pradžia.

Pirmajame šio darbo skyriuje aprašoma tapatybės transformacijų mokymo mokykliniame matematikos kurse metodika, taip pat įtraukta matematikos programa kurse „Algebra ir analizės pradžia“ su eksponentinių ir logaritminių funkcijų tyrimu.

Antrame skyriuje tiesiogiai nagrinėjamos pačios eksponentinės ir logaritminės funkcijos, pagrindinės jų savybės, naudojamos tapatybės transformacijose.

Trečiame skyriuje sprendžiami pavyzdžiai ir uždaviniai naudojant identiškas eksponentinių ir logaritminių funkcijų transformacijas.

Įvairių posakių ir formulių transformacijų studijavimas užima nemažą mokymo laiko dalį mokykliniame matematikos kurse. Paprasčiausios transformacijos, pagrįstos aritmetinių veiksmų savybėmis, atliekamos jau pradinėje mokykloje ir IV-V klasėse. Tačiau pagrindinė našta ugdant įgūdžius ir gebėjimus atlikti transformacijas tenka mokykliniam algebros kursui. Taip yra tiek dėl smarkiai išaugusio vykdomų transformacijų skaičiaus ir įvairovės, tiek dėl joms pagrįsti ir pritaikymo sąlygų aiškinimo veiklų sudėtingumo, dėl apibendrintų tapatumo, identiškos transformacijos sampratų nustatymo ir tyrimo, ekvivalentinė transformacija, loginė pasekmė.

Tapatybės transformacijų atlikimo kultūra vystosi taip pat, kaip ir skaičiavimų kultūra, pagrįsta tvirtomis žiniomis apie operacijų su objektais savybes (skaičius, vektorius, polinomus ir kt.) ir jų įgyvendinimo algoritmus. Ji pasireiškia ne tik gebėjimu teisingai pagrįsti transformacijas, bet ir gebėjimu rasti trumpiausią kelią pereiti nuo pirminės analitinės išraiškos prie labiausiai transformacijos tikslą atitinkančios išraiškos, gebėjimu stebėti pokyčius Analitinių išraiškų apibrėžimo sritis identiškų transformacijų grandinėje, transformacijų atlikimo greitis ir tikslumas.

Aukštos skaičiavimo kultūros ir tapatybės transformacijų užtikrinimas yra svarbi matematikos mokymo problema. Tačiau ši problema dar toli gražu nėra išspręsta patenkinamai. To įrodymas – valstybinių švietimo institucijų statistiniai duomenys, kasmet fiksuojantys įvairių klasių mokinių atliktų testų klaidas ir neracionalius skaičiavimų bei perskaičiavimų metodus. Tai patvirtina aukštųjų mokyklų atsiliepimai apie stojančiųjų matematinių žinių ir įgūdžių kokybę. Negalima nesutikti su valstybinių švietimo institucijų ir universitetų išvadomis, kad nepakankamai aukštas skaičiavimo kultūros lygis ir identiškos transformacijos vidurinėje mokykloje yra studentų žinių formalizmo, teorijos atskyrimo nuo praktikos pasekmė.

1 skyrius.

Identiškos transformacijos ir mokymo metodai

mokykliniame algebros kurse ir analizės pradžioje.

§1. Taikymo įgūdžių formavimas

specifiniai transformacijos tipaititulai.

Pradinės algebros stadijoje naudojama transformacijų atlikimo technikų ir taisyklių sistema turi labai platų pritaikymo spektrą: ji naudojama studijuojant visą matematikos kursą. Tačiau būtent dėl ​​mažo specifiškumo ši sistema reikalauja papildomų transformacijų, kurios atsižvelgtų į transformuojamų išraiškų struktūrines ypatybes bei naujai įvestų operacijų ir funkcijų savybes. Atitinkamų transformacijų tipų įsisavinimas prasideda sutrumpintų daugybos formulių įvedimu. Tada transformacijos, susijusios su eksponencijos operacija, nagrinėjamos su įvairiomis elementariųjų funkcijų klasėmis - eksponentinė, galia, logaritminė, trigonometrinė. Kiekvienas iš šių transformacijų tipų pereina mokymosi etapą, kurio metu dėmesys sutelkiamas į jiems būdingų bruožų įsisavinimą.

Kaupiantis medžiagai, atsiranda galimybė išryškinti visų nagrinėjamų transformacijų bendrus bruožus ir tuo remiantis įvesti identiškų ir lygiaverčių transformacijų sąvokas.

Pažymėtina, kad tapatybės transformacijos samprata mokykliniame algebros kurse pateikiama ne visiškai bendrai, o tik taikant išraiškoms. Transformacijos skirstomos į dvi klases: identiškos transformacijos yra reiškinių transformacijos, o ekvivalentinės – formulių transformacijos. Tuo atveju, kai reikia supaprastinti vieną formulės dalį, šioje formulėje paryškinama išraiška, kuri yra argumentas taikomai tapatybės transformacijai. Atitinkamas predikatas laikomas nepakitusiu.

Kalbant apie organizuojant holistinę transformacijų sistemą(sintezė), tada jo pagrindinis tikslas yra suformuoti lanksčią ir galingą; aparatai, tinkami naudoti sprendžiant įvairias edukacines užduotis.

Algebros eigoje ir analizės pradžioje palaipsniui tobulėja holistinė transformacijų sistema, jau susiformavusi savo pagrindiniais bruožais. Prie jo pridedami ir kai kurie nauji transformacijų tipai, tačiau jie jį tik praturtina, išplečia galimybes, bet nekeičia struktūros. Šių naujų transformacijų tyrimo metodika praktiškai nesiskiria nuo naudojamos algebros kurse.

§2. Organizacijos ypatybėsužduočių sistemos

tiriant tapatybės transformacijas.

Pagrindinis bet kokios užduočių sistemos organizavimo principas yra pateikti jas nuo paprastų iki sudėtingų, atsižvelgiant į mokinių poreikį įveikti įmanomus sunkumus ir sukurti problemines situacijas. Šis pagrindinis principas reikalauja patikslinimo, atsižvelgiant į šios mokomosios medžiagos ypatybes. Sąvoka naudojama įvairioms matematikos metodų užduočių sistemoms apibūdinti pratimų ciklas. Pratimų ciklui būdingas kelių mokymosi aspektų ir medžiagos išdėstymo metodų derinimas pratimų sekoje. Kalbant apie tapatybės transformacijas, ciklo idėją galima pateikti taip.

Pratimų ciklas siejamas su vienos tapatybės tyrinėjimu, aplink kurią grupuojamos kitos su ja natūraliai susijusios tapatybės. Ciklas, kartu su vykdomosiomis, apima užduotis, reikalaujančias pripažinti nagrinėjamos tapatybės pritaikomumą. Tiriama tapatybė naudojama įvairių skaitinių sričių skaičiavimams atlikti. Atsižvelgiama į tapatybės specifiką; ypač sutvarkytos su juo susijusios kalbos figūros.

Kiekvieno ciklo užduotys suskirstytos į dvi grupes. Pirmoji apima užduotis, atliekamas pirminio pažinties su tapatybe metu. Jie naudojami kaip mokomoji medžiaga kelioms iš eilės pamokoms, kurias jungia viena tema. Antroji pratimų grupė tiriamą tapatybę sieja su įvairiomis programomis. Ši grupė nesudaro kompozicinės vienybės – pratimai čia yra išsibarstę įvairiomis temomis.

Apibūdinta ciklo struktūra reiškia įgūdžių, susijusių su specifinių transformacijų tipų, ugdymo etapą. Paskutiniame etape - sintezės etape, ciklai modifikuojami. Pirma, abi užduočių grupės sujungiamos į „išplėstą“ ciklą, o pačios paprasčiausios pagal formuluotę ar užduoties atlikimo sudėtingumą neįtraukiamos į pirmąją grupę. Likusios užduočių rūšys tampa sudėtingesnės. Antra, vyksta ciklų, susijusių su skirtingomis tapatybėmis, susiliejimas, dėl kurio didėja veiksmų vaidmuo atpažinti tam tikros tapatybės pritaikomumą.

Atkreipkime dėmesį į užduočių ciklų ypatybes, susijusias su elementariųjų funkcijų tapatybėmis. Šios ypatybės atsiranda dėl to, kad, pirma, atitinkamos tapatybės tiriamos kartu su funkcinės medžiagos tyrimu ir, antra, jos atsiranda vėliau nei pirmosios grupės tapatybės ir tiriamos naudojant jau suformuotus tapatybės transformacijų atlikimo įgūdžius. .

Kiekviena naujai įdiegta elementari funkcija smarkiai išplečia skaičių, kuriuos galima priskirti ir pavadinti atskirai, diapazoną. Todėl į pirmąją ciklo užduočių grupę turėtų būti įtrauktos užduotys, skirtos ryšiams tarp šių naujų skaitinių sričių ir pradinio racionaliųjų skaičių srities nustatyti. Pateikime tokių užduočių pavyzdžių.

1 pavyzdys . Apskaičiuoti:

Šalia kiekvienos išraiškos nurodoma tapatybė, ciklais, kuriems gali būti siūlomos užduotys. Tokių užduočių tikslas – įsisavinti įrašų ypatybes, įskaitant naujų operacijų ir funkcijų simbolius, lavinti matematinius kalbos įgūdžius.

Nemaža dalis tapatybės transformacijų, susijusių su elementariomis funkcijomis, panaudojimo tenka iracionaliųjų ir transcendentinių lygčių sprendimui. Su tapatybių įsisavinimu susiję ciklai apima tik paprasčiausias lygtis, tačiau čia patartina atlikti tokių lygčių sprendimo metodo įsisavinimo darbus: jį sumažinti, pakeičiant nežinomąjį algebrine lygtimi.

Šio sprendimo veiksmų seka yra tokia:

a) rasti funkciją, kuriai ši lygtis gali būti pavaizduota forma;

b) atlikti keitimą ir išspręsti lygtį;

c) išspręskite kiekvieną lygtį, kur yra lygties šaknų aibė.

Naudojant aprašytą metodą, b) veiksmas dažnai atliekamas netiesiogiai, neįvedant žymėjimo . Be to, studentai dažnai renkasi iš įvairių būdų, vedančių į atsakymą, pasirinkti tą, kuris greičiau ir lengviau atveda prie algebrinės lygties.

2 pavyzdys . Išspręskite lygtį.

Pirmas būdas:

Antras būdas:

Čia matote, kad naudojant pirmąjį metodą a) žingsnis yra sunkesnis nei naudojant antrąjį. Pirmasis metodas yra „sunkesnis pradėti“, nors tolesnė sprendimo eiga yra daug paprastesnė. Kita vertus, antrojo metodo privalumai yra lengvesni ir tiksliau mokantis redukuoti iki algebrinės lygties.

Mokykliniam algebros kursui būdingos užduotys, kuriose perėjimas prie algebrinės lygties yra dar paprastesnis nei šiame pavyzdyje. Pagrindinė tokių užduočių apkrova yra susijusi su c) žingsnio, kaip savarankiškos sprendimo proceso dalies, susijusios su tiriamos elementarios funkcijos savybių naudojimu, identifikavimu.

3 pavyzdys . Išspręskite lygtį:

Šios lygtys redukuojamos į lygtis: a) arba ; b) arba . Norint išspręsti šias lygtis, reikia žinoti tik pačius paprasčiausius faktus apie eksponentinę funkciją: jos monotoniškumą, reikšmių diapazoną. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, lygtys a) ir b) gali būti klasifikuojamos kaip pirmoji kvadratinių eksponentinių lygčių sprendimo pratimų grupė.

Taigi, mes priėjome prie užduočių, susijusių su transcendentinių lygčių, turinčių eksponentinę funkciją, sprendimu:

1) lygtys, kurios redukuojasi į formos lygtis ir turi paprastą, bendrą atsakymą: ;

2) lygtys, kurios redukuoja į lygtis , kur yra sveikasis skaičius arba , kur ;

3) lygtys, kurios redukuojamos į lygtis ir reikalauja aiškios skaičiaus užrašymo formos analizės .

Panašiai galima klasifikuoti ir kitų elementarių funkcijų užduotis.

Juose įrodoma ar bent paaiškinama nemaža dalis algebroje ir algebroje tiriamų tapatybių bei analizės kursų principų. Šis identitetų tyrimo aspektas turi didelę reikšmę abiem kursams, nes įrodomieji samprotavimai juose yra atliekami su didžiausiu aiškumu ir griežtumu būtent tapatybių atžvilgiu. Be šios medžiagos, įrodymai paprastai yra mažiau išsamūs, jie ne visada skiriasi nuo naudojamo pagrindimo.

Aritmetinių operacijų savybės naudojamos kaip atrama, ant kurios statomi tapatybių įrodymai.

Skaičiavimų ir identiškų transformacijų ugdomasis poveikis gali būti nukreiptas į loginio mąstymo ugdymą, jei tik sistemingai iš mokinių reikalaujama pagrįsti skaičiavimus ir identiškas transformacijas, bei į funkcinio mąstymo ugdymą, kuris pasiekiamas įvairiais būdais. Skaičiavimų ir identiškų transformacijų svarba ugdant valią, atmintį, intelektą, savikontrolę, kūrybinę iniciatyvą yra gana akivaizdi.

Kasdienės ir pramoninės skaičiavimo praktikos poreikiai reikalauja, kad studentai išsiugdytų stiprius, automatizuotus racionalių skaičiavimų ir tapatybės transformacijų įgūdžius. Šie įgūdžiai lavinami atliekant bet kokį skaičiavimo darbą, tačiau būtini specialūs greitų skaičiavimų ir transformacijų pratimai.

Taigi, jei pamokoje sprendžiamos logaritminės lygtys naudojant pagrindinę logaritminę tapatybę, į pamokos planą naudinga įtraukti žodinius posakių reikšmių supaprastinimo ar skaičiavimo pratimus: , , . Mokiniams visada pranešama apie pratybų tikslą. Atliekant pratimą, gali tekti reikalauti, kad mokiniai pagrįstų atskirus pokyčius, veiksmus ar visos problemos sprendimą, net jei tai nebuvo planuota. Kai galimi įvairūs problemos sprendimo būdai, patartina visada užduoti klausimus: „Kaip buvo išspręsta problema?“, „Kas išsprendė problemą kitaip?

Tapatybės ir tapatybės transformacijos sąvokos yra aiškiai įvestos VI klasės algebros kurse. Pats identiškų posakių apibrėžimas negali būti praktiškai naudojamas dviejų posakių tapatumui įrodyti ir suprasti, kad identiškų transformacijų esmė yra pritaikyti išraiškai tų veiksmų, kurie nurodyti reiškinyje, apibrėžimus ir savybes arba papildyti. tai išraiška, kuri identiškai lygi 0, arba padauginus ją iš išraiškos, identiškai lygi vienetui. Tačiau net ir įsisavinę šias nuostatas, studentai dažnai nesupranta, kodėl šios transformacijos leidžia teigti, kad pradinė ir gauta išraiška yra tapačios, t.y. paimkite tas pačias reikšmes bet kurioms kintamųjų verčių sistemoms (rinkiniams).

Taip pat svarbu užtikrinti, kad studentai aiškiai suprastų, jog tokios identiškų transformacijų išvados yra atitinkamų veiksmų apibrėžimų ir savybių pasekmės.

Ankstesniais metais sukauptas tapatybės transformacijų aparatas plečiamas VI klasėje. Šis plėtinys pradedamas įvedus tapatybę, išreiškiančią galių sandaugą su tomis pačiomis bazėmis: , kur , yra sveikieji skaičiai.

§3. Matematikos programa.

Mokykliniame kurse „Algebra ir analizės pradžia“ studentai sistemingai mokosi eksponentinių ir logaritminių funkcijų bei jų savybių, logaritminių ir eksponentinių reiškinių identiškų transformacijų ir jų pritaikymo sprendžiant atitinkamas lygtis ir nelygybes, susipažįsta su pagrindinėmis sąvokomis ir teiginiais. .

11 klasėje algebros pamokos trunka 3 valandas per savaitę, iš viso 102 valandas per metus. Programa trunka 36 valandas, kad ištirtų eksponentinę, logaritminę ir galios funkcijas.

Programa apima šių klausimų svarstymą ir tyrimą:

Laipsnio su racionaliuoju rodikliu samprata. Iracionaliųjų lygčių sprendimas. Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikas. Identiškos eksponentinių išraiškų transformacijos. Eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimas. Skaičiaus logaritmas. Pagrindinės logaritmų savybės. Logaritminė funkcija, jos savybės ir grafikas. Logaritminių lygčių ir nelygybių sprendimas. Eksponentinės funkcijos išvestinė. Skaičius ir natūralusis logaritmas. Galios funkcijos išvestinė.

Pagrindinis eksponentinių ir logaritminių funkcijų skyriaus tikslas – supažindinti studentus su eksponentinės, logaritminės ir laipsnio funkcijomis; mokyti mokinius spręsti eksponentines ir logaritmines lygtis bei nelygybes.

Šaknies ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu sąvokos yra kvadratinės šaknies ir laipsnio su sveikuoju skaičiumi sąvokų apibendrinimas. Studentai turėtų atkreipti dėmesį į tai, kad čia nagrinėjamų šaknų ir laipsnių su racionaliais rodikliais savybės yra panašios į tas savybes, kurias turi anksčiau tirtos kvadratinės šaknys ir laipsniai su sveikaisiais rodikliais. Būtina pakankamai laiko skirti laipsnių savybių praktikavimui ir tapatybės transformacijų įgūdžių ugdymui. Laipsnio su neracionaliu rodikliu sąvoka pristatoma vizualiai ir intuityviai. Ši medžiaga atlieka pagalbinį vaidmenį ir naudojama įvedant eksponentinę funkciją.

Eksponentinių, logaritminių ir laipsnių funkcijų savybių tyrimas konstruojamas pagal priimtą bendrąją funkcijų tyrimo schemą. Šiuo atveju, atsižvelgiant į parametrų reikšmes, pateikiama savybių apžvalga. Remiantis ištirtomis funkcijų savybėmis, sprendžiamos eksponentinės ir logaritminės nelygybės.

Būdingas kurso bruožas – studentų žinių sisteminimas ir apibendrinimas, algebros kurse įgytų įgūdžių įtvirtinimas ir tobulinimas, kuris atliekamas tiek studijuojant naują medžiagą, tiek atliekant apibendrintą kartojimą.
2 skyrius.

Tapatybės transformacijos ir skaičiavimai

eksponentinės ir logaritminės išraiškos

§1. Laipsnio sampratos apibendrinimas.

Apibrėžimas: Grynojo skaičiaus šaknis yra skaičius, kurio galia yra lygi .

Pagal šį apibrėžimą skaičiaus šaknis yra lygties sprendimas. Šios lygties šaknų skaičius priklauso nuo ir. Panagrinėkime funkciją. Kaip žinoma, intervale ši funkcija padidėja bet kuriai reikšmei ir paima visas reikšmes iš intervalo. Pagal šaknies teoremą, bet kurios lygtis turi neneigiamą šaknį ir, be to, tik vieną. Jis vadinamas skaičiaus laipsnio aritmetinė šaknis ir žymi ; skambinama numeriu šaknies indeksas, o pats skaičius yra radikali išraiška. Ženklas taip pat vadinamas radikalu.

Apibrėžimas: Aritmetinė skaičiaus laipsnio šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio -oji galia yra lygi .

Lyginiams skaičiams funkcija yra lyginė. Iš to išplaukia, kad jei , tai lygtis, be šaknies, taip pat turi šaknį. Jei , tada yra viena šaknis: ; jei , tai ši lygtis neturi šaknų, nes bet kurio skaičiaus net galia yra neneigiama.

Nelyginėms reikšmėms funkcija didėja visoje skaičių eilutėje; jo diapazonas yra visų realiųjų skaičių aibė. Taikydami šaknies teoremą, mes nustatome, kad lygtis turi vieną šaknį bet kuriai ir ypač . Ši bet kurios reikšmės šaknis žymima .

Nelyginio laipsnio šaknims galioja lygybė. Tiesą sakant, , t.y. skaičius yra šaknis iš . Tačiau tokia nelyginio šaknis yra vienintelė. Vadinasi,.

1 pastaba: Bet kokiam tikram

Prisiminkime žinomas laipsnio aritmetinių šaknų savybes.

Bet kuriam natūraliam skaičiui galioja sveikieji ir bet kokie neneigiami sveikieji skaičiai ir lygybės:

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu.

Išraiška apibrėžta visiems, išskyrus atvejį . Prisiminkime tokių galių savybes.

Bet kokiems skaičiams ir bet kokiems sveikiesiems skaičiams galioja lygybės:

Taip pat pažymime, kad jei , tada ir .

Apibrėžimas: Skaičiaus laipsnis su racionaliuoju rodikliu, kur yra sveikasis skaičius ir yra natūralusis skaičius, vadinamas skaičiumi.

Taigi, pagal apibrėžimą.

Suformulavus laipsnio apibrėžimą su racionaliuoju rodikliu, išsaugomos pagrindinės laipsnių savybės, kurios galioja bet kokiems rodikliams (skirtumas tas, kad savybės galioja tik teigiamoms bazėms).

§2. Eksponentinė funkcija.

Apibrėžimas: Iškviečiama funkcija, pateikta formule (kur , ). eksponentinė funkcija su baze .

Suformuluokime pagrindines eksponentinės funkcijos savybes.

Funkcijų grafikas (1 pav.)

Šios formulės vadinamos pagrindinės laipsnių savybės.

Taip pat galite pastebėti, kad funkcija yra ištisinė realiųjų skaičių aibėje.

§3. Logaritminė funkcija.

Apibrėžimas: Logaritmas skaičiai iki pagrindo vadinami eksponentu, iki kurio turi būti pakelta bazė. Norėdami gauti numerį.

Formulė (kur , ir ) vadinama pagrindinė logaritminė tapatybė.

Dirbant su logaritmais, naudojamos šios savybės, atsirandančios dėl eksponentinės funkcijos savybių:

Bet kuriam( )ir bet koks teigiamas ir lygybės yra patenkintos:

5. bet kokiam tikram .

Pagrindinės logaritmų savybės yra plačiai naudojamos konvertuojant išraiškas, kuriose yra logaritmų. Pavyzdžiui, dažnai naudojama perėjimo iš vienos logaritmo bazės į kitą formulė: .

Tegul yra teigiamas skaičius, nelygus 1.

Apibrėžimas: Funkcija, pateikta formule, vadinama logaritminė funkcija su baze.

Išvardinkime pagrindines logaritminės funkcijos savybes.

1. Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritis yra visų teigiamų skaičių aibė, t.y. .

2. Logaritminės funkcijos reikšmių diapazonas yra visų realiųjų skaičių aibė.

3. Logaritminė funkcija visoje apibrėžimo srityje didėja (prie ) arba mažėja (at ).

Funkcijų grafikas (2 pav.)

Eksponentinių ir logaritminių funkcijų grafikai, turintys tą patį pagrindą, yra simetriški tiesės atžvilgiu(3 pav.).

3 skyrius.

Identiškos transformacijos eksponentinės ir

logaritminės išraiškos praktikoje.

1 pratimas.

Apskaičiuoti:

Sprendimas:

Atsakymas:; ; ; ; .; , mes tai suprantame

Studijuodamas šią medžiagą svarsčiau mokinių įgūdžių ugdymo metodus. Ji taip pat pristatė matematikos programą, skirtą eksponentinių ir logaritminių funkcijų eigai studijuoti kurse „Algebra ir analizės pradžia“.

Darbe buvo pateiktos skirtingo sudėtingumo ir turinio užduotys, naudojant vienodas transformacijas. Šios užduotys gali būti naudojamos atliekant testus ar savarankiškus darbus, siekiant patikrinti mokinių žinias.

Kursinis darbas, mano nuomone, buvo atliktas pagal matematikos mokymo vidurinio ugdymo įstaigose metodiką ir gali būti naudojamas kaip vaizdinė priemonė mokyklų mokytojams, taip pat dieninių ir neakivaizdinių studijų studentams.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Algebra ir analizės pradžia. Red. Kolmogorova A.N. M.: Išsilavinimas, 1991 m.
2. Programa vidurinėms mokykloms, gimnazijoms, licėjams. Matematika 5-11 kl. M.: Bustardas, 2002 m.
3. I.F. Šaryginas, V.I. Golubevas. Pasirenkamas matematikos kursas (užduočių sprendimas). Uch. priedą už 11 klasę. M.: Išsilavinimas, 1991 m.
4. V.A. Oganesyan et al. Matematikos mokymo metodai vidurinėje mokykloje: bendrieji metodai; Vadovėlis Pedagoginių institutų Fizikos ir matematikos fakulteto studentams. -2-asis leidimas pataisytas ir išplėstas M.: Švietimas, 1980 m.
5. Čerkasovas R.S., Stoliaras A.A. Matematikos mokymo metodai vidurinėje mokykloje. M.: Išsilavinimas, 1985 m.
6. Žurnalas „Matematika mokykloje“.

Padniestrės valstybinis universitetas

juos. T.G. Ševčenka

Fizikos ir matematikos fakultetas

Matematinės analizės katedra

ir matematikos mokymo metodus

KURSINIS DARBAS

„Tapatybės transformacijos

eksponentinis ir logaritminis

išraiškos"

Darbai baigti:

_______ grupės mokinys

Fizikos ir matematikos fakultetas

_________________________

Patikrinau darbus:

_________________________

Tiraspolis, 2003 m

Įvadas………………………………………………………………………………2

1 skyrius. Tapatybės transformacijos ir mokymo metodai mokykliniame algebros kurse ir analizės pradžia………………………………………..4

§1. Konkrečių tipų transformacijų taikymo įgūdžių formavimas…………………………………………………………………………………………….4

§2. Žinių sistemos organizavimo ypatumai tiriant tapatybės transformacijas.………………………………………………..………….5

§3. Matematikos programa……………………………………………………….11

2 skyrius. Identiškos eksponentinių ir logaritminių reiškinių transformacijos ir skaičiavimai………………………………………………13

§1. Laipsnio sampratos apibendrinimas………………………………………..13

§2. Eksponentinė funkcija………………………………………………………..15

§3. Logaritminė funkcija…………………………………….16

3 skyrius. Identiškos eksponentinių ir logaritminių išraiškų transformacijos praktikoje................................................ ...................................................19

Išvada………………………………………………………………..24

Literatūros sąrašas…………………………………………………………….25
Įvadas

Šiame kursiniame darbe bus nagrinėjamos identiškos eksponentinių ir logaritminių funkcijų transformacijos, jų dėstymo mokykliniame algebros kurse metodika ir analizės pradžia.

Pirmajame šio darbo skyriuje aprašoma tapatybės transformacijų mokymo mokykliniame matematikos kurse metodika, taip pat įtraukta matematikos programa kurse „Algebra ir analizės pradžia“ su eksponentinių ir logaritminių funkcijų tyrimu.

Antrame skyriuje tiesiogiai nagrinėjamos pačios eksponentinės ir logaritminės funkcijos, pagrindinės jų savybės, naudojamos tapatybės transformacijose.

Trečiame skyriuje sprendžiami pavyzdžiai ir uždaviniai naudojant identiškas eksponentinių ir logaritminių funkcijų transformacijas.

Įvairių posakių ir formulių transformacijų studijavimas užima nemažą mokymo laiko dalį mokykliniame matematikos kurse. Paprasčiausios transformacijos, pagrįstos aritmetinių veiksmų savybėmis, atliekamos jau pradinėje mokykloje ir IV–V klasėse. Tačiau pagrindinė našta ugdant įgūdžius ir gebėjimus atlikti transformacijas tenka mokykliniam algebros kursui. Taip yra tiek dėl smarkiai išaugusio vykdomų transformacijų skaičiaus ir įvairovės, tiek dėl joms pagrįsti ir pritaikymo sąlygų aiškinimo veiklų sudėtingumo, dėl apibendrintų tapatumo, identiškos transformacijos sampratų nustatymo ir tyrimo, ekvivalentinė transformacija, loginė pasekmė.

Tapatybės transformacijų atlikimo kultūra vystosi taip pat, kaip ir skaičiavimų kultūra, pagrįsta tvirtomis žiniomis apie operacijų su objektais savybes (skaičius, vektorius, polinomus ir kt.) ir jų įgyvendinimo algoritmus. Ji pasireiškia ne tik gebėjimu teisingai pagrįsti transformacijas, bet ir gebėjimu rasti trumpiausią kelią pereiti nuo pirminės analitinės išraiškos prie labiausiai transformacijos tikslą atitinkančios išraiškos, gebėjimu stebėti pokyčius Analitinių išraiškų apibrėžimo sritis identiškų transformacijų grandinėje, transformacijų atlikimo greitis ir tikslumas.

Aukštos skaičiavimo kultūros ir tapatybės transformacijų užtikrinimas yra svarbi matematikos mokymo problema. Tačiau ši problema dar toli gražu nėra išspręsta patenkinamai. To įrodymas – valstybinių švietimo institucijų statistiniai duomenys, kasmet fiksuojantys įvairių klasių mokinių atliktų testų klaidas ir neracionalius skaičiavimų bei perskaičiavimų metodus. Tai patvirtina aukštųjų mokyklų atsiliepimai apie stojančiųjų matematinių žinių ir įgūdžių kokybę. Negalima nesutikti su valstybinių švietimo institucijų ir universitetų išvadomis, kad nepakankamai aukštas skaičiavimo kultūros lygis ir identiškos transformacijos vidurinėje mokykloje yra studentų žinių formalizmo, teorijos atskyrimo nuo praktikos pasekmė.

Identiškos transformacijos ir mokymo metodai

mokykliniame algebros kurse ir analizės pradžioje.

§1. Taikymo įgūdžių formavimas

specifinių tipų transformacijos.

Pradinės algebros stadijoje naudojama transformacijų atlikimo technikų ir taisyklių sistema turi labai platų pritaikymo spektrą: ji naudojama studijuojant visą matematikos kursą. Tačiau būtent dėl ​​mažo specifiškumo ši sistema reikalauja papildomų transformacijų, kurios atsižvelgtų į transformuojamų išraiškų struktūrines ypatybes bei naujai įvestų operacijų ir funkcijų savybes. Atitinkamų transformacijų tipų įsisavinimas prasideda sutrumpintų daugybos formulių įvedimu. Tada transformacijos, susijusios su eksponencijos operacija, nagrinėjamos su įvairiomis elementariųjų funkcijų klasėmis - eksponentinė, galia, logaritminė, trigonometrinė. Kiekvienas iš šių transformacijų tipų pereina mokymosi etapą, kurio metu dėmesys sutelkiamas į jiems būdingų bruožų įsisavinimą.

Kaupiantis medžiagai, atsiranda galimybė išryškinti visų nagrinėjamų transformacijų bendrus bruožus ir tuo remiantis įvesti identiškų ir lygiaverčių transformacijų sąvokas.

Pažymėtina, kad tapatybės transformacijos samprata mokykliniame algebros kurse pateikiama ne visiškai bendrai, o tik taikant išraiškoms. Transformacijos skirstomos į dvi klases: identiškos transformacijos yra reiškinių transformacijos, o ekvivalentinės – formulių transformacijos. Tuo atveju, kai reikia supaprastinti vieną formulės dalį, šioje formulėje paryškinama išraiška, kuri yra argumentas taikomai tapatybės transformacijai. Atitinkamas predikatas laikomas nepakitusiu.

Kalbant apie vientisos transformacijų sistemos (sintezės) organizavimą, pagrindinis jos tikslas yra suformuoti lanksčią ir galingą; aparatai, tinkami naudoti sprendžiant įvairias edukacines užduotis.

Algebros eigoje ir analizės pradžioje palaipsniui tobulėja holistinė transformacijų sistema, jau susiformavusi savo pagrindiniais bruožais. Prie jo pridedami ir kai kurie nauji transformacijų tipai, tačiau jie jį tik praturtina, išplečia galimybes, bet nekeičia struktūros. Šių naujų transformacijų tyrimo metodika praktiškai nesiskiria nuo naudojamos algebros kurse.

§2. Užduočių sistemos organizavimo ypatumai

tiriant tapatybės transformacijas.

Pagrindinis bet kokios užduočių sistemos organizavimo principas yra pateikti jas nuo paprastų iki sudėtingų, atsižvelgiant į mokinių poreikį įveikti įmanomus sunkumus ir sukurti problemines situacijas. Šis pagrindinis principas reikalauja patikslinimo, atsižvelgiant į šios mokomosios medžiagos ypatybes. Įvairioms matematikos metodų užduočių sistemoms apibūdinti naudojama pratimų ciklo sąvoka. Pratimų ciklui būdingas kelių mokymosi aspektų ir medžiagos išdėstymo metodų derinimas pratimų sekoje. Kalbant apie tapatybės transformacijas, ciklo idėją galima pateikti taip.

Pratimų ciklas siejamas su vienos tapatybės tyrinėjimu, aplink kurią grupuojamos kitos su ja natūraliai susijusios tapatybės. Ciklas, kartu su vykdomosiomis, apima užduotis, reikalaujančias pripažinti nagrinėjamos tapatybės pritaikomumą. Tiriama tapatybė naudojama įvairių skaitinių sričių skaičiavimams atlikti. Atsižvelgiama į tapatybės specifiką; ypač sutvarkytos su juo susijusios kalbos figūros.

Kiekvieno ciklo užduotys suskirstytos į dvi grupes. Pirmoji apima užduotis, atliekamas pirminio pažinties su tapatybe metu. Jie naudojami kaip mokomoji medžiaga kelioms iš eilės pamokoms, kurias jungia viena tema. Antroji pratimų grupė tiriamą tapatybę sieja su įvairiomis programomis. Ši grupė nesudaro kompozicinės vienybės – pratimai čia yra išsibarstę įvairiomis temomis.

Apibūdinta ciklo struktūra reiškia įgūdžių, susijusių su specifinių transformacijų tipų, ugdymo etapą. Paskutiniame etape, sintezės etape, ciklai modifikuojami. Pirma, abi užduočių grupės sujungiamos į „išplėstą“ ciklą, o pačios paprasčiausios pagal formuluotę ar užduoties atlikimo sudėtingumą neįtraukiamos į pirmąją grupę. Likusios užduočių rūšys tampa sudėtingesnės. Antra, vyksta ciklų, susijusių su skirtingomis tapatybėmis, susiliejimas, dėl kurio didėja veiksmų vaidmuo atpažinti tam tikros tapatybės pritaikomumą.

Atkreipkime dėmesį į užduočių ciklų ypatybes, susijusias su elementariųjų funkcijų tapatybėmis. Šios ypatybės atsiranda dėl to, kad, pirma, atitinkamos tapatybės tiriamos kartu su funkcinės medžiagos tyrimu ir, antra, jos atsiranda vėliau nei pirmosios grupės tapatybės ir tiriamos naudojant jau suformuotus tapatybės transformacijų atlikimo įgūdžius. .

Kiekviena naujai įdiegta elementari funkcija smarkiai išplečia skaičių, kuriuos galima priskirti ir pavadinti atskirai, diapazoną. Todėl į pirmąją ciklo užduočių grupę turėtų būti įtrauktos užduotys, skirtos ryšiams tarp šių naujų skaitinių sričių ir pradinio racionaliųjų skaičių srities nustatyti. Pateikime tokių užduočių pavyzdžių.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite:

Šalia kiekvienos išraiškos nurodoma tapatybė, ciklais, kuriems gali būti siūlomos užduotys. Tokių užduočių tikslas – įsisavinti įrašų ypatybes, įskaitant naujų operacijų ir funkcijų simbolius, lavinti matematinius kalbos įgūdžius.

Nemaža dalis tapatybės transformacijų, susijusių su elementariomis funkcijomis, panaudojimo tenka iracionaliųjų ir transcendentinių lygčių sprendimui. Su tapatybių įsisavinimu susiję ciklai apima tik paprasčiausias lygtis, tačiau čia patartina atlikti tokių lygčių sprendimo metodo įsisavinimo darbus: jį sumažinti, pakeičiant nežinomąjį algebrine lygtimi.

Šio sprendimo veiksmų seka yra tokia:

a) rasti funkciją, kuriai ši lygtis gali būti pavaizduota forma;

b) atlikti keitimą ir išspręsti lygtį;

c) išspręskite kiekvieną lygtį , kur yra lygties šaknų aibė.

Naudojant aprašytą metodą, b) veiksmas dažnai atliekamas netiesiogiai, neįvedant žymėjimo . Be to, studentai dažnai renkasi iš įvairių būdų, vedančių į atsakymą, pasirinkti tą, kuris greičiau ir lengviau atveda prie algebrinės lygties.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

Pirmas būdas:

Antras būdas:

A)

b)

Čia matote, kad naudojant pirmąjį metodą a) žingsnis yra sunkesnis nei naudojant antrąjį. Pirmasis metodas yra „sunkesnis pradėti“, nors tolesnė sprendimo eiga yra daug paprastesnė. Kita vertus, antrojo metodo privalumai yra lengvesni ir tiksliau mokantis redukuoti iki algebrinės lygties.

Mokykliniam algebros kursui būdingos užduotys, kuriose perėjimas prie algebrinės lygties yra dar paprastesnis nei šiame pavyzdyje. Pagrindinė tokių užduočių apkrova yra susijusi su c) žingsnio, kaip savarankiškos sprendimo proceso dalies, susijusios su tiriamos elementarios funkcijos savybių naudojimu, identifikavimu.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį:

A) ; b) .

Šios lygtys redukuojamos į lygtis: a) arba ; b) arba . Norint išspręsti šias lygtis, reikia žinoti tik pačius paprasčiausius faktus apie eksponentinę funkciją: jos monotoniškumą, reikšmių diapazoną. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, lygtys a) ir b) gali būti klasifikuojamos kaip pirmoji kvadratinių eksponentinių lygčių sprendimo pratimų grupė.

Taigi, mes priėjome prie užduočių, susijusių su transcendentinių lygčių, turinčių eksponentinę funkciją, sprendimu:

1) lygtys, kurios redukuojasi į formos lygtis ir turi paprastą, bendrą atsakymą: ;

2) lygtys, kurios redukuoja į lygtis , kur yra sveikasis skaičius arba , kur ;

3) lygtys, kurios redukuoja į lygtis ir reikalauja aiškios skaičiaus užrašymo formos analizės.

Panašiai galima klasifikuoti ir kitų elementarių funkcijų užduotis.

Juose įrodoma ar bent paaiškinama nemaža dalis algebroje ir algebroje tiriamų tapatybių bei analizės kursų principų. Šis identitetų tyrimo aspektas turi didelę reikšmę abiem kursams, nes įrodomieji samprotavimai juose yra atliekami su didžiausiu aiškumu ir griežtumu būtent tapatybių atžvilgiu. Be šios medžiagos, įrodymai paprastai yra mažiau išsamūs, jie ne visada skiriasi nuo naudojamo pagrindimo.

Aritmetinių operacijų savybės naudojamos kaip atrama, ant kurios statomi tapatybių įrodymai.

Skaičiavimų ir identiškų transformacijų ugdomasis poveikis gali būti nukreiptas į loginio mąstymo ugdymą, jei tik sistemingai iš mokinių reikalaujama pagrįsti skaičiavimus ir identiškas transformacijas, bei į funkcinio mąstymo ugdymą, kuris pasiekiamas įvairiais būdais. Skaičiavimų ir identiškų transformacijų svarba ugdant valią, atmintį, intelektą, savikontrolę, kūrybinę iniciatyvą yra gana akivaizdi.

Kasdienės ir pramoninės skaičiavimo praktikos poreikiai reikalauja, kad studentai išsiugdytų stiprius, automatizuotus racionalių skaičiavimų ir tapatybės transformacijų įgūdžius. Šie įgūdžiai lavinami atliekant bet kokį skaičiavimo darbą, tačiau būtini specialūs greitų skaičiavimų ir transformacijų pratimai.

Taigi, jei pamokoje sprendžiamos logaritminės lygtys naudojant pagrindinę logaritminę tapatybę, tada į pamokos planą naudinga įtraukti žodinius pratimus, kaip supaprastinti arba apskaičiuoti posakių reikšmes: , , . Mokiniams visada pranešama apie pratybų tikslą. Atliekant pratimą, gali tekti reikalauti, kad mokiniai pagrįstų atskirus pokyčius, veiksmus ar visos problemos sprendimą, net jei tai nebuvo planuota. Kai galimi įvairūs problemos sprendimo būdai, patartina visada užduoti klausimus: „Kaip buvo išspręsta problema?“, „Kas išsprendė problemą kitaip?

Tapatybės ir tapatybės transformacijos sąvokos yra aiškiai įvestos VI klasės algebros kurse. Pats identiškų posakių apibrėžimas negali būti praktiškai naudojamas dviejų posakių tapatumui įrodyti ir suprasti, kad identiškų transformacijų esmė yra pritaikyti išraiškai tų veiksmų, kurie nurodyti reiškinyje, apibrėžimus ir savybes arba papildyti. tai išraiška, kuri identiškai lygi 0, arba padauginus ją iš išraiškos, identiškai lygi vienetui. Tačiau net ir įsisavinę šias nuostatas, studentai dažnai nesupranta, kodėl šios transformacijos leidžia teigti, kad pradinė ir gauta išraiška yra tapačios, t.y. paimkite tas pačias reikšmes bet kurioms kintamųjų verčių sistemoms (rinkiniams).

Taip pat svarbu užtikrinti, kad studentai aiškiai suprastų, jog tokios identiškų transformacijų išvados yra atitinkamų veiksmų apibrėžimų ir savybių pasekmės.

Ankstesniais metais sukauptas tapatybės transformacijų aparatas plečiamas VI klasėje. Šis plėtinys pradedamas įvedus tapatybę, išreiškiančią galių sandaugą su tomis pačiomis bazėmis: , kur , yra sveikieji skaičiai.

§3. Matematikos programa. Mokykliniame kurse „Algebra ir analizės pradžia“ studentai sistemingai mokosi eksponentinių ir logaritminių funkcijų bei jų savybių, logaritminių ir eksponentinių reiškinių identiškų transformacijų ir jų pritaikymo sprendžiant atitinkamas lygtis ir nelygybes, susipažįsta su pagrindinėmis sąvokomis ir teiginiais. . 11 klasėje algebros pamokos trunka 3 valandas per savaitę, iš viso 102 valandas per metus. Programa trunka 36 valandas, kad ištirtų eksponentinę, logaritminę ir galios funkcijas. Programa apima šių klausimų svarstymą ir tyrimą: Laipsnio samprata su racionaliu rodikliu. Iracionaliųjų lygčių sprendimas. Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikas. Identiškos eksponentinių išraiškų transformacijos. Eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimas. Skaičiaus logaritmas. Pagrindinės logaritmų savybės. Logaritminė funkcija, jos savybės ir grafikas. Logaritminių lygčių ir nelygybių sprendimas. Eksponentinės funkcijos išvestinė. Skaičius ir natūralusis logaritmas. Galios funkcijos išvestinė. Pagrindinis eksponentinių ir logaritminių funkcijų skyriaus tikslas – supažindinti studentus su eksponentinės, logaritminės ir laipsnio funkcijomis; mokyti mokinius spręsti eksponentines ir logaritmines lygtis bei nelygybes. Šaknies ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu sąvokos yra kvadratinės šaknies ir laipsnio su sveikuoju skaičiumi sąvokų apibendrinimas. Studentai turėtų atkreipti dėmesį į tai, kad čia nagrinėjamų šaknų ir laipsnių su racionaliais rodikliais savybės yra panašios į tas savybes, kurias turi anksčiau tirtos kvadratinės šaknys ir laipsniai su sveikaisiais rodikliais. Būtina pakankamai laiko skirti laipsnių savybių praktikavimui ir tapatybės transformacijų įgūdžių ugdymui. Laipsnio su neracionaliu rodikliu sąvoka pristatoma vizualiai ir intuityviai. Ši medžiaga atlieka pagalbinį vaidmenį ir naudojama įvedant eksponentinę funkciją. Eksponentinių, logaritminių ir laipsnių funkcijų savybių tyrimas konstruojamas pagal priimtą bendrąją funkcijų tyrimo schemą. Šiuo atveju, atsižvelgiant į parametrų reikšmes, pateikiama savybių apžvalga. Remiantis ištirtomis funkcijų savybėmis, sprendžiamos eksponentinės ir logaritminės nelygybės. Būdingas kurso bruožas – studentų žinių sisteminimas ir apibendrinimas, algebros kurse įgytų įgūdžių įtvirtinimas ir tobulinimas, kuris atliekamas tiek studijuojant naują medžiagą, tiek atliekant apibendrintą kartojimą.
2 skyrius. Eksponentinių ir logaritminių reiškinių identiškos transformacijos ir skaičiavimai

§1. Laipsnio sampratos apibendrinimas.

Apibrėžimas: Grynojo skaičiaus šaknis yra skaičius, kurio galia yra lygi .

Pagal šį apibrėžimą skaičiaus šaknis yra lygties sprendimas. Šios lygties šaknų skaičius priklauso nuo ir. Panagrinėkime funkciją. Kaip žinoma, intervale ši funkcija padidėja bet kuriai reikšmei ir paima visas reikšmes iš intervalo. Pagal šaknies teoremą, bet kurios lygtis turi neneigiamą šaknį ir, be to, tik vieną. Jis vadinamas skaičiaus th laipsnio aritmetine šaknimi ir žymimas ; skaičius vadinamas radikaliuoju rodikliu, o pats skaičius – radikaliąja išraiška. Ženklas taip pat vadinamas radikalu.

Apibrėžimas: skaičiaus th galios aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio oji galia yra lygi .

Lyginiams skaičiams funkcija yra lyginė. Iš to išplaukia, kad jei , tai lygtis, be šaknies, taip pat turi šaknį. Jei , tada yra viena šaknis: ; jei , tai ši lygtis neturi šaknų, nes bet kurio skaičiaus net galia yra neneigiama.

Nelyginėms reikšmėms funkcija didėja visoje skaičių eilutėje; jo diapazonas yra visų realiųjų skaičių aibė. Taikydami šaknies teoremą, mes nustatome, kad lygtis turi vieną šaknį bet kuriai ir ypač . Ši bet kurios reikšmės šaknis žymima .

Nelyginio laipsnio šaknims galioja lygybė. Tiesą sakant, , t.y. skaičius yra šaknis iš . Tačiau tokia nelyginio šaknis yra vienintelė. Vadinasi,.

1 pastaba: bet kokiam tikram

Prisiminkime žinomas laipsnio aritmetinių šaknų savybes.

Bet kuriam natūraliam skaičiui galioja sveikieji ir bet kokie neneigiami sveikieji skaičiai ir lygybės:

1.

2.

3.

4.

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu.

Išraiška apibrėžta visiems, išskyrus atvejį . Prisiminkime tokių galių savybes.

Bet kokiems skaičiams ir bet kokiems sveikiesiems skaičiams galioja lygybės:

Taip pat pažymime, kad jei , tada už ir už .. ir

Mokiniams, laikantiems vieningą valstybinį egzaminą, Jakutsko 26-osios vidurinės mokyklos matematikos mokytojai naudoja mokyklinio matematikos kurso turinio klausimų sąrašą (kodifikatorių), kurio meistriškumas tikrinamas laikant 2007 m. vieningą valstybinį egzaminą. Pasiruošimo vieningajam valstybiniam egzaminui pasirenkamasis kursas grindžiamas anksčiau įgytų žinių kartojimu, sisteminimu ir gilinimu. Užsiėmimai vyksta nemokamai...

1 pavyzdys . Apskaičiuoti:

Šalia kiekvienos išraiškos nurodoma tapatybė, ciklais, kuriems gali būti siūlomos užduotys. Tokių užduočių tikslas – įsisavinti įrašų ypatybes, įskaitant naujų operacijų ir funkcijų simbolius, lavinti matematinius kalbos įgūdžius.

Nemaža dalis tapatybės transformacijų, susijusių su elementariomis funkcijomis, panaudojimo tenka iracionaliųjų ir transcendentinių lygčių sprendimui. Su tapatybių įsisavinimu susiję ciklai apima tik paprasčiausias lygtis, tačiau čia patartina atlikti tokių lygčių sprendimo metodo įsisavinimo darbus: jį sumažinti, pakeičiant nežinomąjį algebrine lygtimi.

Šio sprendimo veiksmų seka yra tokia:

a) Raskite funkciją

, kuriai ši lygtis gali būti pavaizduota kaip ;

b) atlikti pakeitimą

ir išspręskite lygtį ;

c) išspręskite kiekvieną lygtį

, kur yra lygties šaknų aibė .

Naudojant aprašytą metodą, b) žingsnis dažnai atliekamas netiesiogiai, neįvedant žymėjimo

. Be to, studentai dažnai renkasi iš įvairių būdų, vedančių į atsakymą, pasirinkti tą, kuris greičiau ir lengviau atveda prie algebrinės lygties.

2 pavyzdys . Išspręskite lygtį

.

Pirmas būdas:

Antras būdas:

Čia matote, kad naudojant pirmąjį metodą a) žingsnis yra sunkesnis nei naudojant antrąjį. Pirmasis metodas yra „sunkesnis pradėti“, nors tolesnė sprendimo eiga yra daug paprastesnė. Kita vertus, antrojo metodo privalumai yra lengvesni ir tiksliau mokantis redukuoti iki algebrinės lygties.

Mokykliniam algebros kursui būdingos užduotys, kuriose perėjimas prie algebrinės lygties yra dar paprastesnis nei šiame pavyzdyje. Pagrindinė tokių užduočių apkrova yra susijusi su c) žingsnio, kaip savarankiškos sprendimo proceso dalies, susijusios su tiriamos elementarios funkcijos savybių naudojimu, identifikavimu.

3 pavyzdys . Išspręskite lygtį:

; b) .

Šios lygtys redukuojamos į lygtis: a)

arba ; b) arba . Norint išspręsti šias lygtis, reikia žinoti tik pačius paprasčiausius faktus apie eksponentinę funkciją: jos monotoniškumą, reikšmių diapazoną. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, lygtys a) ir b) gali būti klasifikuojamos kaip pirmoji kvadratinių eksponentinių lygčių sprendimo pratimų grupė.

Taigi, mes priėjome prie užduočių, susijusių su transcendentinių lygčių, turinčių eksponentinę funkciją, sprendimu:

1) lygtys, kurios redukuojasi į formos lygtis

ir turint paprastą, bendrą atsakymą: ;

2) lygtys, kurios redukuoja į lygtis

, Kur yra sveikasis skaičius arba , Kur ;

3) lygtys, kurios redukuoja į lygtis

ir reikalaujama aiškios formos, kuria skaičius parašytas, analizės .

Panašiai galima klasifikuoti ir kitų elementarių funkcijų užduotis.

Juose įrodoma ar bent paaiškinama nemaža dalis algebroje ir algebroje tiriamų tapatybių bei analizės kursų principų. Šis identitetų tyrimo aspektas turi didelę reikšmę abiem kursams, nes įrodomieji samprotavimai juose yra atliekami su didžiausiu aiškumu ir griežtumu būtent tapatybių atžvilgiu. Be šios medžiagos, įrodymai paprastai yra mažiau išsamūs, jie ne visada skiriasi nuo naudojamo pagrindimo.

Aritmetinių operacijų savybės naudojamos kaip atrama, ant kurios statomi tapatybių įrodymai.

Skaičiavimų ir identiškų transformacijų ugdomasis poveikis gali būti nukreiptas į loginio mąstymo ugdymą, jei tik sistemingai iš mokinių reikalaujama pagrįsti skaičiavimus ir identiškas transformacijas, bei į funkcinio mąstymo ugdymą, kuris pasiekiamas įvairiais būdais. Skaičiavimų ir identiškų transformacijų svarba ugdant valią, atmintį, intelektą, savikontrolę, kūrybinę iniciatyvą yra gana akivaizdi.

Kasdienės ir pramoninės skaičiavimo praktikos poreikiai reikalauja, kad studentai išsiugdytų stiprius, automatizuotus racionalių skaičiavimų ir tapatybės transformacijų įgūdžius. Šie įgūdžiai lavinami atliekant bet kokį skaičiavimo darbą, tačiau būtini specialūs greitų skaičiavimų ir transformacijų pratimai.

Taigi, jei pamoka apima logaritminių lygčių sprendimą naudojant pagrindinę logaritminę tapatybę

, tada naudinga į pamokos planą įtraukti žodinius posakių reikšmių supaprastinimo ar skaičiavimo pratimus: , , . Mokiniams visada pranešama apie pratybų tikslą. Atliekant pratimą, gali tekti reikalauti, kad mokiniai pagrįstų atskirus pokyčius, veiksmus ar visos problemos sprendimą, net jei tai nebuvo planuota. Kai galimi įvairūs problemos sprendimo būdai, patartina visada užduoti klausimus: „Kaip buvo išspręsta problema?“, „Kas išsprendė problemą kitaip?

Tapatybės ir tapatybės transformacijos sąvokos yra aiškiai įvestos VI klasės algebros kurse. Pats identiškų posakių apibrėžimas negali būti praktiškai naudojamas dviejų posakių tapatumui įrodyti ir suprasti, kad identiškų transformacijų esmė yra pritaikyti išraiškai tų veiksmų, kurie nurodyti reiškinyje, apibrėžimus ir savybes arba papildyti. tai išraiška, kuri identiškai lygi 0, arba padauginus ją iš išraiškos, identiškai lygi vienetui. Tačiau net ir įsisavinę šias nuostatas, studentai dažnai nesupranta, kodėl šios transformacijos leidžia teigti, kad pradinė ir gauta išraiška yra tapačios, t.y. paimkite tas pačias reikšmes bet kurioms kintamųjų verčių sistemoms (rinkiniams).

Taip pat svarbu užtikrinti, kad studentai aiškiai suprastų, jog tokios identiškų transformacijų išvados yra atitinkamų veiksmų apibrėžimų ir savybių pasekmės.

Ankstesniais metais sukauptas tapatybės transformacijų aparatas plečiamas VI klasėje. Šis išplėtimas prasideda įvedant tapatybę, išreiškiančią galių sandaugą su tais pačiais pagrindais:

Laipsnio su racionaliuoju rodikliu samprata. Iracionaliųjų lygčių sprendimas. Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikas. Identiškos eksponentinių išraiškų transformacijos. Eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimas. Skaičiaus logaritmas. Pagrindinės logaritmų savybės. Logaritminė funkcija, jos savybės ir grafikas. Logaritminių lygčių ir nelygybių sprendimas. Eksponentinės funkcijos išvestinė. Skaičius ir natūralusis logaritmas. Galios funkcijos išvestinė.

Pagrindinis eksponentinių ir logaritminių funkcijų skyriaus tikslas – supažindinti studentus su eksponentinės, logaritminės ir laipsnio funkcijomis; mokyti mokinius spręsti eksponentines ir logaritmines lygtis bei nelygybes.

Šaknies ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu sąvokos yra kvadratinės šaknies ir laipsnio su sveikuoju skaičiumi sąvokų apibendrinimas. Studentai turėtų atkreipti dėmesį į tai, kad čia nagrinėjamų šaknų ir laipsnių su racionaliais rodikliais savybės yra panašios į tas savybes, kurias turi anksčiau tirtos kvadratinės šaknys ir laipsniai su sveikaisiais rodikliais. Būtina pakankamai laiko skirti laipsnių savybių praktikavimui ir tapatybės transformacijų įgūdžių ugdymui. Laipsnio su neracionaliu rodikliu sąvoka pristatoma vizualiai ir intuityviai. Ši medžiaga atlieka pagalbinį vaidmenį ir naudojama įvedant eksponentinę funkciją.

Eksponentinių, logaritminių ir laipsnių funkcijų savybių tyrimas konstruojamas pagal priimtą bendrąją funkcijų tyrimo schemą. Šiuo atveju, atsižvelgiant į parametrų reikšmes, pateikiama savybių apžvalga. Remiantis ištirtomis funkcijų savybėmis, sprendžiamos eksponentinės ir logaritminės nelygybės.

Būdingas kurso bruožas – studentų žinių sisteminimas ir apibendrinimas, algebros kurse įgytų įgūdžių įtvirtinimas ir tobulinimas, kuris atliekamas tiek studijuojant naują medžiagą, tiek atliekant apibendrintą kartojimą.