Persamaan kanonik vektor normal lurus. Vektor bidang normal, koordinat vektor bidang normal. Sudut antara dua garis lurus

Khas vektor pesawat(atau biasa pesawat) disebut vektor yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu pesawat. Salah satu cara untuk mendefinisikan suatu bidang adalah dengan menunjukkan koordinat normalnya dan suatu titik di atasnya pesawat. Jika bidang diberikan oleh persamaan Ax+By+Cz+D=0, maka vektor tipikalnya adalah koordinat (A;B;C). Dalam kasus lain, Anda harus bekerja keras untuk menghitung vektor tipikal.

instruksi

1. Misalkan bidang tersebut didefinisikan oleh tiga titik miliknya K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Untuk mencari vektor tipikal, mari kita buat persamaannya pesawat. Tentukan titik sembarang yang terletak di atasnya pesawat, huruf L, misalkan koordinatnya (x;y;z). Sekarang lihatlah tiga vektor PK, PM dan PL, mereka terletak pada satu pesawat(coplanar), oleh karena itu hasil kali campurannya sama dengan nol.

2. Tentukan koordinat vektor PK, PM dan PL:PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y -yp; z-zp) Hasil kali campuran vektor-vektor ini akan sama dengan determinan yang ditunjukkan pada gambar. Penentu ini harus dihitung untuk menemukan persamaannya pesawat. Untuk perhitungan produk campuran untuk kasus tertentu, lihat contoh.

3. Contoh Misalkan bidang didefinisikan oleh tiga titik K(2;1;-2), M(0;0;-1) dan P(1;8;1). Diperlukan untuk mendeteksi vektor tipikal pesawat.Ambil titik sembarang L dengan koordinat (x;y;z). Hitung vektor PK, PM dan PL:PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)PM = (0-1;0-8;-1-1 ) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1)Buatlah determinan hasil kali campuran vektor-vektor (terdapat pada gambar).

4. Sekarang perluas determinan sepanjang garis pertama, dan setelah itu hitung nilai determinan berukuran 2 dengan 2. Demikian persamaannya pesawat-10x + 5y – 15z – 15 = 0 atau sama saja -2x + y – 3z – 3 = 0. Dari situ mudah untuk menentukan vektor normal ke pesawat: n = (-2;1;-3).

Sebelum menjawab pertanyaan yang diajukan, perlu ditentukan apa sebenarnya yang normal yang dicari. DI DALAM pada kasus ini, kira-kira, masalahnya mempertimbangkan permukaan tertentu.

instruksi

1. Saat mulai menyelesaikan soal, perlu diingat bahwa garis normal permukaan didefinisikan sebagai garis normal bidang singgung. Berdasarkan hal ini, metodologi solusi akan dipilih.

2. Grafik fungsi 2 variabel z=f(x, y)=z(x, y) adalah suatu permukaan dalam ruang. Oleh karena itu, hal ini ditanyakan lebih sering daripada orang lain. Pertama-tama, Anda perlu mencari bidang singgung permukaan di suatu titik M0(x0, y0, z0), di mana z0=z(x0, y0).

3. Untuk melakukan ini, kita harus ingat bahwa makna geometris turunan suatu fungsi dari satu argumen adalah indikator sudut garis singgung grafik fungsi tersebut pada titik di mana y0=f(x0). Turunan parsial fungsi dari 2 argumen ditemukan dengan menetapkan argumen “tidak perlu” dengan benar dengan cara yang sama seperti turunan fungsi biasa. Artinya, arti geometri turunan parsial terhadap x dari fungsi z=z(x, y) di titik (x0,y0) adalah eksponen sudutnya sama dengan garis singgung miring yang dibentuk oleh perpotongan tersebut. permukaan dan bidang y=y0 (lihat Gambar 1).

4. Data yang ditunjukkan pada Gambar. 1, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan garis singgung permukaan z=z(x, y) yang memuat titik M0(xo, y0, z0) pada bagian di y=y0: m(x-x0)=(z -z0), kamu = kamu0. Dalam bentuk kanonik dimungkinkan untuk menulis: (x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Jadi panduannya vektor garis singgung ini s1(1/m, 0, 1).

5. Sekarang, jika eksponen sudut singgung untuk turunan parsial terhadap y dilambangkan dengan n, maka idealnya terlihat bahwa, mirip dengan ekspresi sebelumnya, hal ini akan menghasilkan (y-y0)/(1/n)=( z-z0), x=x0 dan s2( 0, 1/n, 1).

6. Kemudian pergerakan penyelesaian berupa pencarian persamaan bidang singgung dapat dihentikan dan dengan mudah dapat berpindah ke n normal yang diinginkan. Itu diperbolehkan untuk diterima sebagai vektor produk n=. Setelah dihitung, akan ditentukan bahwa pada suatu titik tertentu di permukaan (x0, y0, z0). n=(-1/n, -1/m, 1/mn).

7. Karena semua orang proporsional vektor juga akan tetap ada vektor Jika normal, akan lebih mudah bagi masing-masing untuk menyajikan hasilnya dalam bentuk n=(-n, -m, 1) dan terakhir n(dz/dx, dz/dx, -1).

Video tentang topik tersebut

Catatan!
Permukaan terbuka mempunyai dua sisi. Dalam hal ini, hasil diberikan untuk sisi “atas”, di mana garis normal membentuk sudut lancip dengan sumbu 0Z.

Untuk vektor Ada dua representasi karya tersebut. Salah satunya adalah skalar bekerja, yang lainnya adalah vektor. Masing-masing representasi ini memiliki makna matematis dan fisiknya sendiri dan dihitung dengan cara yang sangat berbeda.

instruksi

1. Mari kita lihat dua vektor dalam ruang tiga dimensi. Vektor a dengan koordinat (xa; ya; za) dan vektor b dengan koordinat (xb; yb; zb). Skalar bekerja vektor a dan b dilambangkan dengan (a,b). Dihitung dengan rumus: (a,b) = |a|*|b|*cosα, dimana α adalah sudut antara dua vektor, sehingga dapat dihitung skalarnya bekerja dalam koordinat: (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb. Ada juga representasi skalar kuadrat dari suatu vektor, inilah skalar bekerja vektor ke dirinya sendiri: (a,a) = |a|² atau pada koordinat (a,a) = xa² + ya² + za². bekerja vektor adalah angka yang mencirikan lokasi vektor mengenai satu sama lain. Ini sering digunakan untuk menghitung sudut antar vektor.

2. Vektor bekerja vektor dilambangkan dengan . Dari hasil perkalian vektor diperoleh suatu vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor faktor tersebut, dan panjang vektor tersebut sama dengan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor-vektor faktor tersebut. Selain itu, tiga vektor a, b membentuk apa yang disebut rangkap tiga siku-siku vektor.Panjang vektor = |a|*|b|*sinα, dimana α adalah sudut antara vektor a dan b.

Video tentang topik tersebut

Dalam aljabar linier dan geometri, representasi vektor ditentukan secara berbeda. Dalam aljabar vektor om adalah elemennya vektor tidak ada ruang. Dalam geometri vektor om adalah pasangan titik terurut dalam ruang Euclidean - segmen berarah. Di atas vektor Kami telah mendefinisikan operasi linier - penjumlahan vektor ov dan perkalian vektor tapi untuk jumlah tertentu.

instruksi

1. Aturan segitiga Jumlah 2 vektor ov a dan o dipanggil vektor, yang kata pengantarnya bertepatan dengan awal vektor dan a, dan akhir terletak di akhir vektor dan o, dengan kata pengantar vektor dan o bertepatan dengan akhir vektor dan sebuah. Konstruksi jumlah ini ditunjukkan pada gambar.

2. Aturan jajar genjang vektor s a dan o memiliki kata pengantar universal. Ayo selesaikan ini vektor s ke jajaran genjang. Lalu jumlahnya vektor ov a dan o berimpit dengan diagonal jajar genjang mulai dari awal vektor ov a dan o.

3. Jumlahnya semakin besar vektor s dapat dideteksi dengan menerapkan aturan segitiga secara bertahap. Gambar tersebut menunjukkan jumlah empat vektor ov.

4. Pekerjaan vektor dan a untuk nomor? disebut bilangan?a sehingga |?a| = |?| * |sebuah|. Diperoleh dengan mengalikan dengan suatu angka vektor sejajar dengan yang awal vektor y atau terletak pada garis lurus yang sama dengannya. Jika?>0, maka vektor s a dan ?a searah jika?<0, то vektor s a dan ?a diarahkan ke arah yang berbeda.

Video tentang topik tersebut

Suatu vektor, sebagai suatu ruas berarah, tidak hanya bergantung pada nilai mutlak (modulus), yang sama dengan panjangnya. Susunan utama lainnya adalah arah vektor. Hal ini dapat ditentukan baik dengan koordinat maupun sudut antara vektor dan sumbu koordinat. Vektor juga dihitung dengan mencari jumlah dan selisih vektor.

Anda akan perlu

• – definisi vektor;
• – sifat-sifat vektor;
• - Kalkulator;
• – Bradis atau meja PC.

instruksi

1. Anda dapat menghitung vektor dengan mengetahui koordinatnya. Untuk melakukannya, tentukan koordinat awal dan akhir vektor. Misalkan keduanya sama (x1;y1) dan (x2;y2). Untuk menghitung vektor, carilah koordinatnya. Untuk melakukan ini, kurangi koordinat awalnya dari koordinat akhir vektor. Keduanya akan sama (x2- x1;y2-y1). Ambil x= x2- x1; y= y2-y1, maka koordinat vektornya sama dengan (x;y).

2. Tentukan panjang vektor tersebut. Hal ini dapat dilakukan dengan mudah dengan mengukurnya menggunakan penggaris. Tetapi jika koordinat vektornya diketahui, hitunglah panjangnya. Untuk melakukan ini, temukan jumlah kuadrat koordinat vektor dan ambil akar kuadrat dari bilangan yang dihasilkan. Maka panjang vektornya akan sama dengan d=?(x?+y?).

3. Setelah ini, cari tahu arah vektornya. Untuk melakukan ini, tentukan sudutnya? antara itu dan sumbu OX. Garis singgung sudut ini sama dengan perbandingan koordinat y vektor terhadap koordinat x (tg ?= y/x). Untuk mencari sudut, gunakan fungsi arctangent, tabel Bradis atau PC di kalkulator. Mengetahui panjang vektor dan arahnya relatif terhadap sumbu, kita dapat menentukan lokasi vektor apa pun dalam ruang.

4. Contoh: koordinat awal vektor adalah (-3;5), dan koordinat akhir adalah (1;7). Tentukan koordinat vektor (1-(-3);7-5)=(4;2). Maka panjangnya adalah d=?(4?+2?)=?20?4.47 satuan linier. Garis singgung sudut antara vektor dan sumbu OX adalah tg?=2/4=0,5. Arctangen sudut ini dibulatkan menjadi 26,6?.

5. Carilah suatu vektor yang merupakan penjumlahan dari 2 vektor yang diketahui koordinatnya. Untuk melakukan ini, tambahkan koordinat yang sesuai dari vektor yang ditambahkan. Jika koordinat vektor-vektor yang dijumlahkan masing-masing sama dengan (x1;y1) dan (x2;y2), maka jumlahnya akan sama dengan vektor yang berkoordinat ((x1+x2;y1+y2)). Jika Anda ingin mencari selisih antara 2 vektor, carilah jumlahnya dengan mengalikan terlebih dahulu koordinat vektor tersebut, yang dikurangi -1.

6. Jika Anda mengetahui panjang vektor d1 dan d2, serta sudut di antara keduanya?, carilah jumlah keduanya menggunakan teorema kosinus. Untuk melakukannya, carilah jumlah kuadrat panjang vektor-vektor tersebut, dan dari bilangan yang dihasilkan, kurangi hasil kali ganda dari panjang-panjang tersebut, dikalikan dengan kosinus sudut di antara vektor-vektor tersebut. Ambil akar kuadrat dari angka yang dihasilkan. Ini akan menjadi panjang vektor, yang merupakan jumlah dari 2 vektor yang diberikan (d=?(d1?+d2?-d1?d2?Cos(?)).

Tugas pencarian vektor normal garis lurus pada bidang dan bidang di luar angkasa terlalu primitif. Kenyataannya, diakhiri dengan pencatatan persamaan universal garis lurus atau bidang. Karena kurva pada bidang masing-masing hanyalah kasus khusus dari suatu permukaan dalam ruang, maka yang akan dibahas adalah garis normal permukaan tersebut.

instruksi

1. Metode ke-1 Metode ini merupakan metode yang paling primitif, namun pemahamannya memerlukan kemampuan untuk merepresentasikan medan skalar. Namun, bahkan pembaca yang tidak berpengalaman dalam hal ini akan dapat menerapkan rumusan yang dihasilkan dari pertanyaan ini.

2. Diketahui bahwa medan skalar f diberikan sebagai f=f(x, y, z), dan setiap permukaan dalam hal ini adalah permukaan tingkat f(x, y, z)=C (C=const). Selain itu, garis normal permukaan tingkat tersebut bertepatan dengan gradien medan skalar pada suatu titik tertentu.

3. Gradien bidang skalar (fungsi dari 3 variabel) adalah vektor g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz). Karena panjangnya normal tidak masalah, yang tersisa hanyalah menuliskan hasilnya. Normal ke permukaan f(x, y, z)-C=0 di titik M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy , df/dz).

4. Metode 2 Misalkan permukaan diberikan oleh persamaan F(x, y, z)=0. Agar dapat menarik analogi dengan metode pertama di masa depan, harus dianggap bahwa turunan garis kontinu sama dengan nol, dan F diberikan sebagai f(x, y, z)-C=0 ( C=konstanta). Jika kita memotong permukaan ini dengan bidang sembarang, maka kurva spasial yang dihasilkan dapat dianggap sebagai hodograf dari beberapa fungsi vektor r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Lalu turunannya vektor r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) diarahkan sepanjang garis singgung di suatu titik M0(x0, y0, z0) pada permukaan (lihat Gambar 1).

5. Untuk menghindari kebingungan, koordinat garis singgung saat ini harus ditunjukkan, katakanlah, dalam huruf miring (x, y, z). Persamaan kanonik garis singgung, dengan memperhatikan bahwa r'(t0) adalah vektor arah, ditulis sebagai (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy (t0)/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Substitusikan koordinat fungsi vektor ke dalam persamaan permukaan f(x, y, z)-C=0 dan diferensiasikan terhadap t, diperoleh (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df /dz)(dz/dt)=0. Kesetaraan adalah produk skalar dari beberapa hal vektor n(df/dx, df/dy, df/dz) dan r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Karena sama dengan nol, maka n(df/dx, df/dy, df/dz) adalah vektor yang diinginkan normal. Ternyata, hasil kedua cara tersebut sama.

7. Contoh (memiliki signifikansi teoretis). Deteksi vektor normal ke permukaan yang ditentukan oleh persamaan tipikal fungsi 2 variabel z=z(x, y). Larutan. Tulis ulang persamaan ini dalam bentuk z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Mengikuti salah satu metode preposisi, ternyata n(-дz/дx, -дz/дy, 1) adalah vektor yang diinginkan normal .

Setiap vektor diperbolehkan untuk diperluas menjadi jumlah beberapa vektor ov, dan ada banyak sekali pilihan seperti itu. Tugasnya adalah menguraikan vektor dapat diberikan baik dalam bentuk geometris maupun dalam bentuk rumus, dan penyelesaian masalahnya akan bergantung pada hal ini.

Anda akan perlu

• – vektor awal;
• – vektor yang diperlukan untuk mengembangkannya.

instruksi

1. Jika Anda perlu memperluas vektor pada gambar, pilih arah istilahnya. Untuk kemudahan perhitungan, penguraian menjadi vektor a, sejajar dengan sumbu koordinat, tapi Anda pasti bisa memilih arah mana pun yang nyaman.

2. Gambarlah salah satu sukunya vektor telur; dalam hal ini harus berasal dari titik yang sama dengan titik awal (panjangnya Anda pilih sendiri). Gabungkan ujung awal dan hasilnya vektor dan satu lagi vektor ohm Harap dicatat: dua diterima vektor dan pada akhirnya mereka harus membawa Anda ke titik yang sama dengan titik awal (jika Anda mengikuti tanda panah).

3. Transfer diterima vektor dan ke tempat yang nyaman untuk menggunakannya, dengan tetap menjaga arah dan panjangnya. Mandiri dari mana vektor dan akan menjadi, totalnya akan sama dengan yang awal. Harap dicatat bahwa jika Anda menempatkan yang diterima vektor dan agar dimulai dari titik yang sama dengan titik awal, dan menyatukan ujungnya dengan garis putus-putus, Anda mendapatkan jajar genjang, dan titik awal vektor bertepatan dengan salah satu diagonalnya.

4. Jika Anda perlu memperluas vektor(x1,x2,x3) menurut landasannya, yaitu menurut yang diberikan vektor am (p1, p2, p3), (q1,q2,q3), (r1,r2,r3), lanjutkan sebagai berikut. Substitusikan nilai koordinat ke dalam rumus x=?р+?q+?r.

5. Hasilnya, Anda akan mendapatkan sistem 3 persamaan p1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=x2, p3?+q3?+r3?=x3. Selesaikan sistem ini dengan menggunakan metode penjumlahan atau matriks, carilah eksponennya?,?,?. Jika soal diberikan dalam bidang, penyelesaiannya akan lebih sederhana, karena alih-alih 3 variabel dan persamaan, Anda hanya akan mendapatkan dua (mereka akan terlihat seperti p1?+q1?=x1, p2?+q2?=x2). Tulis hasilnya dalam bentuk x=?p+?q+?r.

6. Jika Anda mendapatkan banyak solusi, buatlah kesimpulan itu vektor s p, q, r terletak pada bidang yang sama dengan vektor om x dan jelas tidak mungkin untuk mengembangkannya dengan cara tertentu.

7. Jika sistem tidak memiliki solusi, dengan berani tuliskan hasil masalahnya: vektor s p, q, r terletak pada bidang yang sama, dan vektor x – di tempat lain, oleh karena itu tidak dapat diuraikan dengan cara tertentu.

Mungkin saja ada representasi khusus pesawat piramida, tetapi penulis tidak mengetahuinya. Karena piramida termasuk dalam polihedra spasial, pesawat hanya tepian yang bisa terbentuk piramida. Hal-hal inilah yang akan dipertimbangkan.

instruksi

1. Tugas paling primitif piramida adalah representasinya dengan koordinat titik puncak. Dimungkinkan juga untuk menggunakan representasi lain yang dapat dengan mudah diterjemahkan baik ke dalam representasi satu sama lain maupun ke dalam representasi yang diusulkan. Untuk mempermudah, pertimbangkan piramida segitiga. Kemudian, dalam kasus spasial, gagasan “basis” menjadi sangat kondisional. Oleh karena itu, tidak boleh dibedakan dari sisi mukanya. Dengan piramida sembarang, sisi-sisinya tetap berbentuk segitiga, dan untuk menyusun persamaannya pesawat basisnya masih cukup untuk 3 poin.

2. Setiap wajah berbentuk segitiga piramida seluruhnya ditentukan oleh tiga titik titik sudut segitiga yang bersesuaian. Biarlah M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3). Untuk menemukan persamaannya pesawat mengandung wajah ini, gunakan persamaan umum pesawat dalam bentuk A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Di sini (x0,y0,z0) adalah titik sembarang pesawat, yang menggunakan salah satu dari 3 yang ditentukan saat ini, misalnya M1(x1,y1,z1). Indikator A, B, C membentuk koordinat vektor normal K pesawat n=(A,B,C). Untuk mendeteksi normal, dimungkinkan untuk menggunakan koordinat vektor yang sama dengan produk vektor [M1,M2] (lihat Gambar 1). Anggap saja masing-masing sama dengan A, BC. Tetap mencari produk skalar vektor (n, M1M) dalam bentuk koordinat dan menyamakannya dengan nol. Di sini M(x,y,z) adalah titik (saat ini) yang berubah-ubah pesawat .

3. Algoritma yang dihasilkan untuk membangun persamaan pesawat pada tiga titiknya dimungkinkan untuk membuatnya lebih nyaman untuk digunakan. Harap dicatat bahwa metodologi yang ditemukan melibatkan penghitungan produk vektor, dan setelah itu produk skalar. Ini tidak lebih dari perkalian campuran vektor. Dalam bentuk superkompak sama dengan determinan yang garis-garisnya terdiri dari koordinat vektor-vektor M1M=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1 , z2-z1), M1M3=(x3- x1, y3-y1, z3-z1). Samakan dengan nol dan dapatkan persamaannya pesawat dalam bentuk determinan (lihat Gambar 2). Setelah pengungkapannya, Anda akan sampai pada persamaan universal pesawat .

Video tentang topik tersebut

vektor biasa

Permukaan datar dengan dua normal

Dalam geometri diferensial, normal- ini adalah garis lurus, ortogonal (tegak lurus) terhadap garis singgung suatu kurva atau bidang singgung suatu permukaan. Mereka juga membicarakan tentang arah biasa.

vektor biasa ke permukaan pada suatu titik tertentu adalah vektor satuan yang diterapkan pada suatu titik tertentu dan sejajar dengan arah normal. Untuk setiap titik pada permukaan halus, Anda dapat menentukan dua vektor normal yang arahnya berbeda. Jika suatu bidang kontinu dari vektor-vektor normal dapat didefinisikan pada suatu permukaan, maka bidang tersebut dikatakan terdefinisi orientasi permukaan (yaitu, memilih salah satu sisi). Jika ini tidak dapat dilakukan, permukaannya disebut tidak berorientasi.

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu “Vektor Normal” di kamus lain:

vektor biasa- status vektor normal T sritis fizika atitikmenys: engl. vok vektor normal. Normalenvektor, m rus. vektor normal, m pranc. vektor de la normale, m; vecteur normal, m… Fizikos terminų žodynas

Artikel atau bagian ini perlu direvisi. Mohon perbaikan artikel sesuai dengan aturan penulisan artikel. Vektor Darboux adalah vektor arah sumbu rotasi sesaat di mana segitiga yang menyertainya dari kurva L berputar pada ... ... Wikipedia

Elektrodinamika media kontinu Elektrodinamika media kontinu ... Wikipedia

Vektor Darboux adalah vektor pengarah sumbu rotasi sesaat di mana trihedron yang menyertai kurva L berputar ketika titik M bergerak seragam di sepanjang kurva L. Vektor Darboux terletak pada bidang penyearah kurva L dan dinyatakan dalam ketentuan satuan ... ... Wikipedia

Gradien (dari bahasa Latin gradien, gender gradienis berjalan), sebuah vektor yang menunjukkan arah perubahan tercepat suatu besaran, yang nilainya berubah dari satu titik dalam ruang ke titik lainnya (lihat Teori medan). Jika kuantitasnya dinyatakan... ...

Vektor arah d dari sumbu rotasi sesaat, di mana segitiga yang menyertainya dari kurva L berputar dengan gerak seragam titik M sepanjang kurva L.D. terletak pada bidang penyearah kurva L dan dinyatakan melalui vektor satuan dari garis normal utama... Ensiklopedia Matematika

Artikel atau bagian ini perlu direvisi. Mohon perbaikan artikel sesuai dengan aturan penulisan artikel. Hipertop... Wikipedia

Pipa grafis adalah kompleks perangkat keras dan perangkat lunak untuk memvisualisasikan grafik tiga dimensi. Daftar Isi 1 Elemen pemandangan tiga dimensi 1.1 Perangkat Keras 1.2 Antarmuka perangkat lunak ... Wikipedia

Sebuah disiplin matematika yang mempelajari sifat-sifat operasi pada Vektor ruang Euclidean. Selain itu, konsep vektor adalah abstraksi matematis dari besaran-besaran yang tidak hanya dicirikan oleh nilai numerik, tetapi juga... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Istilah ini memiliki arti lain, lihat Pesawat. Kueri Kerataan dialihkan ke sini. Artikel terpisah diperlukan tentang topik ini... Wikipedia

Vektor normal bidang adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang tertentu. Jelaslah bahwa setiap bidang mempunyai vektor normal yang jumlahnya tak terhingga. Namun untuk menyelesaikan masalah, kita hanya membutuhkan satu.

Jika bidang diberikan oleh persamaan umum , lalu vektornya adalah vektor normal dari bidang tertentu. Itu keterlaluan. Yang perlu Anda lakukan hanyalah “menghilangkan” koefisien dari persamaan bidang.

Tiga layar menunggu yang dijanjikan, mari kembali ke Contoh No. 1 dan periksa. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa di sana perlu dibuat persamaan bidang menggunakan satu titik dan dua vektor. Sebagai hasil dari solusinya, kami memperoleh persamaan. Kami memeriksa:

Pertama, mari kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan yang dihasilkan:

Diperoleh persamaan yang benar, artinya titik tersebut benar-benar terletak pada bidang tersebut.

Kedua, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: . Karena vektor-vektor sejajar dengan bidang, dan vektor tegak lurus terhadap bidang, maka harus terjadi fakta-fakta berikut: . Tegak lurus vektor dapat dengan mudah diperiksa menggunakan produk titik:

Kesimpulan: persamaan bidang ditemukan dengan benar.

Selama tes, saya sebenarnya mengutip pernyataan teori berikut: vektor sejajar dengan pesawat jika dan hanya jika .

Mari kita selesaikan masalah penting yang juga relevan dengan pelajaran:

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan bidang tersebut .

Larutan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Pada dasarnya lanskapnya terlihat seperti ini:

Jelas sekali bahwa vektor-vektornya segaris.

Pertama, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk mencari vektor satuan , perlu setiap koordinat vektor dibagi dengan panjang vektor .

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Verifikasi: apa yang diperlukan untuk diverifikasi.

Pembaca yang telah mempelajari dengan cermat paragraf terakhir pelajaran Produk titik dari vektor, Anda mungkin menyadarinya koordinat vektor satuan adalah cosinus arah vektor tersebut :

Mari kita istirahat sejenak dari permasalahan yang ada: ketika Anda diberi vektor bukan nol yang berubah-ubah, dan sesuai dengan kondisi tersebut diperlukan untuk mencari cosinus arahnya (tugas terakhir pelajaran Produk titik dari vektor), maka Anda sebenarnya menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor ini.

Sebenarnya dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk mencari vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kita sudah mengetahui cara menangkap vektor normal, sekarang mari kita jawab pertanyaan sebaliknya.

Untuk menggunakan metode koordinat, Anda perlu mengetahui rumusnya dengan baik. Ada tiga di antaranya:

Pada pandangan pertama, ini tampak mengancam, tetapi hanya dengan sedikit latihan, semuanya akan berjalan dengan baik.

Tugas. Tentukan kosinus sudut antara vektor a = (4; 3; 0) dan b = (0; 12; 5).

Larutan. Karena koordinat vektor diberikan kepada kita, kita substitusikan ke dalam rumus pertama:

Tugas. Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) dan K = (2; 1; 0), jika diketahui tidak melalui asal.

Larutan. Persamaan umum bidang: Ax + By + Cz + D = 0, tetapi karena bidang yang diinginkan tidak melalui titik asal - titik (0; 0; 0) - maka kita masukkan D = 1. Karena ini pesawat melewati titik M, N dan K, maka koordinat titik-titik tersebut akan mengubah persamaan menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita substitusikan koordinat titik M = (2; 0; 1) sebagai ganti x, y dan z. Kita punya:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Demikian pula untuk titik N = (0; 1; 1) dan K = (2; 1; 0) diperoleh persamaan sebagai berikut:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Jadi kita mempunyai tiga persamaan dan tiga persamaan yang tidak diketahui. Mari membuat dan menyelesaikan sistem persamaan:

Kami menemukan bahwa persamaan bidang memiliki bentuk: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Tugas. Bidang tersebut diberikan oleh persamaan 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Tentukan koordinat vektor yang tegak lurus bidang tersebut.

Larutan. Dengan menggunakan rumus ketiga, kita mendapatkan n = (7; − 2; 4) - itu saja!

Perhitungan koordinat vektor

Tetapi bagaimana jika tidak ada vektor dalam soal - yang ada hanya titik-titik yang terletak pada garis lurus, dan Anda perlu menghitung sudut antara garis lurus tersebut? Sederhana saja: mengetahui koordinat titik - awal dan akhir vektor - Anda dapat menghitung koordinat vektor itu sendiri.

Untuk mencari koordinat suatu vektor, Anda perlu mengurangkan koordinat awal dari koordinat akhirnya.

Teorema ini bekerja dengan baik baik di pesawat maupun di luar angkasa. Yang dimaksud dengan “kurangi koordinat” adalah koordinat x titik lain dikurangi koordinat x suatu titik, maka hal yang sama juga harus dilakukan pada koordinat y dan z. Berikut beberapa contohnya:

Tugas. Ada tiga titik dalam ruang, ditentukan oleh koordinatnya: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) dan C = (− 4; 3; − 2). Tentukan koordinat vektor AB, AC dan BC.

Perhatikan vektor AB: permulaannya di titik A, dan ujungnya di titik B. Oleh karena itu, untuk mencari koordinatnya, kita perlu mengurangkan koordinat titik A dari koordinat titik B:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Demikian pula, awal vektor AC adalah titik A yang sama, tetapi ujungnya adalah titik C. Oleh karena itu, kita mempunyai:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Terakhir, untuk mencari koordinat vektor BC, Anda perlu mengurangkan koordinat titik B dari koordinat titik C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Jawaban: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Perhatikan perhitungan koordinat vektor BC terakhir: banyak orang melakukan kesalahan saat mengerjakan bilangan negatif. Hal ini menyangkut variabel y: titik B memiliki koordinat y = − 1, dan titik C memiliki koordinat y = 3. Kita mendapatkan tepat 3 − (− 1) = 4, dan bukan 3 − 1, seperti yang dipikirkan banyak orang. Jangan membuat kesalahan bodoh seperti itu!

Perhitungan vektor arah untuk garis lurus

Jika Anda membaca soal C2 dengan cermat, Anda akan terkejut menemukan bahwa tidak ada vektor di sana. Yang ada hanyalah garis lurus dan bidang.

Pertama, mari kita lihat garis lurusnya. Semuanya sederhana di sini: pada garis mana pun setidaknya ada dua titik berbeda dan, sebaliknya, dua titik berbeda menentukan garis unik...

Adakah yang mengerti apa yang tertulis di paragraf sebelumnya? Saya sendiri tidak memahaminya, jadi saya akan menjelaskannya dengan lebih sederhana: pada soal C2, garis lurus selalu ditentukan oleh sepasang titik. Jika kita memperkenalkan sistem koordinat dan mempertimbangkan sebuah vektor dengan awal dan akhir pada titik-titik ini, kita memperoleh apa yang disebut vektor arah untuk garis tersebut:

Mengapa vektor ini diperlukan? Faktanya adalah sudut antara dua garis lurus adalah sudut antara vektor arahnya. Jadi, kita berpindah dari garis lurus yang tidak dapat dipahami ke vektor tertentu yang koordinatnya mudah dihitung. Seberapa mudahnya? Lihatlah contohnya:

Tugas. Pada kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 digambar garis AC dan BD 1. Temukan koordinat vektor arah garis-garis ini.

Karena panjang rusuk kubus tidak ditentukan dalam kondisi, kita menetapkan AB = 1. Kita perkenalkan sistem koordinat dengan titik asal di titik A dan sumbu x, y, z diarahkan sepanjang garis lurus AB, AD dan AA 1, masing-masing. Segmen satuannya sama dengan AB = 1.

Sekarang mari kita cari koordinat vektor arah garis lurus AC. Kita membutuhkan dua titik: A = (0; 0; 0) dan C = (1; 1; 0). Dari sini kita memperoleh koordinat vektor AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - ini adalah vektor arah.

Sekarang mari kita lihat garis lurus BD 1. Ia juga memiliki dua titik: B = (1; 0; 0) dan D 1 = (0; 1; 1). Kita peroleh vektor arah BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Jawaban: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Tugas. Pada prisma segitiga beraturan ABCA 1 B 1 C 1 yang semua rusuknya sama dengan 1, ditarik garis lurus AB 1 dan AC 1. Temukan koordinat vektor arah garis-garis ini.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat: titik asal di titik A, sumbu x berimpit dengan AB, sumbu z berimpit dengan AA 1, sumbu y membentuk bidang OXY dengan sumbu x yang berimpit dengan bidang ABC.

Pertama, mari kita lihat garis lurus AB 1. Semuanya sederhana di sini: kita memiliki poin A = (0; 0; 0) dan B 1 = (1; 0; 1). Kita peroleh vektor arah AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Sekarang mari kita cari vektor arah untuk AC 1. Semuanya sama - satu-satunya perbedaan adalah titik C 1 memiliki koordinat yang tidak rasional. Jadi A = (0; 0; 0), jadi kita mempunyai:

Jawaban: AB 1 = (1; 0; 1);

Catatan kecil namun sangat penting tentang contoh terakhir. Jika awal vektor bertepatan dengan titik asal, perhitungannya menjadi lebih sederhana: koordinat vektor sama dengan koordinat akhir. Sayangnya, hal ini hanya berlaku untuk vektor. Misalnya, ketika bekerja dengan pesawat terbang, keberadaan titik asal pada pesawat hanya mempersulit perhitungan.

Perhitungan vektor normal untuk bidang

Vektor normal bukanlah vektor yang baik atau terasa nyaman. Menurut definisinya, vektor normal (normal) terhadap suatu bidang adalah vektor yang tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu.

Dengan kata lain, garis normal adalah vektor yang tegak lurus terhadap vektor apa pun pada suatu bidang tertentu. Anda mungkin pernah menemukan definisi ini - namun, alih-alih vektor, kita berbicara tentang garis lurus. Namun, telah ditunjukkan di atas bahwa dalam soal C2 Anda dapat mengoperasikan objek apa pun yang mudah digunakan - baik itu garis lurus atau vektor.

Izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi bahwa setiap bidang didefinisikan dalam ruang dengan persamaan Ax + By + Cz + D = 0, di mana A, B, C dan D adalah beberapa koefisien. Tanpa menghilangkan keumuman penyelesaiannya, kita dapat mengasumsikan D = 1 jika bidang tidak melalui titik asal, atau D = 0 jika melewati titik asal. Bagaimanapun, koordinat vektor normal pada bidang ini adalah n = (A; B; C).

Jadi, bidang juga berhasil digantikan oleh vektor - sama normalnya. Setiap bidang dibatasi dalam ruang oleh tiga titik. Kita telah membahas cara mencari persamaan bidang (dan juga persamaan normal) di awal artikel. Namun, proses ini menimbulkan masalah bagi banyak orang, jadi saya akan memberikan beberapa contoh lagi:

Tugas. Pada kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 digambar bagian A 1 BC 1. Tentukan vektor normal bidang pada bagian ini jika titik asal koordinat berada di titik A, dan sumbu x, y, dan z berturut-turut berimpit dengan rusuk AB, AD, dan AA 1.

Karena bidang tidak melewati titik asal, persamaannya terlihat seperti ini: Ax + By + Cz + 1 = 0, yaitu. koefisien D = 1. Karena bidang ini melewati titik A 1, B dan C 1, maka koordinat titik-titik tersebut mengubah persamaan bidang tersebut menjadi persamaan numerik yang benar.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Demikian pula untuk titik B = (1; 0; 0) dan C 1 = (1; 1; 1) diperoleh persamaan sebagai berikut:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Namun kita sudah mengetahui koefisien A = − 1 dan C = − 1, sehingga tinggal mencari koefisien B:
B = − 1 − SEBUAH − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Kita memperoleh persamaan bidang: − A + B − C + 1 = 0. Oleh karena itu, koordinat vektor normalnya adalah n = (− 1; 1; − 1).

Tugas. Pada kubus ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 terdapat bagian AA 1 C 1 C. Tentukan vektor normal bidang bagian tersebut jika titik asal koordinat berada di titik A dan sumbu x, y, dan z berimpit dengan rusuk AB, AD dan AA 1 berturut-turut.

Dalam hal ini, bidang melewati titik asal, sehingga koefisien D = 0, dan persamaan bidang terlihat seperti ini: Ax + By + Cz = 0. Karena bidang melewati titik A 1 dan C, koordinatnya adalah titik-titik ini mengubah persamaan bidang menjadi persamaan numerik yang benar.

Mari kita substitusikan koordinat titik A 1 = (0; 0; 1) sebagai ganti x, y dan z. Kita punya:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Demikian pula untuk titik C = (1; 1; 0) kita peroleh persamaan:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Mari kita himpunan B = 1. Maka A = − B = − 1, dan persamaan seluruh bidang berbentuk: − A + B = 0. Oleh karena itu, koordinat vektor normalnya adalah n = (− 1 ; 1; 0).

Secara umum, dalam soal di atas Anda perlu membuat sistem persamaan dan menyelesaikannya. Anda akan mendapatkan tiga persamaan dan tiga variabel, tetapi dalam kasus kedua salah satunya akan bebas, yaitu. mengambil nilai sewenang-wenang. Itulah sebabnya kami berhak menetapkan B = 1 - tanpa mengurangi keumuman solusi dan kebenaran jawaban.

Seringkali dalam Soal C2 Anda perlu mengerjakan titik-titik yang membagi dua suatu segmen. Koordinat titik-titik tersebut mudah dihitung jika koordinat ujung-ujung ruas diketahui.

Jadi, misalkan ruas tersebut ditentukan oleh ujung-ujungnya - titik A = (x a; y a; z a) dan B = (x b; y b; z b). Maka koordinat titik tengah ruas tersebut - dilambangkan dengan titik H - dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Dengan kata lain, koordinat titik tengah suatu ruas adalah rata-rata aritmatika dari koordinat ujung-ujungnya.

Tugas. Kubus satuan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ditempatkan pada sistem koordinat sehingga sumbu x, y dan z berturut-turut searah sepanjang rusuk AB, AD dan AA 1 dan titik asal berimpit dengan titik A. Titik K adalah tengah tepi A 1 B 1 . Temukan koordinat titik ini.

Karena titik K adalah titik tengah ruas A 1 B 1, maka koordinatnya sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat ujung-ujungnya. Mari kita tuliskan koordinat ujung-ujungnya: A 1 = (0; 0; 1) dan B 1 = (1; 0; 1). Sekarang mari kita cari koordinat titik K:

Tugas. Kubus satuan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ditempatkan pada sistem koordinat sehingga sumbu x, y dan z berturut-turut searah sepanjang rusuk AB, AD dan AA 1 dan titik asal berimpit dengan titik A. Tentukanlah koordinat titik L di mana keduanya memotong diagonal-diagonal persegi A 1 B 1 C 1 D 1 .

Dari mata kuliah planimetri kita mengetahui bahwa titik potong diagonal-diagonal suatu persegi berjarak sama terhadap semua titik sudutnya. Khususnya, A 1 L = C 1 L, yaitu. titik L adalah titik tengah ruas A 1 C 1. Tapi A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), jadi kita punya:

Jawaban: L = (0,5; 0,5; 1)

Saat mempelajari persamaan garis lurus pada bidang dan ruang tiga dimensi, kita mengandalkan aljabar vektor. Dalam hal ini, vektor pengarah garis lurus dan vektor normal garis lurus sangatlah penting. Pada artikel ini kita akan melihat lebih dekat pada vektor garis normal. Mari kita mulai dengan definisi vektor normal suatu garis dan memberikan contoh serta ilustrasi grafis. Selanjutnya, kita akan melanjutkan untuk mencari koordinat vektor normal suatu garis menggunakan persamaan garis yang diketahui, dan kami akan menunjukkan solusi rinci untuk permasalahan tersebut.

Navigasi halaman.

Vektor garis normal - definisi, contoh, ilustrasi.

Untuk memahami materi, Anda perlu memahami dengan jelas tentang garis lurus, bidang, dan juga mengetahui definisi dasar yang berhubungan dengan vektor. Oleh karena itu, kami menyarankan Anda untuk menyegarkan kembali ingatan Anda terlebih dahulu tentang materi dalam artikel: garis lurus pada bidang, garis lurus dalam ruang, gagasan tentang bidang dan.

Mari kita berikan definisi vektor garis normal.

Definisi.

Vektor garis normal adalah vektor bukan nol yang terletak pada suatu garis yang tegak lurus terhadap vektor tersebut.

Dari definisi vektor normal suatu garis jelas bahwa vektor normal suatu garis tertentu jumlahnya tak terhingga.

Definisi vektor normal suatu garis dan definisi vektor arah suatu garis memungkinkan kita menyimpulkan bahwa setiap vektor normal suatu garis tegak lurus terhadap vektor arah mana pun dari garis tersebut.

Mari kita beri contoh vektor garis normal.

Biarkan Oxy diberikan di pesawat. Salah satu himpunan vektor normal garis koordinat Ox adalah vektor koordinat. Memang vektornya bukan nol dan terletak pada garis koordinat Oy yang tegak lurus sumbu Ox. Himpunan semua vektor normal garis koordinat Ox pada sistem koordinat persegi panjang Oxy dapat ditentukan sebagai .

Dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz dalam ruang tiga dimensi, vektor normal garis lurus Oz adalah vektor . Vektor koordinat juga merupakan vektor normal dari garis Oz. Jelasnya, setiap vektor bukan nol yang terletak pada bidang apa pun yang tegak lurus terhadap sumbu Oz akan menjadi vektor normal dari garis Oz.

Koordinat vektor normal suatu garis - mencari koordinat vektor normal suatu garis menggunakan persamaan garis yang diketahui.

Jika kita mempertimbangkan sebuah garis dalam sistem koordinat persegi panjang Oxy, maka garis tersebut akan sesuai dengan persamaan garis pada suatu bidang, dan vektor normal garis tersebut akan ditentukan oleh koordinatnya (lihat artikel). Hal ini menimbulkan pertanyaan: “bagaimana mencari koordinat vektor normal suatu garis jika kita mengetahui persamaan garis tersebut”?

Mari kita temukan jawaban atas pertanyaan yang diajukan untuk garis yang didefinisikan pada bidang dengan berbagai jenis persamaan.

Jika garis lurus pada suatu bidang ditentukan oleh persamaan garis lurus umum yang bentuknya , maka koefisien A dan B mewakili koordinat yang bersesuaian dari vektor normal garis ini.

Contoh.

Temukan koordinat beberapa vektor garis normal .

Larutan.

Karena garis lurus diberikan oleh persamaan umum, kita dapat segera menuliskan koordinat vektor normalnya - koordinat tersebut adalah koefisien yang bersesuaian di depan variabel x dan y. Artinya, vektor normal suatu garis mempunyai koordinat .

Menjawab:

Salah satu bilangan A atau B pada persamaan umum suatu garis mungkin sama dengan nol. Ini seharusnya tidak mengganggu Anda. Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh.

Tentukan vektor garis normal apa pun.

Larutan.

Kita diberikan persamaan umum garis lurus yang tidak lengkap. Itu dapat ditulis ulang dalam bentuk , dari mana koordinat vektor normal garis ini langsung terlihat: .

Menjawab:

Persamaan garis dalam ruas-ruas bentuk atau persamaan garis dengan koefisien sudut dapat dengan mudah direduksi menjadi persamaan umum suatu garis, dari situlah koordinat vektor normal garis tersebut ditemukan.

Contoh.

Temukan koordinat vektor normal garis tersebut.

Larutan.

Sangat mudah untuk berpindah dari persamaan garis dalam ruas-ruas ke persamaan umum garis: . Oleh karena itu, vektor normal garis ini memiliki koordinat .

Menjawab:

Jika suatu garis ditentukan oleh persamaan kanonik suatu garis pada bidang berbentuk atau persamaan parametrik suatu garis pada bidang berbentuk , maka koordinat vektor normalnya sedikit lebih sulit diperoleh. Dari persamaan tersebut langsung terlihat koordinat vektor pengarah garis lurus - . Dan memungkinkan Anda menemukan koordinat vektor normal garis ini.

Anda juga dapat memperoleh koordinat vektor normal suatu garis dengan mereduksi persamaan kanonik garis atau persamaan parametrik garis menjadi persamaan umum. Untuk melakukannya, lakukan transformasi berikut:

Terserah Anda untuk memutuskan metode mana yang Anda sukai.

Mari kita tunjukkan solusi dengan contoh.

Contoh.

Temukan beberapa vektor garis normal .

Larutan.

Vektor pengarahnya lurus adalah vektornya. Vektor garis normal tegak lurus terhadap vektor, maka sama dengan nol: . Dari persamaan ini, dengan memberikan n x nilai real sembarang bukan nol, kita mendapatkan n y. Misalkan n x =1, maka , oleh karena itu, vektor normal dari garis asal memiliki koordinat .

Solusi kedua.

Mari kita beralih dari persamaan garis kanonik ke persamaan umum: . Sekarang koordinat vektor normal garis ini sudah terlihat.

Menjawab: